Montanhas Russas ou - PUC-Rio

A Ciência da Mecânica
21/ Ano II
Washington Braga, Professor Associado
Departamento de Engenharia Mecânica - PUC - Rio
Título: A MECÂNICA (OU A FÍSICA) NO PARQUE DE DIVERSÕES
Olá, estou aqui de volta trazendo mais alguns aspectos de Engenharia Mecânica para vocês. Há
tempos, planejo escrever sobre a Física nos Parques de Diversão. Até alguns pedidos deste
texto, até aqui inexistente, já recebi! Acho que é chegada a hora. Minhas referências são
basicamente duas: os notáveies artigos da Profa. Carole Escobar, publicado no “The Physics
Teacher”, de outubro de 1990 (págs. 446-453) e o do Prof. Jearl Walker, publicado no “Scientific
American”, novembro de 1982 (acho eu) págs. 162-169 (estas eu tenho certeza).
Sugiro
fortemente uma consulta a estes trabalhos para outras (e provavelmente, melhores) informações.
Minha ênfase aqui será o que acontece nas “montanhas russas”.
A Física por trás das Montanhas Russas dos Parques de Diversão
Uma corrida numa montanha russa típica ilustra a contínua conversão de energia
potencial em cinética, de cinética em potencial até a eventual dissipação de toda a energia
potencial inicialmente disponível (no topo da primeira colina) em trabalho de atrito (ao longo do
caminho e no acionamento dos freios) e posteriormente calor ao ambiente. Um outro aspecto de
interesse é a dinâmica das rotações com as forças centrípetas que assolam os cursos de Física
(junto com as forças virtuais, como centrífugas, Coriolis, etc).
O passeio começa com o trem sendo puxado (por meio de algum mecanismo) até o ponto
mais alto do brinquedo (que fica sempre no início da volta, por razões que ficarão óbvias logo).
Desde ponto de máxima elevação e correspondentemente de máxima energia potencial, o trem é
trazido de volta ao chão e ao repouso. Considerando que o trem se comporta como uma peça
única, a velocidade máxima a ser alcançada, isto é, a velocidade teórica obtida desconsiderando
atritos de toda a espécie, é determinada pelo princípio de conservação da Energia Mecânica:
∆E potencial = ∆E cinetica
Se a velocidade no ponto mais alto, de cota ho, for Vo, teremos que a velocidade em um ponto de
cota h será dada por:
V(h) 2 = Vo2 + 2g(h o − h)
Figura 1. Variação da altura da Pista
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Na prática, atrito aerodinâmico devido ao ar e atrito ao longo dos trilhos reduzem um tanto tal
valor. O primeiro resultado interessante, consequência da análise anterior, é que a velocidade de
queda independe do número de pessoas (isto é, da massa total) que estão no trem: tanto faz se o
trem estiver vazio ou não, o “prazer” do passeio será o mesmo.
Alguns números interessantes: considerando uma queda de 62
metros (típica de um parque nos Estados Unidos), a velocidade
máxima atinge cerca de 35 m/s, ou 125 km/h.
Como mostrado na Figura 2, a inclinação da pista é variável. Inicialmente ela é zero (no
ponto 1), cresce até o seu valor máximo, que determina o ângulo efetivo da pista (ponto 2),
tornando a decrescer até o ponto de mínimo (ponto 3).
Imagine, inicialmente, a situação na qual o trem está no alto da primeira colina (ponto 1
da figura 2). A velocidade (horizontal) do trem é mínima e a aceleração promovida pela queda
do primeiro carro é ainda pequena, pois a inclinação local da pista é ainda pequena ( θ1 ≈ 0 ).
Figura 2. Inclinação variável da pista
A aceleração será máxima quando todo o trem estiver na região central, indicada pela posição 2
da figura (estou supondo que o tamanho da região central é maior que o tamanho do trem, como
é usual). A inclinação ali é a da própria pista. Eventualmente, o primeiro carro atinge a região
do ponto 3, de máxima velocidade e aceleração nula (isto é, θ3 ≈ 0 e a ≈ 0 ).
Os números são impressionantes: considerando que o ângulo da pista com o chão seja de
aproximadamente 30o, a aceleração efetiva máxima é igual a ( g senθ = ) g / 2 , isto é, os
passageiros vão se sentir 50% mais leves! Se a inclinação for maior, mais leve nos sentiremos.
Não importando se você é um cara pesado, um cara leve, o trem tem 5 vagões ou 50! Todo
mundo é acelerado igualmente.
Um passageiro colocado no primeiro carro do trem começará a sentir a queda lentamente,
ponto 1, pois sua velocidade inicial é baixa, já que o restante do trem está ainda no trecho
anterior, subindo, digamos. Por outro lado, a sensação e a emoção da queda livre é inegável,
visto que nada (ou quase nada) o separa do chão. Um passageiro colocado no último carro, ao
contrário, começa a queda com velocidade maior (pois a maior parte do trem já está deslisando
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para baixo na pista). Por outro lado, o número (grande?) de cabeças a sua frente reduz a
sensação da queda livre, sendo portanto, uma posição mais confortável do ponto de vista
psicológico.
Considere, por um momento, a situação na qual o trem atingiu um ponto baixo e começa
a subir rumo à próxima colina (posição 4 da figura 3):
Figura 3. Perfil de Subida da Pista
Você concordará certamente que em um “certo” instante, os carros estarão igualmente
distribuídos ao longo da pista, no entorno do ponto 4, metade para cada lado (ou seja, alguns
começando a subir e os demais terminando de descer). A aceleração ali será nula e a velocidade
máxima. À medida que mais carros começam a subir a colina, a velocidade do trem começa a
diminuir, alcançando sua menor velocidade no topo da mesma.
