Trigonometria do Triângulo Retângulo Prof. Ulysses Sodré

Transcrição

Elementos de Matemática
Trigonometria do Triângulo Retângulo
Roteiro no.5 - Atividades didáticas de 2007
Versão compilada no dia 9 de Maio de 2007.
Departamento de Matemática - UEL
Prof. Ulysses Sodré
E-mail: [email protected]
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas construı́das com materiais utilizados em nossas
aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um
roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir
qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros
citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em
português, há pouco material de domı́nio público, mas em inglês existem
diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que
o leitor faça pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘No princı́pio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o
Verbo era Deus. Ele estava no princı́pio com Deus. Todas as coisas foram
feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele
estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e
as trevas não prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo
foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que
era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,
aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de
Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da
vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre
nós, cheio de graça e de verdade...’
A Bı́blia Sagrada, João 1:1-5,10-14
Resumo dos principais
conceitos da trigonometria
aplicados à Topografia
CAPÍTULO
1
Trigonometria do triângulo retângulo
1.1
Trigonometria e aplicações
Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no
triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental.
Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado
no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antigüidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossı́veis de serem
calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são:
1. Determinação da altura de um certo prédio.
Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
1.2. TRIÂNGULO RETÂNGULO
2
2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo
muito simples.
3. Seria impossı́vel se medir a distância da Terra à Lua, porém com a
trigonometria se torna simples.
4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma
ponte, o trabalho dele é facilitado com o uso de recursos trigonométricos.
5. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possı́vel calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
1.2
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede
noventa graus, daı́ o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 1800 , então os outros dois ângulos
medirão 900 .
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 900 , estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo
possui dois ângulos complementares.
Ver mais detalhes em triângulos
1.3
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes
são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto
ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes
a ele) são os catetos.
Termo
Origem da palavra
Cateto
Cathetós: (perpendicular)
Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo)
1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS
3
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra
a
b
c
Nome do lado
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Vértice = Ângulo
A = Ângulo reto
B = Ângulo agudo
C = Ângulo agudo
Medida
A = 900
B < 900
C < 900
Ver mais detalhes em ângulos
1.4
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação
ao ângulo sob análise. Se estamos usando o ângulo C, então o lado oposto,
indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo
C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto
Lado adjacente
C
c cateto oposto b cateto adjacente
B
b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar o uso de conceitos matemáticos
no nosso cotidiano.
Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo
retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
1.5. PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1.5
4
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos
agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa
(lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo
que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem
3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos.
A outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura
relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular
à base.
1.6
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB,
indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c
sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b
sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
1.7. PROJEÇÕES DE SEGMENTOS
1.7
5
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no inı́cio
deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma
sombra que é a projeção oblı́qua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possı́vel
obter as projeções destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situações apre-
sentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A0 B 0 , sendo que
no último caso A0 = B 0 é um ponto.
1.8
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m + n.
4. h = média geométrica entre m e n.
Ver mais detalhes em média geométrica
1.9. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1.9
6
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triângulo retângulo ABC
em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo
A será decomposto na soma dos ângulos CAD = B e DAB = C.
Os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo
ABC
ADC
ADB
hipotenusa
a
b
c
cateto maior cateto menor
b
c
n
h
h
m
Assim:
a
b
c
=
=
b
n h
b
c
a
=
=
c
h m
n
h
b
=
=
c
h m
logo:
a
c
a
b
a
c
h
m
c
equivale a
m
b
=
equivale a
n
b
=
equivale a
h
n
=
equivale a
h
=
ac2 = a.m
ab2 = a.n
aa.h = b.c
ah2 = m.n
1.10. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
7
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a = m + n,
somando c2 com b2 , obtemos:
c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a2
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a2 = b 2 + c 2
Esta é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
1.10
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do
triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes
da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. Indicamos o ângulo pela letra
x, o cateto oposto ao ângulo x por CO, o cateto adjacente ao ângulo x por
CA, a hipotenusa do triângulo por H e m(Z) a medida do segmento Z.
