ε - PGMEC - Universidade Federal Fluminense

Transcrição

PGMEC
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
CENTRO TECNOLÓGICO
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DO FECHAMENTO EM
DUTOS ELASTO-PLÁSTICOS REFORÇADOS COM
MATERIAIS COMPÓSITOS DE MATRIZ POLIMÉRICA
RAFAEL FIGUEIREDO SAMPAIO
ABRIL DE 2006
RAFAEL FIGUEIREDO SAMPAIO
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DO FECHAMENTO EM DUTOS ELASTOPLÁSTICOS REFORÇADOS COM MATERIAIS COMPÓSITOS DE MATRIZ
POLIMÉRICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da UFF
como parte dos requisitos para a obtenção do
título de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica.
Orientadores:
Prof. Dr. Heraldo Silva da Costa Mattos ( PGMEC/UFF )
Prof. Dr. João Marciano Laredo dos Reis ( PGMEC/UFF )
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, 28 DE ABRIL DE 2006
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DO FECHAMENTO EM DUTOS ELASTOPLÁSTICOS REFORÇADOS COM MATERIAIS COMPÓSITOS DE MATRIZ
POLIMÉRICA
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração Análise Estrutural e aprovada em sua forma final pela Banca
Examinadora formada pelos professores:
Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof. João Marciano Laredo dos Reis (D.Sc.)
(Orientador)
Prof.ª Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)
Prof. Eduardo Martins Sampaio (D.Sc.)
Universidade Estadual do Rio de Janeiro
i
Dedico este trabalho a
Lucia,
Thiago,
Luciana,
Eny,
Hélio,
Manoela
e a todos os meus amigos.
ii
Agradecimentos
A Lucia, Eny e Hélio pela minha formação.
À Universidade Federal Fluminense.
Aos Professores Heraldo da Costa Mattos, João Reis e Eduardo Sampaio pela orientação,
pelas palavras de incentivo, pela amizade e pelo apoio constantes.
À CAPES, por ter me concedido esta Bolsa de Mestrado, sem a qual tudo teria sido mais
difícil.
Ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense
que me concedeu esta oportunidade de aumentar meus conhecimentos.
À PETROBRAS pelo apoio e confiança na realização deste trabalho.
A Manoela pela paciência, força e compreensão durante todos os dias.
E a todos os meus amigos, pela ajuda sempre presente.
iii
Sumário
DEDICATÓRIA / i
AGRADECIMENTOS / ii
LISTA DE FIGURAS / v
LISTA DE TABELAS / vi
LISTA DE SÍMBOLOS / vii
RESUMO / ix
ABSTRACT / x
1 INTRODUÇÃO / 1
1.1 REFORÇO DE TUBULAÇÕES COM MATERIAIS COMPÓSITOS / 1
1.2 OBJETIVOS DO PRESENTE TRABALHO / 4
2 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA O PROBLEMA DE UM DUTO ELÁSTICO ORTOTRÓPICO
SUBMETIDO A PRESSÕES INTERNA E EXTERNA / 7
2.1 INTRODUÇÃO / 7
2.2 TUBO DE PAREDE GROSSA SOB PRESSÃO INTERNA E EXTERNA / 8
2.2.1 DEFINIÇÕES PRELIMINARES / 8
3
SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA O PROBLEMA DE UM DUTO ELASTO-PLÁSTICO SUBMETIDO A
PRESSÕES INTERNA E EXTERNA / 11
3.1 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NO DUTO USANDO A TEORIA DE PAREDES FINAS / 11
3.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS ELASTO-PLÁSTICAS / 13
3.3 COMPARAÇÃO DO DUTO ABERTO COM O DUTO FECHADO / 19
3.4 DETERMINAÇÃO DO DESLOCAMENTO RADIAL DA PAREDE DO DUTO FECHADO / 21
4 TUBOS COAXIAIS SOB PRESSÃO INTERNA / 23
5 DIMENSIONAMENTO DE REFORÇOS EM DUTOS / 26
iv
6 MONTAGEM DE UM LABORATÓRIO VISANDO O DESENVOLVIMENTO DE PROCEDIMENTOS
PARA UTILIZAÇÃO DE ADESIVOS COMO REPARO EM DUTOS E NA COLAGEM DE
ESTRUTURAS METÁLICAS / 31
6.1 OBJETIVO GERAL / 32
6.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS / 32
6.3 PLANEJAMENTO DOS EXPERIMENTOS E PLANEJAMENTO LOGÍSTICO / 32
6.3.1 DEFINIÇÃO DOS CORPOS DE PROVA / 32
6.3.2 DEFINIÇÃO DOS DEFEITOS A SEREM CONSIDERADOS / 34
6.3.3 DEFINIÇÃO DOS TIPOS DE CARREGAMENTOS / 36
6.3.4 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE AQUECIMENTO PROJETADO / 36
6.3.5 ADESIVOS E ACABAMENTOS SUPERFICIAIS A SEREM CONSIDERADOS / 38
6.3.6 PROJETO E MONTAGEM DO LABORATÓRIO DE ENSAIOS EM DUTOS
(LED/LMTA) / 39
6.3.7 UNIDADE ESPECIAL PARA ENSAIOS EM SISTEMAS DE TUBULAÇÕES / 40
6.3.8 COMPRESSOR / 42
7 CONCLUSÃO / 44
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS / 45
APÊNDICES
APÊNDICE A / 46
APÊNDICE B / 54
v
Lista de Figuras
FIGURA 1.1
SISTEMA DE REPARO, PG. 2
FIGURA 1.2
APLICAÇÃO DO REFORÇO, PG. 3
FIGURA 1.3
DANO EM TUBULAÇÕES, PG. 3
FIGURA 1.4
APROXIMAÇÃO DO PROBLEMA, DUTO ABERTO NAS EXTREMIDADES, PG. 5
FIGURA 1.5
APROXIMAÇÃO DO PROBLEMA, DUTO FECHADO NAS EXTREMIDADES, PG. 6
FIGURA 2.1
TUBO SUBMETIDO À PRESSÃO INTERNA E EXTERNA, PG. 8
FIGURA 3.1
ELEMENTO CONSIDERADO, PG. 12
FIGURA 3.2
REPRESENTAÇÃO DO CRITÉRIO DE VON-MISES GENERALIZADO NA BASE
DAS
DIREÇÕES PRINCIPAIS DO DESVIADOR , PG. 18
FIGURA 3.3
REPRESENTAÇÃO PLANA DO CRITÉRIO DE VON-MISES GENERALIZADO, PG.19
FIGURA 3.4
CURVA J X P , PG. 21
FIGURA 4.1
TUBO E REFORÇO SUBMETIDOS À PRESSÃO INTERNA, PG. 23
FIGURA 6.1
DUTO DE 2” , PG. 34
FIGURA 6.2
DUTO DE 12”, PG. 34
FIGURA 6.3
DEFEITO SIMULANDO REDUÇÃO DE ÁREA DEVIDA A CORROSÃO, PG. 35
FIGURA 6.4
DESENHO DE PROJETO DE PARAFUSO, PG. 36
FIGURA 6.5
RESISTÊNCIA DE CONTROLE DA TEMPERATURA E ENTRADA DE ÁGUA, PG. 37
FIGURA 6.6
SISTEMA AJUSTADO AOS DUTOS DE 2” E 12”, PG. 37
FIGURA 6.7
PLANTA DO LABORATÓRIO, PG. 39
FIGURA 6.8
EQUIPAMENTO DE ENSAIO DE PRESSÃO, PG. 40
FIGURA 6.9
COMPRESSOR UTILIZADO NO SISTEMA DE ENSAIO, PG. 42
vi
Lista de Tabelas
TABELA 6.1
COMPOSIÇÃO QUÍMICA DO AÇO API 5L GRAU B (%), PG. 33
TABELA 6.2
DIMENSÃO DOS CORPOS DE PROVA, PG. 33
TABELA 6.3
DIMENSÃO DOS DEFEITOS NOS CORPOS DE PROVA, PG. 35
TABELA 6.4
ADESIVOS QUE ESTÃO SENDO TESTADOS NO LAA-UERJ, PG. 38
TABELA 6.5
PREPARAÇÃO DAS SUPERFÍCIES CONFORME OS FABRICANTES, PG. 38
TABELA 6.6
DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE ENSAIO DE PRESSÃO, PG. 41
TABELA 6.7
DESCRIÇÃO DO COMPRESSOR, PG. 43
vii
Lista de Símbolos
E
Er
Eθ
e
F
Gr θ
J
L
P , P0
P1
Pc
Pmax
p
p
R, ri
r0
re
r
MÓDULO DE YOUNG NA (MATERIAL ISOTRÓPICO)
MÓDULO DE YOUNG NA DIREÇÃO RADIAL
MÓDULO DE YOUNG NA DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
ESPESSURA
FUNÇÃO DE PLASTIFICAÇÃO
MÓDULO DE RIGIDEZ TRANSVERSAL
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
COMPRIMENTO
PRESSÃO INTERNA
PRESSÃO EXTERNA
PRESSÃO DE CONTATO
PRESSÃO DE RUPTURA
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA ACUMULADA
MULTIPLICADOR PLÁSTICO VARIÁVEL
S
RAIO INTERNO
RAIO EXTERNO DO DUTO E INTERNO DO REFORÇO
RAIO EXTERNO
RAIO
TENSOR DESVIADOR DA TENSÃO
tn
ur
uθ
INSTANTE DE TEMPO
DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO RADIAL
DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
X
TENSOR ENDURECIMENTO CINEMÁTICO
Xr
Xθ
ENDURECIMENTO CINEMÁTICO NA DIREÇÃO RADIAL
Xz
Y
A, B,C
ENDURECIMENTO CINEMÁTICO NA DIREÇÃO LONGITUDINAL
ENDURECIMENTO ISOTRÓPICO
CONSTANTES DA FUNÇÃO DE AIRY
a, b, v1, v2, K , N
1
CONSTANTES POSITIVAS
Δt
ε
INTERVALO DE TEMPO
TENSOR DEFORMAÇÃO
εp
TENSOR DEFORMAÇÃO PLÁSTICA
ENDURECIMENTO CINEMÁTICO NA DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
TENSOR IDENTIDADE
viii
εr
εθ
εrθ
εθp
εzp
η
σ
σr
σθ
σz
σrθ
σo
σc
σmax
σy
ν
νrθ
∅
φ
DEFORMAÇÃO NA DIREÇÃO RADIAL
DEFORMAÇÃO NA DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
DEFORMAÇÃO CISALHANTE
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA NA DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA NA DIREÇÃO LONGITUDINAL
EFICIÊNCIA
TENSOR TENSÃO
TENSÃO RADIAL
TENSÃO CIRCUNFERENCIAL
TENSÃO LONGITUDINAL
TENSÃO CISALHANTE
TENSÃO DEVIDO À PRESSÃO INTERNA
TENSÃO DEVIDO À PRESSÃO EXTERNA
TENSÃO MÁXIMA ADMISSÍVEL
TENSÃO DE ESCOAMENTO
COEFICIENTE DE POISSON (MATERIAL ISOTRÓPICO)
COEFICIENTE DE POISSON (MATERIAL ORTOTRÓPICO)
DIÂMETRO
FUNÇÃO DE AIRY
ix
Resumo
O presente trabalho tem como objetivos principais estender a metodologia
simplificada de dimensionamento de reforços de materiais compósitos em dutos metálicos
longos, proposta em [1]-[3], para tubos fechados, e dimensionar o laboratório de ensaios
preparado para validação das teorias propostas e para ensaios especiais em dutos.
Em geral, dutos em operação são longos e podem ser bem aproximados através da
teoria de dutos abertos com paredes finas [1]-[3]. Contudo, para validação experimental em
laboratório, por questões óbvias de praticidade (espaço físico, peso, etc.) não é interessante
usar dutos muito longos. Dutos curtos apresentam influência das bordas (fechamentos) que
devem ser consideradas para na validação de modelos preditivos de sistemas de reparo.
A metodologia proposta em [1] - [3] se restringe a dutos longas sob pressão que
podem ser tratadas como se fossem dutos abertos nas extremidades. Nessa metodologia
simplificada, o duto é considerado um cilindro de paredes finas sob pressão interna. Se ele for
aberto nas extremidades, a hipótese de estado uniaxial de tensões é razoável. No entanto,
como os resultados experimentais em laboratório são obtidos em ensaios com tubos fechados
nas extremidades (testes hidrostáticos), é necessário estender a metodologia para este caso. Se
o duto for fechado nas extremidades e não tiver nenhum tipo de dano, o estado de tensões é
plano, a principal dificuldade é estabelecer uma teoria elasto-plástica adequada para a
determinação da distribuição de tensões e de deformações.
x
Abstract
The present work has as main objectives expand the simplified methodology of
dimensioning reinforced polymer matrix composites long metallic ducts proposed in [1]-[3],
to close ended pipes, and to project a test laboratory where the proposed theories will be
tested.
In general, working ducts are very long and the theory that describes its work can be
approximated through the theory of thin walled open ended pipes. However, for experimental
validation in the laboratory, and for obvious reasons of workability like open space, weight,
etc it is not interesting using long ducts.
The methodology proposed in [1]-[3] is restricted to long ducts under pressure that can
be analyzed as open ended pipes. In this simplified methodology, the duct is considered to be
a thin walled cylinder under internal pressure. If the duct is open ended the hypothesis of a
uniaxial stress state is reasonable. However, like experimental results performed in the
laboratory are obtained by testing close ended pipes (hydrostatic tests), it is necessary to
extend the methodology for this case. If the duct is close ended, has no damage and the state
is plane stress, the main difficult is to establish and elasto-plastic theory adjusted for the
determination of the stress-strain distribution.
Capítulo 1
Introdução
1. 1
Reforço de tubulações com materiais compósitos
Atualmente o emprego de materiais compósitos de matriz polimérica como reforço em
estruturas nas indústrias do petróleo e aeronáutica tem se tornado uma prática industrial
comum. O uso destes reforços compreende desde recobrimento de superfícies com defeitos
até o reforço estrutural, com o objetivo de aumentar a vida útil de equipamentos e minimizar
custos de manutenção. A colocação de um reforço de materiais compósitos de matriz
polimérica sobre estruturas metálicas convencionais é feita por colagem.
Entre as vantagens deste tipo de união de materiais pode-se destacar a ausência de
aporte de calor durante o processo de junção, o que implica que a microestrutura dos
aderentes não sofre alterações. Outra grande vantagem do ponto de vista da implementação da
união por adesão é que o custo do processo é baixo, tendo em vista que os equipamentos
necessários para promover a união por adesão são, geralmente, menos sofisticados que os
normalmente empregados nos processos usuais de junção de materiais.
