Processos Estocásticos - PET Engenharia Elétrica

Transcrição

Universidade Federal do Ceará
Departamento de Engenharia Elétrica
Programa de Educação Tutorial
Plano Básico
Processos Estocásticos
Autores: Luís Paulo Carvalho dos Santos
Luiz Fernando Almeida Fontenele
Orientadores: Diego de Sousa Madeira
Fernando Weslley Silva de Oliveira
Fortaleza, 28 de agosto de 2008
Índice
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Introdução
Probabilidade
Variáveis Aleatórias
Filtragem
Modelo de Espaço de Estados
Filtro de Kalman
Filtro de Kalman Estendido
Filtro de Partículas
Referências Bibliográficas
Agradecimentos
Luís Paulo Carvalho dos Santos
2
Introdução
• Sistemas reais
– Influências não inteiramente conhecidas
– Não se pode predizer com precisão arbitrária o
estado do sistema em um instante.
– Imprevisibilidade  Fenômeno aleatório
– Modelos determinísticos  Modelos probabilísticos
3
Probabilidade
• Experimento aleatório
– Não se pode afirmar, a priori, o resultado que
ocorrerá
– Condições de ensaio praticamente inalteradas 
Pode ocorrer resultados diferentes
– Após inúmeras repetições  Regularidades
4
• Uma variável aleatória x é uma função real, definida
em  tomando valores no conjunto e satisfazendo
às seguintes condições:
– O conjunto Ax    x    X  é um evento  X 
– P   x      P   x      0
x: 

x  
6
Função Distribuição de Probabilidade
• A Função Distribuição de Probabilidade (FDP) de
uma variável aleatória x é uma função Fx definida
por:
Fx :
X
Fx  X   P  AX 
com AX    x    X 
• Notação simplificada: Fx  X   P  x  X 
7
Função Densidade de Probabilidade
• A Função Densidade de Probabilidade de uma
variável aleatória x é definida como a derivada de
sua função de probabilidade:
d
px  X  
Fx  X 
dx
8
• Propriedades:
–
px  u  du  Fx  X 
X


– px  X   0
–
–




b
a
–
px  X  dX  1
px  X  dX  P  x   a, b
 p  X  dX  P  x  I 
I
x
9
• Normal ou Gaussiana:
– Função Densidade de Probabilidade:
1
e
» px  X  
2
2
X m


2 2
, m
e  0
– Função Distribuição de Probabilidade:
 X m
Fx  X    px  X  dX  1  Q 


  
X
»
,
1
Q   
2

 e

u2
2
du
10
Funções de Variáveis Aleatórias
• Uma função real definida sobre os reais
g:
x  
g  x   
y: 

g  x   
11
Definições
•
E  y   Yp y Y  dY
•
mx  E  x   Xpx  X  dX
•
E  x 2    X 2 px  X  dX
•
2
 2  E  x  mx    
•
rxy  E  xy   
•
k xy  E  x  mx   y  my   


 Valor esperado 









 


 Média 
 Valor médio quadrático 
 X  mx 
2
px  X  dX
XYpxy  X , Y  dXdY

 Variância 
 Correlação 
  X  m  Y  m  p  X ,Y  dXdY  Covariância 

 
x
y
xy
12
Teorema do Limite Central
n
• Seja ym uma variável aleatória definida por yn   xi
i 1
x1 , x2 ,..., xn 
onde
são variáveis aleatórias
estatisticamente
independentes,
identicamente
distribuídas, todas com média m e variância  2 .
Então, a variável aleatória zn que caracteriza a
yn  m y
soma normalizada zn 
é tal que:
n
y
n
2
1  Z2
lim pxn  Z  
e
n 
2
13
• É o mapa definido por:
x: 

