03 - matemática - Finalizadas as ofertas de disciplinas dos Cursos

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03 - MATEMÁTICA - 1º P - 5ª PROVA - 19/01/2008
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Fundamentos da Matemática I
1º Período
1ª versão
Mário Visintainer
2ª versão
Moisés de Souza Arantes Neto
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE DO TOCANTINS
MATERIAL DIDÁTICO – EQUIPE UNITINS
Reitor
Humberto Luiz Falcão Coelho
Organização de Conteúdos Acadêmicos
1ª versão: Mário Visintainer
2ª versão: Moisés de Souza Arantes Neto
Vice-Reitor
Lívio William Reis de Carvalho
Pró-Reitor de Graduação
Galileu Marcos Guarenghi
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Extensão
Claudemir Andreaci
Pró-Reitora de Pesquisa
Antônia Custódia Pedreira
Pró-Reitora de Administração e Finanças
Maria Valdênia Rodrigues Noleto
Diretor de EaD e Tecnologias Educacionais
Marcelo Liberato
Coordenador Pedagógico
Geraldo da Silva Gomes
Coordenador do Curso
Moisés de Souza Arantes Neto
Coordenação Editorial
Maria Lourdes F. G. Aires
Assessoria Editorial
Darlene Teixeira Castro
Assessoria Produção Gráfica
Katia Gomes da Silva
Revisão Didático-Pedagógica
Sibele Letícia Rodrigues de Oliveira Biazotto
Revisão Lingüístico-Textual
Sibele Letícia Rodrigues de Oliveira Biazotto
Revisão Digital
Vladimir Alencastro Feitosa
Projeto Gráfico
Douglas Donizeti Soares
Irenides Teixeira
Katia Gomes da Silva
Ilustração
Geuvar S. de Oliveira
Capa
Edglei Dias Rodrigues
Material Didático – Equipe Fael
EMPRESA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA LTDA
Diretor Presidente
Luiz Carlos Borges da Silveira
Diretor Executivo
Luiz Carlos Borges da Silveira Filho
Diretor de Desenvolvimento de Produto
Márcio Yamawaki
Diretor Administrativo e Financeiro
Júlio César Algeri
Coordenação Editorial
Leociléa Aparecida Vieira
Assessoria Editorial
William Marlos da Costa
Revisão
Juliana Camargo Horning
Lisiane Marcele dos Santos
Programação Visual e Diagramação
Denise Pires Pierin
Kátia Cristina Oliveira dos Santos
Rodrigo Santos
Sandro Niemicz
William Marlos da Costa
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Caro aluno,
Esta matéria é de fundamental importância para você, estudante de
Matemática e futuro professor. Nela, revisaremos alguns dos conceitos fundamentais trabalhados no Ensino Fundamental e Médio. Inicialmente, você pode
pensar “agora que sou universitário, querem me ensinar aquilo que eu aprendi
no ensino Fundamental?” Você perceberá, por meio desta disciplina, quantos
conteúdos e conceitos você deixou de aprender ou, na melhor das hipóteses,
esqueceu. Não se preocupe se isso aconteceu com você, pois pode ocorrer
As aulas iniciarão a partir de um conteúdo bastante simples para o mais
complexo. Assim como os primeiros números escritos foram os naturais, nós
também iniciaremos estudando os conjuntos dos números naturais e, gradativamente, passaremos para os conjuntos dos números inteiros, racionais, irracionais até chegarmos aos reais. Também estudaremos as operações fundamentais dentro destes conjuntos e, finalmente, a potenciação e a radiciação.
A seguir, já conhecendo o básico, revisaremos razão e proporção aplicando a regra de três simples e composta, as expressões algébricas, noções de
funções, a equação e a função do 1o grau e seus gráficos. Por fim, revisaremos
a equação e a função do segundo grau com os respectivos gráficos.
Bons estudos!
Prof. Moisés de Souza Arantes Neto
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Apresentação
com todos nós.
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EMENTA
Conjuntos numéricos. Operações nos conjuntos numéricos. Porcentagem.
Regra de três simples e composta. Expressões algébricas. Introdução ao estudo
de funções. Função do primeiro grau. Função do segundo grau.
Plano de Ensino
OBJETIVOS
• Compreender a utilização das quatro operações fundamentais na resolução de expressões numéricas e problemas que envolvam números reais.
• Resolver situações-problema envolvendo razão e proporção, aplicando
a regra de três simples ou composta.
• Resolver equações e inequações do primeiro e segundo grau com o
estudo dos seus respectivos gráficos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
• Conjunto dos números naturais e inteiros: sua história e representação
na reta em numérica, valor absoluto e simétrico ou oposto
• Operações com números naturais e inteiros: adição, subtração, multiplicação e divisão (4 operações fundamentais)
• Conjunto dos números racionais, dízimas periódicas simples e compostas
• Operações com números racionais e suas 4 operações fundamentais
• Conjunto dos números irracionais e conjunto dos números reais e suas
propriedades
• Potenciação: produto de potências de mesma base, divisão de potências de mesma base, potências com expoentes negativos
• Radiciação: propriedades da radiciação e transformação de potências
com expoentes fracionários em raízes
• Razão e proporção, direta e inversamente proporcional, aplicação da
regra de três simples e composta
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• Porcentagem e problemas que envolvem porcentagem
• Expressões algébricas e as operações fundamentais do cálculo algébrico
• Introdução ao estudo de Funções
• Estudo das equações e inequações do primeiro grau
• Função e gráfico do primeiro grau
• Equações e inequações do segundo grau
• Função do segundo grau
• Gráfico da função do segundo grau
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Matemática. São Paulo: Scipione, 1995.
DANTE, L. R. Matemática contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 1999.
GENTIL, N. et al. Matemática para o Segundo Grau. São Paulo: Ática, 1996.
IEZZI, G. et al. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 1997.
IMENES, L. M. et al. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1979.
TROTTA, F. et al. Matemática por assunto. São Paulo: Scipione, 1988.
YUSSEF, A. N.; FERNANDEZ, V. P. Matemática: conceitos e fundamentos. São
Paulo: Scipione, 1993.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
DOMÊNICO, L. C. de. Matemática 3 em 1. Curso Completo do 2º Grau. São
Paulo: IBEP, 1998.
FERNANDEZ, V. P. et al. Matemática. Curso Completo. São Paulo: Scipione,
1991.
SERATES, J. Raciocínio lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 2 v.
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Aula 1 – Conjuntos numéricos................................................................. 9
Aula 2 – Potenciação e radiciação........................................................ 25
Aula 3 – Razão, proporção e porcentagem............................................ 35
Aula 4 – Expressões algébricas............................................................. 45
Aula 5 – Introdução ao estudo de funções.............................................. 59
Aula 6 – Função do primeiro grau......................................................... 65
Sumário
Aula 7 – Função do segundo grau........................................................ 77
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Aula 1 • Fundamentos da Matemática I
Aula 1
Conjuntos numéricos
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
• conhecer algumas etapas da criação dos números;
• realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
dentro dos conjuntos numéricos;
• representar os conjuntos numéricos de diferentes formas.
Pré-requisitos
Para darmos início aos nossos estudos, você deve estar familiarizado com
o sistema de numeração decimal, as quatro operações fundamentais e suas
propriedades nos conjuntos numéricos. Todos esses conhecimentos básicos
foram tratados no primeiro ano do Ensino Médio e formam a base do nosso
estudo nesta primeira aula.
Introdução
O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se antes dos
primeiros registros históricos (temos evidências de que o homem é capaz de
contar há mais de 50.000 anos). A maneira mais antiga de contar baseava-se em
alguns métodos de registro simples, como ranhuras no barro ou em uma pedra,
produzindo-se entalhes em um pedaço de madeira ou osso (EVES, 2004).
O número não apareceu de repente, por obra de uma única pessoa
responsável por esse marco histórico da humanidade. Com a necessidade de
contar os animais de suas caças, o homem usava objetos como pedras, nós em
cordas, marcas em ossos e em madeiras. Com o passar do tempo, esse sistema
foi se aperfeiçoando até dar origem aos números que evoluíram para a forma
atual (EVES, 2004).
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O homem vivia em pequenos grupos, morava em savanas e cavernas,
protegendo-se dos animais selvagens e das chuvas. Nessa época, alimentava-se com o que a natureza oferecia (caças, frutos e sementes). Posteriormente,
descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a se proteger melhor do
frio e dos animais selvagens.
Com o surgimento de novas necessidades, o homem começou a modificar
seu sistema de vida. Não mais vivia da caça e coleta de frutos e raízes, mas
passou a cultivar plantas e a criar animais, era o início da agricultura. Com
isso o homem começava a fixar moradia, principalmente às margens de rios,
não havendo a necessidade de ficar se deslocando de um lugar para o outro,
como nômade (EVES, 2004).
Começaram a ser desenvolvidas novas habilidades: construir uma
moradia, criar animais, desenvolver ferramentas. Então surgiram as primeiras
comunidades organizadas com lideranças e divisões de trabalho entre as
pessoas.
Para pastorear o rebanho de ovelhas, o pastor arranjou uma maneira de
contá-lo no final do dia: relacionava cada ovelha a uma pedra que colocava
no saco. Assim teria certeza de que todo o rebanho estaria de volta ao final
do dia. Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde
haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer
“contas com pedras” (EVES, 2004).
1.1 A idéia de número
Utilizando objetos para contar outros objetos, o homem começou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo, o número cinco era
bastante importante, pois relacionava a esse número os dedos das mãos.
Assim, para contar objetos e animais, os pastores separavam sempre em
grupos de cinco (EVES, 2004). Do mesmo modo, os caçadores contavam
os animais abatidos traçando riscos na madeira ou fazendo nós em corda,
também de cinco em cinco.
Com o surgimento de algumas comunidades, aldeias às margens dos rios,
esses povos primitivos começavam a usar ferramentas e armas de bronze. Com
a formação dessas aldeias situadas às margens de rios e sua sucessiva transformação em cidades, a vida ia ficando cada vez mais complicada. Novas
atividades iam surgindo, graças, sobretudo, ao desenvolvimento do comércio.
Os agricultores passaram a produzir alimentos em grandes quantidades, supe-
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rando suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a
outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. Como conseqüência desse desenvolvimento, surgiu a escrita. Foi assim
que estudiosos do antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos
de uma coleção por meio de desenhos, os símbolos. A criação dos símbolos foi
um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.
1.2 O sistema de numeração egípcio e indo-arábico
Os egípcios usavam sete números-chave. Um traço vertical representava uma unidade: um osso de calcanhar invertido representava o número
10. Um laço valia 100 unidades. Uma flor de lótus valia 1.000. Um
dedo dobrado valia 10.000. Com um girino, os egípcios representavam
100.000 unidades. Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus,
valia 1.000.000.
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos
é muito importante. Mas, para os egípcios, isso não tinha a menor importância: eles escreviam seus números sem preocupar-se com a posição dos
símbolos (Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003>.
Acesso em: 1 dez. 2007).
O sistema de numeração que usamos atualmente tem o nome devido aos
hindus, que o inventaram, e aos árabes, que o divulgaram. Não se sabe ao
certo como e quando esses novos símbolos entraram na Europa Ocidental,
provavelmente foi por intermédio dos comerciantes árabes (EVES, 2004).
Os hindus utilizavam apenas nove sinais para representar os números e
fazer os cálculos e não conheciam o número zero.
A idéia dos hindus, a de introduzir uma notação para uma posição vazia,
ocorreu no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que
esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal, o zero, o
sistema de numeração, assim como o conhecemos hoje, estava completo. Até
chegar aos números que você aprendeu a ler e a escrever, os símbolos criados
pelos hindus tiveram várias mudanças. Hoje, esses símbolos são chamados de
algarismos indo-arábicos. Agora já sabemos o porquê.
Depois de termos uma breve noção de fatos que marcaram a criação e
escrita dos números, vamos estudar como esses números se organizam em
conjuntos com suas respectivas operações.
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1.3 Conjunto dos Números Naturais (N)
Assim como a própria criação dos números, os conjuntos numéricos
surgiram das necessidades de representação e de resultados obtidos pelas
operações fundamentais. Nesse sentido, o primeiro conjunto numérico que
será representado é o Conjunto dos Números Naturais, como segue:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Na adição de números Naturais, temos sempre como resultado outro
número Natural, mas na subtração isso não ocorre, como vamos acompanhar
no exemplo a seguir: subtraindo o número 5 do número 2 (2 – 5), temos como
resultado o número – 3, que não é um número Natural, portanto necessitamos
de um novo conjunto que tenha as características do número apresentado como
resultado do exemplo anterior, que é o Conjunto dos Números Inteiros.
1.4 Conjunto dos números Inteiros (Z)
Esse conjunto representa todos os números Naturais, mais os números
negativos, como aparece na representação a seguir:
Z = {... – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Existe ainda uma outra representação desse conjunto que é muito utilizada
na representação posicional do conjunto na reta numérica.
1.5 Representação dos números inteiros na reta numérica
Os dois primeiros conjuntos que apresentamos até aqui irão nos orientar
na realização das quatro operações fundamentais da Matemática, mas antes
de começarmos a operar dentro desses conjuntos, vamos falar um pouco sobre
o valor absoluto de um número.
1.6 Valor absoluto
O valor absoluto de um número inteiro “x”, também chamado “módulo de
x”, é expresso por |x| e definido como o máximo valor entre “x” e “– x”, isto
é: |x| = máx {x; – x}.
 x, se x ≥ 0
∀x ∈ z x = 
− x, se x < 0
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Podemos exemplificar a generalização anterior com alguns exemplos
numéricos.
Exemplos:
−8 = 8
+3 = 3
1.7 Números opostos ou simétricos
Números simétricos ou opostos são os números que têm o mesmo valor
absoluto e sinais contrários, + 5 e – 5; – 12 e + 12; o simétrico de 0 é
o próprio 0. Verificamos ainda, na reta numérica apresentada anteriormente,
que os valores opostos ou simétricos têm a mesma distância geométrica
do zero.
1.8 Operações fundamentais
Vamos iniciar pela adição. Para se adicionar dois ou mais números de sinais
iguais, somam-se os valores absolutos dos números e conserva-se o sinal.
Exemplos:(+5) + (+8) + (+12) = +25
(–3) + (–5) + (–32) = –40
Para adicionar dois números com sinais diferentes, do maior em módulo se
retira o menor e conserva-se o sinal do número que apresentar o módulo maior.
Exemplos:(+12) + (–10) = +2
(+7) + (–12) = –5
(–9) + (+5) = –4
Para subtrair dois ou mais números com sinais iguais ou diferentes, basta
mudar o sinal do número que aparece depois do sinal de subtração, ou seja,
se for positivo, fica negativo e, se for negativo, torna-se positivo. Depois repetimos os procedimentos descritos para a adição.
Exemplos:(+12) – (–10) = (+12) + (+10) = +22
(+7) – (+12) = (+7) + (–12) = –5
(–9) – ( +5) = (–9) + (–5) = –14
Para multiplicar ou dividir dois números de sinais iguais, multiplicamos ou
dividimos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal positivo (+).
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Para multiplicar ou dividir dois números de sinais diferentes, multiplicamos
ou dividimos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal negativo (–).
Exemplos:(+4) · (+3) = +12 (+8) : (+4) = +2
(–12) · (–5) = +60
(–12) : (–3) = +4
(+5) · (–7) = –35
(–35) : (+7) = –5
1.9 Expressões numéricas
As expressões numéricas com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão seguem as seguintes etapas de resolução:
• em primeiro lugar, efetuar as multiplicações ou divisões, na ordem em
que aparecerem;
• em segundo lugar, efetuar as adições e subtrações na ordem em que
aparecerem.
Exemplos:15 + 5 – 3 · (– 4) =
15 + 5 – (–12) =
20 – (–12) =
20 + 12 = 32
8 : (4 : 2) · 5 + 3 – 5 · (–2) =
8 : 2 · 5 + 3 – 5 · (– 2) =
4 · 5 + 3 – 5 · (–2) =
20 + 3 +10 = 33
{2 + [(2 + 3 – 6 · 2) – 5 + 4 : 2] + 8} =
{2 + [(2 + 3 – 12) – 5 + 4 : 2] + 8} =
{2 + [–7 – 5 + 4 : 2] + 8} =
{2 + [–7 – 5 + 2] + 8} =
{2 – 10 + 8} = 0
Vimos que algumas operações fundamentais realizadas com números
pertencentes ao mesmo conjunto podem ter como resultado um número que não
pertença àquele conjunto. Isso pode ser verificado com o exemplo a seguir:
3 : 4 = 0,75
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Observamos que os números da divisão, o 3 e o 4, pertencem ao conjunto
dos números inteiros, porém o resultado da divisão não é um número inteiro.
Isso nos leva a denominar o próximo conjunto numérico, o Conjunto dos
Números Racionais.
1.10 Conjunto dos números Racionais (Q)
O número Racional pode ser definido como todo número que pode ser
escrito na forma de fração, em que: n é o numerador e d o denominador.
Q = {n/d onde n
Zed
Z*}, ou seja, com d
0.
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi
dividida uma unidade ou um inteiro.
Exemplos:
2 4 23 3
; ;
;1
3 5 4
4
Alguns símbolos são utilizados para mostrar uma característica específica
dentro do próprio conjunto, algumas delas são descritas a seguir e valem
também para os outros conjuntos vistos.
Q* = conjunto dos números racionais sem o zero.
Q+ = conjunto dos números racionais não negativos.
Q– = conjunto dos números racionais não positivos.
1.11 Tipos de frações
Fração própria é aquela em que o numerador é menor que o
denominador.
Ex.: 2
7
Fração imprópria é aquela em que o numerador é maior ou igual ao
denominador.
Ex.: 4 ; 8
3 5
Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração
própria.
Para se transformar uma fração imprópria em mista, basta dividir o numerador pelo denominador. O Quociente será o número inteiro; o Resto, o numerador da fração; e o Denominador continua sendo o denominador inicial.
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Exemplo: converta as frações impróprias em mistas.
7
3
=1
4
4 17
5
=2
6
6
23
3
=4
5
5 13
5
=1
8
8
A maioria das frações pode ser representada por um número decimal
exato. Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador.
2
= 0, 4
5
55
= 13,75
4
Em alguns casos, quando se efetua a divisão, encontra-se um número que
se repete constantemente. O número que se repete é chamado de Período, e o
resultado da divisão, Dízima Periódica.
Exemplos de dízimas periódicas representadas de duas formas diferentes:
a) 0,333333...= 0,3 b) 3,88888... = 3,8
c) 21,555555... = 21,5 d) 1,00343434... = 1,0034
e) 2,122122122... = 2,122 f) 0,2455555... = 0,245
A dízima periódica é simples quando a parte decimal é formada somente
pelo período. Ex.: 2,88888... É composta quando, na parte decimal, existe
uma parte que não se repete. Ex.: 2,346666...
Agora, vamos estudar melhor esses números que pertencem ao conjunto dos
números racionais e, portanto, podem ser representados em forma de fração.
1.12 Fração geratriz de uma dízima periódica
A fração geratriz que dá origem à parte decimal de uma dízima periódica
simples é uma fração que tem como numerador o período e, como denominador, tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
5,333... = 5 + 0,333... = 5 +
16 5
1
3
ou
16
3
3
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1,666... = 1+ 0,666... = 1+
2
1
3
ou
5
3
6
9
A fração geratriz que dá origem à parte decimal de uma dízima periódica
n
composta é a fração , em que n (o numerador) é formado pela parte não
d
periódica seguida do período, menos a parte não periódica. O d (denominador)
é composto por tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos
de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
1,8333... = 1+ 0,8333...
1+
83 − 8
75
5
11
= 1+
=1
ou
90
90
6
6
0, 4525252... =
452 − 4 448 224
=
=
990
990 495
Agora que estudamos as quatro operações fundamentais (adição, subtração,
multiplicação e divisão) de números Inteiros e vimos que algumas operações,
como a divisão, não apresentam como resultado um número dentro do próprio
conjunto, vamos estudar essas operações dentro de outro conjunto, o dos números
Racionais, tanto na forma decimal como na forma de frações. E são as operações dentro desse conjunto que iremos verificar a seguir.
1.13 Adição e subtração de frações
Para adicionar frações, é necessário observar os denominadores. Se eles
forem iguais, conserva-se o valor do denominador e somam-se os numeradores.
Exemplos:
5 2 7
+ =
3 3 3
5 4 1
− =
3 3 3
Para somar frações com denominadores diferentes, reduz-se as frações ao
mesmo denominador e, então, somamos os numeradores.
Exemplos: 3 + 5 = 9 . 15 = 135 4 3
12
12
2 5 12 − 45
33
11
− =
=−
=−
9 6
54
54
18
17
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Nos exemplos anteriores, os procedimentos de resolução adotados foram
os mesmos. Primeiro, multiplica-se os denominadores das frações; depois,
dividimos esse valor encontrado pelo primeiro denominador, e o resultado
multiplicamos pelo numerador da primeira fração. Em seguida, repetimos o
processo para a segunda fração e assim realizamos a operação algébrica no
numerador. Caso a fração possa ser simplificada, dividimos o numerador e o
denominador pelo mesmo valor, como foi o caso do segundo exemplo.
1.14 Multiplicação
Para se multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os
denominadores também.
Exemplos:
3 7 21
⋅ =
5 2 10
15
 5
3⋅  −  = −
 7
7
1.15 Divisão de frações
Na divisão de frações, conservamos a primeira fração ou a fração do
numerador e multiplicamos (como no item anterior) pelo inverso da segunda
fração ou a fração do denominador.
Exemplos:
2 7 2 9 18
÷ = ⋅ =
5 9 5 7 35
1
1 4
4
5
= ⋅ =
3
5 3 15
4
Inicialmente, pensava-se que os números racionais resolveriam todas as
nossas necessidades e por um tempo isso foi verdade. Porém, com a evolução
da matemática, algumas operações encontraram resultados que não pertenciam aos números Racionais. Esses novos números foram chamados de números
Irracionais.
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1.16 Números Irracionais (I)
O conjunto dos números Irracionais é formado pelos números que não
podem ser escritos na forma de fração.
Fazem parte do conjunto dos números Irracionais as raízes não exatas.
Tomemos como exemplo:
2 ≅ 1, 414223562...
3 ≅ 1,732050808...
5 ≅ 2,236067977...
3
3 ≅ 1, 44224957...
Fazem parte do conjunto dos números irracionais algumas constantes
muito usadas na matemática, a mais conhecida é o: π ≅ 3,141592654...,
usada para calcular área de um círculo ou perímetro da circunferência. Outra
constante é o número de Néper: e ≅ 2,7182818284590452353602874...
Com a utilização desse novo conjunto, houve a necessidade de criar outro que
abrangesse todos os outros vistos até aqui. Daí a representação do último conjunto
numérico que estudaremos nesta disciplina, o Conjunto dos Números Reais.
1.17 Conjunto dos números Reais (R)
O conjunto dos números Reais é formado pelo conjunto dos números
Racionais, acrescido do conjunto dos números Irracionais.
I
R
Q
Z
N
Vale fazer uma pequena observação antes de prosseguirmos: existe ainda
um outro conjunto que não estudaremos nesta disciplina, que é o conjunto dos
números complexos. O estudo desse conjunto será realizado na disciplina de
Fundamentos da Matemática IV, no quarto período deste curso.
19
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
1.18 Representação dos números reais na reta numérica
Os números reais ocupam todos os espaços existentes na reta real.
Representamos alguns a título de exemplo.
1.19 Representação do conjunto dos números reais
Entre dois números quaisquer, por mais aproximados que sejam, existem infinitos outros números reais. Assim é impossível enumerar todos os números reais existentes. Como recurso, mostraremos o mesmo conjunto de três formas diferentes.
• Por meio das propriedades dos conjuntos:
A = {x ∈ R| –5 < x <3}
• Por meio da reta real:
• Por meio de intervalos:
]– 5; 3[
Outros exemplos:
• A = {x ∈ R|x < 2 }
]∞; 2[
[–2; 2[
• B = {x ∈ R|–2 ≤ x < 2 }
No decorrer da aula, percebemos, portanto, algumas etapas da criação
dos números e como essas etapas foram, progressivamente, sendo utilizadas
pelo homem para a realização das operações matemáticas.
Síntese da aula
O sistema de numeração como conhecemos atualmente é fruto de diversas
evoluções sucessivas, ao longo de milhares de anos, pelos povos egípcios,
romanos, árabes e indianos. Os números naturais foram os primeiros a serem
criados pela necessidade de representar quantidades. A seguir, surgiram os
negativos que, unidos aos naturais, formaram o conjunto dos números inteiros.
O conjunto dos números reais é formado pelo conjunto dos números racionais
acrescido do conjunto dos números irracionais.
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Atividades
1. Os algarismos que usamos hoje foram descobertos pelos:
a) egípcios e romanos;
b) romanos e árabes;
c) hindus e árabes;
d) árabes e egípcios.
2. Enumerando o conjunto A = {x ∈ Z| x < –3}, temos qual dos seguintes
conjuntos?
a) A = {...; –8; –7; –6; –5; –4}
b) B = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2}
c) C = {5; 6; 7; 8; 9}
d) D = {–2; –1; 0; 1; 2; 3;}
3. Resolvendo as operações indicadas na expressão a seguir, encontramos o
valor de:
 2 9  3  7  21
 2 ⋅ 10  − 2  − 4 :  − 8  =





