Gabarito - Lista de Exercícios 1

Gabarito - Lista de Exercícios 1
Teoria das Filas – Modelo M/M/1
1.– Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com tempo médio entre
chegadas de 20 minutos. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada cliente.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido?
Qual o número esperado de clientes no salão de barbeiro? e na fila?.
Quanto tempo em média, um cliente permanece no salão?
Quanto tempo em média, um cliente espera na fila?
Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no
salão?
O barbeiro está considerando a possibilidade de colocar um segundo barbeiro
desde que o tempo de permanência médio de cada cliente no salão passe 1,25
horas. Para quanto teria que aumentar a taxa de chegada para que o segundo
barbeiro ficasse justificado?.
Solução:
1
1
 20 minutos = hora

3
clientes
Em conseqüência, a taxa de chegada é:   3
hora
1
1
O tempo médio de atendimento é: E ( S )   15 minutos = hora

4
clientes
Em conseqüência, a taxa de serviço é:   4
hora
O tempo médio entre duas chegadas é: E ( X ) 
a)
Probabilidade do cliente não ter que esperar para ser atendido?
É igual a probabilidade do sistema estar vazio: P0 = (1   )  1 

3
 1   0, 25

4
b) Número esperado de clientes no salão e na fila ?
L

3

 3 clientes
(   ) 4  3
Lq 
c)
2
9

 2, 25 clientes
 (    ) 4(1)
Quanto tempo em média um cliente permanece no salão?
W
1
1

 1 hora
      4  3
1
d) Quanto tempo em média um cliente espera na fila?
Wq 
e)

3

 0, 75 horas = 45 minutos
      4  4  3
(Correção.- T. Diurna.- Nesta questão devemos considerar o tempo de espera no
sistema: tempo na fila + tempo em serviço, assim corrigimos o parâmetro usado na
distribuição exponencial de , taxa de serviço, para (µ-), taxa de espera no sistema)
Observe que como E (W )  W 
1
é o tempo médio de espera no sistema,
   
logo, (µ-) é o número médio de clientes que espera no sistema/unidade de tempo.
O tempo de espera assim como o tempo de serviço tem distribuição exponencial, assim:
P (W  t )  e -( - )t
 P(W  0,5)  e-(4-3)(0,5)  e -0,5  0, 6065
f) Para quanto deverá aumentar o número de clientes, taxa de chegada , de maneira que o
tempo médio de permanência no salão, aumente para W = 1,25 horas, justificando a
contratação de um segundo barbeiro?
W
1
 1, 25 
   
Assim,   3, 2
1
1
1
 1, 25 
 4       4 
1, 25
1, 25
4   
clientes
hora
2.– Em um sistema de uma fila e um canal, mediu-se o número médio de clientes na fila,
encontrando-se o valor 3,2. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por
cliente é de 0,5 h, pede-se calcular a probabilidade de que o número de clientes no
sistema seja inferior a 6.
Solução:
Temos como dados: Lq 
2
 3, 2 clientes (1)
    
e W
1
 0, 5 horas (2)
   
Pede-se calcular P(n<6)?
Para isso, calculamos  e µ, a partir de (1) e (2). Manipulando (2) temos:
1
     2+  
0, 5
(3)
Substituindo (3) em (1) temos:
2
Lq 
2
2
 3, 2 
 3, 2   2  12,8  6, 4   2  6, 4  12,8 = 0
(2   )2
4  2

 B  B 2  4 AC
Resolvendo a equação de segundo grau   

2A



 temos:


6, 4  (6, 4) 2  4(1)(12,8)
6, 4  9, 6
 
   8 (4)
2(1)
2
Substituindo (4) em (3) temos: u  10 (5)
Podemos calcular P(n<6) de duas maneiras:
(i) P(n<6) = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5
Sabemos que: P0 = 1- e P0 = (1-)n , calculamos assim:
P0 = 1 - (0,8) = 0,2
P1 = (0,2)(0,8) = 0,16
P2 = (0,2)(0,8)2 = 0,128
P3 = (0,2)(0,8)3 = 0,1024
P4 = (0,2)(0,8)4 = 0,08152
P5 = (0,2)(0,8)5 = 0,0655
Logo temos que: P(n<6) = 0,7378.
 