F
x t,  , t  
x( 1,t)
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t
15
• Classificação do Processo Estocásticos:
10
2
x( ,t)
x( ,t)
3
1
0
0
600
10
0
20
40
60
80
100
P.E. contínuo de parâmetro contínuo
400
x( ,t)
x( ,t)
5
200
0
-5
0
5
P.E. discreto de parâmetro contínuo
0
2
4
6
8
10
P.E. contínuo de parâmetro discreto
5
0
0
2
4
6
8
10
P.E. discreto de parâmetro discreto
16
• Especificação de 1ª ordem:
– Função Densidade de Probabilidade P  X 
é conhecida para todo t   .
• Especificação de 2ª ordem:
– Função Densidade de Probabilidade conjunta
pxt xt  X 1 , X 2  é conhecida para qualquer par de valores
1 2
(t1,t2).
17
• Momentos de Processos Estocásticos
– Média de um Processo Estocástico
mx  t   E  x  t  
; t 
– Função Autocorrelação de um processo
Rx  t1 , t2   E  x  t1  x  t2  
; t1  , t2  
– Função Autocovariância
K x  t1 , t2   E  x  t1   mx  t1    x  t2   mx  t2  
18
• Estacionaridade de ordem m
– Quando a função densidade de probabilidade de
ordem m não varia com um deslocamento no tempo,
isto é, quando:
pxt xt ... xt
1 2
m
 X1 , X 2 ,..., X m   px
t1 xt2 
... xtm 
 X1 , X 2 ,..., X m  ; 
19
• Estacionariedade no Sentido Estrito:
– Quando o processo é estacionário de ordem m para
qualquer valor inteiro de m
• Estacionariedade no Sentido Amplo:
mx  t    x ; t
Rx  t1 , t2   Rx   ;   t2  t1
20
• Ergodicidade
– Um processo x  t  é ergódico na forma mais geral se,
com probabilidade 1, todas as suas estatísticas
podem ser determinados através de uma única
função x t ,  do processo.


21
• Densidade Espectral de Potência:
S x  f   lim
XT  f 
t 
2
T

S x  f    Rx   e j 2 f  d

– Processos Estocásticos Estacionários no sentido
amplo:

S x  f    Rx  e j 2 f  d  F [ Rx  ]

Rx  t1 , t2   Rx  t1  t2 
22
• Ruído Branco
– Processo estacionário no sentido amplo;
– Densidade Espectral de Potência é constante:
Sx  f   C
– De S x  f   F [ Rx  ] permite expressar a função
autocorrelação do ruído branco:
Rx    C  
23
Filtragem
Filtros
• Dispositivo em hardware ou software
A
p
l
i
c
a
d
o
• Conjunto de dados contaminados com ruído
P
a
r
a
• Extração da informação de interesse
25
Filtros
• Áreas de Aplicação:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Navegação
Economia
Processamento de sinais e de imagem
Computação gráfica
Comunicações
Radar
Sonar
Sismologia
Engenharia biomédica
Redes neurais
26
Filtros
• Característica comum:
– Vetor de entrada
– Resposta desejada
Calcula
Erro de Estimativa
Estima
Conjunto de
coeficientes de
um filtro
27
Filtros
• Classes:
– Algoritmos de gradiente
» Filtro de Weiner
» Estimam o gradiente da superfície da função de custo
» Vantagem: baixa complexidade
– Algoritmos de mínimos quadrados
» Filtro de Kalman
» Minimizam a soma dos quadrados dos erros parciais
» Vantagens: baixa sensibilidade a mínimos locais da
superfície da função de custo; maior velocidade de
convergência
» Desvantagem: maior exigência computacional
28
Filtragem Estocástica Não-linear
• Sistema dinâmico estocástico não-linear em tempo discreto:
xk  f  xk 1 , uk 1   wk
yk  h  xk   vk
em que x0,wk e vk são descorrelacionados
• Causas da não-linearidade:
–
f ( xk 1 , uk 1 ) não linear;
– Não linearidade de
h  xk 
– Erros de modelagem no processo e na medição, acarretando wk
e vk não gaussianos.
29
Filtragem Estocástica Não-linear
• Filtros para sistemas estocásticos não-lineares:
– Filtro de Kalman Estendido: linearização local de primeira
ordem do modelo;
– Filtro de Segunda Ordem: linearização local de segunda ordem
do modelo;
– Filtro de Kalman Unscendent Transform: propagação da média
e matriz de covariância do modelo de processos usando a
Transformada Unscendent;
– Filtro de Monte Carlo Seqüencial: aproximação de
p(xk|y1,...,yk);
– Filtro Soma de Gaussianas: aproximação de p(xk|y1,...,yk) por
uma soma de gaussianas.
30
Modelo de Espaço de Estados
Modelo Espaço de Estados
• Estado:
– Menor conjunto de variáveis que determina
completamente o comportamento do sistema para
qualquer instante, conhecendo-se a entrada
• Variáveis de Estado:
– Constituem o menor conjunto de variáveis capaz de
determinar o estado do sistema dinâmico
32
• Vetor de Estado:
– Constituído por variáveis de estado para descrever
completamente o comportamento de um dado
sistema
• Espaço de Estados:
– Espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são
formados pelos eixos das variáveis de estado.
33
Modelo em Tempo Discreto
Modelo em Tempo Contínuo
34
• Equações no Espaço de Estados:
 x1,k 1  a11 x1,k  a12 x2,k  ...  a1n xn,k  b11,k u1,k  ...  b1mum, k