a) 5
b) 1/2
c) – 7/3
d) – 7/30
4. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas a seguir.
a) 0,44444...
b) 3,23333...
c) 0,35202020...
d) 1,656565...
e) 2,00454545...
5. Escreva cada um dos conjuntos por meio de uma linguagem simbólica,
conforme o exemplo da letra (a).
a) A = {– 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ A = {x ∈ Z|–3 < x < 7}
21
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SIM ( ) _____________
b) B = {...; –3; –2; –1; 0}
c) C = {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; ...}
d) D = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
e) E = {...; –2; –1; 1; 2, 3; ...}
6. Represente os conjuntos de outras duas formas diferentes daquela
apresentada.
a) A = {x ∈ R| x < 3}
b) B = {x ∈ R| x > 2}
c) C = {x ∈ R| 0 ≤ x < 7}
d)
e)
f)
g) ]–5; –1]
h) ] ∞; 0[
i) [0; 2/3]
Comentário das atividades
A primeira atividade é para você compreender um pouco da história
da Matemática e para que se situe na evolução da criação dos números. A
resposta é a letra (c).
Sabemos que não existe nenhum número entre dois números inteiros, então,
a resposta da atividade 2 é a letra (a).
Na resolução da terceira atividade, lembre-se de resolver a multiplicação e
a divisão na ordem em que aparecem, fazendo isso achará a resposta correta
na letra (d).
Na quarta atividade, é importante voltar ao item 1.12 desta aula para
relembrar como encontrar uma fração geratriz de uma dízima. As respostas
dessas atividades são: (a) 4/9; (b) 3 + 21/90; (c) 3485/9900; (d) 1 + 65/99;
(e) 2 + 45/9900.
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A quinta atividade começa com a letra (a) como exemplo, então,
devemos segui-la e encontrar as seguintes respostas: (b) B = {x ∈ Z|x ≤ 0};
(c) C = {x ∈ Z|x > –6}; (d) D = {x ∈ Z|0 ≤ x ≤ 8}; (e) E = {x ∈ Z*}.
Na última atividade, basta lembrarmos que temos três maneiras diferentes
de representar um conjunto numérico, como em cada alternativa ele já está
representado de uma das formas, basta usar outras duas. As respostas são:
(a) ]–∞; 3[; (b) ]2; +∞[; (c) [0; 7[; (d) {x ∈ R| 7 < x < 10}; (e) {x ∈ R| –3 < x ≤ –1};
(f) {x ∈ R| x > 3}; (g) {x ∈ R| –5 < x ≤ –1}; (h) {x ∈ R| x < 0}; (i) {x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 2/3}.
Referência
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
Na próxima aula
Agora que já conhecemos os conjuntos numéricos, vamos estudar a potenciação e a radiciação e suas propriedades.
Anotações
23
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SIM ( ) _____________
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SIM ( ) _____________
Aula 2
Potenciação e radiciação
Objetivos
• desenvolver as propriedades de potenciação;
• aplicar as propriedades pertinentes às raízes.
Pré-requisitos
Um bom domínio de conhecimento dos números racionais, principalmente
nas operações com frações, que foram vistas na aula anterior, irá auxiliá-lo
na compreensão das propriedades e, também, na resolução de expressões
numéricas que envolvam potenciação. Para esta aula, é imprescindível que
você domine as propriedades de potenciação (relembradas agora), para que
consiga compreender as propriedades da radiciação.
Introdução
O estudo da aula anterior nos deu uma indicação de que as descobertas
da Matemática não aconteceram de um dia para o outro, mas sim que a
maioria delas surgiram da necessidade de cada fase da descoberta. Assim a
potenciação foi criada para resolver situações em que ocorriam multiplicações
repetitivas, como, por exemplo, 8 · 8 · 8 · 8 · 8 · 8.
2.1 Potenciação
De maneira geral, a situação do exemplo anterior pode ser definida da
forma explicitada a seguir.
Seja “a” um número Real e “n” inteiro positivo, então:
• an = a · a · a · a · a · a · a ... n, onde a é base da potência e n o expoente;
25
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• a base é o fator que se repete;
• expoente é o número de vezes que multiplicamos a base.
Exemplos:
42 = 4 · 4 = 16 (lê-se: quatro elevado ao quadrado é igual a dezesseis)
23 = 2 · 2 · 2 = 8 (lê-se: dois elevado ao cubo é igual a oito)
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 (lê-se: cinco elevado à quarta potência é igual a
seiscentos e vinte e cinco)
Nas expressões aritméticas, calcula-se, em primeiro lugar, as potências;
depois, as operações indicadas.
Exemplos:
6 – [– 8 + (42 – 25) + 32] =
6 – [– 8 + (16 – 32) + 9] =
6 – [– 8 – 16 + 9] =
6 – [– 15] = 6 + 15 = 21
{25 – [33 +(82 – 72)2 – 250]2} =
{32 – [27 +(64 – 49)2 – 250]2} =
{32 – [27 + 152 – 250]2} =
{32 – [27 + 152 – 250]2} =
{32 – [27 + 225 – 250]2} =
{32 – [2]2} = {32 – 4} = 28
Potência de uma base positiva é sempre um número positivo. Quando a
base é negativa, o sinal resultante depende do expoente:
• expoente par – o resultado é positivo
(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81;
• expoente ímpar – o resultado é negativo
(–3)3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27.
Exemplos:
26 (–10)5 = –10000
(– 4)4 = 256
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5
32
 2
−  = −
3
243


