Derivada - Parte 1

DERIVADA
A Reta Tangente
Seja f uma função definida numa vizinhança de a. Para definir a reta tangente de uma
curva y = f(x) num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizinho Q(x,y), em que x ≠ a e
traçamos a S, que é a reta secante que passa pelos pontos P(a, f(a)), e Q(x,y).
y
x
Considerando o triangulo retângulo PMQ, temos que a inclinação da reta S (ou
coeficiente angular de S) é:
f ( x)  f (a)
mPQ 
xa
Fazendo x tender a a, o ponto Q se aproxima de P ao longo da curva y = f(x). Se mPQ
tender a um número m (valor limite), definimos a tangente t como sendo a reta que passa por
P e tem inclinação m.
y
y
x
x
Definição: A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(a, f(a)), é a reta por P que
tem a inclinação
m  lim
x a
f ( x)  f ( a )
xa
desde que esse limite exista
1
Exemplo:
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1, 1).
2. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x3 no ponto de abcissa x = 1.
y
x
Há uma outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil de ser
usada. Se h = x – a, então x = a + h e, assim, a inclinação da reta secante PQ é:
y
mPQ 
f ( a  h)  f ( a )
h
x
Quando x  a, temos que h  0 (pois h = x – a). Assim a expressão para a inclinação
da reta tangente fica:
m  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Exemplo:
Encontre uma equação da reta tangente a hipérbole y = 3/x no ponto P(3, 1)
2
Velocidades
Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t), na
qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve
o movimento é chamada função de posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t
= a + h a variação na posição será de f(a + h) – f(a).
y
A velocidade média neste intervalo é:
Vm 
deslocamento f (a  h)  f (a)

 mPQ
tempo
h
“a velocidade representa a razão de variação
do deslocamento por unidade de variação do
tempo”
x
Se a velocidade média for calculada em intervalos cada vez menores [a, a+h],
fazemos h  0. Definimos velocidade instantânea v(a) no instante t = a como o limite das
velocidades médias:
v(a)  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Exemplo:
Suponha que uma bola foi abandonada do posto de observação de uma torre a 450
m acima do solo. Sabendo que sua equação de movimento é dada por s = f (t) = 4,9t2,
determine a velocidade da bola após 5 segundos?
3
Outras taxas de variação
Se y é uma quantidade que depende de outra quantidade x, então y é uma função de
x e escrevemos y = f(x). Se x varia de x1 para x2, então a variação de x (também chamada de
incremento de x) é x  x2  x1 e a variação correspondente de y é y  f ( x2 )  f ( x1 ) .
O quociente de diferença
y f ( x2 )  f ( x1 )

