Lista de Exercícios de Recuperação do 2° Bimestre Lista de

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Lista de Exercícios de Recuperação do 2° Bimestre
Instruções gerais:
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Resolver os exercícios à caneta e em folha de papel almaço ou monobloco (folha de fichário).
Copiar os enunciados das questões.
Entregar a lista de exercícios no dia da avaliação de recuperação da disciplina.
Não se esqueça de colocar nome, número e série.
A lista de exercícios vale 2,0 (dois pontos).
Capriche e bom trabalho!
Lista de exercícios de Recuperação de Matemática 3º E.M.
1) Seja o número complexo z = 1 + i. O argumento principal de z² é:
A) 30º
B) 45º
C)
0º
D) 90º
E) 120º
D) -64 + 7i
E) -65 + 6i
2) O número complexo z = 6i25 + (2i)6 + (i) 3 é igual a:
A) 65 – 6i
B) 5 – 64 i
C) -64 + 5i
3) Se z = a + bi e r = c + di são dois números complexos pode-se afirmar que:
A)
B)
C)
D)
E)
r será o conjugado de z se c = -a e d = -b.
r será igual a z se a = d e b = c.
r será oposto de z se a = -c e b = -d.
r nunca será conjugado de z.
Se b = d, então z = r.
4) (UEL-PR) Um número complexo z é tal que 2iz + z . z = 3 – 4i. Nessas condições, imagem de z
no plano de Gauss é um ponto que pertence ao:
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) quarto quadrante
d) terceiro quadrante
e) segundo quadrante
5) (UFSM-RS) Das afirmativas:
I) Dois números complexos julgados possuem o mesmo módulo.
II) O quadrado da unidade imaginária é igual a um.
III) O módulo da unidade imaginária é igual a um.
a) Todas são verdadeiras
b) Todas são falsas
c) Somente a segunda é verdadeira
d) Apenas uma delas é falsa
e) Nenhuma resposta anterior
i 3  i 2  i17  i 35
corresponde ao numero complexo:
i 16  i13  i 30
b) -1 +i
c) -1 –i
d) 1-i
6) (Fafi-BH) A fração
a) 1+i
7) (PUC-SP) Um número complexo z e seu conjugado z são tais que
z + z = 4 e z - z = -4i. Nessas condições, a forma trigonométrica de z 2 é:
e) 2 +i
3
3 

a) 8.  cos
 isen 
2
2 




b) 8.  cos  isen 
2
2

7
7 

c) 8.  cos
 isen

4
4 




d) 4.  cos  isen 
2
2

3
3 

 isen 
e) 4.  cos
2
2 

8) Sabendo-se que w = 2 – i, a FIGURA formada pelos afixos de todos os complexos z tais que
z  w = 2 está expressa em:
A)
D)
B)
E)
C)
9) Na figura abaixo, os vértices A, B, C e D do quadrado de lado 2 e centro 0
representam, no plano de Argand-Gauss, as raízes quartas do número
complexo z.
Se o ângulo entre o segmento AO e o eixo real é de 15º, qual é, na forma
algébrica, o número complexo z?
a) z  2  2i 3
b) z  2  2i 3
c) z  3  3i 2
d) z  3  2i 2
e) z  2  2i 2
10) Dada a equação do 2º grau x² - 4x + 5 = 0 determine suas raízes.
11) O holandês Antonie Van Leeuwenhoek, inventor do microscópio, ao observar os glóbulos
vermelhos do sangue, no ano de 1673, descreveu-os como pequenos corpos redondos. Um século
depois, o fisiologista inglês William Hewson, usando um microscópio com maior capacidade de
aumento, notou que essas células eram achatadas, como se fossem discos. Atualmente, esses
glóbulos foram até fotografados e sua forma é descrita, matematicamente, como a figura obtida pela
rotação, em torno do eixo Oy, do gráfico da função polinomial real de variável real
f(x) = x² - 6x + 13.
PAIVA, Manoel, Matemática, Volume Único - São Paulo: Moderna,2003
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:
a) as raízes da equação f(x) = 0, sendo U = C (Conjunto dos Números Complexos).