Função
Notação Definição
m(CO)
seno
sin(x)
m(H)
m(CA)
cosseno
cos(x)
m(H)
m(CO)
tangente tan(x)
m(CA)
Tomando um triângulo retângulo ABC, tal que m(H) = 1, o seno do ângulo
x sob análise é a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu
cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão
entre o seno e o cosseno desse ângulo.
m(CO) m(CO)
=
H
1
m(CA) m(CA)
cos(x) =
=
H
1
sin(x)
m(CO)
=
tan(x) =
m(CA)
cos(x)
sin(x) =
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a
relação:
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
CAPÍTULO
1
Elementos gerais sobre Trigonometria
1.1
O papel da trigonometria
Trigonometria é uma palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos
(ângulos) e metron (medir). Daı́ vem seu significado mais amplo: Medida dos
Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessı́veis,
como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas
ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso
na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos fı́sicos, Eletricidade,
Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
1.2
Ponto móvel sobre uma curva
Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre
esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto
fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a
curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
1.3. ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA
2
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A
pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção,
o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como
sentido positivo.
1.3
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M , ele
descreve um arco AM . O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade
do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco
orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso
for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A
e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B
as suas extremidades.
1.4
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro
arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um
arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número
de vezes que o arco u cabe no arco AB.
1.5. O NÚMERO PI
3
Na figura seguinte, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u.
Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por
m(u), temos m(AB) = 5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer sentido, sendo
que a medida algébrica de um arco AB desta circunferência é o comprimento
deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B é antihorário, e negativo se o sentido é horário.
1.5
O número pi
Em toda circunferência, a razão entre o perı́metro e o diâmetro é uma constante denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, que não
pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação
para o número π é dada por:
π = 3, 1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre pi, podem ser obtidas na página Áreas de regiões
circulares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm
1.6
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas
existem outras medidas utilizadas por técnicos como o grau e o grado. Este
último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco cujo comprimento é o mesmo que o raio da
circunferência que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem
comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.
1.7. ARCOS DE UMA VOLTA
4
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da
circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, tomamos:
comprimento do arco(AB)
= 12/8 = 1, 5 rad
m(AB) =
comprimento do raio
1.7
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a
medida do arco é igual a C = 2πr, então:
comprimento do arco(AB) 2πr
m(AB) =
=
= 2π
comprimento do raio
r
A medida em radianos de um arco de uma volta completa é 2π rad, isto é,
2π rad = 360 graus.
Temos as seguintes situações usuais:
90 graus
180 graus 270 graus 360 graus
100 grados 200 grados 300 grados 400 grados
π/2 rad
π rad
3π/2 rad
2π rad
Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.
CAPÍTULO
2
O cı́rculo trigonométrico
2.1
Cı́rculo Trigonométrico
Seja uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema
cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A será tomado como a
origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os
seus pontos interiores, é denominada cı́rculo trigonométrico.
Em livros de lı́ngua inglesa, a palavra cı́rculo se refere à curva envolvente da
região circular enquanto circunferência de cı́rculo é a medida desta curva. No
Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o cı́rculo trigonométrico em quatro quadrantes
que são enumerados como segue:
2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA
Quadrante
P rimeiro
Segundo
T erceiro
Quarto
abscissa
positiva
negativa
negativa
positiva
7
ordenada
α
o
positiva
0 < α < 90o
positiva
90o < α < 180o
negativa 180o < α < 270o
negativa 270o < α < 360o
Os quadrantes são usados para localizar pontos e caracterizar ângulos para uso
em trigonometria. Por convenção, os pontos sobre os eixos não pertencem a
qualquer um dos quadrantes.
2.2
Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas
são maiores do que 360o . Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto
A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M ,
ele descreve um arco AM . A medida deste arco (em graus) poderá ser menor
ou igual a 360o ou ser maior do que 360o . Se esta medida for menor ou igual
a 360o , dizemos que este arco está em sua primeira determinação.
Assim, o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes
em um certo sentido, antes de parar no ponto M , determinando arcos maiores
do que 360o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos
mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o
ponto M .
2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA
8
Se AM é um arco cuja primeira determinação mede m, então um ponto móvel
que parte de A e pare em M , pode ter várias medidas algébricas, dependendo
do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica
será a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas:
m,
m + 2π,
m + 4π,
m + 6π,
...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de
arcos negativos de medidas algébricas:
m − 2π,
m − 4π,
m − 6π,
...
e assim temos uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M .
