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MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANÁLISE DE INVESTIMENTO
AULA 02: CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO E FLUXO DE CAIXA
TÓPICO 03: FLUXO DE CAIXA (UNIFORME E IRREGULAR)
FLUXO DE CAIXA
Denomina-se fluxo de caixa, a sequência de entradas e saídas de
dinheiro (ou qualquer outro ativo que seja expresso em dinheiro) durante
um determinado tempo. Podemos citar o exemplo de um empréstimo feito
numa instituição financeira, para pagamento em quatro prestações iguais.
No primeiro momento temos a entrada do valor do empréstimo na nossa
conta, representada pela seta para cima e em quatro momentos posteriores
temos a saída do valor da prestação para a realização do pagamento das
parcelas do empréstimo, representados pelas quatro setas para baixo.
Temos ai um fluxo de caixa.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO.
OBSERVAÇÃO
No eixo horizontal (abscissas) representam-se os períodos de tempo;
no eixo vertical (ordenadas) representam-se por flechas, os valores das
entradas e saídas de dinheiro; flechas com orientação para cima, positiva,
representam entrada de dinheiro e com orientação para baixo, negativa,
saída de dinheiro. Observar que o tamanho de cada flecha não é em escala,
mas apenas e meramente representativo da qualificação da entrada ou
saída de dinheiro.
FLUXO DE CAIXA UNIFORME
Um fluxo de caixa uniforme é aquele que contém os cinco elementos
financeiros básicos: valor presente (PV), valor futuro (FV), tempo (n), taxa
de juros (i) e prestações (PMT). É denominado uniforme porque suas
prestações (PMT) são iguais e periódicas.
CONCEITO DE ANUIDADE OU SERIE
Uma anuidade ou serie é um conjunto de operações positivas
(recebimentos, entradas de caixa) ou negativas (pagamentos, saídas de
caixa), periódicas e constantes.
As anuidades podem ser FINITAS (quando ocorrem durante um
período determinado de tempo) ou INFINITAS (quando ocorrem para
sempre, também chamado de perpetuidades).
As anuidades podem ser POSTECIPADAS (quando ocorrem ao
final de cada período) ou ANTECIPADAS (quando ocorrem no começo
de cada período).
As anuidades podem ser DIFERIDAS (quando ocorre um prazo de
carência para a primeira prestação) ou IMEDIATAS (quando não existe
período de carência para a primeira prestação).
As anuidades estão presentes em diversas situações do cotidiano.
Em planos de poupança, financiamentos, aposentadoria, pensão,
pagamentos de aluguel, recebimento mensal de salário e avaliação de
investimento.
OBSERVAÇÃO
Os cálculos das anuidades podem ser realizados com a HP12C, no
entanto, faz-se necessário adequar a calculadora a convenções importantes
para o cálculo das anuidades postecipadas ou antecipadas.
Se a anuidade for antecipada, torna-se necessário ativar o indicador
[BEGIN] no visor da calculadora, pressionando as teclas [g] [BEGIN].
Quando a anuidade for postecipada, é necessário desativar o "BEGIN" teclas
[g] [END]. A convenção da HP12C é trabalhar no módulo postecipado, razão
pela qual não aparece "END" no visor.
Fórmulas das anuidades:
O valor futuro (FV) da serie de prestações (PMT) pode ser calculado
levando-se cada prestação até o vencimento, mediante a taxa i.
FV = PMT x [ (1 + i) n-1 + (1 + i) n-2 + ....+ (1 + i) + 1]
Multiplicando ambos os termos por (1 + i):
FV x (1 + i) = PMT x [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ....+ (1 + i)2 + (1 + i)]
Subtraindo as duas equações anteriores, temos que:
Como PV = FV / (1 + i)n , temos que:
No caso de as prestações serem infinitas e postecipadas, tem-se a
perpetuidade. Nesses casos, quando n tende a infinito, as equações para
determinar o PV e o PMT tendem para:
EXEMPLO 1
Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de $ 36.000,00, a
ser pago em 36 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de
1,8% a.m. Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja
paga: (a) 1 mês após a compra; (b) a vista.
SOLUÇÃO
PV = 36.000,00
FV = 0,00
n = 36 meses
i = 1,8 % a.m.
