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Sinais e Sistemas
Licenciatura Engenharia Biomédica
Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Exercícios Laboratoriais
Capítulo 4 – Representações de Fourier de Sinais Compostos
Questão 1 :
A operação de decimar corresponde reduzir a quantidade de dados de um
sinal que já está amostrado. Decimar um sinal x[n] de um factor q
corresponde seleccionar cada q-ésima amostra da sequência de amostras do
sinal x[n] ou seja, geramos um sinal g[n] = x[qn] . Esta operação corresponde a
uma redução da taxa de amostragem porque o intervalo de amostragem do
sinal x[n] passa a ser Ts 2 = qTs1 sendo Ts1 o intervalo de amostra do sinal x[n] .
O comando MATLAB y=decimate(x,q) permite decimar o sinal x pelo factor q,
sendo y um novo sinal com uma sequência de amostras de comprimento
reduzido pelo factor q.
A operação inversa de decimar é interpolar. O comando MATLAB y=interp(x,p)
permite interpolar o sinal x pelo factor p, sendo y um novo sinal com uma
sequência de amostras com comprimento afecto pelo factor p.
O comando MATLAB y=resample(x,p,q) permite re-amostrar o sinal x pelo
factor p/q, sendo y um novo sinal com uma sequência de amostras com
comprimento afecto pelo factor (p/q). A operação equivale a interpolar x pelo
factor p para posteriormente decimar pelo factor q.
Utilizando, como referência, os comandos MATLAB:
x=exp(-[0:59]/15) .* sin([0:59]*2*pi/13+pi/8);
y=resample(x,2,3);
figure(1)
subplot(2,1,1)
stem(x)
title('sinal amostrado a 45kHz');
xlabel('Tempo'),ylabel('Amplitude'),axis tight;
subplot(2,1,2)
stem(y)
title('sinal amostrado a 30kHz');
xlabel('Tempo'),ylabel('Amplitude'),axis tight
Considerando, o sinal x [ n ] = e
−
n
15
sin ( 213π n + π8 ) , 0 ≤ n ≤ 59 :
a) Gerar o gráfico correspondente a re-amostragem do sinal por um factor
(2/3) utilizando o MATLAB resample();
b) Mostre que a operação anterior é equivalente a aplicar os comandos
utilizando o MATLAB decimate() e interp().
Questão 2:
Em geral, o processamento de um sinal amostrado corresponde ao
processamento de uma parte, ou janela, de amostras desse sinal. A largura da
janela afecta a quantidade de amostras a processar. Por exemplo considere o
sinal x [ n ] = cos ( 716π n ) + cos ( 916π n ) e a seguinte propriedade da DTFT
N −1
DTFT
x [ n ] = ∑ X [ k ] e jk Ω0n ←⎯⎯
→ X ( e jΩ ) = 2π
k =0
+∞
∑ X [ k ]δ ( Ω − k Ω )
k =−∞
Para este sinal a correspondente DTFT do sinal x[n] é
0
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9π ⎞
7π
⎛
⎛
X ( e jΩ ) = πδ ⎜ Ω + k
⎟ + πδ ⎜ Ω + k
16 ⎠
16
⎝
⎝
7π
⎞
⎛
⎟ + πδ ⎜ Ω − k
16
⎠
⎝
9π ⎞
⎞
⎛
⎟ + πδ ⎜ Ω − k
⎟ , −π < Ω ≤ π
16 ⎠
⎠
⎝
.
Se uma quantidade finita de amostras do sinal x[n] é utilizada no
processamento do sinal então o efeito pode ser expresso pelo produto
y[n] = w[n].x[n] em que o sinal
⎧⎪1, n ≤ M
w[n] = ⎨
⎪⎩0, n > M
sendo w[n] designada uma janela. Utilizando a propriedade
DTFT
y [ n ] = z [ n ] x [ n ] ←⎯⎯
→ Y ( e jΩ ) =
1
Z ( e jΩ ) ∗ X ( e jΩ )
2π
a expressão da DTFT do sinal y[n] = w[n].x[n] será
1 ⎛ Ω+ k 9π
Y ( e jΩ ) = W ⎜ e 16
2 ⎝
tendo
em
W ( e jΩ ) =
⎞ 1 ⎛ Ω+ k 716π
⎟+ W ⎜e
⎠ 2 ⎝
consideração
sin ( Ω ( 2 M + 1) / 2 )
sin ( Ω / 2 )
que
⎞ 1 ⎛ Ω− k 716π
⎟+ W ⎜e
⎠ 2 ⎝
w[n]
sinal
o
( )
. Este Y e jΩ
⎞ 1 ⎛ Ω− k 916π ⎞
⎟ + W ⎜e
⎟
⎠ 2 ⎝
⎠
tem
um
espectro
espectro poderá ser determinado com
comandos MATLAB e utilizando 2 M + 1 valores de x[n] , com n ≤ M . Para isso
o comando MATLAB fftshift() permite trocar as duas metades do espectro de
forma a dar um espectro com centrado na frequência zero. Tendo como
referência a sequência de comandos MATLAB
% M=12
n=[-12:12];
Omega=[-1+2/512:2/512:1]*pi;
x=cos(7*pi*n/16) + cos(9*pi*n/16);
Yb=fftshift( fft(x,512) );
plot(Omega,abs(Yb)),xlabel('Omega'),ylabel('|Y(Omega)|:M=12'),axis tight
( )
para 512 pontos, no intervalo −π < Ω ≤ π , para
determine o espectro Y e jΩ
os seguintes valores: M = 80; M = 12; M = 8. Descreva o efeito do decréscimo de
( )
M nos vários espectros Y e jΩ
Questão 3:
Utilizando os comandos MATLAB das questões anteriores e a função
⎧ − ( 0.1)
⎪
2
x[n] = ⎨e
⎪⎩ 0
2
, n ≤ 50 ,
, n > 50
determine o espectro DTFT para 500 pontos e no intervalo −π < Ω ≤ π , para as
seguintes funções:
a) x[n] ;
b) y[n] = x[2n] ;
c) z[n] = x[4n]
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Licenciatura Engenharia Biomédica
Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Outros Exercícios na Bibliografia:
Simon Haykin and Barry Van Veen, ”Signals and Systems”, 2nd Edition, 2003
John Wiley & Sons. Inc, ISBN 0-471-16474-7 (Capítulo 3).