Capítulo 1 – Introdução à Física
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Capítulo 1 – Introdução à Física
Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 Capítulo 1 – Introdução à Física A ntes de começarem com os conceitos práticos da Física, é imprescindível para os alunos de Pré-Vestibular estarem certificados de que dominam os seus princípios, e que possuem a base matemática necessária. Para tanto, esta apostila tentará introduzir os conceitos primordiais de forma bastante sucinta, buscando assim benefícios didáticos. É importante lembrar que os tópicos abordados neste momento serão utilizados ao longo de todo o material. Medidas Físicas A Física é a parte da ciência que lê a natureza, através dos componentes fundamentais do Universo, as forças que eles exercem e os resultados destas forças. Para efetuar esta leitura, o homem faz comparações com aspectos familiares a si mesmo. A essas comparações damos o nome de medida. Uma medida física é composta por dois elementos. O primeiro é um número, que dá a noção de dimensão da medida; e a segunda é a unidade, que é a comparação que está sendo feita. Por exemplo: em uma unidade (no caso, o centímetro). Logo, em Física, uma medida pode ser escrita como: MEDIDA = NÚMERO X UNIDADE No exemplo acima (Exemplo 1.1) nossa medida era 15 (número) x cm (medida) Potências de Dez Exemplo 1.1: Uma caneta mede 15 centímetros. • Inferimos intuitivamente que a caneta é 15 vezes maior que um centímetro. Para ter a noção de dimensão do objeto, nos baseamos Para escrever as medidas científicas de forma mais simples, é comum utilizarmos a potência de dez. Esta é um forma de escrever os números em relação à base 10, e é interessante para facilitar cálculos com números muito grandes ou muito pequenos. 1 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 2 x 10³ n = N x 10e Sendo: n a medida escrita na base 10 O mesmo procedimento ocorre para números menores do que um. 1 ≤ N < 10 0,003 e o expoente da base 10 3 casas para a esquerda Exemplo 1.2: 20m = 2 x 10¹ m 0,3m = 3 x 10-1 m 200m = 2 x 10² m 0,03m = 3 x 10-2 m 2.000m = 2 x 10³ m 0,003m = 3 x 10-3 m 3 : 1.000 = 3 : 103 Em potência de dez: 3 x 10-3 Desta maneira, para medidas com valor maior do que 10 ou menores do que 1, transformamos o número da medida em uma multiplicação, da seguinte forma: 1º Passo: Andar com as casas da vírgula até atingir um número entre 1 e 10, ou seja, no Exemplo 1.2: Soma e Subtração Para somar e subtrair potências de 10, temos que colocar todos os elementos na mesma base: • • 2.000 (2 x 101) + (3 x 102) = (2 x 101) + (30 x 101) = (32 x 101) (2 x 101) - (3 x 102) = (2 x 101) - (30 x 101) = (-28 x 101) 3 casas para a esquerda Multiplicação e Divisão 2º Passo: Escrevemos o número como uma multiplicação. 2 x 1.000 3º Passo: Transformamos o múltiplo de dez em uma potência. Na multiplicação, multiplica-se os N e soma-se os e, enquanto na divisão dividede os N e subtrai-se os e. • • (2 x 101) x (3 x 102) = (6 x 101+2) = 6 x 103 (2 x 101) / (3 x 102) = (2/3 x 101-2) = 2/3 x 10-1 2 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 Exercício Resolvido: Escreva os números abaixo em potências de 10: a) 2.589 b) 0,46 c) 8 Alg. Certo : 4 e 0 Alg. Duvidoso: 0 Dizemos que esta medida pode variar entre 399,5 cm e 400,5 cm 4 cm Duvidoso Respostas: a) 2,589 x 10³ b) 4,6 x 10-1 c) 8 x 100 Alg. Certo : nenum Alg. Duvidoso: 4 Dizemos que esta medida pode variar entre 3,5 cm e 4,5 cm Precisão de uma medida A precisão de uma medida física vai depender sempre do instrumento através do qual se está fazendo a leitura. Normalmente, instrumentos mais precisos fornecem medidas com um número maior de casas decimais. Para fazer a diferenciação das precisões das medidas, chamamos o último algarismo do número da medida de algarismo duvidoso, pois este número pode conter erros de leitura. É importante notar que, em Matemática, 4 e 4,0 são números iguais. No entanto, em Física, isto não é verdade devido às diferentes precisões. Compare o exemplo abaixo com o exemplo logo acima. Certo 4, 0Duvidoso cm Alg. Certo : 4 Alg. Duvidoso: 0 Exemplo 1.4: Dizemos que esta medida pode variar entre 3,95 cm e 