A conjectura de Goldbach Série Rádio Cangália
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A conjectura de Goldbach Série Rádio Cangália
A conjectura de Goldbach Série Rádio Cangália Objetivos 1. Apresentar a conjectura de Goldbach. A conjectura de Goldbach Série Rádio Cangália Conteúdos Conjuntos, Números primos. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Apresentar a conjectura de Goldbach. Sinopse O programa apresenta a conjectura de que todo número par maior que dois é a soma de dois números primos. Ninguém consegue provar nem encontrar um contra exemplo para essa conjectura há quase três séculos. E quem conseguir provar se a conjectura é verdadeira ou não pode ganhar um milhão de dólares. Material relacionado Vídeos: A razão dos irracionais; Áudios: Primos gêmeos, 3X+1; Experimento: Com quantas cores posso pintar um mapa, Padrões no plano, Cilindro=Cone+Esfera/2, Apostas no relógio; Software:Explorando o jogo do máximo.. ÁUDIO A conjectura de Goldbach 2/5 Introdução Sobre a série A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais, com comentários de um professor de matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em torno de um conteúdo e reforçar a descontração. Sobre o programa O nome dado à conjectura é uma homenagem ao matemático amador Christian de Goldbach nascido em Königsber (atual Kaliningrado), Prússia (atual Rússia) em 1690. Goldbach trocava cartas e contas com o famoso matemático Euler. Ao que parece Euler considerava verdadeira a proposição e não há indícios de que se preocupou em prová-la. Por incrível que pareça, até 2011, ninguém sabe com 100% de confiança se a conjectura é verdadeira ou falsa. Sugestões de atividades Antes da execução O programa vai tratar de uma afirmação matemática fácil de entender, mas nem os matemáticos mais profissionais e dedicados conseguiram provar se a afirmação é verdade ou não. O programa pode mostrar uma diferença fundamental entre a matemática e as ciências empíricas, a saber, o rigor com as sentenças lógicas. ÁUDIO A conjectura de Goldbach 3/5 Para preparar os alunos, o professor pode afirmar e demonstrar a seguinte proposição. A soma (ou a diferença) de dois números primos, maiores do que dois, é sempre ALGUM número par. Isto é verdade pelo simples fato que todos os números primos maiores que dois são números ímpares que podem ser escritos como p=2k+1 para algum número natural k>0. Assim digamos dois números primos 𝑝! = 2𝑘! + 1, 𝑝! = 2𝑘! + 1 quando somados fornecem 𝑝! + 𝑝! = 2𝑘! + 1 + 2𝑘! + 1 = 2(𝑘! + 𝑘! + 1) que é algum número par. A diferença dessa proposição para a conjectura é que Goldbach propõe que TODO número par (maior que dois) seja a soma de alguma dupla de números primos. Durante a execução Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no programa à medida que eles forem falados. Se julgar conveniente, pausar o áudio para os alunos verificarem alguns casos particulares. Depois da execução Para a discussão, o professor pode separar o caso relativamente simples de números que sejam o dobro de números primos, pois de fato se n=2p, para algum número primo p então de fato n=p+p é a soma (repetida) desse número primo p. Com isso verificamos que a conjectura vale para esses (infinitos) números pares. A conjectura já foi confirmada (em setembro de 2011), com a ajuda de computadores para números naturais 𝑛 < 26×10!" . Problema Com a ajuda de uma calculadora, solicitar que os alunos verifiquem em alguns casos a seguinte afirmação: A soma de um com o quadrado ÁUDIO A conjectura de Goldbach 4/5 de três números ímpares consecutivos é múltiplo de doze. Em notação matemática, a afirmação equivalente é: Seja um número ímpar 𝑛. Então a soma 1 + 𝑛! + 𝑛 + 2 divisível por 12. ! + 𝑛+4 ! é Exemplo. Considerar 3, 5 e 7. Então 1 + 3! + 5! + 7! = 1 + 9 + 25 + 49 = 84 = 12×7 Solução Basta escrever n=2k+1 para k>0 e desenvolver a soma: 1 + 𝑛! + 𝑛 + 2 ! + 𝑛 + 4 ! = 1 + 2𝑘 + 1 ! + 2𝑘 + 3 ! + 2𝑘 + 5 ! = 1 + 3×4𝑘 ! + 𝑘 4 + 12 + 20 + 1 + 9 + 25 = 12×(𝑘 ! + 3𝑘 + 3) Que é múltiplo de 12. Sugestões de leitura Sautoy, Marcus du - A Música dos Números Primos. A história de um problema não resolvido na matemática - Jorge Zahar Editor – Rio de Janeiro 2007. Oliveira e Silva, T. "Goldbach Conjecture Verification." Página http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html. visitada em 9/Nov/2011. Ficha técnica Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López ÁUDIO A conjectura de Goldbach 5/5
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