x
x2  x1
é chamado de taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x1, x2] e pode ser
interpretado como a variação da reta secante PQ.
y
x
Outras taxas de variações envolvem reações químicas, custo marginal, potência,
colônia de bactérias, entre outros. Todas estas taxas podem ser interpretadas como
inclinações de tangente.
Exemplo
Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:
a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia
de 2,5 a 3 m.
b) a taxa de variação instantânea da área em relação ao lado quando este mede 4 m.
4
Derivadas
f ( a  h)  f ( a )
surge sempre que calculamos uma taxa de
h
variação em várias ciências (química, física, economia, etc) Como este tipo de limite ocorre
amplamente, ele recebe nome e notação especiais.
O limite da forma lim
h 0
Definição: A derivada de uma função em um número a, denotado por f ’(a) é
f ' (a)  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Se o limite existe.
Se escrevermos x = a + h, então h  0  x  a. Assim,
f ´(a)  lim
x a
f ( x)  f ( a )
xa
Exemplo
Encontre a derivada da função f(x) = x2 – 2x + 1 no número a.
Derivada como a inclinação da reta tangente
A reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) foi definida como sendo a reta que
passa em P e tem inclinação
m  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
que por definição é o mesmo que a derivada f ’(a). Logo,
A reta tangente a y = f(x) em (a, f(a)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja
inclinação é igual a f ’(a), a derivada de f em a.
5
Usando a forma ponto de inclinação da equação de uma reta, podemos escrever uma
equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) como:
y – f(a) = f ’(a)(x – a)
“A derivada da função y = f(x) no ponto P é o coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto P.”
Exemplos
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x) = x2 – 2x + 1 no ponto (2, 1).
2. Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x) = x2 – 8x + 9 no ponto (3, 6).
3. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da abscissa x = 4.
Solução: y = ¼ x + 1
4. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abcissa é
2.
6
Derivada como taxa instantânea de variação
A taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x em x = x1 é:
lim
x2  x1
f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1
que por definição é o mesmo que a derivada f ’(x1). Assim, temos uma segunda interpretação
da derivada:
A derivada f ’(a) é a taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x
quando x = a.
Exemplo
A equação de uma partícula é dada pela equação do movimento s = f(t) = 1/(1+t), em
que t é medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade após 2 segundos.
7
A derivada como uma função
A derivada de uma função em um número fixo a, é dada por:
f ' (a)  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Entretanto, podemos variar o número a substituindo-o por uma variável x, obtendo:
f ´(x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
Esta nova função é chamada de derivada de f. O valor de f ’ em x, f ’(x), também
pode ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (x, f(x)). O domínio de f ’ é o conjunto {x / f ’(x) existe}.
Exemplo
1 - Se f(x) = x3 – x, encontre f ’(x).
2- Se f ( x)  x  1 , encontre a derivada de f e determine seu domínio.
8
Outras notações para derivada
Se usarmos a notação y = f(x) para indicar que a variável independente é x enquanto
y é a variável dependente, podemos usar como notações alternativas para a derivada:
f ’(x) = y’=
dy df
d


f (x)  Df(x) = Dxf(x)
dx dx dx
Para indica o valor de uma derivada na notação de Leibniz em um ponto específico
a, usamos a notação:
dy
dy 
ou
dx xa
dx  xa
Definição: Uma função f é derivável em um ponto a se f(x) exitir. É derivável em um
intervalo aberto (a, b), (a, ), (-a, ) ou (-, ) se for derivável em cada número do
intervalo.
Exemplo
Verifique o intervalo onde a função f(x) = |x| é derivável.
9
Teorema:
Se f for derivável em a, então f é contínua em a.
OBS:
A reciproca do teorema é falsa, isto é, há funções que são contínuas, mas não são
deriváveis.
Como uma função pode deixar de ser derivável?
- Se o gráfico da função tiver um ponto anguloso, então a função não terá tangente nesse
ponto e, portanto, não terá derivada.
- Em toda descontinuidade de f, uma função deixa de ser derivável.
- A função tem uma reta tangente vertical em x = a.
y
y
x
y
x
x
Exemplo
x 2 , x  1
1- A função f ( x)  
é derivável em p = 1? Porquê?
 2, x  1
10
x 2 , x  1
2- Seja f ( x)  
.
 1, x  1
a) f é contínua em 1?
b) f é derivável em 1?
x 2 , x  1
3- A função f ( x)  
 2 x  1, x  1
a) f é contínua em 1?
b) f é derivável em 1?
11
Regras de Derivação
Derivada de uma função constante
 Se f é a função constante definida por f(x) = c, cℝ, então f ’(x) = 0.
O gráfico desta função é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0.
Prova:
f '( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
cc
 lim
 lim 0  0
h 0
h 0
h
h
d
Portanto,
(c )  0
dx
Funções potência
 Seja f(x) = xn, em que n é inteiro positivo.
Se n = 1, f(x) = x. O gráfico é a reta y = x, cuja inclinação é 1.
y
x
Se n = 2, f(x) = x2.
Se n = 3, f(x) = x3.
Se n = 4, f(x) = x4.
12
Regra da Potência: Se n é um inteiro positivo
d n
( x )  n x n1 .
dx
Exemplos:
Encontre as derivadas:
a) f(x) = x6
b) f(x) = x1000
E se o expoente é negativo???
c) y = x-1
d) f(x) =
1
x2
E se o expoente é uma fração???
x
e) f(x) =
f) y =
3
x2
Regra da Potência (GERAL): Se n é um número real qualquer, então
d n
( x )  n x n1 .
dx
g) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x x no ponto (1, 1)
13
Regra da multiplicação por constante
 Se c for uma constante e f uma função diferenciável em x então .
d
d
(cf ( x))  c ( f ( x))
dx
dx
Prova: Seja g(x) = cf(x). Então
g ( x  h)  g ( x )
cf ( x  h)  cf ( x)
c( f ( x  h)  f ( x))
g `( x)  lim
 lim
 lim

