matrizes

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 20
MATRIZES
Como pode cair no enem
Uma empresa possui 3 filiais: a filial 2 e a filial 3. Ela comprou camisas para o uniforme de
seus funcionários nos tamanhos P, M e G. Se representarmos o tamanho P pelo número 1, M
pelo número 2 e G pelo número 3 teremos que, na matriz abaixo, cada elemento aij representa
o número de camisas tamanho i que a filial j comprou.
9 7 3
A= 6 8 4
4 6 7
Se cada camisa custa R$ 7,00, quanto gastou a filial que gastou mais?
a) R$ 133,00
b) R$ 126,00
c) R$ 119,00
d) R$ 147,00
e) R$ 161,00
Fixação
1) Seja X = (Xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde
i + j se i = j
Xij = 1 - j se i > j, a soma dos seus elementos é igual a:
1 se i < j
a) -1
d) 7
b) 1
e) 8
c) 6
Fixação
2) Dadas as matrizes:
4 -1 3
A= 0 7 1
1 -1 2
e
3 -1 6
B= 1 2 5
1 -1 2
Determine o elemento x32 da matriz AB.
Fixação
3) A matriz A é do tipo 5x7 e a matriz B, do tipo 7x5. Assinale a alternativa correta.
a) A matriz AB tem 49 elementos.
b) A matriz BA tem 25 elementos.
c) A matriz (AB)2 tem 625 elementos.
d) A matriz (BA)2 tem 49 elementos.
e) A matriz (AB) admite inversa.
Fixação
F
4) (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes5
ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatural
m
observada no instante i do dia j.
35,6
36,1
35,5
36,4
37,0
35,7
38,6
37,2
36,1
38,0
40,5
37,0
36,0
40,4
39,2
Determine:
a) O instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura.
b) A temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
p
A
d
a
b
c
d
Fixação
5) (UERJ) Em um supermercado, um cliente empurra seu carrinho de compras passando pelos setores 1, 2, e 3, com uma força de módulo constante de 4 newtons, na mesma direção e
mesmo sentido dos deslocamentos.
Na matriz A abaixo, cada elemento aij indica, em joules, o trabalho da força que o cliente faz
para deslocar o carrinho do setor i e j elementos do conjunto {1, 2, 3}.
0 40
A = 40 0
60 80
60
80
0
Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, retornar ao setor 1, a trajetória
do cliente descreve o perímetro de um triângulo.
Nessas condições, o cliente percorreu, em metros, a distância de:
a) 35
b) 40
c) 45
d) 50
Fixação
6) (UERJ) Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentes potências,
são produzidos por um determinado fabricante.
Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi realizada com 1000 usuários desses
produtos. Observe a matriz A, na qual cada elemento aij representa o número daqueles que
pretendem trocar do modelo i para o modelo j.
50 150
A = 0 100
0
0
200
300
200
Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados, a probabilidade de que ele
não pretenda trocar seu modelo de ar-condicionado é igual a:
a) 20%
b) 35%
c) 40%
d) 65%
Proposto
1) (PUC) Dê a matriz 3x2 tal que aij =
i se i = j
i2 se i ≠ j
Proposto
2) (PUC) O número de matrizes 3x3 cujos elementos pertencem ao conjunto {-1, 0, 1}, e nas
quais não há dois elementos iguais na mesma linha e nem na mesma coluna, é igual a:
a) 3
b) 6
c) 12
d) 36
e) 120
Proposto
3) Dadas as matrizes
e os produtos AB, AC, BC, BA, CA, CB, os produtos possíveis de calcular são:
a) somente AC e CA;
b) todos os produtos;
c) somente AB e BC;
d) somente AB, BA, BC, CB;
e) somente AB e BA.
Proposto
4) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C são,respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t.
Se a matriz (A - B) . C é de ordem 3 x 4, então r + s + t é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Proposto
.
4 3
1 a
2 3
5) (CESGRANRIO) Multiplicando b 2 . 1 0 obtemos 2 0 . O produto dos elementos a e b
da primeira matriz é:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 6
Proposto
6) (UERJ) Cada par ordenado (x, y) do plano pode ser escrito como uma matriz
.
Para obter uma rotação de 90º do ponto de coordenadas (x, y) em torno da origem no sentido anti-horário basta multiplicar a matriz
por
.
y
B
4
3
-2
7
x
A
Aplicando-se esse método para fazer a rotação do ponto médio do segmento da figura
acima suas novas coordenadas serão:
a) (5, -1)
b) (-1, 5)
c) (-5, -1)
d) (-1, -5)
Proposto
0 1 0
7) (UERJ) Multiplicando-se = 0 0 1
1 0 0
a
b
por x = b obtém-se AX = c que é uma permutação dos
c
a
elementos de X.
Existem 5 outras matrizes de mesma ordem da matriz A, com apenas elementos de X. A
soma destas 5 matrizes é:
a)
b)
e)
c)
d)
Proposto
8) (UFRJ) Marlos Charada, o matemático espião, concebeu um código para transformar uma
palavra P de três letras em um vetor Y de R3 como descrito a seguir.
A partir da correspondência:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
A palavra P é transformada em um vetor X de R3.
2 2 0
Em seguida, usando a matriz código A = 3 3 1 o vetor Y é obtido pela equação Y = A .
