Aula6.1

Logaritmos
Fabio Licht
John Napier (1550 – 1617)
• John Napier nasceu em
Edimburgo, na Escócia,
no ano de 1550. Ele foi um
matemático, físico,
astrônomo, astrólogo e
teólogo, e se consagrou
profissionalmente por ter
popularizado o ponto
decimal e também pelos
estudos do logaritmo
natural.
• Fonte: Juliana Miranda
http://www.grupoescolar.com/pesquisa/john-napier1550--1617.html
Pra que estudar?
• O crescimento exponencial em alguns
casos pode ser vertiginoso; em outros
momentos, pode tender lentamente a
zero, sem nunca atingi-lo. A função
exponencial é fundamental para
explicar numericamente desde
fenômenos biológicos até fenômenos
físicos complexos, como a
transmutação radioativa.
Logaritmo: Definição
• Expoente a ao qual se deve elevar um
número x para se obter outro número b.
• Ou seja:
Logaritmo: Exemplo
Logaritmo: Consequências
Logaritmo: Propriedades
• Produto
• Quociente
Logaritmo: Propriedades
• Potência
• Mudança de Base
Logaritmo: Modelo
• Logaritmos decimais:
o A base 10 é a mais utilizada e é por essa razão que muitas
vezes omite-se a base.
o Ou seja:
• Logaritmos Neperianos ou de base natural :
o Estes logaritmos tem por base o número e (base de
Napier).
o Assim:
Antilogaritmo: Definição
• Antilogaritmo :
o É o número que corresponde a um logaritmo
dado, ou seja, é o inverso do cálculo do
logaritmo de um número.
o Assim:
o Ou seja, consiste em elevar a base ao número
obtido no logaritmo.
o Exemplo:
Cologaritmo: Definição
• Cologaritmo:
o Cologaritmo de um número x é o logaritmo do seu
recíproco ou inverso.
o Ou seja:
Resumindo…
Utilização
G
r
á
f
i
c
o
s
Gráficos! Resumindo...
É qualquer função f: 
com a > 0 e a ≠ 1.
f(x) = 2x
O gráfico é
crescente, não
cruza o eixo x e
intercepta o eixo y
no ponto (0, 1).
da forma f(x) = ax,
Gráficos! Resumindo...
1
g x    
2
x
O gráfico é
decrescente,
também cruza o
eixo y em (0, 1)
e não intercepta
o eixo x.
Comparação entre
algumas funções
Função 1º
Função 2º
Função
Exponencial
Comparativo dos Gráficos
Responda...
• Sabe-se que determinada bactéria se
duplica a cada 1 minuto.
• Após análise verificou-se que ao meiodia um vidro ficou completamente
cheio de bactérias.
• Pergunta-se: Em que momento o vidro
estava com metade da sua
capacidade?
Problema
• Considere o seguinte problema: Você
precisa de R$ 1500,00 para uma
viagem à Natal-RN nas férias de
janeiro e tem apenas R$ 1000,00. Em
consulta ao gerente do banco, foi
feita uma proposta de investimento
que proporciona 5% de lucro por mês.
• Daqui há quanto tempo você
conseguirá programar a sua viagem?
Problema
A taxa de juros é de 5 % ao mês, ou seja 0,05
Temos R$ 1000,00 (Inicial)
O Valor que pretende é R$ 1500,00 (Final)
Final = Inicial.(1 + i)t
1,05t = 1,5
ou
log 1,05 1,5 = t
⇒
1500 = 1000 . (1,05)t
1,057 ≈ 1,407
1,058 ≈ 1,477
1,059 ≈ 1,551
Conclui-se, pelos chutes, que após 9
meses você conseguirá seus ≈R$ 1500,00
(1000 iniciais + 551 de lucro)
Resolva
• Você tem R$ 10.000,00 e quer comprar
um carro que custa R$ 28.000,00. Seu
gerente aconselhou à fazer uma
aplicação em renda fixa que gera 3% ao
mês.
• Considere que o preço do carro vai se
manter e que não há inflação no Brasil.
Assim, daqui há quanto tempo você
conseguirá comprar seu carro se aceitar
fazer o investimmento?
Mas... Descobrir o Expoente?