Na última década muitos estudos foram feitos para o desenvolvimento de uma
metodologia alternativa para reforço e reparo em dutos com materiais compósitos. Por
exemplo, o U. S. Gas Research Institute (GRI) coordenou as atividades de um grupo de
organizações de pesquisa nesta área visando o desenvolvimento de materiais e procedimentos
de aplicação para o reparo permanente de dutos. O resultado deste programa é o sistema
2
Clock Spring® de reparo em dutos (refs.: Clock Spring completes timely repair, C. M.
Nicholson and A, J. Patrick, Pipes & Pipelines International, vol. 45, 4, pp. 33 – 40, 2000;
Permanent composite repair of gas tranmission lines DOT regulatory process and results,
Lewis, K. and Laughlin, S., Proceedings of ETC/OMAE2000 Joint Conference: Energy for
the New Millenium, ETCE2000/ER-10150, New Orleans, USA, 2000). Para a simulação do
efeito do reparo em diferentes tipos de defeitos foi desenvolvido o programa GRIWrapTM. O
DOT – U. S. Departartment of Transportation reconhece esta técnica como um método
eficaz de restaurar permanentemente a integridade de dutos.
Segundo os fabricantes, a utilização do material compósito para reforço do duto é um
processo relativamente fácil. Primeiro o duto é limpo e depois é feita uma análise para
verificar a quantidade necessária para reparar de forma segura. Após aplicação do material, é
necessário cerca de duas horas, para o adesivo estar curado. As fibras são alinhadas
circunferencialmente em torno do duto, impedindo o aumento da tensão circunferencial
quando o duto trabalha sobre alta pressão. Além disso, a matriz polimérica torna o material
altamente resistente a corrosão. O reparo pode ser feito em poucas horas sem necessidade de
soldagem, corte ou equipamentos especiais.
O reforço através de material compósito,
segundo esta fonte, tem o custo 70% menor do que os métodos convencionais (corte do
segmento danificado e aplicação de solda).
Figura 1.1: Sistema de reparo (1 – Material Compósito, 2 – Duto Metálico, 3 – Adesivo).
3
Figura 1.2: Aplicação do reforço.
Entretanto, na maioria dos produtos comerciais, a determinação da espessura do
reforço carece de especificação ou, quando existem, não apresentam uma metodologia clara
de cálculo.
É de se esperar que, em alguns dutos danificados, como mostrado na figura 1.3, seja
necessário, além do reparo do furo com adesivo, o reforço estrutural em toda área danificada
com materiais compósitos. Neste trabalho, será avaliada também a necessidade do uso desses
materiais.
Figura 1.3: Dano em Tubulações
4
1. 2
Objetivos do presente trabalho
O presente trabalho tem como objetivos principais:
1. Estender a metodologia simplificada de dimensionamento de reforços de
materiais compósitos em dutos metálicos longos para dutos fechados.
2. Dimensionar o laboratório de ensaios preparado para validação das teorias
propostas e para ensaios especiais em dutos;
Em geral, dutos em operação são longos e podem ser bem aproximados através da
teoria de dutos abertos com paredes finas [1]-[3]. Contudo, para validação experimental em
laboratório, por questões óbvias de praticidade (espaço físico, peso, etc.) não é interessante
usar dutos muito longos. Dutos curtos apresentam influência das bordas (fechamentos) que
devem ser consideradas para a validação de modelos preditivos de sistemas de reparo.
Em [1] foi desenvolvida uma solução analítica para o dimensionamento de reforços,
supondo, inicialmente, os materiais elásticos e o duto e o reforço polimérico como cilindros
abertos de paredes grossas. Para estender essa metodologia de forma a levar em conta o
comportamento inelástico do duto e a inclusão de defeitos localizados, era conveniente usar
uma teoria de paredes finas para o duto metálico. Mostrou-se que as previsões de espessura de
reforço eram praticamente as mesmas usando-se uma teoria de paredes finas ou de paredes
grossas para o duto metálico, desde que a espessura da parede do duto fosse menor do que
1/10 do diâmetro interno. A previsão feita usando-se essa metodologia para um duto com
fissura transpassante foi comparada com simulações tridimensionais, feitas através do método
de elementos finitos, com excelentes resultados.
Em [2] incluiu-se o comportamento inelástico do duto e foi analisada a importante
influência da pressão de aplicação do reforço na resistência do conjunto. Foram considerados
os seguintes critérios: plastificação, fadiga de alto ciclo e fissuração.
Em [3]-[7] está feita uma revisão dessa metodologia, incluindo defeitos de perda de
material por corrosão.
Todos os trabalhos citados acima foram desenvolvidos supondo-se que tanto o duto
metálico como o reforço de material polimérico pudessem ser modelados como dutos abertos
nas extremidades. Em [8], mostrou-se que o efeito de fechamento das extremidades nos dutos
pode ser facilmente tratado e que a pressão de ruptura num duto de extremidades fechadas é
5
2/√3 (1,155) vezes maior que a pressão de ruptura de um duto de extremidades abertas (o
mesmo acontece com a pressão de escoamento). Portanto, um duto fechado nas extremidades
pode suportar cargas 15,5% maiores do que um duto aberto nas extremidades, constituído do
mesmo material. Análises experimentais de sistema de reparo, feitas sem levar este fator em
conta, podem induzir a erros na avaliação e, conseqüentemente, no uso em campo. A
simplicidade na extensão da metodologia, no caso de um duto sem reforço polimérico, é que
as componentes axial e longitudinal da tensão são proporcionais, o que simplifica
enormemente a análise. Contudo, no caso estudado neste trabalho que é um duto fechado nas
extremidades e reforçado com material polimérico, as componentes do tensor tensão não são
mais proporcionais, tornando a análise do problema ainda mais complicada.
A metodologia proposta em [1] - [7] se restringe a tubulações longas sob pressão que
podem ser tratadas como se fossem dutos abertos nas extremidades. Na metodologia
simplificada, o duto é considerado um cilindro de paredes finas sob pressão interna. Se ele for
aberto nas extremidades e não tiver nenhum tipo de dano, a hipótese de estado uniaxial de
tensões é razoável. Portanto, supõe-se que a distribuição de tensões e deformações longe dos
defeitos localizados é pouco afetada e que será a mesma do que no duto sem dano. Como o
raio do duto é grande em relação a sua espessura, uma estimativa superdimensionada das
tensões máximas no defeito pode ser feita considerando-se uma placa infinita tracionada, com
um defeito equivalente (fissura interna, fissura externa, fissura transpassante, entalhe, etc.).
Para esta placa, considera-se que a distribuição de tensões longe do defeito é igual à tensão
circunferencial atuando nas paredes de um duto sem defeito, conforme mostra a figura 1.4.
Figura 1.4: Aproximação do problema, duto aberto nas extremidades.
No entanto, como os resultados experimentais são obtidos em ensaios com dutos
fechados nas extremidades (testes hidrostáticos), é necessário estender a metodologia para
este caso. Se o duto for fechado nas extremidades e não tiver nenhum tipo de dano, o estado
6
de tensões é plano e a principal dificuldade é estabelecer uma teoria elasto-plástica adequada
para a determinação da distribuição de tensões e de deformações. Este tipo de estudo é
realizado neste trabalho. Analogamente ao que é feito para o caso de um duto aberto, supõe-se
que a distribuição de tensões e deformações longe de defeitos localizados é pouco afetada e
que será a mesma do que no duto sem dano. Como o raio do duto é grande em relação a sua
espessura, uma estimativa superdimensionada das tensões máximas no defeito pode ser feita
considerando-se uma placa infinita com um defeito equivalente. Para esta placa, considera-se
que a distribuição de tensões longe do defeito é igual a atuando nas paredes de um duto sem
defeito, conforme mostra a figura 1.5.
Figura 1.5: Aproximação do problema, duto fechado nas extremidades.
O Capítulo 2 inicia o trabalho apresentando as equações que regem o problema de
dimensionamento de reforço para dutos; mais especificamente, um duto elástico ortotrópico
submetido a pressões interna e externa.
O Capítulo 3 trata da solução analítica para o problema de um duto elasto-plástico
submetido a pressões interna e externa, apresentando as equações constitutivas de tal
problema.
O Capítulo 4 descreve a teoria de tubos coaxiais sob pressão interna, na qual
representa o problema do duto com reforço.
O Capítulo 5 descreve o dimensionamento da espessura da luva para reforço estrutural.
O Capítulo 6 descreve a montagem do Laboratório visando o desenvolvimento de
procedimentos para utilização de adesivos como reparo em dutos e na colagem de estruturas
metálicas, a fim de validar a metodologia proposta nos capítulos anteriores.
O capítulo 7 finaliza com a conclusão deste trabalho.
Capítulo 2
Solução Analítica para o problema de um Duto
Elástico Ortotrópico submetido a Pressões Interna e
Externa
2. 1
Introdução
O objetivo deste trabalho é estender o procedimento para dimensionamento de
reforços em dutos longos, proposto em [1]-[7], para o caso de dutos curtos, nos quais o efeito
de fechamento deve ser levado em conta. Validações experimentais em laboratório sempre
irão requerer dutos curtos fechados ou laboratórios com grandes espaços para testes de dutos
longos, solução cara e pouco prática do ponto de vista de Engenharia.
Para estabelecer as equações que regem o problema é interessante estudar as tensões e
deformações em um duto elástico ortotrópico submetido a pressões interna e externa. Este
problema pode modelar o reforço de material compósito. No caso de material isotrópico a
solução do problema é bem clássica e conhecida. Porém, neste trabalho, existe a necessidade
de analisar um duto constituído de um material ortotrópico. Como não é comum encontrar na
literatura a solução analítica deste problema, neste capítulo é apresentado o desenvolvimento
desta solução.
8
2. 2
Tubo de parede grossa sob pressão interna e externa
2. 2. 1
Definições preliminares
Seja um tubo cilíndrico elástico de raio interno ri e raio externo re submetido,
respectivamente, a uma pressão interna P0 e a uma pressão externa P1 .
No Apêndice A está mostrada a solução analítica para este problema, seja para o caso
isotrópico, seja para o caso anisotrópico. Nesta seção apenas serão apresentados os resultados
fundamentais para a avaliação da metodologia de sistemas para reparo.
Com relação a variáveis envolvidas no problema, Er é o módulo de Young na direção
radial, Eθ o módulo de Young na direção circunferencial e νrθ o coeficiente de Poisson.
Figura 2.1: Tubo submetido à pressão interna e externa.
Caso Isotrópico:
Para o caso em que Er = Eθ (material isotrópico), as tensões correspondentes são:
B
+ 2C
r2
B
σθ = − 2 + 2C
r
σr =
(2.1)
(2.2)
O deslocamento ur associado é:
ur =
1
E
⎡ (1 + ν ) B
⎤
+ 2 C r (1 − ν )⎥
⎢−
r
⎣
⎦
(2.3)
9
Com,
B =
ri2re2 ( P1 − P0 )
(2.4)
re2 − ri2
P0ri2 − P1re2
2C =
re2 − ri2
(2.5)
Caso anisotrópico:
As tensões correspondentes são:
⎛
σr = B ⎜⎜⎜ 1 −
⎝
Eθ
Er
⎛ Eθ
⎞
+1 ⎟⎟⎟
Er
⎠⎟
⎞⎟ −⎜⎜⎜
⎝
⎟⎟ r
⎠⎟
⎛
+ C ⎜⎜⎜ 1 +
⎝
⎛ Eθ ⎟⎞
+1⎟⎟
⎟⎠
Er
⎛
Eθ ⎞⎟ Eθ −⎜⎜⎜
⎜
⎟
σθ = −B ⎜1 −
r ⎝
⎜⎝
Er ⎠⎟⎟ Er
Eθ
Er
⎛ Eθ
⎞
−1 ⎟⎟⎟
Er
⎠⎟
⎞⎟ ⎜⎜⎜
⎟⎟ r ⎝
⎠⎟
(2.6)
⎛ Eθ ⎞⎟
−1⎟
Er ⎠⎟⎟
⎛
Eθ ⎞⎟ Eθ ⎜⎜⎜
⎜
⎟
r⎝
+ C ⎜1 +
Er ⎠⎟⎟ Er
⎝⎜
(2.7)
O deslocamento ur associado é:
⎛
ur = −B ⎜⎜ 1 −
⎜⎝
⎛
+C ⎜⎜⎜ 1 +
⎝
Eθ
Er
Eθ
Er
⎞⎟ E θ −
⎟⎟
r
⎠⎟ Er
⎞⎟ E θ
⎟⎟
r
⎠⎟ Er
Eθ
Er
Eθ
Er
⎛ 1
ν ⎞
⎜⎜
+ r θ ⎟⎟⎟ +
⎜⎝ E θ
Er ⎠
(2.8)
⎛ 1
ν ⎞
⎜⎜
− r θ ⎟⎟
⎜⎝ Eθ
Er ⎠⎟
Com,
P1
B =
⎛
⎜⎜ 1 −
⎜⎝
⎡ ⎛⎜
E θ ⎞⎟ ⎢ −⎜⎜⎝
⎟ ⎢r
Er ⎠⎟⎟ ⎢ i
⎢⎣
⎛⎜ E θ
⎞
⎛⎜ E θ
⎞
−1 ⎟⎟⎟
−1 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎟
E
E
ri⎝ r ⎠ − P0 re⎝ r ⎠
⎞ ⎛ Eθ
⎞
⎛⎜ E θ
⎞
⎛ Eθ
⎞⎤
Eθ
+1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
−1 ⎟⎟⎟
−1 ⎟⎟⎟ −⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟ ⎥
⎜⎜
⎟
⎟
Er
E
E
⎠⎟ ⎝ Er
⎠⎟
− ri⎝ r ⎠ re ⎝ r ⎠ ⎥
re
⎥
⎥⎦
(2.9)
10
P1
C =
⎛
⎜⎜ 1 −
⎝⎜
Eθ
Er
⎡ ⎛
⎞⎟ ⎢ ⎜⎜⎜⎝
⎟ ⎢r
⎠⎟⎟ ⎢ i
⎢⎣
⎛ Eθ
⎞
⎛ Eθ
⎞
−⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟
−⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟
⎟
⎟
E
E
ri ⎝ r ⎠ − P0 re ⎝ r ⎠
⎞
⎛ Eθ
⎞
⎛ Eθ
⎞ ⎛ Eθ
⎞⎤
Eθ
−1 ⎟⎟⎟ −⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟
−⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
−1 ⎟⎟⎟ ⎥
⎟
⎟
⎟
Er
E
E
E
⎠⎟
re ⎝ r ⎠ − ri ⎝ r ⎠ re⎝ r ⎠ ⎥
⎥
⎥⎦
(2.10)
Capítulo 3
Solução Analítica para o problema de um Duto
Elásto-Plástico submetido a Pressões Interna e
Externa
3. 1
Determinação da tensão no duto usando a teoria de paredes finas
A chamada teoria de paredes finas é interessante, pois permite uma análise simples de
problemas fora do regime elástico. Ela é aplicável se o raio interno do duto for, pelo menos,
dez vezes maior do que a espessura da parede do duto.
