Produto Escalar, Vetorial e Mistos

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
CAPÍTULO 4
PRODUTOS
Nos capítulos anteriores os conceitos foram introduzidos para duas regiões
geométricas também chamadas de Espaços Vetorias: o Plano Geométrico,
representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço
Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no
espaço). No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem
significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem
válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue
estaremos considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o
caso, voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico.
1 Produto Escalar
r
r
Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores,
r r
r r
r
r
denotado por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde
r
r
0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre u e v .
Propriedades
r r
r
r
1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais,
ou seja, θ = 90o.
r r r r
2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u
r r
r
3) u ⋅ u = | u |2
r
r
r r
4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ
r r r r r r r
5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w
1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar
r
r
r
r
r
r
r
r
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores
r r
r
r
definição temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos cossenos temos:
cos θ =
do
r r
r
r
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
. Substituindo, temos:
r r
2 | u || v |
r r
r
r
r r
r
r
r r | u + v |2 − | u |2 − | v |2
r r
r
r | u + v |2 − | u |2 − | v |2
u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅
⇒ u⋅v =
⇒
r r
2 | u || v |
2
ℜ3.
Por
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2
2
r r (x + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x12 + y12 + z12 ) − (x2
2 + y2 + z2 ) ⇒
u⋅v = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r r (x2 + 2x1x2 + x2
2 ) + (y1 + 2y1y2 + y2 ) + (z1 + 2z1z2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
u⋅v = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r r (x2 + y12 + z12 ) + (x2
2 + y2 + z2 ) + 2(x1x2 + y1y2 + z1z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
u⋅v = 1
2
r r
u ⋅ v = x1x2 + y1y2 + z1z2
r
r
r
Exemplo (1): Sejam u = (−2,3,8), v = (0,2,−1) e w = (1,−2,1) .
r r
a) Determine u ⋅ v .
r
r
b) Os vetores u e w são ortogonais?
Solução:
r r
r r
a) u ⋅ v = −2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−1) = 0 + 6 − 8 = −2 ⇒ u ⋅ v = −2
r
r
r r
b) Para que os vetores u e w sejam ortogonais é necessário que u ⋅ w = 0 . De fato,
r r
u ⋅ w = −2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−2) + 8 ⋅ 1 = −2 − 6 + 8 = 0 .
r
r
r
Exemplo (2): Os vetores u , v e w , com
r
u = 4e
r
v = 15 , determinam o
r
r
triângulo abaixo. Determine o produto escalar entre os vetores u e w .
r
w
r
u
60o
r
v
r r
r
r
r
Solução: Pela figura temos que u + w = v e o ângulo entre u e v é θ = 60o .
r
Multiplicando escalarmente pelo vetor u ambos o lado desta igualdade vem que:
r r r
r r
u ⋅ (u + w ) = u ⋅ v . Aplicando a definição do produto escalar e suas propriedades
temos:
r r r r
r
r
u ⋅ u + u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos θ
r r
r
r
r
u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos 60 o − u
2
⇒
r
u
2
r r
r
r
+ u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos θ
⇒
r r
r r
1
⇒ u ⋅ w = 4 ⋅ 15 ⋅ − 42 ⇒ u ⋅ w = 14
2
1.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar
r
r
r
r
Sejam dois vetores u e v , sendo | u | = 1 , ou seja, u é um versor. Sejam
r
r
r r r
r
ainda, a e b ortogonais entre si, com v = a + b . Vamos projetar o vetor v na
r
direção do vetor u .
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r
v
r
b
r
a
r
u
r
projuvr
r
r
Na figura acima, temos que a projeção do vetor v na direção do vetor u é
r
r
r
r
r
denotada por projuvr , a qual é igual ao vetor a = projuvr . Como a é paralelo a u ,
r
r r
r
r
r
então a = αu . Sendo b é ortogonal a u , então b ⋅ u = 0 . Multiplicando escalarmente
r r
r r
r
r r r
r r
r r
u⋅v
por u a expressão v = a + b temos: u ⋅ v = α ⋅ (u ⋅ u) + b ⋅ u . Então α = r . Logo:
| u |2
r r
r
r
r
r
r u⋅v r
r r r
r r r
r r r
v
r
a = proju = α ⋅ u =
⋅ u ⇒ projuvr = (u ⋅ v) ⋅ u . Portanto, projuvr = (u ⋅ v) ⋅ u = u ⋅ v ⋅ u
2
1
r
r r
⇒ projuvr = u ⋅ v .
r
r
Isso significa que o produto escalar, em módulo, entre os vetores u e v , é o
r
r
tamanho da projeção do vetor v na direção do versor u .
r
r
Para dois vetores u e v , quaisquer, podemos definir a expressão da projeção
r r
r
u⋅v r
de um vetor na direção do outro como sendo: projuvr = r
⋅ u . Note que o resultado
| u |2
r
r
desta expressão é um vetor, o qual é a projeção do vetor v na direção do vetor u .
1.3 Ângulo entre dois vetores
r
r
O ângulo entre dois vetores u = AB e v = CD , não nulos, é o ângulo
)
r r
θ = ang(u, v) = BPD entre os segmentos orientados que representam os vetores,
com a restrição 0o ≤ θ ≤ 180o , quando os vetores são transportados para um ponto
P, de tal forma que suas origens coincidam com este ponto P.
D
A
r
v
B
r
u
P≡A≡C
C
D
r
u
θ
r
v
B
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r
r
Podemos determinar o ângulo θ entre os vetores u e v através da expressão
r r
r r
r
r
u⋅v
do produto escalar. Da expressão u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ segue que cos θ = r
r .
|u| ⋅| v |
r r
 u⋅v 
Logo, θ = arccos  r
r  .
| u | ⋅ | v |
r
r
Exemplo (3): Dados os vetores u = (2,−1,3) e v = (−2,1,2) . Determine:
r
r
a) O ângulo entre u e v .
r
r
b) A projeção do vetor u na direção do vetor v .
Solução:
a)
cos θ =
r r
u⋅v
r
r
|u|⋅| v |
Como cos θ =
r
b) projuvr =
⇒
cos θ =
2 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 1 + 3 ⋅ 2
4 +1+9 ⋅ 4 +1+ 4
=
− 4 −1+ 6
14 ⋅ 9
=
1
3 14
=
14
.
42
 14 
14
.
, o ângulo θ não é um arco notável. Então, θ = arccos
 42 
42