–52 = –25 (nesse caso, o sinal menos (–) não está sendo elevado ao
quadrado)
62 36
=
(nesse caso, somente o seis está sendo elevado ao quadrado)
5
5
20
20
4
− 2 =−
= − (nesse caso, o sinal menos não está sendo elevado ao
5
25
5
quadrado, nem o numerador 20)
2.2 Propriedades da potenciação
a
1 – Multiplicação de potências de mesma base. Para multiplicar potências
da mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
an · am = an + m
25 · 23 = 25+3 = 28 = 256
a
2 – Divisão de potências de mesma base. Para dividir potências de mesma
base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
an : am = an – m
25 : 23 = 25 – 3 = 22 = 4
3245 : 3242 = 3245 – 242 = 33 = 27
a
3 – Potência de potência. Para elevar uma potência a um novo expoente,
conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(an)m = an.m
(23)2 = 23 · 2 = 26 = 64
a
4 – Produto de potências com o mesmo expoente. Para se multiplicar potências que tenham o mesmo expoente, multiplicam-se as bases e conservam-se
os expoentes.
an · bn = (a · b)n
33 · 53 = 153 = 3375
a
5 – Divisão de potências de mesmo expoente. Para se dividir potências que
tenham o mesmo expoente, dividem-se as bases e conserva-se o expoente.
n
an  a 
= 
bn  b  3
1203  120 
3
=
 =2 =8
3
60
 60 
27
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2.3 Expoentes um e zero
Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo, a1 = a.
121 = 12
(–123,5)1 = –123,5
(3/4)1 = 3/4
Essa propriedade, assim como as outras, é apenas uma conseqüência da definição, pois o expoente indica quantas vezes devemos multiplicar a nossa base.
Qualquer número (exceto o zero) elevado a zero é igual a um, a0 = 1,
a ≠ 0. Podemos exemplificar essa propriedade e verificar que ela também é
apenas uma conseqüência de outras propriedades.
2.4 Expoente inteiro negativo
Para se elevar uma potência a, com a ≠ 0 a um expoente negativo, temos:
n
 1   1
= n= 
 a   a
− n
a
Exemplos:
5−3 =
3
 
 4
13
1
=
3
5
125
−2
2
42 16
 4
=  = 2 =
3
9
3
Exemplo de expressão:
 2 2
  :
 5 
 4
= 
 25
=
=
3
1
8
1
 4
 2
−  − 0,25
:
  −  − 0,25 = 
5
5
25
125
5
 



125 1 
 5 1  25
⋅
−  − 0,25 =  −  −
8
5
 2 5  100
23 1 46 5
 23  25
10  − 100 = 10 − 4 = 20 − 20
 
41
1
ou 2
20
20
2.5 Radiciação
Assim como a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a
operação inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa da
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potenciação. O estudo das formas de determinar a raiz, assim como o estudo
das suas propriedades, complementam o estudo das operações dentro do
conjunto dos números reais. De maneira geral, temos a representação a seguir
para os radicais.
Dado um número real “a”, a raiz enésima desse número (n > 0) é indicada
pela expressão:
n
am
n = índice
a = radicando
m = exp oente
16 = 4 ⇔ 4 ⋅ 4 = 16
Obs. 1: quando o índice é par, existe apenas raiz de números reais positivos.
Exemplos:
4 =2
−4 = ∃ (lê-se não existe)
4
−16 = ∃
Obs. 2: quando o índice é ímpar, existe raiz de qualquer número real.
3
−8 = −2
3
8=2
Um número inteiro positivo é quadrado perfeito quando, na sua decomposição em fatores primos, todos esses fatores se distribuem aos pares.
Exemplos:
Verificar se cada número a seguir é quadrado perfeito ou não:
400
400 2
400 = 24 x 52
200 2
400 é um quadrado perfeito
100 2
50 2
25 5
5 5
1
29
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250
250 2
250 = 21 x 53
125 5
250 não é um quadrado perfeito
25 5
5 5
1
2.6 Propriedades da radiciação
1)
n
a m = b, com “a” ∈ R+ , n ∈ N e n > 1;
2
52 = 52 = 5
2)
n
16
3)
m n
a =
3
a =
4 5
324 = 20 324 = 5 32 = 2
4)
n
a⋅b =
3
(a ⋅ b) = 3 a ⋅ 3 b
5)
a
=
b
n
n
a
n
b
2
=
3
4
4
2
3
n:p
am =
x4 =
4
a m:p , com p ≠ 0 e p divisor comum de m e n;
16 ÷ 4
m⋅n
6
n
x4÷4 =
4
x
a
a
a ⋅ n b, com a ∈ R+ , b ∈ R+ , n ∈ N e n > 1
, com a ∈ R+ , b ∈ R∗+ , n ∈ N e n > 1
2.7 Potenciação com expoente fracionário
Uma potência de expoente fracionário representa uma raiz que pode ser
escrita na forma:
m
a n = n am , em que a > 0, m e n ∈ N e n ≠ 0:
• n é o denominador da fração que passa a ser o índice da raiz;
• m é o numerador é o expoente da base a no radicando.
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Exemplos:
1. Transforme as potências de expoente fracionário em raízes e simplifique, se possível.
2
a) 83 = 3 82 = 3 64 = 4
1
b) 325 = 5 32 = 2
3
c)
2
8 4 ⋅9 3 = 3 8 4 ⋅ 2 93 =
3
3
(2 )
3 4
⋅ 2 (32 ) =
3
212 ⋅ 2 36 = 24 ⋅ 33 = 16 ⋅ 27 = 432
No estudo desta aula, pudemos entender, portanto, as propriedades da
potenciação e aplicar as propriedades às raízes.
Síntese da aula
Esta aula pode ser sintetizada nos conteúdos apresentados pelas propriedades da potenciação e radiciação:
n
1) a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ....a



