Concepções da Álgebra nos Livros Didáticos: a necessidade de

Concepções da Álgebra nos Livros Didáticos: a necessidade de
uma inter-relação para o desenvolvimento do pensamento
algébrico
Juliana Thais Beltrame (Mestranda PUC/SP)
Orientadora: Barbara Lutaif Bianchini (PUC/SP)
Desde que iniciei meu trabalho como professora no ensino fundamental tanto da
rede pública estadual quanto na municipal, me questionava por que meus alunos tinham
tanta dificuldade em aprender álgebra, já que a considero muito mais fácil que a geometria
e, além disso, a álgebra ocupa, nos currículos, um lugar privilegiado no ensino da
matemática. Esta inquietação levou-me a voltar para a universidade e pesquisar sobre este
tema, ou seja, sobre como poderia auxiliar meus alunos na compreensão da álgebra.
Na universidade encontrei o Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica – GPEA,
que estuda o papel que a Matemática desempenha na estrutura curricular do ensino
fundamental e médio e a reorientação da formação do professor de matemática com ênfase
nas pesquisas sobre as representações dos professores feitas de sua prática e sobre as
relações professor - aluno - saber matemático, seguindo a linha - A Matemática na
Estrutura Curricular e Formação de Professores.
Ao ler o livro, As idéias da álgebra, organizado por Arthur F. Coxford e Albert P.
Shulte (1995), que traz uma coletânea de artigos de 1988 de alguns dos eminentes
especialistas da área sobre as diferentes concepções do ensino da álgebra, sobre as
dificuldades em iniciar estudo da álgebra, sobre erros cometidos pelos alunos, sobre
linguagem matemática e a necessidade de torná-la significativa e ao fazer uma leitura mais
atenta nos Parâmetros Curriculares Nacionais, percebi que este documento sinalizava
também para as mesmas reflexões do livro, além de ênfase também para as concepções da
álgebra, na qual, para este documento é necessária a inter-relação entre as concepções para
o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Desse modo, surgiu a motivação para estudar se o ensino da álgebra abordado pelos
livros didáticos, ferramenta utilizada quase que exclusivamente para o ensino em sala de
aula, contempla esta inter-relação entre as diferentes concepções da Álgebra. Assim,
pretendemos abordar neste trabalho quais as concepções defendidas por Usiskin podem ser
identificadas nos livros didáticos desde os tempos do movimento da matemática moderna
até os dias atuais, procurando verificar a concordância das mudanças ocorridas nos livros
com a legislação vigente, ou seja, os Guias Curriculares, a Proposta Pedagógica, os
Parâmetros Nacionais Curriculares, na data de publicação.
“O estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno
desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização” (BRASIL, 1998,
p.115). Existem inúmeras pesquisas e trabalhos realizados na Educação Matemática sobre o
ensino e aprendizagem da álgebra e, em sua grande maioria, esses estudos nos apresentam
reflexões acerca da dificuldade em definir a álgebra, apresentam referencias sobre a
dificuldade dos alunos na compreensão desta área da matemática. Muitas vezes ainda, a
álgebra é caracterizada ou considerada, como estudo de manipulações rotinizadas, tem
contribuído para muitos insucessos, fortalecendo a idéia de que a matemática é algo
abstrato, mecanizado e descontextualizado do mundo fora da escola.
Em contrapartida, existem trabalhos que nos chamam a atenção para o como
poderemos melhorar o ensino da álgebra nas escolas públicas hoje, ou ainda, nos mostram
a necessidade de proporcionar instrumentos úteis para a compreensão da álgebra. É neste
ambiente que nosso trabalho procura contribuir, considerando esse instrumento, o livro
didático.
Para tanto, buscamos estudos relacionados com o tema do nosso trabalho, entre
eles, encontramos:
Nobre (1996) teve por objetivo estudar como o aluno que ainda não iniciou seu
estudo da álgebra é capaz de criar um código e adaptá-lo à notação algébrica usual. A
autora optou por utilizar uma situação de comunicação que privilegia a criação de uma
linguagem, por meio do trabalho em duplas e da elaboração/leitura de mensagens, em que
estas eram elaboradas por uma dupla de alunos, sobre a resolução de um problema
aritmético, e enviado a outra dupla, que iria decodificá-la a fim de resolver um problema
semelhante
àquele
resolvido
pela
dupla
emissora.
Concluiu
que
a
codificação/decodificação de mensagens é propícia ao desenvolvimento da linguagem
algébrica.