r r
r
−4 − 1 + 6
1
u⋅v r
u
⋅ (−2,1,2) = ⋅ (−2,1,2) .
r 2 ⋅ v ⇒ projvr =
4
+
1
+
4
9
|v|
r
 2 1 2
Portanto: projuvr =  − , ,  .
 9 9 9
r
Exemplo (4): Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores u = (3,1,−1) e
r
v = (−1,1,1) .
r
r
r
r
Solução: Seja w = (x, y, z) . Como w é unitário, então | w | = 1 . Como w é
r
r
r r
r r
ortogonal aos vetores u e v , tem-se: w ⋅ u = 0 e w ⋅ v = 0 . De onde vem:
r r
w ⋅ u = 0 ⇒ (x, y, z) ⋅ (3,1,−1) = 0 ⇒ 3x + y − z = 0
r r
w ⋅ v = 0 ⇒ (x, y, z) ⋅ (−1,1,1) = 0 ⇒ −x + y + z = 0
3x + y − z = 0
. Da primeira equação vem que z = 3x + y (*). Substituindo na

− x + y + z = 0
segunda equação temos que −x + y + 3x + y = 0 ⇒ x = −y . Substituindo x = −y em
(*) vem que z = 3(−y) + y ⇒ z = −2y .
r
| w | = x2 + y2 + z2 = (−y)2 + y2 + (−2y)2 = 1 ⇒
6y2 = 1 ⇒ y = ±
para y = +
x = −y ⇒ x = − 6
r 
6
6
6
6 