n vezes
2) a0 = 1
3) a1 = a
4) a−n = 1n
a
n
m
5) a ⋅ a = an + m
n−m
(a ≠ 0)
6) an ÷ am = a
7) (an ) = an ⋅ m
m
a = b ⇔ b ⋅ b = a , com “a” ∈ R+ , n ∈ N e n > 1
8)
m
9) a n = n am , em que a > 0, m e n ∈ N e n ≠ 0
Com o exemplo anterior, podemos dizer que a aula cumpriu a função de
apresentar a potenciação e suas propriedades.
Atividades
1. Resolvendo a expressão
a) 8
b)
3
2
2 , temos o seguinte valor:
c)
d) 2
8
2
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2. Simplificando a expressão a seguir, encontramos o seguinte valor:
149 : 145 ⋅ 146 : 1411
=
14−2
a) 149
b) 142
c) 143
d) 14
3. Resolva as potências a seguir.
a) (–2)2
b) (–0,1)3
c) 50
d) (2)–5
4
2
e)  
 3
−2
2
f)  − 
 3
4. Extraia as raízes por meio do método de fatoração. Se não for possível
extrair totalmente, simplifique ao máximo.
a) 576
b) 256
c) 288
d)
384
Para essas atividades, você necessita saber as propriedades da potenciação e radiciação. Na primeira atividade, basta multiplicar os índices dos
radicais e encontrará o valor
8
2 na letra (c).
Na segunda atividade, você usará as propriedades de potenciação e
encontrará o resultado 14, que é a letra (d).
As respostas da terceira atividade são: (a) 4; (b) –0,001; (c) 1; (d) 1/32;
(e) 16/81; (f) 9/4.
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A última atividade tem como respostas os seguinte valores, respectivamente: 24; 16; 2 12 e 8 6 .
Na próxima aula
Vamos enfocar um assunto bastante diferente daquele que tratamos até
o momento. Diferente, porém não menos importante. No dia-a-dia, constantemente usamos os cálculos ligados à razão, proporção, porcentagem e à
popular regra de três. Que tal conhecê-los mais?
Anotações
33
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SIM ( ) _____________
Aula 3
Razão, proporção e
porcentagem
Objetivos
• reconhecer razões e grandezas direta e inversamente proporcionais;
• resolver situações-problema envolvendo razão e proporção, por meio
da regra de três simples ou composta;
• entender a aplicação dos elementos básicos da porcentagem na resolução de problemas.
Pré-requisitos
Esta aula exige algo que você já sabe: o domínio das quatro operações
fundamentais com números racionais, pois foram vistos em nossa primeira
aula. Então, vamos em frente, mas é importante lembrar que, para um bom
desempenho no estudo em porcentagem, é necessário que você tenha tido
bastante aproveitamento no primeiro tópico desta aula, no conhecimento
básico de razão proporção, principalmente no que se refere à aplicação da
regra de três simples.
Introdução
Todos nós, querendo ou não, vivemos fazendo cálculos a todo o momento.
Ao fazermos compras, envolvemo-nos com preços: quanto podemos gastar;
ou, ao verificar o preço de uma peça, ficamos calculando o preço do total
que gostaríamos de comprar; quando analisamos as notas dos nossos alunos,
fazemos pequenos cálculos e fazemos a projeção do que acontecerá se as
notas permanecerem assim, ou se será necessário melhorar.
Quando percebemos que os números que representam determinadas grandezas são proporcionais, podemos calcular o possível resultado com grandezas diferentes.
35
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3.1 Razão
Dados a e b pertencentes ao conjunto dos números inteiros e b diferente
a
de zero, a razão entre a e b é .
b
3
A razão entre 3 e 5 é = .
5
A razão entre o número de alunas e o número de alunos do Curso de
30 3
Matemática é de 30 alunos para 20 alunas. Logo, a razão é
= .
20 2
3.2 Grandezas proporcionais
• Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas variáveis são chamadas de grandezas diretamente
proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza e
os valores correspondentes da segunda grandeza é sempre a mesma.
• Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas variáveis são chamadas de grandezas inversamente
proporcionais quando o produto de cada valor da primeira grandeza
pelo valor correspondente da segunda grandeza é sempre o mesmo.
3.3 Regra de três simples
A regra de três simples é uma maneira de descobrir um valor a partir
de outros três, divididos em pares relacionados, cujos valores têm mesma
grandeza e unidade. Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Veja alguns exemplos de resolução de problemas:
a) Devido à promoção, o seu salário de R$ 800,00 teve um aumento de
25%. Qual será o seu novo salário?
Salário
Aumento
800,00
100%
x
125%
Quando aumenta o salário, aumenta também a porcentagem em relação
ao total. Portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
100 · x = 800 · 125
100x = 100000
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100x/100 = 100000/100
x = 1000
O seu salário, com o aumento, é de R$ 1.000,00.
b) Se cinco torneiras enchem um tanque em 450 minutos, nove torneiras
encherão esse tanque em quantos minutos?
Torneiras
Tempo
5
450 min
9
x
Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais, invertemos
uma das duas grandezas 5 = x
9 450
9 · x = 5 · 450
9x = 2250
(9x)/9 = 2250/9
x = 250
As cinco torneiras encherão o tanque em 250 minutos.
c) Um automóvel faz um percurso em 8h com uma velocidade média de
60 km/h. Se a velocidade fosse de 80 km/h, qual seria o tempo para
fazer o mesmo percurso?
Tempo
Velocidade
8h
60 km/h
x
80 km/h
Quanto maior a velocidade, menor será o tempo gasto para realizar
o percurso. Logo as grandezas são inversamente proporcionais, inver8 80
:
temos uma das duas grandezas =
x 60
80 · x = 8 · 60
80x = 480
80x/80 = 480/80
x=6
O tempo para realizar o mesmo percurso será de 6 horas.
37
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3.4 Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada quando se quer descobrir um único
valor a partir de três, ou mais valores já conhecidos, e tendo em conta que
os valores referentes a uma mesma classe de objeto devem estar na mesma
unidade de medida (essa regra continua a se chamar regra de três porque
comparamos as grandezas aos pares).
Alguns exemplos de resolução de problemas serão mostrados a você.
a) O dono de uma fábrica de automóveis sabe que precisa de 48 mecânicos para fazer dez automóveis em cinco dias. Quantos mecânicos
seriam necessários para fazer 20 automóveis em 12 dias?
Mecânicos
Carros
Dias de trabalho
48
10
5
x
20
12
Inicialmente, foi determinado o sentido da primeira seta ( ) quando se
aumenta o número de mecânicos. A seguir, comparamos essa grandeza em relação às outras duas variáveis.
Aumentando o número de mecânicos e permanecendo o número de
dias trabalhado, aumenta o número de carros fabricados: o sentido
da seta permanece ( ).
Aumentando o número de mecânicos e permanecendo o número de
carro trabalhados, diminui o número de dias trabalhados: o sentido
da seta inverte ( ).
O produto da grandeza situada na ponta da seta x pelas grandezas
situadas no final das outras setas (x · 10 · 12) é igual ao produto das
três outras grandezas restantes (48 · 20 · 5):
x · 10 · 12 = 48 · 20 · 5
120x = 4800
120x/120 = 4800/120
x = 40 mecânicos
b) Doze operários em 90 dias, trabalhando oito horas por dia, fazem 72
metros de tecido. Quantos dias de trabalho de dez horas serão necessários para que 18 operários façam 36 metros do mesmo tecido?
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
no. operários
no. de dias
horas p/dia
metros/tecido
12
90
8
72
18
x
10
36
As comparações devem ser sempre feitas em relação ao par no qual
se encontra a variável x.
Aumentando o número de dias trabalhados ( ) e mantendo o número
das horas diárias trabalhadas e o comprimento da peça feita, diminui
o número de operários para realizar o serviço ( ).
de operários e o comprimento da peça feita, diminui o número de
horas diárias para realizar o serviço ( ).
de operários e o número de horas diárias trabalhadas, aumenta o
comprimento da peça confeccionada ( ).
O produto de x que está no fim da seta pelas outras três grandezas
que estão nas pontas ( x · 18 · 10 · 72) é igual ao produto das quatro
grandezas restantes (90 · 12 · 8 · 36):
x · 18 · 10 · 72 = 90 · 12 · 8 · 36
12960x = 311040
(12960x)/12960 = 311040/12960
x = 24
Serão necessários 24 dias de trabalho.
3.5 Porcentagem
O símbolo (%) aparece com bastante freqüência no nosso dia-a-dia.
Assim devemos entender com bastante segurança o que ele realmente representa. Sempre que nos deparamos com situações que envolvam o cálculo
de porcentagens, devemos ter noção dos seus princípios básicos para sair
dessas situações com a solução correta e realmente entender o significado
de cada operação.
Os exemplos a seguir ilustram situações do cotidiano que aparecem em
jornais, revistas, na TV, em lojas, em embalagens de produtos, entre outros.
39
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Exemplos:
a) A gasolina subiu 12%.
b) Houve um reajuste de 24% no salário.
c) Desconto de 40% na compra a vista.
d) 22% de álcool é misturado à gasolina aqui no Brasil.
Todos esses exemplos ilustram bem como a porcentagem aparece nas
várias situações sociais. Vamos agora ver como a Matemática está presente
nos problemas que envolvem porcentagem.
O estudo da porcentagem é um modo de comparar números, usando uma
proporção direta. Só que, nesse caso, temos uma das razões da proporção,
uma fração cujo denominador vale 100.
Todos os termos mencionados anteriormente são bastante conhecidos de
todos nós. Assim vamos ver alguns exemplos numéricos para darmos uma
noção de grandeza. Vamos supor que eu desejo saber quanto é 20% de R$
500,00. O meu trabalho será o de descobrir um valor que represente, em 500,
o mesmo que 20 representa em 100. Essa operação pode ser representada na
proporção a seguir (lembra da regra de três?).
20
x
=
100 500
Se resolvermos essa proporção, como vimos na seção anterior, vamos
encontrar o valor de R$ 100,00.
Quando resolvemos situações como essa, percebemos que será necessário
utilizar sempre proporções diretas, o que deixa claro que qualquer problema
dessa natureza pode ser resolvido com uma regra de três simples.
Podemos tentar definir porcentagem como uma fração cujo denominador
é 100. Assim vamos fazer algumas aplicações diretas e também resolução de
problemas para consolidarmos esse conteúdo. Vejamos.
15
a) 15% de 300 =
⋅ 300 = 45
100
35
b) 35% de 700 =
⋅ 700 = 245
100
Exemplos de problemas
1. O salário de um aposentado, no mês de janeiro, era de R$ 2.500,00.
No mês de fevereiro, sofreu um reajuste de 23%; então o aposentado
passou a receber quanto?
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Precisamos saber o quanto vale 23% de R$ 2.500,00.
23
⋅ 2500 = 575
100
Somando esse resultado ao salário inicial, temos o novo valor da
aposentadoria, que é de:
R$ 575,00 + R$ 2.500,00 = R$ 3.075,00
2. Mistura-se 30 litros de detergente com 50 litros de água. Qual a
porcentagem de detergente e de água que essa mistura contém?
(30L + 50 L) 80 L da mistura contém 30 L de detergente.
100 L da mistura contém x de detergente.
80
30
30 ⋅ 100
=
⇔x=
= 37,5% de detergente.
100
x
80
80
50
50 ⋅ 100
=
⇔x=
= 62,5% de água.
100
x
80
Poderíamos, ainda, propor outras soluções, como, por exemplo,
subtrair do total 100% o valor encontrado no primeiro cálculo, e teríamos encontrado o valor do segundo cálculo, como vamos observar
na representação a seguir:
100% – 37,5% = 62,5%
Portanto, o reconhecimento de razões e grandezas, a solução de situações-problema envolvendo razão e proporção (a partir da regra de três) e
o entendimento da aplicação dos elementos básicos de porcentagem constituíram o foco desta aula, cuja importância deve ser considerada para a
utilização no cotidiano.
Síntese da aula
Vimos, nesta aula, que razão é o quociente entre duas grandezas a/b.
Duas grandezas são proporcionais quando a variação de uma implica em
uma variação correspondente na outra. Em uma proporção direta, é possível
aplicar a regra de três simples, que diz: o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios. Tratamos, ainda, de um assunto muito utilizado em nosso
cotidiano, a porcentagem, que irá nos auxiliar na resolução de problemas
extremamente simples até os mais complexos no decorrer do nosso curso.
Porcentagem ou percentagem é a fração de um número inteiro, expressa em
centésimos, e representa-se com o símbolo % (que se lê “por cento”).
41
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Atividades
1. Na construção de um muro de 12m2, foram utilizados 2160 tijolos.
Quantos tijolos serão necessários para construir, nas mesmas condições,
30m2 de muro?
a) 4600
b) 5400
c) 6300
d) 6800
2. Doze operários, em 50 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 1000 m2
de vidro plano. Quantos dias de trabalho de 10 horas serão necessários
para que 15 operários façam 2500 m2 do mesmo vidro?
a) 40
b) 60
c) 80
d) 100
3. Cinco homens podem arar um campo de 20 ha em 10 dias, trabalhando
10 horas por dia. Quantos dias de trabalho 15 homens terão de trabalhar
para arar um campo de 40 ha, trabalhando 8 horas por dia?
a) 8 dias
b) Menos de 8 dias
c) 5 dias
d) Mais de 8 dias
4. Uma bola de futebol custa R$ 40,00. Pagando à vista, ela tem um desconto
de 20%. Qual o valor em reais do desconto?
5. A biblioteca de uma escola tem 600 livros. Quantos são os livros de
Matemática, se eles representam 25% do total?
6. A tabela a seguir se refere à distribuição dos alunos de uma universidade,
separados por áreas de conhecimento.
EXATAS
40%
42 HUMANAS
15%
SAÚDE
45%
Obs.: total de 3.000 alunos.
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
a) Qual o número de alunos que não são da área de exatas?
b) Qual o número de alunos da área de saúde?
c) Qual o número de alunos da área de humanas?
d) Qual o número de alunos que não são da área de humanas?
Para resolver essas atividades, você deve dominar as noções de regra de
três simples e, para isso, vamos nos lembrar do seguinte: nesses problemas,
conhecemos todos os valores das gradezas e desconhecemos apenas um,
basta relacionar as grandezas que são direta e inversamente proporcionais.
Na primeira atividade, a resposta é a letra (b); na segunda, a resposta é a letra
(c); e, na terceira, letra (d).
No desenvolvimento das três últimas atividades, você encontrará problemas
que envolvem tanto o cálculo de porcentagens que representam certa quantidade, quanto quantidades que representam uma porcentagem. A quarta atividade tem como resposta um desconto de R$ 8,00; na quinta atividade, a
resposta é 150 livros de Matemática; e, na última atividade, as respostas são:
(a) 1800; (b) 1350; (c) 450; (d) 2550.
Na próxima aula
Vamos dar início ao estudo do cálculo algébrico, que trata da utilização de
letras em expressões. Iremos chamá-las de expressões algébricas ou literais.
Anotações
43
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Aula 4
Expressões algébricas
Objetivos
• compreender a utilização do cálculo algébrico;
• efetuar as operações fundamentais com monômios e polinômios;
• operacionalizar os principais casos de fatoração.
Pré-requisitos
Para um bom desempenho no estudo desta aula, é necessário que você tenha
compreendido a resolução de expressões numéricas e também as operações
dentro do conjunto dos números reais. Todos esses conteúdos foram vistos em aulas
anteriores e podem ser aprofundados com o auxílio das referências bibliográficas
citadas e também no material complementar no portal de relacionamento.
Introdução
Os conceitos algébricos são utilizados desde a Antiguidade. Os filósofos
gregos Aristóteles e Euclides foram os precursores na utilização de símbolos para
indicar números desconhecidos e para expressar a solução de um problema.
Giovanni (2002, p. 34) cita que, por volta de 1400/1500, Stifel (Alemanha),
Cardano e Bombelli (Itália) passaram a usar as letras para montar equações nas
soluções de problemas. Finalmente, o advogado e matemático francês François
Viète introduziu o uso sistemático das letras para representar valores e fenômenos desconhecidos e os símbolos das operações usados até hoje.
O cálculo literal fez com que o avanço na matemática – claro que passando
por um longo caminho – fosse imenso e evoluindo até os dias de hoje.
Antes de começarmos a trabalhar com as operações entre equações literais,
temos de relembrar algumas considerações básicas que subsidiem nosso estudo.
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
4.1 Expressões algébricas
Podemos afirmar que essas expressões são formadas pelo conjunto de letras
ou número e letras que geralmente se transformam em uma expressão numérica quando substituímos as letras por números. Também pode ser chamada de
expressão literal.
No caso da generalização de soluções de problemas ou fórmulas, a
álgebra usa as letras do alfabeto para representar valores que medem quantidades conhecidas ou desconhecidas.
As primeiras letras do nosso alfabeto são utilizadas, geralmente, para
representar números conhecidos, e as últimas, os números desconhecidos ou
incógnitos. É importante lembrar que, quando uma mesma letra assume diferentes valores, devemos usar sinais particulares que denominamos de índices.
Dessa maneira, se quisermos indicar o comprimento de várias circunferências,
temos as notações que podemos observar a seguir:
c, c’, c’’, c’’’, c’’’’ (lemos: c, c linha, c duas linhas, etc.) ou
c, c1, c2, c3, c4
(lemos: c, c índice um, c índice dois, etc.)
As letras são empregadas na generalização de problemas para se estabelecer uma “regra geral” ou uma “lei de formação” na resolução de um dado
problema, independentemente de valores particulares.
4.2 Valor numérico de uma expressão algébrica
Quando substituímos as letras de uma expressão algébrica por valores
determinados e efetuamos as operações indicadas, temos o valor numérico
dessa expressão.
Exemplos:
1. O valor numérico da expressão 3ab − 5 a +
b = –2, temos:
3 ⋅ (9) ⋅ ( −2) − 5 9 +
4 2
a b − ab3, para a = 9 e
5
4
⋅ (9)2 ⋅ ( −2) − (9) ⋅ ( −2)3 =
5
4
⋅ 81⋅ ( −2) − (9) ⋅ ( −8) =
5
4
−54 − 15 + ⋅ ( −162) + 72 =
5
648
−69 −
+ 72 =
5
648
= − 633
3−
5
−54 − 5 ⋅ 3 +
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
2. Calcular o valor numérico de (a + b + c)0 – (a – b + c) + 5(a – b – c),
sendo:
a = 3