Teles (2004) em seu artigo1 publicado na Revista da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática aponta que os estudos em educação matemática apresentam a
aritmética tratando de números, das operações e das propriedades destas, enquanto a
álgebra possui um aspecto de generalização da aritmética por causa da utilização da
linguagem simbólica. Este estudo procura discutir a relação entre a aritmética e a álgebra
na matemática, destacando a dificuldade dos alunos na aprendizagem da álgebra além de
procurar oferecer subsídios para a formulação de situações didáticas mais eficientes para o
aprendizado da álgebra. Neste artigo também encontramos referencias sobre a evolução da
linguagem algébrica.
Temos nos trabalhos de Booth (1982) e Kieran (1981) evidências sobre as
dificuldades dos alunos no aprendizado da álgebra. Ambos os autores abordam que o início
das dificuldades, em álgebra, está na incompreensão de conceitos, princípios e convenções
da aritmética ou em concepções errôneas decorrentes de uma falsa generalização dos
procedimentos aritméticos, na compreensão insuficiente das relações existentes entre as
operações e das propriedades operatórias dos números, nas diferentes interpretações do
sinal de igualdade e soma.
Com relação à interpretação dos símbolos pelos alunos sinal de igualdade, Kieran
(1981) realizou uma experiência com estudantes de 12 a 14 anos, com o objetivo de
mostrar que crianças dessa idade consideram o sinal de igual (=) como símbolo que
precede uma resposta numérica, ou seja, um símbolo unidirecional. De acordo com a
autora, ficou evidente que os alunos interpretaram o sinal de igual “uma resposta”, ou seja,
ao invés desse sinal representar uma relação de equivalência, ele antecipava um resultado.
Usiskin (1995) afirma que muitos alunos pensam que variáveis são letras
representando números e que é importante estarmos atentos para as interpretações
equivocadas com o conceito de variável. Dessa forma, o autor relaciona os diferentes usos
das variáveis com o que chama de concepções da álgebra, apresentam assim a álgebra
como aritmética generalizada, a álgebra como procedimento para resolver problemas, a
álgebra como estudo das relações entre grandezas e como estudo das estruturas.
Silva (2006) em seu trabalho investigativo sobre os números e operações nos quatro
ciclos, ficou evidenciado que, apesar do PCN indicar o estudo associado de álgebra e
aritmética, não estão contempladas no conjunto de suas orientações ações que possam
1
Recorte da fundamentação teórica da dissertação de Mestrado em Educação defendida
em 2002 pela UFPE.
concretizar essa indicação. As análises revelaram que os PCN trazem em suas orientações,
visões da álgebra como aritmética generalizada, como ferramenta, e a álgebra como uma
atividade – todas com a finalidade de produzir a linguagem simbólica das letras. Os dados
mostraram também que, tal como sugerem os PCN de Matemática, faz-se necessário abrir
espaços de reflexões sobre o ensino da álgebra no Ensino Fundamental, que englobe os
diversos segmentos envolvidos no processo de ensino e da aprendizagem, como
professores, pesquisadores, instituições afins, comunidade, sociedade, e outros.
Percebemos, portanto, que os autores citados acima possuem grande preocupação
com o ensino e aprendizagem da álgebra e dessa forma, estes estudos são de extrema
importância para a nossa pesquisa.
Hipóteses e objetivos
Por vivenciar a dificuldade dos meus alunos e também pela álgebra ser uma área da
matemática que ocupa um lugar importante no currículo escolar, propusemo-nos neste
trabalho investigar o ensino da álgebra, mediante a análise dos livros didáticos, tanto os
que já foram utilizados, quanto os atuais livros presentes na rede pública do Estado de São
Paulo.
O livro didático, para muitos estudiosos e pesquisadores, pode parecer um tema
com poucas contribuições ao avanço das discussões sobre o processo de aprendizagem da
matemática nos ambientes escolares, ou mesmo um tema já esgotado. Entretanto, a
realidade vivida e encontrada nas escolas nos mostra que o livro didático é um instrumento
de grande poder nas decisões que orientam as ações docentes. É um instrumento de fácil
acesso tanto para professores quanto para alunos.
Sendo assim, a nossa pesquisa tem como objetivo proporcionar a união destes dois
aspectos importantes para o ensino da matemática escolar, ou seja, unir a álgebra ao livro
didático e desse modo verificar a se as diferentes concepções da álgebra se interrelacionam e assim, verificar como a álgebra está sendo abordada nas séries finais do
Ensino Fundamental, principalmente nos livros didáticos de 6ª série ou 7º ano, já que, de
acordo com os currículos escolares propostos atualmente, é quando se introduz o estudo da
álgebra.