h 0
h 0
h
h
h
h 0
f ( x  h)  f ( x )
 c lim
 c f '( x)
h 0
h
Exemplos
Encontre as derivadas:
a) f(x) = 3x4
b) f(x) = -x
Regra da soma
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então,
d
d
d
 f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)
dx
dx
dx
Prova: Seja F(x) = f(x) + g(x). Então,
F ( x  h)  F ( x )

h 0
h
[ f ( x  h)  g ( x  h)]  [ f ( x)  g ( x)]
 lim

h 0
h
 f ( x  h )  f ( x ) g ( x  h)  g ( x ) 
 lim 


h 0
h
h


f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
 lim
 lim
 f '( x)  g '( x)
h 0
h

0
h
h
F ( x)  lim
A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções.
Escrevendo f(x) + g(x) como f(x) + (-1)g(x) e aplicando as regras da soma e do
múltiplo constante, obtemos:
14
Regra da diferença
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então,
d
d
d
 f ( x )  g ( x)   f ( x)  g ( x)
dx
dx
dx
As regras da multiplicação por constante, soma e diferença, podem ser combinadas
com a regra da potência para derivar qualquer polinômio.
Exemplos
1- Encontre a derivada de y = x8 + 12x5 - 4x4 + 10x3 - 6x + 5.
2- Encontre os pontos sobre a curva y = x4 - 6x2 + 4 onde a reta tangente é horizontal.
Derivada da Função Exponencial Natural
d x
(e )  e x
dx
Exemplo
Se y = ex - x, encontre y '(x).
15
Regra do Produto
 Se f e g são funções diferenciáveis, então,
d
d
d
 f ( x).g ( x)  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)
dx
dx
dx
Prova: Seja F(x) = f(x).g(x)
F ( x  h)  F ( x )
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x).g ( x)
= lim
h 0
h 0
h
h
Adicionando e subtraindo do numerador a expressão f(x + h) g(x), temos:
f ( x  h) g ( x  h )  f ( x  h ) g ( x )  f ( x  h ) g ( x )  f ( x ) g ( x )
F '(x)  lim

h 0
h
 g ( x  h)  g ( x ) 
 f ( x  h)  f ( x ) 
 lim f ( x  h) 
 lim g ( x) 

 
h 0
h

0
h
h



[ g ( x  h)  g ( x)]
[ f ( x  h)  f ( x)]
 lim f ( x  h).lim
 lim g ( x).lim

h 0
h 0
h

0
h

0
h
h
= f(x).g’(x) + g(x).f ’(x)
F '(x) = lim
Exemplos
1- Se y = xex, encontre y'(x).
2- Se f (t )  t (1  t ) , encontre f '(x).
Regra do quociente
 Se f e g são funções diferenciáveis e g(x)  0, então,
d  f ( x) 

dx  g ( x) 
g ( x)
d
d
f ( x)  f ( x) g ( x)
dx
dx
2
 g ( x) 
16
Exemplos
x2  x  2
1- Seja y 
. Encontre y'(x).
x3  6
2- Encontre uma equação da reta tangente à curva y 
ex
no ponto (1, e/2).
1  x2
Derivada de funções trigonométricas.
Se f(x) = sen(x), então
sen( x  h)  sen( x)
f ´( x)  lim
h 0
h
sen x cos h  cos x sen h  sen x
 sen x cos h  sen x cos x sen h 
 lim
 lim 


h 0
h 0
h
h
h

sen x(cos h  1)
sen h
cos h  1 cos h  1
sen h
 lim
 lim cos x
 lim sen x.lim
 lim cos x.lim
 cos x
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
cos h  1 h0
h
d
( sen x)  cos x
dx
Usando o mesmo método, podemos mostrar que:
d
(cos x)   sen x
dx
Para obter a derivada da função tangente, fazemos:
17
d
d  sen x  cos x(sen x) ' sen x(cos x) '
tg x  