4,05 cm Certo 4 0Duvidoso cm Alg. Certo : 4 Alg. Duvidoso: 0 Dizemos que esta medida pode variar entre 39,5 cm e 40,5 cm 40 0Duvidoso Certo Assim, podemos afirmar que 4,0 é uma medida mais precisa do que 4. Com isso, concluímos que o algarismo duvidoso é a menor unidade que o instrumento medidor consegue medir com precisão. Por exemplo, em 4,0 cm, como o algarismo duvidoso (0) está na escala dos milímetros, dizemos que a menor unidade que este medidor pode ler é 1 mm. cm 3 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Exercício Resolvido: Indique nas medidas abaixo os algarismos certos e os algarismos duvidosos. a) b) c) d) e) 223 m 7 mm 0,08 Pa 569,00 Kgf 0,1005 K Respostas: a) b) c) d) e) 22 => Certo; 3=> Duvidoso 7 => Duvidoso 00 => Certo ; 8=> Duvidoso 5690 => Certo ; 0=> Duvidoso 0100 = > Certo ; 5=> Duvidoso Algarismos Significativos É o número de algarismos de uma medida física, excetuando-se os zeros à esquerda do primeiro número diferente de zero. Exemplo 1.5: Física 1 c) 0,1005 Pa d) 0,028 °C e) 834,00 N.m Respostas: a) b) c) d) e) 3 1 4 2 5 Notação Científica Quando transformamos uma medida escrita na forma normal para ela mesma escrita na forma de potência de 10 (vista neste capítulo), PRESERVANDO O NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, dizemos que a medida está escrita em Notação Científica. Exemplo 1.6: (i) 456 m => 3 alg. Sign. 25 kg => 2 algarismos significativos (2 e 5) Em notação científica ficará: 8,06 m => 3 algarismos significativos (8,0 e 6) n = 4,56 x 10² m 4 cm => 1 algarismo significativo (4) N = 4,56 => 3 alg. Sign. (correto) N 4,0 cm => 2 algarismos significativos (4 e 0) 0,0023 N => 2 algarismos significativos (2 e 3), pois os zeros a esquerda não são considerados. 0,00230 N => 3 algarismos significativos (2,3 e o zero a direita) Exercício Resolvido: Dê o número de algarismos significativos das medidas abaixo. a) 413 mm b) 9 m (ii) 10,00 mm => 4 alg.Sign. Em notação científica ficará: n = 1,000 x 10² mm N N = 1,000 => 4 alg. Sign. (correto) Note que devemos escrever os zeros à direita na notação científica para 4 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário preservar o significativos. número Física 1 de algarismos Ordem de Grandeza A Ordem de Grandeza é uma estimativa, baseada na potência de 10. Quando precisamos de um número muito difícil de obter (por exemplo, o número de moléculas de água no Planeta Terra), utilizamos a ordem de grandeza para se ter uma idéia próxima da realidade. OG = 10e Para ficar mais claro, observe o exercício abaixo: Exercício Resolvido: Dê a ordem de grandeza do número de segundos em uma hora. Resposta: 1h – 60 min 1 min – 60 s Uma hora tem (60 x 60 = 3600s). n = 3,600 x 103 s(Notação Científica) Qual a ordem de grandeza mais adequada? 103 ou 104? Para saber isto, utilizamos a regra descrita acima. Como 3,600 > 3,16; então Exemplo 1.6: Qual a ordem de grandeza do número de torcedores que cabem no estádio do Maracanã? 1? 10? 100? 1.000? 10.000? 100.000? Como pedimos a ordem de grandeza, não queremos o valor preciso de torcedores, mas sim se este valor está mais próximo de 10.000 ou 100.000, por exemplo. Com isso, a ordem de grandeza seria OG = 105 pessoas. Quando temos um valor em notação científica, e desejamos transformá-lo para ordem de grandeza, é necessário atentar para uma regra importante. n = N x 10e (Notação Científica) Se N ≤ 3,16; então OG = 10e Se N > 3,16; então OG = 10e+1 OG = 104 s Você deve estar se perguntando por que o valor 3,16 divide a ordem de grandeza ao meio, e não o 5. Na realidade, a metade da ordem de grandeza não é uma multiplicação, e sim uma potência, assim temos: 10e x 10-1/2 ≤ OG ≤ 10e x 10+1/2 Como 10+1/2 = 3,16, dizemos que este valor é a metade entre duas ordens de grandeza consecutivas. Grandezas Físicas Até o momento vimos as medidas físicas, que são, como já mencionado, a comparação dos elementos da natureza com aspectos familiares ao homem. No entanto, analisamos apenas as características quantitativas da medida, ou seja, apenas o número (lembrando que medida = número x unidade). 