Análise do comportamento em campo próximo para antenas de

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Análise do comportamento em campo próximo para antenas de
Analise do Comportamento em Campo Proximo
para Antenas de Comunicac~oes Moveis
Alexandre Marcio Nobrega Gomes
Dissertac~ao de Mestrado submetida a Coordenac~ao dos Cursos de
Pos-Graduac~ao em Engenharia Eletrica da Universidade Federal da
Paraba - Campus II como parte dos requisitos necessarios para
obtenc~ao do grau de Mestreem Engenharia Eletrica.
A rea de Concentrac~ao: Processamento da Informac~ao
Marcelo Sampaio de Alencar
Campina Grande, Paraba, Brasil
c Alexandre Marcio Nobrega Gomes, Outubro de 2000
Analise do Comportamento em Campo Proximo
para Antenas de Comunicac~oes Moveis
Alexandre Marcio Nobrega Gomes
Dissertac~ao de Mestrado apresentada em Outubro de 2000
Marcelo Sampaio de Alencar
Antonio Jer^onimo Belfort de Oliveira, PhD.
Componente da Banca
Creso dos Santos Rocha, PhD.
Componente da Banca
Giuseppe Glionna, M.Sc.
Componente da Banca
Campina Grande, Paraba, Brasil, Outubro de 2000
ii
Ficha Catalograca
612.396.67 Gomes, Alexandre Marcio Nobrega
G633a
Analise do Comportamento em Campo
Proximo para Antenas de Comunicac~oes Moveis./
Alexandre Marcio Nobrega Gomes.- Campina
Grande: UFPB, 2000.
105p:il.
1. Antenas
2. Eletromagnetismo
3. Irradiac~ao
I - Ttulo
iii
Dedicatoria
Dedico esta dissertac~ao aos meus pais por tudo que eles representam em minha
vida.
iv
Agradecimentos
A Deus, por tudo;
Aos meus pais, Geraldo e Gloria, e irm~as Andrea e Ana Carolina, pela
compreens~ao, carinho e apoio incessante;
A minha noiva Kalyne, pelo companheirismo e incentivo;
Ao professor Marcelo Sampaio de Alencar, pela orientac~ao, apoio, conanca
e amizade;
A Giuseppe Glionna, pela amizade e suporte a pesquisa;
Ao professor R^omulo R. Maranh~ao do Valle, pela paci^encia, apoio e pelos
livros;
A Waslon Terllizzie, pela ajuda nesse trabalho;
A todos meus colegas de pos-graduac~ao que trabalharam comigo no LABCOM;
Aos demais professores e funcionarios do DEE-UFPB;
A TIM-Telenordeste Celular Participac~oes S/A;
A Capes, org~ao nanciador deste trabalho.
v
Resumo
Com o crescente desenvolvimento dos sistemas de comunicac~oes moveis, antenas transmissoras tendem a ser instaladas em regi~oes proximas a areas com uxo
de pessoas. Dessa forma, faz-se necessaria uma analise qualitativa e quantitativa do comportamento do campo eletromagnetico, que pode, dentro da regi~ao
de campo proximo, ter uma intensidade apreciavel. Este trabalho apresenta um
estudo acerca do campo proximo, regi~ao do campo irradiante em que o campo
eletromagnetico apresenta uma oscilac~ao com a dist^ancia alem de uma alta intensidade em amplitude em relac~ao a amplitude no campo distante. A analise
abrange varios tipos de aberturas, no espaco livre. E feita uma aproximac~ao de
antenas por aberturas, utilizando-se para analise par^ametros usuais em planejamento como a pot^encia e o ganho de uma antena.
vi
Abstract
With the growing development of mobile communication systems, transmission
antennas tend to be installed close to areas with some ow of people. Thus, it
is necessary a qualitative and quantitative analysis of the electromagnetic eld
behavior, that, inside of near eld area, can be reaching the people. This work
presents a study of the near eld, area of the radiating eld in which the electromagnetic eld presents an oscillation with distance besides a high intensity
in magnitude in relation to the magnitude of the far eld. The analysis covers
several types of apertures, in free space. An approach for the study of antennas
using apertures is provided, where parameters employed in the design, such as
power and gain of an antenna, are used for analisys.