X.
1 0 1
Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor X = (12, 1, 17) e é codificada com
Y = AX = (26, 56, 29).
Usando o processo acima, decodifique Y = (64, 107, 29).
Proposto
9) (UFRJ) Considere as matrizes:
A=
m
19941994
19941994
19941994
19941995
eB=
1 -1
-1 1
Seja A2 = A . A e B2 = B . B
Determine a matriz C= A2 - B2 - (A+B) (A-B)
Proposto
10) (UFF) Seja A = 1 2
2 4
a) Determine o valor do número k tal que A2 = k . A.
b) Sendo n um inteiro positivo, calcule.
Proposto
11) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele
observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular
as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam
o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
1º bimestre
2º bimestre
3º bimestre
4º bimestre
Matemática
5,9
6,2
4,5
5,5
Português
6,6
7,1
6,5
9,4
Geografia
8,6
6,8
7,8
9,0
História
6,2
5,6
5,9
7,7
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
1 1 1 1
a) ––
–– –– ––
2 2 2 2
1 1 1 1 c) 1 d) 1
b) ––
–– –– ––
––
4 4 4 4
1
2
1
1
––
1
2
e) 1
––
4
1
––
2
1
––
4
1
––
2
1
––
4
1
––
4
Proposto
12) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no
sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu
e como a despesa foi dividida:
S=
4
0
3
1
2
2
4
0
0
eD=
5
0
2
5
3
1
3
0
3
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número
1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j
de cada matriz).
Assim, no sábado, Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e
4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
Proposto
13) Na matriz abaixo estão representadas as distâncias entre 4 cidades. Cada elemento aij
representa a distância entre a cidade i e a cidade j em quilômetros.
0
1
A=
3
8
1
0
2
7
3
2
0
5
8
7
5
0
Calcule:
a) A distância entre a cidade 2 e a cidade 4.
b) A menor distância a ser percorrida quando se deseja ir da cidade 1 até a cidade 3, passando
pela cidade 4.
Proposto
14) Um edifício de 3 andares possui 3 apartamentos por andar. Na matriz abaixo cada elemento
aij representa a quantidade de quartos dos apartamentos i de andar j.
4 2 3
1 3 2
2 1 3
Qual o andar que possui mais quartos? Quantos quartos possui?
Proposto
15) (UFF) Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por matrizes
cujos elementos são os algarismos 0 e 1.
Considere que a matriz linha L=(1 0 1 0 0 1) representa a figura a seguir:
onde 1 representa “quadrinho” escuro e 0 representa “quadrinho” branco.
Seja X a matriz dada por X = LM, onde M é a matriz M = (mij) com
mij =
1, se i + j = 7
0, se i + j ≠ 7,
1 ≤ i ≤ 6,
1 ≤ j ≤ 6.
Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Proposto
16) (UERJ) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedades de uma mesma empresa.
suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a
soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de uma
determinado dia de feira.
x 1,8 3,0
B=
a
y
2,0
d c
7
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
Proposto
.17) (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, modifica a senha escolhida por um
usuário, de acordo com o procedimento descrito abaixo.
a
A senha escolhida S1 S2 S3 S4 deve conter quatro dígitos, representados por S1, S2, S3 e S4.
Esses dígitos são, então, transformados nos dígitos M1, M2, M3 e M4, da seguinte forma:
M1
S1
M3
S3
01
onde P é a matriz 1 0
e
=
P
=
P
M2
S2
M4
S4
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1 = 1, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0,
pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi:
a) 0011
d) 1010
b) 0101
e) 1100
c) 1001
Proposto
18) (UFRJ) Em uma cidade, há três revistas de noticiário semanal: 1,2,3. Na matriz A=(aij) abaixo,
o elemento aij representa a probabilidade de um assinante trocar a assinatura da revista i para
a revista j, na época da renovação.
0,6 0,1 0,3
A = 0,1 0,7 0,2
0,4 0,2 0,4
a) Qual é a probabilidade de os assinantes da revista 2 trocarem de revista quando forem
renovar a assinatura?
b) Quais os leitores menos satisfeitos com a revista que estão assinando?
Proposto
19) (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-Americanos no
Rio de Janeiro em 2007:
Medalhas
País
Tipos
Total
1- ouro
2 - prata
3 - bronze
1 - Estados Unidos
97
88
52
237
2 - Cuba
59
35
41
135
3 - Brasil
54
40
67
161
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o
número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer uma outra classificação desses países,são atribuídos às medalhas os seguintes
valores:
- ouro: 3 pontos
- prata: 2 pontos
- bronze: 1 ponto
3
Esses valores compõem a matriz V = 2
1
Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três
países separadamente.
Proposto
20) (UFRJ) Há 5 senadores designados para uma Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles
devem escolher entre si um presidente para a Comissão, sendo que cada senador pode votar
em até 3 nomes. Realizada a votação onde cada um deles recebeu um número de 1 a 5, os
votos foram tabulados na matriz A = (aij), abaixo indicada. Na matriz A, cada elemento aij é
igual a 1(um), se i votou em j; e é igual a 0 (zero), caso contrário.
A=
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
Responda, justificando:
a) Qual é o candidato mais votado?
b) Quantos candidatos votaram em si mesmos?
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1