Em [1] mostrou-se que, no caso elástico, as previsões feitas usando-se a teoria de
paredes grossas tendem para as previsões feitas usando-se a teoria de paredes finas à medida
que a relação ri /e aumenta.
Neste caso, desprezam-se as componentes da deformação na direção radial
(esmagamento). Além disso, a tensão circunferencial é suposta constante, não havendo
variação da mesma com o raio. Para determinar a tensão circunferencial, considera-se um
elemento de comprimento L isolado do resto do cilindro (figura 3.1).
12
Figura 3.1: Elemento considerado
A análise, em detalhes, do problema elasto-plástico está no Apêndice B.
Dutos de Paredes Finas sob Pressão Interna
Considera-se um duto de raio interno ri e de espessura e = (re − ri ) submetido a uma
pressão interna Po . Para que a parede do duto seja considerada fina, e e ri devem obedecer a
seguinte relação
ri
> 10
e
(3.1)
Duto Aberto sem Dano
Neste caso, para um duto sem dano, a tensão é dada por (coordenadas cilíndricas):
⎡ σr = 0
0
⎢
⎢
Po ri − P1re
σ = ⎢⎢ 0
σθ =
re − ri
⎢
⎢ 0
0
⎣⎢
⎤
⎥
⎥
0 ⎥⎥
⎥
σz = 0 ⎥⎥
⎦
0
Trata-se, obviamente, de um estado uniaxial de tensões.
Duto Fechado sem Dano
(3.2)
13
⎡
⎢
0
⎢ σr = 0
⎢
⎢
Pori − P1re
σ = ⎢⎢ 0
σθ =
(re − ri )
⎢
⎢
⎢
0
⎢ 0
⎢⎣
⎤
⎥
0
⎥
⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎥
Pori ⎥⎥
σz =
⎥
2(re − ri ) ⎥⎦
(3.3)
Trata-se de um estado plano de tensões. Em [8] foi feito um estudo sobre o efeito do
fechamento das extremidades, em dutos elásto-plásticos, com relação à pressão de ruptura.
Um resumo dos principais resultados está no Apêndice B. No caso estudado em [8], as
componentes da tensão não são independentes ( σθ = 2σz ), pois a pressão de contato, devida
ao reforço, é nula. Portanto, simplificações adicionais podem ser obtidas, e é possível provar
que a pressão de ruptura num duto fechado nas extremidades, sem reforço, é 2/√3 (1.155)
vezes maior que a pressão de ruptura de um duto aberto nas extremidades (o mesmo acontece
com a pressão de escoamento). O objetivo nas seções seguintes é fazer uma análise
semelhante no caso em que a pressão de contato, P1 ,devida à luva, não é nula.
3. 2
Equações constitutivas Elasto-Plásticas
Elasto-Plasticidade - Equações Constitutivas Gerais
Para a extensão da metodologia proposta em [1]-[2], é fundamental considerar o
comportamento elasto-plástico do duto num estado multiaxial de tensões. Não é objetivo
deste trabalho fazer uma revisão detalhada da teoria da elasto-plasticidade. Nesta seção será
apresentado um resumo, sugerindo-se, para maiores detalhes a referência [9]. O
comportamento multiaxial de um material elasto-plástico, considerando-se que o
endurecimento é exclusivamente isotrópico (hipótese adequada para o caso de vasos de
pressão com paredes finas submetidos a carregamentos monótonos), pode ser descrito através
das seguintes equações gerais:
σ=
νE
E
Tr (ε - ε p )1 +
(ε - ε p )
(1 + ν )(1 - 2ν )
(1 + ν )
(3.4)
ou, inversamente,
(ε - ε p ) =
ν
(1 + ν )
σ - Tr (σ)1
E
E
(3.5)
14
Onde σ é o tensor tensão, ε é o tensor deformação e
εp
é o tensor deformação plástica e 1 é
o tensor identidade. Usa-se o símbolo Tr(•) para o traço de um tensor (•) . E é o módulo de
Young e ν o coeficiente de Poisson. Para a caracterização completa do comportamento
elasto-plástico, são necessárias ainda as seguintes leis de evolução:
3
ε p = (S − X )p
(3.6)
=0
p ≥ 0 ; F = J − Y ≥ 0 ; pF
(3.7)
2J
com,
3
(S ⋅ S ) =
2
3
3
∑ ∑ (S ij)2
(3.8)
Y = σy + v1 ⎡⎣⎢ 1 − exp(−v2 p) ⎤⎦⎥
(3.9)
J =
i =1 j =1
Onde,
•
σy , v1 , v2 são constantes positivas que caracterizam o comportamento plástico do
material e que podem ser obtidas a partir de ensaios uniaxiais [9].
•
S é o desviador da tensão, dado por,
()
1
⎡
⎤
S = ⎢σ −
Tr (σ)1 ⎥
3
⎣
⎦
•
(3.10)
A variável Y é chamada de endurecimento isotrópico e modela como o limite de
escoamento varia com a plastificação.
•
F é
usualmente chamada de função de plastificação e a variável J de tensão
equivalente de Von Mises. A lei de evolução (3.7) caracteriza as chamadas equações
= 0 em (3.7),
de complementaridade. Se F < 0 tem-se que J < Y e, da relação pF
segue que p = 0 . Portanto, usando-se (3.6) conclui-se que
ε p = 0 (não há
p
escoamento e o material se comporta elasticamente). Só há escoamento ( ε ≠ 0 )
quando F = 0. O critério F < 0 é chamado de critério de Von Mises generalizado. Se
15
Y = σy então a condição J < Y nada mais é do que o critério de Von Mises
Clássico que estabelece que não haverá escoamento se:
⎡3
⎤1/ 2
J = ⎢ (S ⋅ S ) ⎥
< σy
⎣2
⎦
Maiores detalhes sobre a interpretação do critério de Mises generalizado serão dados
na próxima seção.
•
A variável p é usualmente chamada de multiplicador plástico variável e p é
usualmente chamada de deformação plástica acumulada. À partir da equação (3.6) é
possível verificar que
2 p p
ε ⋅ ε
3
p =
(3.11)
e, portanto,
t
p(t ) = p(t = 0) +
∫
t =0
•
⎛ 2 p
⎞
p
⎜⎜⎝⎜ 3 ε (ζ ) ⋅ ε (ζ ) ⎠⎟⎟⎟d ζ
(3.12)
Geralmente, toma-se como condição inicial o material virgem,
p(t = 0) = 0 ,
εp (t = 0) = 0
(3.13)
Daqui para diante, em todas as deduções, considera-se sempre este conjunto de condições
iniciais.
Equações Constitutivas no Espaço das Direções Principais
Para entender melhor as equações constitutivas elasto-plásticas apresentadas e, também,
para poder simplificar o modelo no caso de dutos de paredes finas sob pressão, é interessante
a representação das equações constitutivas (3.1)-(3.4) na base das direções principais do
tensor tensão.
16
É possível verificar que, num dado ponto, o tensor tensão e o seu desviador têm as
mesmas direções principais (autovetores). Sejam ( σ1 , σ2 , σ3 ) as componentes principais
(autovalores) do tensor tensão e (S1, S2, S3) as componentes principais do tensor desviador da
tensão. Estes tensores são representados na base das direções principais da seguinte forma:
⎡S
⎤
0 ⎤⎥
⎢ 1 0 0⎥
1
⎢
⎥
⎥
0 ⎥ ; S = ⎢ 0 S 2 0 ⎥ ; Si = σi − tr (σ)
3
⎢
⎥
⎥
⎢⎢ 0 0 S 3 ⎥⎥
σ3 ⎥⎥
⎦
⎣
⎦
⎡σ
⎢ 1 0
⎢
σ = ⎢ 0 σ2
⎢
⎢⎢ 0 0
⎣
(3.14)
É possível verificar também que, se as leis de evolução (3.6) e (3.7) forem válidas e a
condição inicial (3.13) verificada, então o tensor deformação plástica ε p terá as mesmas
direções principais do que o tensor S (e que o tensor tensão σ ). Sejam, então, ( ε1p , ε2p , ε3p ) as
componentes principais do tensor deformação plástica. Na base das direções principais, esse
tensor é expresso da seguinte maneira:
εp
⎡ εp
⎢ 1
⎢
=⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣⎢
0
ε2p
0
0 ⎤⎥
⎥
0 ⎥
⎥
ε3p ⎥⎦⎥
(3.15)
Logo, na base das direções principais, um conjunto completo de equações constitutivas
pode ser expresso da seguinte forma:
3
νE
σi =
(εj
(1 + ν )(1 - 2ν ) ∑
j =1
- εjp ) +
E
(ε
(1 + ν ) i
- εip ) ; i = 1, 2 ou 3
(3.16)
i = 1, 2 ou 3
(3.17)
ou
(εi - εip ) =
(1 + ν )
ν
σi E
E
3
∑ (σ j ) ;
j =1
e
εip
=
3
S p ; i = 1, 2 ou 3
2J i
1
2
2
2
3
=0
p ≥ 0 ; F = ⎡⎢ (S 1 ) + (S 2 ) + (S 3 ) ⎤⎥ 2 ≥ Y ; pF
⎣
2
⎦
J
(3.18)
(3.19)
17
A equação (3.11) também pode ser representada nesta base,
2 p 2
[ (ε ) + (ε2p )2 + (ε3p )2 ]
3 1
p =
(3.20)
É importante observar que as componentes principais do desviador da tensão, da
deformação plástica e do endurecimento cinemático não são independentes, o que permite
introduzir simplificações adicionais nas equações. Usando-se as equações (3.6), e as
condições iniciais (3.12), verifica-se que
Si
=
Sj
εip
εjp
∀ (i, j = 1, 2, ou 3)
(3.21)
Como o traço do tensor desviador é nulo, segue que,
3
∑ Si
3
=
i =1
∑ εip
=0
(3.22)
i =1
Logo, uma simplificação adicional pode ser introduzida, levando-se em conta o fato dos
traços do tensor desviador da tensão, da deformação plástica e do tensor endurecimento
cinemático serem nulos.
S 3 = −(S1 + S2 ) ; ε3p = −(ε1p + ε2p )
(3.23)
As relações em (3.23) permitem representar as equações constitutivas (3.16)-(3.19)
usando apenas duas componentes principais de S e
εp , pois a terceira não é independente:
ε1p
=
3
S p
2J 1
(3.24)
ε2p
=
3
S p
2J 2
(3.25)
1
(3.26)
=0
p ≥ 0 ; F = [ 3(S12 + S1S 2 + S 2 ) ]2 − Y ≥ 0 ; pF
J
18
Representação Geométrica do Critério de Mises Generalizado
A representação do critério de Mises generalizado (J < Y ⇒
ε p = 0 ) usando-se a base
das direções principais do desviador da tensão permite fazer uma interessante interpretação
geométrica dos endurecimentos cinemático e isotrópico. Da definição da tensão equivalente
de Mises segue que a condição J < Y implica na seguinte relação
J =
⎡3
⎢⎣ 2 ( (S
2
) + (S 2 ) + (S 3 ) )⎤
2
1
2
2
2
⎥⎦
1
2
⇒
<Y
2
2
(S 1 ) + (S 2 ) + (S 3 ) < ( 3 Y )2
que define uma esfera de raio
(3.27)
2
Y centrada na origem na base das direções principais do
3
desviador, conforme a Figura 3.2. Tomando-se como condições iniciais os valores
(p(t = 0) = 0 ,
ε p (t
= 0) = 0 ), a evolução do domínio elástico será caracterizada por uma
expansão devida ao endurecimento isotrópico Y(t) de uma esfera de raio
2
σ (região
3 y
elástica inicial).
Figura 3.2: Representação do critério de Von-Mises generalizado na base das direções
principais do desviador
19
As relações (3.23) permitem representar o critério de Mises generalizado usando apenas
duas componentes principais de S , pois a terceira não é independente. Isto é conveniente
para estudos experimentais, pois o critério, mesmo para estados triaxiais de tensão, pode ser
representado num plano:
[ (S1 )2 + (S1 S2 ) + (S2 )2 ] <
Y2
3
(3.28)
A equação anterior é de uma elipse inclinada de 45 graus, centrada na origem conforme
mostra a figura 4. A evolução do domínio elástico é caracterizada, portanto, por uma
expansão desta elipse devida ao endurecimento isotrópico Y(t).
Figura 3.3: Representação plana do critério de Von-Mises generalizado.
3. 3
Comparação do duto aberto com o duto fechado
Uma boa forma de comparar a resistência de um duto aberto (tensões dadas em (3.2))
e um duto fechado nas extremidades (tensões dadas em (3.3)) operando além do regime
elástico é usar a curva tensão equivalente de Mises versus deformação plástica acumulada
( J x p ). Usando-se a seguinte notação, onde σ 0 e σ c são, respectivamente, as tensões
devida à pressão interna e a pressão de contato do reforço,
σo =
Pori
(re − ri )
σc =
P1re
(re − ri )
(3.29)
20
e a definição da tensão de Mises, é possível mostrar que:
- Num duto aberto sem reforço ( P1 = 0 , equação (3.2)):
J = σo =
σo 2
(3.30)
- Num duto aberto com reforço ( P1 ≠ 0 , equação (3.2))
J = σo − σc =
( σo − σc )2 =
σo 2 − 2σo σc + σc 2
(3.31)
- Num duto fechado sem reforço ( P1 = 0 , equação (3.2)):
J=
3
σ =
2 o
3 2
σ
4 o
(3.32)
- Num duto fechado com reforço ( P1 ≠ 0 , equação (3.2)).
J=
=
( σo − σc )2 − (
σo 2 σo σc
+
)=
4
2
σo 2 − 2σo σc + σc 2 − (
3σo 2 3σo σc
−
+ σc 2
4
2
σo 2 σo σc
+
)=
4
2
(3.33)
Para um carregamento crescente ( Po > 0 ) tem-se que:
J = Y = σy + v1 ⎡⎢⎣ 1 − exp(−v2 p ) ⎤⎥⎦
A figura 3.4 mostra o comportamento da curva J x p
(3.34)
21
Figura 3.4: Curva J x p
Logo, o duto irá plastificar quando a tensão equivalente de Von Mises for maior do
que a tensão de escoamento σy (J > σy ) e irá romper quando a tensão equivalente de Von
Mises for igual a σy + v1 (J = σy + v1 ) . A diferença de comportamento entre o duto aberto
e o fechado nas extremidades, reforçado ou não, se deve exatamente à diferença na definição
da tensão equivalente de Von Mises. A pressão interna Po necessária para plastificar (ou
romper) um duto fechado nas extremidades é maior do que a necessária para plastificar (ou
romper) um duto aberto nas extremidades.