vii
Lista de Smbolos e Abreviaturas
n { ndice de refrac~ao
c { velocidade da luz no meio
c { velocidade da luz no vacuo
{ comprimento de onda
G { ganho de diretividade
Ae { area efetiva
div { diverg^encia
rot { rotacional
H { vetor campo magnetico
E { vetor campo eletrico
Hs { representac~ao de H como um fasor
Es { representac~ao de E como um fasor
Js { representac~ao do vetor densidade de corrente como um fasor
{ permissividade do meio
{ permissividade do espaco livre
{ permeabilidade do espaco livre
{ condutividade eletrica do meio
{ imped^ancia intrnseca do meio
{ imped^ancia intrnseca do ar
{ constante de atenuac~ao
k { constante de fase ou frequ^encia espacial
k { vetor de propagac~ao
Js { corrente de conduc~ao
Jds { corrente de deslocamento
D { dimens~ao caracterstica da antena
viii
H { campo magnetico na abertura da antena
E { campo eletrico na abertura da antena
f (; & ) { func~ao de distribuic~ao de campo da abertura
L { dimens~ao lateral da antena
C { cosseno de Fresnel
S { seno de Fresnel
{ termo de normalizac~ao de dist^ancia para o campo proximo
W { densidade de pot^encia
ep { fator de polarizac~ao
1 { taxa de pot^encia transmitida atraves de uma dada area
A { espectro de onda plana
wm { energia magnetica
we { energia eletrica
TE { parte transversa do campo eletrico
TM { parte transversa do campo magnetico
Erms { valor rms (valor medio quadratico) do campo eletrico
E { valor de pico do campo eletrico
Hrms { valor rms (valor medio quadratico) do campo magnetico
Pt { pot^encia da antena transmissora
Gt { ganho em dbi da antena transmissora
ix
Lista de Figuras
2.1 Campo exterior em uma antena radiante. . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Abertura linear uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrais de Fresnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campo eletrico no eixo para uma fonte linear uniforme. . . . . . .
Campo eletrico no eixo para uma fonte linear uniforme em dB
(20 log jEj). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abertura retangular uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparac~ao entre o campo eletrico de uma abertura quadrada e
retangular com diferentes tipos de abertura. . . . . . . . . . . . .
Comparac~ao entre o campo eletrico de uma abertura quadrada e
retangular com diferentes tipos de abertura, em dB . . . . . . . . .
Geometria de uma abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparac~ao para campo eletrico no eixo para o campo sem aproximac~oes, com D = 10 e D = 100; e pela aproximac~ao de Fresnel,
para uma abertura circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Densidade de pot^encia no eixo para uma abertura linear. . . . . .
Densidade de pot^encia no eixo para uma abertura uniforme quadrada e retangular com diversas dimens~oes. . . . . . . . . . . . . .
Densidade de pot^encia no eixo para uma abertura circular. . . . .
5
9
11
12
13
13
17
18
19
21
22
23
25
4.1 Sistema de coordenadas para uma onda reetida. . . . . . . . . . 28
4.2 Sistema de coordenadas para uma ponto na regi~ao proxima a abertura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Sistema de coordenadas para uma area A proxima a abertura. . . 34
x
4.4 Sistema de coordenadas para uma abertura nita S irradiando na
direc~ao z 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1 Representac~ao da aproximac~ao de uma antena por uma abertura. 55
6.2 Campo eletrico no eixo para a antena modelo ASPD977, P=100 W,
G=10,6 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Campo eletrico no eixo para a antena modelo K751161, P=20 W,
G=2 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Campo eletrico no eixo para a antena modelo BCR80015, P=100 W,
G=17,1 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Campo eletrico no eixo para a antena modelo DB844H65JVTX,
P=100 W, G=15,6 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.6 Campo eletrico no eixo para a antena modelo FV651500A2, P=100 W,
G=16,8 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.7 Campo eletrico no eixo para a antena modelo AP909014, P=100 W,
G=16 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.8 Campo eletrico no eixo para a antena modelo LPD7908, P=100 W,
G=10,1 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.9 Campo eletrico no eixo para a antena modelo RWA80014, P=100 W,
G=16,1 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.10 Campo eletrico no eixo para a antena modelo AP906513, P=100 W,
G=15 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.11 Campo eletrico no eixo para a antena modelo LPD7907, P=100 W,
G=9,1 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.12 Campo eletrico no eixo para a antena modelo AP901208, P=100 W,
G=9,6 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.13 Campo eletrico no eixo para a antena modelo DB854HV90SX,
P=100 W, G=13,6 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.14 Campo eletrico no eixo para a antena modelo RWA8009, P=100 W,
G=11,1 dBi, f=900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.15 Modelos Decibel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.16 Modelo EMS FV651500 A2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.17 Modelo Kathrein K751161. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
xi
6.18 Modelos CelWave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.19 Modelos RWA da Antel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.20 Modelos LPD da Antel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C.1
C.2
C.3
C.4
Refrac~ao de uma onda incidente. . . . . . . . . .