b = −2
c = 1

(a + b + c)0 – (a – b + c) + 5(a – b – c) =
[3 + (–2) + 1]0 – [3 – (–2) + 1] + 5[3 – (–2) – 1] =
1 – (3 + 2 + 1) + 5(3 + 2 –1) =
1 – 6 + 20 =
15
(a
m
3. Calcular o valor de N =
4x y (q – p
p
q
3
(5 – 2 ) (1 +1 )
1
N=
(
– bn ) ma + nb
1
5
2
2
 5
4 ⋅ 60 ⋅   ⋅ 23 – 02
 2
3⋅ 2
6
3
=
=
N=
25
200 100
⋅8
4 ⋅ 1⋅
4
(
)
2
)
)
a = 5

b = 2
x = 6

5

y =
sendo 
2
m = 1

n = 1
p = 0

q = 2
4.3 Monômios
O cálculo literal envolve um conjunto de regras, por meios das quais podemos
transformar uma expressão literal em expressões literais equivalentes, que podem
ser monômios e polinômios. Um monômio é uma expressão algébrica em que
não há nem somas nem subtrações, ou seja, alternação dos sinais (+) e (–).
As partes que compõem um monômio, também chamado de termo algébrico, são as seguintes: sinal, coeficiente, parte literal e expoente.
4.4 Grau de um monômio
Como toda expressão algébrica, os monômios podem ser racionais ou
irracionais. Como nos exemplos que vemos a seguir:
7a2b5 (racional)
3a6 b3 (irracional)
47
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
O grau de um monômio inteiro é encontrado pela soma dos expoentes das
letras que o formam. Assim temos, a seguir, respectivamente, monômios do
primeiro, segundo, terceiro e quarto graus.
3
a2
y, 5ab, −1 , 7xyzt
4
b
O grau de um monômio fracionário é encontrado pela diferença, positiva
ou negativa, entre os graus do numerador e o denominador. Nos monômios a
seguir, temos, respectivamente, monômios do primeiro e do segundo graus.
a4 5a4b3c5
,
c3
d10
O grau de um monômio irracional é encontrado pelo quociente, inteiro ou fracionário, do grau da quantidade no radicando dividido pelo índice da raiz. Assim
temos, a seguir, respectivamente, monômios do primeiro, segundo e do grau 2/3.
a5
,
c3
a2b2 , 3 ac
Lembramos ainda que podemos encontrar o grau de um monômio em
relação a uma certa letra. Esse grau é o próprio expoente da letra. Como
exemplo, temos o monômio a seguir, que é do terceiro grau, para a letra “x”,
e do quinto grau, para a letra “y”.
8x 3 y 5
4.5 Polinômios
Podemos defini-lo como sendo a soma algébrica de monômios, ou seja, a
expressão algébrica formada de dois ou mais monômios (termos algébricos).
Exemplos:
3a2 + 5b3 ; 7x − 5y 5 + 2x 2 ; ax +
by
− a y + 5b
x
4.6 Grau de um polinômio
Os polinômios, assim como os monômios, são expressões algébricas e
podem ser racionais, irracionais, inteiros e fracionários. Os exemplos a seguir
mostram essa característica.
3ab 4 + 5m3 − 7nx (racional e inteiro)
xy 3 − a b + 3bx (irracional)
by
ax +
− c3 + x (racional fracionário)
c
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
O último exemplo anterior é fracionário em relação à letra “c”, e inteiro
em relação às outras variáveis.
O grau de um polinômio é determinado pelo termo de maior expoente,
como podemos ilustrar no exemplo a seguir:
3 4 6 ax 3
x y + 4
4
b
O polinômio anterior é do décimo grau, que é determinado pelo terceiro
termo  − 3 x 4 y 6  desse polinômio.
 4

ax 5 + b2 xy 6 −
4.7 Termos semelhantes
Os termos de um polinômio, os monômios que o formam, são semelhantes
quando contêm os mesmos fatores literais, inclusive seus expoentes, ou seja, os
termos semelhantes só podem se diferenciar em seus coeficientes. Os termos a
seguir são exemplos de termos semelhantes.
a3bx 5 ; − 6a3bx 5 ;
5 3 5 a3bx 5 7
a bx ;
3
4
4.8 Redução de termos semelhantes
Dois ou mais monômios (termos) semelhantes podem ser substituídos por
um único monômio equivalente, que conservará a mesma parte literal e coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes. Isso pode ser verificado nos
exemplos a seguir:
a) 5x + 4x – 3x + x – 11x + 8x = x(5 + 4 – 3 + 1 – 11 + 8 ) = + 4x
b) axy – bxy + xy = xy(a – b + 1)
c) 2x2y + 5xy3 – xy – 7x2y – 3xy3 + 8xy = x2y(2 – 7) + xy3(5 – 3) + xy (– 1 + 8)=
= – 5x2y + 2xy3 + 7xy
4.9 Operações algébricas
4.9.1 Adição
A finalidade da adição de duas ou mais expressões algébricas é a operação
que determina uma outra expressão, a mais simples possível, na qual o valor
numérico, para qualquer valor atribuído às letras, seja sempre igual à soma
algébrica dos valores numéricos das expressões consideradas, para o mesmo
sistema de valores das letras.
49
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Exemplos:
a) 4x – 3xy + 5y2 + 3x – 7xy = 7x – 10xy + 5y2
b) –2a + 3b – 5c – 8a + 7c = – 10a + 3b +2c
4.9.2 Subtração
Para subtrair uma expressão algébrica de uma outra expressão algébrica,
temos de determinar uma terceira expressão, na qual o seu valor numérico
será igual à diferença algébrica dos valores numéricos das expressões consideradas, para qualquer valor que seja atribuído às letras.
Exemplos:
a) (4x – 3xy + 5y2) – (3x – 7xy) = 4x – 3xy + 5y2 – 3x + 7xy =
= x + 4xy + 5y
2
b) (5a2b + 3ab2) – (3ab2 – 7a2b – 5c) = 5a2b + 3ab2 – 3ab2 + 7a2b + 5c =
= 12a2b + 5c
4.9.3 Multiplicação
A finalidade da multiplicação de duas ou mais expressões algébricas é
determinar uma outra expressão cujo valor numérico seja igual ao produto dos
valores numéricos das expressões consideradas para qualquer valor numérico
atribuído às letras.
O resultado é obtido multiplicando-se os coeficientes numéricos dos monômios dados, somando os expoentes das letras comuns e escrevendo como
fatores as demais letras com os seus respectivos expoentes. Vamos aplicar essa
definição nos exemplos a seguir:
a) (3xy2) · (2x3y5z2) · (–4yz6t3) = [3 · 2 · (–4)] x1 + 3 y2 + 5 + 1 z2 + 6 t3 =
= –24x4y8z8t3
b) (–2xy2) · (–5xyz3) · (–3x2y4zn) = –30x4y7zn + 3
4.9.4 Multiplicação de um monômio por um polinômio
Essa multiplicação segue a mesma regra da multiplicação de uma soma
algébrica por um número relativo, como segue no exemplo a seguir:
a) (4x2y) · (3xy5 – 6x3y6 + 2xy3). Se fizermos a multiplicação de cada
termo do polinômio, em separado, pelo monômio, temos:
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
(4x2y) · (3xy5) = 12x3y6
(4x2y) · (–6x3y6) = –24x5y7
(4x2y) · (2xy3) = 8x3y4
Logo, o resultado desse produto é o polinômio 12x3y6 – 24x5y7 + 8x3y4.
4.9.5 Multiplicação de um polinômio por outro polinômio
Esse produto é encontrado pela multiplicação de um dos polinômios por
cada termo do outro polinômio e somando os resultados obtidos.
a) (3a – 2b) · (1 + 5c) = 3a + 15ac – 2b – 10bc
b) (3x – 2) · (4 + 5x)= 12x + 15x2 – 8 – 10x =
= 15x2 + 2x – 8
Obs.: ordenando os dois polinômios, torna-se conveniente posicionar o
cálculo como na multiplicação de números inteiros, colocando os produtos
parciais de maneira que os termos semelhantes fiquem em uma mesma coluna.
Isso facilita a redução dos termos semelhantes.
(3x3 + 5xy2 – 2y3 + x2y) · (4y2 – x2 + xy)
3x3 + x2y + 5xy2 – 2y3
– x2 + xy + 4y2
– 3x5 – x4y – 5x3y2 + 2x2y3
3x4y + x3y2 + 5x2y3 – 2xy4
12x3y2 + 4x2y3 + 20xy4 – 8y5
– 3x5 + 2x4y + 8x3y2 + 11x2y3 + 18xy4 – 8y5
4.9.6 Divisão
A divisão de monômios se dá pela divisão do coeficiente do dividendo pelo
coeficiente do divisor. Depois, escrevem-se as letras comuns aos dois monômios
com expoente igual à diferença do que as mesmas têm no dividendo e divisor,
e repetem-se as letras que pertencem somente ao dividendo. Os exemplos a
seguir irão ilustrar essa definição.
x4
a) 2 = x 4−2 = x 2
x
b)
5x 5 y 3 z 2
5 5 − 2 3− 3 2
1
1
=−
x y z = − x 3 y 0 z 2 = − x 3z 2
2 3
−10x y
10
2
2
01 - MATEM´PATICA - 1º PERÍODO - 6ª PROVA - 19/01/2008
51
19/1/2008 20:57:34
APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) VISTO ______________
4.9.7 Divisão de um polinômio por um monômio
Devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio e somar os
quocientes parciais. Podemos verificar nos exemplos a seguir:
a) (6x 3 y 4 − 9xz 6 ) ÷ (2xz ) =
(12a b + 15a b
3
b)
2 2
6x 3 y 4 9xz 6 3x 2 y 4 9z 5
−
=
−
2xz
2xz
z
2
− 6a2b )÷ (3a2b )
12a3b + 15a2b2 − 6a2b
= 4a + 5b − 2
3a2b
4.9.8 Divisão de um polinômio por um polinômio
Devemos seguir os passos mostrados a seguir para generalizarmos a regra
dessa divisão. Dado a divisão do polinômio 3x4 + 2x3 – 7x2 – 3x + 7 pelo
polinômio x2 + 3x – 1, temos os passos que você verá a seguir.
o
1 ) Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor
(3x4/x2) e obtemos o primeiro termo do quociente.
3x4 + 2x3
– 7x2
– 3x
+7
x2 + 3x – 1
3x2
o
2 ) Multiplicamos o termo encontrado (3x2) pelo divisor, e o produto subtraímos
do dividendo.
3x4 + 2x3
– 3x4
– 7x2
– 9x3
+ 3x2
– 7x3
– 4x2
– 3x
+7
x2 + 3x – 1
3x2
– 3x
+7
o
3 ) Dividimos o primeiro termo do resto pelo primeiro do divisor e obtemos
o segundo termo do quociente. Sobre esse termo encontrado, operamos
como no primeiro termo encontrado.
3x4 + 2x3
– 3x4
– 7x2
– 3x
– 9x3
+ 3x2
– 7x3
– 4x2
– 3x
7x3 + 21x2
– 7x
x2 + 3x – 1
3x2 – 7x
17x2 – 10x
52 +7
+7
+7
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
o
4 ) De maneira análoga, procedemos a seguir, até chegarmos a um resto de
grau menor do que o grau do divisor, que será o resto dessa divisão.
3x4 + 2x3
– 7x2
– 3x
– 3x4 – 9x3
+ 3x2
– 7x3
– 4x2
– 3x
7x3 + 21x2
– 7x
+7
x2
3x2
17x2 – 10x
+ 3x
–1
– 7x + 17 (quociente)
+7
+7
– 17x2 – 51x + 17
– 61x + 24 (resto)
4.10 Fatoração
A fatoração pode ser considerada como a tabuada da álgebra. Ela é de
suma importância na continuidade do estudo da matemática e será uma ferramenta útil nas próximas disciplinas deste curso.
Como a fatoração não pode ser definida por uma regra geral, iremos tratar,
nesta aula, de alguns casos, mas partindo do pressuposto de que devemos
decompor um polinômio em um produto de fatores que o compõem, ou seja,
transformar expressões algébricas em produtos de duas ou mais expressões.
4.11 Fator comum
Nesse caso, os termos apresentam fatores comuns, ou seja, mesma parte
literal, por isso podemos colocar o fator comum em evidência, como mostram
os exemplos a seguir.
Exemplos:
a) ax + ay = a · (x + y)
b) 3x2 + xy = x ∙ (3x + y)
c) 11m6n3 – 22m4n2 + 33mn = 11mn (m5n2 – 2m2n + 3)
4.12 Fatoração por agrupamento
Esse caso ocorre quando não há fator comum a todos os termos do polinômio. Então devemos aplicar duas vezes o caso do fator comum no polinômio. Como, por exemplo:
ax + ay + bx + by
53
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator “a”, os dois últimos
termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a · (x + y) + b · (x + y)
Esse novo polinômio possui o termo (x + y) em comum. Assim, colocando-o
em evidência, temos a seguinte forma fatorada:
(x + y) · (a + b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x + y) · (a + b)
Podemos fazer outro exemplo:
1 – ym + x – ymx = 1 – ym + x · (1 – ym) = (1 – ym) · (1 + x)
4.13 Diferença de dois quadrados
Nesse caso, temos uma igualdade em que a diferença dos quadrados de
dois termos é igual ao produto da soma pela diferença desses dois termos.
Ilustraremos esse fato nos exemplos a seguir.
a) x2 – 1 = (x – 1) · (x + 1)
b) 25y2 – 16y4 = (5y – 4y2) · (5y + 4y2)
c) a8 – a4 = (a4 – a2) · (a4 + a2) = (a4 + a2) · (a2 + a) · (a2 – a)
9
1 3
1 3
1
d) x 2 −
= x− . x+ 
4
16  2
4 2
4
4.14 Trinômio quadrado perfeito
Nesse caso, a identidade será valida quando, em um trinômio, ordenado
segundo as potências decrescentes de uma letra, o primeiro e o último termo
tenha sinal positivo, e que o segundo seja mais (+) ou menos (–) o dobro do
produto das raízes quadradas dos outros dois. Vamos acompanhar, a seguir,
alguns exemplos para que possamos ilustrar essa definição.
a) (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
b) (a – b)2 = a2 – 2ab +b2
4.15 Soma e diferença de dois cubos
Essa identidade é igual à raiz cúbica do primeiro, mais ou menos a
raiz cúbica do segundo, multiplicado pelo quadrado da raiz cúbica do
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
primeiro, mais ou menos o produto da raiz cúbica do segundo, mais o
quadrado da raiz cúbica do segundo. A seguir, vamos ver alguns exemplos desse caso.
a) (a + b) · (a2 – ab + b2) = a3 + b3
b) (a – b) · (a2 + ab + b2) = a3 – b3
c) (8x3 – 125y6) = (2x – 5y2) · (4x2 + 10xy2 + 25y4)
4.16 Cubo da soma e da diferença de dois termos
Esse caso apresenta uma identidade em que o cubo da soma ou da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo mais ou menos três
vezes o primeiro termo ao quadrado, vezes o segundo, mais três vezes o
primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado, mais ou menos o cubo do
segundo. Assim temos os exemplos a seguir.
a) (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
b) a3 + 6a2 + 12a +8 = (a + 2)3
c) 8x3 – 12x2 + 6x – 1 = (2x – 1)3
O cálculo algébrico foi, portanto, uma preocupação humana desde a
Antiguidade. Isso é importante considerar, já que a evolução desses estudos
foram sofrendo alterações para que melhor pudéssemos entender as operações com o cálculo algébrico.
Síntese da aula
Nesta aula, relembramos algumas operações com cálculo algébrico,
produtos notáveis e fatoração, que serão ferramentas importantes no estudo
que virá nos próximos períodos. Estude bastante!
Atividades
1. Resolvendo as operações (2x + 1) · (–6x2 – 4x + 2), teremos o seguinte
polinômio:
a) –12x3 – 14x2 + 2
b) –12x3
c) 12x3 – 14x2
d) 12x3 + 14x2
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SIM ( ) _____________
2. Determine o polinômio que representa a área da figura a seguir, cujas
medidas estão contidas nela.
3x + 2y
a) 3x – y + 3x + 2y
b) 3x2 + 3xy – 2y2
c) 6x + y
d) x2 + 6xy – 2y2
3x – y
3. Determinando algebricamente o volume do paralelepípedo a seguir, cujas
medidas de suas dimensões estão expressas em cada um deles, encontramos, respectivamente, para a figura A e para a figura B, os seguintes
valores:
a) 6a3 + 2a2 ; x3 + 5x2 + 6x
b) x3 + 5x2 + 6x ; 6a3 + 2a2
c) 6a3 + 2a ; x3 + 5x2
3a + 1
d) a3 + 2a2 ; 8x3 + 6x
2a
A
a
x+2
B
x+3
x
4. Resolva as seguintes operações:
(
b) (12a b
)
a) 40x 3 y 2 − 5x 2 y 3 ÷ (−10xy )
4 2
)
− 28a2b2 + 4ab3 ÷ (4ab)
5. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) (xy + 3z) · (xy – 3z)
b) (2x – 5)²
c) (2a – b)³
6. Fatore as expressões a seguir.
a) x³y² + x²y² + xy²
 x2 y2 
−
b) 