3. 4
Determinação do deslocamento radial da parede do duto fechado
A determinação da expressão para o deslocamento radial da parede do duto fechado
nas extremidades, reforçado com material compósito, e submetido a deformações inelásticas,
será fundamental para desenvolver uma metodologia de dimensionamento de reforço num
duto.
De (3.17) segue que,
εθ = εθp +
=
Como
εθ =
εθp +
(1 + ν )
ν
σθ - (σθ + σz ) =
E
E
(2 - ν )
(1 + ν )
σo −
σc
2E
E
εθp +
σθ νσz
−
=
E
E
(3.35)
ur
, chega-se a:
ri
(3.36)
22
ur
⎡
(2 - ν )
(1 + ν ) ⎤
σc ⎥
= ri ⎢ εθp +
σo −
E
2E
⎣⎢
⎦⎥
No caso de um duto fechado nas extremidades e com reforço, diferente do caso de
dutos abertos nas extremidades, não é possível representar analiticamente a deformação
plástica circunferencial
εθp
como uma função da pressão interna e de contato.
Capítulo 4
Tubos Coaxiais sob Pressão Interna
Sejam dois dutos coaxiais constituídos por materiais diferentes. O cilindro interno,
fechado nas extremidades, tem paredes finas e é constituído por um material metálico que se
comporta de acordo com as equações constitutivas elasto-plásticas apresentadas no capítulo
anterior. O cilindro externo é constituído por um material compósito de matriz polimérica
com um comportamento elástico ortotrópico, sendo E r o módulo de Young na direção radial,
Eθ o módulo de Young na direção circunferencial e ν rθ o coeficiente de Poisson. O duto
interno possui raio interno ri e raio externo r0 . O duto externo possui raio interno r0 e raio
externo re . O sistema está submetido a uma pressão interna P0 .
Figura 4.1: Tubo e reforço submetidos à pressão interna.
24
Onde,
ri ≡ raio interno do duto
r0 ≡ raio externo do duto e raio interno do reforço
re ≡ raio externo do reforço
P0 ≡ pressão interna
Pc ≡ pressão de contato
Para a análise de tensões, neste caso, é necessário inicialmente calcular a pressão Pc
na interface de contato. Como ambas as superfícies devem ter o mesmo deslocamento radial:
[ ur (r = ro ) ]reforço = [ ur (r = ro ) ]duto
(4.1)
usando-se as equações (3.36) e (2.8), tem-se :
⎡
ri ⎢ εθp +
⎣
−B ( 1 − A ) A ro−K
(
(2 - ν )
σo −
2E
1
ν
+ rθ
Eθ
Er
)
(1 + ν )
E
⎤
⎦
σc ⎥ =
+ C ( 1 + A ) A roK
(
1
Eθ
−
νr θ
Er
com,
σo =
Po ri
σc =
ro − ri
σθ = σo − σc
σz =
(
− A )[ ro−
(
K +1 )
2
Er
−PC re
(1
ro − ri
σo
Eθ
A =
B =
Pc ro
re
(
A −1 )
K −1 )
− ro A−1 re−
(
)
(
A +1 )
]
)
(4.2)
25
−PC re−
(
C =
(1
− A )[ ro A−1 re−
(
)
(
K +1 )
A +1 )
− ro−
(
A +1 )
re
(
A −1 )
]
O caso do dimensionamento da espessura da luva para reforço estrutural será discutido
em detalhes no próximo capítulo.
Uma vez fixada a espessura do duto e do reforço ( ro , ri e re conhecidos), o material
do duto (E , ν, σy , v1, v2 conhecidos) e o material do reforço ( E r , Eθ e νrθ conhecidos),
determina-se qual deve ser a pressão de contato Pc resolvendo a equação (4.2). Com a
pressão de contato, determina-se a tensão no duto através das expressões anteriormente
definidas.
Capítulo 5
Dimensionamento de Reforços em Dutos
O sistema de reforço em dutos nada mais é que uma luva de material compósito
envolvendo o duto numa região com algum tipo de defeito.
O desempenho de um dado reforço num teste hidrostático pode ser acompanhado através
da curva pressão interna versus deformação plástica acumulada. No caso de um duto fechado
nas extremidades e reforçado com material compósito, o forte acoplamento entre as diferentes
variáveis requer que se use um algoritmo para a aproximação numérica das variáveis,
mostrado a seguir.
Apesar da elasto-plasticidade ser um comportamento independente de taxas, para
identificar a seqüência de eventos serão usadas as seguintes notações:
•
Dado um intervalo de tempo Δt , o instante tn será definido como tn = n.Δt
•
Dada uma função y qualquer, por simplicidade y(tn ) será notado (y )n
Logo,
tn = n.Δt
y(tn ) = (y )n
O seguinte algoritmo, baseado nos algoritmos propostos e testados em [10], é proposto
para analisar a evolução das tensões e deformações plásticas num duto fechado com reforço.
27
ALGORITMO
i) n = 0 , i = 1 . n é o passo no tempo e i indica o número de iterações num passo
ii) (εθp )n , (εzp )n , (p)n , (Pc )n , (Po )n +1 são conhecidos
iii) (σθ )n +1 =
(Po )n +1ri − (Pc )n re
(Po )n +1ri
; (σz )n +1 =
re − ri
2(re − ri )
σ
σ
iv) (J)n +1 = J ((σθ )n +1, (σz )n +1 ) < δ ? ( δ é uma tolerância, sugerindo-se y ≤ δ ≤ y )
50
100
SIM:
⇒i =1
⇒ (εθp )n +1 = (εθp )n ; (εzp )n +1 = (εzp )n
⇒ Calculo (Pc )n +1 resolvendo a seguinte equação algébrica:
[ ur (r = ro ) ]duto = [ ur (r = ro ) ]reforço
Ou seja, encontrando a raiz (Pc )n +1 da função ψ
ψ((Pc )n +1 ) =
⎡ (ε )n +1
⎢⎣
p
ri
θ
−K
−(B )n +1 1 − A A ro
(
)
(σo )n +1 =
(
1
Eθ
+
(2 - ν )
+
)
νr θ
Er
(σo )n +1
2E
(Po )n +1 ri
(C )n +1 =
)
−
(
(σ z )n +1 =
1 − A [ ro
(
)
Eθ
−
νrθ
Er
(σo )n + 1
2
Er
−(PC )n +1 re
A −1
K +1
− ro
A −1
1
Eθ
)
K −1
re
(
)
−(PC )n +1 re
(
(
ro − ri
(
1 − A [ ro
−
(Pc )n +1 ro
(σc )n +1 =
ro − ri
(σc )n +1 ⎤⎥
⎦
E
K
A =
(
(1 + ν )
+ (C )n +1 ( 1 + A ) A ro
(σ θ )n +1 = (σo )n +1 − (σc )n +1
(B )n +1 =
−
)
re
−
(
A +1
)
A −1
(
−
)
(
K +1
A +1
re
A −1
(
)
]
)
−
− ro
−
re
)
(
A +1
)
(
)
]
)=0
28
⇒ Com (Pc )n +1 calculo (σθ )n +1, (σz )n +1
⇒ n = n +1
⇒ Volte para (ii)
NÃO:
⇒ Se i > i max pare e imprima a mensagem: “O PROGRAMA NÃO CONVERGIU EM
i max ITERAÇÕES NO PASSO n”. Sugere-se i max = 10 . Se i ≤ i max , continue.
⇒ i = i +1
⇒ Calculo (p)n +1 encontrando a raiz da seguinte equação algébrica (pode ser obtida
analiticamente)
ξ(p)n +1 ) = J ((σθ )n +1, (σz )n +1 ) − ( σy + v1 ⎡⎢⎣ 1 − exp(−v2 (p)n +1 ) ⎤⎥⎦ ) = 0
⇒ Δp = pn +1 − pn
⇒ Δεθp =
3
(S ) Δp ;
2(J )n +1 θ n +1
(εθp )n +1 = (εθp )n + Δεθp
⇒ Δεzp =
3
(Sz )n +1 Δp ;
2(J )n +1
(εzp )n +1 = (εzp )n + Δεzp
⇒ Calculo (Pc )n +1 resolvendo a seguinte equação algébrica:
[ ur (r = ro ) ]duto = [ ur (r = ro ) ]reforço
Ou seja, encontrando a raiz (Pc )n +1 da função ψ
ψ((Pc )n +1 ) =
ri
−K
−(B )n +1 1 − A A ro
(
)
(σo )n +1 =
⎡ (ε )n +1
⎢⎣
p
θ
(
1
Eθ
+
νr θ
Er
(Po )n +1 ri
ro − ri
+
(2 - ν )
)
2E
(σo )n +1
−
(1 + ν )
K
+ (C )n +1 ( 1 + A ) A ro
(σc )n +1 =
(σθ )n +1 = (σo )n +1 − (σc )n +1
(σc )n +1 ⎤⎥
⎦
E
(
1
Eθ
−
(Pc )n +1 ro
ro − ri
(σ z )n +1 =
(σo )n + 1
2
νrθ
Er
−
)=0
29
Eθ
A =
Er
−(PC )n +1 re
(
(B )n +1 =
(
1 − A )[ ro
− K +1
(
)
re
(
K −1
)
A −1
− ro
(
−
−(PC )n +1 re
(
(C )n +1 =
1 − A )[ ro
(
(
A −1
)
− A +1
re
(
)
)
K +1
A −1
)
(
)
]
)
− A +1
− ro
− A +1
re
(
)
re
(
A −1
)
]
θp )n +1
⇒ (εθp )n = (ε
zp )n +1
⇒ (εzp )n = (ε
⇒ (p)n = (p)n +1
⇒ (Pc )n = (Pc )n +1
⇒ Vá para (ii)
Para o dimensionamento da espessura da luva para reforço estrutural é necessário
determinar qual a pressão de contato que este deve exercer no duto. Dada a máxima pressão
de operação (Po )max e algum critério de segurança, determina-se qual deve ser a pressão de
contato máxima (Pc )max para que este critério seja satisfeito. Para maiores detalhes sobre
diferentes critérios (fadiga, fissuração, corrosão) ver [6]. Supondo-se que qualquer critério a
ser adotado possa ser expresso da seguinte forma geral:
F( σθ , σz ) ≤ 0
Onde F é uma função escalar e positiva da componente radial da tensão no duto, é
possível desenvolver um procedimento geral, independente do critério adotado, para a
determinação da pressão de contato e da espessura do reforço. Fixadas a geometria e a pressão
de operação e usando-se as equações (3.3) referente a teoria de paredes finas, verifica-se que a
componentes σθ , σz podem ser expressas como função da pressão de contato Pc ,
30
σθ =
Poro − Pcr1
r1 − ro
σz =
Poro
2(r1 − ro )
De uma forma geral é possível expressar o critério da seguinte maneira,
F ( Pc ) = F ( σθ ( Pc ), σz )
A pressão de contato máxima é uma raiz da equação anterior ( F ( (Pc )max ) = 0) a qual
pode ser obtida analíticamente, ou numericamente através de técnicas bastante simples
(Newton, bisseção e outras). Um critério de parada alternativo para o algoritmo acima pode
ser quando (Pc )n > (Pc )max .
Capítulo 6
Dimensionamento e Montagem de um Laboratório
visando o desenvolvimento de Procedimentos para
utilização de Adesivos como Reparo em Dutos e na
Colagem de Estruturas Metálicas
Este trabalho faz parte de um programa desenvolvido em cooperação entre a
Petrobras, o Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada – LMTA, da Universidade Federal
Fluminense – UFF e o Laboratório de Adesão e Aderência – LAA, da Universidade do Estado
do Rio de Janeiro – UERJ. Este programa visa o desenvolvimento de procedimentos de
qualificação e aplicação de adesivos comerciais usados tanto em reparo de dutos como na
colagem de estruturas metálicas em geral. Dois projetos estão sendo desenvolvidos em
paralelo. Um que trata do desenvolvimento de procedimentos para a aplicação dos adesivos
comerciais usados em reparos de dutos e em colagem de estruturas metálicas e outro,
intitulado, “Qualificação de Adesivos Utilizados em Reparo de Dutos e na Colagem de
Estruturas Metálicas”, que trata de procedimentos para qualificação dos produtos comerciais
disponíveis. Um outro projeto, que ainda esta em fase de desenvolvimento, trata da validação
de um protótipo (dispositivo mecânico) e de um processo para reparo de danos transpassantes
em dutos.
32
6. 1
Objetivo geral
Para a validação da metodologia proposta nos capítulos anteriores, está sendo montado
na UFF o Laboratório para Ensaios em Dutos. Este laboratório está sendo parcialmente
patrocinado pela PETROBRAS dentro de um projeto que visa desenvolver normas de
utilização de adesivos como reparo em dutos e como substituição de solda em estruturas
metálicas. Como proposta inicial, este laboratório se propõe a analisar a capacidade de
adesão, aderência, degradação e estanqueidade dos adesivos e a necessidade do uso de reforço
estrutural com materiais compósitos em dutos com dano de aço API 5l grau B com diâmetro
de 2” e 12”, sujeitos a pressão de 10 Kg/cm2 tendo como fluído água salgada com presença
de óleo a uma temperatura de 90°C.
6. 2
Objetivos específicos
Dentro do largo espectro de possibilidades de estudos, inicialmente este laboratório se
propõe a realizar:
1) Testes de estanqueidade em dutos reparados com adesivos, conforme
procedimentos de aplicação do fabricante dos adesivos.
2) Avaliação da necessidade do uso de materiais compósitos como reforço estrutural
em dutos com dano.
3) Testes hidrostáticos em dutos reparados com adesivos e com materiais compósitos.
4) Desenvolvimento de procedimentos para utilização em campo de reparos com
adesivos e com materiais compósitos em dutos com dano.
6. 3
Planejamento dos experimentos e planejamento logístico
6. 3. 1
Definição dos corpos de prova
Os tubos para a realização dos ensaios serão de aço API 5l grau B, com uma
composição química aproximada especificada a seguir.
33
Cmáx
Mnmáx
Pmáx
Smáx
0,27
1,15
0,030
0,030
Tabela 6.1: Composição química do aço API 5l grau B (%)
Os testes serão de estanqueidade em dutos reparados com adesivos, conforme
procedimentos de aplicação do fabricante dos adesivos.
Dimensão
Tubo 1
Tubo 2
Diâmetro Nominal (pol.)
2”
12”
Diâmetro Externo (pol.)
