Aula de Teoria das Placas - DEECC

Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Flexão de Placas
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
PROF. EVANDRO PARENTE JUNIOR (UFC)
PROF. ANTÔNIO MACÁRIO CARTAXO DE MELO (UFC)
Teoria Clássica das Placas
y Hipóteses básicas:
{ O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear;
{ Os deslocamentos são pequenos, comparados com a espessura h;
{ A placa é fina
{ As tensões normais que atuam perpendicularmente à superfície média
podem ser desprezadas.(*)
{ Um segmento de reta normal à superfície média indeformada se
conserva normal à superfície média após a deformação, permanecendo
reto e com o mesmo comprimento.(*)
{ (*): Conhecidas como hipóteses de Kirchhoff ou, às vezes, de KirchhoffLove, por Love tê-las estendidas às cascas:
Ù
Correspondem às hipóteses de Navier-Bernoulli para vigas.
Cargas externas
Placa sujeita a um carregamento q(x,y)
Teoria Clássica das Placas
y Campo de deslocamentos:
w( x, y, z ) = w( x, y )
u ( x, y , z ) = − z
∂w
∂x
v ( x, y , z ) = − z
∂w
∂y
Teoria Clássica das Placas
y Relações deformação-deslocamento:
εx = − zκx
∂2w
ε x = −z 2
∂x
∂2w
ε y = −z 2
∂y
γ xy
Ou
∂2w
= −2 z
∂x∂y
ε y = − zκ y
γ xy = −2 zκ xy
Equações Constitutivas
y O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear.
y O estado de tensões em cada lâmina da placa é plano.
y Deformações não nulas:
Equações Constitutivas
y Invertendo e usando as relações deformação-
deslocamento:
σx = −
E
(κ x + υκ y ) z
1−υ 2
σy = −
E
(κ y + υκ x ) z
1−υ 2
τ xy = −
(*)
E
κ xy z
1+υ
Tensões atuantes
Elemento da placa de dimensões dx, dy e h
Esforços internos
y Resultantes das tensões (esforços por metro)
{ Integração ao longo da espessura (h):
σ x 
σ 
 y
∫hτ xy  z dz

