Super Polícia Federal 2013 Raciocínio Lógico Apostila Pedro Evaristo

Transcrição

Super Polícia Federal 2013
Raciocínio Lógico
Apostila
Pedro Evaristo
2013 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
Raciocínio Lógico
CAPÍTULO 1
ESTRUTURA LÓGICA: INVESTIGAÇÃO
“Somos o que fazemos, mas somos principalmente, o que fazemos para
mudar o que somos”
EDUARDO GALEANO
INVESTIGANDO
As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão
presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve
esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões
tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas,
lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de
relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a
estrutura daquelas relações.
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem
como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar
algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de pesquisa, pode
ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca
de um conhecimento.
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer.
No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a
resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor. O
primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou
seja, se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas
as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses, mas
quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para
chegarmos as conclusões.
HIPÓTESE
Uma hipótese é uma teoria provável, mas não demonstrada, uma suposição
admissível. Na matemática, é o conjunto de condições para poder iniciar uma
demonstração. Surge no pensamento científico após a coleta de dados
observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos
associados a esses dados.
É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação
(aceitação) ou refutação (rejeição) da hipótese. Assim que comprovada, a
hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.
Podemos então dizer que é uma afirmação sujeita a comprovação.
Prof. Pedro Evaristo
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Raciocínio Lógico
IDENTIFICANDO CADA CASO
Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles
procuram deduzir novas informações, com base nas informações fornecidas no
enunciado.
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o
caso (ordenação, associação ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares
a cada um deles.
· 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO.
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos
permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores,
figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser
seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada
permitirá identificar o item correto a ser marcado.
EXEMPLO:
Aline é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta
não é a mais velha de todas. Sejam A, B e C as respectivas idades de
Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.
CONCLUSÕES:
Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, então
A > B (Aline é mais velha que Bruna) e C > B (Bruna é mais nova
que Carol)
Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das
meninas da seguinte forma:
A>C>B
· 2º CASO - Somente Verdades: ASSOCIAÇÃO.
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será
importante é saber organizar as informações em uma tabela para
cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de
uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas
pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as
informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações
diretas e posteriormente deduzindo as outras.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a
mesma idade, pois nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é
Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna
é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.
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Raciocínio Lógico
CONCLUSÕES:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
A
B
C
Profissão
Idade
Como “Bruna é a mais nova e têm 25 anos”, e que “a mais nova é
Terapeuta”, deduzimos que Bruna é Terapeuta. Logo podemos
preencher os seguintes dados na tabela.
A
B
C
Profissão
Idade
T
25
Como “Carol é a mais velha e não é Psicóloga”, deduzimos que Carol
é Fonoaudióloga e têm 27 anos, já que “as três nasceram em anos
consecutivos” e “a mais nova tem 25 anos”. Logo podemos
acrescentar as seguintes informações na tabela.
A
B
C
Profissão
Idade
T
F
25
27
Por exclusão, deduz-se que Aline tem 26 anos e é Psicóloga. Assim,
temos a tabela totalmente preenchida.
A
B
C
Profissão P
Idade 26
T
F
25
27
· 3º CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIÇÃO.
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e
mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses
chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado
procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele
lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o
culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim
de confirmar ou rejeitar a hipótese.
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Raciocínio Lógico
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo
da vovó. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte:
– ALINE: “Foi a Bruna que comeu”
– BRUNA: “Aline está mentindo”
– CAROL: “Não fui eu”
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que
apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.
CONCLUSÕES:
1º PASSO:
(identificar que existem verdades e mentiras)
No enunciado, foi dito que “apenas uma delas está dizendo a
verdade”, portanto duas delas mentem e outra fala a verdade,
tratando-se de uma questão do 3º caso, ou seja, teremos que fazer
suposições.
2º PASSO:
(construir a tabela e lançar as hipóteses)
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES
A
B
C
HIPÓTESES
Se A foi quem comeu
Se B foi quem comeu
Se C foi quem comeu
3º PASSO:
(julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma
das hipóteses)
Como Aline disse que “Foi a Bruna que comeu”, ela só estará dizendo
a verdade caso (na hipótese de) Bruna realmente tenha comido o
bolo, caso contrário estará mentindo, logo temos:
A
A comeu
B comeu
C comeu
B
C
F
V
F
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Raciocínio Lógico
Como Bruna disse que “Aline está mentindo”, temos que Bruna só
mente no caso (na hipótese de) de Aline falar a verdade, caso Aline
realmente esteja mentindo então Bruna estará falando a verdade, ou
seja, as colunas A e B terão valores lógicos contrários, logo temos:
A
B
C
A comeu
B comeu
C comeu
F
V
F
V
F
V
Finalmente, como Carol disse “não fui eu”, ela só estará mentindo
caso (na hipótese de) ela tenha comido o bolo, caso contrário estará
falando a verdade, logo analisando essa afirmação, temos:
A
B
C
A comeu
B comeu
C comeu
F
V
F
V
F
V
V
V
F
4º PASSO:
(aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no
enunciado)
Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade,
então com base nisso devemos identificar a única linha que tem
apenas uma afirmação verdadeira. Observe que apenas na terceira
linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos
duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto,
podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram
rejeitadas.
Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo.
EXEMPLO DO 1º CASO - VERDADES: ORDENAÇÕES
01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um
andar diferente. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de
Todos, Giles mora mediatamente abaixo de Fred e este acima de Heitor,
Determine quem mora no 2º andar.
a) Heitor
a) Erick
d) Fred
e) Giles
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Raciocínio Lógico
SOLUÇÃO:
Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os
moradores.
Inicialmente como “Erick mora acima de todos”, então ele mora no 4º andar.
Como “Fred mora acima de Heitor” e “Heitor não mora no 1º andar”, então Heitor
tem que morar no 2º andar e Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. Por
exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de “morar
mediatamente abaixo de Fred”, ou seja, existe exatamente uma pessoa entre ele
Fred.
LINK:
É importante diferenciar “em cima”, “acima”, “em baixo” e “abaixo”.
Por exemplo, se Pedro mora no 8º andar de um prédio e Milena mora:
· ACIMA, então Milena mora em um andar superior ao dele, não
necessariamente em cima.
· EM CIMA, então Milena mora no andar IMEDIATAMENTE acima,
ou seja, no 9º andar.
· MEDIATAMENTE ACIMA, então Milena mora duas posições acima,
com exatamente um andar entre eles, ou seja, no 10º andar.
· ABAIXO, então Milena mora em um andar inferior ao dele, não
necessariamente em baixo.
· EM BAIXO, então Milena mora no andar IMEDIATAMENTE abaixo,
ou seja, no 7º andar.
· MEDIATAMENTE ABAIXO, então Milena mora duas posições
abaixo, com exatamente um andar entre eles, ou seja, no 6º andar.
EXEMPLOS DO 2º CASO - VERDADES: ASSOCIAÇÃO
02. (IPAD) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se
que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda
que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2) Luciano ou
Fernanda estuda Kant, mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio
estuda Wittgenstein, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4)
Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. Luciano, Cláudio e
Fernanda estudam respectivamente:
a) Kant, Wittgenstein e Frege.
b) Kant, Frege e Wittgenstein.
c) Wittgenstein, Kant e Frege.
d) Frege, Kant e Wittgenstein.
e) Frege, Wittgenstein e Kant.
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Raciocínio Lógico
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar as informações na tabela a seguir:
Luciano
Cláudio
Fernanda
Frege
Kant
Wittgenstein
De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos:
1) Se “Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos”, então “Luciano não
estuda Frege”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
Cláudio
Fernanda
2) Se “Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos”, então “Cláudio não
estuda Kant”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
Cláudio
Fernanda
F
3) Se “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos”,
então “Cláudio estuda Wittgenstein” pois já tínhamos concluído que “Luciano não
estuda Frege”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
F
Cláudio
Fernanda
F
VERDADE
F
Como “Luciano não estuda nem Frege, nem Wittgenstein” então por exclusão “ele
estuda Kant”. Nesse caso resta apenas que “Fernanda estuda Frege”
Luciano
Frege
F
Kant
VERDADE
Wittgenstein
F
Cláudio
F
VERDADE
Fernanda
VERDADE
F
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Raciocínio Lógico
03. Três crianças – Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo – brincavam, cada qual, com
um único tipo de brinquedo. Considere as seguintes informações:
· Os brinquedos são: Falcon, Playmobil e Atari;
· As idades dos três são: 11, 8 e 6;
· Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari;
· A criança que tem 11 anos, brincava de Atari;
· Cleosvaldo tem menos de 8 anos.
Com base na informações dadas, é correto afirmar que
a) Belarmino tem 11 anos.
b) Astolfo tem 11 anos.
c) Belarmino brincava com um Falcon.
d) Cleosvaldo brincava com um Atari.
e) Astolfo não tem 8 anos.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ASTOLFO
BELARMIN
O
CLEOSVALD
O
IDADE
BRINQUEDO
Sabendo que “Astolfo brincava com um Playmobil” e que “Cleosvaldo tem 6
anos”, temos:
ASTOLFO
IDADE
BRINQUEDO
BELARMIN
O
CLEOSVALD
O
6
Play
Como “A criança que tem 11 anos, brincava de Atari”, apenas Belarmino se
encaixa, logo
ASTOLFO
IDADE
BRINQUEDO
Play
BELARMIN
O
11
Atari
CLEOSVALD
O
6
BELARMIN
O
11
Atari
CLEOSVALD
O
6
Falcon
Por exclusão, temos
ASTOLFO
IDADE
BRINQUEDO
8
Play
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Raciocínio Lógico
04. Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de
uma delas é azul, o de outra é preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de
sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está com vestido e sapatos
de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está
com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto.
b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos.
d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco.
e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ANNA
BRUNA
CAMILA
VESTIDO
SAPATOS
Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”, temos:
ANNA
BRUNA
VESTIDO
SAPATOS
CAMILA
Az
Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”, então Anna
tem que ter sapatos brancos
ANNA
VESTIDO
SAPATOS
BRUNA
Br
CAMILA
Az
Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
VESTIDO
SAPATOS
ANNA
Br
Br
BRUNA
CAMILA
Az
Por exclusão, deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que
“somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
VESTIDO
SAPATOS
ANNA
Br
Br
BRUNA
Az
Pr
CAMILA
Pr
Az
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Raciocínio Lógico
EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: SUPOSIÇÃO
05. Quando a mãe de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica
que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as
seguintes declarações:
· "Mãe, o Bosco foi quem quebrou" – disse Alysson
· "Como sempre, o Daniel foi culpado" – disse Bosco
· "Mãe, sou inocente" – disse Cleber
· “Claro que o Bosco está mentindo" – disse Daniel
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso.
a) Alysson
b) Bosco
c) Cleber
d) Daniel
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde serão analisadas as
declarações mediante as hipóteses:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES
ALYSSON BOSCO
CLEBER
DANIEL
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
Analisaremos as declarações de cada criança, de acordo com as hipóteses dos
culpados. Por exemplo, Alysson declara que “Bosco foi quem quebrou”, então ele
estará falando a verdade somente no caso de Bosco realmente ser o culpado, ou
seja, ele mente (F) na hipótese de outra pessoa ser o culpado, logo:
HIPÓTESES
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
ALYSSON BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
V
F
F
Como Bosco disse que “Daniel foi o culpado”, nota-se que apenas no caso de
Daniel ser o culpado ele estará dizendo a verdade, então para qualquer outra
hipótese de culpado ele mente (F), logo temos:
HIPÓTESES
ALYSSON
BOSCO
ALYSSON BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
F
V
F
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Raciocínio Lógico
CLEBER
DANIEL
F
F
F
V
Como Cleber se declara inocente, apenas na hipótese dele ser o culpado, sua
declaração é dita como falsa (F), em todas as demais hipóteses ele realmente
será considerado inocente, logo:
HIPÓTESES
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
ALYSSON BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
Como Daniel disse que “Bosco está mentindo", então nesse caso, sempre a
declaração de Daniel terá valor lógico contrário ao de Bel, pois eles se
contradizem, então Daniel só irá mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:
HIPÓTESES
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
ALYSSON BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
Análise das hipóteses:
· 1ª Hipótese: Alysson culpado (REJEITADA)
®
Dois mentiram (F) e
dois falaram a verdade (V)
· 2ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA)
®
Somente um mentiu
(F)
· 3ª Hipótese: Cleber culpado (ACEITA) ®
Somente
um
falou
a
verdade (V)
· 4ª Hipótese: Daniel culpado (REJEITADA)
®
Dois mentiram (F) e
dois falaram a verdade (V)
Observe que somente na hipótese de Cleber ser o culpado é que apenas uma
das declarações se torna verdadeira (V), sendo então três falsas (F). Como
somente Daniel diz a verdade, a terceira hipótese é a única aceita, logo Cleber é
declarado culpado.
