Módulo 2

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Módulo 2

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL420
Módulo 2
Thévenin
Norton
Helmholtz
Mayer
Ohm
Galvani
Conteúdo
2 – Elementos básicos de circuito e suas associações..........................................................................1
2.1 – Resistores lineares e invariantes.............................................................................................1
2.1.1 – Curto circuito..................................................................................................................2
2.1.2 – Circuito aberto.................................................................................................................2
2.2 – Resistor linear e variante.........................................................................................................2
2.3 – Resistores não lineares e invariantes.......................................................................................3
2.3.1 – Diodo...............................................................................................................................3
2.3.2 – Diodo túnel......................................................................................................................4
2.4 – Associação de resistores.........................................................................................................5
2.4.1 – Associação série..............................................................................................................5
2.4.2 – Associação paralela.........................................................................................................7
2.5 – Fonte de tensão independente.................................................................................................9
2.5.1 – Associação de fontes de tensão.....................................................................................11
2.6 – Fonte de corrente independente............................................................................................11
2.6.1 – Associações de fontes de corrente.................................................................................13
2.7 – Modelo de Thévenin e Norton..............................................................................................14
2.8 – Associação de fontes e resistores..........................................................................................15
2.8.1 – Divisor de tensão...........................................................................................................15
2.8.2 – Divisor de corrente........................................................................................................15
2.9 – Fontes controladas................................................................................................................16
2.10 – Exercícios............................................................................................................................17
2.11 – Solução................................................................................................................................22
2 Elementos básicos de circuito e suas associações
Resistor, diodo, transistor, válvula, capacitor, indutor e transformador, entre outros
componentes reais de um circuito, podem ser representados por modelos básicos ou
associação destes modelos, cada qual apresentando apenas 1 propriedade física (resistência,
capacitância, indutância…).
2.1 Resistores lineares e invariantes
Os resistores são os elementos de circuito mais comuns e concentram a característica
de resistência elétrica, ou seja, de oposição a passagem da corrente elétrica. Existem diversos
símbolos para o resistor: na Europa se utiliza um retângulo (como os elementos apresentados
no módulo anterior), nos Estados Unidos e no Brasil o símbolo mais comum é apresentado na
próxima figura.
O resistor é caracterizado pelas seguintes relações:
v t =R⋅it  , onde R é resistência (Ohm – W).
it =G⋅v t  , onde G é condutância (Siemens – S)
R=G−1
Normalmente R e G são lineares (como mostrado no gráfico v × i da próxima figura) e
invariantes com o tempo, mas isto não é uma exigência.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro!
1
OBS.: São condições essenciais para a linearidade:
f ⋅x =⋅f  x 
f  x 1x 2 = f  x 1 f  x 2
2.1.1 Curto circuito
O curto circuito acontece sempre que entre dois pontos de um circuito R=0 . Por esta
razão a diferença de tensão entre os terminais de um curto circuito é zero, independente da
corrente que circula por este elemento. Idealmente o curto circuito é representado por um fio.
Num gráfico v × i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da corrente e
que passa pela origem.
2.1.2 Circuito aberto
Um circuito aberto é caracterizado por apresentar R=∞ . Por esta razão não há
circulação de corrente por um circuito aberto, independente da tensão aplicada a seus
terminais. Idealmente o curto circuito é representado por dois nós não conectados. Num
gráfico v × i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da tensão e que
passa pela origem.
2.2 Resistor linear e variante
Um resistor linear e variante é aquele que apresenta uma relação linear entre tensão e
corrente porém com dependência temporal para o valor do resistor.
2
v t =Rt⋅it 
Exemplo: Calcular v(t) quando R=R A RB⋅cos 2⋅⋅f 1⋅t e it = A⋅cos 2⋅⋅ f 2⋅t  .
v (t)=X⋅cos (2⋅π⋅ f 2⋅t)+Y⋅cos [2⋅π⋅( f 1 + f 2)⋅t]+ Z⋅cos [ 2⋅π⋅( f 1− f 2 )⋅t ]
Observe que para cada instante de tempo a resistência é um valor constante, logo a
resistência é linear, porém este valor varia com o tempo.
2.3 Resistores não lineares e invariantes
Resistores não lineares e invariantes são aqueles que apresentam uma relação não
linear entre tensão e corrente, porém são invariantes com o tempo (não são funções do tempo).