Na direção oposta a esta proposta dos currículos temos as idéias e as considerações
de Lins e Gimenez (2006), quanto ao que encontramos nos livros didáticos hoje. Os
autores afirmam que os livros contemplam uma visão letrista, resumindo a atividade
algébrica como cálculo com letras, com ênfase na utilização da seqüência técnica
(algoritmo)/prática (exercícios). Apontam também, que a idéia de que é preciso
primeiramente compreender aritmética para depois iniciar o estudo da álgebra, tornando
tardia a iniciação da atividade algébrica é uma forma equivocada e indesejável, uma vez
que consideram que a álgebra e a aritmética possuem uma ligação e uma dependência.
Para chegarmos às questões de pesquisa refletimos sobre vários pontos importantes
para o processo de ensino e de aprendizagem da álgebra, levantando algumas hipóteses e
assim delineando nosso trabalho.
Um primeiro questionamento levantado diz respeito aos diferentes usos das
variáveis, ou seja, à abordagem das concepções da álgebra defendidas por Usiskin (1995)
nos livros didáticos que já estiveram e ainda estão sendo usados pela rede pública.
- Os livros didáticos utilizados na rede pública de ensino abordam as concepções da
álgebra propostas por Usiskin? Será que todas as concepções defendidas por Usiskin estão
presentes nos livros didáticos, ou os livros apresentam apenas uma das concepções
propostas por este autor?
Pensando especificamente nos livros didáticos editados e publicados para a
utilização no ambiente escolar, podemos levantar as seguintes questões, tendo sempre em
mente que livro didático, no ambiente escolar, é um dos elementos de fundamental
importância na divulgação do conhecimento matemático.
- A maneira com que os livros didáticos iniciam o estudo algébrico contribui para a
compreensão dos conceitos desta área da matemática?
- Os conteúdos algébricos abordados no livro, bem como seus exercícios propostos
estão de acordo com a proposta curricular do estado de São Paulo e com as orientações
trazidas pelo PCN de Matemática do Ensino Fundamental?
- Esses exercícios e situações propostas contribuem para um efetivo aprendizado
dos conceitos algébricos, ou privilegiam a idéia de que a matemática é algo abstrato,
mecanizado e descontextualizado?
Além disso, podemos refletir sobre como os livros didáticos abordam as notações e
convenções em álgebra, como utilizam as letras na representação algébrica e como
trabalham com a idéia de variável. Questões estas, importantes no processo de ensino e de
aprendizagem da álgebra, pois como já mencionado estes aspectos possuem evidências de
serem causadores das dificuldades e do fracasso dos alunos em álgebra. Estes
questionamentos são pertinentes à nossa pesquisa e servirão de base para o delineamento
do nosso trabalho.
Questões de pesquisa
Este trabalho busca investigar o estudo da álgebra abordado no livro didático,
principal instrumento de trabalho em sala de aula dos professores, contemplam concepções
propostas por Usiskin para o ensino da álgebra. Para tanto, pretendemos ao longo do nosso
estudo, responder as seguintes questões de pesquisa.
- Quais concepções da álgebra definidas por Usiskin podem ser identificadas nos
livros didáticos da 6ª série ou 7° anos do ensino fundamental a partir da implantação das
orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais?
- Os livros didáticos procuram garantir o desenvolvimento do pensamento
algébrico, apresentando atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da
Álgebra, como propõe os PCN?
Fundamentação Teórica
No ambiente escolar existe a idéia de que a aritmética trata de números e a álgebra
de letras. Tenta-se também, estabelecer limites entre conteúdos, sendo que no currículo da
escola, a aritmética é trabalhada desde a educação infantil até o 5º ano do ensino
fundamental e os conteúdos tradicionais da álgebra, como equações, cálculo com letras,
expressões algébricas, são abordados a partir da 6ª série ou 7° ano do ensino fundamental,
além de considerar que os conteúdos aritméticos são conhecimentos prévios para a
introdução da álgebra. Mas também, segundo Oliveira (2002), é importante destacar o nãoconsenso sobre o significado de álgebra entre os estudiosos e evidenciar o freqüente
conceito encontrado – álgebra entendida como cálculo literal ou generalização da
aritmética.
Portanto, se considerarmos este conceito freqüente “generalização da aritmética”,
encontramos concordância com a primeira concepção da álgebra proposta por Usiskin
(1995), definindo que as diferentes concepções da álgebra relacionam-se com os diferentes
usos das variáveis e assim temos como concepções da álgebra, pospostas por este autor
com sendo, a álgebra como aritmética generalizada, como procedimento para resolver
problemas, como estudo das relações entre grandezas e como estudo das estruturas. Além
disso, aborda a utilização da álgebra, mais precisamente, a utilização das variáveis na
ciência da computação.