06. Cinco jovens encontram-se diante de três portas na “Caverna do Dragão”,
buscando um caminho para voltar para casa. Diante das portas estão três
guardiões. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um labirinto e finalmente
uma passagem para seu mundo, mas não nessa ordem. Cada um dos guardiões
declara:
· 1º Guardião: “O castelo do seu inimigo não está na porta da direita”
· 2º Guardião: “A porta do meio é a passagem para seu mundo”
12
Raciocínio Lógico
· 3º Guardião: “A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo
do Vingador”
Quando o “Mestre dos Magos” aparece, avisa aos garotos de que apenas dois
dos guardiões estava falando a verdade. Logo, eles concluíram que:
a) o labirinto está na porta da esquerda
b) a passagem está na porta da esquerda
c) a passagem está na porta do centro
d) o castelo do Vingador está na porta do centro
e) o castelo do Vingador está na porta da direita
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades
para cada porta:
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
1º
2º
3º
GUARDIÃO
GUARDIÃO
GUARDIÃO
P
L
L
C
C
P
O 1º guardião declarou que “O castelo não está na porta da direita”, então ele só
estará mentindo (F) no caso do castelo está na porta da direita, ou seja, o que
ocorre na 4ª e na 5ª hipótese, logo temos:
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
P
L
L
C
C
P
1º
2º
3º
GUARDIÃO
GUARDIÃO
GUARDIÃO
V
V
V
F
F
V
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Raciocínio Lógico
Já o 2º guardião declarou que “A porta do meio é a passagem para seu mundo”,
então na 2ª e na 5ª hipótese ele só estará mentindo (F), pois nestas hipóteses
supõe-se que a passagem (P) está no meio, logo:
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
P
L
L
C
C
P
1º
2º
3º
GUARDIÃO
GUARDIÃO
GUARDIÃO
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
O 3º guardião fez duas declarações, que “a porta do centro leva a um labirinto” e
que “a porta da direita leva ao Castelo do Vingador”, então ele só estará falando
a verdade (V) no caso das duas afirmações ocorrerem, ou seja, apenas na 4ª
hipótese, logo temos:
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
P
L
L
C
C
P
1º
2º
3º
GUARDIÃO
GUARDIÃO
GUARDIÃO
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
Observe que apenas na 2ª hipótese, dois dos guardiões falam a verdade e um
mente, o que satisfaz a condição imposta no enunciado da questão, então a
ordem será:
Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L)
Portanto, a passagem está na porta do centro.
14
Raciocínio Lógico
“A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem
para a descoberta da verdade”
EXERCÍCIOS
Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e
cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem
para casa, cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que
havia estado. Sabe-se que:
· Um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria;
· André esqueceu um objeto na casa da namorada;
· Bruno não esqueceu a agenda e nem a chave de casa.
Com base nessas informações, julgue os itens.
01. Carlos foi quem esqueceu a agenda na pizzaria.
02. André não foi quem esqueceu guarda-chuva.
Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma
concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou
um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os prazos de
entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:
· Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior.
· O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2
dias a menos do que a Mactex.
· O modelo Hércules seria entregue em 10 dias.
· Macval não apresentou o modelo Netuno.
Nessas condições, julgue os itens a seguir.
03. Macval entregará em 8 dias o modelo Thor.
04. Mactex entregará em 14 dias o modelo Netuno.
(CESPE) Na última corrida do campeonato anual de motocicleta, participaram 8
pilotos, numerados de 1 a 8. As cores dos capacetes dos pilotos são todas
diferentes. De acordo com a acumulação de pontos nas corridas anteriores, se o
piloto 8 terminasse essa corrida em pelo menos duas posições à frente do piloto 3,
o piloto 8 seria o campeão do ano. Encerrada a corrida, observou-se que
I. o piloto 1 chegou imediatamente depois do piloto de capacete prata e a
seguir chegou o de capacete vermelho;
II. o piloto 4 venceu a corrida;
III. o piloto 3 terminou a corrida duas posições atrás do piloto 1 e uma posição
à frente do piloto de capacete azul;
15
Raciocínio Lógico
IV. o piloto de capacete prata cruzou a linha de chegada imediatamente após
o piloto 2;
V. o piloto de capacete preto terminou a corrida em segundo lugar;
VI. o piloto de capacete verde, penúltimo colocado na corrida, chegou
imediatamente após o piloto 6;
VII. o piloto de capacete amarelo chegou imediatamente depois do piloto de
capacete preto;
VIII. o último piloto a terminar a corrida foi o de número 5;
IX. o piloto 2 terminou a corrida duas posições à frente do piloto de capacete
branco e duas depois do piloto de capacete laranja;
X. o piloto 7 terminou a corrida duas posições atrás do piloto 8.
Com base nessas informações é correto afirmar que
05. o piloto 1 ficou em sétimo lugar nessa corrida.
06. o piloto de capacete laranja venceu a corrida.
07. o último colocado nessa corrida foi o piloto de capacete azul.
08. o piloto 7 é o de capacete preto.
09. o piloto 8 venceu o campeonato.
Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de preto e uma de azul,
não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações abaixo:
· A é azul
· B não é azul
· C não é preta
Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, julgue os itens.
10. A bola A é preta e a bola B é azul.
11. A bola A não é azul e a bola C não é preta.
(CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando
Marcos carrega a ficha branca, ele fala somente a verdade, mas, quando
carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado, quando Newton
carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha
preta, fala somente verdades. Cada um deles deu a seguinte declaração:
· MARCOS: "Nossas fichas são iguais"
· NEWTON: “Nossas fichas são diferentes"
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
16
Raciocínio Lógico
12. Marcos e Newton carregam fichas brancas.
13. Marcos e Newton mentem.
(CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D.
Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.
· A afirmou que C matou o líder.
· B afirmou que D não matou o líder.
· C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por
isso, não tiveram participação no crime.
· D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos
comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade,
julgue os itens seguintes.
14. A declaração de C não pode ser verdadeira.
15. D matou o líder.
(CESPE) Durante blitz de rotina, um agente de trânsito notou um veículo que havia
parado a distância, no qual o condutor trocou de lugar com um dos passageiros.
Diante dessa situação, o agente resolveu parar o veículo para inspeção. Ao
observar o interior do veículo e constatar que havia uma garrafa de bebida no
console, indagou aos quatro ocupantes sobre quem teria bebido a cachaça e
obteve as seguintes respostas:
· Não fui eu, disse André, o motorista.
· Foi o Carlos, disse Bruno.
· Foi o Daniel, disse Carlos.
· Bruno está mentindo, disse Daniel.
Considerando a situação hipotética acima, bem como o fato de que apenas um
dos ocupantes do veículo ingeriu bebida alcoólica e que apenas um dos
ocupantes do carro estivesse mentindo, julgue o item subsequente.
16. É correto afirmar que Daniel foi quem estava alcoolizado.
17. O único mentiroso é Bruno.
(CESPE) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em
um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a
verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o
indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos,
então, julgue os itens a seguir.
18. Nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.
19. P e Q são indivíduos do mesmo tipo.
17
Raciocínio Lógico
(CESPE) Sobre uma mesa tem-se três caixas, uma redonda, uma quadrada e uma
triangular. Apenas uma das caixas contém um diamante. As outras duas contêm
apenas algodão. Em cada caixa há uma inscrição. Na caixa redonda está escrito:
“esta caixa contém um diamante”. Na caixa quadrada está escrito: “nesta caixa
não há um diamante”. Por fim, na caixa triangular está escrito: “a caixa redonda
contém um diamante”. Sabendo-se que pelo menos uma das inscrições é
verdadeira e que, pelo menos, uma das inscrições é falsa.
Com base no texto, julgue os itens a seguir.
20. A inscrição da caixa redonda é falsa.
21. O diamante está na caixa triangular.
22. A caixa triangular contém um algodão.
ILUSÃO DE ÓTICA
RESPOSTA
O filho do casal é um bebê em posição fetal que pode ser visto
nas linhas delimitadas pelos galhos da árvore, rochas e chão
onde eles estão.
Na figura a seguir, procure onde está a imagem do filho do casal.
18
Raciocínio Lógico
CAPÍTULO 2
DIAGRAMAS LÓGICOS
TEORIA DOS CONJUNTOS
Podemos dizer que um conjunto é sem dúvida um dos conceitos mais
básicos da matemática, sendo dessa forma o elemento principal da teoria dos
conjuntos.
Basicamente, um conjunto é uma coleção de elementos, ou seja, dados
agrupados que não levam em conspiração a ordem. A relação básica entre um
objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos
elementos de um conjunto A, podemos dizer que x pertence ao conjunto A.
Como veremos a segui, além de relacionarmos elemento e conjunto,
também é fundamental relacionar conjuntos entre si.
NOMENCLATURA BÁSICA
Æ - conjunto vazio;
È - símbolo de união entre dois conjuntos;
Ç - símbolo de intersecção entre dois conjuntos;
Î - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto
Ì - símbolo de inclusão entre dois conjuntos;
" - para todo ou qualquer que seja;
$ - existe pelo menos um.
R - conjunto dos números reais;
Q - conjunto dos números racionais;
Z - conjunto dos números inteiros;
N - conjunto dos números naturais;
QUANTIFICADORES
São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições.
Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de
uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou
falsa e assim gere uma proposição.
TIPOS DE QUANTIFICADORES
a) Quantificador existencial:
19
Raciocínio Lógico
É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um”
elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada
verdadeira.
É indicado pelo símbolo “$”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo
menos um”.
EXEMPLO:
(p) $xÎR / x ³ 3
(q) Existe dia em que não chove.
b) Quantificador universal:
É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos
satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “"”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”.
EXEMPLO:
(m) "xÎR | x ³ 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior
ou igual a 5”)
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá.
UNIÃO ( È )
União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que
pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos.
LINK:
A
B
EX.: “Pessoas que são atletas
1 o. A È B = B È A
(A) ou baianos (B)”
2o A È Æ = A
(o “ou” não é excludente,
3o A È A = A
portanto isso significa que o
4o (A È B) È C = A È (B È C)
conjunto união abrange os
5o n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)
AÈB
elementos que fazem parte de
pelo menos um dos conjuntos)
INTERSEÇÃO ( Ç )
Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que
pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.
A
B
AÇB
EX.: “Pessoas que
são atletas (A) e são
baianos (B)”
LINK:
1o A Ç B = B Ç A
2o A Ç Æ = Æ
3o A Ç A = A
4o (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
20
Raciocínio Lógico
DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR
Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A – B
também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B
completar o conjunto A.
A
B
EX.: “Pessoas que são
atletas (A), mas não são
baianos (B)”
A–B
COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO
O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto
universo que não pertencem ao conjunto A.
A
B
EX.: “Pessoas que não
são atletas (A)”
(Dentre todos os
envolvidos, podendo ser,
ou não, baianos)
CA = A
DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO
A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos
elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem
somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.