dx
dx  cos x 
cos 2 x
cos x cos x  sen x( sen x) cos 2 x  sen 2 x
1


 sec 2 x
2
2
2
cos x
cos x
cos x
d
(tg x)  sec2 x
dx
Usando a regra do quociente, encontramos também as derivadas das funções
cotangente, secante e cossecante, obtendo:
d
(sec x)  sec x. tg x
dx
d
(cossec x)  cossec x. cotg x
dx
d
(cotg x)  s  cossec 2 x
dx
Exemplos
1- Derive y = x2 sen x.
2- Encontre a derivada de y 
sec x
.
1  tg x
18
Regra da Cadeia
As regras de derivação estudadas até agora nos permitem calcular a derivada de
diversas funções, mas como derivar a função F(x) =
função composta.
x 2  1 ? Observe que F(x) é uma
dy
dy du
e
.Entretanto queremos
, ou seja, precisamos de
dx
du dx
uma regra que nos permita calcular a derivada de F = fg em termos das derivadas de f e g.
A derivada da função composta fg é o produto das derivadas de f e g. Esse fato é uma das
mais importantes regras de derivação, chamada de regra da cadeia.
Considere as seguintes taxas de variação:
Sabemos derivar ambas:

dy du
 dy
du
  : taxa de variação de y em relação a x é
du
dx
du dx
= taxa de variação de u em relação a x 

dx

dy
= taxa de variação de y em relação a u 
Regra a cadeia
Se g for derivável em x e f derivável em g(x), então a função composta F = fg,
definida por F(x) = f(g(x)) será derivável em x e F’ será dada pelo produto:
F’(x) = f ’(g(x)) . g’(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções deriváveis, então
dy
dy du
=
.
dx
du dx
Exemplo:
Utilize a regra da cadeia para Encontrar a derivada das funções a seguir:
a) F(x) =
x2  1
19
b) F(x) = (x2 + 1)5
Ao usarmos a regra da cadeia, trabalhamos de fora pra dentro:
Exemplo:
Derive (a) y = sen (x2) e (b) y = sen2 (x)
No exemplo anterior, quando calculamos a derivada de y = sen (x2) combinamos a
regra da cadeia com a regra para derivar a função seno. Em geral, se y = sen (u) em que u é
uma função derivável de x, pela regra da cadeia:
y = sen u  y’= cos u .u’
De modo análogo, todas as fórmulas para derivar funções trigonométricas podem ser
combinadas com a regra da cadeia.
20






se y = sen u  y’= cos u .u’
se y = cos u  y’= - sen u .u’
se y = tg u  y’= sec2u .u’
se y = cotg u  y’= - cossec2u.u’
se y = sec u  y’= sec u .tg u .u’
se y = cossec u  y’= - cossec u .cotg u . u’
Se a função de fora f for uma função potencia, isto é, y = [g(x)]n, podemos escrever
y = f(u) = un, em que u = g(x). Usando a regra da cadeia e a regra da pontência, obtemos
dy
dy du
du
=
.
= n.un-1.
= n.[g(x)]n-1.g’(x)
dx
du dx
dx
Regra da potência combinada com a Regra da Cadeia
Se n for qualquer número real e u = g(x) for derivável, então
d n
du
(u )  nu n1
dx
dx
Alternativamente
d
n
n 1
 g ( x)  n  g ( x) .g '( x)
dx
Exemplo
Encontre as derivadas:
a) y = (x3 - 1)10
b)
f(x) =
1
3
x  x 1
2
 t 2 
c) g(t) = 