A^ ngulos de incid^encia e reex~ao. . . . . . . . . . .
A^ ngulo de reex~ao igual ao ^angulo de incid^encia.
Difrac~ao de uma onda ao atravessar uma fenda. .
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D.1 Representac~ao dos campos E e H propagando-se no espaco livre. . 93
D.2 Relac~ao entre as fases de Js; Js; Jds; Es: . . . . . . . . . . . . . . 96
E.1
E.2
E.3
E.4
Diagramas de irradiac~ao do modelo RWA80014.
Diagramas de irradiac~ao do modelo RWA8009. .
Diagramas de irradiac~ao do modelo LPD7907. .
Diagramas de irradiac~ao do modelo LPD7908. .
xii
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Lista de Tabelas
2.1 Comparac~ao entre regi~oes de campo proximo e distante. . . . . . .
7
6.1 Par^ametros principais de antenas utilizadas por empresas de telefonia movel celular a 900 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Dist^ancias limite para exposic~ao, com pot^encia transmitida de
100 W a 900 MHz, das antenas avaliadas. . . . . . . . . . . . . . . 54
B.1 Nveis de refer^encia para exposic~ao ocupacional a campos eletricos
e magneticos variaveis no tempo (valores ecazes, n~ao perturbados) 75
B.2 Nveis de refer^encia para exposic~ao do publico em geral a campos
eletricos e magneticos variaveis no tempo (valores ecazes, n~ao
perturbados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C.1
C.2
Indice de refrac~ao para alguns meios. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A rea efetiva e diretividade de algumas antenas de interesse. . . . . 84
xiii
Indice
1 Introduc~ao
1
2 Campos Externos a Antenas Radiantes
4
3 Campo Proximo a Aberturas
8
2.1 Conclus~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Aberturas . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 As Equac~oes de Campo . . . .
3.1.2 A Abertura Linear . . . . . .
3.1.3 A Abertura Retangular . . . .
3.1.4 A Abertura Quadrada . . . .
3.1.5 A Abertura Circular . . . . .
3.2 Densidade de Pot^encia em Aberturas
3.3 Conclus~ao . . . . . . . . . . . . . . .
4 Topicos em Aberturas
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4.1 Analise de Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Analise para o Campo Distante . . . . . . . . . . .
4.1.2 Extens~ao para o Campo Proximo . . . . . . . . . .
4.1.3 Extens~ao para o Campo Muito Proximo . . . . . .
4.2 Energia Focada por uma Abertura . . . . . . . . . . . . .
4.3 Espectro de Onda Plana em Campos Evanescentes . . . .
4.4 Energia Reativa de uma Abertura . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Regi~oes Visveis e Invisveis dos Campos TE e TM
4.5 Conclus~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiv
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6
8
8
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12
16
16
20
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27
27
27
30
32
33
35
38
41
41
5 Soluc~ao de Equac~oes de Propagac~ao para o Campo Proximo
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Propagac~ao de Ondas Diretas no Espaco Livre
Equac~oes para a Abertura Linear . . . . . . .
Equac~oes para a Abertura Retangular . . . . .
Equac~oes para a Abertura Quadrada . . . . .
Equac~oes para a Abertura Circular . . . . . .
Conclus~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
43
45
46
49
49
51
6 Aplicac~ao em Antenas
52
7 Conclus~ao e Perspectivas
67
8 Bibliograa
69
A Integrais de Fresnel
72
B Nveis de Refer^encia para Exposic~ao
74
C Fundamentos
77
6.1 Conclus~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
C.1
C.2
C.3
C.4
C.5
C.6
C.7
C.8
Propagac~ao . . . . .
Refrac~ao e Reex~ao .
Interfer^encia . . . . .
Difrac~ao . . . . . . .
Antenas . . . . . . .
Ganho . . . . . . . .
Padr~ao de Irradiac~ao
Polarizac~ao . . . . .
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D A Onda Plana Uniforme
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D.1 Divergente e Rotacional . . . . . . . . . . . . . .
D.1.1 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1.2 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Propagac~ao de Ondas no Espaco Livre . . . . . .