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM , podemos representar as medidas destes arcos por:
m(AM ) = m + 2kπ
onde k é um número inteiro, isto é, k ∈ Z = {..., −2, −3, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Famı́lia de arcos: Uma famı́lia de arcos {AM } é o conjunto de todos os
arcos com ponto inicial em A e extremidade em M .
Exemplo 4. Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade
2π
, então os arcos
em M , com a primeira determinação positiva medindo
3
desta famı́lia {AM }, medem:
Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0
k=1
k=2
k=3
...
k=n
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
...
m(AM ) =
2π
3
2π
3
2π
3
2π
3
+ 2π =
+ 4π =
+ 6π =
2π
3
+ 2nπ = (2 + 6n) π3
8π
3
14π
3
20π
3
2.3. ARCOS CÔNGRUOS E ÂNGULOS
9
Determinações negativas (sentido horário)
k = −1
k = −2
k = −3
k = −4
...
k = −n
2.3
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
...
m(AM ) =
2π
3
2π
3
2π
3
2π
3
− 2π
− 4π
− 6π
− 8π
= − 4π
3
= − 6π
3
= − 16π
3
= − 22π
3
2π
3
− 2nπ = (2 − 6n) π3
Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é
um múltiplo de 2π.
Exemplo 5. Arcos de uma mesma famı́lia são côngruos.
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser
estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência
trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas
OA e OM .
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um
positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco
AM e outro negativo (sentido horário) com medida b = a−2π correspondente
ao arco AM .
Também existem ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam a ângulos.
2.4. ARCOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO OX
2.4
10
Arcos simétricos em relação ao eixo OX
Sejam AM e AM 0 arcos na circunferência trigonométrica, com A = (1, 0)
e os pontos M e M 0 simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a
medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM ’ é dada por:
µ(AM 0 ) = 2π − m.
Os arcos da famı́lia {AM }, aqueles que têm origem em A e extremidades em
M , têm medidas iguais a 2kπ + m, onde k é um número inteiro e os arcos da
famı́lia {AM 0 } têm medidas iguais a 2kπ − m, onde k é um número inteiro.
2.5
Arcos simétricos em relação ao eixo OY
Sejam AM e AM 0 arcos na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M 0 simétricos em relação ao eixo vertical OY . Se a medida do
arco AM for igual a m, então a medida do arco AM 0 será dada pela expressão
µ(AM 0 ) = π − m. Os arcos da famı́lia {AM 0 }, isto é, aqueles com origem
em A e extremidade em M 0 , medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z.
2.6. ARCOS SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO À ORIGEM
2.6
11
Arcos simétricas em relação à origem
Sejam arcos AM e AM 0 na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M 0 simétricos em relação à origem (0, 0).
Se o arco AM mede m, então µ(AM 0 ) = π + m. Arcos genéricos com origem
em A e extremidade em M 0 medem m(AM 0 ) = (2k + 1)π + m.
CAPÍTULO
3
Seno, Cosseno e Tangente
3.1
Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A = (1, 0) e um
número real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferência,
cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica,
de centro em (0, 0) e raio unitário. Seja M = (x0 , y 0 ) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco
AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M
sobre o eixo OX determina um ponto C = (x0 , 0) e a projeção ortogonal do
ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y 0 ).
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y 0 do ponto M e é
definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado
por sen(AM ) ou sen(a).
3.2. TANGENTE
13
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM ) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y 0
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para
denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por
cos(AM ) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa
x0 do ponto M .
Existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM ) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x0
3.2
Tangente
Seja t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A = (1, 0).
Esta reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e
pelo centro da circunferência tem interseção com a reta tangente t no ponto
T = (1, t0 ). A ordenada deste ponto T , é definida como a tangente do arco
AM correspondente ao ângulo a.
3.3. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE
14
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM ) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT ) = t0
Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ângulo
a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do
primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso especial é quando o ponto M está no eixo horizontal OX, pois
cos(0) = 1,
sen(0) = 0,
tan(0) = 0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
3.3
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao
π
intervalo < a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno
2
está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste
ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno
do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso especial é quando o ponto M está no eixo vertical OY e temos
que:
π
π
sen( ) = 1
cos( ) = 0,
2
2
e a tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois
elas são paralelas.
3.4. ÂNGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE
3.4
15
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M = (x, y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa
que o ângulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) é simétrico ao ponto
M 0 = (−x, −y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema,
indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno
e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é
positiva.
