Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática

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Nona
Edição
Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Nona
Edição
Introdução
• Nem sempre é possível tratar um corpo como uma única partícula. Em
geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplicação específicos de cada
uma das forças que nele atuam devem ser considerados.
• Supõe-se que a maioria dos corpos considerados em mecânica elementar
são rígidos, isto é, as deformações reais são pequenas e não afetam as
condições de equilíbrio ou de movimento do corpo.
• Este capítulo descreve o efeito de forças exercidas em um corpo rígido e
como substituir um dado sistema de forças por um sistema equivalente mais
simples. Para tanto, são importantes os seguintes conceitos:
• momento de uma força em relação a um ponto
• momento de uma força em relação a um eixo
• momento devido a um binário
• Qualquer sistema de forças atuando em um corpo rígido pode ser
substituído por um sistema equivalente composto por uma única força
atuando em um dado ponto e um binário.
3-2
Nona
Edição
Forças Externas e Forças Internas
• Forças atuando em corpos rígidos
são divididas em dois grupos:
- Forças Externas
- Forças Internas
• Forças externas são mostradas em
um diagrama de corpo livre.
• Se não for contrabalanceada,
cada uma das forças externas
pode imprimir ao corpo rígido
um movimento de translação ou
de rotação, ou ambos.
3-3
Nona
Edição
Princípio da Transmissibilidade: Forças Equivalentes
• Princípio da Transmissibilidade As condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo não se modificam ao se
transmitir a ação de uma força ao longo de
sua linha de ação.
OBSERVAÇÃO: na figura ao lado F e F’
são forças equivalentes.
• Para o caminhão ao lado, o fato de
mudar o ponto de aplicação da
força F para o para-choque traseiro
não altera o seu movimento e nem
interfere nas ações das demais
forças que nele atuam.
• O princípio da transmissibilidade
nem sempre pode ser aplicado na
determinação de forças internas e
deformações.
3-4
Nona
Edição
Produto Vetorial de Dois Vetores
• O conceito de momento de uma força em relação
a um ponto é mais facilmente entendido por meio
das aplicações do produto vetorial.
• O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido
como o vetor V que satisfaz às seguintes condições:
1. A linha de ação de V é perpendicular ao plano
que contém P e Q.
2. A intensidade de V é V  PQ sen 
3. A direção e o sentido de V são obtidos pela regra
da mão direita.
• Produtos vetorias:
- não são comutativos, Q  P   P  Q 
- são distributivos,
P  Q1  Q2   P  Q1  P  Q2
- não são associativos,  P  Q   S  P  Q  S 
3-5
Nona
Edição
Produtos Vetoriais: Componentes Retangulares
• Produtos vetoriais de vetores unitários:
   
 
 
i i  0
j  i  k k  i  j
 
  
 

i j k
j j 0
k  j  i


 

 

i k   j j k  i
k k  0
• Produto vetorial em termos de
componentes retangulares:







V  Px i  Py j  Pz k  Qx i  Q y j  Qz k 


 Py Q z  Pz Q y i   Pz Q x  Px Q z  j

 Px Q y  Py Q x k

i

j

k
V  Px
Py
Pz
Qx
Qy
Qz
3-6
Nona
Edição
Momento de uma Força em Relação a um Ponto
• Uma força é representada por um vetor que define sua
intensidade, sua direção e seu sentido. Seu efeito em um
corpo rígido depende também do seu ponto de aplicação.
• O momento de uma força F em relação a um ponto
O é definido como
MO  r  F
• O vetor momento MO é perpendicular ao plano que
contém o ponto O e a força F.
• A intensidade de MO expressa a tendência da força de
causar rotação em torno de um eixo dirigido ao longo
de MO.
M O  rF sen   Fd
O sentido do momento pode ser determinado pela regra
da mão direita.
• Qualquer força F’ que tem a mesma intensidade, direção e
sentido de F, é equivalente a ela se também tem sua mesma
linha de ação e portando, gera o mesmo momento.
3-7
Nona
Edição
Momento de uma Força em Relação a um Ponto
• Estruturas bidimensionais têm comprimento e largura,
mas profundidade desprezível e estão sujeitas a forças
contidas no plano da estrutura.
• O plano da estrutura contém o ponto O e a força F. MO,
o momento da força em relação a O, é perpendicular ao
plano.
• Se a força tende a girar a estrutura no sentido antihorário, o vetor momento aponta para fora do plano da
estrutura e a intensidade do momento é positiva.
• Se a força tende a girar a estrutura no sentido horário, o
vetor momento aponta para dentro do plano da estrutura e
a intensidade do momento é negativa.
3-8
Nona
Edição
Teorema de Varignon
• O momento em relação a um dado ponto O da
resultante de diversas forças concorrentes é
igual à soma dos momentos das várias forças
em relação ao mesmo ponto O.
  