D.3 Propagac~ao de Ondas em Dieletricos Dissipativos
xv
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87
88
89
93
D.4 O Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
E Diagramas de Irradiac~ao
98
F Programa para Calculo de Campo
xvi
101
Captulo 1
Introduc~ao
Com o aumento da demanda por servicos de comunicac~oes, especialmente para
a telefonia movel celular, as antenas transmissoras tendem a ser instaladas em
posic~oes proximas a ambientes com eventual uxo de pessoas. Dessa maneira,
torna-se de grande import^ancia o exame da variac~ao do campo eletromagnetico
apresentada na regi~ao proxima as antenas, particularmente ao longo do eixo radial
de maxima irradiac~ao, em aplicac~oes que requerem o conhecimento previo dos
nveis de irradiac~ao a curta dist^ancia, possibilitando a instalac~ao das antenas na
posic~ao correta em relac~ao a esses nveis.
Esse estudo pretende apresentar uma analise teorica acerca do comportamento do campo eletromagnetico nas vizinhancas de uma antena transmissoras,
simulando-as como aberturas. Para isso, e desenvolvido um texto em que s~ao descritos desde conteudos basicos em eletromagnetismo ate equac~oes mais complexas
de propagac~ao de ondas.
A regi~ao que envolve uma fonte eletromagnetica e subdividida em duas areas
principais. A regi~ao compreendida entre a fonte e a dist^ancia de 2D2= e denida
como regi~ao de campo proximo ou regi~ao de Fresnel. Apos esse limite encontra-se
a regi~ao de campo distante ou regi~ao de Fraunhoer. Uma descric~ao detalhada
sobre as regi~oes do campo irradiados por antenas, principalmente a regi~ao de
campo proximo [1, 2, 3, 4], e desenvolvida no Captulo 2.
Apos a descric~ao sobre o comportamento do campo em relac~ao a dist^ancia
apresentada no Captulo 2, e apresentada no Captulo 3 uma analise qualitativa para a variac~ao do campo eletromagnetico na regi~ao de campo proximo,
1
particularmente ao longo do eixo principal do diagrama de irradiac~ao. Para tal
analise e descrito o comportamento de diversos tipos de aberturas, utilizando-se
as equac~oes de campo eletromagnetico para aberturas apresentadas em [5; 6; 7]
alem das aproximac~oes de Fresnel para o calculo das integrais de campo na regi~ao
de campo proximo.
Apos os estudos do comportamento do campo eletrico na regi~ao de campo
proximo a aberturas, pretende-se no Captulo 4 a analise de outros casos envolvendo aberturas, como o espalhamento de ondas, apresentado em uma das sec~oes.
Alem disso, s~ao apresentadas discuss~oes sobre a regi~ao de campo reativo de uma
antena, em que s~ao explicados termos como vetor de propagac~ao, assim como
equac~oes para o calculo da pot^encia nessa regi~ao.
As formulac~oes para o campo eletromagnetico de aberturas no campo proximo
descritas em diversos artigos e livros [1, 7, 5, 6, 8] apresentam par^ametros de
entrada diferentes dos utilizados por fabricantes de antenas para caracterizar
seus produtos. Essas equac~oes fornecem apenas uma ideia qualitativa e n~ao
quantitativa do comportamento do campo eletromagnetico na regi~ao do campo
proximo.
Para aplicar-se os resultados obtidos no Captulo 3 para a regi~ao de campo
proximo em antenas e necessario que os dados de entrada estejam em func~ao da
tens~ao, corrente, ou pot^encia aplicada a antena, alem de sua dimens~ao, ganho, e
frequ^encia de operac~ao. No captulo 5 s~ao desenvolvidas equac~oes de propagac~ao
no espaco livre, relacionando a pot^encia aplicada em watts e o ganho da antena
em dBi, com as equac~oes para o campo no eixo, sem normalizac~ao, para as
diversas aberturas, de modo que os par^ametros de entrada estejam de acordo
com os fatores necessarios para aplicac~ao dessas equac~oes a analise de antenas.
O objetivo principal das formulac~oes apresentadas no Captulo 5 e aproximar
os valores de campo eletromagnetico obtidos por aberturas, por aqueles obtidos
por qualquer antena, caracterizando as aberturas com as dimens~oes das antenas,
aplicando nessas aberturas a mesma pot^encia e ganho caracterstico apresentados
pelas antenas.