2.3.1 Diodo
O diodo é um resistor variável cujo símbolo e curva v × i são apresentados nas
próximas figuras. Observe que a curva v × i não é simétrica o que significa que este elemento
apresenta polaridade, ou seja, dependendo de como ele for ligado ao circuito este terá um
comportamento diferente.
Tradicionalmente o diodo é modelado pela equação
it =I ⋅ e
S
onde
q⋅v t 
K⋅T
−1

K⋅T
≈26mV para a temperatura ambiente.
q
3
Observando com atenção a curva v × i do diodo observamos que ela se parece muito
com a curva de uma chave ideal comutada por corrente. Uma chave ideal pode ser modelada
por um curto circuito ou por circuito aberto dependendo de estar fechada ou aberta
respectivamente. Um modelo mais realístico pode representar a resistência de contato elétrico
(R1) quando a chave está fechada e uma resistência de isolação (R2) quando a chave esta
aberta. A figura seguinte mostra este modelo.
É muito comum, na prática, simplificar os cálculos de circuitos que utilizam diodos
substituindo seu comportamento real (descrito pela exponencial acima) por uma chave
controlada (um curto circuito ou circuito aberto) associada a fontes e resistores. Desta forma
um componente não linear, o diodo, é representado por uma associação de elementos lineares
e invariantes com o tempo, o que torna mais simples a análise e o projeto de circuitos com
este componente.
2.3.2 Diodo túnel
O diodo túnel, cujo símbolo é apresentado na figura a seguir, é um diodo construído
por processos especiais que levam a uma curva v × i bastante interessante e que pode ser
visualizado no gráfico abaixo.
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Observa-se, no gráfico, que a resistência do diodo túnel é não linear e controlada por
tensão (o gráfico de i em função de v é uma função não inversível). Observa-se também, que
R é negativo para uma faixa de valores (o que será útil em osciladores e filtros). Elementos
com resistência positiva dissipam energia ao passo que resistências negativas podem fornecer
energia. Resistências negativas, como a do diodo túnel e de outros elementos de circuito, só
existem em uma determinada faixa de operação e dependem de energia externa para serem
obtidas. Não existe nenhum elemento real de circuito que tenha comportamento de resistência
negativa em toda sua faixa de operação.
Tanto o diodo comum quanto o diodo túnel apresentam curvas não simétricas com
relação a origem o que significa que estes elementos têm polaridade.
2.4 Associação de resistores
2.4.1 Associação série
A associação série de resistores é aquela onde um terminal de um resistor se conecta a
um terminal do próximo formando uma sequência de resistores. Esta associação, ilustrada na
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figura abaixo pelos resistores R1 e R2 , tem um comportamento elétrico semelhante ao de
uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação.
O valor da resistência equivalente pode ser calculada da seguinte maneira:
Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no circuito da esquerda temos que
v =v R1v R2
v =I⋅R 1I⋅R2
v= I⋅ R1R2  .
No circuito da direita temos
v =I⋅R EQ .
Por comparação entre os dois circuitos temos que
R EQ=R 1R2
Genericamente
R EQ=∑ R n (a resistência equivalente é maior que todas as
resistências individuais da associação).
Cabe ressaltar que a resistência equivalente da associação é equivalente apenas do
ponto de vista da tensão e da corrente nós A e C (figura anterior) pois a potência dissipada
pelos resistores será diferente da potência dissipada pelo equivalente assim como a tensão
sobre cada resistor será diferente da tensão sobre o resistor equivalente.
A figura anterior também apresenta um símbolo até agora não utilizado: Um triângulo
ligado ao nó C. Este símbolo marca o nó como se fosse um nome e costuma ser utilizado para
representar uma referência de tensão (também chamado de terra, massa, chassi, retorno…).
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Quando ele está presente no circuito as medidas de diferença de tensão são dadas com relação
a este ponto. Abaixo vemos curvas de tensão em função da corrente para a associação série
apresentada anteriormente.
A tensão V  a equivale a diferença de tensão V A−V C , a tensão V b  equivale a
diferença de tensão V B−V C , por outro lado a tensão V  A , B ou V AB equivale a diferença
de tensão V A−V B . Estas representações de diferenças de potencial são comuns em circuitos
e sempre que se deseja expressar uma diferença de tensão entre um nó qualquer do circuito e a
referência basta indicar o nome deste nó. Quando a diferença de potencial se refere a uma
medida que não inclua o nó de referência então se indicam os dois nós para os quais a
diferença de tensão está sendo fornecida ou solicitada.