   
r  F1  F2    r  F1  r  F2  
• O teorema de Varignon torna possível
substituir a determinação direta do momento
de uma força F pela determinação dos
momentos de duas ou mais forças que a
compõe.
3-9
Nona
Edição
Componentes Retangulares do Momento de uma Força
O momento de F em relação a O,


 
 

M O  r  F , r  xi  yj  zk




F  Fx i  F y j  Fz k




M O  M xi  M y j  M z k

i

j

k
 x
y
z
Fx
Fy
Fz



  yFz  zF y i   zFx  xFz  j  xFy  yFx k
3 - 10
Nona
Edição
Momento de F em relação a B:



M B  rA / B  F

 
rA / B  rA  rB



 x A  xB i   y A  y B  j  z A  z B  k




F  Fx i  Fy j  Fz k

i

M B  x A  xB 
Fx

j

k
 y A  yB  z A  z B 
Fy
Fz
3 - 11
Nona
Edição
Para estruturas bidimensionais:


M O  xFy  yFx k
MO  MZ
 xFy  yFx


M B  x A  xB Fy   y A  y B Fx k

M B  x A  xB Fy   y A  y B Fx

3 - 12
Nona
Edição
Componentes Retangulares no Espaço

• Com os ângulos entre F e os eixos x, y e z temos,
Fx  F cos  x F y  F cos  y Fz  F cos  z




F  Fx i  F y j  Fz k



 F cos  x i  cos  y j  cos  z k 

 F




  cos  x i  cos  y j  cos  z k
•


éum vetor unitário ao longo da linha de ação
de F e cos  x , cos  y e cos  z são os cossenos

que orientam a linha de ação de F .
2 - 13
Nona
Edição
Componentes Retangulares no Espaço
A direção de uma força é definida
pelas coordenadas de dois pontos,
M  x1 , y1 , z1  e N  x2 , y2 , z 2 
em sua linha de ação.

d  vetor que liga M e N



 d xi  d y j  d z k
d x  x2  x1 d y  y 2  y1 d z  z 2  z1


F  F

 1 

  d xi  d y j  d z k
d
Fd y
Fd x
Fd z
Fx 
Fy 
Fz 
d
d
d


2 - 14
Nona
Edição
2 - 15
Nona
Edição
Problema Resolvido 3.1
Uma força vertical de 450 N é aplicada na
extremidade de uma alavanca que está ligada
ao eixo em O.
Determine:
a) o momento da força em relação a O;
b) a força horizontal aplicada em A que gera o
mesmo momento;
c) a força mínima aplicada em A que gera o
mesmo momento;
d) a posição de uma força vertical de 1.080 N para
que ela gere o mesmo momento;
e) se alguma das forças obtidas nas partes b, c e d
é equivalente à força original
3 - 16
Nona
Edição
a) O momento em relação a O é igual ao produto da
força pela distância perpendicular entre a linha de
ação da força e O. Como a força tende a girar a
alavanca no sentido horário, o vetor momento
aponta para dentro do plano que contém a
alavanca e a força.
M O  Fd
d  60 cm  cos 60  30 cm
M O  450 N 0,3 m 
M O  135 N  m
3 - 17
Nona
Edição
b) Para a força horizontal aplicada em A que gera o
mesmo momento tem-se,
d  60 cm  sen 60  52 cm
M O  Fd
135 N  m  F 0,52 m 
F
135 N  m
0,52 m
F  259,6 N
3 - 18
Nona
Edição
c) A força mínima aplicada em A que gera o mesmo
momento deve atuar a uma distância perpendicular
é máxima de O, ou seja, quando F é perpendicular a
OA.
M O  Fd
135 N  m  F 0,6 m. 
F
135 N  m
0,6 m
F  225 N
3 - 19
Nona
Edição
d) Para determinar o ponto de aplicação de uma
força vertical de 1.080 N que gera o mesmo
momento em relação a O temos,
M O  Fd
135 N  m  1.080 N  d
135 N  m
 0,125 m
1.080 N
OB cos 60  12,5 cm
d
OB  25 cm
3 - 20
Nona
Edição
e) Embora cada uma das forças nas letras b), c) e d)
gere o mesmo momento que a força de 450 N,
nenhuma tem sua mesma intensidade, direção e
sentido, ou sua mesma linha de ação. Portanto,
nenhuma das forças é equivalente à força de 450 N.
3 - 21
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
O momento MA da força F exercida
pelo fio é obtida a partir do produto
vetorial,