2,375
12,75
Schedule (sch)
80
30
Espessura (mm)
5,54
8,38
Comprimento (mm)
1300
1300
Tabela 6.2: Dimensão dos corpos de prova
Os testes serão realizados a partir das seguintes variáveis:
Temperatura de ensaio: 90-100°C
Composição da solução: água salgada +óleo
Pressão máxima de ensaio: 30 kg/cm2
O tubo de 2” deverá ser roscado internamente com rosca de passo normal, numa das
extremidades. Na outra extremidade deverá ser soldada uma flange de ∅ 3” e espessura de
1/2”, conforme a figura 6.1.
No tubo de 12” deverão ser soldadas flanges de ∅ 15”, com espessura de 1”, conforme
a figura 5.2. Numa das flanges deverá ser feito um furo passante roscado de ∅ 2” conforme a
figura 6.2.
Inicialmente está prevista a preparação de 20 CP´s.
34
Figura 6.1: Duto de 2”
Figura 6.2: Duto de 12”
6. 3. 2
Definição dos defeitos a serem considerados
Para a análise do sistema de reforço, serão considerados defeitos circulares
transpassantes. Para a definição de tamanho de defeito “padrão”, será feita uma coleta de
informações com o pessoal de campo.
A princípio, serão considerados furos com raio igual à espessura dos dutos.
35
Dimensão
Tubo 1
Tubo 2
Diâmetro Nominal (pol.)
2”
12”
Diâmetro Externo (pol.)
2,375
12,75
Schedule (sch)
80
30
Espessura (mm)
5,54
8,38
Comprimento (mm)
1300
1300
Diâmetro do defeito (mm)
11,08
16,76
Tabela 6.3: Dimensão dos defeitos nos corpos de prova
Também foi sugerido o uso de uma redução de área na região vizinha ao furo,
simulando perda de material por corrosão.
Figura 6.3: Defeito simulando redução de área devida à corrosão
36
6. 3. 3
Definição dos tipos de carregamentos
A princípio, os dutos com diferentes técnicas de reparo serão ensaiados à pressão
crescente até uma eventual falha, com o fluido a 90o C e a temperatura ambiente. O fluido
será uma mistura de água salgada (ASTM D1141 – 98 Standard Practice for the Preparation
of Substitute Ocean Water) e óleo, numa fração a ser definida à partir da coleta de
informações com o pessoal de campo. Será feita uma comparação preliminar entre a
resistência dos reforços com o fluido a temperatura ambiente e com o fluido a 90o.
Caso não haja ruptura brutal do reforço com pressão abaixo de 30 Kg/cm2, serão
realizados ensaios com pressão constante de 30 Kg/cm2 com o fluido a 90o C e a temperatura
ambiente. Neste caso, o duto ficará carregado por um período determinado, também a ser
definido.
Caso os reforços resistam também a este ensaio, serão feitos sucessivos
carregamentos cíclicos (carga até 30 Kg/cm2 e tempo de espera com pressão constante) para
verificar a possibilidade de ruptura por fadiga.
6. 3. 4
Descrição do sistema de aquecimento projetado
O sistema de pressão e aquecimento do fluído contido nos dutos para a execução dos
ensaios foi desenvolvido de forma a comportar os mecanismos num só componente. A figura
6.4 mostra o desenho de projeto desse dispositivo.
Figura 6.4: Desenho de projeto de parafuso
37
A figura 6.5 mostra o parafuso com a resistência, já fabricados, a entrada para o
termostato de controle e a entrada de fluido no duto.
Figura 6.5: Resistência de controle da temperatura e entrada de água
Figura 6.6: Sistema ajustado aos dutos de 2” e 12”
38
6. 3. 5
Adesivos e acabamentos superficiais a serem considerados
Em reunião com representante do CENPES, foi definido que serão realizados ensaios
com dois tipos de adesivos, escolhidos entre os que estão sendo testados no Laboratório de
Adesão e Aderência; e aplicados em dutos de superfícies limpas e sujas.
PRODUTO
FORNECEDOR
SUPERFÍCIE LIMPA
MAC SEAL
ARC-858
MULTIMETAL
BELZONA
MM METAL SS AÇO
CERÂMICO
1111
SUPERFÍCIE
CONTAMINADA
ARC-5ES
MM METAL UW
1221
Tabela 6.4: Adesivos que estão sendo testados no LAA-UERJ
Para cada adesivo serão considerados dois tipos de tratamentos superficiais: o do
Fabricante (FAB) e o que está sendo desenvolvido no LAA/UERJ.
Tabela 6.5: Preparação das superfícies conforme os fabricantes
39
6. 3. 6
Projeto e montagem do laboratório de ensaios em dutos
(LED/LMTA)
O laboratório de ensaios em dutos, LED/LMTA, já montado, fica no bloco D, sala C10
do campus da Praia Vermelha da UFF, situado na Rua Passo da Pátria 156, Niterói. Ele tem
cerca de 30 m2 com uma área para trabalho e uma área para ensaios com bancada e local para
testes protegido por paredes para ensaios até a ruptura.
Figura 6.7: Planta do laboratório
Todas as obras civis (bancadas, paredes de proteção, etc.) e de adequação da rede
elétrica e hidráulica já foram realizadas. Além dessa área, o LED/LMTA conta com um
depósito anexo, com cerca de 10 m2, para guardar os CP´s fabricados.
Toda a instalação foi planejada para facilitar a operação da unidade especial de testes,
descrita a seguir.
40
6. 3. 7
Unidade especial para ensaios em sistemas de tubulações.
O sistema para ensaios de pressão será uma unidade móvel para ensaios de sistemas de
tubulações Marca Flutrol Modelo FLUASF100-MS7, pressão máxima 15000 psi (1034 bar) e
sistema de controle capaz de impor histórias complexas de pressão (também é possível impor
histórias complexas de temperatura através do dispositivo para aquecimento de fluido
desenvolvido) com as características descritas na tabela 6.6.
Este sistema trabalha com bombas hidropneumáticas, i.e., bombas para líquidos
acionadas a ar comprimido. Tais bombas trabalham pelo princípio de diferenças de áreas. Um
pistão pneumático com grande área e baixa pressão é acoplado diretamente a um pistão com
área menor no setor de compressão de fluído, gerando uma grande pressão de líquido. A
diferença entre estas áreas é chamada de "relação" e na prática este número é o fator de
multiplicação que designa a maioria dos modelos no mercado.
Figura 6.8: Equipamento de ensaio de pressão
41
Item
Qt.
Descrição/Código
01
01 Unidade móvel para ensaios de sistemas de tubulações Marca
Flutrol Modelo FLUASF100-MS7, pressão máxima 15000psi
(1034 bar). Conforme descritivo abaixo:
1-Bomba Hidropneumatica Haskel mod.FLUASF-100, pressão
máxima 15000psi , vazão máxima 2 L/min ; 1pç
2- Bomba Hidropneumatica Haskel mod.FLUMS-7, pressão
máxima 900psi , vazão máxima 8 L/min ; 1pç
3- Conjuntos regulador, filtros e válvula de bloqueio para ar
comprimido para funcionamento das bombas pneumáticas e
solenóide para cortar a bomba na pressão; 2pçs
4- Manômetros de pressão para painel 4” – escala 0-1000psi; 3pçs
5- Manômetro de pressão para painel 4” – escala 0-15000psi -1pç
6- válvulas de bloqueio de saída para as linhas de baixa e alta
pressão; 4pçs
7- Transdutor de pressão 0-1000psi – 3pçs
8-Transdutor de pressão 0-15000psi -1pç
9- Indicador digital – 4pçs
10- Válvula de dreno de pressão -2pçs
11- Reservatório de 50 litros para alimentação das bombas em aço
inox com filtros de sucção para as bombas e válvulas 3 vias para
alimentação externa;
10- tubos em aço inox 316, conexões em aço inox 316, para
interligação da instrumentação.
11-Skid em aço carrbono com pintura em epóxi para montagem do
conjunto nas dimensões de 1,10(H) x 0,57(L) x 1,10(C)m ref.
GB0008
Obs: 3 Saídas de Baixa pressão- 0-1000psi
1 Saída de Alta pressão - 0-15000psi
02
01 Automatização do painel para teste de fadiga (ciclos de pressão)
para a linha da bomba FLUASF-100 :
- 01 Tescom para 15.000 psi com cabeçote eletrônico;
- 02 transmissores de pressão sendo 01 para a entrada da válvula
(cetificar que existe pressão a montante maior que a jusante para
evitar trancos na válvula já que não temos acumulador)
- 01 CLP mais programação para execução do teste;
- 01 válvula DHP4F-ATO5 para dreno da linha em caso de
emergência;
- 01 válvula solenóide de 3 vias para acionamento da válvula
atuada;
- 01 indicador digital com retransmissão de sinal para instalar junto
com o transmissor colocado a montante da reguladora.
Tabela 6.6: Descrição do sistema de ensaio de pressão
42
6. 3. 8
Compressor
Equipamento fundamental para o laboratório, o compressor de ar é o componente
básico de qualquer sistema pneumático. O ar é comprimido em um sistema pneumático, de
forma que possa ser usado para puxar, empurrar realizar trabalho ou desenvolver potência.
Quando o ar atmosférico entra no compressor, é comprimido pela máquina a uma pressão
maior, e descarregado então em um sistema de dutos. O ar comprimido pode ser usado para
impulsionar motores a ar, martelos pneumáticos, e outros dispositivos de ar.
Para tanto, foi adquirido um compressor da marca Schulz com as seguintes
características descritas na tabela 6.7.
Figura 6.9: Compressor utilizado no sistema de ensaio
43
Modelo
CSL 40 BR / 250L
Larg. x Alt. x Comp.
570 x 1160 x 1660 mm
Deslocamento Teórico
40 pés³/min - 1132 l/min
RPM
1240
Pressão de Operação
Motor
Unidade Compressora
Mínima
135 lbf/pol² - 9,3 bar
Máxima
175 lbf/pol² - 12 bar
Potência
10 hp - 7,5 kW
Nº de Pólos
2
Nº de Estágios
2
Nº de Pistões
2 em V
Volume do Reservatório 353 L
Volume de Óleo
880 ml
Peso Líquido com motor 292 Kg
Peso Bruto com motor
340 Kg
Tabela 6.7: Descrição do compressor
Capítulo 7
Conclusão
Este trabalho dá seqüência a uma linha de pesquisa iniciada já há alguns anos no
Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada (LMTA) da UFF. Apesar de já haver uma teoria
simplificada bastante consistente proposta para dimensionamento de reforços e de reparos e
dutos por compósitos de matriz polimérica, ainda é necessário um programa de validação
experimental da metodologia de cálculo proposta.
Uma parceria foi estabelecida entre o LMTA-UFF, o laboratório de adesão e aderência
(LAA) da UERJ e a PETROBRAS para o desenvolvimento de procedimentos para utilização
de adesivos como reparo em dutos e na colagem de estruturas metálicas e a qualificação de
adesivos utilizados em reparo de dutos e na colagem de estruturas metálicas. Como um dos
resultados, foi montado, com apoio da PETROBRAS, um laboratório para ensaios em dutos
na UFF. O projeto, concepção e montagem desse laboratório foi parte do presente trabalho.
O objetivo, no médio prazo, é fazer os ensaios necessários para validar os
procedimentos que vêm sendo propostos por esses grupos de pesquisa. Um passo importante
para isso, também apresentado nesta dissertação, foi adaptar os procedimentos de cálculo
propostos para dutos longos para dutos curtos fechados nas extremidades.
Com o laboratório operante e a metodologia adequada, será possível fazer um
programa adequado de validação experimental que será o objeto do prosseguimento desse
trabalho no curso de doutorado no Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da
UFF.
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Apêndices
Apêndice A - Tubo Elástico Anisotrópico de Parede
Grossa sob Pressão Interna e Externa
A. 1 Definições preliminares
Seja um tubo cilíndrico elástico de raio interno ri e raio externo re submetido,
respectivamente, a uma pressão interna P0 e a uma pressão externa P1.
Figura A.1: Tubo submetido à pressão interna e externa.
As equações que modelam o problema, expressas em coordenadas cilíndricas, são:
47
Balanço de Momento Linear
Supondo um estado plano de tensão e desprezando-se o peso próprio, as equações de
balanço de momentum linear, para um corpo em equilíbrio, podem ser expressas da seguinte
forma:
σr − σθ
∂σr
1 ∂σr θ
=0
+
+
∂r
r ∂θ
r
(A.1)
∂σ
2σ
1 ∂σ θ
+ rθ + rθ = 0
∂r
r ∂θ
r
(A.2)
Equações Constitutivas
Supondo um comportamento elástico linear ortotrópico, as relações entre o tensor
tensão e o tensor deformação podem ser expressas da seguinte forma:
εr =
ν
1
σr − r θ σθ
Er
Er
εθ = −
νr θ
σr +
Er
εr θ =
1
σ
Eθ θ
1
σ
2Gr θ r θ
(A.3)
(A.4)
(A.5)
Relações Geométricas
Definindo o vetor deslocamento em coordenadas cilíndricas, tem-se:
εθ =
ur
1 ∂u θ
+
r
r ∂θ
εr =
εr θ =
∂ur
∂r
u ⎞
∂u
1 ⎜⎛ 1 ∂ur
+ θ − θ ⎟⎟⎟
⎜
r ⎠
2 ⎜⎝ r ∂θ
∂r
(A.6)
(A.7)
(A.8)
48
Para modelar adequadamente o problema, além das equações (A.1) a (A.8), é
necessário fornecer as seguintes condições de contorno:
σr
r = ri
= −P0
(A.9)
σr
r = re
= −P1
(A.10)
As equações de (A.1) a (A.10) modelam o problema ortotrópico. A técnica usada para
a solução analítica é o Método dos Deslocamentos.
A. 2 Solução do Problema Através do Método da Função Tensão de Airy
Na solução através deste método, introduz-se uma função diferenciável de r e θ notada
φ e denoinada de função de Airy. Supõe-se que φ(r, θ) é tal que:
1 ∂φ
1 ∂2φ
σr =
+ 2 2
r ∂r
r ∂θ
∂2φ
σθ =
∂r 2
σr θ = −
∂ ⎛ 1 ∂φ ⎞⎟
⎜
∂r ⎜⎝ r ∂θ ⎠⎟
(A.11)
(A.12)
(A.13)
Verifica-se facilmente que, se (A.11) a (A.13) forem válidas então as equações (A.1) e
(A.2) serão automaticamente satisfeitas.
Supondo um problema com simetria axial de tensões ( φ(r , θ ) = ϕ(r ) ) , as equações
(A.11), (A.12) e (A.13) se reduzem a :
σr =
1 dϕ
r dr
(A.14)
49
d 2ϕ
σθ = 2
dr
(A.15)
σrθ = 0
(A.16)
Introduzindo (A.14) a (A.16) nas equações constitutivas (A.3) a (A.5), obtém-se:
1 1 d ϕ νr θ d 2ϕ
εr =
−
Er r dr
Er dr 2
(A.17)
νr θ 1 d ϕ
1 d 2ϕ
εθ = −
+
Er r dr
Eθ dr 2
(A.18)
εrθ = 0
(A.19)
A escolha de uma função ϕ(r ) que satisfaça as condições de contorno (A.9) e (A.10)
não assegura a solução do problema pois nada garante que exista um campo de deslocamentos
ur , uθ que satisfaça as relações geométricas (A.6) a (A.8).