 9 16 
c) x² + 4x + 4
d) x³y – xy³
Essas atividades visam a consolidar conceitos do cálculo algébrico. Isso auxiliará você na compreensão dos aspectos matemáticos fundamentais. Realize as
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SIM ( ) _____________
atividades, retorne aos exemplos e, caso tenha dúvidas, contate os professores
da equipe.
Na primeira atividade, temos como resposta a letra (a); na segunda, temos
a letra (b); e, na terceira, a letra (a).
Na quarta atividade, as respostas são: (a) – 4x2y + xy2/2; (b) 3a3b – 7ab + b2.
Na quinta atividade, as respostas são: (a) (x2y2 – 9z2); (b) 4x2 – 20x + 25;
(c) 8a3 – 6a2b 6ab2 – b3.
Na última atividade, temos as seguintes respostas: (a) xy(x2y + xy + y);
x y
x y
(b)  −  ⋅  +  ; (c) (x + 2)2; (d) xy(x + y)(x – y).
3 4 3 4
Referência
GIOVANI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática 2º grau. São Paulo: FTD,
2002. v. 1.
Na próxima aula
Vamos fazer um estudo introdutório de noções de funções, que irá nos auxiliar
para o estudo das funções do primeiro e segundo grau nas duas últimas aulas.
Anotações
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SIM ( ) _____________
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
Aula 5
Introdução ao
estudo de funções
Objetivos
• apresentar conceitos básicos no estudo de funções;
• identificar o domínio de funções.
Pré-requisitos
Para um bom desempenho no estudo desta aula, você precisa ter compreendido o estudo das equações algébricas, visto na aula 4, em especial o valor
numérico dessas expressões, que irão nos auxiliar na identificação do domínio
de algumas funções. É muito importante também retornar à aula 1 para verificar a representação dos conjuntos numéricos.
Introdução
Em Matemática, o uso do conceito de funções se torna uma ferramenta
poderosa para compreendermos melhor as implicações da matemática em
nosso dia-a-dia.
As aplicabilidades desse conceito, em instituições empresariais, são muito
largas e importantes para a área gerencial e contábil. Alguns exemplos de aplicações são: despesa com energia, preço de um produto, preço de mercado,
ponto de nivelamento, custos de um produto no mercado, entre outros.
Depois de uma breve introdução sobre a importância do estudo desta
aula, vamos tratar de alguns conceitos básicos no estudo de funções.
5.1 Pares ordenados
Antes de tentarmos definir o que é uma função, precisamos conhecer alguns
elementos importantes que fazem parte do conhecimento básico necessário para
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
a compreensão do que é uma função. O primeiro elemento que vamos conhecer
é um par ordenado. Um par ordenado pode ser definido como dois números que
seguem uma determinada ordem, como observaremos no exemplo a seguir:
1