M A  rC A  F
Uma placa retangular é sustentada
pelos suportes A e B e por um fio CD.
Sabendo que a tração no fio é 200 N,
determine o momento em relação a A
da força exercida pelo fio no ponto C.
3 - 22
Nona
Edição
SOLUÇÃO:



M A  rC A  F



 
rC A  rC  rA  0,3 mi  0,08 mk



rC D
F  F  200 N 
rC D



 0,3 m i  0,24 m  j  0,32 m k
 200 N 
0.5 m



 120 N  i  96 N  j  128 N k

i

M A  0,3

j

k
0
0,08
 120 96  128




M A  7,68 N  m i  28,8 N  m j  28,8 N  mk
3 - 23
Nona
Edição
Produto Escalar de Dois Vetores
• O produto escalar de dois vetores P e Q é
definido como
 
P  Q  PQ cos resultado escalar 
• Produtos escalares:
   
- são comutativos, P  Q  Q  P
  
   
- são distributivos, P  Q1  Q2   P  Q1  P  Q2
  
- não são associativos, P  Q  S  indefinido


• Produtos escalares em termos de componentes cartesianas:


 




P  Q  Px i  Py j  Pz k  Qx i  Q y j  Qz k 
 
 
 
 
i i 1 j  j 1 k k 1 i  j  0
 
 
j k  0 k i  0
 
P  Q  Px Qx  Py Q y  Pz Qz
 
P  P  Px2  Py2  Pz2  P 2
3 - 24
Nona
Edição
Produto Escalar de Dois Vetores: Aplicações
• Ângulo entre dois vetores:
 
P  Q  PQ cos   Px Q x  Py Q y  Pz Q z
cos  
Px Q x  Py Q y  Pz Q z
PQ
• Projeção de um vetor sobre um dado eixo:

POL  P cos   projeção de P sobre o eixo OL
 
P  Q  PQ cos 
 
P Q
 P cos   POL
Q
• Para um eixo definido por um vetor unitário:
 
POL  P  
 Px cos  x  Py cos  y  Pz cos  z
3 - 25
Nona
Edição
Produto Triplo Misto de Três Vetores
• Produto triplo misto de três vetores:
  
S  P  Q  resultado escalar


• Os seis produtos triplos mistos que podem ser
formados com S, P e Q têm o mesmo valor absoluto,
mas não necessariamente o mesmo sinal,
  
  
  
S  P  Q   P  Q  S   Q  S  P 
 
  
  
  S  Q  P    P  S  Q   Q  P  S 
• Analisando o produto triplo misto tem-se,
  
S  P  Q   S x Py Q z  Pz Q y   S y  Pz Q x  Px Q z 

 S z Px Q y  Py Q x
Sx
Sy
Sz
 Px
Py
Pz
Qx
Qy
Qz

3 - 26
Nona
Edição
Momento de uma Força em Relação a um Dado Eixo
• Momento MO de uma força F aplicada no
ponto A em relação a um ponto O:

 
MO  r  F
• O momento MOL em relação a um eixo OL é a
projeção do momento MO sobre esse eixo, ou seja,
M OL

  

   M O    r  F 
• Momentos de F em relação aos eixos coordenados:
M x  yFz  zF y
M y  zFx  xFz
M z  xFy  yFx
3 - 27
Nona
Edição
Momento de uma Força em Relação a um Dado Eixo
• Momento de uma força em relação a um
eixo arbitrário:
 
M BL    M B
 

   rA B  F 

 
rA B  rA  rB
• O resultado é independente do ponto B
escolhido sobre o eixo dado.
3 - 28
Nona
Edição
Um cubo sofre a ação de uma força P
conforme mostrado. Determine o
momento de P:
a)
b)
c)
d)
em relação a A
em relação à aresta AB
em relação à diagonal AG do cubo.
Determine a distância perpendicular
entre AG e FC.
3 - 29
Nona
Edição
• Momento de P em relação a A:



M A  rF A  P


 

rF A  a i  a j  a i  j 



 
P  P 2 j  2k  P 2 j k

 
 
M A  a i  j  P 2 j  k

  
M A  aP 2  i  j  k



 



• Momento de P em relação a AB:
 