− 
2
τ
 yx 
Mx 
M 
 y

=
M
xy


M yx 
Qx 
 =
Q y 
h
2
h
2
τ xz 
∫hτ yz  z dz

− 
2
Relações momento-curvatura
y Substituindo nas expressões dos esforços resultantes
e integrando em z:
M x = − D (κ x + υκ y )
M y = − D (κ y + υκ x )
M xy = M xy = − D(1 −υ )κ xy
(**)
Rigidez à flexão das placas
Teoria Clássica das Placas
y Tensões ao longo da espessura
{ Utilizando as equações (*) e (**) obtém-se:
12 M x
z
h3
σx =
σy =
τ xy =
12 M y
h3
12 M xy
h3
z
z
Teoria Clássica das Placas
y Momentos
M x = − D (κ x + υκ y )
M y = − D (κ y + υκ x )
M xy = M xy = − D(1 −υ )κ xy
y Curvaturas:
κx =
∂2w
∂x 2
κy =
∂2w
∂y 2
κ xy =
∂2w
∂x∂y
Esforços na superfície média
Momentos fletores (Mx e My), torsores (Mxy) e Forças cortantes (Qx e Qy)
Teoria Clássica das Placas
y Equações de equilíbrio:
Teoria Clássica das Placas
y Eliminando Qx e Qy das equações de equilíbrio:
y Escrevendo os momentos em função das curvaturas:
∂ 2κ xy ∂ 2κ y q
∂ 2κ x
+2
+
=
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
D
Teoria Clássica das Placas
y Escrevendo as curvaturas em função dos deslocamentos
obtém-se a Equação de Lagrange (1811):
∂4w
∂4w
∂4w q
+
+
=
2
∂x 4
∂x 2 ∂y 2
∂y 4 D
ou
∇4w =
q
D
onde
É o operador biarmônico
Teoria Clássica das Placas
y Solução analítica (Eq. Dif. Parcial de 4ª ordem)
{ Caso geral (geometria, carregamento e condições de contorno):
Ù
Ù
{
Solução difícil.
Em muitos casos impossível achar uma solução exata.
Geometrias e condições de contorno simples:
Placas circulares (soluções fechadas).
Ù Placas retangulares (soluções por séries):
| Solução de Navier.
| Solução de Levy.
Ù
Teoria Clássica das Placas
y Soluções aproximadas
{
Métodos semi-analíticos:
Ù
Ù
{
Rayleigh-Ritz.
Galerkin.
Métodos numéricos:
Método das Diferenças Finitas.
Ù Método dos Elementos Finitos.
Ù Método dos Elementos de Contorno.
Ù Métodos sem malha (meshless).
Ù
Condições de contorno
y Bordo simplesmente apoiado:
{ w=0
{ Mp = 0 (Mp é o momento na direção ⊥ ao bordo)
y Bordo engastado:
{ w=0
{ θb = 0 (θb é a rotação em torno do bordo)
y Bordo livre:
{ Mp = 0
{ Vp = 0 (Vp é o cortante efetivo na direção ⊥ ao bordo)
Esforço Cortante Efetivo
y Momento de torção (Mxy) em um elemento da borda
x = a de comprimento dy:
Esforço Cortante Efetivo
y Substituição por duas forças verticais de módulo Mxy
separadas de dy:
Esforço Cortante Efetivo
y O momento de torção não se altera. Há apenas uma
mudança localizada na distribuição de tensões numa
região muito próxima da borda da placa (Princípio
de Saint-Venant).
y Nos elementos dy da borda x = a, a distribuição de
Mxy é estaticamente equivalente a um esforço
cortante distribuído
e a forças concentradas
nos cantos.
Esforço Cortante Efetivo
Esforço Cortante Efetivo
y Esforço cortante efetivo na borda x = a é definido
como:
Exemplo 1
y Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a
uma carga senoidal:
y Com q0 = intensidade do carregamento no centro da
placa
Exemplo 1
Exemplo 1
y Substituindo a Eq. (1) na equação de Lagrange:
y Condições de contorno (flechas e momentos nulos
nos bordos):
{
Em x = 0 e x = a:
Em y = 0 e y = b:
Exemplo 1
y Solução candidata:
{
{
Família de soluções que satisfazem as condições de
contorno (Eq. 3) e (Eq. 4).
Constante C: Selecionada tal que a equação diferencial
(Eq. 2) seja satisfeita.
Exemplo 1
y Metodologia
{ Avaliar as derivadas de w (Eq. 5) necessárias e substituir na
Eq. (2).
{ Obter C igualando os dois lados da equação para qualquer x e
y.
{ Solução final:
Exemplo 1
y Momentos
Exemplo 1
y Cortantes
Exemplo 1
y Reações de apoio (cortante efetivo)
{ Para x = a
{
Para y = b
{
Onde:
Exemplo 1
y Forças concentradas nos cantos:
{ Em x = a e y = b:
{
Obs: R < 0 – Sentido para baixo.
Exemplo 1
y Demais cantos: da simetria, têm a mesma força com
o mesmo sentido.
Exemplo 1
y Observações
{ O equilíbrio entre a carga aplicada q e as reações;
{ O aparecimento de R decorre da hipótese simplificadora de Kirchhoff
(cortante efetivo);
{ Teoria mais refinada, incluindo a deformação de cisalhamento
transversal:
Ù
Ù
{
As reações concentradas desaparecem;
Próximo aos cantos as reações continuam distribuídas, apontando
para baixo, com efeito equivalente ao de R.
Reações para baixo nos cantos
Placas apoiadas nas bordas, mas não presas nelas, tendem a levantar
nos cantos, R impede este levantamento
Ù Se os cantos não forem devidamente presos, os momentos fletores na
região central aumentarão.
Ù
Exemplo 2
y Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a
carga:
y m e n: inteiros positivos (número de meias-ondas).
y De forma análoga ao Exemplo 1:
{
Esforços e reações obtidas da mesma forma.
Solução de Navier
y Equação diferencial linear – superposição de
soluções do tipo (*)
∂4w
∂4w q
∂4w
+2 2 2 + 4 =
∂x 4
∂x ∂y
∂y
D
y Representando o carregamento como uma série de
Fourier:
Solução de Navier
y A solução para o carregamento transversal será
onde os coeficientes qmn são dados por:
Exemplo 3
y Placa retangular simplesmente apoiada submetida a
carga uniformemente distribuída q0 .
Exemplo 3
y Expansão do carregamento em série de Fourier
onde
m,n = 1, 3, 5, 7...
Exemplo 3
y Deslocamentos transversais:
y Momentos
Exemplo 3
Exemplo 3
y Placa quadrada (a = b):
{ w, Mx, My máximos – centro (x = y = a/2)
Exemplo 3
y Resultados para v = 0.3
Termos
1 (m = n = 1)
4 (m,n = 1,3)
Valor exato
wmax/(q0a4/D)
Mmax/(q0a2)
0,00416 (2,5%)
0,00406 (0,0%)
0,00406
0,0534 (11,5%)
0,0469 (-2,1%)
0,0479