6
⇒ 
⇒ w = −
,
,−
ou
 6

6
6
3
z = −2y ⇒ z = − 36



para y = −
x = −y ⇒ x = 6
r  6
6
6
6 

6
⇒ 
⇒ w=
,−
,
 6
6
6
3 
z = −2y ⇒ z = 36


6
. Fazendo:
6
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r
r
r r r r
Exemplo (5): Determine um vetor u tal que u ⋅ v = u ⋅ w = 1 e | u | = 22 , onde
r
r
v = (1,1,0) e w = (2,1,−1).
r
r r
Solução: Seja u = (x, y, z) . Então: u ⋅ v = (x, y, z) ⋅ (1,1,0) = 1 ⇒ x + y = 1 e
r r
u ⋅ w = (x, y, z) ⋅ (2,1,−1) = 1 ⇒ 2x + y − z = 1 . Daí vem que:
x + y = 1
. Da

2x + y − z = 1
primeira equação vem que x = 1 − y (*). Substituindo na segunda equação temos
r
22 ⇒ | u | = x2 + y2 + z2 = 22
r
que 2(1 − y) + y − z = 1 ⇒ z = 1 − y . Como | u | =
⇒
(1 − y)2 + y 2 + (1 − y)2 =
22
⇒
3y 2 − 4y + 2 =
22
⇒ 3y 2 − 4y − 20 = 0 .
Resolvendo a equação do 2º grau determinamos as suas raízes y = −2 e y' = 10 .
3
Fazendo:
r
x = 1 − y ⇒ x = 3
para y = −2 ⇒ 
⇒ u = (3,−2,3) ou
z = 1 − y ⇒ z = 3
x = 1 − y ⇒ x = − 7
r
3 ⇒ u =  − 7 , 10 ,− 7  .
para y' = 10 ⇒ 
7
3
3
 3 3
z = 1 − y ⇒ z = − 3
Exercícios Propostos:
r
r
1) Determine a projeção do vetor u = (−2,3,1) na direção do vetor v = (1,1,2) .
r
1 1 
Resp: projuvr =  , ,1
2 2 
r
r
2) Sejam os vetores a = (1,−m,−3), b = (m + 3,4 − m,1) e
r r
r r r
para que seja verdadeira a expressão a ⋅ b = a + b ⋅ c .
r
r
r
3) Dados | u | = 4, | v | = 3 e w um vetor unitário com:
(
)
r
c = (m,−2,7) . Determine m
Resp: m = 2
r
r
u ortogonal a v , o ângulo
r r
r r
r r r
2π
π
entre (u, w) é
e o ângulo entre (v, w) é
, calcule | u − v + w |2 .
3
3
Resp:
33
4) Dados
r
r
u = (−1,2,−3) e w = (2,1,−1) , determine os vetores
r
r r
r
r r r
a // w, b ⊥ w e u = a + b .
r
r
aeb
tais que:
r  1 1 r 
3 5
Resp: a = 1, ,−  e b =  − 2, ,− 
2
2
2
2



r
r
5) Os módulos dos vetores a e b são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles
r r
r r
é 60o. Calcule o ângulo entre os vetores a + b e a − b .
Resp:
 21 

θ = arccos
 7 


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6) Demonstre, vetorialmente, o Teorema de Pitágoras.
2 Produto Vetorial
r
r
Definição: Sejam os vetores u e v . O produto vetorial entre esses vetores,
r r
denotado por u × v , é um vetor com as seguintes características:
r r
r
r
r
r
i) Módulo: | u × v | = | u | ⋅ | v | ⋅ sen θ , onde θ é o ângulo entre u e v .
r
r
ii) Direção: normal ao plano que contém u e v .
iii) Sentido: regra da mão direita.
2
1
r r
v ×u
r
v