2.4.2 Associação paralela
A associação paralela de resistores é aquela onde um dos terminais de cada resistor se
conecta a um determinado nó e os demais terminais se conectam a um outro nó. Esta
associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores R1 e R2 , tem um comportamento
elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação.
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O valor da condutância equivalente pode ser calculado da seguinte maneira:
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no circuito da esquerda
i TOTAL=i R1i R2
i TOTAL=v⋅G 1v⋅G 2
i TOTAL=v⋅G1G2 .
No circuito da direita
i TOTAL=v⋅G EQ .
Assim, por comparação entre os dois circuitos
G EQ=G 1G2
Genericamente G EQ=∑ Gn (a condutância equivalente é maior que todas as
condutâncias individuais da associação, ou seja, a resistência equivalente é menor que todas as
resistências da associação). Novamente aqui, assim como em todas as associações realizadas
nesta disciplina, o conceito de equivalente está diretamente relacionado com o comportamento
da tensão e da corrente entre dois nós, ou seja, para que dois circuitos sejam equivalentes a
equação de tensão em função de corrente para quaisquer dois nós deve ser igual em ambos os
circuitos.
A figura abaixo mostra o gráfico das condutâncias formadas por R1 , R2 e R EQ
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2.5 Fonte de tensão independente
As fontes de tensão são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos
mantendo constante a diferença de potencial entre seus terminais, independentemente da
corrente que circule pela fonte. Existem diversos símbolos para a fonte, mas o mais comum
está representado na figura abaixo.
Observe na figura seguinte que a curva v × i da fonte de tensão é uma reta paralela ao
eixo da corrente, como se fosse um curto circuito (a resistência de uma fonte de tensão ideal é
zero) porém esta curva não passa pela origem, ou seja, não tem um comportamento linear.
Correntes positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima
(observe os sentidos de referência adotados no módulo 1) e nesta região a fonte absorve
energia (p>0) ou seja, está sendo carregada. Quando a corrente é negativa (sentido contrário
ao de referência) a fonte fornece energia (p<0).
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Fontes de tensão reais apresentam uma diminuição da tensão em seus terminais que é
proporcional a corrente fornecida para a carga. A figura abaixo apresenta um modelo para
fonte de tensão real formado por uma fonte de tensão ideal vo em série com uma resistência
RS. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar uma carga RL.
Equacionando o circuito da fonte de tensão e resistor RS como um elemento de circuito
(adotando os sentidos de referência propostos no módulo 1) e aplicando a lei das tensões de
Kirchhoff temos que
v i=Rs⋅ivo ou i  v=
v vo
–
Rs Rs
O comportamento v × i da fonte de tensão real é semelhante ao mostrado na figura a
seguir. Neste exemplo, vo=10V e RS =10  . Observe que com estes valores a curva de
tensão nos terminais da fonte está longe de ser considerada constante, mas a medida que Rs
for diminuído a curva torna-se mais parecida com a da fonte ideal.
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2.5.1 Associação de fontes de tensão
Fontes de tensão podem ser associadas em série e em paralelo (figura abaixo). Se
forem conectadas em série a fonte de tensão equivalente será dada pela soma algébrica das
tensões de cada fonte. Por outro lado, se as fontes forem conectadas em paralelo todas devem
ter o mesmo valor e a mesma polaridade. Isto deve ocorrer para que o somatório das tensões
em cada caminho fechado seja nulo, obedecendo a LTK.
2.6 Fonte de corrente independente
As fontes de corrente são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a
circuitos mantendo constante a corrente que atravessa seus terminais, independentemente da
diferença de tensão entre eles. Existem diversos símbolos para a fonte de corrente, mas o mais
comum está representado na figura seguinte.
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Observe na figura abaixo que a curva v × i da fonte de corrente é uma reta paralela ao
eixo da tensão, como se fosse um circuito aberto (a resistência de uma fonte de corrente ideal
é infinita) porém esta curva não passa pela origem, ou seja, não tem um comportamento
linear. Tensões positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e
nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, está sendo carregada. Quando a tensão é
negativa (sentido contrário ao de referência) a fonte fornece energia (p<0).
Fontes de corrente reais apresentam uma diminuição da corrente de saída a medida que
a tensão nos terminais da fonte aumenta. A figura abaixo apresenta um modelo de uma fonte
de corrente real, representada por uma fonte de corrente ideal io e uma resistência RS. Esta
fonte está sendo utilizada para alimentar a carga RL.