A
B
EX.: “Pessoas que ou são
atletas (A), ou são baianos
(B)”
(O “ou...ou” é excludente)
(AÈB) - (AÇB)
21
Raciocínio Lógico
LINK:
Observe como representar em três diagramas, alguns
termos muito usados em provas:
SENTENÇA
É uma frase declarativa (afirmativa ou negativa), podendo ser classificada
como sentença aberta ou sentença fechada. Quando a sentença for fechada,
ganhará o nome de proposição.
· SENTENÇA ABERTA: É aquela frase declarativa na qual não é possível atribuir
valor lógico (V ou F), por não termos informações suficientes para defini-la
como sendo verdadeira ou falsa.
EXEMPLO:
“X é um número par” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)
“O irmão do meu irmão é meu irmão” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)
· SENTENÇA FECHADA: É aquela frase declarativa que é possível atribuir a ela
um valor lógico (V ou F), pois temos informações suficientes para defini-la
como sendo verdadeira ou falsa.
22
Raciocínio Lógico
EXEMPLO:
“4 é um número par” (VERDADEIRO)
“Pelé jogou futebol no Flamengo” (FALSO)
LINK:
No Português existem vários tipos de frases cuja entoação é mais ou menos previsível, de acordo com o
sentido que transmitem. Embora só nos interessem para o raciocínio lógico apenas as frases declarativas,
vale a pena distingui-las.
DECLARATIVA
Esse tipo de frase informa ou declara alguma coisa,
podendo ser afirmativas ou negativas.
“Fortaleza é uma cidade grande.” (AFIRMATIVA)
“Salvador não é a capital do Brasil.” (NEGATIVA)
IMPERATIVA
Contém uma ordem, um conselho ou faz um pedido,
utilizando o verbo no modo imperativo.
“Vá estudar agora!” (ORDEM)
“Por favor, vá estudar.” (PEDIDO)
INTERROGATIVA
São aquelas que exprimem uma pergunta, podendo ser
divididas em direta ou indireta.
“Quantos anos você tem?” (DIRETA)
“Diga qual é a sua idade.” (INDIRETA)
OPTATIVA
Essa classificação menos conhecida, ocorre quando se
exprime um bom desejo.
“Vá com Deus!”
“Tenha um dia feliz.”
EXCLAMATIVA
São frases que exprimem uma emoção, apresentando
entoação ligeiramente prolongada.
“Que prova difícil!” (ADMIRAÇÃO)
“Você aqui na cidade?!” (SURPRESA)
IMPRECATIVA
Ainda menos conhecida que a optativa, esse tipo de
frase exprime um mau desejo.
“Vai te lascar!”
“Eu quero mais é que ela morra!”
23
Raciocínio Lógico
PROPOSIÇÃO SIMPLES
É uma sentença fechada, pois a ela pode ser atribuído um valor lógico:
verdadeiro (V) ou falso (F).
EXEMPLO:
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE)
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)
EQUIVALÊNCIA
Duas proposições são ditas equivalentes, quando possuem sempre o
mesmo valor lógico, ou seja, dizemos que A equivale a B, no caso de A ser
verdade, B também é verdade, assim como se A é falso, B também é falso. Além
disso, temos que A implica em B e que B implica em A ao mesmo tempo.
EXEMPLO:
A: “João é culpado”
B: “João não é inocente”
NEGAÇÃO
Uma proposição é a negação de outra, quando sempre possui valor lógico
contrário, ou seja, dizemos que A é negação de B, se A é verdade, então B é falso
e se A é falso, então B é verdade.
EXEMPLO:
AFIRMAÇÕES:
NEGAÇÕES:
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) ~A: “Fortaleza não é a capital do
Ceará” (FALSO)
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)
~B: “O Brasil não é um país da
Europa” (VERDADE)
TAUTOLOGIA
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando é
inevitavelmente verdadeira, ou seja, quando tem sempre o valor lógico
verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições simples
usadas na sua elaboração.
EXEMPLO:
“Ou Daniel é culpado, ou ele é inocente” (Obrigatoriamente VERDADEIRO)
CONTRADIÇÃO
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição quando é
inevitavelmente falsa, ou seja, quando tem sempre o valor lógico falso
independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas na sua
elaboração.
24
Raciocínio Lógico
EXEMPLO:
“Maria é culpada, mas é inocente” (Obrigatoriamente FALSO)
CONTINGÊNCIA
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando
depende do contingente de proposições simples para poder ser V ou F, ou seja, a
contingência pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso.
EXEMPLO:
“Renato nasceu em Fortaleza ou nasceu em Natal” (Pode ser VERDADEIRO ou
FALSO)
LINK:
CUIDADO!
Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem
todos”, por isso é bom prestar atenção.
ALGUM
Significa que pelo menos um, mas pode até ser que
todos.
NEM TODOS
Significa que pelo menos um, mas não todos.
DIAGRAMAS LÓGICOS
Devemos representar proposições simples através de diagramas, sobretudo
aquelas que apresentam pronomes indefinidos, tais como: “Nenhum”, “Algum” ou
“Todo”.
NENHUM (~$)
Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é
B”, garante-se que não existe um elemento de A que também esteja em B. Sendo
a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”.
25
Raciocínio Lógico
EX.:
EQUIVALÊNCIAS:
A: “Nenhum advogado é bancário” A: “Não existe advogado que seja bancário”
A: “Todo advogado não é bancário”
A: “Se ele é advogado, então não é bancário”
ADVOGADOS
BANCÁRIOS
NEGAÇÕES:
~A: “Não é verdade que nenhum advogado é bancário”
~A: “Existe pelo menos um advogado que é bancário”
~A: “Algum advogado é bancário”
ALGUM ($)
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não
necessariamente todos. Por exemplo, ao dizer que “algum A é B”, garante-se que
existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca
verdadeira, ou seja, “algum B é A”.
EX.:
B: “Algum advogado é bancário”
ADVOGADOS
BANCÁRIOS
EQUIVALÊNCIAS:
B: “Pelo menos um advogado é bancário”
B: “Existe advogado que é bancário”
B: “Há um advogado que seja bancário”
NEGAÇÕES:
~B: “Não é verdade que algum advogado é bancário”
~B: “Não existe um advogado que seja bancário”
~B: “Nenhum advogado é bancário”
TODO (")
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”,
garante-se que se um elemento está em A, então ele também está em B, mas não
necessariamente se está em B também estará em A.
EX.:
C: “Todo advogado e bancário”
ADVOGADOS
EQUIVALÊNCIAS:
C: “Nenhum advogado não é bancário”
C: “Não existe advogado que não seja bancário”
C: “Se ele é advogado, então é bancário”
BANCÁRIOS
26
Raciocínio Lógico
NEGAÇÕES:
~C: “Não é verdade que todo advogado é bancário”
~C: “Existe pelo menos um advogado que não é
bancário”
~C: “Algum advogado não é bancário”
EXEMPLOS
01. Considere que os argumentos são verdadeiros:
· Todo comilão é gordinho;
· Todo guloso é comilão;
Com base nesses argumentos, é correto afirmar que:
a) Todo gordinho é guloso.
b) Todo comilão não é guloso.
c) Pode existir gordinho que não é guloso.
d) Existem gulosos que não são comilões.
e) Pode existir guloso que não é gordinho.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os conjuntos:
GULOSO
COMILÃO
GORDINHO
Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso.
02. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos
também o são”, podemos logicamente concluir que:
a) não pode haver cientista filósofo.
b) algum filósofo é cientista.
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo.
d) alguns cientistas não são filósofos.
e) nenhum filósofo é objetivo.
27
Raciocínio Lógico
SOLUÇÃO:
Dadas as premissas:
A: “todos os cientistas são objetivos”
B: “alguns filósofos são objetivos”
Sejam
O – Objetivos
C – Cientistas
F – Filósofos
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas
possíveis:
1o
F
C
2o
C
F
O
3o
C
F
O
O
Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º
ou 3º diagrama, o que implica necessariamente que “esse filósofo será objetivo”,
pois “todo cientista é objetivo”.
Resposta: C
03. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios
são famas, podemos concluir logicamente que:
a) nenhum cronópio é fama.
b) não existe cronópio que seja fama.
c) todos os cronópios são famas.
d) nenhum fama é cronópio.
e) algum cronópio não é fama.
SOLUÇÃO:
Dada a premissa:
A: “Nem todos os cronópios são famas”
Sejam
C – Cronópios
F – Famas
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas
possíveis:
1o
F
C
2o
F
C
28
Raciocínio Lógico
Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente
existe pelo menos um cronópio que não é fama”.
Resposta: E
04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente
verdade que:
a) Alguns A não é G.
b) Algum A é G.
c) Nenhum A é G.
d) Algum G é A.
e) Nenhum G é A.
SOLUÇÃO:
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R,
então existem alguns A que nunca serão G.
Resposta: A
OBS.:
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de
como for o diagrama. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção
ou não, nada se pode afirmar.
05. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum politico é honesto” e que
“alguns advogados são honestos”. Dessa forma, aponte o único item errado.
a) É possível que alguns politicos sejam advogados.
b) Alguns advogados não são politicos.
c) É impossível que algum advogado seja político.
d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado.
e) Pode ou não haver advogado político.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições
impostas:
1o
P
H
A
2o
P
H
A
Cuidado! Não podemos afirmar que “existe A que é P”, nem tão pouco dizer que
“não existe A que é P”. O fato é que pode ou não existir A que seja P, ou seja,
podemos até afirmar que “é possível existir um A que seja P”, ou ainda, “é possível
que não exista A que seja P”. Então, será errado dizer que “é impossível que um A
seja P”.
29
Raciocínio Lógico
Resposta: C
LINK:
CERTEZA
100% de chance de acontecer o fato.
PROVÁVEL
Possível e com grande chance de acontecer.
POSSÍVEL
Existe alguma chance de acontecer, seja pequena, média ou
grande.
IMPROVÁVEL
Possível, mas com pequena chance de acontecer.
IMPOSSÍVEL
0% de chance de acontecer o fato.
LINK:
CUIDADO!
Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem todos”, por
isso é bom prestar atenção.
ALGUM
Significa que pelo menos um, mas pode até ser que todos.
NEM TODOS
Significa que pelo menos um, mas não todos.
30
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser
julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases
como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições
porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As
proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto
— A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso
contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,
caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma
sequência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que
as proposições anteriores na sequência forem verdadeiras. Considerando as
informações contidas no texto acima, julgue os itens subsequentes.
23. Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.
A: 12 é menor que 6.
B: Para qual time você torce?
C: x + 3 > 10.
D: Existe vida após a morte.
24. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente pelo menos duas
proposições.
· “A frase dentro destas aspas é uma mentira”.
· “X+Y é uma expressão positiva”.
· “O valor de 2 + 3 = 7”.
· “Que horas são?”.
· “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”.
25. A frase “João e Maria são Advogados” é uma proposição simples.
26. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.
27. A negação da proposição “Pedro é mais novo que Carlos” é a proposição
“Pedro é mais velho que Carlos”.
(CESPE) Proposições também são definidas por predicados que dependem de
variáveis e, nesse caso, avaliar uma proposição como V ou F vai depender do
conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por exemplo, a proposição “Todos
os advogados são homens”, que pode ser simbolizada por ("x)(A(x) ® H(x)), em
que A(x) representa “x é advogado” e H(x) representa “x é homem”, será V se x
pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário,
será F. Para expressar simbolicamente a proposição “Algum advogado é homem”,
escreve-se ($x)(A(x) Ù H(x)). Nesse caso, considerando que x pertença ao conjunto
de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V.
Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, estão simbolizadas
algumas formas de proposições.
31
Raciocínio Lógico
A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.
28. A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada por
¬($x)(P(x) Ù M(x)), se P(x) representa “x é um pavão” e M(x) representa “x é
misterioso”.
29. Considerando que ("x)A(x) e ($x)A(x) são proposições, é correto afirmar que a
proposição ("x)A(x) ® ($x)A(x) é avaliada como V em qualquer conjunto em que
x assuma valores.