 x2,k 1  a21 x1,k  a22 x2,k  ...  a2 n xn,k  b21,k u1,k  ...  b2 mum,k


 xn ,k 1  an1 x1,k  an 2 x2,k  ...  ann xn,k  bn1,k u1,k  ...  bnmum,k

 x1,k 1   a11
x
 
 2,k 1    a21

 

 
 xn ,k 1   an1
a12
a22
an 2
xk 1  Axk  Buk
yk  Cxk  Duk
a1n   x1,k   b11 b12
 
a2 n   x2,k  b21 b22


   
   
ann   xn ,k  bn1 bn 2
b1m   u1,k 


b2 m   u2,k 


 

 
bnm  um,k 
xk 1  f  xk ; uk ; k 
yk  f  xk ; uk ; k 
35
x  Vetor de estados
y  Vetor de saída
u  Vetor de entrada
A  Matriz de estados
B  Matriz de entrada
C  Matriz de saída
D  Matriz de transmissão direta
36
Filtro de Kalman
Filtro de Kalman - Histórico
• 1960: Rudolf Emil Kalman
• Solução recursiva para problemas de filtragem
linear de dados discretos
• Engenharia Elétrica: Controle de sistemas
38
Filtro de Kalman
• Definição:
– Ferramenta que permite estimar variáveis em vários
processos
– Eficiente processo recursivo de estimação, por meio
de um conjunto de equações matemáticas
39
Filtro de Kalman
• Características:
– Minimiza a variância da estimação do erro
– Estima os parâmetros desconhecidos
– Baseado na distribuição normal do ruído de média
nula e variância constante
– O sistema deve ser linear, ou linearizável, em torno
de um ponto
– Os ruídos do sistema e das medições não são
correlacionados
40
Filtro de Kalman
• Áreas de Aplicação:
–
–
–
–
–
–
–
–
Navegação
Economia
Processamento de sinais e de imagem
Computação gráfica
Comunicação
Radar
Sismologia
Engenharia biomédica
41
Filtro de Kalman
• Baseado no Modelo de Espaço de Estados (MEE)
• Modelo:
42
Filtro de Kalman
• Dois tipos de equações:
– Atualização do tempo  Previsão
Retroalimentação
– Atualização da medição  Correção
43
Filtro de Kalman
• Modelo Espaço de Estados:
– Variáveis observáveis: yk
– Variáveis de estado: xk
44
Filtro de Kalman
• Modelo dinâmico
xk  Axk 1  k
(Modelo Dinâmico)
1 k  T
nk ~ N (0, Qk )
A : Relaciona o estado atual do processo com o estado anterior
45
Filtro de Kalman
• Modelo de medição
uk  Hxk   k (Modelo de Medição)
1 k  T
 k ~ N (0, Rk )
H :Matriz de Correlação
46
Filtro de Kalman
• Fase de atualização
1
Kk  Pk H T  HPk H T  Rk  (Ganho de Kalman)
xˆk  xˆk  Kk uk  Hxˆk  (Atualização de Estado)
Pk   I  Kk H  Pk (Atualização de covariância)
47
Filtro de Kalman
• Fase de previsão
xˆk  Axˆk1 (Previsão de Estado)
Pk  APk1 AT  Qk (Previsão de Covariância)
48
Filtro de Kalman
• Modelo dinâmico:
– Estima o estado atual xk
• Modelo de medição:
– Associa o estado de entrada à saída do sistema
49
Filtro de Kalman
• Definições:

– xˆk  Estado anterior no instante k
–
–
–
–
–
xˆk  Estado posterior no instante k
ek  xk  xˆk  Erro relativo anterior
ek  xk  xˆk  Erro relativo posterior
Pk  E ek  ekT 
 Estimativa do erro anterior
Pk  E ek  ek T   Estimativa do erro posterior
50
Filtro de Kalman
• Teorema: Estimador médio condicional
– “Se os processos estocásticos xk  e  y  são
gaussianos, então o estado estimado ótimo que
minimiza o erro médio quadrático J k é o estimador
médio condicional xˆk  E  xk  y1 , y2 ,..., yk  “
k
51
Filtro de Kalman
• Teorema: Princípio da ortogonalidade
– “Sejam os processos estocásticos xk  e  yk 
média nula, isto é: Exk   Eyk   0, k . Então:
» Os processos estocásticos xk  e  yk 
de
são
gaussianos;
» Se o estado estimado ótimo xˆk é uma função
linear de variáveis observáveis y1 , y2 ,..., yk e a
função custo é o erro médio quadrático, então
o estado estimado ótimo é a projeção
ortogonal de xk no espaço dessas variáveis
observáveis”
52
Filtro de Kalman
Atualização do
Tempo

k
P  APk 1 A  Qk
T
Avançar a
covariância
no tempo
Avançar o
estado no
tempo

k
xˆ  Axˆk 1
Estimativas
iniciais
Atualização das
Medições
xˆk 1
e
Calcular o
ganho de
Kalman
K k  Pk H T  HPk H T  Rk 
Atualizar a
variável de
estado
xˆk  xˆk  K k uk  Hxˆk 
Atualizar a
matriz de
covariância
Pk   I  K k H  Pk
1
Pk 1
53
Aplicação
Estimação de Trajetórias
Aplicação
• Equações do movimento:
1
2
– x  x0  v0t  at 2
– v  v0  at
1 2 
 x  1 t   x0 
t
 v   0 1   v   a   2 
 t 
  
  0


55
Aplicação
• Equação do movimento com ruídos:
1 2
– x  x0  v0t  at  x0~
2
– v  v0  at  v0~
1 2 
 x  1 t   x0 
 2 t   w~



a

0
 v  0 1  v 


  
  0
 t 
56
Aplicação
• Diagrama de blocos:
57
Aplicação
• Equação de estado:
xk 1  Axk  Buk  wk
58
Aplicação
• Equação de saída:
yk  Cxk  zk
59
Aplicação
• Estimação do estado posterior:
xˆk 1  Axˆk  Buk  Kk  yk 1  Cxˆk 
60
Aplicação
• Posição:
61
Aplicação
• Erro da posição:
62
Aplicação
• Erro relativo da posição:
63
Aplicação
• Velocidade:
64
Aplicação
• Erro da velocidade:
65
• Considere o modelo do processo:
xk  f  xk 1 , uk 1   wk
em torno de xˆk 1 , usando a expansão de em série de
Taylor tem-se:
f  xˆk 1 , uk 1 
f  xk 1 , uk 1   f  xˆk 1 , uk 1  
 xk 1  xˆk 1 
xˆk 1
Assim o modelo pode ser reescrito na forma:
f  xˆk 1 , uk 1 
xk  f  xˆk 1 , uk 1  
 xk 1  xˆk 1   wk
xˆk 1


f  xˆk 1 , uk 1 
f  xˆk 1 , uk 1 
ˆ
ˆ

xk 1   f  xk 1 , uk 1  
xk 1   wk
xˆk 1
xˆk 1


67
xk  Ak 1 xk 1  u 'k 1  wk
• Sendo que:
f  xˆk 1 , uk 1 
Ak 1 
xˆk 1
u 'k 1  f  xk 1 , uk 1   Ak  xˆk 1
• A linearização deve ocorrer em relação ao modelo de medição:
yk  h  xk   vk
que em torno das predição de
h  xk   h  xˆk|k 1  
xˆk |k 1 :
h  xˆk|k 1 
xˆk|k 1
x
k
 xˆk|k 1 
68
• Portanto, tem-se:
yk  h  xˆk |k 1  
yk  h  xˆk |k 1  
h  xˆk |k 1 
xˆk |k 1
h  xˆk |k 1 
xˆk |k 1
x
k
 xˆk |k 1   vk
xˆk |k 1 
h  xˆk |k 1 
xˆk |k 1
xk  vk
y 'k  Ck xk  vk
sendo:
Ck 
h  xˆk |k 1 
xˆk |k 1
y 'k  yk  h  xˆk |k 1   Ck xˆk |k 1
69
• Deste modo, temos o sistema linearizado:
xk  Ak 1 xk 1  u 'k 1  wk
y 'k  Ck xk  vk
• Portanto, agora se pode aplicar as Equações de Kalman.
70
• Fase de Predição (entre tk-1 e tk):
xˆk |k 1  E  f  xk 1 , uk 1   wk | y1 ,..., yk 1
 f  xˆk 1 , uk 1 
T
P