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Podemos equacionar o circuito formado pela fonte de corrente e pelo resistor RS
adotando os sentidos de referência e a lei das correntes Kirchhoff.
v i=Rs⋅iRs⋅io ou i v=
v
−io
Rs
O comportamento v x i da fonte de corrente real é semelhante ao mostrado na figura
abaixo. Neste exemplo, io=1A e RS =10  . Observe que a curva da corrente em função da
tensão não é constante, mas a medida que RS aumenta a curva real se aproxima da ideal.
Observe que os exemplos dados para as fontes de corrente e de tensão reais
apresentam resistência RS muito distantes do que seria razoável para modelar o
comportamento destas fontes. Por esta razão as curvas v × i apresentadas nos dois exemplos
são idênticas. Isto significa que estes circuitos podem ser considerados equivalentes.
2.6.1 Associações de fontes de corrente
Fontes de corrente podem ser associadas em série ou em paralelo (figura seguinte). Se
forem ligadas em série todas as fontes devem ter a mesma intensidade e o mesmo sentido para
que seja respeitada a LCK. Se ligadas em paralelo podem ter qualquer valor e sentido e, neste
caso, a fonte equivalente corresponde a uma fonte cuja intensidade e sentido é dada pela soma
algébrica das correntes das fontes individuais.
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2.7 Modelo de Thévenin e Norton
Como foi mostrado, a curva v × i de um circuito formado pela associação série de uma
fonte de tensão com ou resistor pode ser igual à curva v × i de um circuito formado pela
associação de uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. Se isto acontece os
circuitos são considerados equivalentes. Estes equivalentes recebem nomes especiais
(Thévenin e Norton respectivamente) e podem ser vistos na figura abaixo.
Para substituir um equivalente Thévenin por um Norton e vice-versa basta comparar as
equações de cada equivalente. Comparando as equações de tensão dos dois circuitos temos
v i=Rs⋅iRs⋅io , v i=Rs⋅ivo
observa-se que as equações ficam iguais se vo=Rs⋅io . Neste caso as duas equações
representam uma reta com inclinação Rs e intersepto vo .
Comparando-se as equações de corrente
i v=
v
v vo
−io , i v= –
Rs
Rs Rs
observa-se que as equações ficam iguais se io=vo⋅Rs−1 . Neste caso as duas equações
representam retas com inclinação Rs−1 e intercepto −io .
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2.8 Associação de fontes e resistores
2.8.1 Divisor de tensão
Um problema muito comum em circuitos é o cálculo da tensão sobre um resistor numa
ligação série de fonte de tensão e resistores, conforme indicado na figura a seguir.
A tensão v pode ser obtida da seguinte maneira:
i TOT =
vs
R1R 2R3
v=i TOT⋅R2
v=
vs
⋅R
R1 R2R3 2
Genericamente v i =
vs
⋅R
∑ Rn i
2.8.2 Divisor de corrente
Outro problema muito comum é o cálculo de uma determinada corrente num circuito
paralelo entre uma fonte de corrente e resistores, como ilustrado na figura abaixo.
A corrente i1 pode ser obtida da seguinte maneira
v TOT =
is
G 1G 2G 3
i 1=v TOT⋅G 1
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i 1=
is
⋅G
G 1G 2G 3 1
Genericamente i i=
is
⋅G
∑ Gn i
2.9 Fontes controladas
Uma fonte controlada é um elemento de circuito com 2 braços onde o primeiro é
formado por um curto circuito ou circuito aberto e o segundo por uma fonte de tensão ou
corrente. A forma de onda na fonte do segundo braço é uma função na tensão de circuito
aberto ou da corrente de curto circuito do primeiro braço, ou seja, a fonte do segundo braço é
controlada pela tensão ou corrente no primeiro braço. Assim, existem quatro combinações
possíveis de fontes controladas que estão representadas na figura abaixo.
Fonte de corrente controlada por corrente: i 2 =α⋅i 1
Fonte de corrente controlada por tensão: i 2 =gm⋅v1
Fonte de tensão controlada por tensão: v 2 = μ⋅v1
Fonte de tensão controlada por corrente: v 2 =rm⋅i 1
Estas fontes são muito comuns em eletrônica e representam o funcionamento de
circuitos ou elementos como transistores, amplificadores operacionais e válvulas. Os símbolos
utilizados diferem um pouco na literatura e nos simuladores. Via de regra o símbolo da fonte
continua o mesmo utilizado para fontes independentes ou assume um formato de losango. A
dependência com a corrente ou a tensão do primeiro braço é explicitada pela equação que
governa o funcionamento da fonte.