Sem as perdas por atrito, o
trem seria capaz de subir qualquer número de colinas de mesmo tamanho (altura) que a colina
inicial. Como isto não é o caso, a solução é fazer com que as colinas seguintes sejam todas
menores. Considerando que nos pontos mais altos das colinas, a velocidade é quase nula,
poderemos estimar as perdas por atrito no trecho pela diferença de cotas entre os dois pontos,
que é proporcional à diferença de Energia Potencial. Como as velocidades são muito pequenas,
nestes pontos temos:
Watrito = − ∆E p
Podemos também medir a velocidade média, observando o tempo que leva o trem para cruzar
um ponto qualquer (supondo que o comprimento do trem seja conhecido). Isto deve ser feito por
alguém que esteja fora da pista, claro. Os passageiros só conseguem perceber as velocidades
instantâneas (bem diferentes da média, devido às acelerações e desacelerações).
Em suma, podemos considerar que há dois tipos de projetos: pista rápida, sem subidas
após a primeira mas cheia de curvas e quedas rápidas ou pista lenta, com subidas e descidas
sucessivas, que tendem a reduzir a velocidade média.
Sempre uma troca entre as energias
cinética e potencial.
Cinética das Rotações
Pela Primeira Lei de Newton, um objeto manterá seu estado de repouso ou de movimento
uniforme em uma linha reta, se não estiver submetido à ação de forças externas não equilibradas.
Como corolário (conseqüência), precisamos de uma força para mudar a velocidade, seja em
módulo (isto é, em valor), seja na sua direção (lembre-se que a velocidade é um vetor).
Considerando novamente a Figura 3, podemos indicar que no ponto 4, o vetor velocidade é
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horizontal, enquanto que no ponto 5, na subida da pista, a velocidade é ascendente:
Houve assim uma alteração de velocidade (bem, pelo menos na direção, se desconsiderarmos a
diferença de cota e o atrito). A força necessária para que isto ocorra é transmitida pela pista.
Imaginando uma curva, teremos que considerar a força centrípeta:
Naturalmente, para uma pista reta, o raio de curvatura é infinito, como sabemos, e com
isto, a reação da pista é exatamente igual ao peso do trem (e passageiros). O mesmo conceito se
aplica ao loop da montanha russa. Veja:
No alto:
2
mValto
mg =
R
Embaixo:
mVb2
T − mg =
R
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Como pode ser visto, a força aplicada pela pista no alto é nula mas o carro não cai, como
sabemos. Pelo equilíbrio de forças, podemos escrever que:
Valto = gR
Qual será a menor velocidade na entrada do loop para que o trem consiga completá-lo, isto é,
para que ele não caia lá do alto? Vamos pensar na conservação de energia (desprezando atritos)
para facilitar. No ponto de entrada do loop, de velocidade Vb, temos que a energia cinética
associada vale:
1
E c = mVb2
2
no ponto mais elevado, teremos:
1
E c + E p = mV 2 + mg(2R)
2
1
5
= m(gR) + mg(2R) = mgR
2
2
Assim,
Vb = 5gR
De posse desta nova informação, poderemos calcular a força da pista sobre o trem. Embaixo,
temos pelo equilíbrio das forças que:
mVb2
T = mg +
R
m(5gR)
= mg +
= 6 mg
R
Como a tensão provocada pela pista é maior que o peso, a força líquida resultante aponta para o
centro do loop e o movimento circular se inicia. No ponto médio do loop, a tensão da pista e a
aceleração centrípeta são horizontais, de forma que podemos escrever:
mVh2 m 2
T=
= ( Vb − 2gR )
R
R
onde o Princípio da conservação de energia entre o ponto mais baixo do loop (de velocidade Vb)
e o ponto de altura R foi utilizado. Substituindo os valores, obtemos que no ponto de cota h =
R, a tensão da pista vale:
T = 3 mg
e, como já observei, no ponto mais elevado, a tensão é nula (ou quase). Isto acontece pois no
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alto a velocidade do trem é pequena (baixa energia cinética). Ela aponta para baixo, na mesma
direção do peso (ao contrário do que acontece embaixo).
Ah, para evitar que o trem caia, há dois conjuntos de rodas, uma superior e a outra
inferior:
Como foi visto, a tensão na parte de entrada no loop é muito elevada, da ordem de 6
vezes o peso (cada passageiro irá sofrer esta força mas a pista deverá estar preparada para esta
solicitação). No tocante aos passageiros, esta é uma força muito elevada, que causa desconforto
(se considerarmos o atrito, este valor irá diminuir mas mesmo assim, é uma força muito grande).
Por outro lado, por segurança, o projeto é feito de forma que a velocidade no alto é maior que a
calculada, o que só faz aumentar a força sobre os passageiros.
A solução foi usar um outro tipo de curva, não mais circular. A solução mais comum é
uma pista como a mostrada abaixo (helicoidal) que tem um raio de curvatura menor no alto que
na base, o que reduz todas as velocidades (mas não ao ponto de reduzir as sensações, claro) e
reduz as forças sobre os passageiros, o que foi ótimo.
Espero que estes comentários não reduzam as emoções.... Um abraço. Washington