r
v
r
u
r r
u× v
r
u
A regra da mão direita diz, no quadro 1, que com a palma da mão estendida na
r
r
direção e sentido do vetor v , fechado os dedos na direção do vetor u (linha
r r
tracejada), o polegar ficará apontado para cima, indicando o sentido de v × u . No
r
quadro 2, com a palma da mão estendida na direção e sentido do vetor u ,
r
fechando os dedos na direção do vetor v , o polegar ficará apontado para baixo,
r r
r r
r r
indicando o sentido de u × v . Podemos notar que v × u = −u × v . Portanto:
r r
u× v
r
v
r
u
r r
v ×u
Propriedades
r r r
r
r
1) u × v = 0 se, e somente se, um deles é o vetor nulo ou se u e v têm a mesma
r r r
direção. Consequentemente u × u = 0 .
r
r r
r
r r
2) Anti-comutativa: u × v = −v × u (não vale a comutativa: u × v ≠ v × u )
r
r
r r
3) (mu) × (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u × v)
r r
r
r r r r
a direita :
(u + v) × w = u × w + v × w
4) Distributiva 
r
r r
r r r r
a esquerda : w × (u + v) = w × u + w × v
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r r
r
r r r
r r r
(u × v) × w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u
5) Duplo Produto Vetorial:  r
r r
r r r
r r r
u × (v × w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v)w
2.1 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial
r
r
r
r
r
r
r
r
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3.
que:
(*):
r r
r r r
i × j = −j × i = k
r r r
r r
 rj × kr = −kr × rj = ri .
k × i = − i × k = j

Então:
Temos
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = (x1 i + y1 j + z1k) × (x2 i + y2 j + z2k) .
Aplicando a propriedade distributiva, teremos:
r r
r r
r r
r r
u × v = (x1x 2 )( i × i ) + (x1y 2 )( i × j) + (x1z2 )( i × k) +
r r
r r
r r
r r
r r
r r
(y1x 2 )( j × i ) + (y1y 2 )( j × j) + (y1z2 )( j × k) + (z1x 2 )(k × i ) + (z1y 2 )(k × j) + (z1z2 )(k × k)
Da definição de produto vetorial e de (*), tem-se:
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = (x1x 2 )(0) + (x1y 2 )(k) + (x1z2 )(− j) + (y1x 2 )(−k) + (y1y 2 )(0) + (y1z2 )( i ) +
r
r
r
+ (z1x 2 )( j) + (z1y 2 )(− i ) + (z1z2 )(0)
r
r
r
r r
u × v = (y1z2 − y2z1) i + (x2z1 − x1z2 ) j + (x1y2 − x2y1)k . Note que a expressão anterior
r
i
r r
é o desenvolvimento do seguinte determinante: u × v = x1
x2
r
j
y1
y2
r
k
z1
z2
r
r
r r
Exemplo (6): Sejam u = (2,1,−1) e v = (5,−2,1) . Determine u × v .
r
i
r r
Solução: u × v = x1
x2
r
j
y1
y2
r
r
r
r
k
i
j
k
r
r
r
r
r
r
r r
z1 ⇒ u × v = 2
1 − 1 = i − 5 j − 4k − 5k − 2 i − 2 j ⇒
z2
5 −2
1
r
r
r
r r
u × v = − i − 7 j − 9k .
2.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
r
r
Sejam dois vetores u e v , não nulos e não paralelos. Logo eles determinam
um paralelogramo. Área do paralelogramo: A P = b × h , onde:
r
r
h
b =| u | e sen θ = r ⇒ h =| v | ⋅ sen θ
|v|
r
r
r r
Logo, AP =| u | . | v | ⋅ sen θ ⇒ AP =| u × v |
r
v
θ
h
r
u
Pela figura podemos ver que, metade do paralelogramo é um triângulo
r
r
determinado pelos vetores u e v , portanto a área do triângulo é dada por:
r r
|u× v|
AT =
2
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r
Exemplo (7): Determine o vetor v do ℜ3 que satisfaça as seguintes condições:
r
r
r
r
r
r
r
v ⋅ (3 i + 2 j) = 6 e v × (2 j + 3k) = 2 i .
r
Solução: Seja v = (x, y, z) . Então:
r
r
r
r
r
r
r
v ⋅ (3 i + 2 j) = 6 ⇒ (x, y, z) ⋅ (3,2,0) = 6 ⇒ 3x + 2y = 6 e v × (2 j + 3k) = 2 i ⇒
(x, y, z) × (0,2,3) = (2,0,0) ⇒
(3y − 2z,−3x, 2x) = (2,0,0)
r r r
i j k
r
r
r
x y z = (2,0,0) ⇒ (3y − 2z) i − 3x j + 2xk = (2,0,0) ⇒
0 2 3
⇒
3y − 2z = 2

