1a Questão: (3,5 pontos)

G2 DE FIS1026 – 08/05/2013
Nome: ______________________________________________
1a Questão: (3,5 pontos)
a) [1,0] Na figura, um bloco de 2,0 kg tem velocidade inicial Vi = 4,0 m/s em um
instante ti quando se choca com uma mola relaxada (k = 1,0×103 N/m). O bloco
comprime a mola até um valor máximo e depois a mola empurra de volta o bloco
até o ponto inicial. Neste instante, tf, a velocidade final é Vf = 2,0 m/s. Durante
todo percurso existe atrito cinético.
Calcule o trabalho da gravidade
(Wgrav), o trabalho da mola (Wmola) e
o trabalho do atrito (Wat) entre os
instantes ti e tf.
b) [1,2] Na figura, um bloco de 2,0 kg cai a partir do
repouso de uma altura h = 2,0 m, e desliza num plano
inclinado e numa pista sem atrito até bater numa
mola relaxada (k = 1,0×103 N/m). Na região onde a
mola se encontra, existe atrito cinético entre o bloco
e o solo (µc = 0,25). Nestas condições, calcule a
compressão máxima da mola.
c) [1,3] Na figura ao lado, está representado o gráfico de
uma força variável unidimensional F(x) que atua sobre
uma partícula de massa m=1,0 kg. Entre as posições x1 e
x3, a força pode ser escrita como F(x) = k(x – x2), e
entre 0 e x1 a força é constante (-F0). Seja F0 = 5,0 N,
x1 = 1,0m, x2 = 2,0m e x3 = 5,0m. A partícula se
movimenta no sentido positivo do eixo x e no instante
que passa pelo ponto x = 0 sua velocidade é 5,0 m/s.
Calcule a velocidade da partícula quando ela chega na posição x3.
(Você deve incialmente encontrar k para fazer a questão!)
2a Questão: (3,5 pontos)
Um bloco 1 de massa m/4 é lançado de uma altura vertical h ao longo de uma rampa
e colide frontalmente com o bloco 2 de massa m, que se encontrava em repouso na
horizontal (veja a figura). Após a colisão, o bloco 1 retorna para a esquerda enquanto
o bloco 2 sai para a direita, ambos com o mesmo módulo de velocidade, V. O bloco 2
seguirá a trajetória entrando na pista semi-circular. Não há atrito dos blocos com o
piso durante todo o percurso.
Justifique cuidadosamente todas as
suas respostas!
m/4
As respostas devem ser dadas em
função dos dados que constam no
desenho e/ou no texto acima, a
saber: m, h, V, R e θ.
A
h
R
m
θ
a) [0,5] Ache a altura vertical máxima h1 que o bloco 1 alcança após a colisão.
b) [1,0] Ache a velocidade do bloco 1, V1, logo antes da colisão. Com isto, ache a
velocidade original com que foi lançado, V0, quando partiu da altura h.
c) [1,0] Ache a velocidade com que o bloco 2 alcança o ponto A, a um ângulo θ como
mostrado na figura.
d) [1,0] Ache o módulo da força normal N sobre o bloco 2 em A.
3a Questão: (3,0 pontos)
Um disco de massa m1 = 3,0kg, inicialmente em repouso sobre uma superfície
horizontal sem atrito, sofre uma colisão não-frontal com um segundo disco de massa
m2 = 2,0kg, movendo-se inicialmente ao longo do eixo x com velocidade escalar
constante V2i = 2,0m/s. Após a colisão, o segundo disco passa a ter velocidade escalar
V2f = 1,0 m/s e sai a um ângulo θ2 = -60° em relação ao eixo x positivo, veja a figura.
Use o sistema de coordenadas fornecido.
Sistema de
coordenadas
y
antes
z
x
depois
a) [0,5] Ache o vetor velocidade de centro de massa dos discos antes da colisão.
b) [1,2] Em termos dos vetores unitários ! e !, determine o vetor velocidade !!! do
disco 1 após a colisão. Calcule o ângulo θ1 com que ele emerge.
c) [0,8] A colisão é elástica ou não? Justifique com cálculos. Determine a razão
entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. d) [0,5] Determine o vetor velocidade do centro de massa do sistema após a colisão,
explicitamente usando seu resultado da letra (b). Compare com o resultado da
letra (a) e discuta. 1a Questão
(a) [1,0] Teorema trabalho-energia : WT = ΔK. Neste caso, WT = Wgrav + Wmola + Wat.
Como a força da gravidade e a força elástica da mola são forças conservativas, e
como nos instantes ti e tf o bloco se encontra na mesma posição, então
Wgrav = 0 e Wmola = 0
Assim: WT = Wgrav + Wmola + Wat = Wat →
Wat = Kf – Ki = (1/2)m( Vf2 – Vi2) = (1/2)(2)(22 – 42) → Wat = -12 J
(b) [1,2] Sabemos que no processo de compressão da mola WT = Kf – Ki = - Ki pois
Kf = 0 na posição de compressão máxima. A energia cinética do bloco no instante que
entra em contato com a mola é resultado do trabalho da gravidade a partir da altura
inicial. Assim, Ki = mgh → WT = - mgh.
