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1 Formulário Seqüências e Séries
Diferença entre Seqüência e Série
Uma seqüência é uma lista ordenada de números. Uma série é uma soma
innita dos termos de uma seqüência. As somas parciais de uma série também
formam uma seqüência que pode convergir ou divergir.
Exemplo: a sequência {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·} é uma PG innita de
primeiro termo 1 e razão 1/2. As somas nitas dessa PG são dadas por
n
X
1
1 − (1/2)n+1
Sn =
=
i
1 − (1/2)
i=0 2
essa seqüência é da forma {3/2, 7/4, 15/8, 31/16, 63/32, · · ·}. O limite dessa
seqüência para n → ∞ é a soma da série. Se essa soma for um número nito,
a série converge, se a soma for ±∞ ela é divergente.
Progressão Geométrica
A soma de uma PG innita converge se sua razão r for tal que
|r| < 1
nesse caso ela converge para
∞
X
an =
n
a
1−r
onde an = rn e a é o primeiro termo da PG.
Teorema do Confronto
Dadas 3 seqüências tais que para todo n, an ≤ bn ≤ cn , se limn→∞ an =
L = limn→∞ cn , então, limn→∞ bn = L.
Teorema: Condição Necessária para Convergência
Se a série
P∞
n=1
an converge, então limn→∞ an = 0.
Cuidado! A condição limn→∞ an = 0 é necessária mas não é suciente
para que uma série convirja. Por exemplo, a série harmônica
∞
X
1
n=1
1
n
é tal que limn→∞
1
n
= 0, mas a série é, de fato, divergente.
Teste para Divergência
Se limn→∞ an 6= 0 ou se o limite não existir, então a série
é divergente.
P∞
n=1
an
P
n
Note que uma série do tipo ∞
n=1 (−1) não vai a ±∞, mas é divergente
n
porque o limite limn→∞ (−1) não existe.
Combinação de Séries Convergentes
P
Teorema: Se ∞
n=1 an e
combinações também são:
P∞
são séries convergentes, então as seguintes
n=1 bn
∞
X
βan = β
n=1
∞
X
an
n=1
∞
X
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n=1
∞
X
(an + bn ) =
(an − bn ) =
an +
an −
bn
bn
n=1
com β um número real qualquer.
Teste da Integral
Suponha que an = f (n) é uma
função decrescente e positiva a
P∞
partir de n = 1, então a série n=1 an é convergente se a integral
Z ∞
1
f (x)dx
for convergente, caso contrário, se o resultado da integral for ±∞,
a série é divergente.
Note que no caso de convergência, o resultado da integral não é o resultado
da soma da série, apenas um limite superior!
Séries Harmônicas ou Sériesp
Uma série do tipo
∞
X
1
n=1
2
np
com p real é chamada série harmônica ou sériep.
Uma série harmônica converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Critério de Convergência para Séries Alternadas
P
n
Uma série do tipo ∞
n=1 (−1) an , com an positivos é chamada alternada,
pois os sinais do termos alternam-se entre negativos e positivos.
Considere uma série alternada. Se a seqüência an for decrescente
e se limn→∞ an = 0, então a série é convergente.
P
∞
k
Exemplo:
k=2 (−1) / ln k é convergente pois é alternada e 1/ ln k decresce e seu limite vai a zero quando k → ∞.
Note que no caso de uma seqüência alternada limn→∞ an = 0 garante a
convergência.
Teste da Comparação
P
P
∞
Considere duas séries ∞
n=1 an e
n=1 bn tais que 0 ≤ an ≤ bn a
partir de um dado termo das seqüências. Nestas condições
(i) Se
P∞
(ii) Se
P∞
n=1 bn
n=1
converge, então
an diverge, então
P∞
n=1
P∞
an também é convergente.
n=1 bn
também é divergente.
Se você descona que uma série converge, precisa encontrar outra série
comprovadamente convergente cujos termos que estão sendo somados sejam
maiores que o da série que você está considerando.
Se você descona que uma série diverge, precisa encontrar outra série
comprovadamente divergente cujos termos que estão sendo somados sejam
menores que o da série que você está considerando.
Teste da Comparação do Limite
P
P
∞
Considere duas séries ∞
n=1 bn tais que an > 0 e bn > 0 a
n=1 an e
partir de um dado termo das seqüências. Seja o limite
an
n→∞ b
n
L = lim
se:
3
(i) L > 0 e real, então ou ambas as séries convergem, ou ambas
divergem.
(ii) L = ∞, se
(iii) L = 0, se
P∞
diverge, então
P∞
an diverge.
converge, então
P∞
an converge.
n=1 bn
P∞
n=1 bn
n=1
n=1
Teste da Razão
P
Considere a série ∞
n=1 an com an > 0 a partir de um certo termo
da seqüência. Se o limite
L = n→∞
lim
an+1
an
existir, nito ou innito, então:
(i) L < 1, a série é convergente.
(ii) L > 1 ou L = ∞, a série é divergente.
(iii) L = 1, o teste nada revela.
Teste da Raiz
Considere a série
P∞
n=1
an com an > 0 sempre. Se o limite
1
L = n→∞
lim (an ) n
existir, nito ou innito, então:
(i) L < 1, a série é convergente.
(ii) L > 1 ou L = ∞, a série é divergente.
(iii) L = 1, o teste nada revela.
Veja que isso é bem parecido com o teste da razão, com a única diferença
que os termos da seqüência nesse caso nunca podem ser negativos.
Dica! Se o teste da razão for inconclusivo (L = 1), o teste da raiz também
será, e vice-versa.
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Séries Absolutamente e Condicionalmente Convergentes
P
Uma série ∞
n=1 an é chamada absolutamente convergente se a série
P∞
|a
|
for
convergente.
n=1 n
Uma série pode ser convergente, mas não absolutamente convergente. Por
exemplo, a série
∞
X
(−1)n
n
n=1
é uma série alternada convergente, mas a série
∞
X
|(−1)n |
n=1
|n|
=
∞
X
1
n=1
n
é uma sériep com p = 1, portanto divergente.
Uma série deste tipo é chamada condicionalmente convergente.
Teorema: Se uma série é absolutamente convergente, ela sempre
é convergente.
Séries de Potências
Uma série de potências centrada em torno de um número real x0 é uma
série do tipo
∞
X
cn (x − x0 )n = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + · · ·
n=0
Para uma série deste tipo existem 3 a tão somente 3 possibilidades:
(i) A série converge apenas para x = x0 .
(ii) A série converge para todo x.
(iii) Existe um número R > 0, chamado raio de convergência, tal que a
série converge se |x − x0 | < R e diverge se |x − x0 | > R.
O raio de convergência pode ser calculado como
R = n→∞
lim
5
|an |
|an+1 |
desde que exista, nito ou innito. Se R é nito, a série converge no intervalo
]x0 − R, x0 + R[. Note que o intervalo é aberto, pois inicialmente nada se
pode armar sobre a convergência nos extremos.
Séries de Taylor
A série de Taylor de uma função F (x) em torno de um número real x0 é
dada por
∞
X
F (n) (x0 )
F (x) =
(x − x0 )n
n!
n=0
onde F (n) (x0 ) é a derivada de ordem n da função calculada em x = x0 . Note
que isso é uma série de potências com coecientes dados por cn = F (n) (x0 ).
A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, onde x0 = 0.
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