Como consequ^encia das equac~oes obtidas no Captulo 5, s~ao apresentados
no Captulo 6 os resultados da aplicac~ao das equac~oes de campo eletrico em
campo proximo para aberturas, no espaco livre, considerando modelos de antenas
2
utilizados atualmente por empresas de telefonia movel celular, de acordo com a
Tabela 6.1. As antenas s~ao simuladas como sendo aberturas com distribuic~ao
uniforme de campo eletrico, transmitindo pot^encias usuais em telefonia movel a
900 MHz. S~ao observados gracos mostrando a conformac~ao do campo eletrico,
no espaco livre, no sentido da maior diretividade da antena, avaliando-se os nveis
de campo eletrico em relac~ao as normas estabelecidas pela Anatel [9].
Dos estudos apresentados neste trabalho resultaram dois artigos, um dos quais
ja foi publicado [10] e outro ja aceito para publicac~ao [11].
3
Captulo 2
Campos Externos a Antenas
Radiantes
Geralmente, antenas operam em longas dist^ancias de transmiss~ao. Desta forma,
o comportamento de uma antena e especicado em um limite de dist^ancia innita, sendo as caractersticas desse limite denominadas caractersticas de campo
distante. Essas caractersticas, e.g. ganho, padr~ao de radiac~ao e polarizac~ao,
podem ser medidas com bastante precis~ao utilizando-se uma grande dist^ancia de
teste entre a antena e a fonte iluminante. Entretanto, para a nalidade de experimento, e mais conveniente realizar medic~oes em dist^ancias de tamanho limitado.
Isto cria um problema particular porque dados de medic~ao mudam bastante com
a mudanca da dist^ancia de teste [2].
Para melhor entendimento desse problema, dividiu-se o campo ao redor de
uma antena radiante em componentes de campo reativo e radiante (veja Figura 2.1).
Na regi~ao perto da antena, para uma dist^ancia de aproximadamente =2,
o campo reativo predomina. O tamanho desta regi~ao varia para antenas diferentes sendo, para a maioria dessas, da ordem de alguns comprimentos de onda
ou menos [1]. Portanto, esta regi~ao e referida como regi~ao de campo proximo
reativo. Experi^encias com medic~oes de campo proximo indicam que dist^ancias
aproximadas de um comprimento de onda () formam um limite mais razoavel
para o campo proximo reativo [2]. Fora dessa regi~ao o campo reativo decai rapidamente, podendo ser desprezado a distancia de alguns comprimentos de onda
4
D
Campo Próximo
Radiante
Campo Reativo
Antena
0
Campo Distante
Fresnel
λ 3 D D
+λ
2λ 2
Fraunhofer
2D2
+λ
λ
r
Figura 2.1: Campo exterior em uma antena radiante.
da estrutura de antena.
Como visto na Figura 2.1, a regi~ao fora do campo proximo reativo e subdividida em duas regi~oes principais, a regi~ao de campo proximo radiante e a
regi~ao de campo distante radiante. O limite entre essas duas regi~oes e denido
como a dist^ancia de teste, cujos dados medidos representam com precis~ao suciente os par^ametros de campo distante. Isto signica que na regi~ao de campo
proximo radiante, os dados medidos dependem bastante da dist^ancia de teste. O
raio interno do campo distante e geralmente 2D2= + . A quantidade adicionada cobre a possibilidade da dimens~ao maxima D da antena ser menor que
um comprimento de onda. Em outras palavras, a dist^ancia Rayleigh deve ser
realmente medida alem do limite do campo proximo reativo da antena [2].
Na regi~ao de campo proximo, a distribuic~ao relativa angular do campo e
dependente da dist^ancia da antena. A raz~ao para esse comportamento e que a
contribuic~ao dos diferentes elementos da antena, em relac~ao a fase, muda com a
dist^ancia, assim como a amplitude relativa destas contribuic~oes de campo.
Os termos \regi~ao de Fresnel" e \regi~ao de Fraunhofer" s~ao usados algumas
vezes para caracterizar os campos de uma antena. O termo regi~ao de Fraunhofer
pode ser usado como um sin^onimo de regi~ao de campo distante, ou para referir5
se a regi~ao focal de uma antena focada a uma dist^ancia nita, em que todos os
elementos de uma abertura da antena est~ao essencialmente a mesma dist^ancia
de um ponto de observac~ao. Nessa regi~ao, o termo de fase e aproximado com
bastante precis~ao por uma exponencial linear, a amplitude decai proporcional a
1=R e apenas as componentes transversais de Ee H aparecem
[1].