 ; − 4
3
2º elemento
1º elemento
É importante estabelecer que o primeiro elemento do par pertence ao eixo x,
e o segundo elemento pertence ao eixo y. Essa colocação será útil para a
representação de qualquer par ordenado em um plano cartesiano (que será
definido ainda nesta aula).
5.2 Representação gráfica de um par ordenado
Como dissemos na seção anterior, um par ordenado pode ser representado
por um ponto em um plano cartesiano, que estudaremos a partir de agora.
Definimos os pares ordenados como coordenadas cartesianas.
Exemplos:
A (2; 4) ==> 2 e 4 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º elemento do par ordenado; e ordenada, o
2º elemento desse par.
Assim:
(2; 4)
2º elemento
1º elemento
coordenadas
1º elemento: eixo das abscissas;
2º elemento: eixo das ordenadas.
5.3 Plano cartesiano
A representação do par ordenado em um sistema de coordenadas ocorre
da seguinte forma: utilizamos duas retas, x e y, perpendiculares entre si, onde
o eixo das abscissas (eixo x) é uma reta horizontal, e o eixo das ordenadas
(eixo y) é uma reta vertical.
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
A figura a seguir mostra o plano que acabamos de definir.
y
origem ou ponto (0; 0)
x
Agora que já definimos o nosso sistema de coordenadas (plano cartesiano), podemos localizar um ponto nesse sistema.
A localização do ponto é realizada da seguinte maneira: devemos
localizar o primeiro elemento do par ordenado no eixo x, depois proceder
da mesma maneira para localizar o segundo elemento do par no eixo y.
Depois, basta traçarmos retas paralelas ao eixo x e ao eixo y que passam
pelos dois elementos do par e, no encontro dessas retas, marcamos o ponto.
Para identificar melhor essa definição, vamos verificar a representação do
ponto A (–1; 3) no plano:
y
A
3
-1
x
5.4 Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano
A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x; y), em que: A x B = {(x; y) / x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} e com o auxílio do diagrama
de flechas, formaremos o conjunto de todos os pares ordenados, em que o 1º
elemento pertença ao conjunto A, e o 2º pertença ao conjunto B.
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
A
B
1•
•3
2•
3•
•4
Assim, obtemos o conjunto: {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4)}. Esse
conjunto é denominado produto cartesiano de A por B e é indicado por:
A x B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4)}.
5.5 Noções de funções
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, com a relação A x B, temos que
essa relação será função, se e somente se, todo elemento do conjunto A se
relacionar com um único elemento do conjunto B. Com esse primeiro cuidado
de definir uma função, vamos agora definir, de maneira geral, o domínio
de uma função. Seja D um subconjunto não-vazio dos números reais, então
definir em D uma função f é explicar uma lei de formação em que a cada
elemento x ∈ D faça corresponder um único número real y.
A=D
B = CD
x
y
lm
O conjunto D é chamado domínio da função f (conjunto de partida). O
conjunto CD é o conjunto de chegada dos elementos, independente daqueles
que estão em correspondência com algum elemento do domínio, e Im é o
conjunto imagem, ou seja, o conjunto formado pelos elementos que fazem
correspondência com os elementos do domínio.
a) Domínio de funções polinômicas simples
Ex.: f(x) = 3x – 4 ⇒ D = R
f(x) = 3x2 – 9 ⇒ D = R
f(x) = x3 – 4x + 6 ⇒ D = R
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SIM ( ) _____________
b) Domínio da função quociente (denominador deve ser diferente de zero)
1
⇒ D=R≠0
x
3
⇒ D=R≠4
f(x) =
x−4
f(x) =
c) Domínio da função raiz de índice par (o radicando deve ser sempre
maior ou igual a “zero”)
f(x) =
x + 3 ⇒ D = R ≥ −3
Existem outros modelos de funções em que o domínio é determinado por
diferentes maneiras e procedimentos. Porém, aqui, o mais interessante para o
curso são as funções elementares.
Dessa forma, é importante estarmos atentos para o uso e a aplicabilidade
das funções no nosso cotidiano, seja nas situações informais ou empresariais.
Síntese da aula
Nesta aula, fizemos uma retomada dos conceitos básicos no estudo
de funções, além de analisar o domínio de diferentes tipos de funções.
Compreendemos que a função está definida quando todos os elementos do
domínio têm uma única imagem.
Atividades
1. Qual dos gráficos a seguir não representa uma função?
y
y
a)
0
b)
x
0
y
y
c)
0
x
d)
x
0
x
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
2. Analise a função dada e responda qual o seu domínio.
f (x ) =
2
2x + 10
a) D = {x ∈ R/ x > – 5}
b) D = {x ∈ R/ x ≥ – 5}
c) D = {x ∈ R/ x < – 5}
d) D = {x ∈ R/ x ≤ – 5}
3. Determine o domínio das seguintes funções:
a) f (x ) = 3x − 20
b) f (x ) =
2
−5x − 15
c) f (x ) =
5
−2x − 20
d) f (x ) =
4x − 20
e) f (x ) =
2
2x + 10
4. Encontre o domínio da função
b) f (x ) =
5
3x
3x − 15
Exercite essas atividades para conseguirmos passar para as próximas
aulas, que dependem diretamente desta aula. Na primeira atividade, o gráfico
que não representa uma função está na letra (d), pois existe um elemento do
domínio com mais de uma imagem.
Na segunda atividade, a resposta é a letra (a). A terceira traz a seguinte
seqüência de respostas: (a) D = R; (b) D = {x ∈ R/ x ≠ –3}; (c) D = R;
(d) D = {x ∈ R/ x ≥ 5}; (e) D = {x ∈ R/ x > –5}. Na última atividade, a resposta
é o conjunto D = {x ∈ R/ x ≠ 5}.
Na próxima aula
Trabalharemos com o estudo da função do primeiro grau, que se
caracteriza como uma das mais importantes funções com suas aplicações
práticas.
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SIM ( ) _____________
Aula 6
Função do primeiro grau
Objetivos
• resolver sentenças matemáticas abertas e fechadas;
• representar graficamente a função do primeiro grau para fazer o seu
estudo de sinal.
Pré-requisitos
Para um bom desempenho no estudo desta aula, é necessário ter o domínio
de expressões algébricas, vistas na aula 4, mas principalmente o método de resolução de problemas que adotamos na aula 3. Portanto retome os exemplos que
resolvemos naquela aula para compreender melhor o desenvolvimento desta.
Introdução
Na Matemática, alguns assuntos podem ser expressos por meio de sentenças
ou expressões matemáticas, chamadas de sentenças abertas ou fechadas. As
sentenças matemáticas fechadas trazem uma igualdade ou desigualdade que
pode ser classificada imediatamente como sendo verdadeira ou falsa. Já as
sentenças matemáticas abertas são assim denominadas por apresentar em
elementos desconhecidos em sua igualdade. A seguir, observe os exemplos de
sentenças matemáticas fechadas e abertas, respectivamente.
a) 5 + 3 > 7
b) 2x – 9 = 1
Nosso objetivo, nesta aula, é o estudo das sentenças matemáticas abertas.
No exemplo (b) anterior, temos um elemento desconhecido, que chamamos de
incógnita ou variável. O conjunto de valores que uma variável pode assumir
é conhecido como conjunto universo. Dentro desse conjunto, o valor que se
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APROVADA? NÃO ( )
SIM ( ) _____________
atribui à variável para tornar a sentença verdadeira é chamado de conjunto
verdade. No exemplo (b), a incógnita terá valor 5 para tornar a sentença
como verdadeira.
As sentenças matemáticas que desejamos estudar constituem igualdades,
que trazem a forma de representação mostrada a seguir:
P=S
P e S são separados pelo sinal de igual, em que P recebe o nome de
Primeiro Membro, e S de Segundo Membro.
6.1 Equações do primeiro grau
Uma equação pode ser definida como sendo uma sentença matemática
aberta expressa por uma igualdade, e pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde
a e b são números reais e a ≠ 0. Vamos analisar a seguir um problema simples
que envolve o conjunto universo e o conjunto verdade de uma equação.
1. Em uma partida de vôlei, uma das equipes se apresentou com apenas
4 jogadores. Quantos jogadores faltam para completar a equipe?
O número de jogadores de uma equipe de vôlei é 6. Se representarmos a quantidade desconhecida de jogadores pela letra “x”, vamos
ter a seguinte equação do primeiro grau:
x+4=6
Nesse caso, o número de jogadores que faltam são 2, pois 2 + 4 = 6.
Portanto temos o conjunto universo e o conjunto verdade a seguir:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
V = {2}
6.2 Resolução de uma equação do primeiro grau
Na resolução de uma equação do primeiro grau, podemos seguir alguns
passos que nos auxiliem nessa tarefa, como:
• devemos fazer todas as operações indicadas e simplificar ao máximo
nossa equação;
• eliminar denominadores, se houver;
• colocar os termos dependentes da incógnita no primeiro membro, e os
independentes no segundo;
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• dividir os membros da equação pelo coeficiente da incógnita.
Obs.: podemos verificar a veracidade da solução da equação substituindo
o valor encontrado no lugar da variável, efetuar as operações indicadas e
confirmar a raiz da equação, ou seja, o seu conjunto verdade.
Exemplos:
a) 2x – 8 = 0
2x – 8 + 8 = 0 + 8
2x = 8
2x/2 = 8/2
x=4
V = {4}
b) (2x – 4) · 3 – 5 = 6 · (3x – 8) – 29
6x – 12 – 5 = 18x – 48 – 29
6x – 17 = 18x – 77
6x – 17 + 17 = 18x – 77 + 17
6x = 18x – 60
6x – 18x = 18x – 60 – 18x
– 12x = – 60
– 12x/ – 12 = – 60/– 12
x=5
V = {5}
c)
3x 6 2x − 12 x
− −
= −2
7 7
3
3
9x − 18 − 7(2x − 12) = 7x − 42
21
9x − 18 − 14x + 84 = 7x − 42
9x − 14x − 7x = 18 − 84 − 42
−12x = −108
x=
−108
=9
−12
V = {9}
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6.3 Inequações de primeiro grau
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta expressa por
uma desigualdade. Essas inequações do 1º grau com uma variável podem ser
escritas em uma das seguintes formas:
ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 e ax + b < 0
3x − 5 ≥ 0,
4x 5
3
+ < 0, 5x − ≤ 0
3 3
4
Exemplo:
3x – 4 > 0 / 3x > 4 / x > 4/3
S = {x ∈ R / x > 4/3}
6.4 Resolução de sistemas de equações do primeiro grau
Nesta aula, trabalhamos com a resolução de equações do primeiro grau
com uma única variável. Agora, vamos aplicar um dispositivo na resolução de
equações do primeiro grau com duas variáveis. Essas equações são sentenças
matemáticas abertas compostas e constituídas por equações que têm o mesmo
conjunto universo.
Vejamos agora algumas maneiras de se resolver um sistema de equações:
3x + 5y = 6
a) 
5x = 10

Da segunda equação, temos que x = 2, substituindo esse valor na primeira,
temos o valor de y:
3(2) + 5y = 6
5y = 6 – 6
y = 0 V = {2; 0}
No exemplo que acabamos de resolver, tínhamos uma das equações do
sistema com apenas uma incógnita. Mas quando temos um sistema formado
por duas equações e duas incógnitas, devemos operacionalizar esse sistema de
maneira que uma das equações contenha apenas uma variável. Esse processo
é denominado de eliminação e consta de três principais métodos: redução ao
mesmo coeficiente, comparação e substituição.
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SIM ( ) _____________
6.5 Método de redução ao mesmo coeficiente
Nesse primeiro método, devemos escolher a variável a ser eliminada,
então multiplicar cada equação pelo coeficiente simétrico que tem essa incógnita na outra equação e somar membro a membro as equações.
Exemplo:
 x + 2y = 4( −2)
a) 
2x − 3y = −6
 −2x − 4y = −8

 2x − 3y = −6
Somando as equações termo a termo, teremos:
0x − 7y = −14
−14
−7
y= 2
y=
Substituindo o y na primeira equação do primeiro sistema, temos:
x + 2y = 4
x + 2 ⋅ (2) = 4
x+4=4
x=0
V = {0;2}
6.6 Método de eliminação por comparação
Isolamos a mesma variável nas duas equações e depois igualamos as
expressões obtidas.
Exemplo:
3x + 2y = 2
a) 
2x − y = 1
3x = 2 − 2y
x=
2 − 2y
3
2x = 1+ y
x=
1+ y
2
69
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a) 
2x − y = 1
3x = 2 − 2y
2x = 1+ y
x=
2 − 2y
3
2 − 2y 1+ y
=
3
2
3(1+ y) = 2(2 − 2y)
3 + 3y = 4 − 4y
3y + 4y = 4 − 3
7y = 1
y=
x=
1+ y
2
 1
1+  
7
x=
2
8
x= 7
2
8 1
x= ⋅
7 2
4
x=
7
1
7
 4 1
V= ; 
7 7 
6.7 Método da eliminação por substituição
Isolamos uma das variáveis que se deseja eliminar na primeira ou na
segunda equação. Depois, basta substituir na outra equação, como mostra o
exemplo a seguir.
3x − y = 1
a) 
2y − x = 8
− x = 8 − 2y(−1)
x = −8 + 2(5)
x = −8 + 2y
x = −8 + 10
3(−8 + 2y) − y = 1
x=2
−24 + 6y − y = 1
5y = 1+ 24
25
5
y=5
y=
V = {2;5}
6.8 Função do 1º grau
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função
f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números
reais dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x, e o
número b é chamado de termo constante ou independente. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 7x – 3, onde a = 7 e b = –3
f(x) = – 4x – 7, onde a = – 4 e b = –7
f(x) = x, onde a = 1 e b = 0
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6.9 Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0,
é sempre uma reta.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x – 1.
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 – 1 = –1; portanto, um ponto é (0; –1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x – 1; portanto, x = 1/3 e, então, o outro ponto
é (1/3; 0 ).
y
x
y
0
–1
0
1/3
1
3
x
–1
Podemos acrescentar ao nosso estudo que o gráfico da função afim
y = ax + b é uma reta, em que “a” é o coeficiente angular da reta (conteúdo
que será aprofundado na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, no
próximo período) e “b” é o coeficiente linear da reta e também o ponto
onde a reta intercepta o eixo y, como aconteceu no gráfico do exemplo
anterior.
Outra observação que se deve acrescentar ao nosso estudo é quanto
à classificação da função como crescente ou decrescente. Quando o coeficiente de x (a) é positivo, temos uma função crescente; mas, quando o valor
de (a) for negativo, temos uma função decrescente, como ilustram os exemplos a seguir:
a) f(x) = 2x + 3, função crescente (a > 0)
b) f(x) = –x + 2, função decrescente (a < 0)
6.10 Zero da função do primeiro grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = a x + b,
a ≠ 0 o número real x tal que f(x) = 0, como foi visto para a solução de uma
equação do primeiro grau.
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Temos:
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = –b / a
Vejamos alguns exemplos.
a) Determinação do zero da função f(x) = 2x – 7:
f(x) = 0 ⇒ 2x – 7 = 0 ⇒ x = 7 / 2 b) Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 ⇒ 3x + 6 = 0 ⇒ x = –2
c) Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de f(x) = –2x + 10
corta o eixo das abscissas (eixo x).
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que f(x) = 0;
então:
f(x) = 0 ⇒ –2x + 10 = 0 ⇒ x = 5
6.11 Estudo do sinal da função do primeiro grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar o valor de x
para os quais y é positivo, negativo ou nulo.
f(x) = ax + b
–b / a
y>0
x
y<0
f(x) = – ax + b
–b / a
y>0
y<0
72 x
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Exemplo:
Vamos estudar o sinal da função f(x) = x – 8:
x – 8 = 0 / x = 8,
então, o sinal da função será:
a = 1; b = –8; – b/a = 8
sinal contrário de a
–
mesmo sinal de a
+
8
x
Podemos concluir que:
para y < 0 <=> x < 8;
para y > 0 <=> x > 8;
para y = 0 <=> x = 8.
Portanto vimos, nesta aula, a função do primeiro grau e suas aplicações,
a partir da exposição de exemplos práticos.
Síntese da aula
Fizemos o estudo da função do primeiro grau com a sua representação
gráfica e, principalmente, o estudo de sinais de uma função, que sintetiza o
trabalho no estudo desta aula. Vimos ainda que, para resolver um sistema de
equações com duas variáveis, temos três métodos distintos de resolução, que
são: método de redução ao mesmo coeficiente, método de eliminação por
comparação e método de eliminação por substituição.
Atividades
1. A solução da equação – 4 – 3 · (3x + 2) = x – 4 é:
a) 7
b) –1/10
c) 2/3
d) –3/5
2. Encontre a solução para a inequação
a) S = {x ∈ R/ x > 12}
b) S = {x ∈ R/ x < –12}
c) S = {x ∈ R/ x > 18}
d) S = {x ∈ R/ x < –18}
2x
− 5 > x + 1:
3
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3. Usando um dos métodos que estudamos, resolva os sistemas a seguir:
a)
2x + 3y = 23