(ii) Usando a seguinte formula: P (n  k )   

k+1
, que é deduzida no Anexo.
6
 8 
P (n  6)  P ( n  5)  1  P ( n  5)  1    = 0,7378
 10 
3.– Em um sistema de uma fila e um servidor (canal), foram medidos os seguintes dados:
a.
b.
Taxa de ocupação do sistema: 0,8.
Tempo médio gasto na fila: 15 min.
Pede-se:
a.
b.
c.
Qual a probabilidade de que ocorram 10 chegadas por hora?
Qual a probabilidade de que ocorram 12 atendimentos por hora?
Qual a probabilidade de haver 10 clientes no sistema?
Solução:
3
Temos como dados:  =

 0,8 (1)

e Wq 

 15 minutos = 0, 25 horas (2)
    
Pede-se calcular:
e    10
?
10!
e    12
b) P (n A  12) 
?
12!
c) P (n  10)  P10 ?
a) P (nC  10) 
Onde:
nC : número de clientes que chegam/hora;
nA : número de clientes atendidos/hora e;
n : número de clientes no sistema.
Sabemos que nC e nA têm distribuição Poisson P (n  k ) 
em mk
, com parâmetro m= e
k!
m=µ, respectivamente.
Para isso, calculamos  e µ, a partir de (1) e (2). De (1) temos:   0,8 e substituindo 
em (2) temos:
Wq 
0,8 
0, 8
 0, 25 
 0, 25    16
    0,8 
0, 2 
Logo   12,8
Substituindo os valores de  e µ em a), b) e c) temos:
e 12,8 12,810
 0, 0898
10!
e 16 1612
b) P (n A  12) 
= 0,066
12!
c) P (n  10)  P10 = (1- ) n  (0, 2)(0,8)10  0, 0215
a) P (nC  10) 
4.– Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada
pessoa gasta em média 20 segundos para comprar um ingresso.
a. Se uma pessoa chega 2 minutos antes do jogo começar e se ela gasta
exatamente 1,5 minutos para chegar a seu lugar após comprar o seu ingresso,
ela estará sentada antes do jogo começar?
b. Qual a probabilidade de uma pessoa do item a), estar sentada antes do jogo
começar?
c. Com que antecedência a pessoa deve chegar para ter 99% de certeza de estar
sentada antes do jogo começar?
4
Solução:
Temos como dados: A taxa de chegada:   1
pessoa
hora
1
1
 20 segundos = minuto

3
pessoas
Em conseqüência, a taxa de serviço é:   3
minuto
O tempo médio de atendimento é: E ( S ) 
a) Se uma determinada pessoa chega 2 minutos antes do jogo e gasta 1,5 minutos para
chegar a seu lugar, após comprar seu ingresso, estará sentada antes do jogo começar?.
Fazemos a análise pelo tempo médio de espera no sistema:
1
1
W

 0, 5 minuto
      3  1
Como o tempo médio de espera é de 0,5 minutos, que é justamente, o tempo disponível
para que a pessoa compre seu ingresso, em média, a pessoa que chega 2 minutos antes
do jogo começar deverá estar sentada quando o jogo começar.
b) (Correção.- T. Diurna.- Nesta questão devemos considerar o tempo de espera no
sistema: tempo na fila + tempo em serviço, assim corrigimos o parâmetro usado na
distribuição exponencial de , taxa de serviço, para (µ-), taxa de espera no sistema).
A probabilidade de que uma pessoa, que chega 2 minutos antes do jogo, estar sentada
antes do jogo começar é igual à probabilidade de que o tempo de permanência no
sistema seja menor que 0,5.
P (W  t )  1  e -( - )t
 P(W  0,5)  1  e -(3-1)(0,5)  1  e -1  1  0,3678  0, 6321
Ou seja, existem 63,21% de chances que a pessoa, que chega 2 minutos antes do jogo,
este sentada quando o jogo começa.
c) (Correção.- T. Diurna.- Mesma correção no parâmetro do item b))
Neste caso queremos determinar qual é o tempo de permanência na compra de ingressos
que garante probabilidade de 99% de que a pessoa esteja sentada quando o jogo começar.
P (W  t )  1  e -( - )t
 P (W  t )  1  e-2t  0, 99  e -2t  0, 01  2t  ln(0, 01)
ln(0, 01)
 t
 t  2, 3 minutos
2
Como a pessoa gasta 1,5 minutos para achar seu lugar, ela deve chegar 1,5+2,3=3,8
minutos antes do jogo começar, para ter 99% de chances de estar sentada.
5
5.– Uma empresa de mineração mediu o tempo médio que os caminhões gastam para
descarregar no britador de minérios, tendo encontrado 0,2 h como sendo o tempo gasto
no sistema. Por outro lado, a taxa de ociosidade do britador é de 20%. Sabendo-se que o
custo de permanência unitário CEunit = $100 por hora e que o custo de atendimento
unitário CAunit =$10 por caminhão, pede-se:
a.
b.
Qual é a taxa de atendimento que o britador deveria oferecer de modo a
minimizar o custo total?
Considerando-se que uma ampliação do britador para atender a esse número
achado custaria $28.000,00 por mês, deseja-se saber se esse investimento se
justificaria.
Considere que o sistema opera 22 dias úteis de 8 horas cada, por mês.
Solução:
Temos como dados: O tempo médio que os caminhões gastam no sistema:
1
(1)
W
 0, 2 horas
  