 2t  1 
9
21
d) y = (3x2 + 1)3(x - x2)2
e) f(x) = sen(cos(tg x))
Exercícios
Determinar a derivada das seguintes funções compostas:
a)
b)
c)
d)
y = sen 2x
y = cos(x2+2x-1) - 3sen x
y = (2x-1)3
y = (2x+5)2.(3x-1)4
e) y =
f) y = sen2x.cos3x
g) y = sen32x
1
h) y =
2
x  2x
cos x
Derivada da função exponencial
Podemos usar a regra da cadeia para derivar uma função exponencial com qualquer
base a > 0.
Sabemos que a = eln a
22
Portanto, temos a fórmula para derivar uma função exponencial utilizando a regra da
cadeia é:
d x
(a )  a x ln a
dx
Caso particular: Se y = ex  y' = ex ln e = ex.
Derivada da função exponencial composta
Se y = uv, em que u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis de x em um intervalo I
e u(x) > 0,  x  I, então y' = v. uv-1 u’ + ln u.v’
Exemplo
Encontre as derivadas:
a) y = 32 x
2
3 x 1
b)
f(x) = 5sen (2 x )
c)
y  sen xcos x
Derivada da função logarítmica
Se y = log a x (a  0 e a  1) , em que u = u(x) então
y' 
Caso particular: Se y = ln x  y’=
1
1 ln e
1
log a e 

x
x ln a x ln a
1
1
 .
x ln e x
23
Derivada da função logarítmica composta
Se y = log a u (a  0 e a  1) , então
y' 
1
u'
u. ln a
1
Caso particular: Se y = ln u, em que u = u(x), então y’= u ' .
u
Exemplo
Encontre as derivadas:
a) y = log3(sen x)
d) ex ln x
b) f(x) = sen x . ln x
e) ex ln x
c) (ln x)2
Exercícios
Encontre as derivadas:
a) f (x) = 4x
i) y = ln (x2 + x + 1)
b) y = esenx
j) y = ln3x
3x
c) y  e  x  5
d) y = x3. 3x
k) y = lnx3
2
e) y = sen3x . 3senx
l)
 x 1
y  ln 

 x  1
f) y = ex.lnx + ex.ln x
m) y = ln x . sen x
g) y = xx
n) y = ln(senx)
h) y = log3(x2-5)
o) y = ln x.log e x  ln a.log a x
24
Derivada da função inversa
Seja y = f(x) uma função inversível definida em um intervalo (a, b) e seja x = g(y) sua
inversa. Se f '(x) existe e é diferente d e zero para qualquer x  (a, b), então g = f 1 é derivável
e definida como:
1
1
g '( x) 

f '( x) f '[ g ( y)]
Exemplos
Calcule a função inversa e suas respectivas derivadas:
a) y = 4x - 3
b) y  log3 x
Derivada das funções trigonométricas inversas
Função arco seno
  
Seja f : [-1,1]   ,  , definida por f(x) = arcsen x. Então y = f(x) é derivável em
 2 2
1
(-1, 1) e y' =
1  x2
Função arco cosseno
Seja f : [-1,1]  [0,  ], definida por f(x) = arccos x. Então y = f(x) é derivável em (1
1, 1) e y '  
1  x2
Função arco tangente
  
Seja f : ℝ   ,  , definida por f(x) = arctg x. Então y = f(x) é derivável e
 2 2
1
y' 
1  x2
25
Para as funções trigonométricas inversas, temos as seguintes derivadas:
1
 Se y = arcsen u  y ' 
.u '
1 u2
1
 Se y = arccos u  y '  
.u '
1 u2
1
 Se y = arctg u  y '  
.u '
1 u2
1
 Se y = arccotg x  y '  
.u '
1 u2
1
 Se y = arcsec u, |u|  1  y ' 
.u ' , |u| > 1
| u | u 2 1
1
 Se y = arccossec u, |u|  1  y '  
, |u| > 1
| u | u2 1
Exemplos:
Determine a derivada:
a) y = arcsen(x + 1)
 1  x2 
b) y  arctg 
2 
 1 x 
Derivada das funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas são definidas em termos das funções exponenciais. Se y =
senh x, então:
dy d  e x  e x 

dx dx  2 
Similarmente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas:






y = senh u
y = cosh u
y = tgh u
y = cotgh u
y = sech u
y = cossech u






y' = cosh u . u'
y' = senh u . u'
y' = sech2 u . u'
y' = - cossech2 u . u'
y' = - sech u. tgh u . u'
y' = - cossech u. cotgh u . u'
Exemplos:
Determine a derivada das funções hiperbólicas:
a) y = senh(x3 + 3)
26
b) y = ln(tgh(3x))
Derivada das funções hiperbólicas inversas
Função arco seno hiperbólico


Se y = arcsenh x  y = ln x  x 2  1 . Logo, a derivada da função arcsenh x é:
De modo similar, podemos obter as derivadas das demais funções hiperbólicas
inversas.