− 3x = 0 ⇒ x = 0 .
2z = 0 ⇒ x = 0

Logo
temos
o
sistema
7

3y − 2z = 2 ⇒ z = 2
r 
7

. Portanto o vetor procurado é v =  0,3,  .
x = 0
2

3x + 2y = 6 ⇒ y = 3


Exemplo (8): Os vértices de um triângulo são os pontos A (− 1,2,4) , B(3,−3,4) e
C(− 1,6,1) . Determine a altura relativa ao vértice B.
Solução: A área A T do triângulo pode ser escrita de duas formas:
| AC | ⋅h | AB × AC |
b ⋅ h | AB × AC |
⇒
=
⇒
=
2
2
2
2
r
r
r
i
j
k
r
r
r
| AB × AC |
h=
⇒ AB × AC = 4 − 5
0 = 15 i + 12 j + 16k ⇒
| AC |
0
4 −3
AB
AT =
| AB × AC | = 152 + 122 + 162 = 25
h=
| AB × AC |
| AC |
⇒ h=
e
B
h
A
| AC |= 02 + 42 + (−3)2 = 5 .
C
AC
Portanto,
25
⇒ h = 5 u.c.
5
Exemplo (9): Demonstre vetorialmente que a área de um triângulo equilátero de
lado m é A =
3 2
m .
4
Solução: Vetorialmente a área de qualquer triângulo é dada por: A T =
r r
|u× v|
,
2
r
r
onde u e v são os dois vetores que determinam o triângulo. Como o triângulo é
equilátero seus lados são todos iguais e seus ângulos internos todos iguais a
r
r
θ = 60o . Então: | u | = | v | = m . Por definição temos:
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AT =
r r
r
r
|u× v|
| u | ⋅ | v | ⋅ sen 60o
⇒ AT =
2
2
m⋅m⋅
AT =
2
3
2 ⇒ A =
T
r
v
60 o
r
u
3 2
m
4
Exercícios Propostos
1) Sejam A(1,3,-4), B(5,-3,2) e C(3,1,0) vértices de um triângulo ABC. Sejam P e
Q pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Determine a área do trapézio
Resp: A =
APQC.
2)
Sejam
os
vetores
r
r
r
u = (1,2,0), v = (3,1,1) e w = (−1,2,−2) .
Os
r r r r r r
{u , u × v, w × (u × v)} são LI ou LD?
3 11
u.a.
2
vetores
Resp: LI
r
r
r
3) Dados os vetores u = (3,−1,2) e v = (2,3,0) , determine um vetor w tal que
r r
r r
r
Resp: w = (1,3,−1)
w ⋅ u = −2 e w × v = (3,−2,−3) .
4) Calcular a área do paralelogramo ABCD, sabendo-se que suas diagonais são os
vetores AC = (−1,3,4) e BD = (1,−1,2) .
Resp: A = 35u.a.
5) Determine o valor de z, sabendo-se que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,z) são
vértices de um triângulo de área igual a 6.
Resp:
z = ±4
6)
Demonstre
as
fórmulas
r r
r
r r r
r r r
a) (u × v) × w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u
r r
r r r
r r r .
 r
b) u × (v × w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v)w
do
duplo
produto
vetorial
(sugestão: Para demonstrar (b), suponha verdadeira (a) e vice-versa)
r r
r
r
r r
7) Mostre que | u × v |2 =| u |2| v |2 −(u ⋅ v)2
3 Produto Misto
r r
r
Definição: O Produto Misto entre os vetores u, v e w é um número real, denotado
r r r
r r r
e definido por [u, v, w] = u ⋅ (v × w) .
3.1 Expressão Cartesiana do Produto Misto
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k, v = x2 i + y2 j + z2k e w = x3 i + y3 j + z3k . Então:
r
r
r
r r
v × w = (y2z3 − y3z2 ) i + (x3z2 − x2z3 ) j + (x2y3 − x3y2 )k
r
r
r
r r r
r r r
[u, v, w] = u ⋅ (v × w) = (x1, y1, z1) ⋅ (y2z3 − y3z2 ) i + (x3z2 − x2z3 ) j + (x2y3 − x3y2 )k =
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