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Diferente das fontes independentes, fontes controladas representadas por , gm,  e rm
constantes são fontes lineares e invariantes com o tempo mas também podem existir fontes
controladas não lineares e variantes.
As fontes independentes costumam representar absorção ou fornecimento de energia
em decorrência da ação do mundo externo e são componentes não lineares por natureza. As
fontes controladas representam comportamento de elementos eletrônicos (resistores, por
exemplo) acoplados e podem ser elementos lineares. Nos exemplos mostrados acima, com
coeficientes constantes, a impedância de uma fonte de corrente controlada não é infinita e a
impedância de uma fonte de tensão controlada não é zero. De resto as fontes controladas
podem ser consideradas fontes de tensão ou corrente e assim são consideradas na análise de
circuitos.
2.10 Exercícios
1) Observando a curva v × i de um elemento é possível determinar se ele apresenta
polaridade?
2) Para um elemento cuja relação v × i é determinada por: v=50⋅i0,5⋅i 3 . a) Qual o
valor da resistência deste elemento? b) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em
aproximar R por 100 ? c) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R
pela sua resposta do item a? d) A corrente que circula por este elemento sempre apresenta as
mesmas frequências da tensão sobre ele?
3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos da figura abaixo
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4) Apresente as curvas v × i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma
chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria
possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e
invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001) para obter um diodo
próximo do ideal.
5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e
fontes independentes que tenha a característica v × i mostrada abaixo.
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6) Para os circuitos da figura abaixo calcule as tensões e as correntes sobre os
elementos. Considere R1=1 , R1=2 e R1=3  . Determine quem absorve e quem fornece
energia.
7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito abaixo.
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8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2 .
9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo.
10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra
rede chamada  ou . Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser
equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e
RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede . b) Determine os valores de R1, R2
e R3 para que a rede  seja equivalente a uma dada rede Y.
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11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos ThéveninNorton determine o valor da tensão v.
12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L )
13) Para o circuito abaixo, calcular vL (tensão sobre o resistor R L ).
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14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente
15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do
amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a
infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão
independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é
nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu.
2.11 Solução
1) Observando a curva v × i de um elemento é possível determinar se ele apresenta
polaridade?
Sim. Simetria ímpar indica elemento sem polaridade.
2) Para um elemento cuja relação v × i é determinada por: v=50⋅i0,5⋅i 3 . a) Qual o
valor da resistência deste elemento? b) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em
aproximar R por 100 ? c) Para correntes de 10 mA, 1 A e 10 A qual o erro em aproximar R
pela sua resposta do item a? d) A corrente que circula por este elemento sempre apresenta as
mesmas frequências da tensão sobre ele?
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a) Genericamente a resistência deste elemento pode ser modelada como
dv
=R=50+1,5⋅i 2
di
b) Erro de aproximadamente 100% na tensão para corrente de 10mA
v 10mA =50⋅i0,5⋅i 3=0,5000005 V , v=R100 Ω⋅i=1V
Erro de aproximadamente 98% na tensão para corrente de 1A
v 1A =50⋅i0,5⋅i 3=50,5V , v=R100 Ω⋅i=100V
Erro de 0% na tensão para corrente de 10A
v 10A=50⋅i0,5⋅i 3=1000 V , v=R100 Ω⋅i=1000V
c) Erro de aproximadamente 0% na tensão para corrente de 10mA
R(10mA)=50+1,5⋅i 2=50,00001 Ω , v= R⋅i=0,500001V
R(1A )=50+1,5⋅i 2=51,5Ω , v=R⋅i=51,5V
2
R(10A )=50+1,5⋅i =200 Ω , v=R⋅i=2000V
**Isto faz sentido? Como explicar estes números? Usando a expressão da resistência o
erro não deveria estar próximo de 0%? Como escolher o melhor valor de resistência para
linearizar este resistor?
d) Não. Por exemplo, se i=sen (ω⋅t) , então i 3=sen 3 (ω⋅t) . Isto significa que a tensão
terá componentes de frequência diferentes da corrente ( i 3=−0,25⋅sen (3 ω⋅t)+0,75⋅sen(ω⋅t) ).