Em particular, se a = π rad, temos que
cos(π) = −1,
3.5
sen(π) = 0,
tan(π) = 0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ângulos no
quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Se o ângulo mede 3π/2, a tangente não está definida pois a reta OP não
intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a = 3π/2, temos:
cos(
3π
) = 0,
2
sin(
3π
) = −1
2
3.6. SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO OX
3.6
16
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M 0 o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M 0
possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao
arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM ’, então
sen(a) = −sen(b),
3.7
cos(a) = cos(b),
tan(a) = −tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante, e seja M 0 simétrico a M em relação ao eixo OY , estes pontos M
e M 0 possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao
arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM 0 , então
sen(a) = sen(b),
cos(a) = − cos(b),
tan(a) = − tan(b)
3.8. SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM
3.8
17
Simetria em relação à origem
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante e se M 0 é o simétrico de M em relação à origem, estes pontos M
e M 0 possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao
arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM 0 , então
sen(a) = −sen(b),
3.9
cos(a) = − cos(b),
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com freqüência em exercı́cios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no cı́rculo trigonométrico.
CAPÍTULO
2
Resolução de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são: os lados, os ângulos e a área.
Resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo
três dentre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações
trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas
relações estão expostas na sequência.
2.1
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura
com lados a, b e c, respectivamente tendo ângulos opostos A, B e C. O
quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado
é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita
ao triângulo, isto é:
b
c
a
=
=
= 2R
sen(A) sen(B) sen(C)
2.1. LEI DOS SENOS
8
Demonstração: Para simplificar as notações denotaremos o ângulo que corresponde a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de
vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente
com vértice em A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R.
Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo
BCA0 , de tal modo que o segmento BA0 seja um diâmetro da circunferência.
Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A0
são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondendo a um mesmo arco BC. Então:
sen(A0 ) = sen(A) =
isto é,
a
2R
a
= 2R
sen(A)
2.1. LEI DOS SENOS
9
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros
quocientes
c
b
=
= 2R
sen(B) sen(C)
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A0 são os ângulos que correspondem
aos vértices A e A0 , a relação entre eles é dada por A0 = π − A, pois são
ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares
BAC e BA0 C. Então
sen(π − A) =
a
= sen(A)
2R
isto é,
a
= 2R
sen(A)
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os
outros quocientes
c
b
=
= 2R
sen(B) sen(C)
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo,
é imediato que
b
sen(B) = ,
a
c
sen(C) = ,
a
π
sen(A) = sen( ) = 1
2
2.2. LEI DOS COSSENOS
10
Como, neste caso a = 2R, temos,
a
b
c
=
=
sen(A) sen(B) sen(C)
2.2
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a
diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e
o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado
por estes lados.
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(B)
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo
ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto
no vértice A, a relação
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta relação recai na relação de Pitágoras:
a2 = b 2 + c 2
2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo
com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do
2.2. LEI DOS COSSENOS
11
triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o
Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a2 = h2 + (c − x)2 = (h2 + x2 ) + c2 − 2cx
(2.1)
x
,
b
ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equação 2.1,
obtemos:
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
No triângulo AHC, temos que b2 = h2 + x2 e também cos(A) =
3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o
ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja
o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo
relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de
Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a2 = h2 + (c + x)2 = (h2 + x2 ) + c2 + 2cx
(2.2)
No triângulo AHC, obtemos a relação de Pitágoras b2 = h2 + x2 e
x
também cos(D) = = cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A).
b
Substituindo estes resultados na equação 2.2, obtemos:
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)
2.3. ÁREA DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS
12
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
b 2 + c 2 − a2
cos(A) =
2bc
2
a + c2 − b2
cos(B) =
2ac
2
a + b2 − c 2
cos(C) =
2ab
2.3
Área de um triângulo em função dos lados
Existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as
medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a
metade do perı́metro do triângulo, isto é: 2p = a + b + c, então,
p
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
A demonstração da fórmula acima está em nosso link Fórmula de Heron:
http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm
CAPÍTULO
4
Funções trigonométricas circulares
Funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular
e são importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenômenos
naturais periódicos, como variações da temperatura terrestre, comportamentos
ondulatórios do som, pressão sanguı́nea no coração, nı́veis de água em oceanos,
etc.