7
b) z , sendo z o conjugado do número complexo z = i 2 .
12) Uma aplicação importante da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica é
possibilitar a rotação de coordenadas no plano, que é uma aplicação importante à Geometria. Na
multiplicação de dois complexos na forma trigonométrica multiplicam-se os módulos e somam-se
os argumentos. Portanto, se um ponto P(x, y) deve ser rotacionado, em relação à origem, em graus
no sentido anti-horário, basta multiplicar o número complexo x + yi pelo complexo
1(cosα + i.senα). A partir do ponto P(3, 4), após uma rotação de 90º no sentido anti-horário, em
relação à origem obtém-se o ponto P’. Determine as novas coordenadas do ponto P’. Desenhe o
plano complexo com os pontos P e P’.
13) Em meados do século XVI, quando a ciência européia ainda discutia a validade do emprego dos
números irracionais e negativos, Gerônimo Cardano (1501-1576), eminente matemático, médico e
físico, publicou a obra Ars Magna, na qual - ao escrever que, se alguém procurar dividir 10 em duas
partes, de modo que seu produto seja 40, verificará que isso é impossível - lançou as bases para o
desenvolvimento da Teoria dos Números Complexos, com infindáveis aplicações práticas,
principalmente no ramo da eletrônica.
Com base nessa teoria, determine dois números cuja soma seja -4 e o produto seja 8, representandoos na forma trigonométrica.
14) Dados os complexos:
a)
z1 = 6(cos 85º +i sen 85º)
z2 = 3(cos 25º + i sen 25º), calcule:
z1
z2
b)
z2
z1
15) (UERJ) Os afixos de três números complexos são equidistantes de (0, 0) e vértices de um
triângulo equilátero. Um desses números é 1 + i 3 . Calcule os outros números na forma algébrica.
16) Determine o conjunto solução das equações:
a) x³ + x = 0
b) x³ - 4x² + 3x = 0
17) (UFpel-RS) A resolução, discussão e formação de equações algébricas é um dos tópicos da
Álgebra elementar que cedo despertou a argúcia e o talento dos maiores matemáticos, sobretudo os
do século XIX. Atualmente, a Teoria das Equações Algébricas constitui um estudo fascinante, em
Álgebra. Entre os tópicos mais simples, figura o de formar a equação quando são conhecidas as
raízes. Há várias técnicas para resolução de problemas desse tipo. Assim sendo, proponho a você o
seguinte:
´´Qual é a equação do 4º grau cujas raízes são 1, 2, 3, e 4?``
18) (UEMA) Uma indústria de alumínio produz lingotes que são embalados em caixas com
dimensões padronizadas para entrega a um cliente internacional. No momento de preparar a entrega
de uma grande encomenda, verifica-se que a quantidade de lingotes disponíveis é dada pela função
real E(x) = x 3 + rx + s, onde r e s são coeficientes de ajustes da produção e que a capacidade de
cada caixa padronizada é C (x) = x 2 + x + 1, também uma função real. Determine os coeficientes r
e s para que todas as caixas fiquem perfeitamente cheias e não haja sobra de lingotes.
19) Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = x 3 + 7 x 2 - 2x + 5 por Q(x) = x + 3.
20) Determine k de modo que o número complexo z = (k + 5) – 4i seja imaginário puro.
21) Ache m para que o número complexo z = 1 + ( m 2 - 81)i seja um número real.
22) Determine x e y, para que o número complexo z = (x +6) – ( Y 2 - 16)i seja:
a) um número real
b) um número imaginário
23) Sendo z1 = 2x + y + 6i e z 2 = 5 + (x + 4y)i, determine x e y de modo que z1 = z 2 .
24) Considere o número complexo z = (2x - 6) + (y +7)i. Determine os números reais x e y, tais que
z = 0.
25) Efetue:
a) (5 + i) (2 - i)
b) (-1 + 2i) (3 + i)
 1  1 
c)   i   i 
 2  2 
26) Efetue:
a) (1 +i) (2 - i) (3 + 2i)
b)
2  3i 1 2i
c) (-1 +3i) (1 - i) – 2i (5 +2i)



27) Calcule:
a)
2i
5  3i
b)
5i
i
c)
i
2  3i
d)
3i
3 1
28) Calcule:
a) i 5  i 2
c) i 280  i 281
b) i 9  i 11
d) i123  i 180
29) Determine o módulo dos seguintes números complexos:
a) z = 4 – i
b) z = - 5i
d) z =
1 1
 i
2 3
e) z = 8
c) z =
2 +i
f) z = 0
30) Determine o argumento dos complexos a seguir e faça sua representação geométrica:
a) z = 1 – i
b) z = 2 +2 3 i
c) z = 4i
d) z = -2 + 2 3i