5 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 A partir de agora, vamos observar a parte qualitativa da medida, isto é, as unidades físicas. Estas unidades são chamadas de grandezas físicas, que é o conceito que descreve as diferentes propriedades da natureza. Exemplos de grandezas são: comprimento, massa, temperatura e velocidade. Uma observação importante: quando uma grandeza vetorial está escrita sem a respectiva seta em cima, estamos nos referindo ao seu Módulo (será mais bem explicado adiante). Tais grandezas se dividem em dois grandes grupos: É o sistema de unidades internacionalmente aceitas. Algumas estão relacionadas abaixo: Grandezas Escalares Grandeza São aquelas que ficam bem definidas apenas com um valor e uma unidade. São representadas pela letra correspondente. Por exemplo: • • • Comprimento (s) Temperatura (T) Tempo (t) Grandezas Vetoriais São aquelas que, diferente das grandezas escalares, ficam bem definidas não só com um valor e uma unidade, mas precisam também de um vetor (uma seta). É o caso de medidas relacionadas ao movimento. Assim, é importante saber informações como a direção e o sentido deste movimento ou intenção de movimento. São representadas pela letra correspondente, com uma seta em cima (para destacar que são vetoriais). Por exemplo: • • • Velocidade ( v ) Força ( F ) Campo Elétrico ( E ) Sistema Internacional de Unidade (SI) Unidade Símbolo metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Comprimento Vetores Referimo-nos às grandezas vetoriais como aquelas que precisam para ficar bem definidas, além de um valor e uma unidade, de um vetor. Mas, afinal, o que é um vetor? Definimos como um vetor uma seta em linha reta, com as seguintes características: Módulo ou Comprimento Ponta Origem 6 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 Tais características são próprias de todos os vetores não-nulos. Para caracterizar uma grandeza, porém, esta representação deve conter 3 informações, que o definem. São elas: (direção: horizontal); (sentido: da direita para a esquerda, ou leste) 1. Direção: É a linha reta na qual o vetor está contido, independente de onde esteja a origem e onde esteja a ponta. (direção: vertical); (sentido: de baixo para cima, ou norte) Por exemplo: Outro Exemplo: (direção horizontal) Na estrada AB, o sentido determina se estamos indo de A para B ou de B para A. (direção vertical) B A Não leva em consideração de onde vem e pra onde vai. 3. Módulo: É o comprimento da seta. Determina a intensidade da grandeza vetorial, ou seja, quanto maior o módulo (comprimento) do vetor, maior a intensidade da grandeza que ele representa, e vice-versa. Outro exemplo: suponha uma estrada em linha reta que ligue a cidade A com a cidade B. A B a b Podemos dizer que a direção da estrada é AB. Não importa se estamos indo de A para B ou de B para A. 2. Sentido: É a característica que determina, dada uma determinada direção, onde é a origem e onde é a ponta. Em outras palavras, descreve de onde o vetor está vindo e para onde ele está indo. Podemos afirmar que a intensidade da grandeza representada pelo vetor a é maior do que a do vetor b. Lembrando que quando representamos um vetor por sua letra correspondente, sem uma seta em cima, estamos representando apenas o seu módulo. Por exemplo: 7 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 Operações com Vetores Adição e Subtração de Vetores o De mesma direção • a b Quando a direção é a mesma, basta somar os módulos quando os sentidos são iguais, ou subtrair quando são diferentes. a b s=a+b b a Para fazer a soma dos vetores acima pela Regra do Triângulo, devemos obedecer aos seguintes passos: (i) unir a origem de um vetor à ponta do outro (tanto faz qual); (ii) ligar a origem que ficou livre com ponta que ficou livre (ver desenho). Este será o vetor soma, e, sua origem será a origem que estava livre e sua ponta será a ponta que estava livre. |s|=|a|+|b| (i) s (ii) b b a a s Com sentidos inversos: • a s=a+b b Veja que, neste caso: |s|≠|a|+|b| a b s=a+b Regra do Paralelogramo |s|=|a|-|b| Para fazer a soma dos vetores acima pela Regra do Paralelogramo, devemos obedecer aos seguintes passos: (i) unir as origens de ambos os vetores; (ii) completar a figura de forma que esta se torne