3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos a seguir
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Circuito da esquerda: Req=R1
Circuito da direita: Req=R1
R2⋅R3
R2R3
R4⋅ R2R3
R4R2R3
4) Apresente as curvas v × i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma
chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria
possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e
invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001) para obter um diodo
próximo do ideal.
5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e
fontes independentes que tenha a característica v × i mostrada a seguir.
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Solução: Um circuito possível é apresentado abaixo. No simulador do tipo Spice
modifique o parâmetro N do diodo para obter um comportamento mais próximo do ideal.
Quanto menor o N mas próximo do ideal e mais problemas computacionais. No LTSpice
insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001)
6) Para os circuitos das figuras a seguir calcule as tensões e as correntes sobre os
elementos. Considere R1=1 , R1=2 e R1=3  . Determine quem absorve e quem fornece
energia.
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Circuito a esquerda
R1=1  , v R1=v 1 , i R1=2 A , i V1=−1 A , p V1=−2 W , p R1 =4 W , p I1=−2 W
R1=2 , v R1=v 1 , i R1=1 A , i V1=0 A , p V1=0 W , p R1 =2 W , p I1=−2 W
R1=3  , v R1=v 1 , i R1=2 /3 A , i V1=1/3 A , p V1=2 /3 W , p R1 =4 /3 W , p I1=−2 W
Circuito a direita
R1=1  , v R1=1V , i R1=i I1 , i V1=i I1 , p V1=2 W , p R1 =1 W , p I1=−3W
R1=2 , v R1=2 V , i R1=i I1 , i V1=i I1 , p V1=2 W , p R1 =2 W , p I1=−4 W
R1=3  , v R1=3 V , i R1=i I1 , i V1=i I1 , p V1=2 W , p R1 =3W , p I1=−5 W
Circuito isolado, v R2=3 V , p R2 =3W
R1=1  , i R1=2 A , i V1=−1 A , p V1=−2 W , p R1 =4 W , p I1=−5 W
R1=2 , i R1=1 A , i V1=0 A , p V1=0 W , p R1 =2 W , p I1=−5 W
R1=3  , i R1=2 /3 A , i V1=1/3 A , p V1=2 /3 W , p R1 =4 /3 W , p I1=−5 W
7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito a seguir.
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Os resultados estão apresentados na tabela abaixo. As células pintadas correspondem
as fontes que fornecem energia.
IR1=3A, VR1=6V, PR1=18W
IR6=4A, VR6=16V, PR6=64W
IR5=2A, VR5=10V, PR5=20W
VI1=V7+VR1=26V, PI1=78W
IV10= 4A, PV10= 200W
VI2=VV8+VR5=25V, P=50W
IR7=V9 / R7 = 4A, VR7= 40V,
VI3=VV10+VR6–VV9=26V,
VR4=15V, IR4=2A, PR4=30W
PR7= 160W
P=104W
VR2=20V, IR2=5A, PR2=100W
VR3=VV9–VR2–VR4=5V,
IV7=IR1+IR3–IR2=0A, PV7=0W
IR3=2A, PR3= 10W
IV8=IR3+IR5–IR4=2A, PV8=30W
IV9=IR4+IV8+II3+IR7-II2 =10A,
PV9=400W
8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2 .
v 2 =25 V , v 1=−1V
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9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo.
Circuito da esquerda igual a uma fonte de tensão de valor V1. Circuito da direita igual
a uma fonte de corrente de valor I1.
10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra
rede chamada  ou . Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser
equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e
RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede . b) Determine os valores de R1, R2
e R3 para que a rede  seja equivalente a uma dada rede Y.
