Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II - MA13

Quadriláteros inscritı́veis e circunscritı́veis II
MA13 - Unidade 7
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
O quadrilátero inscritı́vel
Um quadrilátero é inscritı́vel quando os quatro vértices pertencem
a uma mesma circunferência.
D
b
C
b
b
A
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b
B
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Teorema
Em um quadrilátero inscritı́vel os ângulos opostos são
suplementares.
Demonstração:
D
b
C
b
b
A
b
B
Na figura acima, sendo  e B̂ as medidas dos ângulos DAB e
BCD, respectivamente, temos
 + Ĉ =
arc BCD
arc DAB
360◦
+
=
= 180◦
2
2
2
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Recı́proca
A recı́proca do teorema anterior é verdadeira.
Se um quadrilátero possui dois ângulos opostos suplementares então
ele é inscritı́vel.
Sugestão para demonstração
Considere o quadrilátero ABCD com B̂ + D̂ = 180◦ . Considere,
em seguida a circunferência que passa por A, B e C . Imagine que
D não pertença a essa circunferência ...
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Reconhecimento do quadrilátero inscritı́vel
1. Dois ângulos opostos suplementares.
 + Ĉ = 180◦ ⇔ ABCD é inscritı́vel
2. Um ângulo interno igual ao externo oposto.
α = α0 ⇔ ABCD é inscritı́vel
D
b
α′
b
C
α
b
A
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b
B
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3. No quadrilátero ABCD, ∠ACB = ∠ADB.
α = ∠ACB = ∠ADB = α0 ⇔ ABCD é inscritı́vel
De fato, o arco capaz do ângulo ACB construı́do sobre AB
passa por D.
D
b
C
b
α′
α
b
A
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b
B
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Problema
No triângulo ABC os ângulos A e B medem 60◦ e 70◦ ,
respectivamente. Os segmentos BD e CE são alturas. Quanto
mede o ângulo AED?
A
b
60◦
b
E
D
b
70◦
b
B
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b
C
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Solução
O ângulo ACB mede 50◦ .
Como ∠BDC = ∠BEC = 90◦ o quadrilátero BCDE é inscritı́vel.
Logo, ∠AED = ∠ACB = 50◦ .
A
b
D
b
θ
E
b
50◦
b
B
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b
C
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