P2 F´ısica III

P2 '
Fı́sica III
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Escola Politécnica - 2006
FGE 2203 - GABARITO DA P2
&
25 de maio de 2006
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Questão 1 Constrói-se um resistor pela moldagem de um material de resistividade ρ, na forma de um
cilindro oco de comprimento L e raio interno a e externo b, como mostra a figura.
a
b
L
(a) (1,0 ponto) O resistor opera com uma diferença de potencial entre as bases do cilindro
percorrido por uma corrente paralela ao eixo. Achar uma expressão geral da resistência
deste resistor em termos de L, ρ, a e b.
(b) (1,5 ponto) Suponha agora que a diferença de potencial seja aplicada entre as superfı́cies
laterais, interna e externa, de modo que a corrente flui radialmente, para fora no resistor.
Achar uma expressão geral da resistência do resistor em termos de L, ρ, a e b.
1
SOLUÇÃO dR = ρ
I
I
a
(a)
dx
A
A = π(b2 − a2 )
onde
b
·
0
L
· ·
x
R=
R=ρ
L
0
dx
ρL
=
2
A
π(b − a2 )
ρL
− a2 )
π(b2
dR = ρ
~ da
direcao
corrente
dx
A(r)
onde
A(r) = 2πrL
~
dr
Z
Assim, dR =
(b)
R=
ρ
R=
ln
2πL
2
Z
b
a
b
a
ρ
dR =
2πL
Z
a
b
ρ dr
2πL r
dr
ρ
=
ln
r
2πL
b
a
Questão 2 Uma bobina quadrada de lado ℓ é constituı́da por N espiras, sendo I a corrente que percorre
cada espira. Ela pode girar em torno de um eixo y, conforme vemos na figura e está submetida
~ = Bı̂.
a um campo magnético uniforme B
y
I
b
c
B
z
I
I
O
a
x
d
I
(a) (1,0 ponto) Calcule as forças magnéticas sobre os lados da bobina.
(b) (1,0 ponto) Calcule o torque em torno do eixo y de cada uma das forças que atuam nos
lados da bobina e o torque total.
(c) (0,5 ponto) Qual é o momento magnético ~µ da bobina? Escreva o torque ~τ em função de
~
~µ e B.
3
SOLUÇÃO (a) Definindo I ∗ ≡ NI, temos


~ = I ∗ (ℓ ̂) × (B
~ ı̂) = −I ∗ ℓB k̂

F~ab = I ∗ ~ℓab × B



~ = I ∗ (−ℓ ̂) × (B
~ ı̂) = I ∗ ℓB k̂
F~cd = I ∗ ~ℓcd × B




 F~bc = F~ad = ~0 pois ~ℓbc e ~ℓad são paralelos a B
~
(b)
k
+
j
lado ab

ℓ

~
~

~
τ
ab = ℓ1 × Fab = − Fab ̂


2

Fcd
i
+




 ~τcd = ~ℓ2 × F~cd = − ℓ Fcd ̂
2
lado cd
Fab
1
2
ℓ
~τ = ~τab + ~τcd = − (Fab + Fcd ) ̂ = −I ∗ ℓ2 B ̂
2


 ~ℓ1 = − ℓ ı̂
2
ℓ

~
 ℓ2 = ı̂
2
·
· ·
~τ = −I ∗ ℓ2 B ̂
(c)
~ = −I ∗ ℓ2 k̂ = −µk̂
~µ = Itotal A
~ = (−µk̂) × (Bı̂) = −µB̂ = −I ∗ ℓ2 B ̂
~τ = ~µ × B
4
Questão 3 Um fio é dobrado de forma a constituir um triângulo equilátero de lado a no qual circula uma
corrente I, veja a figura
y
C
I
If
A
B
x
~ em C, devido à corrente circulando no triângulo.
(a) (1,5 ponto) Calcule o campo magnético B
(b) (1,0 ponto) Admita agora, adicionalmente, que um fio retilı́neo infinito passando por B,
paralelo ao eixo y, conduza uma corrente If (a corrente do fio é independente da corrente
no triângulo). Qual deve ser o módulo e o sentido da corrente If no fio para que o campo
em C seja nulo?
5
SOLUÇÃO (a) Para calcular o campo usaremos a lei de Biot-Savart
~ =
dB
µ0 I d~ℓ × r̂
.
4π r 2
Os lados AC e BC não contribuem porque nos dois casos d~ℓ k r̂.
y
~ aponta na direção de k̂
Para o lado AB, dB
C
dB
~ =
dB
r
A
dl
h=a 3
2
z
µ0 I
sen(θ) dx k̂.
4πr 2
Vamos expressar r e x em função de θ.
B
x
r=
h
,
sen(θ)
x = −h cot(θ) ⇒ dx = h csc2 (θ)
~ =
dB
=⇒
~ = µ0 I
B
4πh
Z
2π/3
sen(θ)dθ k̂ =
π/3
µ0 I
k̂
4πh
√
3
µ
I
µ
I
0
0
~ =
k̂ =
k̂
B
4πh
6πa
(b) O campo produzido pelo fio infinito no ponto C é
~ = µ0 If k̂ ,
B
2πd
onde
d=
~ produzido pelo fio, a corrente
Para cancelar o campo B
If =
e deve fluir no sentido do vetor −̂.
6
√
3
I
6
a
.
2
µ0 I
sen(θ)dθ k̂
4πh
Questão 4 Em um condutor cilı́ndrico maciço de raio R passa uma corrente I cuja densidade J varia
linearmente com a distância ao eixo do cilindro: J = α r.
r
R
(a) (1,0 ponto) Expresse α em função de I e R.
~ para r < R.
(b) (1,0 ponto) Calcule o vetor B
~ para r > R.
(c) (0,5 ponto) Calcule o vetor B
7
SOLUÇÃO (a) A corrente I é dada por
I=
Z
~=
J~ · dA
Z
R
(αr)(2πrdr) =
0
=⇒ α =
2πR3 α
3
3I
2πR3
(b) O campo tem simetria cilı́ndrica. Usando a lei de
Ampère com o percurso pontilhado C da figura
obtemos para r < R:
J
I
C
r
~ · d~ℓ = B(r)2πr = µ0 I(r) ,
B
onde
B
I(r) =
Z
r
(αr)(2πrdr) =
0
=⇒ B =
µ0 r 2 α
µ0 Ir 2
=
3
2πR3
(c) Se r > R, a corrente que atravessa uma superfı́cie limitada por C é I.
I
~ · d~ℓ = B(r)2πr = µ0 I =⇒ B = µ0 I
B
2πr
8
2πr 3 α
.
3