= x1 ⋅ (y2z3 − y3z2 ) + y1 ⋅ (x3z2 − x2z3 ) + z1 ⋅ (x2y3 − x3y2 ) . Esta expressão é igual ao
x1 y1 z1
r r r
desenvolvimento do determinante: [u, v, w] = x2 y2 z2 .
x3 y3 z3
Propriedades
r r r
1) [u, v, w] = 0 ⇔ um deles é o vetor nulo ou se os vetores são coplanares.
r r r
r r r
r r r
2) [u, v, w] = − [v, u, w] = + [v, w, u] = ...
r r r
r r r r
r r r
3) [u + a, v, w] = [u, v, w] + [a, v, w]
r r r
r r r
4) [αu, v, w] = α ⋅ [u, v, w]
3.2 Interpretação Geométrica Módulo do Produto Misto
r r r
r
r r
r r
r
r r r
Sejam u, v e w . Então [u, v, w] = u ⋅ (v × w) = | u | ⋅ | v × w | ⋅ cos θ , onde θ é o
ângulo entre os vetores
r r r
u e v × w . Na figura abaixo temos um paralelepípedo
determinado pelos três
vetores
r r
r
u, v e w . Vamos calcular o volume deste
paralelepípedo denotado por VP .
r r
v×w
r
u
θ
θ h
r
w
r
v
r r r
O produto misto [u, v, w] de vetores LI é igual em módulo ao volume do
r r
r
paralelepípedo cujas arestas são os vetores u, v e w . O volume VP = Ab ⋅ h , onde
r
r
área da base Ab é um paralelogramo determinado pelos vetores v e w . Então:
r r
Ab = | v × w | .
No
triângulo
retângulo
da
figura
temos:
cos θ =
h
r .
|u|
Logo,
r
r
r r
r r r
h =| u | ⋅ cos θ . Portanto: VP =| u | ⋅ | v × w | ⋅ cos θ , ou seja, VP = [u, v, w] . Note que os
r r
r
1
vetores u, v e w , determinam também um tetraedro, cujo volume é VT = VP , ou
6
r r r
[u, v, w]
seja, VT =
6
r
u
r
w
r
v
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
Exemplo (10): Determine o volume do tetraedro de vértices A(2,1,3), B(2,7,4),
C(3,2,3) e D(1,-2,3).
Solução:
Os
três
vetores
que
determinam
este
tetraedro
poderiam
ser
AB, AC e AD .
[AB, AC, AD]
Como
AB = (0,6,1) ,
AC = (1,1,0) ,
AD = (−1,−3,0) e
VT =
, então;
6
B
0
6 1
| −2 |
1
[AB, AC, AD] = 1
1 0 = −2 ⇒ VT =
⇒ VT = u.v.
6
3
−1 −3 0
AB
D
AD
A
C
AC
Exemplo (11): Um tetraedro ABCD tem volume igual a 3 u.v. Sendo A(4,3,1),
B(6,4,2) e C(1,5,1), determine o vértice D que pertence ao eixo Ox.
Solução: Como D é um ponto do eixo Ox, então D(x,0,0). Sejam AB, AC e AD os
vetores
que
determinam
o
tetraedro.
Como
AB = (2,1,1) ,
AC = (−3,2,0) ,
[AB, AC, AD]
AD = (x − 4,−3,−1)
VT =
e
2
1
1
[AB, AC, AD] =
−3
2
0
x − 4 −3 −1
VT =
− 2x + 10
6
6
=3
vem
que:
[AB, AC, AD] = −2x + 10
x = −4
= 3 ⇒ − 2x + 10 = ±18 ⇒ 
.
x = 14
Portanto,
⇒
D(-4,0,0)
ou
D(14,0,0).
Exemplo (12): Seja um tetraedro de vértices A(2,0,2), B(0,4,2), C(2,6,4) e
D(4,4,0). Determine a altura relativa ao vértice C.
Solução: Os vetores que determinam o tetraedro são AB , AC e AD . Da teoria de
geometria espacial temos que o volume de um tetraedo é dado por VT =
1
Ab ⋅ h ,
3
onde Ab é área da base do tetraedro e h a sua altura. Como a área da base é um
triângulo determinado pelos vetores AB e AD , então Ab =
| AB × AD |
. Do Cálculo
2
C
Vetorial temos que VT =
[AB, AC, AD]
6
.
D
A
Ab
h
B
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Então:
[AB, AC, AD]
VT =
6
[AB, AC, AD]
h=
AB × AD
1
Ab ⋅ h
3
[AB, AC, AD]
⇒
6
=
1
⋅
3
AB × AD
2
⋅h
⇒
AB = (−2,4,0)

