6. Otimização

Problemas de O-mização Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html Roteiro para resolver problemas de o-mização 1.  Compreenda o problema
a)  O que é desconhecido?
b)  Quais as quantidades dadas?
c)  Quais as condições dadas?
2.  Faça um diagrama ou desenho ilustrativo 3.  Introduza uma notação
a)  Atribua símbolos para a quantidade a ser otimizada (maximizada ou minimizada);
b)  Atribua símbolos para outras quantidades desconhecidas;
c)  Coloque os símbolos no diagrama.
4.  Expresse a quantidade a ser otimizada (Q) em função dos outros símbolos.
5.  Se Q estiver expresso em função de mais de uma variável, encontre no problema
relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da expressão de Q.
6.  Encontre os valores máximo ou mínimo global (absoluto) da função.
Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as
dimensões do campo que tem maior área? Compreendendo o problema: a)  O que é desconhecido?
dimensões do retângulo
área
b)  Quais as quantidades dadas?
cerca: 1.200 m
c)  Quais as condições dadas?
campo retangular sem cerca em um dos lados (rio reto) Diagrama: Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as
dimensões do campo que tem maior área? y Notação: x – altura do retângulo x A y – comprimento do retângulo A – área do retângulo Expresse a quantidade a ser otimizada em função dos outros símbolos: A(x,y) = xy Encontre no problema relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da
expressão.
x + x + y = 2x + y = 1200 x Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as
dimensões do campo que tem maior área? A(x,y) = xy 2x + y = 1200 y x y = 1200 – 2x A(x,y) = x (1200 – 2x) A(x) = –2x2 + 1200x Domínio de A? A(x) ≥ 0 → −2x2 + 1200x ≥ 0 → x(−2x + 1200) ≥ 0
Como x ≥ 0 , −2x + 1200 ≥ 0 → x ≤ 600
Portanto, o domínio de A(x) é o intervalo fechado [0, 600] A x Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as
dimensões do campo que tem maior área? Encontre os valores máximo ou mínimo global
(absoluto) da função.
y x A x A(x) = –2x2 + 1200x , 0 ≤ x ≤ 600
A� (x) = 1200 − 4x , 0 ≤ x ≤ 600
Pontos críticos: A� (x) = 0 → x = 300
A(300) = −2 · (300)2 + 1200 · 300 = 180000
Extremidades do intervalo: A(0) = 0
A(600) = 0
Logo, a área máxima é A(300) = 180.000 m2. Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Compreendendo o problema: a)  O que é desconhecido?
área da lata
b)  Quais as quantidades dadas?
Volume: 1 litro
c)  Quais as condições dadas?
Lata cilíndrica Diagrama: Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Notação: r – raio do cilindro h – altura do cilindro A – área do cilindro Expresse a quantidade a ser otimizada em função dos outros símbolos: A(r, h) = 2(πr2) + (2πr)h Encontre no problema relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da
expressão.
V = πr2h = 1000 ml Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. A(r, h) = 2(πr2) + (2πr)h πr2h = 1000 ml h=
1000
πr2
A(r) = 2πr2 + 2πr
Domínio de A? r > 0 �
1000
πr2
�
= 2πr2 +
�
2000
r
�
Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Encontre os valores máximo ou
mínimo global (absoluto) da função.
2
A(r) = 2πr +
Pontos críticos: �
2000
r
�
, r > 0 3
4πr
− 2000
2000
�
A (r) = 4πr − 2 =
r2
r
�
4πr3 − 2000
3
→
r
=
500/π
A (r) =→
=
0
2
r
�
�
3
3
Quando r < 500/π , A’(r) < 0 e quando r > 500/π , A’(r) > 0 �
Pelo Teste da Primeira Derivada, r = 3 500/π é ponto de mínimo local. Além disso,
�
como a função vinha sempre decrescendo a esquerda deste mínimo, e sempre crescendo à
direita, este mínimo é global (absoluto). Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Encontre os valores máximo ou
mínimo global (absoluto) da função.