A
P
A
com k |k 1
k 1 k 1 k 1  Qk
f  xˆk 1 , uk 1 
Ak 1 
xˆk 1
71
• Fase de Correção (no instante tk):
xˆk  xˆk |k 1  Gk  y 'k  Ck xˆk |k 1 

G y
 xˆk |k 1  Gk yk  h  xˆk |k 1   Ck xˆk |k 1  Ck xˆk |k 1
 xˆk |k 1
k
k
 h  xˆk |k 1 

Pk   I  Gk Ck  Pk |k 1
  I  Gk Ck  Pk |k 1  I  Gk Ck   Gk Rk GkT
T
Gk  Pk |k 1C
T
k
C P
k
C  Rk 
k |k 1
T
k
1
72

Aplicação
Motor bifásico de imã permanente síncrono
Aplicação
• Equações que definem o motor:
dI a  R
ua  ua


Ia 
sin  
dt
L
L
L
dI b  R
ub  ub


Ib 
cos  
dt
L
L
L
d  3
3
B

I a sin  
I b cos  
dt
2J
2J
J
d

dt
•
Raresistência do rotor
•
L indutância da
armadura
•
 constante do motor
• J Momento de inércia
• B Coeficiente de atrito
viscoso
74
Aplicação
• Entrada do sistema:
ua  t   sin 2 t
ub  t   cos 2 t
• O sistema de equações é:
Ia 
I 
x   b
 
 
 
75
Aplicação
• Estado Espaço para o sistema:
xk 1  f  xk , uk   wk


 Rxk 1 / L  xk  3  sin xk  4  / L  ua / L



Rx
2
/
L

x
3

cos
x
4
/
L

u
/
L
k  
k  
k  
b



 3 xk 1 sin xk  4  / 2 J  3 xk  2  cos xk  4  / 2 J  Bxk  3  / J 


x
3
k  


 uak / L 
 u / L 
t   ak  t
  


0


76
Aplicação
• Equação de Medição:
yk  h  xk   vk
 xk 1  vak 

 
 xk  2    vbk 
77
Aplicação
• Após a linearização:
Ak  f '  xˆk , uk 

R / L

0

 3 sin xˆk  4  / 2 J

0

0
R / L
3 cos xˆk  4  / 2 J
0
 sin xˆk  4  / L
 cos xˆk  4  / L
B / J
1
xˆk  3  cos xˆk  4  / L
xˆk  3  sin xˆk  4  / L



3  xˆk 1 cos xˆk  4   xˆk  2  sin xˆk  4   / 2 J 

0

Ck  h '  xˆk 
1 0 0 0 


0 1 0 0 
78
Aplicação
• Suposições
– Va e Vb com média zero e desvio padrão de 0.1A;
– Entrada de controle com média zero e desvio
padrão de 0.001A;
– Ruído devido ao torque da carga com desvio
padrão de 0.05rad/s2.
79
Aplicação
• Dados:
Ra  2;
L  0.003H ;
  0.1;
J  0.002;
B  0.001
80
Aplicação
• Conclusões:
– Dispensa o uso de transdutores;
– Para um tempo maior que 2ms, há uma grande
discrepância nos resultados;
81
Motivação
• Filtro de Kalman:
– Aplicado apenas para sistemas lineares;
• Filtro de Kalman Estendido:
– Sistemas não-lineares;
– Propagação da média e da covariância nos estágios;
– Desvantagem:
» Esforço computacional;
» Estimativa grotesca se o sistema se o ponto é distante
do ponto de equilíbio.
83
• Dado a Equação de Estado:
xk 1  fk  xk , wk 
• Equação de Medição:
yk   hk , vk 
84
• Calcula recursivamente p  xk | Yk  ;
• Essencialmente consiste de duas fases:
– Fase de predição:
p  xk 1 | Yk 1   p  xk | Yk 
– Fase de Atualização:
p  xk | Yk 1   p  xk | Yk 
85
• Etapa de Predição:
p  xk | Yk 1    p  xk , xk 1 | Yk 1  dxk 1
86
  p  xk , xk 1 | Yk 1  p  xk 1 | Yk 1  dxk 1
– Fatorando: p  a, b | c   p  a | b, c  . p  b | c 
87
  p  xk , xk 1 | Yk 1  p  xk 1 | Yk 1  dxk 1
  p  xk | xk 1  p  xk 1 | Yk 1  dxk 1
88
• Equação de Atualização:
p  yk | xk   p  xk | Yk 1 
p  xk | Yk  
p  yk | Yk 1 
probabilidade  anterior
posterior 
evidente
p  yk | Yk 1    p  yk | xk   p  xk | Yk 1  dxk
89
• Inviabilidade na resolução de integrais exigidas pelo
filtro recursivo analiticamente.
• Representa-se a probabilidade posterior por um
conjunto de pesos amostrais escolhidas
aleatoriamente.
90
Filtro de Partículas - Algoritmo
• As equações do Sistema e de Medição são dadas
por:
xk 1  f  xk , wk 
yk  h  xk , vk 
em que wk e vk são ruídos brancos independentes;
• Dado p(x0) conhecido,
gerar