4.1
Funções reais
Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das definições
e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais.
Função: Uma função de um conjunto não vazio A em um conjunto não vazio
B, denotada por f : A → B, é uma correspondência que associa a cada
elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domı́nio de f, o conjunto B é denominado
contradomı́nio de f . O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A
de acordo com a lei f , é a imagem de x por f , indicado por y = f (x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de
A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domı́nio e
4.2. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
17
contradomı́nio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais.
Função periódica: Uma função real f , com domı́nio em A subconjunto da
reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T , tal que para
todo x ∈ A, vale
f (x + T ) = f (x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor
número T > 0, que satisfaz a esta condição é o perı́odo fundamental.
Exemplo 1. A função real definida por f (x) = x − [x], onde [x] é a parte
inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica
de perı́odo fundamental T = 1.
Função limitada: Uma função f de domı́nio A ⊂ R é limitada, se existe um
número real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades:
−L ≤ f (x) ≤ L
e esta última expressão é equivalente a |f (x)| ≤ L.
2x
é limitada pois
Exemplo 2. A função real f (x) =
1 + x2
x
≤1
−1 ≤
1 + x2
4.2
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y.
Afirmamos que f é crescente, se f (x) < f (y) e que f é decrescente, se
f (x) > f (y).
Exemplo 3. A função real f (x) = 2x + 1 é crescente enquanto que a função
real f (x) = e−x é decrescente.
4.3
Funções pares e ı́mpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domı́nio de
f tem-se que
f (−x) = f (x)
4.4. FUNÇÃO SENO
18
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY .
Exemplo 4. A função real definida por f (x) = x2 é par.
Função ı́mpar: Uma função f é uma função ı́mpar, se para todo x do domı́nio
de f tem-se que
f (−x) = −f (x)
Funções ı́mpares são simétricas em relação à origem (0, 0) do sistema de eixos
cartesiano.
Exemplo 5. A função real definida por f (x) = x3 é ı́mpar.
4.4
Função seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno associa a cada x ∈ R o seno
do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por
f (x) = sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 √π/4 π/2 √
3π/4 π 5π/4
3π/2 7π/4
2π
√
√
y 0
2/2 1
2/2 0 − 2/2 −1 − 2/2 0
Gráfico: Na figura, o segmento Oy 0 que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY .
Propriedades da função seno
1. Domı́nio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo
assim Dom(sen) = R.
4.4. FUNÇÃO SENO
19
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de perı́odo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)
Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, então
sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de perı́odo fundamental T = 2π. Completamos
o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo
de medida 2π.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno
positiva positiva negativa negativa
5. Monotonicidade
Intervalo [0, π/2]
[π/2, π]
[π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno
crescente decrescente decrescente crescente
6. Limitação: O gráfico de y = sen(x) está contido na faixa do plano
limitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R,
temos:
−1 ≤ sen(x) ≤ 1
7. Simetria: A função seno é ı́mpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
sen(−x) = −sen(x)
4.5. FUNÇÃO COSSENO
4.5
20
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno denotada por f (x) =
cos(x), é a relação que associa a cada x ∈ R o número real cos(x).
x 0 √π/4 π/2 √
3π/4 π
5π/4
3π/2 √
7π/4 2π
√
y 1
2/2 0
2/2 −1 − 2/2
0
2/2 1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento
OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
8. Domı́nio: A função cosseno está definida para todos os valores reais,
assim Dom(cos) = R.
9. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
10. Periodicidade: A função é periódica de perı́odo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) − sen(x)sen(2kπ)
Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo
cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) − sen(x)(0) = cos(x)
A função cosseno é periódica de perı́odo fundamental T = 2π.