A taxa de ociosidade do britador que é de 20% ( ou igual a 0,2);
O custo de permanência unitário: CEUnit = $100/hora;
O custo de atendimento unitário: CAUnit = $10/caminhão;
Como a taxa de ociosidade é o complemento da taxa de ocupação , temos que:
Taxa de ociosidade: 1-  0, 2 e Taxa de ocupação:  = 0,8 , assim:

(2)
 =  0,8

Calculamos os valores de  e µ, a partir das expressões (1) e (2), temos assim que:
  20 e u  25
O custo total médio do sistema, CT, (em unid. monetárias/unid. tempo) é definido como:
CT = CE + CA
Onde,
CE: È o custo de espera médio, definido como: CE = CE unit x L
CA: É o custo de atendimento médio, definido como: CA = CA unit x 
Temos assim a expressão para CT em termos de  e µ:
CT = CE unit

+ CA unit 
u -
(3)
d CT
=0
d
De onde obtemos a taxa de atendimento ótima, µ*, que minimiza o custo (ver Anexo):
O custo mínimo para o sistema de filas é obtido calculando
6
 . CE unit
CA unit
u * = +
(4)
a) Calculamos a taxa de atendimento ótima, µ*, substituindo em (4) os valores de , CEUnit
e CAUnit , temos assim:
20 . 100
 20  14,1421  34,1421
10
b) Primeiro, calculamos o valor do custo atual, CTAtual , (em $/hora), substituindo os valores
de , µ, CEUnit e CAUnit, temos assim:
u * =20 +
CTAtual  CEUnit x
CTAtual  $ 650

20
+ CAUnit x u  CTAtual  100 x
+ 10 x 25
u
25  20
hora
Logo calculamos, o valor do custo mínimo, CTMín (em $/hora), substituindo os valores de ,
CEUnit e CAUnit e a taxa de atendimento ótima µ*. CTMin é o menor custo de operação do
sistema de filas que possível atingir após melhorar ao máximo a capacidade de atendimento.
O valor do custo mínimo é:

20
+ CAUnit x u *  CTMin  100 x
+ 10 x 34,1421
u 
34,1421  20
 $ 482,84
hora
CTMin  CEUnit x
CTMin
*
Considerando que o sistema opera 22 dias por mês, 8 horas cada dia, calculamos os custos
mensais atual e mínimo, CTMAtual e CTMMín como segue:
x (22 x8) hora
 $ 114.400
hora
mes
mes
(22
x
8)
hora
$
482,84
$
84.979,84

x

hora
mes
mes
CTM Atual  $ 650
CTM Min
O investimento na ampliação do britador se justificaria uma vez que a economia de mensal
é $29.420,16, enquanto que o custo da ampliação do britador é de $28.000.
Anexo:
 
1) Deduzimos: P (n  k )   

k+1


Sabemos que: P (n  k )  Pk 1  Pk  2  Pk  3  ...   Pk  i =
 (1   ) 
i 1

Logo temos que: P (n  k )  (1   )  k   i e como
i 1
k i
i 1


i 0
i

1
1 
 1

Temos que: P (n  k )  (1   )  k 
 1   k 1
 1 

7
2) Mostramos que:
Se T tem distribuição exponencial com parâmetro α: P (T  t )  1  e  t
t
t
P (T  t )    e  x dx  e  x   e  t  1
0
0
Lembre que:
d ex
 ex
e
dx
d e  x
  e  x
dx
d CT
d CT
e obtemos µ* para
= 0:
d
d

Dado que: CT = CE unit
+ CA unit  , temos que:
u -
d CT

=  CEUnit
 CAUnit
2
d
   
3) Calculamos
Fazendo
d CT

=  CEUnit
 CAUnit  0 obtemos:
2
d
   
2
 .CEUnit       CAUnit  0 
2
     
 .CEUnit
CAUnit
Assim: u * = +
   
   
2
CAUnit   .CEUnit
 .CEUnit
CAUnit
 . CE unit
CA unit
8