30. A proposição ("x) ((x > 0) ® (x + 2) é par) é V se x é um número inteiro.
31. Podemos afirmar que a proposição ("x) ((x é primo) ® (x termina em 1, 3, 7 ou
9)) é V se x é um número natural maior que 10.
(CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.
32. A negação da proposição “Nenhum aluno é policial” é a proposição “Algum
aluno é policial”.
33. Se a afirmativa “Todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa,
então a afirmativa “Algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser
considerada verdadeira.
34. A negação da proposição “Algum turista é argentino” é a proposição
“Nenhum turista é argentino”.
35. A negação de “Algum restaurante tem comida italiana” é a sentença
“Nenhum restaurante italiano tem comida”.
36. A negação de “Nenhum país da América Latina é independente” é a
sentença “Todos os países da América Latina são independentes”.
37. Se a afirmativa “todas as janelas estão fechadas” for considerada falsa, então
a afirmativa “pelo menos uma janela está aberta” tem de ser considerada
verdadeira.
(CESPE) Com relação à lógica argumentativa, julgue os itens subsequentes.
32
Raciocínio Lógico
38. Considere que as proposições “Todo funcionário público sabe lógica” e “Todo
policial é funcionário público” são premissas de uma argumentação cuja
conclusão é “Todo policial sabe lógica”. Então essa argumentação é válida.
39. Considere que as proposições “Todo advogado sabe lógica” e “Todo
funcionário do fórum é advogado” são premissas de uma argumentação cuja
conclusão é “Todo funcionário do fórum sabe lógica”. Então essa argumentação
é válida.
40. Considere que as proposições “Todo A é B” e “Algum B é C” são premissas de
uma argumentação cuja conclusão é “Algum A é C”. Então essa argumentação é
válida.
41. Supondo que “Todo A é B” e que “Nem todo C é B”, podemos logicamente
concluir que “Algum A é C”.
42. Das premissas “Nenhum A é B” e “Algum C é B”, segue, necessariamente, que
“Algum C é A”.
43. Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma
1. Nenhum A é B.
2. Todo C é A.
e a conclusão é da forma “Nenhum C é B”. Essa argumentação não pode ser
considerada válida.
(CESPE) Um argumento constituído por uma sequência de três proposições — P1,
P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão — é considerado
válido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras, obtém-se a
conclusão P3, também verdadeira por consequência lógica das premissas. A
respeito das
formas válidas de argumentos, julgue os próximos itens.
44. Considere a seguinte sequência de proposições:
P1 – Existem policiais que são médicos.
P2 – Nenhum policial é infalível.
P3 – Nenhum médico é infalível.
Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e
conclusão P3 é válido.
45. Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por
“Todos os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão
P3 for dada por “Existem gatos que são leões”, então essa sequência de
proposições constituirá um argumento válido.
33
Raciocínio Lógico
VISÃO ALÉM DO ALCANCE
Consegue achar 10 faces nesta árvore?
CAPÍTULO 3
LÓGICA PROPOSICIONAL
INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do
raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática
desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole,
matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos
e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As
idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estendese por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
LÓGICA MATEMÁTICA
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças
declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer
aos dois princípios fundamentais seguintes:
·
·
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou
falsa, não havendo alternativa.
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo
tempo verdadeira e falsa.
34
Raciocínio Lógico
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade)
e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também
costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um)
para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas
por letras maiúsculas.
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está
bonito!", “Que horas são?”, “x é um número par” e “x + 2 = 7”, não são proposições
lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido
(verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado
de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
· A: "Fortaleza é a capital do Ceará” (V)
· B: “O Brasil é um país da Europa” (F)
· C: "3 + 5 = 2" (F)
· D: "7 + 5 = 12" (V)
· E: "O Sol é um planeta" (F)
· F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F)
SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico
EX.:
“X é um número par” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode
afirmar.
SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F.
EX.:
“O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V)
“A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F)
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)
CONECTIVOS E QUALIFICADORES
NÃO
E
OU
OU ... OU
SE ... ENTÃO
SE E SOMENTE SE
TAL QUE
IMPLICA
EQUIVALENTE
35
Raciocínio Lógico
EXISTE
NÃO EXISTE
EXISTE UM E SOMENTE
UM
QUALQUER QUE SEJA
O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou Øp. (Lê-se "não p" ).
LINK:
EXEMPLOS:
p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V)
~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F)
IMPORTANTE:
Afirmação e negação sempre
possuem valores lógicos
contrários!
·
Se A é V, então ~A é F
·
Se A é F, então ~A é V
A ~A
q: “João é magro”
~q: “João não é magro”
V
F
F V
~q: “Não é verdade que João é magro”
s: “Fernando é honesto”
Øs: “Fernando não é honesto”
Øs: “Não é verdade que Fernando é honesto”
Øs: “Fernando é desonesto”
OBS.:
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p)
= p.
p: “Diego dirige bem”
~p: “Diego não dirige bem”
~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem”
36
Raciocínio Lógico
ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores
lógicos , ,
e , dando origem ao que conhecemos como proposições
compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar
,
,
,
.
as seguintes proposições compostas:
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme
veremos a seguir:
·
·
·
·
·
CONJUNÇÃO:
-se "p e q" )
DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE:
-se "p ou q")
DISJUNÇÃO EXCLUDENTE:
p
-se "ou p, ou q")
CONDICIONAL:
-se "se p então q")
BI-CONDICIONAL:
-se "p se e somente se q")
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como
determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é
conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo
nome de TABELA VERDADE.
TABELA VERDADE
A tabela verdade mostra o valor lógico de proposições compostas, com base em
todas as possíveis combinações dos valores lógicos para as proposições simples
que a formam. Ou seja, devemos julgar a veracidade (ou não) da proposição
composta, mediante todas combinações de V e F das proposições simples
envolvidas.
O número de linhas da tabela verdade depende do número de
proposições, como cada proposição simples pode assumir duas possíveis
valorações (V ou F), temos então:
LINK:
FÓRMULA
n de linhas da tabela = 2(nº de proposições simples)
o
37
Raciocínio Lógico
CONJUNÇÃO (E)
A Ù B (lê-se “Premissa A e premissa B”)
A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for
verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja
falsa a conjunção toda torna-se falsa.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina e à Bolívia”.
A: “Pedro vai à Argentina”
B: “Pedro vai à Bolívia”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
AÙB
V
F
F
F
CONCLUSÕES:
· Só existe uma possibilidade de essa proposição composta ser verdadeira,
que é no caso de Pedro realmente ir aos dois países.
Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.
LINK:
A Ù B
“Premissa A e premissa B”
38
Raciocínio Lógico
DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU)
A Ú B (lê-se “Premissa A ou premissa B”)
·
PREMISSAS
NÃO
EXCLUDENTES:
são
aquelas
que
podem
ocorrer
simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que pelo menos
uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o “ou” significa que pelo
menos uma das premissas é verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina ou à Bolívia”.
A: “Pedro vai à Argentina”
B: “Pedro vai à Bolívia”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
AÚB
V
V
V
F
CONCLUSÕES:
·
·
·
·
Sabendo que Pedro foi à Argentina, conclui-se que ele pode ter ido ou não
à Bolívia.
Sabendo que ele não foi à Argentina, conclui-se que certamente foi à
Bolívia.
Sabendo que ele foi à Bolívia, conclui-se que ele pode ter ido ou não à
Argentina.
Sabendo que ele não foi à Bolívia, conclui-se que certamente foi à
Argentina.
Observe que, nesse caso, o “ou” significa que Pedro vai a “pelo menos” um desses
lugares (nada impede que ele vá aos dois países).
39
Raciocínio Lógico
LINK:
A v B
“Premissa A ou premissa B”
DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU)
A Ú B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”)
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se
as premissas são excludentes ou não excludentes.
·
PREMISSAS
EXCLUDENTES:
são
aquelas
que
não
podem
ocorrer
simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que exatamente
uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, devemos
entender que se trata de disjunção excludente.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em São Paulo”.
A:”Felipe nasceu em Fortaleza”
B:”Felipe nasceu em São Paulo”
40
Raciocínio Lógico
TABELA VERDADE
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÚB
F
V
V
F
CONCLUSÕES:
Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São
Paulo.
· Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São
Paulo.
· Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em
Fortaleza.
· Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em
Fortaleza.
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo
tempo, pois fica claro que ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo
tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas
premissas for verdadeira.
·
LINK:
A v B
“Ou premissa A, ou premissa B”
(Premissas excludentes)
41
Raciocínio Lógico
CONDICIONAL (SE ... ENTÃO)
A ® B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”)
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B
será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja,
mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Se Pedro receber dinheiro na sexta-feira então irá à praia no
fim de semana”.
A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira”
B:”Pedro vai à praia no fim de semana”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
A®B
V
F
V
V
CONCLUSÕES:
·
·
·
·
Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que necessariamente ele
foi à praia.
Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, então ele pode ter ido ou não à
praia.
Sabendo que Pedro foi à praia, então ele pode ter recebido ou não o
dinheiro.
Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que ele necessariamente
não recebeu o dinheiro.
Observe que a afirmação só será falsa, se Pedro receber o dinheiro e mesmo assim
não for à praia.
42
Raciocínio Lógico
LINK:
A ® B
“Se premissa A, então premissa B”
Do quadro acima podemos concluir que A ® B é
equivalente a
~B ® ~A
“Se não for verdadeira a premissa B, então não
será verdadeira a premissa A”
BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)
A « B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”)
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da
premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a
premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Pedro irá à praia no fim de semana, se e somente se ele
receber dinheiro na sexta-feira”.
A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira”
B:”Pedro vai à praia no fim de semana”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
F
V
F
F
V
F
A«B
V
F
V
F
43
Raciocínio Lógico
CONCLUSÕES:
Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que certamente foi à
praia.
· Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, conclui-se que ele não foi à
praia.
· Sabendo que Pedro foi à praia, conclui-se que é porque ele recebeu o
dinheiro.
· Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que certamente ele não
recebeu o dinheiro.
Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o
mesmo valor lógico.
·
LINK:
A
«
B
“Premissa A, se e somente se Premissa B”
Do quadro acima podemos concluir que A « B é
equivalente a
~A « ~B
“Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B”
OBS.:
· A é condição necessária e suficiente para que B
ocorra
· B é condição necessária e suficiente para que A
ocorra
44
Raciocínio Lógico
NECESSÁRIO x SUFICIENTE
CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A
ocorra para B ocorrer)
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não
ocorra, A não ocorre)
Para um condicional (A ® B), temos:
·
A é condição suficiente para que B ocorra
·
B é condição necessária para que A ocorra
·
~B é condição suficiente para que ~A ocorra
·
~A é condição necessária para que ~B ocorra
RESUMINDO:
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para
quem fica do lado direito.
A ® B
A é SUFIENTE para
B
~B ® ~A
~B é SUFIENTE para
~A
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para
quem fica do lado esquerdo.
A ® B
B é NECESSÁRIO para
A
~B ® ~A
~A é NECESSÁRIO para
~B
OBSERVAÇÃO:
No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B
implica em A, logo tanto A quanto B funcionam simultaneamente como condição
necessária e suficiente.
45
Raciocínio Lógico
A « B
(A ® B) Ù (B ® A)
A é NECESSÁRIO e
SUFICIENTE para B A é SUFICIENTE
para B
A é NECESSÁRIO
para B
TABELA VERDADE
Podemos resumir em uma única tabela verdade todos os conectivos vistos. Dadas
as proposições simples A e B, cujos valores lógicos representaremos por (F) quando
falsa e (V) quando verdadeira, temos a tabela simplificada:
TABELA VERDADE
A
V
V
F
F
B
A
V
F
V
F
V
F
F
F
B
V
V
V
F
A
B
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
· a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são
verdadeiras.
· a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
· a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e
a segunda falsa.
· a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem
valores lógicos iguais.
EQUIVALÊNCIAS
Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores
lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem
perda do sentido lógico. Na tabela ao lado, quando A é verdade (V) temos que B
também é verdade (V) e quando A é falso (F) temos que B também é falso (F),
logo A e B são equivalentes.
