Trigonometria

UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA BÁSICA II
TRIGONOMETRIA
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
2014.1
“A Matemática tem muito em comum com a música, a dança e os esportes. Existem habilidades a serem aprendidas e uma sequência a ser seguida, caso você queira ser bom no que faz. Você não pode simplesmente ler matemática, ou apenas ouvir matemática, ou até mesmo entender matemática. Você FAZ a matemática, e aprender a fazê­la bem, requer prática. É por isso que as tarefas de casa existem, mas a maioria das pessoas precisa de mais!”
Carolyn Wheater
Practice Makes Perfect
Etimologia
A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τριγωνομετρία
τρίγωνο (Triângulo) + μέτρηση (medida)
A 'Ciência dos Triângulos';
Ramo da Matemática que estuda a aplicação da aritmética na geometria.
Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561­1613)
História da Trigonometria
Criação da Matemática Grega;
Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia;
Inicialmente desenvolveu­se a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fez­se necessária;
Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.C.);
Euclides (300 a.C.): estudos sobre Geometria Esférica;
Aristarco de Samos (300 a.C.): estimou uma razão entre as distâncias da terra ao sol e da terra a lua e também uma razão entre o diâmetro do sol e a da terra.
Eratóstenes (250 a.C.): calculou o raio da terra;
Apolônio de Perga (200 a.C.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π;
Menelao de Alexandria (100 a.C.): vários teoremas sobre trigonometria esférica.
Teodósio (20 a.C.): compilou o que os gregos sabiam sobre o assunto em seu livro Sobre a Esfera;
Ptolomeu (150 d.C.): ápice da trigonometria grega com a obra Almagesto (A sintaxe Matemática).
Hiparco de Nicéia
Considerado o “Pai” da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.C.
Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos).
Organizou a confecção de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios.
O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia.
Hiparco de Nicéia
Fez um tratado de 12 livros que se ocupa da construção de uma “tabela trigonométrica” para usar em sua astronomia;
Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios;
Usou a “trigonometria” para prever eclipses, fazer calendários e navegação.
Criou o primeiro astrolábio, equipamento destinado a medir a distância de qualquer astro em relação ao horizonte;
OBS: Tabela de cordas
Os matemáticos gregos não usavam seno de um ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo.
Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias.
��� � =
�� 1 ����� ��
1
=
=
����� ��
�� 2
��
120
Os matemáticos gregos usavam as frações sexagemais babilônias, daí a razão de adotarem o raio igual a 60.
A
O
α
C
D
Almagesto (Ptolomeu, 150 d.C.)
Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo geocêntrico;
Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondo­o convenientemente em triângulos retângulos;
Deduziu expressões que mais tarde, em notação moderna, seriam a expressão para seno da soma e da diferença e a identidade fundamental:
��� 2 � + cos2 � = 1
Trigonometria pelo mundo
Hindus
Continuou sendo aplicada à astronomia;
No século V, abandonaram a tabela de cordas e adotaram a tabela de senos;
A trigonometria hindu era essencialmente aritmética, enquanto a grega era mais geométrica;
Trigonometria pelo mundo
Árabes
Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus;
Introduziram a tangente, cotangente, secante e cossecante, para facilitar os cálculos;
Já conheciam a lei dos senos para triângulos (al­
Biruni, 1408);
Nasir­Eddin sistematizou os conhecimentos até então existentes sobre trigonometria em seu Tratado sobre o Quadrilátero.
Trigonometria pelo mundo
Chega a Índia por volta de 400 d.C. (astronomia);
Por volta de 800 d.C. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia);
Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe Al­Battani;
Trigonometria pelo mundo
A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci);
Necessidade de se refazer os cálculos da astronomia posicional, devido a adoção do sistema heliocêntrico de Copérnico (1473­1543);
Desenvolvimento da navegação exigia mapas mais precisos e cálculos mais exatos da efemérides astronômicas.
Trigonometria pelo mundo
Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria.
George Peurbach (1423­1461): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas;
Regiomontanus (1436­1476): organizou a trigonometria como parte da matemática independente da astronomia.
Bartholomaus Pitiscus (1561­1613): introduziu o termo Trigonometria (medida dos ângulos de um triângulo).
Origens dos nomes das relações trigonométricas
Seno
A palavra meia­corda em sânscrito, língua dos antigos hindus, é jiva;
Como em várias outras línguas, em árabe se escrevem somente as consoantes das palavras;
v e b se confundem.
Jaib significa bacia, bolso.
Traduziram jaib para o latim, isto é, sinus.
Origens dos nomes das relações trigonométricas
Tangente: significado geométrico.
α
r
�� � =
�
�
t
Origens dos nomes das relações trigonométricas
Secante: Na figura abaixo, o segmento que define a secante, corta o círculo. Do latim, cortar=secare.
s
α
r
��� � =
�
�
Origens dos nomes das relações trigonométricas
Cosseno, Cotangente e Cossecante: Seno, tangente e secante do arco complementar
t'
r β s's
α
t
r
�� � =
�′
= ��� � �,
�
sen� = ���� ,
���� =
�′
= ������ �
�
Aplicações
Outros campos da matemática: Análise, Cálculo;
Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil, Medicina, Telecomunicações, Navegação, Aviação, Astronomia; O ensino de trigonometria
Segundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino da trigonometria é:
Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações­problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos.
Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.
Conteúdo da disciplina
Trigonometria no triângulo retângulo
Trigonometria na circunferência
Funções Trigonométricas