. Como AC = (0,6,2) ⇒
AD = (2,4,−2)

r
r r
i j
k
r
r
r
0 6
2 = 56 e AB × AD = − 2 4
0 ⇒ AB × AD = −8 i − 4 j − 16k .
2 4 −2
2 4 −2
−2 4
[AB, AC, AD] =
=
0
Logo | AB × AD | = 336 = 4 21 . Portanto: h =
56
4 21
⇒h=
2 21
u.c.
3
Exercícios Propostos
1) Determine os valores de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores
r
r
r
2
a = (2,−3,0), b = (1, m,−1) e c = (3,0,−1) , tenha volume igual a .
3
Resp: m = 1 ou m = 5
2) Sendo A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,5,0), D(3,5,0) e E(3,5,5), determine o volume da
E
figura abaixo.
A
C
B
3)
Determinar
o
r
r
u = (1,2,3), v = (2,4,0)
valor
Resp: V = 25 u.v.
D
de
r r r
r r r
r r
R = u ⋅ (v × w) − [v ⋅ (u + w) + 5u ⋅ w]
para
r
e
w = (−1,3,−1) .
Resp: R = 0
r r r
r
4) Determine o vetor u = (m − 1, m, m + 1) , para que os vetores {u, v, w} sejam
r
r
r
coplanares, onde v = (0,3,3) e w = (4,1,−1) .
Resp: u = (−2,−1,0)
r
r
r
5) Sejam u = (2,2,1), v = (−2,0,−3) e w = (1,−2,3) . Verificar a dependência linear dos
r r r
r r r r r
r r
r r r
r r
vetores {[u, v, w] ⋅ (u + v), [u, w, v] ⋅ (u + w), [w, u, v] ⋅ (v + w)}.
Resp: LI
r r r r r r
r r r
6) Provar que [u + v, v + w, u + w] = 2[u, v, w]
COMENTÁRIOS IMPORTANTES
1) Só existem três operações básicas aplicadas aos vetores que são: adição,
subtração e multiplicação por escalar, como vimos no capítulo 2. Os produtos
estudados neste capítulo são importantes, mas não confundir com as operações
básicas, ou seja, não existe multiplicação entre vetores, logo também não existem
a divisão, potenciação e radiciação de vetores.
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2) Não confundir produto por escalar com produto escalar. Apesar de usarmos
o mesmo símbolo (•) para as duas operações, eles têm significados diferentes, ou
r
seja: α • v (produto por escalar ou multiplicação por escalar, cujo resultado é um
r r
vetor) e u • v (produto escalar, cujo resultado é um número real).
3) O mesmo cuidado devemos ter com o produto vetorial. Sabemos que não existe
multiplicação, nem divisão e muito menos potenciação entre vetores. Logo, não
r
r
r r
r r
v
existem as notações r ou v 2 = v ⋅ v . Não confundir o produto escalar ( v ⋅ u ) ou
u
r r
produto vetorial ( v × u ) entre dois vetores com multiplicação entre vetores.
r r r r r
r r
r
r r r
r
Portanto, v ⋅ v ≠ v × v ≠ v 2 , pois, v ⋅ v =| v |2 , v × v = 0 e v2 não existe.
4) No início deste capítulo foi informado que alguns conceitos não são aplicados e
não podem ser interpretados geometricamente para vetores do plano (ℜ2) e que,
de agora em diante, eles serão introduzidos somente para vetores do espaço (ℜ3).
Pois bem, o produto escalar é um conceito que se aplica aos vetores do plano, da
mesma forma como é aplicado aos vetores do espaço, mas o mesmo não acontece
com o produto vetorial e o produto misto, os quais não tem interpretação
geométrica no plano. (verifique!)