Transformada de Laplace - Tabela - DT

Transformada de Laplace
Transformada de Laplace - Tabela
Observação
Domı́nio do Tempo
constante
k
eat
eat × f unção(t)
eat f (t)
n∈N
t
n
p > −1
tp
sen(at)
cos(at)
senh(at)
cosh(at)
eat sen(bt)
eat cos(bt)
tn eat
n∈N
convolução
d
f (t)
dt
d
F (s)
ds
Rt
0
f (t − τ )g(τ )dτ
Fábio Pereira Benjovengo
Domı́nio da Freqüência
k
s
1
s−a
L{f (t)}|s=s−a
n!
n+1
s
Γ(p + 1)
sp+1
a
s2 + a2
s
s2 + a2
a
s2 − a2
s
2
s − a2
b
(s − a)2 + b2
s
(s − a)2 + b2
n!
(s − a)n+1
condição
s>0
s>a
dependente de F (s)
s>0
s>0
s>0
s>0
s > |a|
s > |a|
s>a
s>a
s>a
F (s)G(s)
f (n) (t)
sn F (s) − sn−1 f (0) − . . . − f (n−1) (t)
(−t)n f (t)
F (n) (s)
2o. semestre de 2006
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Transformada de Laplace
1 Definição
A transformada de Laplace unilateral de um sinal x(t) é definida como
Z ∞
x(t)e−st dt,
X(s) = L{x(t)} =
(1)
0
sendo que t ∈ R e s ∈ C (s = σ + jω). Existe uma transformada de Laplace bi-lateral obtida substituindo o
limite de integração inferior de (1) por −∞. Porém, como estamos interessados em analisar apena sistemas
causais (um sistema é dito causal se sua resposta à entrada do tipo degrau não começa a ocorrer antes da aplicação da
entrada), usamos a transformada unilateral.
2 Existência da Transformada de Laplace
É possı́vel encontrar a transformada de Laplace de um sinal x(t) sempre que este apresentar ordem exponencial. Assim, existe um número real B < ∞ tal que
lim x(t)e−Bt = 0.
t→∞
Como um exemplo, considere o sinal x(t) = Aeαt (observe que este sinal apresenta transformada de
Laplace para qualquer A e α). A transformada de Laplace da função exponencial (causal) x(t)
Aeαt , para t ≥ 0
x(t) =
,
0, para t < 0
é dada por
X(s)
=
Z
∞
x(t)e−st dt =
0
=
Z
∞
Aeαt e−st dt = A
Z
∞
e(α−s)t dt =
0
0
A (α−σ−jω)∞
A
e
−
α−s
α−s
Portanto
t=∞
A (α−s)t =
e
α−s
t=0
A
, para σ > α,
s
−
α
X(s) =

 (indeterminado), para σ = α,
∞, para σ < α.



(2)
Observação: se a parte real da freqüência complexa s for menor do que α, diz-se que este s não pertence ao
domı́nio da função. Portanto, como a aplicação do Teorema do Valor Final necessita fazer s = 0 (σ = 0), é importante
verificar o domı́nio da função antes de sua aplicação. Exemplo: o Teorema do Valor Final não pode ser aplicado, por
exemplo, para o sinal x(t) = e2t ; neste caso, o ponto s = 0 está fora do domı́nio da função (s > 2).
O domı́nio de uma função em s são os valores de s para os quais a função X(s) é analı́tica.
Para funções fracionais polinomiais (como as transformadas de Laplace consideradas neste curso), o cálculo do
domı́nio de s é facilitado. Para tais funções, basta calcular os pólos do sinal transformado em Laplace (X(s)) e
encontrar o pólo com maior parte real (maior σ - não em módulo). Caso o maior σ (chamado de σmax ) seja maior do
que 0, o domı́nio de s é s > σmax ; caso σmax < 0, o domı́nio de s é s ≥ 0.
Fábio Pereira Benjovengo
2o. semestre de 2006
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