• Como é possível obter, com uma
aproximação
razoável
e
sem
utilizar o método das tentativas
(chutes), o valor de t na equação
1,05t = 1,6?
• Os logaritmos são muito úteis
em problemas como esse.
A base 10
• Todo número positivo pode ser escrito como
uma potência de base 10, ou como uma
aproximação dessa potência. Veja os exemplos:
1 = 100
0,1 = 10–1
10 = 101
0,01 = 10–2
100 = 102
0,001 = 10–3
1000 = 103
0,0001 = 10–4
10000 = 104
0,00001 = 10–5
A base 10
• Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um
número como potência de base 10. Em valores
aproximados podemos apresentar o seguinte:
2 = 100,301
log 0,301 = 2
3 = 100,477
log 0,477 = 3
7 = 100,845
log 0,845 = 7
11 = 101,041
log 1,041 = 11
13 = 101,114
log 1,114 = 13
Base 10
TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS
nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
log
0
0,30103
0,477121
0,60206
0,69897
0,778151
0,845098
0,90309
0,954243
1
1,041393
1,079181
1,113943
1,146128
1,176091
1,20412
1,230449
1,255273
1,278754
1,30103
nº
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
log
1,322219
1,342423
1,361728
1,380211
1,39794
1,414973
1,431364
1,447158
1,462398
1,477121
1,491362
1,50515
1,518514
1,531479
1,544068
1,556303
1,568202
1,579784
1,591065
1,60206
nº
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
log
1,612784
1,623249
1,633468
1,643453
1,653213
1,662758
1,672098
1,681241
1,690196
1,69897
1,70757
1,716003
1,724276
1,732394
1,740363
1,748188
1,755875
1,763428
1,770852
1,778151
nº
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
log
1,78533
1,792392
1,799341
1,80618
1,812913
1,819544
1,826075
1,832509
1,838849
1,845098
1,851258
1,857332
1,863323
1,869232
1,875061
1,880814
1,886491
1,892095
1,897627
1,90309
nº
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
log
1,908485
1,913814
1,919078
1,924279
1,929419
1,934498
1,939519
1,944483
1,94939
1,954243
1,959041
1,963788
1,968483
1,973128
1,977724
1,982271
1,986772
1,991226
1,995635
2
Exemplos
• Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base
10.
 4 = 22
5=
= (100,301)2
10
2
=
10
100,301
= 100,602 = log 0,602
= 101 – 0,301
= 100,699 = log 0,699
 6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477 = 100,778
= log 0,778
Exemplos
• Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
escreva o número 60 como potência de base 10.
 60 = 2.3.10
= 100,301 . 100,477 . 10
⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1
⇒ 60 = 101,778
Exemplos
• Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
resolva a equação exponencial 2x = 12.
2x = 12
⇒ 2x = 22.3
⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477
⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477
⇒ 100,301.x = 101,079
⇒ x=
1,079
0,301
⇒
0,301.x = 1,079
⇒ x ≈ 3,585
Calcule
log4 8 = x
log1/3 5
9
⇒
4x = 8
⇒
22x = 23 ⇒
=x ⇒
1
3
⇒
2x = 3
⇒
x = 1,5
x
=
5
⇒ (3–1)x =
32/5
⇒ –x = 2/5
⇒
(22)x = 23
x = –2/5
9
⇒
3–x = 32/5
Calcule
log2 (–4) = x ⇒
2x = –4
impossível
log–2 8 = x
⇒
(–2)x = 8
impossível
log7 0 = x
⇒
7x = 0
impossível
log1 6 = x
⇒
1x = 6
impossível
log0 2 = x
⇒
0x = 2
impossível
Resolva a equação
log x (2x + 8) = 2
1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo.
x > –4
2x + 8 > 0
x>0
⇒
x≠1
⇒
x>0
x≠1
x>0
x≠1
2o. Usando a definição de logaritmo.
logx (2x + 8) = 2 ⇒
⇒
x = –2 ou x = 4.
x2 = 2x + 8 ⇒
⇒
x2 – 2x – 8 = 0
S = {4}
MUDANÇA DE BASE
• Tomemos uma calculadora científica. Ela
permite o cálculo apenas dos logaritmos
decimais (tecla log) e dos logaritmos
naturais (tecla Ln).
