Movimento Oscilatório Forçado

oscilador_forcado.nb
1
Movimento Oscilatório Forçado
Esboço da situação física
G
Fatrito = − b v uˆ x
G
Fmola = − k x uˆ x
G
ˆx
F
m
ext. = F0 cos ω t u
k
X
x
0
Equação para o oscilador amortecido forçado
2
d x
dx
m
+ k x = F0 cos ( ωt )
2 + b
dt
dt
′′
′
2
x + 2 γ x + ω0 x =
F0
m
cos ( ωt )
Limpando todas as variáveis
Unprotect@"Global`∗"D;
ClearAll@"Global`∗"D;
RemoveAll@"Global`∗"D;
Unprotect@OutD; Clear@OutD; Protect@OutD;
Unprotect@InD; Clear@InD; Protect@InD;
Off@General::"spell1"D;
Off@General::"spell"D;
$Line = 0;
Abrindo pacotes gráficos
<< Graphics`Colors`
<< Utilities`CleanSlate`
CleanSlate@D
HCleanSlateL Contexts purged: 8Global`<
HCleanSlateL Approximate kernel memory recovered: 21 Kb
8Utilities`CleanSlate`, Graphics`Colors`, Global`, System`<
oscilador_forcado.nb
2
Selecionando o diretório onde será
carregado o "template" deste notebook
diretorio = DirectoryName@
ToFileName@
"FileName" ê.
NotebookInformation@
EvaluationNotebook@DDDD;
$Path = Append@$Path, diretorioD;
Definindo os parâmetros da função Plot
SetOptions@Plot,
GridLines →
88Automatic, [email protected], White<<,
8Automatic, [email protected], White<<<,
AxesStyle →
88Thickness@2 ê 200D, Yellow<,
8Thickness@2 ê 200D, Yellow<<,
Background −> Black,
AspectRatio → 1 ê 2,
Frame → True,
ImageSize → 8650, 400<,
TextStyle → 8FontFamily −> "Helvetica",
FontSize → 18,
FontWeight −> "Bold"<D;
Equação do sistema amortecido forçado
′′
′
2
x + 2 γ x + ω0 x =
F0
m
cos ( ωt )
Solução da equação acima
x (t) = A h e
−γt
A=
(
)
cos ω1 t + α h + A cos ( ω t − φ )
F0 / m
(
2
ω0 − ω
φ = tg
−1
2
)
2
2
+4γ ω
⎛ 2γω
⎜ 2
⎜ ω − ω2
⎝ 0
⎞
⎟
⎟
⎠
2
oscilador_forcado.nb
3
Definindo a equação a ser resolvida
2
d x
dx
+ 13 x = cos ( ωt )
2 + 4
dt
dt
equacao =
DSolve@8x @tD + 4 x @tD + 13 x@tD == Cos@tD,
x@0D == 0, x @0D == 1<, x@tD, tD êê FullSimplify
99x@tD →
1
−2 t
40
H−3 Cos@3 tD +
2t
H3 Cos@tD + Sin@tDL + 11 Sin@3 tDL==
Solução da equação acima
equacao1 =
equacao@@1, 1, 2DD êê ComplexExpand êê FullSimplify
1
−2 t
40
H−3 Cos@3 tD +
2t
H3 Cos@tD + Sin@tDL + 11 Sin@3 tDL
Plotando a solução completa da equação
curva1 = Plot@equacaoP1, 1, 2T, 8t, 0, 5 π<,
PlotStyle −> [email protected], Red<D
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Graphics
Solução da equação completa
x (t) = A h e
−γt
(
)
cos ω1 t + α h + A cos ( ω t − φ )
oscilador_forcado.nb
4
Plotando a solução particular
H3 Cos@tD + Sin@tDL, 8t, 0, 4 π<,
40
PlotStyle −> [email protected], Green<E
curva2 = PlotA
1
0.075
0.05
0.025
0
-0.025
-0.05
-0.075
0
2
4
6
8
10
12
Graphics
Solução da equação completa
x (t) = A h e
−γt
(
)
cos ω1 t + α h + A cos ( ω t − φ )
Plotando a solução da homogênea
curva3 =
PlotA−
1
E−2 t H3 Cos@3 tD − 11 Sin@3 tDL, 8t, 0, 2 π<,
40
PlotStyle −> [email protected], Magenta<,
PlotRange −> AllE
oscilador_forcado.nb
5
0.1
0.075
0.05
0.025
0
-0.025
-0.05
-0.075
0
1
2
3
4
5
6
Graphics
Mostrando as soluções homogênea e particular
x (t) = A h e
−γt
(
)
cos ω1 t + α h + A cos ( ω t − φ )
Show@curva1, curva2, curva3D
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Graphics
Mostrando a soma das soluções
homogênea e particular
x (t) = A h e
−γt
(
)
cos ω1 t + α h + A cos ( ω t − φ )
oscilador_forcado.nb
6
curva4 =
PlotA
1
40
1
H3 Cos@tD + Sin@tDL −
E−2 t H3 Cos@3 tD − 11 Sin@3 tDL, 8t, 0, 5 π<,
40
PlotStyle −> 8Thickness@2 ê 200D, Magenta<,
PlotRange → AllE
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
2.5
5
7.5
10
12.5
Graphics
Final do notebook
15