M AB  i  M A

  
 i  aP 2 i  j  k 
M AB  aP 2
3 - 30
Nona
Edição
• Momento de P em relação à diagonal AG:
 
M AG    M A

 

 rA G ai  aj  ak
1   




i  j k
rA G
a 3
3

aP   

MA 
i  j k
2
1    aP   


M AG 
i  j  k 
i  j k
3
2
aP
1  1  1

6
M AG  
aP
6
3 - 31
Nona
Edição
• Distância perpendicular entre AG e FC:
  P   1   
P


0  1  1
P 
j  k 
i  j  k 
2
3
6
0
Portanto, P é perpendicular a AG.
M AG 
aP
 Pd
6
d
a
6
3 - 32
Nona
Edição
Momento de um Binário
• Duas forças F e -F de mesma intensidade, linhas
de ação paralelas e sentidos opostos formam um
binário.
• Momento do binário:
   

M  rA  F  rB   F

 
 rA  rB   F
 
 rF
M  rF sen   Fd
 
• O vetor que representa o momento do binário
é independente da escolha da origem dos
eixos coordenados, isto é, trata-se de um vetor
livre que pode ser aplicado a qualquer ponto
produzindo o mesmo efeito
3 - 33
Nona
Edição
Dois binários terão momentos iguais se
• F1d1  F2 d 2
• os dois binários estiverem em planos
paralelos, e
• os dois binários tiverem o mesmo sentido
ou a tendência de causar rotação na
mesma direção.
3 - 34
Nona
Edição
Adição de Binários
• Considere dois planos P1 e P2 que se
interceptam, cada um contendo um binário.

 
M 1  r  F1 no plano P1

 
M 2  r  F2 no plano P2
• As resultantes dos vetores também
formam um binário.
     
M  r  R  r  F1  F2 
• Pelo teorema de Varignon,
    
M  r  F1  r  F2


 M1  M 2
• A soma de dois binários é um binário de
momento igual à soma vetorial dos momentos
dos dois.
3 - 35
Nona
Edição
Binários Podem Ser Representados por Vetores
• Um binário pode ser representado por um vetor igual em
intensidade, direção e sentido ao momento do binário.
• Vetores que representam binários obedecem à lei de
adição de vetores.
• Vetores binários são vetores livres, ou seja, o ponto de
aplicação não é relevante.
• Vetores binários podem ser decompostos em componentes
vetoriais.
3 - 36
Nona
Edição
Substituição de uma Dada Força por uma Força em O e um Binário
• Não se pode simplesmente mover uma força F para o ponto O sem
modificar sua ação no corpo.
• A aplicação de duas forças de mesma intensidade e sentidos opostos
em O não altera a ação da força original sobre o corpo.
• As três forças podem ser substituídas por uma força equivalente e
um vetor binário, isto é, um sistema força-binário.
3 - 37
Nona
Edição
Substituição de uma Dada Força por uma Força em O e um Binário
• Para mover a força F de A para um ponto diferente O’ deve-se
aplicar naquele ponto um vetor binário diferente MO’

 
M O'  r   F
• Os momentos de F em relação a O e a O’ estão relacionados.

 
      
M O '  r 'F  r  s   F  r  F  s  F

 
 MO  s  F
• Para mover o sistema força-binário de O para O’ deve-se somar
ao sistema o momento da força aplicada em O em relação a O’.
3 - 38
Nona
Edição
Momento de uma força
Nona
Edição
Nona
Edição
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
•
Introduzimos no ponto A duas forças de 90 N
com sentidos opostos, produzindo 3 binários
para os quais os componentes dos momentos
são facilmente calculados.
• Alternativamente, pode-se calcular os
momentos das quatro forças em relação a
um único ponto arbitrário. O ponto D é
uma boa escolha pois apenas duas das
forças geram momento naquele ponto.
Determine os componentes do
binário único equivalente aos
dois binários mostrados.
3 - 42
Nona
Edição
• Introduzimos no ponto A duas forças de
90 N com sentidos opostos.
• Os três binários podem ser representados
pelos três vetores binários,
M x   135 N 0,45 m    60,75 N  m
M y   90 N 0,30 m    27 N  m
M z   90 N 0,225 m    20,25 N  m



M  60,75 N  m i  27 N  m j

 20,25 N  m k
3 - 43
Nona
Edição
• Alternativamente, calculamos a soma
dos momentos das quatro forças em
relação a D.
• Somente as forças em C e E geram
momento em relação ao ponto D.




