Movimento Oscilatório
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Movimento Oscilatório
MOVIMENTO OSCILATÓRIO Força proporcional ao deslocamento Movimento periódico ou oscilatório Conservação da energia mecânica Movimento harmónico simples MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) • Um movimento diz-se do tipo harmónico simples, quando é representado pela expressão: x = A cos(ωt + φ ) A – amplitude máxima do movimento. φ - fase inicial do movimento. ω - frequência angular • Ao conjunto (ω t+φ) dá-se o nome de fase • Ao tempo que demora uma partícula a executar um ciclo completo dá-se o nome de período T. • Usando esta definição e o facto de um ciclo corresponder a 2π é possível deduzir a relação, substituindo na expressão x(t) o tempo por t+T: ω= 2π T • A frequência é definida como o inverso do período: f = 1 T 1 • Para determinar a velocidade e a aceleração de uma partícula em MHS: vmáx = ωA dx = −ωAsen(ωt + φ ) dt dv a= = −ω 2 A cos(ωt + φ ) dt v= amáx = ω 2 A a = −ω 2 x • As relações de fase entre estas grandezas são dadas pelo gráfico: • Para calcular A em função de v0, x0 e ω , usar as expressões: x0 = A cosφ e v0 = −ωAsenφ • E obtém-se: v tgφ = − 0 ωx0 e v A = x + 0 ω 2 2 0 MASSA LIGADA A UMA MOLA • Atendendo a que uma massa ligada a uma mola está sujeita a uma força: F = −kx e comparando com os resultados obtidos para o MHS, facilmente se conclui que, para este sistema: ω= k m e, portanto : T = 2π m k 2 • Sejam analisados dois casos distintos: CASO I: A massa é puxada até um deslocamento x0 e largada sem velocidade inicial. x = A cos ωt v = − Aωsenωt a = − Aω 2 cos ωt CASO II: É conferida uma determinada velocidade à massa, v0, a partir da posição de equilíbrio. x= v0 sen ω t ω v = v0 cosωt a = −ω v0 sen ω t • Os pêndulos simples, os estados vibracionais das moléculas, os campos electromagnéticos podem também ser descritos, sob determinadas condições, por este formalismo. ENERGIA DE UMA MASSA LIGADA A UMA MOLA (OHS) • Admitindo que não existe atrito no movimento de uma massa ligada a uma mola, então a soma das energias cinética e potencial, mantém-se constante: EC + E P = 1 1 mv 2 + kx 2 = c te 2 2 • Obtendo-se: EM ( OHS ) = 1 2 kA 2 • Como resumo, poderemos usar o seguinte quadro: t x v a EC EP 0 A 0 -ω2 A 0 0.5kA2 T/4 0 -ωA 0 0.5kA2 0 T/2 -A 0 ω2 A 0 0.5kA2 3T/4 0 ωA 0 0.5kA2 0 T A 0 -ω2 A 0 0.5kA2 3 MOVIMENTO OndulaTÓRIO Ondas mecânicas Quanto à relação entre a direcção de propagação e a direcção da perturbação das partículas do meio, podem ser: 1) ondas longitudinais 2) ondas transversais Exigem: 1) uma fonte 1) 2) um meio que possa ser perturbado 3) uma forma de ligação entre as partículas que constituem esse meio São caracterizadas por: 1) amplitude – deslocamento máximo das partículas 2) comprimento de onda – distância mínima entre quaisquer dois pontos da onda que estejam no mesmo estado 3) frequência – número de ciclos por unidade de tempo 4) velocidade de propagação da onda Exemplo de onda longitudinal Exemplo de onda transversal PROPAGAÇÃO DE ONDAS A UMA DIMENSÃO • Uma onda que se propaga tem um movimento caracterizado por uma função do tipo (admitindo que a onda se propaga no sentido positivo do eixo), à qual se dá o nome de função de onda: y = f ( x − vt ) 4 • Reparar que neste tipo de movimento temos a considerar duas velocidades: a velocidade de propagação e a velocidade linear das partículas do meio. SOBREPOSIÇÃO E INTERFERÊNCIA DE ONDAS • Na propagação de ondas é, em geral, válido o princípio da sobreposição: “Quando uma ou mais ondas partilham simultaneamente o mesmo espaço, a função de onda resultante é a soma algébrica das funções de onda individuais.”. Ou seja, não existe destruição de ondas por interferência com outras ondas. Interferência construtiva Interferência destrutiva PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM CORDAS • A propagação de ondas em cordas obedece à expressão: v= T µ , onde v é a velocidade de propagação da onda, T a tensão da corda e µ a densidade de massa da corda por unidade de comprimento. • Para a demonstrar atente-se na figura seguinte, admitindo que uma pequena porção da corda pode ser aproximada a um arco de circunferência e que a aceleração, sendo normal, será dada por v2/r. Admita-se ainda que, para ângulos pequenos, sen(α) ≅ α. 5 REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS • O aparecimento de uma fronteira na propagação de ondas pode causar reflexão total ou parcial da energia transportada pela onda: Exemplos de reflexão total 6 Exemplos de reflexão parcial ONDAS SINUSOIDAIS • Uma classe importante de ondas são as chamadas ondas sinusoidais, cuja função de onda, quando esta se propaga segundo o sentido positivo do eixo, tem a expressão,: 2π y = Asen (x − vt ) , onde A é a amplitude e λ o comprimento de onda. λ • Neste caso o período da onda é o tempo que a onda leva a percorrer um comprimento de onda e, portanto, temos a relação: v= λ T • O carácter periódico da onda é evidenciado quando a função de onda toma a forma: x t y = Asen 2π − , y repete-se para x = nλ e para t = nT. λ T • Introduzindo as variáveis: 2π 2π k = ω = = 2πf , a função de onda, toma a nº de onda: e frequência angular: λ T forma: y = A sen( kx − ω t ) • Repare-se que nas expressões anteriores y = 0, para t = 0 e para x = 0, numa situação mais geral: y = Asen( kx − ωt − φ ) • Reparar que, uma vez mais, é possível obter a expressão da velocidade linear das partículas e a sua aceleração, por derivação de y. v = − wA cos(kx − ωt − φ ) e a = − w2 Asen( kx − ωt − φ ) 7
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