Para uma compreensão mais simplificada das diferentes concepções da álgebra e a
relação com os diferentes usos das variáveis podemos observar abaixo.
Concepç
Concepções da
Álgebra
Uso das variá
variáveis
Aritmética Generalizada
Generalizadora de modelos
Traduzir – Generalizar
Meio de resolver certo
problemas
Incógnitas, constantes
Resolver - Simplificar
Estudo das Relações
Argumentos, parâmetros
Relacionar – Gráficos
Estrutura
Sinais arbitrários no papel
Manipular - Justificar
Figura 1 – Usiskin (1995, p. 20)
As concepções acima descritas estão em concordância com os Parâmetros
Curriculares Nacionais (1998), quando enfatizam sobre a importância fundamental de se
desenvolver estes diversos aspectos da álgebra, principalmente através de situaçõesproblema, o que muitas vezes não ocorre em virtude de privilegiar o cálculo algébrico e as
equações.
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de
álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as
atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situaçõesproblema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar
padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar,
resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por
meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis,
incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe”
(regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998 p. 50 - 51).
Podemos perceber nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) a preocupação em
garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico. E para tanto sugere atividades que
inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra, como podemos verificar, de forma
simplificada.
Figura 2 - Diferentes interpretações da álgebra escolar e as diferentes funções das
letras. (BRASIL, 1998, p.116)
Desse modo, percebemos claramente que os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática, documento que visa à construção de um referencial que oriente a prática
escolar de forma a contribuir para o acesso ao conhecimento matemático, considera a
necessidade do trabalho com as diferentes concepções da álgebra para a compreensão de
conceitos e procedimentos algébricos e que sejam propostas atividades variadas,
envolvendo as noções algébricas em um trabalho articulado com a Aritmética, permitindo
aos alunos a aquisição de uma base sólida e rica em significados para a aprendizagem de
Álgebra.
Para verificar a presença das diferentes Concepções da Álgebra nos livros
didáticos, utilizaremos a Teoria Antropológica do Didático (TAD), desenvolvida por Yves
Chevallard (1999), por ser um importante instrumento de análise das práticas docentes, na
qual estuda as condições, possibilidades e o funcionamento de sistemas didáticos
entendidos como relações entre as instituições, os sujeitos (indivíduos das instituições), e o
saber. Este saber, considerado como uma organização do conhecimento e reconhecido
como um objeto se, existe um indivíduo ou uma instituição que o reconheça. O saber
matemático é uma forma particular do conhecimento, fruto da ação humana, é produzido,
se ensina ou se transpõe nas instituições. Para analisar, descrever e estudar as condições de
sua realização, ou seja, para modelar a atividade matemática surge à noção de praxeologia,
ou organização praxeológica.
Desta forma, a TAD é o estudo da organização praxeológica didática pensada para
o ensino e a aprendizagem da matemática. Esta organização utiliza-se de determinadas
noções, na qual foram chamadas de tarefa, técnica, tecnologia e teoria e estão baseados em
três postulados: (1) Toda prática educacional pode ser analisada, sob diferentes pontos de
vista e de diferentes maneiras, em um sistema de tarefas; (2) O cumprimento de toda tarefa
decorre do desenvolvimento de uma técnica (maneira de fazer uma tarefa); (3) As
condições e restrições das tarefas que permitem sua produção e sua utilização nas
instituições.
Portanto, a Teoria Antropológica do Didático permite promover, desenvolver e
analisar as situações de aprendizagem, empregando um modelo chamado organização
praxeológica, organizado em tarefa, técnica, tecnologia e teoria. Estas são as categorias que
modelam toda a atividade matemática. A tarefa é tudo aquilo que é pedido para uma pessoa
fazer, a técnica é a maneira de resolver o que foi solicitado para fazer. A tecnologia por sua
vez é o que justifica e esclarece o uso desta técnica escolhida e a teoria é o discurso que
justifica a tecnologia.
A associação destas categorias ao saber matemático pode ser
caracterizada como organização didática e matemática.
Dessa forma, a TAD analisa o papel do saber matemático em relação à instituição
escolar e representa um importante modelo na analise das atividades propostas aos
aprendizes e bem como na análise de materiais como o livro didático.
