Espaço linha de uma matriz

MA33 - Introdução à Álgebra Linear
Unidade 8 - Espaço linha de uma matriz
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Espaço linha de uma matriz
Nesta unidade vamos apresentar um método para encontrar uma base
de subespaços de Rn , usando as transformações elementares nas linhas de uma matriz.
Para uma matriz A = (aij )m×n os vetores
v1 = (a11 a12 . . . a1n )
v2 = (a21 a22 . . . a2n )
..
.
vm = (am1 am2 . . . amn )
formados pela linhas da matriz A são chamados os vetores linhas de
A. O espaço gerado pelos vetores linha de A é chamado espaço linha
de A e denotado por L(A). Como combinações lineares de vetores
de um espaço vetorial pertencem ao espaço, o espaço linha de uma
matriz não se altera ao aplicarmos transformações elementares.
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Espaço linha de uma matriz
Disto decorre os seguintes importantes fatos:
I Duas matrizes equivalentes geram o mesmo espaço linha.
I As linhas não nulas de uma matriz A 0 , na forma escalonada e
equivalente a uma matriz A, formam uma base para o espaço linha
de A.
I O posto pA de uma matriz A é o número máximo de linhas linearmente independentes da mesma. Mais precisamente, pA = dim L(A).
Exemplo: Seja U o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 =
(1, −2, 3, −3), v2 = (2, 3, 0, −4) e v3 = (3, 8, −3, −5). Para encontrarmos uma base e a dimensão de U, consideremos a matriz cujas
linhas são os vetores v1 , v2 e v3 . Escalonando, temos:
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



1 −2 3 −3
1 −2 3 −3
escalonando
 2 3
0 −4  −→  0 7 −6 2  .
3 8 −3 −5
0 0
0
0
Donde concluı́mos que os vetores u1 = (1, −2, 3, −3) e u2 =
(0, 7, −6, 2) são LI e geram o mesmo espaço que os vetores v1 , v2 , v3 .
Portanto, α = {u1 , u2 } é uma base para U e dim U = 2. Podemos
acrescentar vetores à base encontrada de modo a completarmos uma
base de R4 .
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