Supondo que, para um problema com simetria axial como este, uθ = 0 , as relações
geométricas se reduzem a:
εθ =
εr =
ur
r
(A.20)
∂ur
∂r
(A.21)
Obtido εθ a partir da equação (A.18), determina-se ur pela expressão (A.20). Para
que φ seja uma escolha adequada, é necessário que a expressão para εr obtida a partir de
(A.17) satisfaça (A.21), ou seja,
∂εθ
1
= ( εr − εθ )
∂r
r
(A.22)
50
onde (A.22) é a equação de compatibilidade do problema.
Introduzindo (A.17) e (A.18) em (A.22), obtém-se:
1
Eθ
⎡ d 3ϕ 1 d 2ϕ ⎤
1 1 dϕ
⎢ 3 +
⎥
−
=0
⎢⎣ dr
r dr 2 ⎥⎦ Er r 2 dr
(A.23)
Ou seja, a função φ que corresponde à solução do problema (A.1) a (A.10) deve ser
uma solução da equação diferencial ordinária (A.23).
Para resolver esta equação é interessante introduzir a seguinte mudança de
variáveis: r = et . Examinando inicialmente o termo
dϕ
:
dr
dϕ
d ϕ dt
dϕ t
=
=
e
dr
dt dr
dt
(A.24)
e, continuando,
( )
(
)
⎛ 2
d 2ϕ
d dϕ
d dϕ t
dϕ ⎞⎟
t ⎜d ϕ
=
=
e
=
e
−
⎟
⎜⎜ 2
dr dr
dt dt
dt ⎠⎟
⎝ dt
dr 2
d 3ϕ
d ⎛⎜ d 2ϕ ⎞⎟
d ⎡⎛⎜ d 2ϕ dϕ ⎞⎟ t ⎤
= ⎜ 2 ⎟⎟ = ⎢ ⎜ 2 −
⎟⎟e ⎥
3
⎜
⎜
⎢
dr
dt
dt
⎝ dr ⎠
⎠ ⎥⎦
dr
⎣ ⎝ dt
⎛ 3
d 2ϕ
dϕ ⎞
−3t ⎜ d ϕ
= e ⎜ 3 − 3 2 + 2 ⎟⎟⎟
⎜⎝ dt
dt ⎠
dt
(A.25)
(A.26)
Substituindo-se as equações (A.24), (A.25) e (A.26) na equação de compatibilidade
(A.23), obtém-se uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes que
pode ser resolvida analiticamente.
1
Eθ
⎡ d 3ϕ
d 2ϕ d ϕ ⎤
1 dϕ
⎢ 3 −2 2 +
⎥−
=0
⎢⎣ dt
dt ⎥⎦ Er dt
dt
(A.27)
51
Para o caso em que E r = E θ (material isotrópico) a solução geral da equação (A.27) é
obtida usando-se ϕ = emt e substituindo-se em (A.27) para obter a equação auxiliar m3 –
2m2 = 0 que tem como raízes m = 0, 0, 2. Logo,
ϕ = A + B ln r + Cr 2
(A.28)
As tensões correspondentes a esta função de Airy são:
σr =
1 dϕ
B
= 2 + 2C
r dr
r
d 2ϕ
B
σθ = 2 = − 2 + 2C
dr
r
(A.29)
(A.30)
Substituindo (A.29) nas condições de contorno (A.9) e (A.10), chega-se a:
B =
ri2re2 ( P1 − P0 )
re2 − ri2
P0ri2 − P1re2
2C =
re2 − ri2
(A.31)
(A.32)
O deslocamento ur associado é obtido através das equações (A.4) (para um material
isotrópico) e (A.20).
ur =
1 ⎡ (1 + ν ) B
⎤
+ 2 C r (1 − ν )⎥
⎢−
E⎣
r
⎦
(A.33)
A solução da equação (A.27) para o caso anisotrópico é obtida de forma análoga ao
caso isotrópico. Neste caso a equação auxiliar:
⎛E
⎞
Er 3
E
m − 2 r m 2 + ⎜⎜ r − 1 ⎟⎟⎟ m = 0
⎜⎝ E θ
Eθ
Eθ
⎠
⎛
tem as raízes m = 0 , ⎜⎜⎜ 1 +
⎝
Eθ
Er
⎞⎟ ⎛⎜
⎟ , ⎜1 −
⎠⎟ ⎜⎝
Eθ
Er
⎞⎟
⎟
⎟⎠
52
Logo,
ϕ = A+B
⎛
E ⎞
⎜⎜⎜ 1− θ ⎟⎟⎟
r ⎝ Er ⎠⎟
+C
⎛
Eθ ⎞⎟
⎟
⎜⎜⎜ 1+
Er ⎠⎟⎟
r⎝
(A.34)
As tensões correspondentes a esta função de Airy são:
1 dϕ
1 ⎡⎢ ⎛⎜
Eθ ⎞⎟ −
= ⎢ B ⎜1 −
σr =
⎟r
r dr
r ⎢ ⎜⎝
Er ⎠⎟
⎣
⎛
σr = B ⎜⎜ 1 −
⎜⎝
Eθ
Er
⎛ Eθ
⎞
+1 ⎟⎟⎟
Er
⎠⎟
⎞⎟ −⎜⎜⎜
⎝
⎟⎟ r
⎠⎟
Eθ
Er
⎛
+ C ⎜⎜ 1 +
⎝⎜
⎛
+ C ⎜⎜ 1 +
⎝⎜
Eθ
Er
Eθ
Er
⎞⎟
⎟r
⎠⎟
Eθ
ER
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎛ Eθ
⎞
−1 ⎟⎟⎟
Er
⎠⎟
⎞⎟ ⎜⎜⎜
⎟⎟ r ⎝
⎠⎟
(A.35)
d 2ϕ
σθ = 2
dr
⎛ Eθ ⎟⎞
+1⎟⎟
⎟⎠
Er
⎛
Eθ ⎞⎟ Eθ −⎜⎜⎜
⎜
⎟
σθ = −B ⎜1 −
r ⎝
⎜⎝
Er ⎠⎟⎟ Er
(A.36)
⎛ Eθ ⎞⎟
−1⎟
Er ⎠⎟⎟
⎛
Eθ ⎞⎟ Eθ ⎜⎜⎜
⎜
⎟
r⎝
+ C ⎜1 +
⎜⎝
Er ⎠⎟⎟ Er
(A.37)
Substituindo (A.29) nas condições de contorno (A.9) e (A.10) chega-se a:
⎛⎜ E θ
⎞
⎛⎜ E θ
⎞
−1 ⎟⎟⎟
−1 ⎟⎟⎟
⎜
⎜
⎟⎠
⎜⎝ Er
⎜⎝ Er
⎠⎟
ri
− P0 re
⎞ ⎛ Eθ
⎞
⎛⎜ E θ
⎞
⎛ Eθ
⎞⎤
Eθ
+1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜
−1 ⎟⎟⎟
−1 ⎟⎟⎟ −⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟ ⎥
⎜
⎟⎠
⎟⎠
⎟⎠ ⎝⎜ Er
⎜⎝ Er
⎜⎝ Er
Er
⎠⎟
⎥
− ri
re
re
⎥
(A.38)
⎛ Eθ
⎞
⎛ Eθ
⎞
−⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟
−⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟
⎝ Er
⎠⎟
⎝ Er
⎠⎟
ri
− P0 re
⎞
⎛ Eθ
⎞
⎛ Eθ
⎞ ⎛ Eθ
⎞⎤
Eθ
−1 ⎟⎟⎟ −⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟
−⎜⎜⎜
+1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
−1 ⎟⎟⎟ ⎥
⎟
⎟
⎟
Er
E
E
E
⎠⎟
re ⎝ r ⎠ − ri ⎝ r ⎠ re⎝ r ⎠ ⎥
(A.39)
P1
B =
⎛
⎜⎜ 1 −
⎜⎝
⎡ ⎛⎜
E θ ⎞⎟ ⎢ −⎜⎜⎝
⎟ ⎢r
Er ⎠⎟⎟ ⎢ i
⎢⎣
P1
C =
⎛
⎜⎜ 1 −
⎜⎝
⎡ ⎛⎜
E θ ⎞⎟ ⎢ ⎜⎜⎝
⎟ ⎢r
Er ⎠⎟⎟ ⎢ i
⎢⎣
⎥⎦
⎥
⎥⎦
53
⎛
ur = −B ⎜⎜ 1 −
⎜⎝
⎛
+C ⎜⎜⎜ 1 +
⎝
Eθ
Er
Eθ
Er
⎞⎟ E θ −
⎟⎟
r
⎠⎟ Er
⎞⎟ E θ
⎟⎟
r
⎠⎟ Er
Eθ
Er
Eθ
Er
⎛ 1
ν ⎞
⎜⎜
+ r θ ⎟⎟ +
⎜⎝ E θ
Er ⎠⎟
⎛ 1
ν ⎞
⎜⎜
− r θ ⎟⎟
⎜⎝ Eθ
Er ⎠⎟
(A.40)
Apêndice B - Tubo Elasto-Plástico com Parede Fina
sob Pressão Interna e Externa
B. 1 Elasto-Plasticidade - Equações Constitutivas Gerais
Para a extensão da metodologia proposta em [1]-[2], é fundamental considerar o
comportamento elasto-plástico do duto isotrópico num estado multiaxial de tensões. O
comportamento multiaxial de um material elasto-plástico, considerando-se que o
endurecimento é exclusivamente isotrópico (hipótese adequada para o caso de vasos de
pressão com paredes finas submetidos a carregamentos monótonos), pode ser descrito através
das seguintes equações gerais.
Relação tensão-deformação:
σ=
νE
E
(ε - ε p )
Tr (ε - ε p )1 +
(1 + ν )(1 - 2ν )
(1 + ν )
ou, inversamente,
(ε - ε p ) =
ν
(1 + ν )
σ - Tr (σ)1
E
E
Onde σ é o tensor tensão, ε é o tensor deformação e
εp
(B .1)
é o tensor deformação plástica e 1 é
o tensor identidade. Usa-se o símbolo Tr(•) para o traço de um tensor (•) . E é o módulo de
Young e ν o coeficiente de Poisson. Para a caracterização completa do comportamento
elasto-plástico, são necessárias ainda as seguintes leis de evolução:
Leis de evolução:
3
( S − X ) p
2J
(B .2)
2 p
X = a ε − bX p
3
(B .3)
=0
p ≥ 0 ; F = J − Y ≥ 0 ; pF
(B .4)
ε p =
55
com
J =
3
(S − X ) ⋅ (S − X ) =
2
Y
3
3
(B .5)
∑ ∑ (S ij - X ij)2
i =1 j =1
(B .6.1)
= σy + v1 ⎡⎣⎢ 1 − exp(−v2 p) ⎤⎦⎥
ou
(B .6.2)
Y = σy + K p N
Onde
•
σy , v1 , v2 , a , b , K
e N
são constantes positivas que caracterizam o
comportamento plástico do material e que podem ser obtidas a partir de ensaios
uniaxiais [4], [10].
•
S é o desviador da tensão, dado por
()
1
⎡
⎤
S = ⎢σ −
Tr (σ)1 ⎥
3
⎣
⎦
•
(B .7)
A variável X é chamada de endurecimento cinemático e modela a anisotropia
induzida pela plastificação.
•
A variável Y é chamada de endurecimento isotrópico e modela como o limite de
escoamento varia com a plastificação.
•
F é
usualmente chamada de função de plastificação e a variável J de tensão
equivalente de Von Mises. A lei de evolução (B.3) caracteriza as chamadas equações
= 0 em (B.4),
de complementaridade. Se F < 0 tem-se que J < Y e da relação pF
segue que p = 0 . Portanto, usando-se (B.2) conclui-se que
ε p = 0 (não há
p
escoamento e o material se comporta elasticamente). Só há escoamento ( ε ≠ 0 )
quando F = 0. O critério F < 0 é chamado de critério de Von Mises generalizado. Se
Y = σy então a condição J < Y nada mais é do que o critério de Von Mises
Clássico que estabelece que não haverá escoamento se:
⎡3
⎤1/ 2
J = ⎢ (S ⋅ S ) ⎥
< σy
⎣2
⎦
56
Maiores detalhes sobre a interpretação do critério de Mises generalizado serão dados
na próxima seção.
•
A variável p é usualmente chamada de multiplicador plástico variável e p é
usualmente chamada de deformação plástica acumulada. À partir da equação (B.2) é
possível verificar que,
p =
2 p p
ε ⋅ ε
3
(B .8)
e, portanto,
t
p(t ) = p(t = 0) +
∫
t =0
•
⎛ 2 p
⎞⎟
p
⎜⎜
ε
ζ
ε
ζ
(
)
(
)
⋅
⎟d ζ
⎜⎝ 3
⎠⎟
(B .9)
Geralmente, toma-se como condição inicial o material virgem,
p(t = 0) = 0 ,
εp (t = 0) = X (t = 0) = 0
(B .10)
Daqui para diante, em todas as deduções, considera-se sempre este conjunto de condições
iniciais.
B. 2 Equações Constitutivas no Espaço das Direções Principais
Para entender melhor as equações constitutivas elasto-plásticas apresentadas e,
também, para poder simplificar o modelo no caso de dutos de paredes finas sob pressão, é
interessante a representação das equações constitutivas (B.1)-(B.4) na base das direções
principais do tensor tensão.