4.6. FUNÇÃO TANGENTE
21
11. Sinal
Cosseno positiva negativa negativa positiva
12. Monotonicidade:
Intervalo
[0, π/2]
[π/2, π]
[π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cosseno decrescente decrescente crescente crescente
13. Limitação: O gráfico de y = cos(x) está contido na faixa localizada
entre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos:
−1 ≤ cos(x) ≤ 1
14. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
cos(−x) = cos(x)
4.6
Função tangente
π
Como a tangente não tem sentido para arcos da forma (k + 1) para cada
2
k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes
valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este
x ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x).
f (x) = tan(x) =
sen(x)
cos(x)
x 0 π/4
π/2
3π/4 π 5π/4
3π/2
7π/4 2π
y 0 1 Inexiste −1 0
1
Inexiste −1 0
4.6. FUNÇÃO TANGENTE
22
Gráfico: O segmento AT , mede tan(x). Pelo gráfico, observamos que quando
a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a função tangente
está crescendo muito rápido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente
angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção
com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
π
+ kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que
2 π
Dom(tan) = {x ∈ R : x 6= + kπ}
2
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos
números reais, assim I = R.
1. Domı́nio: Como cos(
3. Periodicidade A função tangente é periódica de perı́odo π
π
Para todo x ∈ R, com x 6= + kπ, sendo k ∈ Z:
2
tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ)
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x + kπ) =
tan(x) + 0
tan(x) + tan(kπ)
=
= tan(x)
1 − tan(x) · tan(kπ) 1 − tan(x).0
A função tangente é periódica de perı́odo fundamental T = π.
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores
da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
T angente positiva negativa positiva negativa
4.7. FUNÇÃO COTANGENTE
23
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos ponkπ
, sendo k ∈ Z, onde a função não está definida.
tos x =
2
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se
π
aproxima de (2k + 1) , a função cresce (ou decresce) sem controle.
2
7. Simetria: A função tangente é ı́mpar, pois para todo x ∈ R onde a
tangente está definida, tem-se que:
tan(−x) = − tan(x)
4.7
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamos
considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos
a função cotangente como a relação que associa a cada x ∈ R, a cotangente
de x, denotada por:
cos(x)
f (x) = cot(x) =
sen(x)
x
0
π/4 π/2 3π/4
π
5π/4 3π/2 7π/4
2π
y Inexiste 1
0
−1 Inexiste
1
0
−1 Inexiste
Gráfico: O segmento Os0 mede cot(x).
O gráfico mostra que quando a medida do arco AM está próxima de π ou de
−π, podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal
e a sua interseção com a reta s vai se tornando muito distante.
4.7. FUNÇÃO COTANGENTE
24
Propriedades:
1. Domı́nio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde
k ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x 6= kπ}.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos
números reais, assim I = R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu perı́odo é π. Para todo x ∈ R,
sendo x 6= kπ, onde k ∈ Z:
cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ)
A função cotangente é periódica de perı́odo fundamental 2π.
4. Sinal
T angente positiva negativa positiva negativa
5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo
se aproxima de kπ/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
CAPÍTULO
5
Funções trigonométricas inversas
Uma função f , de domı́nio D possui inversa somente se f for bijetora, logo
nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domı́nios de
definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domı́nios para gerar novas
funções que restritas a conjuntos menores possuem inversas.
Exemplo 6. A função f (x) = cos(x) não é bijetora em seu domı́nio de
definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar
x = 2kπ, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos
definir a inversa de f (x) = cos(x) em seu domı́nio. Devemos então restringir
o domı́nio a um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos
onde elas são bijetoras. É usual escolher como domı́nio, intervalos onde o zero
é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu
conjunto imagem.
5.1
Função arco-seno
Consideremos a função f (x) = sen(x), com domı́nio no intervalo [−π/2, π/2]
e imagem no intervalo [−1, 1]. A função inversa de f = sen, denominada arco
5.2. FUNÇÃO ARCO-COSSENO
30
cujo seno, definida por sen−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] é denotada por
sen−1 (x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno
5.2
Função arco-cosseno
A função f (x) = cos(x), com domı́nio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa,
denominada arco cujo cosseno e é definida por cos−1 : [−1, 1] → [0, π] e
denotada por
cos−1 (x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
5.3
Função arco-tangente
A função f (x) = tan(x), com domı́nio (−π/2, π/2) e imagem em R, possui
uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1 : R → (−π/2, π/2)
e denotada por
tan−1 (x) = arctan(x)
5.4. FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE
31
Gráfico da função arco-tangente:
5.4
Função arco-cotangente
A função f (x) = cot(x), com domı́nio (0, π) e imagem em R, possui uma
inversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1 : R → (0, π) e denotada por
cot−1 (x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:

Trigonometria do Triângulo Retângulo Prof. Ulysses Sodré

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