a) R AC = RA RC , R AB= RARB , R BC =RBRC
R AC = R1 //  R2R3=
R1⋅ R2R3 R1⋅R2R1⋅R3
=
R1R2R3
R1R2R3
R AB= R2 //  R1R3=
R2⋅ R1R3 R1⋅R2R2⋅R3
=
R1R2R3
R1R2 R3
R BC =R3 //  R1R2=
R3⋅ R1R2 R1⋅R3R2⋅R3
=
R1R2 R3
R1R2R3
RARC=
R1⋅R2 R1⋅R3
(1)
R1R2R3
RARB=
R1⋅R2R2⋅R3
(2)
R1R2R3
RBRC =
R1⋅R3R2⋅R3
(3)
R1R2R3
28
12 – 3=2⋅RA , 23 – 1=2⋅RB , 13− 2=2⋅RC
RA=
R1⋅R2
R2⋅R3
R1⋅R3
, RB=
, RC=
R1R2R3
R1R2R3
R1R2R3
b) considerando que RT =R1R2R3
então RA=
R1⋅R2
R2⋅R3
R1⋅R3
, RB=
, RC=
RT
RT
RT
2
2
R1 ⋅R2⋅R3
R1⋅R2⋅R3
R1⋅R2 ⋅R3
RA⋅RB=
, RA⋅RC=
, RB⋅RC =
2
2
RT
RT
RT 2
RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC=
3
R1⋅R22⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32
RT 2
1
1 R1⋅R2 2⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32
⋅RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC= ⋅
RA
RA
RT 2
1
RT R1⋅R22⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32
⋅RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC=
⋅
RA
R1⋅R2
RT 2
RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC R2⋅R3R1⋅R3R3 2
=
RA
RT
RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC R3⋅ R2R1 R3
=
RA
R1R2R3
R3=
RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC
,
RA
R2=
RA⋅RB RA⋅RC RB⋅RC
RC
R1=
RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC
RB
11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos ThéveninNorton determine o valor da tensão v.
29
R4 e R6 não influenciam a tensão v e podem ser desconsiderados
V 12=V 1V 2=10−4=6V
O modelo Thevènin formado por V 12 e R1 pode ser transformado em um Norton
I 12=V 12 /R 1=6/2=3 A e R1=2 .

1
1
1
Req =


R1 R3R5 R2
−1

=1,14  , e I eq=I 12I 1=310=13 A .
Assim, v= I eq⋅Req =14,85V
12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L )
v RL= RL⋅gm⋅v1 e v 1=
v RL= RL⋅gm⋅
v s⋅R1
R1R 2
v s⋅R1
com polaridade positiva para baixo.
R1R 2
13) Para o circuito abaixo, calcular vL (tensão sobre o resistor R L ).
30
Solução:
vL =
v2
m × v1
× RL =
× RL
R2 + RL
R2 + RL
v 1=
vS
⋅R
RS R1 1
v L=
μ⋅v S⋅R1⋅R L
 R L R2⋅ R SR1 
14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente
Solução:
RE=
V L 1−a⋅I 1⋅RL
=
=1−a⋅R L
IS
IS
Observe que dependendo do valor de a a impedância equivalente conectada em
paralelo com a fonte de corrente varia. Se a=1 a impedância é nula e o circuito se comporta
como um curto circuito. Se 0a1 a impedância será uma parcela da impedância da carga.
Se a1 a impedância é negativa.
15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do
amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a
infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão
independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é
nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu.
31
Solução para o primeiro circuito.
Redesenhando o circuito para facilitar o equacionamento
i 1=
v i−v o
R1R2
v _=i 1⋅R 2v o=
v _=
v i−v o
⋅R v
R1R 2 2 o
v i⋅R 2v o⋅R1
R 1 R 2
v o= A⋅ v + −v _ 
como v + =0 , v o =−A⋅v _
v _=−
v o =−
v o v i⋅R2+ v o⋅R1
=
A
R 1+ R 2
R2
⋅v
R1R 2 i
R1
A
lim v o =−
A→ ∞
R2
⋅v
R1 i
Observe que se A tende a infinito e a saída v o é finita então a diferença de tensão entre
as duas entradas do amplificador operacional obrigatoriamente deve ser nula. Considerando
32
antecipadamente as duas entradas do operacional com o mesmo potencial podemos resolver o
problema da seguinte forma:
v + =v _ =0 logo
i 1=
vi
v
=− o , então
R1
R2
v o=−
R2
⋅v .
R1 i
Para o segundo circuito
v + =vi
R1
⋅v
R 1 + R2 o
v -=
v + −v -=
v i−
vo
A
R1
v
⋅v o= o
R1 + R2
A
v o ( R1+ R 2)⋅A
=
v i R1 + R2 + R1⋅A
v o=
R1 + R2
⋅v
R1 + R 2 i
R1 +
A
( )
lim v o= 1+
A →∞
R2
⋅v
R1 i
Resolvendo da forma simplificada:
v R1=v i
i R1=i R2=
v 0−v i v i
=
R2
R1
( )
v o= 1+
R2
⋅v
R1 i
33

Módulo 2

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