É possível verificar que, num dado ponto, o tensor tensão e o seu desviador têm as
σ σ σ
mesmas direções principais (autovetores). Sejam ( 1 , 2 , 3 ) as componentes principais
(autovalores) do tensor tensão e (S1, S2, S3) as componentes principais do tensor desviador
da tensão. Estes tensores são representados na base das direções principais da seguinte forma:
57
⎡S
⎤
0 ⎤⎥
⎢ 1 0 0⎥
1
⎢
⎥
⎥
0 ⎥ ; S = ⎢ 0 S 2 0 ⎥ ; Si = σi − tr (σ)
3
⎢
⎥
⎥
⎢⎢ 0 0 S 3 ⎥⎥
σ3 ⎥⎥
⎦
⎣
⎦
⎡σ
⎢ 1 0
⎢
σ = ⎢ 0 σ2
⎢
⎢⎢ 0 0
⎣
(B .11)
É possível verificar também que, se as leis de evolução (B.2) e (B.3) forem válidas e a
condição inicial (B.10) verificada, então o tensor deformação plástica ε p e o tensor
endurecimento cinemático X terão as mesmas direções principais do que o tensor S (e que o
tensor tensão σ ). Sejam, então, ( ε1p , ε2p , ε3p ) as componentes principais do tensor deformação
plástica e (X1, X2, X3) as componentes principais do tensor X . Na base das direções
principais, estes tensores são expressos da seguinte maneira:
εp
⎡ εp
⎢ 1
⎢
=⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣⎢
⎡X
0 ⎤⎥
⎢ 1 0
⎥
⎢
0 ⎥ ; X = ⎢ 0 X2
⎥
⎢
⎢⎢ 0
0
ε3p ⎥⎦⎥
⎣
0
ε2p
0
0 ⎤⎥
⎥
0 ⎥
⎥
X 3 ⎥⎥
⎦
(B .12)
Logo, as equações constitutivas (1)-(4) podem ser expressas da seguinte forma:
3
σi =
νE
(εj
(1 + ν )(1 - 2ν ) ∑
j =1
- εjp ) +
E
(ε
(1 + ν ) i
- εip ) ;
i = 1, 2 ou 3
(B .13.1)
ou
(εi - εip ) =
(1 + ν )
ν
σi E
E
e
εip
=
3
∑ (σ j ) ;
i=1,2 ou 3
(B .13.2)
j =1
3
S p ; i = 1, 2 ou 3
2J i
(B .14)
X i = a εip - b X i p ; i = 1, 2 ou 3
(B .15)
1
2
2
2
3
=0
p ≥ 0 ; F = ⎡⎢ (S 1 − X 1 ) + (S 2 − X 2 ) + (S 3 − X 3 ) ⎤⎥ 2 ≥ Y ; pF
⎣
2
⎦
(B .16)
J
A equação (8) também pode ser representada nesta base
p =
2 p 2
[ (ε ) + (ε2p )2 + (ε3p )2 ]
3 1
(B .17)
58
É importante observar que as componentes principais do desviador da tensão, da
deformação plástica e do endurecimento cinemático não são independentes, o que permite
introduzir simplificações adicionais nas equações. Usando-se as equações (B.2), (B.3), as
condições iniciais (B.10), verifica-se que,
εip
εjp
Si
=
Sj
=
Xi
Xj
∀ (i,j = 1,2,ou3)
(B .18)
Como o traço do tensor desviador é nulo, segue que,
3
∑ Si =
i =1
3
∑ εip
3
=
i =1
∑ Xi
=0
(B .19)
i =1
Logo, uma simplificação adicional pode ser introduzida, levando-se em conta o fato
dos traços do tensor desviador da tensão, da deformação plástica e do tensor endurecimento
cinemático serem nulos.
S 3 = −(S1 + S2 ) ; ε3p = −(ε1p + ε2p ) ; X3 = −(X1 + X2 )
(B .20)
As relações em (B.20) permitem representar as equações constitutivas (B.14)-(B.16)
εp , X , pois a terceira não é independente.
usando apenas duas componentes principais de S ,
ε1p
ε2p
=
3
S p
2J 1
=
3
S p
2J 2
(B .21.1)
(B .21.2)
X 1 = a ε1p - b X 1p
(B .22.1)
X 2 = a ε2p - b X 2 p
(B .22.2)
1
=0
p ≥ 0 ; F = [ 3(S12 + S1S 2 + S 2 ) ]2 − Y ≥ 0 ; pF
J
(B .23)
59
B. 3 Representação Geométrica do Critério de Mises Generalizado
ε p = 0 ) usando-se a base das
A representação do critério de Mises generalizado (J<Y ⇒
direções principais do desviador da tensão permite fazer uma interessante interpretação
geométrica dos endurecimentos cinemático e isotrópico. Da definição (B.5) da tensão
equivalente de Mises segue que a condição J < Y implica na seguinte relação
J =
⎡3
⎢⎣ 2
( (S 1 − X 1 ) + (S 2 − X 2 ) + (S 3 − X 3 ) )⎤
2
2
2
2
2
⎥⎦
1
2
⇒
<Y
2
2
(S 1 −X 1 ) + (S 2 −X 2 ) + (S 3 −X 3 ) < ( 3Y )2
que define uma esfera de raio
(B .24)
2
Y centrada no ponto X = (X1, X2, X 3 ) na base das
3
direções principais do desviador, conforme a Figura B.1. Tomando-se como condições
iniciais os valores (p(t = 0) = 0 ,
ε p (t
= 0) = X (t = 0) = 0 ), a evolução do domínio
elástico será caracterizada por uma expansão devida ao endurecimento isotrópico Y(t) e
translação da região elástica inicial devida ao endurecimento cinemático X de uma esfera de
raio
2
σ (região elástica inicial).
3 y
Figura B.1: Representação do critério de Von-Mises generalizado na base das direções
principais do desviador
60
As relações (B.20) permitem representar o critério de Mises generalizado usando apenas
duas componentes principais de S e de X , pois a terceira não é independente. Isto é
conveniente para estudos experimentais pois o critério, mesmo para estados triaxiais de
tensão, pode ser representado num plano:
[ (S1 -X1 )2 + (S1 -X1 )(S2 -X2 ) + (S2 -X2 )2 ] <
Y2
3
(B .25)
A equação anterior é de uma elipse inclinada de 45 graus, centrada no ponto
X = (X1, X2 ) conforme mostra a figura B.2. A evolução do domínio elástico é caracterizada,
portanto, por uma expansão desta elipse devida ao endurecimento isotrópico Y(t) e por uma
translação X .
Figura B.2: Representação plana do critério de Von-Mises generalizado.
B. 4 Dutos de Paredes Finas Sob Pressão Interna
Nesta seção, as equações elasto-plásticas apresentadas serão particularizadas para o
caso de dutos com paredes finas submetidos a pressão interna. Considera-se um duto de raio
61
interno R e de espessura e submetido a uma pressão interna P . Para que a parede do duto
seja considerada fina, e e R devem obedecer a seguinte relação:
R
> 10
e
(B .26)
Duto Aberto nas extremidades e sem Dano
0
⎡ σr = 0
⎢
⎢
PR
σ = ⎢ 0
σθ =
⎢
e
⎢ 0
0
⎢⎣
0
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
σz = 0 ⎥⎥
⎦
(B .27)
Trata-se, obviamente, de um estado uniaxial de tensões. Neste caso, o tensor
desviador é dado por,
1
⎡
⎢ Sr = − σθ
3
⎢
⎢
0
S =⎢
⎢
⎢
⎢
0
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0
⎥
1 ⎥⎥
Sz = − σθ ⎥
3 ⎦
(B .28)
1
Xr = X z = − X θ
2
(B .29)
⎤
⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥
1
εzp = − εθp ⎥
2 ⎥⎦
(B .30)
0
0
2
σ
3 θ
Sθ =
0
Da equação (B.18) e de (B.28) segue que,
1
εrp = εzp = − εθp
2
e
Logo, numa notação matricial tem-se que,
⎡
⎢ εrp = − 1 ε p
⎢
2 θ
⎢
P
0
ε =⎢
⎢
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
εθp
0
0
62
E, introduzindo a variável X =
3
X
2 θ
1
⎡
⎢ Xr = − X
3
⎢
⎢
X =⎢
0
⎢
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
Xθ =
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0
⎥
1 ⎥⎥
Xz = − X ⎥
3 ⎦
0
2
X
3
0
(B .31)
Usando a expressão para J apresentada na equação (16) chega-se a
J=
σθ − X
(B .32)
Logo tem-se as seguintes equações constitutivas para duto aberto nas extremidades
(εθ − εθp ) =
(εr +
σθ
E
(B .33)
εθp
εp
) = (εz + θ ) = -ν(εθ − εθp )
2
2
(B .34)
σθ − X
σθ − X
(B .35)
.
εθp = p
X = a εθp − b X p
(B .36)
=0
p ≥ 0; F = σθ − X - Y ≤ 0 ; pF
(B .37)
Y = σy + v1 ⎡⎢⎣ 1 − exp(−v2 p) ⎤⎥⎦
(B .6.1)
Y = σy + Kp N
(B .6.2)
ou,
Técnicas numéricas para resolver este tipo de equações podem ser encontradas em
[10]. É possível mostrar que, para as equações mostradas anteriormente, como a pressão é
sempre positiva, então a deformação plástica εθp será sempre positiva (εθp ≥ 0) e a taxa de
deformação plástica εθp não negativa (εθp ≥ 0) . Neste caso, como εθp ≥ 0 e, por definição
p ≥ 0 , de (B.35) segue que σθ − X ≥ 0 e, portanto, a função de plastificação é dada por:
63
F = σθ − X − Y ≤ 0 . Como εθp ≥ 0 , de (35) verifica-se que εθp = p e, sob condições
iniciais adequadas ( εθp (t=0) = p (t=0) = X (t=0) = 0 ), que εθp = p . A equação (B.36) é,
neste caso, equivalente a
dX
+bX = a
d εθp
;
X (t = 0) = 0
(B .38)
que pode ser resolvida analiticamente :
X =
a
(1 − exp(−b εθp ))
b
(B .39)
Logo, as seguintes simplificações nas equações constitutivas para um duto aberto nas
extremidades podem ser feitas, pelo fato da pressão ser sempre positiva ou nula:
(εθ − εθp ) =
(εr +
σθ
E
(B .33)
εθp
εp
) = (εz + θ ) = -ν(εθ − εθp )
2
2
(B .34)
σθ − X
σθ − X
(B .35)
εθp = p
.
p ≥ 0; F = σθ − X - Y ≤ 0 ; p F = 0
X =
a
(1 − exp(−b εθp ))
b
Y = σy + v1 ⎡⎢⎣ 1 − exp(−v2 εθp ) ⎤⎥⎦
(B .37)
(B .39)
(B .40)
ou
p N
Y = σy + K (εθ )
(B .41)
Para carregamentos desse tipo com pressão estritamente crescente (P > 0 , sem
descarga elástica ) é possível resolver analiticamente as equações (B.35) – (B.37) obtendo-se
uma expressão associando a tensão com a deformação plástica.
.
A condição de complementaridade p F = 0 implica em que F = 0 se p ≠0, isto é, só
há escoamento quando F = σθ − X − Y = 0 . Logo,
64
σθ = X + Y
quando há escoamento (p
σθ =
=
εθp > 0) . Logo, tem-se as seguintes equações
N
a
(1 − exp(−b εθp )) + σy + K(εθp ) , se σθ > σy
b
(B .43)
Y
X
onde
(B .42)
x = Max{0,x}, se a expressão (6.2) for considerada para o endurecimento isotrópico
Y ou
σθ =
a
(1 − exp(−b εθp )) + σy + v1(1 − exp(−v2εθp )) , se σθ > σy
b
(B .44)
Y
X
se a expressão (B.6.1) for considerada.
A principal diferença entre as expressões (B.44) e (B.45) é que a segunda admite um
valor máximo para a tensão dado por
Max {σθ } = X max + Ymax =
a
+ σy + v1
bN
X max
Ymax
e a pressão de ruptura do material é
⇒ P MAX =
e a
( + σy + v1 )
R b
(B .45)
As seguintes equações constitutivas elasto-plásticas podem ser obtidas para um duto
aberto nas extremidades. Elas foram simplificadas usando-se o fato de que P≥0 e
>0
considerando-se P
(εθ − εθp ) =
(εr +
σθ
PR
=
E
Ee
εθp
εp
) = (εz + θ ) = -ν(εθ − εθp )
2
2
A deformação plástica εθp é tal que
(B .33)
(B .34)
65
σθ =
N
a
(1 − exp(−b εθp )) + σy + K(εθp ) , se σθ > σy
b
(B .46)
Y
X
se a expressão (B.6.2) for considerada para o endurecimento isotrópico Y ou,
σθ =
a
(1 − exp(−b εθp )) + σy + v1(1-exp(-v 2 εθp )) , se σθ > σy
b
(B .47)
Y
X
O endurecimento cinemático só tem papel fundamental em problemas onde ocorrem
deformações plásticas cíclicas, o que não é o caso de uma tubulação com carregamento
crescente. Portanto, é uma simplificação razoável considerar o endurecimento puramente
isotrópico ( X = 0 ) e, portanto, tem-se as seguintes expressões analíticas
εθp
onde
=
σ θ − σy
1
N
(B .48)
K
x = Max{0,x}, se a expressão (B.6.2) for considerada para o endurecimento
isotrópico Y ou,
εθp
⎡ σy + v1 - σθ
− ln ⎢
v1
⎢⎣
=
v2
⎤
⎥
⎥⎦
(B .49)
As equações constitutivas para um duto aberto nas extremidades, simplificadas
usando-se o fato de que P≥0 e considerando-se P > 0 , sem endurecimento cinemático, são as
seguintes.
(εθ − εθp ) =
(εr +
σθ
PR
=
E
Ee
εθp
εp
) = (εz + θ ) = -ν(εθ − εθp )
2
2
εθp =
σ θ − σy
(B .33)
(B .34)
1
N
K
(B .48)
66
εθp
⎡ σy + v1 - σθ
− ln ⎢
v1
⎢⎣
=
v2
se a expressão (B.6.1) for considerada (Obs.:
⎤
⎥
⎥⎦
(B .49)
x = Max{0,x})
valor máximo para a tensão σθ igual a σy + v1 . Usualmente, em ensaios uniaxiais em barras
metálicas, a expressão (B.49) é mais adequada para a curva “tensão real” x deformação
plástica e a expressão (B.48) mais adequada para a curva “tensão de engenharia” x
deformação plástica (a chamada “tensão de engenharia” é a razão entre a força de tração e a
área nominal da seção transversal e a chamada “tensão real” é a razão entre a força de tração e
a área real). Como, para a maioria dos problemas de interesse prático, as deformações são
sempre razoavelmente pequenas (menores do que 5 %), a “tensão de engenharia” pode ser
confundida com a “tensão real” e ambas as curvas modelam bastante bem o comportamento
de ligas metálicas.