O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por
exemplo, dizer que A:“João é rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”, no
entanto, dizer B:“João não é pobre” não implica em dizer que A:“João é rico”,
portanto A e B não são equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A
Þ B). Por outro lado, se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é
46
Raciocínio Lógico
desonesto” e de forma recíproca se Q:”João não é desonesto” então implica que
P:”João é honesto”, portanto nesse caso P e Q são equivalentes pois uma
proposição implica na outra (P Û Q).
Observe das principais equivalências para proposições compostas:
A ® B = ~B ® ~A
EXEMPLOS:
A ® P: “Se João está armado, então será preso”.
~P ® ~A: “Se João não foi preso, então ele não está armado”
R ® V: “Se Pedro receber dinheiro, então ele viaja”
~V ® ~R: “Se Pedro não viajou, então ele não recebeu dinheiro”
~S ® C: “Caso não faça sol, ficarei em casa”
~C ® S: “Caso não fique em casa, fez sol”
LINK:
EQUIVALÊNCIAS:
Algumas formas equivalentes de escrever uma
proposição composta condicional.
S®P
“Se fizer sol então vou à praia”
“Se fizer sol, vou à praia”
“Fazer sol implica em ir à praia”
“Fazendo sol, vou à praia”
“Quando fizer sol, vou à praia”
“Sempre que faz sol, vou à praia”
“Toda vez que faz sol, vou à praia”
“Caso faça sol, irei à praia”
“Irei à praia, caso faça sol”
“Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia”
“Ir à praia é condição necessária para ter feito sol”
S ® P Û ~P ® ~S
“Se não for à praia então não fez sol”
“Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito
sol”
“Não fazer sol é condição necessária para não ir à praia”
47
Raciocínio Lógico
A ® B = ~A Ú B
EXEMPLOS:
A ® P: “Se João está armado, então será preso”.
~A Ú P: “João não está armado ou será preso”
S Ú C: “Faz sol ou fico em casa”
A « B = B « A = (A ® B) Ù (B ® A)
EXEMPLOS:
S « P: “Se e somente se fizer sol, então irei à praia”
P « S: “Se e somente se for à praia, então fez sol”
(S ® P)Ù(P ® S): “Se fizer sol, irei à praia e se for a praia, fez sol”
V « R: “Viajo se e somente se receber dinheiro”
(R ® V)Ù(V ® R): “Se receber dinheiro, viajo e se viajar, recebi”
P « E: “Passo se e somente se estudar”
(P ® E)Ù(E ® P): “Se passar, estudei e se estudei, passei”
A « B = (A Ù B) Ú (~A Ù ~B)
EXEMPLOS:
V « R: “Viajo se e somente se receber dinheiro”
(R Ù V)Ú(~R Ù ~V): “Ou recebo dinheiro e viajo, ou não recebo e não viajo”
P « E: “Passo se e somente se estudar”
(E Ù P)Ú(~E Ù ~P): “Ou estudo e passo, ou não estudo e não passo”
NEGAÇÕES (~) ou (Ø)
A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui
sempre valor lógico contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então ~A
é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro. Observe na tabela ao
lado que as proposições A e B possuem sempre valores lógicos contrários, pois
48
Raciocínio Lógico
sempre que A é verdade (V) temos que B será falso (F) e quando A é falso (F)
temos que B será verdadeiro (V), logo A é a negação de B.
É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são
coisas diferentes. Por exemplo, “rico” e “pobre” são antônimos, mas “João é
pobre” não é a negação de “João é rico”, afinal se João não for rico não quer
dizer que seja pobre, quer dizer apenas que “João não rico”. Mas existe caso em
que o antônimo é a negação, tais como: culpado e inocente, honesto e
desonesto, vivo e morto, dentre outros.
EXEMPLOS DE NEGAÇÕES
· A: “Aline é bonita”
Þ
~A: ”Aline não é bonita”
(o fato dela “não ser bonita” não significa que “ela é feia”)
· B: “Kleyton é alto” Þ ~B: ”Kleyton não é alto”
(o fato dele “não ser alto” não significa que “ele é baixo”)
· C: “Daniel é magro”
Þ ~C: “Daniel não é magro”
(o fato dele “não ser magro” não significa que “ele é gordo”)
· E: “Carol foi aprovada”
Þ ~D: “Carol foi reprovada”
(nesse caso, reprovado significa não aprovado)
· F: “Lia é culpada” Þ ~F: “Lia é inocente”
(nesse caso, inocente significa não culpado)
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN
Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das
tabelas verdades.
A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se
não é verdade
B) é por que pelo menos uma das proposições é falsa (não
precisa que as duas sejam falsas).
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
TABELA VERDADE
~A ~B
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V V
F
V
V
V
49
Raciocínio Lógico
EXEMPLO:
Qual a negação da proposição "Carol estuda e aprende"?
A negação é "Carol não estuda ou não aprende".
EXEMPLO:
Qual a equivalência de “Não é verdade que Ribamar é cearense e é bancário”?
Equivale a “Ribamar não é cearense ou não é bancário”.
A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições
é por que as proposições têm
for verdadeira, portanto se não é verdade
que ser falsas.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
TABELA VERDADE
AÚB
~A ~B ~A Ù ~B
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V V
V
EXEMPLO:
Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"?
A negação é "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".
EXEMPLO:
Qual a equivalência de “Não é verdade que Rosélia foi à praia ou ao cinema”?
Equivale a “Rosélia não foi à praia e não foi ao cinema”
~(A
O condicional
é verdade
só é falso se A for verdade e que B for falso, portanto se não
é por que as proposições A e ~B têm que ser verdadeiras.
50
Raciocínio Lógico
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
TABELA VERDADE
A®B
A ~B A Ù ~B
V
F
V F
F
F
V
V V
V
V
F
F F
F
V
F
F V
F
EXEMPLO:
Qual a negação da proposição: "Se Maria estuda então aprende"?
A negação procurada é: "Maria estuda e não aprende"
EXEMPLO:
Qual a equivalência de “Não é verdade que se Milena receber dinheiro então
viajará”?
Equivale a “Milena recebe dinheiro e não viaja”.
LINK:
EQUIVALÊNCIAS
NEGAÇÕES
A « B = (A Ù B) v (~A Ù
~B)
~(A Ù B) = ~A v ~B
A « B = (A ® B) Ù (B
® A)
~(A v B) = ~A Ù ~B
~(A v B) = (A Ù B) v (~A Ù
~B)
A«B=B«A
~(A v B) = A « B
A ® B = ~B ® ~A
~(A « B) = A v B
A ® B = ~(A Ù ~B) = ~A
vB
~(A ® B) = A Ù ~B
A = ~(~A)
LINK:
51
Raciocínio Lógico
TAUTOLOGIA
Como vimos anteriormente, uma proposição composta é uma tautologia
quando é inevitavelmente verdadeira. Para provar que essa proposição é uma
tautologia podemos usar dois métodos:
· construir uma tabela verdade verificando que tal proposição é sempre
verdade (V) para todas as combinações de V e F das proposições simples
usadas na sua elaboração;
· tentar atribuir valores lógicos (V e F) para forçar que a proposição composta
se torne falsa (F), caso isso não seja possível deduz-se que é uma tautologia
e portanto inevitavelmente verdadeira (V).
EXEMPLO:
P Ú ~P: “João é honesto ou desonesto”
(Obrigatoriamente VERDADEIRA)
CONTRADIÇÃO
Uma proposição composta é uma contradição quando é inevitavelmente
falsa. Para provar que essa proposição é uma contradição podemos usar dois
métodos:
· construir uma tabela verdade verificando que tal proposição é sempre falsa
(F) para todas as combinações de V e F das proposições simples usadas na
sua elaboração;
· tentar atribuir valores lógicos (V e F) para forçar que a proposição composta
se torne verdadeira (V), caso isso não seja possível deduz-se que é uma
contradição e portanto inevitavelmente falsa (F).
EXEMPLO:
Q Ù ~Q: “Maria é culpada, mas é inocente”
(Obrigatoriamente FALSO)
CONTINGÊNCIA
Uma proposição composta é uma contingência quando depende do
contingente de proposições simples usadas na sua elaboração, para poder ser V
ou F.
EXEMPLO:
A Ù B: “João é rico e Maria é bonita”
(Dependendo da outras proposições pode ser VERDADE ou FALSO)
52
Raciocínio Lógico
EXEMPLO
01.Dadas às proposições simples:
· A: “Sophia é arquiteta”
· B: “Sophia gosta de viajar”
· C: “Sophia é feliz”
Traduza para a linguagem natural às proposições dadas a seguir, de acordo com
a simbologia.
a)
~A: “Sophia não é arquiteta”
b)
~(~A): “Não é verdade que Sophia não é arquiteta”
c)
~B: “Sophia não gosta de viajar”
d)
A
B: “Sophia é arquiteta e gosta de viajar”
e)
A
B: “Sophia é arquiteta ou gosta de viajar”
f)
A
B: “Ou Sophia é arquiteta, ou Sophia gosta de viajar”
g)
~A
h)
A
i)
~(A
j)
A ® B: “Se Sophia é arquiteta então gosta de viajar”
k)
A « B: “Se e somente se Sophia é arquiteta então gosta de viajar”
l)
~A ® B: “Se Sophia não é arquiteta então gosta de viajar”
m) ~(A
B: “Sophia não é arquiteta ou gosta de viajar”
~B: “Sophia é arquiteta ou não gosta de viajar”
B): “Não é verdade que Sophia é arquiteta ou gosta de viajar”
® B): “Não é verdade que se Sophia é arquiteta, gosta de viajar”
B) ® C: “Se Sophia é arquiteta e gosta de viajar, então é feliz”
n)
(A
o)
A ® (B
p)
~A ® (B
C): “Se Sophia é arquiteta, então gosta de viajar e é feliz”
C): “Se Sophia não é arquiteta, gosta de viajar ou é feliz”
02.Dadas às proposições simples:
· A: “Daniel é rico”
· B: “Daniel é honesto”
Passe da linguagem natural para a linguagem simbólica, às proposições
compostas dadas a seguir.
53
Raciocínio Lógico
a)
“Daniel é rico, mas é honesto”: A Ù B
b)
“Daniel não é rico, mas é honesto”: ~A Ù B
c)
“Daniel é rico, mas é desonesto”: A Ù ~B
d)
“Não é verdade que Daniel é rico e é honesto”: ~(A Ù B)
e)
“Daniel é rico ou é honesto”: A Ú B
f)
“Daniel não é rico ou é honesto”: ~A Ú B
g)
“Não é verdade que Daniel é rico ou é honesto”: ~(A Ú B)
h)
“Se Daniel é rico, então ele é honesto”: A ® B
i)
“Se Daniel é rico, então ele é desonesto”: A ® ~B
j)
“Se Daniel não é rico, então ele é honesto”: ~A ® B
k)
“Não é verdade que se Daniel é rico, então ele é honesto”: ~(A®B)
l)
“Daniel é rico se e somente se ele é honesto”: A « B
03.Dadas das proposições simples A: “Felipe é piloto” e B: “Diego é tenista”,
responda as questões a seguir.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
TABELA VERDADE
AÚB AÚB A®B A«B
A
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
a) Qual uma proposição equivalente a A®B: “Se Felipe é piloto, então Diego é
tenista”?
RESPOSTA:
Existem várias formas de equivalência, dentre ela a mais usada é
~B®~A: “Se Diego não é tenista, então Felipe não é piloto”
Mas também pode ser dada por
A®B: “Felipe ser piloto é condição suficiente para Diego ser tenista”
Ou ainda
A®B: “Diego ser tenista é condição necessária para Felipe ser piloto”
54
Raciocínio Lógico
b) Qual uma possível negação de A®B: “Se Felipe é piloto, então Diego é
tenista”?