um paralelogramo; (iii)o vetor soma terá sua origem na origem comum dos vetores somados e sua ponta na diagonal do paralelogramo (ver desenho). s Vale lembrar que, no segundo caso, prevalece o sentido do vetor de maior módulo no vetor soma. o Direções Diferentes a b Para somar e subtrair vetores com direções diferentes existem duas maneiras: a Regra do Triângulo e a Regra do Paralelogramo. (i) (iii) (ii) a b b b Regra do Triângulo 8 Capítulo 1 : Introdução à Física s a a Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 Lei dos Senos Relaciona o comprimento dos lados com os ângulos correspondentes. s=a+b Veja que, neste caso também: |s|≠|a|+|b| A B Em ambas as formas, não podemos encontrar o módulo do vetor soma a partir da soma dos vetores somados. Assim, existem duas formas de encontrá-lo: ^ b c^ â C Lei dos Cossenos A Lei dos Cossenos permite o cálculo de um dos lados de um triângulo tendo-se o valor dos outros dois e um dos ângulos. a b Observação importante: Qualquer subtração de vetores ocorrerá da seguinte forma: Ou seja, subtrair a de b significa somar a com o inverso de b. s=a-b α s = a +(- b) c a Quando temos um caso especial de triângulo retângulo, a Lei dos Cossenos assume a seguinte forma. Então fazer a – b é o mesmo que somar, através das formas aprendidas, a com –b. Multiplicando um vetor a por um número escalar k: b Se k é positivo (k>0) Como : -b Multiplicação de Vetores por Número Escalar c a b a ka Teorema de Pitágoras 9 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 Basta multiplicar o módulo do vetor a por k. Note que se k estiver entre 0 e 1, então o módulo do vetor irá diminuir. Para facilitar as contas, às vezes é mais interessante transformar este vetor em uma soma de vetores nas direções x e y a Se k é negativo (k<0) a ay a a ka α ay α ax ax a = ax + ay Neste caso, além de multiplicar o módulo do vetor k, devemos inverter o sentido do vetor. Decomposição de Vetores Assim, como a soma de 2 vetores resultam em um vetor soma, podemos decompor um vetor em uma soma de vetores. Por exemplo: EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1 1-) Encontre a quantidade de Algarismos Significativos de cada número abaixo: (a) 12.452,1 (b) 0,046 (c) 23 (d) 7 (e) 0,0002 (f) 1.548 2-) Encontre o algarismo duvidoso de cada medida abaixo, explicitando a unidade mínima de cada medidor que efetuou a medida: (a) 231 ml (b) 12,050 m (c) 2,0 l 10 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 3-) Escreva os números abaixo em notação científica, levando em conta a quantidade de algarismos significativos: (a) 0,0056 (b) 256.511 (c) 2160 (d) 0,4 x 10² (e) 0,001 (f) 1,4 x 10 4-) Dê a ordem de grandeza da quantidade de segundos em um dia. 5-) Estime a quantidade de horas em um ano. 6-) Diga quais das grandezas físicas abaixo são escalares e quais são vetoriais: (a) temperatura (b) volume (c) velocidade (d) massa (e) força (f) campo elétrico 7-) Diga qual é a direção e o sentido dos vetores abaixo: (a) (c) (b) 8) Em cada caso a seguir, determine o módulo da resultante dos vetores dados, e desenhe o vetor soma: 11 Capítulo 1 : Introdução à Física Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 12 Vetor Pré Vestibular Comunitário Física 1 9) Que ângulo devem fazer entre si duas forças de mesma intensidade para que o módulo da resultante entre elas seja igual ao de cada força? 10) Considere um relógio com mostrador circular de 10cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variada. Determine o módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas; 12 horas e 20 minutos; e, por fim, 12 horas e 40 minutos, em cm. Ex: 10³ g = 1 kg Gabarito: (c) direção horizontal ; sentido da direita para a esquerda 1-) (a) 6; (b) 2; (c) 2; (d) 1; (e) 1; (f) 4 2-) (a) 1 – 1ml ; (b) 0 – 1mm; (c) 0 – 1dl 3-) (a) 5,6 x 10-3; (b) 2,56511 x 105; (c) 2,160 x 103; (d) 4 x 101; (e) 1 x 10-3; (f) 1,4x10 4-) 105 5-) 104 8-) a) 20 e) 5 b) 8 f) 10 c) 13 g) zero d) 3,7 6-) (a) escalar; (b) escalar; (c) vetorial; (d) escalar; (e) vetorial; (f) vetorial 9-) 120° 7-) (a) direção horizontal ; sentido da esquerda para a direita (b) direção vertical ; cima para baixo 10-) zero sentido de 13