Duto Fechado nas extremidades e sem Dano
Para um duto sem dano, a tensão é dada por (coordenadas cilíndricas):
⎡σ = 0
⎤
0
0
⎢ r
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
PR
σ=⎢ 0
σθ =
0
⎥
e
⎢
⎥
⎢
⎥
PR
⎢ 0
⎥
0
σz =
⎢⎣
2e ⎥⎦
(B .50)
Trata-se de um estado plano de tensões, mas, como as componentes da tensão não são
independentes ( σz = 2σθ ), simplificações adicionais podem ser obtidas. Neste caso, o tensor
desviador é dado por,
67
⎡ S = − σθ
⎢ r
2
⎢
⎢
S =⎢
0
⎢
⎢
0
⎢⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
Sz = 0 ⎥
⎥⎥
⎦
0
S¸ =
0
0
σθ
2
(B .51)
Da equação (B.18) e de (B.51) segue que,
εrp = −εθp ;
εzp = 0
Xr = −X θ ;
e
Xz = 0
(B .52)
Logo, numa notação matricial tem-se que
⎡ εrp = −ε p
θ
⎢
⎢
εP = ⎢
0
⎢
⎢
0
⎣⎢
E, introduzindo a variável X =
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
εzp = 0 ⎥⎥
⎦
0
0
εθp
0
(B .53)
1
X
2 θ
1
⎡
⎢ Xr = − X
2
⎢
⎢
0
X =⎢
⎢
⎢
0
⎢
⎢⎣
0
Xθ =
0
⎤
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
X z = 0 ⎥⎥
⎥⎦
0
1
X
2
(B .54)
Usando a expressão para J apresentada na equação (B.16) chega-se a,
(B .55)
J =
3 Sθ − Xθ =
3
σ −X
2 θ
Logo, têm-se as seguintes equações constitutivas para duto fechado nas extremidades,
68
(εθ - εθp ) =
(1 + ν )
ν
(2 - σ)
σθ - (σθ + σz ) =
σθ
2E
E
E
(εr + εθp ) = −
εz =
3ν
3ν
σθ = −
(ε
2E
(2 - ν ) θ
1 − 2ν
(1 − 2ν )
σθ =
(ε
2E
(2 - ν ) θ
εθp =
(B .56)
- εθp )
(B .57)
- εθp )
(B .58)
3 σθ − X
p
2
σθ − X
(B .59)
4
X .
X = a εθp − 2b
p
3
2
.
p ≥ 0; F =
(B .60)
.
3
σθ − X - Y ≤ 0 ; p F = 0
2
(B .61)
Y = σy + v1 ⎡⎣⎢ 1 − exp(−v2 p) ⎤⎦⎥
(B .6.1)
Y = σy + K p N
(B .6.2)
ou
Técnicas numéricas para resolver este tipo de equações podem ser encontradas em
[10].
É possível mostrar que, para as equações mostradas anteriormente, como a pressão é
sempre positiva, então a deformação plástica εθp será sempre positiva (εθp ≥ 0) e a taxa de
deformação plástica εθp não negativa (εθp ≥ 0) . Neste caso, como εθp ≥ 0 e, por definição
p ≥ 0 , de (B.59) segue que σθ − X ≥ 0 e, portanto, a função de plastificação é dada por:
F =
2 p
3
ε e, sob
(σθ − X ) - Y ≤ 0 . Como εθp ≥ 0 , de (B.59) verifica-se que p =
2
3 θ
condições iniciais adequadas ( εθp (t=0)= p (t=0)=
X (t=0)
=0 ), que
p=
2 p
ε . A
3 θ
equação (B.60) é, neste caso, equivalente a,
dX
2b
4
X = a
p +
d εθ
3
3
que pode ser resolvida analiticamente :
;
X (t = 0) = 0
(B .62)
69
X =
2a
2b p
(1 − exp(−
ε ))
3b
3 θ
(B .63)
Logo, um conjunto completo de equações constitutivas para um duro fechado nas
extremidades, simplificadas pelo fato da pressão ser sempre positiva ou nula é:
(εθ - εθp ) =
(εr
(1 + ν )
ν
(2 - ν )
σθ - (σθ + σz ) =
σθ
2E
E
E
+ εθp ) = −
εz =
1 − 2ν
(1 − 2ν )
σθ =
(ε
2E
(2 - ν ) θ
εθp
.
p ≥ 0; F =
X =
3ν
3ν
σθ = −
(ε
2E
(2 - ν ) θ
=
- εθp )
- εθp )
3 σθ − X
p
2
σθ − X
(B .56)
(B .57)
(B .58)
(B .59)
.
3
σθ − X - Y ≤ 0 ; p F = 0
2
(B .61)
2a
2b p
(1 − exp(−
ε ))
3b
3 θ
(B .63)
⎡
⎢⎣
Y = σy + v1 ⎢ 1 − exp(−
2v2
⎤
εθp ) ⎥
⎥⎦
3
(B .64)
ou
Y = σy + K
(
2
3
)
N
p
εθ
(B .65)
Analogamente ao que foi feito para dutos abertos nas extremidades, com pressão
estritamente crescente (P > 0 , sem descarga elástica ) , é possível resolver analiticamente as
equações (B.59) – (B.61) obtendo-se uma expressão associando a tensão com a deformação
plástica.
.
A condição de complementaridade p F = 0 implica em que F = 0 se p ≠0, isto é, só
há escoamento quando F =
3
(σ − X ) - Y = 0 . Logo,
2 θ
σθ = X +
2
Y
3
(B .66)
70
quando há escoamento (p =
2 p
ε > 0) . Logo, tem-se as seguintes equações,
3 θ
2 p N
2σy
2a
2b p
σθ =
(1 − exp(−
ε )) +
+ K(
εθ ) , se σθ > σy
3b
3 θ 3
3
X
(B .67)
Y
onde
isotrópico Y ou,
σθ =
2v 2 p
2σy
2v
2a
2b p
εθ )) +
+ 1 (1- exp((1 − exp(−
εθ )) , se σθ > σy
3
3b
3 3
3
X
(B .68)
Y
valor máximo para a tensão,
σθ máximo= X max + Ymax =
2a
2
2 a
+
(σy + v1 ) =
( + σy + v1 )
3b 3 3 b
N
X max
Ymax
Portanto, um conjunto completo de equações constitutivas para um duto fechado nas
extremidades, simplificadas usando-se o fato de que P≥0 e considerando-se P > 0 é dado
por:
71
(εθ - εθp ) =
(εr
(1 + ν )
ν
(2 - ν )
σθ - (σθ + σz ) =
σθ
2E
E
E
+ εθp ) = −
3ν
3ν
σθ = −
(ε
2E
(2 - ν ) θ
1 − 2ν
(1 − 2ν )
σθ =
(ε
2E
(2 - ν ) θ
A deformação plástica εθp é tal que
εz =
(B .56)
- εθp )
(B .57)
- εθp )
(B .58)
N
2 p
2σy
2a
2b p
(1 − exp(−
+ K ( εθ ) , se σθ > σy
σθ =
εθ )) +
3b
3 3
3
X
(B .67)
Y
σθ =
2v 2 p
2σy
2a
2b p
2v
εθ )) +
+ 1 (1- exp((1 − exp(−
εθ )) , se σθ > σy
3
3b
3 3
3
X
(B .68)
Y
Ou seja, neste caso, a análise do problema para as componentes circunferenciais é
⎛ 2E ⎞⎟
exatamente igual a estudar um duto aberto nas extremidades, usando ⎜⎜
⎟,
⎝ (2 - ν ) ⎠⎟
⎛ 2σy
⎜⎜
⎜⎝ 3
⎞⎟
⎟,
⎠⎟
⎛ 2v1 ⎞⎟ ⎛ 2v2 ⎞⎟
⎜⎜
,⎜
⎝ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎠⎟
((
2
K ),
3)
N
( 4a3 ) e ( 2b3 ) respectivamente no lugar de E , K , σ , v , v , a e
y
1
2
b.
O modelo baseado nas equações (B.6.1) é interessante porque define a tensão máxima
a qual o material pode resistir. Neste caso, é fácil verificar que a máxima tensão tangencial
que o material pode suportar é dada por
Max {σθ } = X max + Ymax =
2a
2
2 a
(σy + v1 ) =
( + σy + v1 )
+
3b 3 3 b
N
X max
Ymax
e, portanto, a pressão de ruptura é dada por,
⇒ P MAX =
2e a
( + σy + v1 )
R 3 b
(B .69)
72
Ou seja, a pressão de ruptura num duto fechado nas extremidades é
2
vezes superior
3
(1,155 vezes – 15,5 %) a pressão de ruptura de um duto aberto nas extremidades. O mesmo
acontece com a pressão de escoamento.
Como já foi comentado no caso de dutos abertos, o endurecimento cinemático só tem
papel fundamental em problemas onde ocorrem deformações plásticas cíclicas, o que não é o
caso de uma tubulação com carregamento crescente. Portanto, é uma simplificação razoável
considerar o endurecimento puramente isotrópico ( X = 0 ) e, portanto, tem-se as seguintes
expressões analíticas
εθp =
onde
⎛ 2σ
σθ −⎜⎜⎜ y
⎝
⎛
⎜⎜
⎜⎝
⎞⎟
⎟⎟
⎠⎟
N
3
2 ⎞⎟(N + 1)
⎟
K
3 ⎠⎟
(B .70)
isotrópico Y ou
εθp
⎡ ⎛ 2 Ãy ⎞⎟
⎤
⎢ ⎜⎜
⎟⎟ + a - σθ ⎥
⎢ ⎜⎝ 3 ⎠⎟
⎥
⎥
− ln ⎢
2a
⎢
⎥
⎢
⎥
3
⎢⎣
⎥⎦
=
2b
3
( )
( )
(B .71)
Finalmente, um conjunto completo de equações para duto fechado nas extremidades,
> 0 . Sem endurecimento
simplificadas usando-se o fato de que P≥0 e considerando-se P
cinemático é dado por:
73
(εθ - εθp ) =
(εr
(1 + ν )
ν
(2 - ν )
σθ - (σθ + σz ) =
σθ
2E
E
E
+ εθp ) = −
εz =
3ν
3ν
σθ = −
(ε
2E
(2 - ν ) θ
1 − 2ν
(1 − 2ν )
σθ =
(ε
2E
(2 - ν ) θ
εθp =
⎛ 2σ
σθ −⎜⎜⎜ y
⎝
⎛
⎜⎜
⎜⎝
⎞⎟
⎟⎟
⎠⎟
- εθp )
- εθp )
(B .56)
(B .57)
(B .58)
N
3
2 ⎞⎟(N + 1)
⎟
K
3 ⎠⎟
(B .70)
εθp
⎡ ⎛ 2σy ⎞⎟
⎤
⎢ ⎜⎜
⎟⎟ + a - σθ ⎥
⎢⎝ 3 ⎠
⎥
− ln ⎢
⎥
a
2
⎢
⎥
⎢⎢
⎥⎥
3
⎣
⎦
=
2b
3
( )
( )
(B .71)
B. 5 Comparação com dados experimentais
Na seção anterior, foi mostrado que, usando-se o modelo oriundo da Teoria da
Plasticidade, a tensão tangencial máxima que um duto fechado nas extremidades pode
suportar é 2/√3 (1.155) vezes a tensão de ruptura de um duto aberto nas extremidades (a qual
coincide com a tensão de ruptura num ensaio uniaxial). Portanto, um duto fechado nas
extremidades pode suportar cargas 15.5% maiores do que um duto aberto nas extremidades,
constituído do mesmo material.
Apesar deste cálculo ser simples, ele não é levado em conta mesmo nas normas mais
respeitadas mundialmente. Por exemplo, o ASME Boiler and Pressure Vessel Code – Section
VII – Division 1, 1992 ed. 1995 addenda, apresenta a seguinte fórmula para o cálculo da
pressão necessária para a ruptura no sentido longitudinal (tensão circunferencial)
74
ηe
P MAX = r + 0.6e (σmax )
i
(B .72)
Onde,
σ max é a máxima tensão admissível =limite de ruptura uniaxial (psi)
η = eficiência da junta soldada = 1 (para duto sem costura)
ri = Raio interno (polegada)
e = espessura da parede (polegada)
Para um duto de paredes finas sem costura, o código ASME sugere obter a pressão
máxima multiplicando a tensão máxima obtida num ensaio uniaxial pelo fator
enquanto que, pela teoria da plasticidade, esta deveria ser multiplicada pelo fator
e
,
ri + 0.6e
2e
ri 3
.
Em [11] foi feito um ensaio hidrostático num duto constituído por uma liga de
alumínio SB – 241 6063 –T5.
Al
Si
Fe
Cu
Mn
Mg
Zn
Ti
98.83
0.41
0.07
0.003
0.004
0.19
0.006
0.003
Tabela B.1: Liga de alumínio SB – 241 6063 –T5. Composição Química percentual
E com as seguintes características,
σ max (média de 5 ensaios uniaxiais, corpo de prova ASTM B557) = 25762 psi
ri = 2,52’’
e = 0,258’’
O cilindro foi conectado a uma bomba de teste hidrostático e introduzido em uma
câmara de teste. A elevação da pressão foi feita de uma forma gradual, em 6 etapas, 775,
1526, 2027, 2482, 2983 e 3011 psi.
75
A partir do experimento, concluiu-se que,
Pressão de ruptura – experimental = 3011 psi
Pressão de ruptura - norma ASME = 2485 psi (ruptura 17,5% abaixo)
Pressão de ruptura – modelo proposto = 3036 psi (ruptura 0.8% acima)
Obviamente, como era de se esperar, o código ASME é mais conservativo, enquanto
que a previsão obtida através da teoria da elasto-plasticidade é mais próxima da realidade. A
estimativa pela norma ASME e a estimativa pela teoria da elasto-plasticidade podem ser
usadas como limites inferior e superior para a pressão de ruptura num duto.
Em [12] foi feito um ensaio hidrostático num duto constituído por uma liga de aço
15CDV6. O duto ensaiado possuía as seguintes características:
σ max = 981 MPa
σy = 833.85 MPa
ri = 102 mm
e = 2,6 mm
Após a realização do ensaio e comparando as pressões de ruptura, concluiu-se,
Pressão de ruptura – experimental = 28,86 MPa
Pressão de ruptura - norma ASME = 24,63 MPa (ruptura 14,7% abaixo)
Pressão de ruptura – elasto-plasticidade = 28,87 MPa
Neste caso, o código ASME é também mais conservativo, enquanto que a previsão
obtida através da teoria da elasto-plasticidade é mais próxima da realidade.
Em [13] apresenta-se uma série de resultados baseados em dutos de aços maraging.
Estes resultados, segundo esta referência, foram obtidos em [14].
76
Espessura da parede
(mm)
1,630
Pressão de ruptura
(MPa) Experimental
86,62
Pressão de ruptura
(MPa) Modelo
90,13
1,735
92,30
95,94
1,756
94,50
97,10
1,763
94,00
97,49
1,793
94,00
99,14
Tabela B.2: Comparação entre as pressões de ruptura dos dutos de aço maraging ( σ max =
2155 MPa; r = 45 mm)
A diferença entre a previsão pelo modelo e a experiência, neste caso, é maior.
Contudo, é importante observar que estes dutos eram soldados o que pode reduzir a pressão
de ruptura Isto é, a eficiência η da junta soldada é menor do que 1. Neste caso sugere-se
usar, analogamente ao código ASME, o modelo com um fator de correção para soldas:
2η e
(σ max )
3
P MAX = R
No caso anterior este valor seria, aproximadamente 0,96.

ε - PGMEC - Universidade Federal Fluminense

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