RESPOSTA:
Uma possibilidade é
~(A®B): “Não é verdade que se Felipe é piloto, então Diego é tenista”
Ou seja, como não é verdade, temos que
AÙ~B: “Felipe é piloto, mas Diego não é tenista”
c) Qual a negação de AÙB: “Felipe é piloto e Diego é tenista”?
RESPOSTA:
A negação pode ser dada por
~(AÙB): “Não é verdade que Felipe é piloto e Diego é tenista”
Ou ainda
(~AÚ~B): “Felipe não é piloto ou Diego não é tenista”
d) Qual a negação de AÚB: “Felipe é piloto ou Diego é tenista”?
RESPOSTA:
~(AÚB): “Não é verdade que Felipe é piloto ou Diego é tenista”
Logo
(~AÙ~B): “Felipe não é piloto e Diego não é tenista”
Ou ainda
(~AÙ~B): “Nem Felipe é piloto, nem Diego é tenista”
e) Qual a negação de AÚB: “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”?
RESPOSTA:
~(AÚB): “Não é verdade que ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”
Logo, para que AÚB não seja verdade, temos que:
(AÙB)Ú(~AÙ~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e
Diego não é tenista”
f) Qual a negação de A«B: “Felipe é piloto, se e somente se Diego é tenista”?
RESPOSTA:
Lembre-se que o bi-condicional só é verdade quando as duas proposições forem
verdade ou as duas forem falsas.
(AÙB)Ú(~AÙ~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e
Diego não é tenista”
Logo, para que A«B não seja verdade, temos que:
55
Raciocínio Lógico
~(A«B) = (AÚB): “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista
04.Aponte a negação da proposição “Ribamar é advogado ou é inocente”.
a) Ribamar é advogado e é inocente
b) Não é verdade que Ribamar é advogado e é inocente
c) Ribamar não é advogado e é culpado
d) Ribamar não é advogado ou é culpado
SOLUÇÃO:
Sendo AÚB: “Ribamar é advogado ou é inocente”, então sua negação pode ser
dada por ~(AÚB): “Não é verdade que Ribamar é advogado ou é inocente”, ou
ainda por ~AÙ~B: “Ribamar não é advogado e é culpado”. (lembre-se que na
disjunção “ou” pelo menos uma das proposições tem que ser verdadeira)
05.(FJPF) Todos acreditam que: “Cão que late, não morde”. Considerando
verdadeira essa afirmação, então pode-se concluir que:
a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder.
b) Se um cão não latir irá morder.
c) Se um cão não morder é por que ele latiu.
d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão.
e) Todos os animais que não mordem são cães.
SOLUÇÃO:
Sabe-se que “todo cão que late, não morde”, então se um “animal” latir e mesmo
assim morder, esse “animal” não pode ser um cão, pois “se um cão latir, não irá
morder”.
OBS.: O fato é que tendemos a pensar que apenas o cão é capaz de latir, mas o
“animal” em questão pode ser, por exemplo, uma pessoa imitando um cão e a
mordida pode ser de brincadeira. Se atenha a estrutura lógica e não ao enredo
da história.
06.Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Nívia viaja para Paraíba ou
compra uma geladeira”.
a) Não é verdade que Nívia viaja para Paraíba e compra uma geladeira
b) Nívia não viaja para Paraíba ou não compra uma geladeira
c) Nívia não viaja para Paraíba e não compra uma geladeira
d) Nívia viaja para Paraíba e compra uma geladeira
e) Nívia não viaja para Paraíba e compra uma geladeira
SOLUÇÃO:
Sabemos que a negação de A Ú B é
~(A Ú B) = ~A Ù ~B
Portanto, as possíveis negações para “Nívia viaja para Paraíba ou compra uma
geladeira”, são
56
Raciocínio Lógico
~(A Ú B): “Não é verdade que Nívia viaja para Paraíba ou compra uma
geladeira”
Ou então
~A Ù ~B: “Nívia não viaja para Paraíba e não compra uma geladeira”
07.Dada a proposição “Jogarei futebol no domingo, caso compre uma bola”,
então julgue os itens e aponte o ERRADO.
a) Comprar é condição suficiente para eu jogar.
b) Jogar é condição necessária para que eu tenha comprado.
c) Não comprar é condição necessária para eu não jogue.
d) Não jogar é condição necessária para que eu não tenha comprado.
e) Comprar é condição necessária e suficiente para eu jogar.
SOLUÇÃO:
Cuidado com orações invertidas, elas costumam confundir.
A proposição “Jogarei futebol no domingo, caso compre uma bola” equivale a
proposição:
C ® J: “Se eu comprar uma bola, então jogarei futebol no domingo”
Portanto, podemos afirmar que:
· Comprar uma bola é condição suficiente para eu jogar futebol no domingo.
· Jogar futebol no domingo é condição necessária para que eu tenha
comprado uma bola.
Como essa proposição também é equivalente a
~J ® ~C: “Se eu não jogar futebol no domingo, então não comprei uma
bola”, temos:
· Não comprar uma bola é condição necessária para eu não jogue futebol
no domingo.
· Não jogar futebol no domingo é condição suficiente para que eu não tenha
comprado uma bola.
Dessa forma, temos que o único item incorreto é o item E.
08.Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”,
podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é:
a) Se chover em Guaramiranga então fará frio.
b) Se não fizer frio em Guaramiranga é por que não choveu.
c) choveu em Guaramiranga e não fez frio.
d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio.
e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover.
SOLUÇÃO:
A ® B : “Se chover em Guaramiranga então faz frio”
Portanto, sua negação será
~(A ® B) = A Ù ~B
Ou ainda
~(A ® B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio”
Que por sua vez equivale a
A Ù ~B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio”
57
Raciocínio Lógico
09.Sabendo que “Sempre que um parlamentar é bom um bom político, ele é
honesto” e “Se um parlamentar é honesto, ele é um bom político”. Então, de
acordo com essas afirmações, podemos dizer que:
a) Os políticos são sempre honestos
b) Toda pessoa honesta é político
c) Se e somente se um parlamentar for honesto, será um bom político.
d) Todo parlamentar é bom político e honesto
e) Se e somente se uma pessoa for honesta, será um parlamentar.
SOLUÇÃO:
Observe a equivalência a seguir
(A ® B) Ù (B ® A) = A « B
A situação dada é bi-condicional, logo
“Se somente se um parlamentar for honesto, será um bom político”
10.(FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se
eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente será
verdadeira a proposição:
a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa.
b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria.
c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria;
d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria.
e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa.
SOLUÇÃO:
Dada a equivalência A ® B = ~B ® ~A, então:
“Se ganhar então compro” Û “Se não comprar então não ganhei”
11.(ESAF) A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale
logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
SOLUÇÃO:
Antes de resolvermos, é de fundamental importância saber as seguintes
equivalências:
Sabemos que a negação de A®B é dada por
~(A®B) = A Ù ~B
Logo, temos a equivalência:
A®B = ~(A Ù ~B)
Ou seja,
58
Raciocínio Lógico
A®B = ~A Ú B
Portanto,
~C Ú A : “João não chegou ou Maria está atrasada”
Equivale a
C®A : “Se João chegou, então Maria está atrasada”
12.Aponte uma sentença logicamente equivalente ao condicional “Se João está
armado, então será preso”.
a) João está armado e será preso.
b) João está armado e não será preso.
c) João está armado ou será preso.
d) João não está armado ou será preso.
e) João está armado ou não será preso.
SOLUÇÃO:
Existe uma forma de equivalência especial para o condicional. Para que o
condicional seja verdadeiro basta negar o antecedente ou confirmar o
consequente, dessa forma temos que:
A ® B = ~A v B
Portanto, a proposição
A ® B: “Se João está armado, então será preso”
pode ser logicamente escrita como
~A v B: “João não está armado ou será preso”.
13.Dentre os itens a seguir, aponte aquele que a proposição condicional “Caso
não faça sol, ficarei em casa”.
a) Faz sol ou não fico em casa.
b) Não Faz sol ou fico em casa
c) Faz sol ou fico em casa.
d) Faz sol, mas fico em casa.
e) Nem faz sol, nem fico em casa.
SOLUÇÃO:
Como vimos anteriormente, o condicional é verdadeiro quando negamos o
antecedente ou confirmamos o consequente, dessa forma temos:
~S ® C = S v C
Portanto, a proposição
pode ser logicamente escrita como
S v C: “Faz sol ou fico em casa”.
59
Raciocínio Lógico
LINK:
PROVANDO A EQUIVALÊNCIA
A negação do condicional é dada por
~(A ® B) = (A Ù ~B)
Sabendo que ~P = Q implica em P = ~Q, então
teremos:
(A ® B) = ~(A Ù ~B)
Portanto
A ® B = ~A v B
VERIFICAÇÃO PELA TABELA VERDADE
A
V
V
F
F
B A ® B ~A B ~A Ú B
V
V
F V
V
F
F
F F
F
V
V
V V
V
F
V
V F
V
14.Dizer que: "André não é artista ou Bernardo é engenheiro" é logicamente
equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
SOLUÇÃO:
Uma vez que sabemos a equivalência
A ® B = ~A v B
Temos então que a proposição dada
~A v B: “André não é artista ou Bernardo é engenheiro”
Será equivalente a proposição condicional
A ® B: “Se André é artista, então Bernardo é engenheiro”
60
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
(CESPE) Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição
simples, constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, aqui
sempre na forma afirmativa. Toda proposição pode ser julgada como falsa (F), ou
verdadeira (V), excluindo-se qualquer outra forma. Novas proposições são
formadas a partir de proposições simples, utilizando-se conectivos. Considere a
seguinte correspondência.
CONECTIVO
S
e
ou
se ... então
se e
somente se
SÍMBOLO
S
Ù
Ú
®
«
Usa-se também o modificador não, simbolizado por ¬. As proposições são
representadas por letras do alfabeto: A, B, C etc. A seguir, são apresentadas as
valorações para algumas proposições compostas. Os espaços não-preenchidos
podem servir de rascunho para auxiliar os raciocínios lógicos necessários ao
julgamento dos itens.
A B
V
V
F
F
A
ÙB
A
A
ÚB ®B
A
«
B
Ø
A
Ø
B
ØAÙ
ØB
ØAÚ
ØB
Ø(A
ÙB)
Ø(A
ÚB)
Ø(A
®B)
AÙ
ØB
ØB®
ØA
ØA
ÚB
V
F
V
F
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, a respeito de lógica
sentencial e de primeira ordem.
46. Na tabela incluída no texto acima, considerando as possíveis valorações V ou F
das proposições A e B, a coluna ¬(AÚB) estará corretamente preenchida da
seguinte forma.
Ø(AÚB
)
F
F
F
V
61
Raciocínio Lógico
47. Na tabela incluída no referido texto, considerando as possíveis valorações V ou
F das proposições A e B, a coluna ¬AÚ¬B estará corretamente preenchida da
seguinte forma.
ØAÚØ
B
F
V
F
V
48. Na tabela incluída no texto, considerando as possíveis valorações V ou F das
proposições A e B, a coluna A«B estará corretamente preenchida da seguinte
forma.
A«B
V
F
F
V
49. Na tabela incluída no texto, considerando as possíveis valorações V ou F das
proposições A e B, a coluna ØB®ØA estará corretamente preenchida da seguinte
forma.
ØB®Ø
A
V
F
V
V
(CESPE) Considerando e A, B e C sejam proposições, que os símbolos Ú e Ù
representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e que o símbolo ¬ denota
o modificador negação, julgue os itens a seguir.
50. As proposições A ® B e (¬B) ® (¬A) têm a mesma tabela verdade.
51. A negação da proposição A ® B pode ser dada por (¬B Ù A).
52. Podemos dizer que a proposição ¬A Ú B é uma possível equivalência do
condicional A ® B.
53. A proposição ¬(AÙB) é equivalente à proposição (¬A)Ú(¬B).
62
Raciocínio Lógico
54. A negação da proposição (AÚB) é equivalente à proposição (¬AÙ¬B).
(CESPE) Julgue os itens seguintes.