aleatoriamente x0,i  i  1,..., N .
N
partículas
• Para k=1,2,..., fazer o seguinte:
91


x

f
x
 k 1,i , wk 1,i 
– k ,i
– Determina a probabilidade relativa por:
qi  p  yk | xk,i 
– Normalizar os pesos:
qi 
qi
N
q
i 1
i
92

x
– Reamostragem: gerar um conjunto de k ,i com base
de qi tal que a função distribuição de probabilidade
de xk ,i tende para p  xk | yk  .
– Determinar a estatística
desejada usando o conjunto

p
x
|
y

x
k
k .
k
,
i
de partículas
que possuem distribuição
93
• Problema da Degeneração:
– Esforço computacional;
– Determinada pelo tamanho amostral efetivo:
1
N ef  N
2
  wk  i  
i 1
– Na aplicação, a reamostragem será feita quando:
2
N ef  N
3
94
• Reamostragem:
95
Aplicação
Sistema Não-linear
Sistema não-linear
• Dada a equação diferencial não-linear:
25 xk 1
1
xk  xk 1 
 8cos 1.2  k  1   wk
2
2
1  xk 1
1 2
yk 
xk  vk  h  xk   vk
20
wk  0,1 ; vk  0,1
• Número de partículas: 100
97
• ALBUQUERQUE, José Paulo de Almeida; FORTES, Mauro Pedro;
FINAMORE, Weiler Alves.
Modelos probabilísticos em
engenharia elétrica. Rio de Janeiro, 2003.
• ANTENEODO, Celia. Processos estocásticos. Rio de Janeiro:
2004.
• ARULAMPALAM, M. Sanjeev; MASKELL, Simon; GORDON, Neil;
CLAPP, Tim. A tutorial on particle filters for online
nonlinear/non-Gaussian bayesian tracking. 2002.
• BITENCOURT JUNIOR, Hudson; TÔRRES, Leonardo A. B.;
AGUIRE, Luís Antônio. O filtro de Kalman para sistemas nãolineares. Belo Horizonte.
• CAMPOS, Victor A. F.; SANTANA, Douglas, D. S.; FURUKAWA,
Celso M.; MARUYAMA, Newton. Filtros de partículas aplicados à
estimação de trajetórias. São Paulo.
• CHAUDHARI, Sachin. The particle filter.
• CORREIA, Miguel Velhote. Filtro de Kalman. 2005.
98
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DORF, Richard C. Sistemas de Controle Moderno. LTC: Rio de Janeiro,
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HAYKIN, Simon. Kalman filtering and neural networks. Nova Iorque:
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JULIER, Simon J.; UHLMANN, Jeffrey K.A new extension of the Kalman
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MARQUES, Paulo Alexandre C. Introdução à filtragem adaptativa.
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OGATA, Katsuhiko. Discrete-time control systems. Prentice Hall: 1995.
SANTANA, Douglas D. S.; CAMPOS, Victor A.; FURUKAWA, Celso M.;
MARUYAMA, Newton. Estimação de trajetórias utilizando sistema de
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WELCH, Greg; BISHOP, Gary. An introduction to the Kalman filter.
ACM: 2001.
99
Agradecimentos

Processos Estocásticos - PET Engenharia Elétrica

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