Prof. Elaine Brito Logaritmo O estudo de logaritmo permite que

Logaritmo
Mudança de Base
O estudo de logaritmo permite que possamos
calcular uma equação exponencial com base
diferente, por exemplo: 3 x = 5 , como 3
5 não
podemos resolver pelo método anterior, porém
sabemos que x é um valor entre 1 e 2 , pois o 5 está
entre 3 e 9, usando logaritmo conseguimos chegar a
um valor preciso.
Def.: Sendo a e b números reais positivos, com a
1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente
que se deve dar à base a de modo que a potência
obtida seja igual a b.
a, b ∈ IR , 0 < a ≠ 1 e b > 0 →
log a b = x ⇔ a x = b
log c b
ou
log a b = log c b ⋅ log a c
log c a
A mudança de base é necessária para operar com
os logaritmos, pois eles precisam estar na mesma
base.
1
Obs. log a b =
log b a
EXERCÍCIOS
log a b =
121.Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
1
a) log 2
b) log 8 4
c) log 0,25 32
8
d) log 25 0,008
e) log 0,01 0,001
f) log125 25
Sendo que a é a base do logaritmo , b é o
logaritmando e x é o logaritmo.
Ex:
3
a) log2 8 = 3 , pois 2 = 8
a) anti log 34
1
1
b) log3 = −2, pois 3 −2 =
9
9
c) log 5 5 = 1, pois 5 1 = 5
123. Determine o valor de x, na equação
y = 2 log3 ( x + 4 ) , para que y seja igual a 8.
d) log 1 = 0, pois 7 = 1
0
7
Antilogaritmo
Def.: Sejam a e b números reais positivos com a 1;
se o logaritmo de b na base a é x, então b é o
antilogaritmo de x na base a.
log a b = x ⇔ b = anti log a x
Ex:a) antilog3 2 = 9, pois log3 9 = 2
b) anti log 1 3 =
2
1
, pois
8
c) anti log 2 − 2 (− 2 ) =
log 1
2
1
=3
8
1
1
, pois log 2 = −2
4
4
Conseqüências da Definição:
1) log a 1 = 0
2) log a a = 1
3) a log a b = b
4) log a b = log a c ⇔ b = c
Propriedades: Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então:
I) log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c
II) log a
b
= log a b − log a c
c
III) co log a b = − log a b
IV) loga b α = α ⋅ loga b
Obs.: As expressões que possuem somente
operações de multiplicação, divisão e potências é
chamada de expressão logarítmica, pois pode ser
resolvida através de log.
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122. Calcule o antilog:
b) anti log16
1
2
c) anti log 1 − 4
2
124.Calcule:
a) 8 log2 5
c) anti log 2 (log 2 3 )
b) 3 1+log3 4
d) anti log 3 (log 3 5 )
125. Determine o valor de A tal que:
4 log2 A + 2 A − 2 = 0
126. Desenvolva, aplicando as propriedades dos
logaritmos (a,b, e c são reais positivos):
a) log 2
c) log
2ab
c
b) log3
a3b2
c4
a3
b2 c
127. Qual a expressão cujo desenvolvimento
logarítmico é: 1 + log 2 a − log 2 b − 2 log 2 c ?
128.Se log10 2 = 0,3010, determine o valor da
expressão log10 20 + log10 40 + log10 800 .
129.Sabendo que log30 3 = a e log30 5 = b. calcule
log10 2.
130. Calcule:
a) Se log12 27 = a , log 6 16 = ?
b) Se log 20 2 = a e log 20 3 = b, log 6 5 = ?
c) Se ab = 1, log b a = ?
d) A = log 3 5 ⋅ log 4 27 ⋅ log 25
2
23