Fundamentação Metodológica
O recurso a ser utilizado neste estudo para a coleta dos dados será o da pesquisa
documental, que segundo Lüdke e André (1986) constituem uma técnica valiosa de
abordagem qualitativa, representa uma fonte poderosa de evidências e informações
contextualizadas, além de possuir algumas vantagens como fonte instável e rica de
informações, baixo custo e requer apenas investimento de tempo e atenção do pesquisador
para selecionar e analisar os documentos mais relevantes para a pesquisa, além de
possibilitar inúmeras consultas e poder servir de base para vários outros estudos.
Lüdke e André (1986) consideram documentos como sendo materiais escritos que
podem ser utilizados como fonte de informação sobre o comportamento humano, incluindo
desde leis, regulamentos, normas, pareceres, cartas, memorandos, diários pessoais,
autobiografias, jornais, revistas, discursos, roteiros de programas de rádio e televisão até
livros, estatísticas e arquivos escolares.
Os documentos sobre os quais trabalharemos são livros didáticos, publicados no
Estado de São Paulo, correspondentes ao período de implantação dos Parâmetros
Curriculares Nacionais, o período da elaboração da Proposta Curricular de São Paulo, e o
recém lançamento da Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo, a nova
Proposta Curricular, publicada e introduzida na rede pública em março de 2008. Portanto,
os documentos escolhidos obedecem a uma ordem cronológica.
Neste período que compreende os anos 90, também é marcado pela elaboração do
Programa Nacional do Livro Didático – PNLD do Ensino Fundamental, iniciado em 1996,
que tem por objetivo oferecer aos alunos e professores de escolas públicas de Ensino
Fundamental, de forma universal e gratuita, livros didáticos e dicionários de Língua
Portuguesa de qualidade para apoio ao processo ensino-aprendizagem desenvolvido em
sala de aula. A Secretaria de Educação Básica coordena todo o processo de avaliação, que
é realizado em parceria com universidades públicas, das obras inscritas no PNLD.
Procedimentos
Este trabalho tem por objetivo examinar, com base na análise de livros didáticos da
6ª série ou 7° ano do Ensino Fundamental, quanto à sua organização matemática e didática,
a presenças das concepções propostas por Usiskin para o ensino da álgebra, analisando os
livros, a partir dos Parâmetros Nacionais Curriculares até os dias atuais.
Como já dito, utilizaremos como fundamentação teórica para a análise dos livros
didáticos a Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard, apesar de ainda
não ter definidos os critérios de escola dos livros, objeto de nosso estudo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR,
2007.
BOOTH, Leslly R. Dificuldades das crianças que se iniciam em Álgebra. In: COXFORD,
Arthur F. e SHULTE, Alberto P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais –
Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
CHEVALLARD, Yves. El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de
lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 19, nº 2, pp. 221-266,
1999.
COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual,
1995.
DAMAZIO, Ademir. A prática docente do professor de matemática: marcas das
concepções do livro didático. REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação Matemática.
V.1.2, p.14-25. UFSC: 2006.
GIL, Antonio C. Métodos e Técnicas de Pesquisa Social. São Paulo: Atlas, 1999.
LINS, Rômulo C. e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas e Álgebra e Aritmética para o
Século XXI. Campinas-SP: Papirus, 7ª edição, 2006.
LÜDKE, Menga. e ANDRÉ, Marli E.D. A. Pesquisa em Educação: Abordagens
Qualitativas.São Paulo: EPU, 1996.
NOBRE, Ana M. V. Elaboração/leitura de códigos para entender o “X da questão”.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, São Paulo: 1996.
OLIVEIRA, Ana Tereza de C. C. de. Reflexões sobre a Aprendizagem da Álgebra.
Educação Matemática em Revista. SBEM, nº. 12, Ano 9, p.35-39, junho/2002.
SILVA, Maria H. da. Estudo das visões sobre Álgebra presentes nos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino Fundamental em relação a números e
operações. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo: 2006.
TELES, Rosinalva A. de M. A Aritmética e a Álgebra na Matemática Escolar. Educação
Matemática em Revista. SBEM, nº. 16, Ano 11, p. 8-15, maio/2004.
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das
variáveis. In: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P. As idéias da álgebra. São
Paulo: Atual, 1995.
ZENERE, Liziane C. S. Desenvolvimento do Pensamento Algébrico numa turma de sétima
série do ensino fundamental. In: ÁLGEBRA: COMO ENCONTRAR O “X”DA
QUESTÃO? UNIVATES, Lajeado-RS, 2005.
ZUCHI, Ivaneti. A Importância da Linguagem no Ensino de Matemática. Educação
Matemática em Revista. SBEM, nº. 16, Ano 11, p. 49-55, maio/2004.