55. A proposição “Marta viajou para Madri e Lara viajou para Lisboa” é um
exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por
um conectivo de conjunção.
56. Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente
verificará os cadeados das celas”, então a proposição ¬A estará corretamente
escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente
verificará os cadeados das celas”.
57. Se a proposição “Daniel é sargento e Pedro é Tenente” é falsa, então a
proposição “Daniel não é sargento ou Pedro não é Tenente” será verdadeira.
58. A negação da proposição “Se houver corrupção, os níveis de violência
crescerão” é equivalente a “Se não houver corrupção, os níveis de violência não
crescerão”.
59. Na sentença “Caso João esteja armado, será preso”, podemos afirmar que
“João está armado é condição suficiente para que ele seja preso”.
(CESPE) Considere as sentenças abaixo.
i.
Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
ii.
Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
iii.
Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
iv.
Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus
fumam, então fumar deve ser proibido.
v.
Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve
ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a
seguir.
P
Q
R
T
Fumar
deve
ser
proibido.
Fumar
deve
ser
encorajado.
Fumar não faz bem à
saúde.
Muitos
europeus
fumam.
63
Raciocínio Lógico
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,
julgue os itens seguintes.
60. A sentença I pode ser corretamente representada por PÙ(¬T).
61. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬P)Ù(¬R).
62. A sentença III pode ser corretamente representada por R®P.
63. A sentença IV pode ser corretamente representada por (RÙ(¬T))®P.
64. A sentença V pode ser corretamente representada por T®((¬R)Ù(¬ P)).
(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os
símbolos ¬, Ù e Ú são operadores lógicos que constroem novas proposições e
significam “não”, “e” e “ou” respectivamente. Na lógica proposicional, cada
proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou
falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições
verdadeiras, julgue os itens seguintes.
65. ¬P Ú Q é verdadeira
66. ¬[(¬P Ú Q) Ú (¬R Ú S)] é verdadeira
67. [P Ù (Q Ú S)] Ù [(¬R Ú Q) Ú (P Ù S)] é verdadeira
68. (P Ú (¬S)) Ù (Q Ú (¬R)) é falsa
(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os
símbolos ¬, Ù, Ú e ® sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e
significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada
proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V)
ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto
acima, julgue os itens a seguir.
69. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) Ú (¬
Q) também é verdadeira.
70. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a
proposição (P Ù R) ® (¬ Q) é verdadeira.
71. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R
® (¬ T) é falsa.
72. Se a proposição PÚQ ® R é verdadeira, então R é necessariamente verdadeira.
73. Se a proposição PÚQ ® C é verdadeira, então a proposição ¬C ® ¬(AÚB) é
também verdadeira.
64
Raciocínio Lógico
74. Podemos afirmar que a proposição A Ú B®C é falsa somente se A e C forem F e
B for V.
75. Se a proposição A for F e a proposição (¬A)ÚB for V, então, obrigatoriamente, a
proposição B é V.
(CESPE) Julgue os itens a seguir, acerca da construção de tabelas-verdade.
76. A proposição composta (AÙ~B)®(~AÚBÚC), possui 8 linhas da tabela verdade.
77. A tabela-verdade da proposição composta (PÚ(¬Q)) ® (QÚ(¬R)) tem 16 linhas.
78. Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e
completando-se as colunas da tabela abaixo, se necessário, é correto afirmar que
a última coluna dessa tabela corresponde à tabela-verdade da proposição [A Ú
(¬B)] ® [¬(A Ú B)].
79. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R®T) « R, a tabela-verdade
correspondente será a seguinte.
80. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (RÙT) Ú (ØR), a tabela-verdade
correspondente será a seguinte.
(CESPE) Considerando que A, B, C e P sejam proposições, que os símbolos Ú e Ù
representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e que o símbolo ¬ denota
o modificador negação, julgue os itens a seguir.
65
Raciocínio Lógico
81. Podemos afirmar que a proposição ¬PÚP é uma tautologia.
82. Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é
correto concluir que a proposição ¬(AÚB) Ú (AÚB) é sempre V.
83. A proposição composta Ø(A ® BÙC) Ú (A ® BÙC) é uma tautologia.
84. A proposição composta P®(PÚQ) é sempre verdadeira, independente da
valoração V ou F atribuída às proposições simples P e Q.
85. Podemos afirmar que a proposição A Ú (B®¬A) é uma tautologia.
86. Independentemente da valoração V ou F atribuída à proposição P, é correto
concluir que a proposição ¬PÙP é sempre F.
87. O valor lógico da proposição ¬(A®B) Ù (A®B) é sempre falsa.
88. A proposição composta Ø(AÚB « C) Ù (AÚB « C) é uma contradição.
89. A proposição composta (PÚQ)®(PÙQ) é sempre falsa, independente da
valoração V ou F atribuída às proposições simples P e Q.
CAPÍTULO 4
ARGUMENTAÇÃO
INTRODUÇÃO
A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra
das proposições visto nas aulas anteriores, sobretudo os “links” apresentados para
cada conectivo estudado: “ou” Ú, “ou...ou” Ú, “e” Ù, “se...então” ® e “se e
somente se” «.
Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando
linguagem simbólica), localizar um ponto de partida através de uma proposição
simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um “efeito dominó”,
deduzir todos os valores lógicos (V ou F) das outras proposições simples, admitindo
que todas as proposições compostas são verdadeiras.
66
Raciocínio Lógico
INFERÊNCIA
A Inferência vem do latim inferre. Inferir é o mesmo que deduzir. Na lógica
de argumentação, inferência é a passagem, através de regras válidas, do
antecedente ao conseqüente de um argumento.
Portanto, a inferência é um processo pelo qual se chega a uma proposição
conclusiva, a partir de uma ou outras mais proposições consideradas verdadeiras.
PREMISSA
As premissas são proposições (simples ou composta) que tomadas como
verdadeiras, levam a uma conclusão. Numa raciocínio lógico válido, as premissas
são os juízos que precedem à conclusão e dos quais ela decorre como
conseqüente necessária - antecedentes - de que se infere a conseqüência.
Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito
da conclusão) são comparados com o termo médio e assim temos premissa maior
e premissa menor segundo a extensão dos seus termos.
O silogismo é estruturado do seguinte modo:
·
Todo homem é mortal (premissa maior)
– homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula;
– é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre
sujeito e predicado;
– mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula.
·
Pitágoras é homem (premissa menor)
·
Pitágoras é mortal (conclusão)
Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma
argumentação, precedem a conclusão.
67
Raciocínio Lógico
CONCLUSÃO
A conclusão de um argumento válido é aquela que se chega a partir de
proposições dadas nesse argumento. Essas outras proposições que antecedem a
conclusão, que são tomadas como verdadeiras para afirmar a conclusão, são as
premissas desse argumento.
É possível partir de premissas falsas e se concluir algo falso, pois na
argumentação devemos tomar as proposições dadas como verdade, mesmo que
não sejam, e isso nos leva a uma conclusão, que até pode ser uma mentira, mas
não invalida o argumento.
ARGUMENTO VÁLIDO
Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa
de um ponto de vista. O argumento é o elemento básico para a fundamentação
de uma teoria.
Um argumento envolve, no mínimo, duas proposições: uma premissa (ou
mais) e uma conclusão. Para se distinguir um argumento válido de um inválido é
preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as
suas premissas e conclusões.
Um argumento é dito válido quando tomadas como verdadeiras as
premissas, chega-se a uma conclusão. Mas sem criar contradições ou declarações
erradas.
EXEMPLO:
“Todo homem é mortal”
PREMISSAS
ARGUMENTO
VÁLIDO
“João é um homem”
“João é mortal”
CONCLUSÃO
EXEMPLO:
“Se eu receber dinheiro, viajo”
“Se eu viajar, fico feliz”
PREMISSAS
ARGUMENTO
VÁLIDO
68
Raciocínio Lógico
“Recebi dinheiro”
“Então estou feliz”
CONCLUSÃO
EXEMPLO:
“Leo é arquiteto ou bancário”
PREMISSAS
ARGUMENTO
VÁLIDO
“Leo não é bancário”
“Leo é arquiteto”
CONCLUSÃO
EXEMPLO:
“Recebendo o seguro, compro a moto”
PREMISSAS
“Comprando a moto, viajo”
CONCLUSÃO
“Se receber o seguro, então viajo”
ARGUMENTO INVÁLIDO
Um argumento é dito inválido quando tomadas como verdadeiras as
premissas cria-se uma contradição ou declara-se um conclusão errada.
EXEMPLO:
“Física é uma ciência exata”
PREMISSAS
“Matemática é uma ciência exata”
CONCLUSÃO ERRADA
“Então a Matemática é um ramo da Física”
EXEMPLO:
“Se fizer sol, irei à praia”
PREMISSAS
“Fui à praia”
“Então fez sol”
CONCLUSÃO
ERRADA
69
Raciocínio Lógico
EXEMPLO:
“Todo homem é mortal”
“João é mortal”
“João é um homem”
EXEMPLO:
“Se João é honesto, ele é inocente”
PREMISSAS
CONCLUSÃO
ERRADA
PREMISSAS
“João é honesto, mas é culpado”
“Então João é culpado e inocente”
CONTRADIÇÃO
DEDUÇÃO
Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma
verdade particular.
Exemplo:
· O Ser humano é imperfeito;
· Eu sou um ser humano;
· Logo, eu sou imperfeito;
Exemplo:
· Todo mamífero tem um coração;
· Todos os cavalos são mamíferos;
· Logo, todos os cavalos têm coração;
INDUÇÃO
Os “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos
advinham unicamente da observação dos fatos. Então, raciocinar indutivamente
é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal.
EXEMPLO:
Sabe-se que:
· O ferro conduz eletricidade
· O ferro é metal
· O ouro conduz eletricidade
· O ouro é metal
· O cobre conduz eletricidade
· O cobre é metal
Logo os metais conduzem eletricidade.
70
Raciocínio Lógico
EXEMPLO:
· Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração;
· Logo, todos os cavalos tem um coração;
O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como
uma tautologia ou um enunciado analítico, pois se houvesse um princípio
puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de indução,
uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas
como transformações lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no
campo da Lógica Dedutiva.
EXEMPLO
01. Dadas as seguintes premissas
· Caso não chova no fim de semana, irei a praia
· Quando vou à praia, como caranguejo
· Sempre que como caranguejo, tomo refrigerante
· Esse fim de semana não choveu
Então a conclusão será que nesse fim de semana
a) Comi caranguejo e tomei refrigerante
b) Não comi caranguejo e tomei refrigerante
c) Comi caranguejo e não tomei refrigerante
d) Não comi caranguejo e não tomei refrigerante
SOLUÇÃO:
Representando por siglas as proposições, torna-se mais fácil a representação
simbólica.
CH: "Chover no fim de semana"
P: "Irei a praia"
CC: "Comer caranguejo"
R: "Tomar refrigerante"
Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica
da seguinte forma:
~CH ® P
P
CC
®
CC
®
R
~CH
71
Raciocínio Lógico
Partindo da proposição simples "Não choveu no fim de semana" (~CH), segue por
“efeito dominó” a seqüência conclusiva representada pelas setas.
~CH
V
P
V
®
2
3
P
V
CC
V
®
4
5
1
CC
V
R
®
6
V
~CH
V
03. Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de
seu cliente.
· Se João não estava na cidade então ele é inocente
· Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo
· Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade
vizinha
· Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade
vizinha
· De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feira
Tomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que:
a) João é inocente e não visitou Ana
b) João é inocente e visitou Ana
c) João é culpado e não visitou Ana
d) João é culpado e visitou Ana
e) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão
SOLUÇÃO:
Sejam
JC: "João estava na cidade "
I: "Inocente"
AM: "almoçou com a mãe"
VA: " visitou Ana"
RD: "Recebeu dinheiro"
Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica
da seguinte forma:
~JC ® I
JC
®
AM
72
Raciocínio Lógico
AM
Ú
RD
VA
« VA
RD
Partindo da proposição simples "João recebeu dinheiro" (RD), segue por “efeito
dominó” a seqüência conclusiva representada pelas setas.