M  M D  0,45 m  j   135 N k



 0,225 m j  0,30 mk   90 N  i





M   60,75 N  m i  27 N  m j

 20,25 N  mk
3 - 44
Nona
Edição
Sistema de Forças: Redução a uma Força e um Binário
• Um sistema de forças pode ser substituído por um sistema
força-binário equivalente atuando em um dado ponto O.
• As forças e os vetores binários podem ser substituídos
por uma força resultante e um vetor binário resultante,


R
 
R  F
M O   r  F 
• O sistema força-binário em O pode ser movido para
O’ com a soma do momento de R em relação à O’ ,
R
R  
M O'  M O  s  R
• Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem
ser reduzidos a um mesmo sistema força-binário.
3 - 45
Nona
Edição
Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças
• Se a força resultante e o binário em O forem mutuamente
perpendiculares, o sistema pode ser substituído por uma
única força que atua ao longo de uma nova linha de ação.
• O sistema força-binário resultante para um sistema de
forças será mutuamente perpendicular se:
1) as forças forem concorrentes,
2) as forças forem coplanares, ou
3) as forças forem paralelas.
3 - 46
Nona
Edição
Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças
• O sistema de forças coplanares é reduzido
a um sistema
 R força-binário que consiste
em R e M O , que são mutuamente
perpendiculares.
• O sistema pode ser reduzido a uma
única
 força movendo-se a linha de ação
de R até que seu momento em relação a
O se torne M OR.
• Em termos de componentes retangulares,
xRy  yRx  M OR
3 - 47
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
a) Calculamos a força resultante para
as forças mostradas e o binário
resultante para os momentos das
forças em relação a A.
Para a viga acima, reduza o sistema de
forças dado a (a) um sistema forçabinário equivalente em A, (b) um
sistema força binário equivalente em B,
e (c) a uma força única ou resultante.
Observação: Como as reações de apoio
não estão incluídas, esse sistema não
manterá a viga em equilíbrio.
b) Encontramos um sistema forçabinário em B equivalente ao
sistema força-binário em A.
c) Determinamos o ponto de
aplicação para a força resultante
de tal forma que seu momento em
relação a A seja igual ao binário
resultante em A.
3 - 48
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
a) Calculamos a força e o binário resultantes
em A.


R  F




 150 N  j  600 N  j  100 N  j  250 N  j


R  600 N  j


R
 
MA   r F




 1,6 i   600 j   2,8 i  100 j 


 4,8 i   250 j 

R
M A  1880 N  mk
3 - 49
Nona
Edição
b) Encontramos um sistema força-binário em B
equivalente ao sistema força-binário em A.
A força fica inalterada pelo movimento do
sistema força-binário de A para B.


R  600 N  j
O binário em B é igual ao momento em relação
a B do sistema força-binário encontrado em A.
R
R 

M B  M A  rB A  R



 1880 N  m k   4,8 m i   600 N  j


 1880 N  m k  2880 N  m k

R
M B  1000 N  m k
3 - 50
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
• Determinamos os vetores posição
relativos traçados do ponto A até os
pontos de aplicação das várias forças.
• Decompomos as forças em
componentes retangulares.
• Calculamos a força resultante,


R  F
Três cabos estão presos ao suporte,
como ilustrado. Substitua as forças
exercidas pelos cabos por um
sistema força-binário equivalente
em A.
• Calculamos o binário resultante,
R
 
M A   r  F 
3 - 51
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
• Decompomos as forças em componentes
retangulares :


FB  700 N 




 rE B 75 i  150 j  50k


rE B
175



 0,429 i  0,857 j  0,289k




FB  300 i  600 j  200k N 
• Determinamos os vetores posição
relativos em relação a A:



rB A  0,075 i  0,050k m 



rC A  0,075 i  0,050k m 



rD A  0,100 i  0,100 j m 





FC  1000 N  cos 45 i  cos 45k


 707 i  707k N 



FD  1200 N cos 60 i  cos 30 j 


 600 i  1039 j  N 
3 - 52
Nona
Edição
• Calculamos a força resultante:


R  F

 300  707  600  i

  600  1039  j

 200  707 k




R  1607 i  439 j  507 k N 
• Calculamos o binário resultante:


R
 
MA   r F

i


rB A  F B 0,075

k

j


0,050  30i  45k
0
300

i
 600 200


j
k
707

i
0



rC A  F c 0,075 0  0,050  17,68 j
 707

j

k
1039
0



rD A  F D 0,100  0,100 0  163,9k
600

R


M A  (30 N  m) i  (17,68 N  m) j  (118,9 N  m)k
3 - 53

Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática

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