• Como obter então, em uma calculadora,
os logaritmos de outras bases?
• Será possível achar, por exemplo, os
valores de log3 5 e log7 23?
MUDANÇA DE BASE
• Na
tabela
(ou
tábua)
de
logaritmos
decimais,
encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845.
A partir deles, podemos determinar o valor log7 23.
log10 23 = 1,362
⇒
101,362 = 23
log10 7 = 0,845
⇒
100,845 = 7
log7 23 = x
⇒
log7 23 =
7x = 23
⇒ (100,845)x = 101,362
⇒ 0,845.x = 1,362
⇒
⇒
log10 23
log10 7
100,845.x = 101,362
x=
1,362
0,845
= 1,612
MUDANÇA DE BASE: FÓRMULA
• De modo geral, podemos calcular logb a,
utilizando uma outra base k arbitrária.
• Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo
logaritmo de b, na base k escolhida.
Logb a =
logk a
logk b
MUDANÇA DE BASE: Exemplo
Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma
calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 =
0,693.
A partir desses valores, calcular log2 6.
log2 6 =
loge 6
loge 2
Ln 6
=
Ln 2
1,792
=
0,693
= 2,586
MUDANÇA DE BASE: Exercício
Resolva a equação 5x = 20, dados os
logaritmos decimais log 5 = 0,699 e
log 20 = 1,301.
5x = 20
log5 20 =
⇒
x = log5 20
log10 20
log10 5
=
log 20
log 5
=
1,301
0,699
= 1,861
MUDANÇA DE BASE: Exercício
Se logk x = 2,
Calcule logx (1/k).
logx (1/k) =
logk (1/k)
logk x
=
–1
2
MUDANÇA DE BASE: Exercício
 Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
log2 3 =
log 3
log 2
=
0,48
0,30
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
Exemplos
Escrevendo os logaritmos numa mesma base,
obtenha o valor mais simples do produto
log2 7 . Log7 13 . Log13 2
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
1
1
1
log 7
. log 13 . log 2 = 1
log 2
log 7
log 13
1
1
1
MUDANÇA DE BASE – CONSEQUÊNCIA
Compare os valores dos log5 25 e log25 5.
log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2
Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.
log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3
Que conclusão se pode tirar dessas comparações?
logb a = 1/loga b
Se logx y = 3/5, calcule logy x.
logy x = 5/3
Generalizando
• Como
consequência
da
mudança de base, temos:
logb a =
logb a =
loga a
loga b
1
loga b
fórmula
de
Mas onde
Aplicar isso?
Aplicações da função
exponencial e Logarítmica
Economia
• onde n representa o número de vezes que
no ano se calcula o juro.
• Se n tende para + infinito, M tende para um
certo limite:
Sociologia
• O crescimento populacional é a mudança positiva
do número de indivíduos de uma população
dividida por uma unidade de tempo.
com A, B e K constantes positivas que dependem de uma situação concreta.
BIOLOGIA
expressão utilizada para calcular o
crescimento da população
mundial, é generalizável ao
crescimento da população de
qualquer espécie.
• A reprodução de bactérias:
• A reprodução de peixe:
AGRICULTURA
Para calcular o rendimento V de uma floresta podemos usar a
fórmula:
em que V dá-nos o valor em metros cúbicos de madeira
por are (100m²), em função da idade da floresta, t.
FÍSICA
• A função exponencial é utilizada para calcular a
desintegração das substâncias radioativas através da
equação:
(1)
em que y0 é a quantidade inicial, correspondente ao momento t = 0.
Exemplo:
• Por exemplo, sabe-se que em 5730 anos metade do
carbono 14 decompõe-se. De acordo com estes dados,
vamos calcular o valor da constante k da expressão (1).
Temos que t = 5730 anos,
e que
• com estes dados chegamos a :
então no caso concreto do carbono 14 temos a
seguinte fórmula:
OBS. Para calcular a idade de um fóssil usa-se a fórmula de
decomposição da partícula radioativa carbono 14.
(UEG-GO)
Certa substância radioativa desintegra-se de modo que,
decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não
desintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0
representa a quantidade de substância que havia no início.
Qual é o valor de t para que a metade da
quantidade inicial
se desintegre?
RESPOSTA:
Exercícios
• Faça os exercícios propostos no site