2y = 10
b)
 x − 2y = 0

 x − y = 1
S = {2; 1}
c)
2x − y = 1

 x + 3y = 11
S = {2; 3}
d)
5x + 2y = 45

 4x + y = 33
S = {7; 5}
S = {3; 5}
4. Dadas as funções a seguir, determine o seu gráfico, o zero ou raiz e faça
o estudo de sinais:
a) f(x) = x + 4
b) f(x) = –x + 4
c) f(x) = 2x + 3
d) f(x) = –3x – 1
Essas atividades refletem os objetivos inerentes ao estudo da função do
primeiro grau e também ao estudo das equações e inequações do primeiro
grau. Para resolvê-las, isole a variável para o primeiro membro usando o
mesmo procedimento da resolução da equação do primeiro grau. Lembre-se
de que sempre que se multiplicar ambos os termos de uma inequação por um
número negativo, o sinal de desigualdade se inverte. A primeira e a segunda
atividade tem como resposta a letra (d).
A terceira atividade deixa você livre para utilizar um dos três métodos de
resolução que vimos e as respostas estão na atividade. Procure praticar o uso
dos diferentes métodos de resolução de sistema de equações e, ao encontrar a
solução, verifique se ela realmente é verdadeira substituindo os valores encontrados nas equações. Lembre-se de estudar os sinais da função para valores de
x que a tornam positiva, negativa e nula.
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Nessa última atividade, você deve ter atenção especial ao fato de termos funções
crescentes e decrescentes, pois este fato influencia na construção do gráfico.
Na próxima aula
Estudaremos as equações do segundo grau que servirão de preparação para
o estudo da função do segundo grau ainda nessa aula que virá. Fique atento!
Anotações
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Aula 7
Função do segundo grau
Objetivos
• determinar o vértice e o conjunto imagem de uma função do segundo
grau;
• determinar o conjunto solução de equações e inequações do segundo
grau.
Pré-requisitos
Para um bom desempenho no estudo desta aula, é necessário dominar o
estudo feito com o cálculo algébrico e também a revisão feita com potenciação
e radiciação (aula 2), pois esses conteúdos servirão de ferramentas para a
resolução das equações de segundo grau.
Introdução
No campo da Matemática, as aplicações desse modelo de equação
abrangem várias áreas do conhecimento humano. Na Engenharia, por
exemplo, temos a aplicação em cálculos de estruturas e também em cálculo
de áreas. Na Física, lançamento de projéteis, no estudo da dinâmica da partícula, e, na área de Economia e de Administração, em oferta de mercado,
receita total, preço de equilíbrio, entre outras.
Evidentemente, o estudo dessa equação é muito importante e, no decorrer
do nosso curso, devemos salientar a importância dela para que os nossos horizontes, em nível de aplicação da função quadrática, sejam ampliados.
7.1 Equação do 2º grau
É uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com coeficientes numéricos a, b
e c, e com a ≠ 0.
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O esquema a seguir mostra a relação dos coeficientes da equação e sua
classificação:
ax² + bx + c = 0
ax² + bx = 0
ax² + c = 0
ax² = 0
completas
incompletas
O que observamos no esquema anterior é que, se um dos coeficientes (b
ou c) ou os dois forem nulos, temos uma equação do 2º grau incompleta.
7.1.1 Resolução das equações do segundo grau
A resolução de equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax² + bx
+ c = 0 com a, b e c diferentes de zero, pode ter até 2 raízes reais, que podem
ser determinadas pela fórmula de resolução das equações de segundo grau,
encontrada da seguinte forma:
ax 2 + bx + c = 0
4a ⋅ (ax 2 + bx + c) = 4a ⋅ 0
4a2 x 2 + 4abx + 4ac = 0
4a2 x 2 + 4abx + 4ac + b2 − b2 = 0 + b2 − b2
(4a2 x 2 + 4abx + b2 ) − (b2 − 4ac) = 0
(2ax + b)2 − (b2 − 4ac) = 0
(2ax + b)2 = b2 − 4ac
(2ax + b)2 = ± b2 − 4ac
2ax + b = ± b2 − 4ac
2ax = −b ± b2 − 4ac
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
x=
−b ± ∆
, em que ∆ = b2 − 4ac
2a
Exemplos:
a) 3x² – 7x + 2 = 0
78 a = 3, b = – 7 e c = 2
∆ = b2 – 4ac
∆ = (– 7)² – 4 · 3 · 2 = 49 – 24 = 25
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Substituindo na fórmula:
x=
−b ± ∆ −( −7) ± 25 7 ± 5
1
=
=
⇔ x ' = 2 e x '' =
2a
2⋅3
6
3
S = {2; 1/3}
b) –x² + 4x – 4 = 0
a = –1, b = 4 e c = –4
∆ = 4² – 4 · (–1) · (–4) = 16 – 16 = 0
Substituindo na fórmula:
x=
−b ± ∆ −4 ± 0 4 ± 0
=
=
⇔ x ' = x '' = 2
2a
2 ⋅ ( −1)
2
c) 5x² – 6x + 5 = 0
a = 5; b = – 6; c = 5
∆= (–6) ² – 4 · 5 · 5 = 36 – 100 = –64
Note que ∆ < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim
a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: S = { }.
7.2 Relação entre os coeficientes e as raízes
A relação entre os coeficientes de uma equação do segundo grau e
suas raízes está fundamentada em dois teoremas, que serão apresentados
a seguir.
o
1 A soma das raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é igual ao coeficiente
de x o (b), com o sinal contrário, dividido pelo coeficiente de x2, o (a),
ou seja:
x '+ x '' = −
b
a
o
2 O produto das raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é igual ao
termo independente de x, o (c) dividido pelo coeficiente de x2, o (a),
ou seja:
x ' ⋅ x '' =
c
a
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Exemplo:
x2 – 7x +10 = 0
b
( −7)
x '+ x '' = − = −
= 7 = 5+2
a
1
x ' ⋅ x '' =
c 10
=
= 10 = 5 ⋅ 2
a
1
Logo x’= 2 e x” = 5, ou seja, dois números reais que, somados, são
iguais a “b/a” com o sinal contrário, e que multiplicados são iguais a
“c/a”.
7.3 Regra mnemônica dos sinais
Podemos determinar os sinais das raízes de uma equação do segundo
grau sem precisar resolvê-la. Dada a equação ax2 + bx + c = 0 pode
acontecer de termos as seguintes seqüências de sinais para os seus
coeficientes:
• (+), (+) e (+): sinais sem variação, temos duas raízes negativas;
• (+), (–) e (+): sinais com variação, temos duas raízes positivas;
• (+), (+) e (–): sinais sem alteração e com alteração, temos duas raízes
de sinais contrários com a raiz negativa de maior valor absoluto que
a positiva;
• (+), (–) e (–): sinais com alteração e sem alteração, temos duas raízes
de sinais contrários com a raiz positiva de maior valor absoluto que
a negativa.
Exemplos:
a) x2 – 12x + 35 = 0 Duas raízes positivas.
b) x2 – x – 56 = 0 Duas raízes de sinais diferentes, com a maior c) 4x2 + 21x – 18 = 0 positiva.
Duas raízes de sinais diferentes, com a maior negativa.
7.4 Função do segundo grau
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b
e c são números reais e a ≠ 0.
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Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
a) f(x) = 2x2 – 5x + 1, em que a = 2, b = –5 e c = 1
b) f(x) = x2 – 4, em que a = 1, b = 0 e c = –4
c) f(x) = x2 + 3x + 5, em que a = 1, b = 3 e c = 5
d) f(x) = –x2 + 3x, em que a = –1, b = 3 e c = 0
e) f(x) = –x2, em que a = –1, b = 0 e c = 0
7.5 Representação gráfica
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0,
é uma curva denominada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x
8
x
y
–2
–1
0
1
2
2
0
0
2
6
6
(–3, 6)
(2, 6)
4
(–2, 2)
2
(1, 2)
0
(1, 0)
Observação:
(0, 0)
(– 12 , – 14 )
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
7.6 Zeros ou raízes da função do 2º grau
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau,
f(x) = ax2 + bx + c a≠ 0, os números reais x, tais que f(x) = 0. A determinação
das raízes se dá da mesma maneira em que foram resolvidas as equações do
segundo grau nesta aula, seja ela completa ou incompleta.
7.7 Número de raízes
Se ∆ > 0 (positivo), existem duas raízes reais e distintas;
Se ∆ = 0 (zero), existem duas raízes reais iguais;
Se ∆ < 0 (negativo), não existem raízes reais.
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A figura a seguir resume, graficamente, o estudo do número de raízes e a
concavidade da parábola.
∆>0
∆=0
∆<0
a>0
a<0
7.8 Estudo de sinais da função do segundo grau
Considerando uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, determinaremos os valores de x para os quais y é negativo, positivo ou nulo. Conforme o
sinal do discriminante ∆ = b2 – 4ac, podem ocorrer os casos a seguir.
1º Caso: quando o discriminante for maior que zero (∆ > 0), a função
quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 ≠ x2). A parábola intercepta
o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função para valores externos ao
intervalo das raízes terá o mesmo sinal de “a”, e para os valores internos
ao intervalo das raízes, o sinal da função terá o sinal contrário ao de “a”.
a) a > 0
mesmo de “a”
contrário de “a”
mesmo de “a”
+
–
+
mesmo de “a”
b) a < 0
mesmo de “a”
–
82 x’
x’’
y > 0 para x < x’ ou x > x’’
y < 0 para x’ < x < x’’
y = 0 para x = x’ = x’’
+
x’
x’’
y > 0 para x’ < x < x’’
y < 0 para x < x’ ou x > x’’
y = 0 para x = x’ = x’’
–
x
x
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2º Caso: quando o discriminante for igual a zero (∆ = 0), a função
quadrática admite dois zeros reais iguais (x’ = x’’). A parábola intercepta o eixo Ox em um ponto, e o sinal da função para qualquer valor
de “x” terá sempre o mesmo sinal de “a”, exceto para x = x’, valor para
o qual a função se anula.
a) a > 0
mesmo sinal de “a”
+
+
x’ = x’’
x
y > 0 para
x
R
y < 0 para x R
y = 0 para x = x’ = x’’
b) a < 0
–
–
x’ = x’’
x
y > 0 para
x
R
y < 0 para x R
y = 0 para x = x’ = x’’
3º Caso: quando o discriminante for menor que zero (∆ < 0), a função quadrática não admite raízes reais, e a parábola não intercepta o eixo Ox.
Nesse caso, o sinal da função para qualquer valor de “x” terá sempre o
mesmo sinal de “a”.
a) a > 0
+
y > 0 para
y < 0 para
y = 0 para
x
x R
x R
x R
b) a < 0
–
y > 0 para
y < 0 para
y = 0 para
x
x R
x R
x R
83
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7.9 Coordenadas do vértice da parábola (V)
O vértice de uma parábola é o ponto em que a função terá o seu valor
máximo ou mínimo da imagem. Quando a > 0, a parábola tem concavidade
voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são:
∆
 b
V−
;–
 2a
4a 
Veja os gráficos:
y
y
v
– ∆
4a
a>0
0
– b
2a
a<0
x
– b
2a
0
x
– ∆
4a
v
7.10 Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é o conjunto dos
valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
a
1 ) quando a > 0
yv
Im = {y ∈ R / y ≥ y V }
xv
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2ª) quando a < 0
xv
yv
Im = {y ∈ R / y ≤ y V }
7.11 Inequações do segundo grau
Chama-se inequação do segundo grau toda desigualdade que resulta em
pelo menos uma equação do segundo grau.
Para resolvermos uma inequação do segundo grau, devemos acompanhar
os seguintes passos:
• verificar se o segundo membro da desigualdade é igual a zero;
• determinar as raízes da equação caso elas existam;
• construir o gráfico de estudo de sinais da equação;
• baseado no gráfico do item anterior, dar a solução da inequação.
Exemplo:
x2 – 5x + 6 > 0
x=
−( −5) ± 25 − 24 5 ± 1
=
2
2
x' = 3
e
x '' = 2
Estudar o sinal da função:
mesmo de “a”
2
S = {x
–
mesmo de “a”
x
3
R|x < 2 vx > 3}
O estudo desta aula foi, então, das equações do segundo grau. Portanto
você já estará pronto para nossa próxima disciplina específica do curso de
Matemática.
85
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Síntese da aula
Esta aula nos mostrou caminhos e ferramentas no estudo das equações
do segundo grau. É importante saber resolver equações aplicando a fórmula
−b ± b2 − 4ac
e as relações
2a
c
b
entre coeficientes e as raízes x '+ x '' = − ; x ' ⋅ x '' = .
a
a
de resolução da equação de segundo grau x =
Vimos a apresentação da função do segundo grau e a sua representação
gráfica. Estudamos, também, a influência do valor de “a” e de “∆” na forma
da parábola que representa a função. Analisamos o comportamento de uma
função do segundo grau de acordo com o número de raízes e, para isso, utilizamos o estudo de sinais.
No estudo, vimos que a resolução de uma inequação do segundo grau se
assemelha à resolução da equação de mesmo grau, diferindo apenas no seu
conjunto solução que satisfaça a desigualdade.
Atividades
1. As raízes da equação –x2 + x + 6 = 0 são:
a) x’ = 0 e x” = 3
b) x’ = 0 e x” = 6
c) x’ = –2 e x” = 3
d) x’ = 2 e x” = –3
2. O conjunto solução da inequação x2 – 5x + 6 ≤ 0 é:
a) S = {x ∈ R|x < 2 vx > 3}
b) S = {x ∈ R|2 ≤ x ≤ 3}
c) S = {x ∈ R|3 ≤ x ≤ 2}
d) S = {x ∈ R|x < 5 vx > 6}
3. Represente graficamente as funções a seguir:
86 a) f(x) = x2
c) f(x) = –x2 + 8x – 17
b) f(x) = –x2
d) f(x) = x2 – 3x – 10
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4. Encontre o vértice e o conjunto imagem das funções a seguir:
a) f(x) = x2 – 10x + 21
b) f(x) = x2 – 25
c) f(x) = x2 + 1x + 8
d) f(x) = –x2 + x + 6
Na resolução da primeira atividade, você pode utilizar a fórmula de resolução ou simplesmente a soma e o produto de suas raízes e encontrará os
seguintes valores, x’ = –2 e x” = 3, letra (c).
Na segunda atividade, a resposta é a letra (b). Na terceira atividade,
procure atribuir pelo menos dois valores menores e dois valores maiores do
que as raízes da função. Isso é importante para garantir a simetria da parábola. A última atividade tem como resposta os seguintes conjuntos imagem:
(a) Im = {y ∈ R/ y ≥ –19/4}; (b) Im = {y ∈ R/ y ≥ –25}; (c) Im = {y ∈ R/ y ≥ 4};
(d) Im = {y ∈ R/ y ≤ 25/4}.
Anotações
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03 - matemática - Finalizadas as ofertas de disciplinas dos Cursos

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