�
Quando r = 3 500/π : h=
1000
1000
=
2
πr2
π(500/π) 3
Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos: Suponha que c seja um
número crítico de uma função contínua f definida em um certo intervalo. a) Se f’(x) > 0 para todo x < c e f’(x) < 0 para todo x > c, então f(c) é o valor máximo
absoluto (global) de f. b) Se f’(x) < 0 para todo x < c e f’(x) > 0 para todo x > c, então f(c) é o valor mínimo
absoluto (global) de f. Exemplo 3. Encontre o ponto sobre a parábola y2=2x mais próximo de (1, 4). Expresse a quantidade a ser otimizada em função dos
outros símbolos: Encontre no problema relações entre as variáveis e
elimine todas menos uma da expressão.
y2=2x Exemplo 3. Encontre o ponto sobre a parábola y2=2x mais próximo de (1, 4). Encontre os valores máximo ou mínimo global
(absoluto) da função.
→ y3 − 8 = 0 → y = 2
Aplicando o Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos: f’(y) < 0 para todo y < 2 e f’(y) > 0 para todo y > 2, logo
y = 2 é mínimo global (absoluto). Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com
largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem,
8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir
andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode
remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido
possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a
velocidade na qual o homem rema.) Seja x = |CD| Queremos descobrir quem é o x que minimiza o tempo t para atingir B. Precisamos percorrer duas distâncias: |AD| e |DB| Lembrando que o tempo é dado por Δs/v , o tempo total é dado por: |AD| |DB|
t=
+
6
8
x Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com
largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem,
8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir
andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode
remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido
possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a
velocidade na qual o homem rema.) |AD| |DB|
t=
+
6
8
Se x = |CD|: �
|AD| = x2 + 9
x |DB| = 8 − x
logo, t(x) =
√
x2 + 9 8 − x
+
6
8
Domínio? [0, 8] Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com
largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem,
8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir
andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode
remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido
possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a
velocidade na qual o homem rema.) t(x) =
√
x2 + 9 8 − x
+
6
8
, x ∈ [0, 8]
Vamos encontrar o valor x que minimiza o tempo,
calculando pontos críticos e extremidades do intervalo.
t� (x) =
1
1
1
x
1
· √
· 2x −
= √
−
6 2 x2 + 9
8
6 x2 + 9 8
2
x
1
x
1
�
√
=
→
=
t (x) = 0 →
8
36(x2 + 9)
64
6 x2 + 9
→ 16x2 = 9(x2 + 9)
9
→ 7x2 = 81 → x = √
7
x Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com
largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem,
8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir
andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode
remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido
possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a
velocidade na qual o homem rema.) t(x) =
√
x2 + 9 8 − x
+
6
8
, x ∈ [0, 8]
Extremidades:
3
= 1, 5
2
√
73
t(8) =
≈ 1, 42
6
9
t( √ ) ≈ 1, 33
7
t(0) =
x 9
7
Logo, o homem deve aportar no ponto √
ao sul de C. Exemplo 5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo
de raio r. , y ≥ 0 Retângulo inscrito em um semicírculo: 2 vértices no
semicírculo, 2 vértices no eixo x. Área do retângulo?
A(x,y) = 2xy , y ≥ 0 A(x) = 2x
Domínio?  �
r 2 − x2
Exemplo 5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo
de raio r. Achando x que maximiza A(x) = 2x
Calculando pontos extremos: �
r 2 − x2 ,
: = 0 r2 − 2x2 = 0
r
r
A( √ ) = 2 √
2
2
�
r2
r
r
r2
√
√
=
2
·
−
2
2
2
Extremidades do intervalo: Logo, a área máxima é atingida quando
e vale r2. Exemplo 5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo
de raio r. Achando x que maximiza A(x) = 2x
Calculando pontos extremos: �
r 2 − x2 ,
: = 0 r2 − 2x2 = 0
r
r
A( √ ) = 2 √
2
2
�
r2
r
r
r2
√
√
=
2
·
−
2
2
2
Extremidades do intervalo: Logo, a área máxima é atingida quando
e vale r2.