Capítulo 09 - Coordenadas Polares

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
CAPÍTULO 9
COORDENADAS POLARES
O plano, também chamado de ℜ2, onde ℜ2 = ℜxℜ = {(x, y) / x, y ∈ ℜ} , ou seja,
o produto cartesiano de ℜ por ℜ, é o conjunto de todos os pares ordenados
(x, y), ∀ x e y ∈ ℜ . Ele é representado pelo Sistema de Coordenadas Cartesianas
Ortogonal, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja
interseção é o par ordenado O(0,0) , chamado de origem do sistema. Esses eixos
são denotados por Ox e Oy e chamados de eixos coordenados, orientados como
mostra a figura abaixo.
Oy
II
(+)
I
P(x,y)
y
(–)
(+)
x
(0,0)
III
Ox
IV
(–)
Todo ponto P(x,y) do plano é representado como na figura acima, onde x e y
são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Existe
uma correspondência biunívoca entre pares ordenados de números reais e pontos
do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
No entanto, existe outro sistema de coordenadas capaz de representar o
plano. É o Sistema de Coordenadas Polares, o qual é constituído por apenas um
semi-eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado
pólo.
Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρ,θ), onde ρ é à
distância do ponto P ao pólo p e θ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o
semi-eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no
sentido anti-horário. Assim, ρ ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π .
P(ρ,θ)
ρ
θ
p
e
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Exemplo (1): Representar no Sistema de Coordenadas Polares os seguintes
pontos do plano: a) P(3, π )
b) Q(5, 2π )
3
c) R(3, 3π
)
2
3
Q
5
P
2π
3
3π
2
3
π
3
e
pp
3
R
Podemos relacionar o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais com o
Sistema de Coordenadas Polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema
cartesiano com o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo
positivo do eixo Ox.
Oy
P(x, y) ≡ (ρ, θ)
y
ρ
θ
O≡p
x
Ox
e

cos θ =
No triângulo retângulo temos: ρ2 = x2 + y2 e 
sen θ =

x
⇒ x = ρ cos θ
ρ
. Pode-se
y
⇒ y = ρ sen θ
ρ
y
determinar o ângulo θ pelas relações anteriores ou por θ = arctg   , observando os
x
sinais das coordenadas x e y para definir a qual quadrante pertence o ângulo θ.
x = ρ cos θ
Portanto, as relações ρ2 = x2 + y2 e 
, são consideradas as equações de
y = ρ sen θ
transformação de coordenadas entre o sistema cartesiano e o sistema polar.
Exemplo (2): Transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares
5 3 5
os seguintes pontos do plano: a) P
, 
 2 2


b) Q(1,−1) .
Solução: Usando as equações de transformação temos:
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

2
cos θ =
2


5 3
5

a) ρ2 = x2 + y2 = 
+  ⇒ ρ=5 e 
 2 
2
 




senθ =

θ=
5 3
2 ⇒ cos θ = 3
5
2 ⇒
5
y
1
⇒ senθ = 2 ⇒ senθ =
ρ
5
2
x
⇒ cos θ =
ρ
π
. Portanto, P(5, π 6) .
6
b) ρ2 = 12 + (−1)2 ⇒ ρ = 2

cos θ =

e 
senθ =


x
1
2
⇒ cos θ =
⇒ cos θ =
ρ
2
2
−1
y
2
⇒ senθ =
⇒ senθ = −
ρ
2
2
⇒ θ=
7π
.
4
Portanto, Q( 2 , 7π 4) .
Exemplo (3): Transformar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas
(
)
os seguintes pontos do plano: a) P 2, 4π 3 b) Q(7, 5π 6) .
Solução:
a) Usando as equações de transformação temos:
x = ρ cos θ ⇒ x = 2 cos 4π ⇒ x = −1
3
. Portanto, P(−1,− 3) .

4π
y = ρ sen θ ⇒ y = 2 sen 3 ⇒ y = − 3

7 3
5π
 7 3 7
x = 7 cos 6 ⇒ x = − 2
. Portanto, Q −
b) Analogamente para o ponto Q: 
, .

7
2
2 
5
π
y = 7 sen

⇒ y=
6
2

1 Equação Polar das Cônicas
1.1 Circunferência
Seja uma circunferência, representada no sistema polar, de centro C(δ, α) e
raio r. Seja P(ρ, θ) um ponto qualquer da circunferência.
P(ρ, θ)
ρ
θ-α
p
Aplicando
a
Lei
α θ
dos
r
δ
C
e
co-senos
no
triângulo
pCP,
r2 = ρ2 + δ2 − 2ρδ cos(θ − α) , que é a equação polar da circunferência.
temos:
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Alguns casos interessantes são:
a) circunferência que contém o pólo. Neste caso δ = r .
P(ρ, θ)
p
ρ
θ-α C
δ=r
αθ
e
r2 = ρ2 + r2 − 2ρr cos(θ − α) ⇒ ρ ⋅ (ρ − 2r cos(θ − α) ⇒
ρ = 0