Por outro lado, WT = Wmola + Wat onde Wmola = - (1/2)k(Δx)2 durante a compressão e
Wat = -fat Δx (sendo fat=µN = µmg). Assim, temos
-­‐ mgh = - (1/2)k(Δx)2 - µ mgΔx
Re-escrevendo esta equação quadrática:
(Δx)2 + (2µmg/k) Δx - (2mg/k)h = 0  Δx = - (µmg/k)± [(µmg/k)2 + (2mg/k)h]1/2 
Δx = - (0,25*2*10/1000) ± [ (0,25*2*10/1000)2 + (2*2*10/1000)*2]1/2 =
= -0,005± [0,000025+0,08]1/2 = -0,005+0,283 = 0,278 m
(tomando apenas a raiz positiva já que Δx foi tomado em módulo ao início.)
Assim, a compressão máxima é 27,8 cm.
(c) [1,3] Para o calculo da constante k observamos que
F(x1) = -F0 = k (x1 – x2)  k = - F0 /(x1 – x2) = -5/(1-2) = 5 N/m
A velocidade Vf na posição x3 pode ser calculada através do teorema trabalhoenergia: WT = Δ K = Kf - Ki
O trabalho total é a área da curva:
Area = -F0*(x1) + (1/2)(-F0)(x2 – x1) + (1/2)*k*(x3 – x2)2
Assim: Area = -5*1 – 5/2 + (5/2)*(5-2)2 = -7,5 + 22,5 = 15 J
 15 = Kf – Ki = (1/2)*m*(Vf2 – Vi2)  Vf2 = Vi2 + 2*15/m = 52 + 30 = 55
 Vf = 7,4 m/s
2a Questão
a) [0,5] Conhecemos a velocidade do bloco 1 após a colisão: v1f = -V. Por
conservação de energia mecânica, a altura alcançada após a colisão é dada por:
m1 g h1 = ½ m1 v1f 2 → h1 = V2/2g
b) [1,0] Por conservação de momento na colisão temos:
m1 V1i + m2 V2i = m1 Vif + m2 V2f
Sendo m1 = m/4, m2 = m, V1f = -V , V2i = 0 e V2f = V → m/4 V1 = m/4 (-V) + mV
e assim obtém-se V1= 3V.
Esta é a velocidade do bloco 1 antes da colisão, portanto após a descida. Para
encontrar a velocidade inicial V0 quando estava a uma altura h, usamos conservação
de energia mecânica:
m1 g h + ½ m1 V0 2 = ½ m1 V1 2 → V0 = !!! − 2!ℎ → V0 = !!! − !"#
c) [1,0] Aqui novamente usamos conservação de energia mecânica. O bloco 2, após
subir uma altura h2 = R senθ, terá velocidade dada por:
m g Rsenθ + ½ m VC 2 = ½ m V 2 → VC = !! − !"#$%&'
d) [1,0] No ponto C atuam sobre o bloco 2 a normal e o peso. De acordo ao diagrama
de forças, vemos que a força resultante na direção
centrípeta está dada por :
Ν
Fc = Psenθ – N = mVc2/R. Portanto,
P
N = Psenθ - mVc2/R. Substituido VC obtido acima,
θ
obtemos:
θ
N = m(3g senθ – V2/R)
3a Questão
(a) [0,5] !!" = !! !!! ! !! !!!
!! ! !!
= !,! . ! ! !,! .!,!!
!,!! !,!
= 0,80 ! !/!
(b) [1,2] Como o sistema é isolado (não há forças externas atuando e as forças
internas são produzidas em par ação-reação, se anulando), a resultante das forças que
age sobre o sistema de partículas é nulo e desta forma o momento linear total do
sistema é conservado.
!!"#$% = !!"ó! → !! . !!! + !! . !!! = !! . !!! + !! . !!! 0 + 2,0. 2,0! = 3,0. !!! + 2,0. [!!! . cos −60° ! + !!! . !"# −60° !] 3,0. !!! = 4,0 − (2,0) . (1,0).
1
3
! + − 2,0 . (1,0). −
2
2
!
!!! = (1,0)! +
Direção: !! = !"#$%
(c) [0,8] !! !"#$% =
!! !"ó!
!! .!!! !
!
+
!
! m/s !
= 30° !
!! .!!! !
!
= (!,!).!!
!
+
(!,!).(!,!)!
!
Como !! !"#$% > !! !"ó! , a colisão é inelástica. (d) [0,5] !!" = !! ! !!
= !! !"ó!
!! !"#$%
!,! . !,! . !,!!! =
!
!
!
= 4,0 ! 3
3
3,0 . [(1,0)! +
!! . !!! ! !! . !!! !
=
+
= 2
2
2
!! !!! ! !! !!!
! !,!
!,!
2
] +
= !, !" !
!
! !,!. ! !
!,!! !,!
(2,0). (1,0)!
= 3,0 ! 2
!
!
!
= 0,80 ! !/!
O resultado é igual ao da letra (a) já que a velocidade de centro de massa não muda
pela colisão (de fato, usou-se conservação de momento em (b) para chegar ao
resultado‼)