Se y = arcsenh u  y ' 

Se y = arccosh u  y ' 




1
u2 1
1
.u '
.u ', u  1
u2 1
1
Se y = arctgh u  y ' 
.u ', | u | 1
1 u2
1
Se y = arccotgh u  y ' 
.u ', | u | 1
1 u2
1
Se y = arcsech u  y '  
.u ', 0  u  1
u 1 u2
1
Se y = arccosech u  y '  
.u ', u  0
| u | 1 u2
Exemplo
Determine a derivada:
a) y = x2arccosh x2
27
b) y = x arcsenh x -
x2  1
Derivadas de ordem superior
Se f é uma função derivável em um determinado intervalo, sua derivada f ' também é
uma função definida no mesmo intervalo. Portanto, podemos pensar na derivada da função
f '.
Definição:
Seja f uma função derivável. Se f ’ também for derivável, então sua derivada é
chamada de derivada segunda de f e é representada por f ''(x).
Exemplos
a) Se f(x) = 3x2 + 8x +1, determine f ''(x).
b) Se f(x) = tgx, determine f ''(x)
Se f '' é uma função derivável, sua derivada, representada por f ''', é chamada de
derivada terceira de f(x). Sucessivamente, para n inteiro positivo, f (n)(x) indica a derivada
de ordem n ou n-ésima derivada de f que é obtida partindo-se de f e calculando suas derivada
sucessivas n vezes. Utilizando a notação de Leibniz, temos:
dy d 2 y d 3 y
dny
;
;
; ... ;
dx dx dx
dx
Exemplos:
a) Se f(x) = x4 - 4x3 + 3x = determine f (iv).
28
b) Calcule a derivada terceira da função y 
1
x 4
2
x
c) Se f(x) = e 2 , calcule f n(x).
Diferenciação Implícita:
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma função
explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função
do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que
y é uma função implícita de x.
Considere, por exemplo, a equação y = 2x2 – 3. Observe que y é uma função explícita
de x, pois podemos escrever y = f (x), onde f (x) = 2x2 – 3. A equação 4x2 – 2y = 6 define a
mesma função, pois isolando y obtemos y = 2x2 – 3. Quando escrita na forma 4x2 – 2y = 6,
dizemos que y é uma função implícita de x.
29
OBS: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em x e y pode definir
mais de uma função implícita.
Exemplo: A equação x2 + y2 = 1 pode definir várias funções implícitas, tais como

 1  x 2 ,  1  x  0,3
y  1 x2 , y   1 x2 , y  
2

 1  x , 0,3  x  1
seus gráficos:
, dentre outras. Vejamos os
y
y
y


x


x


x




Derivada da função implícita
Suponha que f(x, y) = 0 define implicitamente uma função derivável y = f(x).
Utilizando a regra da cadeia, podemos determinar y' sem explicitar y.
Exemplos:
a) Dada a equação 4x2 – 2y = 6, determine y’(x).
Obs: y é função de x, podemos escrever a equação como 4x2 – 2y(x) = 6.
b) Derive a equação x2 y + 2y 3 = 3x + 2y.
c) exy + ln(x + y) = 1 + sen x
30
d) Utilizando derivação implícita, mostre que se y = arcsen x, então y ’(x)=
e) Seja (x0, y0) =

1
1 x2

2, 2 . Determine a equação da reta tangente ao gráfico da equação
x2 + y2 = 4.
Exercícios
1. Calcule dy/dx por derivação implícita:
a) x 2  y 2  25
d) 2 x  y   x
3
b) x 3  y 3  xy
e) 5x  x 2 y 3  2 y
1 1
 1
x y
f) ln y  tg x  xy 2
c)
2. Utilizando derivação implícita, que se y = arc cos x, então y’(x) =
1
1 x2
.
31