ρ − 2r cos(θ − α) ⇒ ρ = 2r cos(θ − α)
Das relações anteriores vem que: ρ = 0 é chamada de equação do pólo e
ρ = 2r cos(θ − α) é a equação da circunferência que contém o pólo.
b) circunferência com centro sobre o pólo. Neste caso δ = 0 .
P(ρ, θ)
ρ=r
θ
e
p≡C
r 2 = ρ 2 + 02 − 2ρ ⋅ 0 ⋅ cos(θ − α) ⇒ r2 = ρ2
⇒ r = ρ . Portanto, a expressão r = ρ
é a equação da circunferência com centro sobre o pólo.
1.2 Elipse
Considere uma elipse de eixo maior horizontal
A 1 A 2 = 2a , eixo menor
B1B 2 = 2b , distância focal F1F2 = 2c e centro C(m,n) como na figura abaixo.
Seja P(ρ, θ) um ponto qualquer da elipse, na qual fazemos coincidir o pólo p
com o foco F1 e o eixo polar com o eixo maior da elipse.
B1
P(ρ, θ)
ρ
A1
δ
θ
2c
F1≡p
F2
B2
A2
e
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Aplicando
a
Lei
dos
cossenos
no
triângulo
F1F2P
vem
que:
δ2 = ρ2 + 4c2 − 4cρ cos θ . Da definição da elipse temos que | F1P | + | F2P |= 2a ⇒
δ + ρ = 2a ⇒ δ = 2a − ρ . Substituindo na expressão da lei dos cossenos vem que:
(2a − ρ)2 = ρ2 + 4c2 − 4cρ cos θ
⇒
4a2 − 4aρ + ρ2 = ρ2 + 4c2 − 4cρ cos θ . Da relação
2
2
notável da elipse a2 = b2 + c2 ⇒ a2 − c2 = b2 . Então: a
−4
c3
= ρ(a − c cos θ) ⇒
1
42
b2
b2 = ρ(a − c cos θ) ⇒ ρ =
b2
b2
. Portanto, ρ =
, que é a equação
a − c cos θ
a − c cos θ
polar da elipse.
Da equação polar ρ =
b2
, dividindo todos os termos do segundo
a − c cos θ
membro da expressão pela constante a, vem que ρ =
chamado de parâmetro da elipse e e =
a
a
−
b2
a
c cos θ
a
. Fazendo p =
b2
,
a
c
é a excentricidade. Assim, equação polar
a
da elipse é mais comumente dada por ρ =
p
.
1 − e cos θ
1.3 Hipérbole
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal A 1 A 2 = 2a , eixo menor
B1B 2 = 2b , distância focal F1F2 = 2c e centro C(m,n) como na figura abaixo.
Façamos coincidir o pólo p com o foco F2 e o eixo polar com o eixo real da
hipérbole. Seja
P(ρ, θ) um ponto qualquer da hipérbole.
P(ρ, θ)
ρ
δ
2c
C
F1
Aplicando
a
Lei
180o-θ
dos
δ2 = ρ2 + 4c2 − 4cρ cos(180o − θ) .
cossenos
Da
θ
e
F2≡p
no
definição
triângulo
da
F1F2P
hipérbole
vem
que:
temos
que
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| F1P | − | F2P | = 2a ⇒ δ − ρ = 2a ⇒ δ = 2a + ρ . Substituindo na expressão da lei dos
cossenos: (2a + ρ)2 = ρ2 + 4c2 + 4cρ cos θ
⇒
a2 − c2 = ρ ⋅ (−a + c ⋅ cos θ) .
notável
a2 − c2 = −b2
⇒
Da
relação
4a2 + 4aρ + ρ2 = ρ2 + 4c2 + 4cρ cos θ
⇒
c 2 = a2 + b 2
⇒
da
hipérbole
2
2
a
−4
c3
= ρ ⋅ (−a + c ⋅ cos θ) . Portanto:
1
42
ρ=
− b2
b2
, que é a
a − c cos θ
equação polar da hipérbole.
Da equação polar ρ =
b2
, dividindo todos os termos do segundo
a − c cos θ
membro da expressão pela constante a, vem que ρ =
chamado de parâmetro da hipérbole e e =
a
a
−
b2
a
c cos θ
a
. Fazendo p =
b2
,
a
c
é a excentricidade. Assim, equação
a
polar da hipérbole é mais comumente dada por ρ =
p
.
1 − e cos θ
1.4 Parábola
Considere uma parábola de eixo de simetria horizontal com vértice V, foco F e
RF = p . Seja P(ρ,θ) um ponto qualquer da parábola. Façamos coincidir o pólo p com
o foco F e o eixo polar com o eixo de simetria da parábola.
(d)
ρ
R
P(ρ, θ)
ρ
180o-θ
V
Q
p-ρ
θ
e
F
≡
p
No triângulo PQF vem que: cos(180o − θ) = − cos θ =
p−ρ
p
⇒ ρ=
,
ρ
1 − cos θ
onde p é o parâmetro da parábola. Portanto, a equação polar da parábola é
ρ=
p
.
1 − cos θ
OBS: Note que, a elipse, a hipérbole e a parábola têm as equações polares
semelhantes a menos da excentricidade e =
c
que para a elipse ( 0 < e < 1 ) e para
a
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a hipérbole ( e > 1 ). Outro fato importante é que, apesar de adotarmos os mesmos
símbolos A 1 A 2 = 2a , B1B 2 = 2b e F1F2 = 2c para a elipse e para a hipérbole, eles
tem significados geométricos diferentes na definição de cada cônica, mesmo porque
a relação notável da elipse é a2 = b2 + c2 e da hipérbole é c 2 = a2 + b 2 . Assim, o
parâmetro p =
b2
, adotado na equação polar da elipse e da hipérbole é diferente e
a
não tem nada em comum com o parâmetro p da definição da parábola.
Exemplo (4): Determine a equação geral da circunferência de equação polar
ρ = −6senθ .
Solução: Das definições de coordenadas polares vem que
⇒
y = ρ ⋅ senθ
x 2 + y 2 = −6 ⋅
Exemplo
ρ=
(5):
senθ =
y
.
ρ
Substituindo
y