PMT = ?
a) Série postecipada
[g]
[END]
36.000,00
[PV] ]
1,8
(i)
36
(n)
0,00
(FV)
(PMT)
- 1.367,42
b) Série antecipada
[g]
[BEG]
36.000,00
[PV]]
1,8
(i)
36
(n)
0,00
(FV)
(PMT)
- 1.343,24
FLUXO DE CAIXA IRREGULAR
CONCEITO
Um fluxo de caixa irregular (não uniforme) consiste em uma sequência
de entradas e saídas de caixa de intensidades, sinais e periodicidades
diferentes. Em um fluxo de caixa irregular, não se consegue trabalhar direta
e facilmente com as cinco funções financeiras básicas (PV, FV, PMT, i e n).
Conforme a figura abaixo:
Um dos papéis do fluxo de caixa é permitir a visualização do
investimento e servir de base para a decisão de investir ou não em
determinado projeto. Veremos na aula 4 de forma mais aprofundada como
proceder essa decisão.
Mas para a presente aula o objetivo é determinar o valor presente
liquido e a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa irregular.
O valor presente líquido (VPL) é igual ao valor presente de todas as
entradas e saídas futuras de caixa. Para um fluxo de entradas e saídas de
caixas desiguais a longo do horizonte de tempo n, o valor presente líquido
pode ser calculado com a formula abaixo:
VALOR PRESENTE LÍQUIDO POSITIVO , NEGATIVO E ZERO
Quando o valor presente líquido é positivo, isso significa que os
fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente superam o
investimento inicial. Portanto, o fluxo de caixa agrega valor e é atrativo
do ponto de vista econômico-financeiro.
Porém, quando o valor presente liquido se apresentar negativo,
significa que os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor
presente são inferiores ao investimento inicial, o fluxo de caixa destrói
valor e não deveria ser realizado.
Quando o valor presente líquido é zero, os fluxos futuros de caixa
trazidos e somados a valor presente são iguais ao investimento inicial,
o que deixa o investidor em posição de indiferença se o investimento
deverá ser realizado ou não.
A taxa interna de retorno (TIR) mede a rentabilidade do fluxo de caixa.
O cálculo da TIR não é direto, uma vez que não existe uma fórmula
especifica. Na realidade, a TIR é a taxa de juros (i) que iguala o VPL de um
fluxo de caixa a zero.
Onde:
FC = fluxo de caixa do período
TIR = taxa interna de retorno
n = prazo
Quando o VPL é positivo (TIR > i), significa que o projeto agrega valor.
Quando o VPL é negativo (TIR < i), o projeto destrói valor. Quando o VPL é
zero (TIR = i), ficamos em posição de indiferença para fazer ou não o projeto.
EXEMPLO 2
Uma empresa está analisando a possibilidade de realizar um projeto
com vida útil de 6 anos, que exigirá um investimento inicial de $ 1.200,00.
As estimativas de fluxos de caixa futuros encontram-se a seguir.
Determinar o VPL e a TIR do investimento, sabendo-se que a taxa de juros
é de 20% a.a.
ANO
FLUXO DE
CAIXA
0
-1.200,00
1
300,00
2
400,00
3
400,00
4
500,00
5
500,00
6
500,00
SOLUÇÃO
VPL = 168,77
Para calcular a TIR:
TIR = 25,02 % a.a.
Na HP12C:
[f]
[REG]
1.200,00
[g] [CF0]
300,00
[g] [CFj]
400,00
[g] [CFj]
400,00
[g] [CFj]
500,00
[g] [CFj]
500,00
[g] [CFj]
500,00
[g] [CFj]
20
[g] [i]
[F] NPV
168,77
[F] IRR
25,02
[f]
[REG]
1.200,00
[g] [CF0]
300,00
[g] [CFj]
400,00
[g] [CFj]
2
[g] [Nj]
500,00
[g] [CFj]
3
[g] [Nj]
20
[g] [i]
[F] NPV
168,77
[F] IRR
25,02
FÓRUM
Não deixe de levantar questões e dúvidas no Fórum 1. Sua
participação no fórum é necessário para contar como presença.
REFERÊNCIAS
■ CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada:
método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel – 3.ed. rev. São Paulo:
Cengage Learning, 2013.
■ Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à
Análise de Investimento, São Paulo: Pearson, 2007.
■ SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. São
Paulo: Atlas, 2005. (Coleção Coppead de Administração).
■ Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática financeira. São Paulo: Atlas,
2002
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Sérgio César de Paula Cardoso
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual

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