7
~JC
V
JC
F
I
®
V
8
5
4
Ú
AM
F
VA3
V
2
1
RD
V
1. Transferindo a informação inicial;
2. Como ele recebeu dinheiro, tem que ter ido visitar Ana;
6
®
AM
F
EFEITO DOMINÓ:
« VA
V
3. Transferindo essa informação;
4. No “ou...ou”, somente uma das afirmações é verdadeira, logo AM é F;
6. Se “JC” fosse V, então “AM” tinha que ser V, logo “JC” é F;
7. A negação sempre tem valor lógico contrário;
RD
V
Portanto, João é inocente, não almoça com a mãe e visita Ana na cidade vizinha.
RESPOSTA: Item B
04. (IPAD) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há
um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não
entende de Lógica, então George é culpado. Mas George não é culpado. Logo:
a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica.
b) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala.
c) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica.
d) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende.
e) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica.
73
Raciocínio Lógico
SOLUÇÃO:
Sejam
LL ® RS : “Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala”
RS ® ~BL : “Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de
Lógica”
~BL ® GC : “Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado”
Sabendo que “George não é culpado” é V, então GC é F, segue então
~BL ® GC
F 5
F
Conclusões:
4
RS ®
F 3
~BL
F
2
LL ® RS
F 1
Como ~BL é F, então BL é V, logo “Bertrand entende de
lógica”
Como RS é F, então ~RS é V, logo “Não há um rinoceronte na
F
EXERCÍCIOS
(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser
julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases
como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições
porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As
proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto
— A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso
contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,
caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma
seqüência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que
as proposições anteriores na sequência forem verdadeiras. Considerando as
informações contidas no texto acima, julgue os itens subsequentes.
90. É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
· Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no
concurso.
· Maria é alta.
Portanto, José será aprovado no concurso.
91. É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
· Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.
· Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
92. Considere que as proposições listadas abaixo sejam todas V.
74
Raciocínio Lógico
I: “Se Clara não é policial, então João não é analista de sistemas”.
II: “Se Lucas não é policial, então Elias é contador”.
III: “Clara é policial”.
Supondo que cada profissão esteja associada a uma única pessoa citada, então
está correto concluir que a proposição “João é contador” é verdadeira.
(CESPE) Considere as seguintes proposições:
I. Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.
II. Joaquina não tem garantido o direito de herança.
III. Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.
Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir
logicamente que
93. Joaquina não é cidadã brasileira.
94. Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
95. Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.
75
Raciocínio Lógico
SUDOKU
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
O QUE É SUDOKU?
Sudoku, por vezes escrito Su Doku, é um puzzle baseado na colocação
lógica de números. O objetivo do puzzle é a
colocação de números de 1 a 9 em cada uma
das células vazias numa grelha de 9×9,
constituída por 3×3 subgrelhas chamadas
regiões. O puzzle contém algumas pistas
iniciais. Cada coluna, linha e região só pode
ter um número de cada um dos 1 a 9. Resolver
o problema requer apenas raciocínio lógico e
algum tempo. Os problemas são normalmente
classificados em relação à sua realização. O
aspecto do puzzle Sudoku lembra outros
puzzles de jornal.
HISTÓRIA
O puzzle foi projetado anonimamente
por Howard Garns, um arquiteto aposentado
de 74 anos de idade e construtor independente de puzzles, e o publicou pela
primeira vez em 1979. Embora tenha se inspirado provavelmente no quadrado
latino , invenção do século XVIII do suíço Leonhard Euler, Garns adicionou uma
terceira dimensão (a limitação regional) à construção matemática e (ao contrário
de Euler) apresentou a criação como um puzzle, fornecendo uma grade
parcialmente completa e necessitando que o solucionador preenchesse o resto. O
enigma foi publicado primeiramente nos Estados Unidos no final dos anos 1970 na
revista americana Math Puzzles and Logic Problems, da editora Dell Magazines,
especializada em desafios e quebra-cabeças. A editora deu ao jogo o nome de
Number Place, que é usado até hoje nos Estados Unidos. Em 1984, a Nikoli, maior
empresa japonesa de puzzles, descobriu o number place e decidiu levá-lo ao
Japão.
No Japão, os jogos numéricos são mais populares que palavras-cruzadas e
caça-palavras, que não funcionam muito bem na língua japonesa. Em 1986,
depois de alguns aperfeiçoamentos no nível de dificuldade e na distribuição dos
números, o sudoku tornou-se um dos puzzles mais vendidos do Japão. Apesar de
toda a popularidade no Japão, o sudoku não conseguiu atrair a mesma atenção
no Ocidente até o final de 2004, quando Wayne Gould - um juiz aposentado de
Hong Kong, que também era fã de puzzles e programador de computador - viajou
a Londres para convencer os editores do The Times a publicar o sudoku. Gould
havia criado um programa de computador que gerava jogos de sudoku com
vários níveis de dificuldade e não estava cobrando nada por ele. O Times decidiu
arriscar e no dia 12 de novembro de 2004 publicou seu primeiro sudoku. No Brasil O
Sudoku é publicado pela Coquetel (Ediouro) desde o início de 2005 e em Portugal,
76
Raciocínio Lógico
começou a ser publicado em maio de 2005 pelo jornal Público, atualmente
diversas editoras publicam o puzzle.
INTRODUÇÃO
O nome Sudoku é a abreviação japonesa para a longa frase, suuji wa
dokushin ni kagiru que significa os dígitos devem permanecer únicos; e é uma
marca registrada da Nikoli Co. Ltd no Japão. Em japonês a palavra é pronunciada
[sɯːdokɯ] , em português pronuncia-se sudóku. Outras editoras japonesas
referem-se ao jogo como colocando os números, ou como "Nanpure". Algumas
editoras não japonesas soletram o título como "Su Doku".
Os numerais nos jogo Sudoku são usados por comodidade; as relações
aritméticas entre numerais são absolutamente irrelevantes (não requer lógica para
cálculos matemáticos). Qualquer combinação de símbolos distintos como letras,
formas, ou cores podem ser usadas no jogo sem alterar as regras (Penny Press
Scramblets e Knight Features Syndicate’s Sudoku Words usam letras). Dell
Magazines , o criador do jogo, tem utilizado números para Number Place em suas
revistas desde a sua primeira publicação em 1979. Numerais são utilizados através
deste artigo.
A atração do jogo é que as regras são simples, contudo, a linha de
raciocínio requerida para alcançar a solução pode ser complexa. O Sudoku é
recomendado por alguns educadores como um exercício para o pensamento
lógico. O nível de dificuldade pode ser selecionado para combinar com o público.
Existem diversas fontes na internet não ligadas a editoras que disponibilizam os
jogos gratuitamente.
77
Raciocínio Lógico
OBJETIVO
O objetivo do jogo é completar todos os quadrados utilizando números de 1 a 9.
Para completá-los, seguiremos a seguinte regra: Não podem haver números
repetidos nas linhas horizontais e verticais, assim como nos quadrados grandes.
1
U
2
U
3
4
U
5
U
6
U
7
U
8
U
9
1
2
U
U
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
5
6
U U
U
U
U
7
8
9
U
U
U
U U U U U U
3
U
COMO JOGAR
O jogo é mais frequentemente uma grade de 9×9 constituída de sub-grades
de 3×3 chamadas de regiões (outros termos incluem caixas, blocos, algumas vezes
porém o termo quadrante é utilizado, apesar de ser um termo impreciso para uma
grade de 3×3). Alguma célula já contém números, chamadas como números
dados (ou algumas vezes pistas). O objetivo é preencher as células vazias, com um
número em cada célula, de maneira que cada coluna, linha e região contenham
os números 1–9 apenas uma vez. Portanto, na solução do jogo, cada número
aparece apenas uma vez em qualquer um dos sentido ou regiões, daí portanto
"únicos números" originaram o nome do jogo ou enigma.
MÉTODOS DE SOLUÇÃO
A região 3×3 no canto superior direito. O
solucionador pode eliminar todas as células vazias no
canto superior direito que contenham um 5 nas mesmas
colunas ou linhas. Isto deixa apenas uma célula possível
(destacada em verde).
A estratégia para resolver um enigma pode ser
considerada como compreender uma combinação de
três processos: fazer uma varredura visual, fazer
marcações, e análise.
78
Raciocínio Lógico
VARREDURA
A varredura é executada no início e durante toda a solução. As varreduras
somente têm que ser executadas uma vez entre períodos da análise. A varredura
consiste em apenas duas técnicas básicas:
3
·
4
3
4
1 7 7
Cruzamento: a varredura das linhas (ou colunas) para identificar que
linha em uma região particular pode conter um determinado
9 2 8
numero por um processo do eliminação. Este processo é repetido
3 4
6 7
5
então com as colunas (ou linhas). Para resultados mais rápidos, os
números são verificados por ordem de freqüência. É importante
executar sistematicamente este processo, verificando todos os dígitos 1–9.
Contar de 1–9 nas regiões, linhas, e colunas para identificar os números faltantes.
contar baseada no último número descoberto pode fazer com que a busca seja
mais rápida. Também pode ser o caso (tipicamente em enigmas mais difíceis) que
a maneira a mais fácil verificar o valor de uma célula individual é contando no
inverso — isto é, fazendo a varredura da região da célula, linha, e coluna para
identificar os valores que não podem ser, a fim de se descobrir o que resta.
Os solucionadores avançados procuram contingências ao fazer a varredura
—isto é, estreitando a posição de um numeral dentro de uma fileira, coluna, ou
região a duas ou três células. Quando estas células todas se encontrarem dentro
da mesma fileira (ou coluna) e região, elas podem ser usadas para finalidades de
eliminação durante as etapas de cruzamento e contar. Particularmente os
enigmas mais desafiadores podem requerer múltiplas contingências para serem
descobertos, talvez em direções múltiplas ou mesmo cruzamentos múltiplos. Os
enigmas que podem ser resolvidos apenas fazendo-se a varredura sem
necessidade de detectar as contingências são classificados como enigmas fáceis;
enigmas mais difíceis, por definição, não podem ser resolvido pela varredura
básica somente.
MARCAÇÕES
Fazer a varredura termina quando mais nenhum número adicional pode ser
descoberto. Deste ponto em diante, é necessário fazer algumas análises lógicas.
Muitos acham útil guiar esta análise através da marcação dos números possíveis
(candidatos) nas células em branco. A forma mais popular é notação subscrita.
Na notação subscrita, os números possíveis são escritos a lápis em tamanho
reduzido (subscritos) nos cantos das células em branco. O inconveniente a este é
que os puzzles originais impressos em um jornal são geralmente demasiado
pequenos para acomodar mais do que alguns dígitos da escrita normal. Mas na
prática, não precisamos usar mais de quatro dígitos subscritos.
79
Raciocínio Lógico
PASSO A PASSO
1º PASSO
2º PASSO
3º PASSO
4º PASSO
5º PASSO
6º PASSO
80
Raciocínio Lógico
7º PASSO
8º PASSO
O JOGO
ANALISANDO UMA JOGADA ERRADA
Após fazer uma jogada, há a possibilidade de verificar se ela foi correta ou não
clicando no botão "Como estou indo?". Se a jogada estiver incorreta, o local da
jogada ficara em vermelho indicando o erro. Veja as imagens que apresentam os
possiveis erros:
1 Número repetido em um quadrado grande:
3 Número repetido na linha horizontal:
81
Raciocínio Lógico
2 Número repetido na linha vertical:
82
Raciocínio Lógico
FÁCIL
Solução (digite o código):
www.sudoku-puzzles.net
83
Raciocínio Lógico
MÉDIO
84
Raciocínio Lógico
DIFÍCIL
85

Super Polícia Federal 2013 Raciocínio Lógico Apostila Pedro Evaristo

Transcrição

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