⇒  x2 + y2 
2
2


x +y
Dada
a
elipse de
2
na
equação
x2 + y2
ρ=
ρ = −6senθ
vem
e
que:
= −6y ⇒ x2 + y2 + 6y = 0 .
eixo
maior horizontal
e equação polar
32
, escrever suas equações paramétricas e a equação reduzida.
5 − 3 cos θ
Solução: Das definições de coordenadas polares vem que
x = ρ ⋅ cos θ
32
ρ=
5−3⋅
⇒
x
ρ
⇒
cos θ =
⇒ ρ=
x
. Substituindo na equação
ρ
ρ=
x2 + y2
ρ=
32
5 − 3 cos θ
e
vem que:
32
⇒ ρ ⋅ (5ρ − 3x) = 32 ⋅ ρ ⇒ 5ρ − 3x = 32 ⇒ 5ρ = 3x + 32
5ρ − 3x
ρ
(5ρ)2 = (3x + 32)2
25(x 2 + y 2 ) = 9x 2 + 192x + 1024
16x 2 − 192x + 25y 2 = 1024 .
⇒
25ρ 2 = 9x 2 + 192x + 1024
⇒
⇒
25x 2 + 25y 2 − 9x 2 − 192x = 1024
⇒
Escrevendo
16 ⋅ (x 2 − 12x + 36 − 36) + 25y 2 = 1024
na
⇒
forma
reduzida
vem
que:
16 ⋅ (x − 6)2 + 25y 2 = 1600
⇒
(x − 6)2
y2
+
= 1 (equação reduzida). Como a elipse é de eixo maior horizontal
100
64
então:
a2 = 100 ⇒ a = 10
 2
b = 64 ⇒ b = 8
e
centro
C (6,0) = (m, n) .
x = m + b cos θ
x = 6 + 10 ⋅ cos θ
⇒ 
.
paramétricas são: 
y = n + a sen θ
y = 8 ⋅ senθ
Assim,
suas
equações
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Exercícios Propostos
1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2, π 2) , sabendo-se que
Resp: x2 + y2 − 4y − 48 = 0
ela passa pelo ponto P(6, 11π 6) .
2) Qual é a equação polar da elipse de equação geral 4x2 + y2 − 24x + 4y + 24 = 0 ?
Resp: ρ =
1
1 − 23 cos θ
3) Seja a hipérbole de equação 9x 2 − 16y 2 − 144 = 0 . Determine sua equação polar
e as coordenadas polares dos focos.
Resp: ρ =
9
, F1(5,0) e F2(5, π)
4 − 5 cos θ
4) Determine a equação polar e as coordenadas polares do vértice da parábola
y = − 1 x2 + 4x − 6 .
2
Resp: ρ =
1
4
1 − cos θ
e V(2 5, θ) , onde θ = arcsen 5  , do 1º quadrante.
 5 
5) Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é
ρ=
24
. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.
5 − 7 cos θ
Resp:
x2
y2
x = 2 6 tgθ
+
=1 e 
− 24 25
y = 5 sec θ
x = 3 + 20 cos θ
6) Determine a equação polar da elipse 
.
y = 2 + 16 sen θ
Resp: ρ =
64
5 − 3 cos θ
7) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x = 2. Determine
sua equação polar.
Resp: ρ =
2
1 − cos θ