p
A regi~ao de Fresnel, que se extende de D=2 3 D=2 + ate o limite com
o campo distante (2D2=) ; e a regi~ao em que e necessaria uma aproximac~ao
quadratica de dois termos na exponencial de fase do campo. No limite superior,
o erro de fase em relac~ao a borda da abertura e =16; que produz um efeito
desprezvel na diretividade e lobulos laterais [1]. Uma aproximac~ao quadratica
de dois termos para o termo de fase na regi~ao a esquerda do limite inferior da
regi~ao de Fresnel torna-se imprecisa, sendo necessaria a utilizac~ao de termos de
maior ordem. A regi~ao de Fresnel e uma sub-regi~ao da regi~ao de campo proximo
radiante. Essa regi~ao e tambem assim chamada, porque as express~oes de campo
podem reduzir-se a integrais de Fresnel [12]. Regi~oes de campo proximo e distante
s~ao comparadas na Tabela 2:1: Nessa tabela, observe que, para o decaimento da
pot^encia em campo reativo, n e uma func~ao particular do projeto e geometria da
antena, sendo 5 um valor tpico [3], e e a imped^ancia intrnseca do vacuo.
Para medic~oes de ganho em antenas com aberturas eletricamente largas, o
limite entre a regi~ao de campo proximo radiante e campo distante radiante e
usualmente aceita como sendo a dist^ancia R, referida como a dist^ancia de campo
distante, R = 2D2=. Por meio de uma considerac~ao geometrica, isto corresponde a uma diferenca de percurso de aproximadamente =16, equivalente a uma
diferenca de fase de =8 (22:5), entre a contribuic~ao do campo do centro da
abertura da antena e da borda da abertura. Desta forma, se medic~oes s~ao realizadas a dist^ancias de teste maiores que 2D2=, o ganho e outras caractersticas
podem ser medidas com grande precis~ao. Entretanto, medic~oes de alta precis~ao
podem requerer uma dist^ancia maior, e.g. 50D2=.
2.1 Conclus~ao
Em resumo, enquanto um ponto de observac~ao no espaco move-se para fora da
antena, a amplitude do campo inicialmente oscila e ent~ao cai monotonicamente.
6
Adiante, a fase e amplitude, relativas as diferentes contribuic~oes de cada elemento da antena, assintoticamente atingem uma relac~ao constante, tornando a
distribuic~ao angular relativa do campo independente da dist^ancia [1]
Reativo Campo Proximo Campo Distante
Limite inferior
0
2D2=
Limite superior
2D2=
1
n
Decaimento da Pot^encia R
1
R2
E e H ortogonal
n~ao
sim
sim
377
n~ao
sim
sim
Tabela 2.1: Comparac~ao entre regi~oes de campo proximo e distante.
7
Captulo 3
Campo Proximo a Aberturas
3.1 Aberturas
No captulo anterior foi descrito o comportamento do campo em relac~ao a dist^ancia.
E importante agora examinar quantitativamente a variac~ao do campo eletromagnetico na regi~ao de campo proximo, particularmente ao longo do eixo. Isso e
importante em aplicac~oes que requerem o conhecimento dos nveis de irradiac~ao a
curta dist^ancia. Para tal analise sera descrito o comportamento de uma abertura
retangular, quadrada, linear e circular.
3.1.1 As Equac~oes de Campo
Em problemas de radiac~ao em aberturas, a aproximac~ao mais util para resoluc~ao
das equac~oes de campo de Maxwell e conhecida como formulac~ao de KirchhoKottler [1], em que as express~oes de campo s~ao dadas por
2 Z
k
E = j!4 f(n H) + [(n H ) r] r + j! (n E) r g dS;
S
Z
2
H = j!k4 f(n E) + [(n E) r] r j! (n H) r g dS;
S
com = exp ( jkr) =kr, E e H os campos na abertura e n o vetor normal
a area S . As equac~oes de campo eletromagnetico apresentadas a seguir para
diversos tipos de aberturas s~ao soluc~oes particulares dessas formulac~oes.
Para reduzir-se a complexidade do calculo das equac~oes de campo em cada
8
um dos tipos de abertura, e aplicada a aproximac~ao de Fresnel no termo de fase,
r; da exponencial dessas equac~oes.
3.1.2 A Abertura Linear
Assuma uma fonte linear de corrente de acordo com Figura 3:1. A irradiac~ao
do campo sera rotacionalmente simetrica em planos perpendiculares a fonte. A
equac~ao de abertura para campo eletrico [5] e
Z
j
E = 2R (cos + 1) f (; & ) exp ( jkr) dd&;
(3.1)
A
em que f (; & ) representa a func~ao de distribuic~ao da abertura. Para uma abertura linear considera-se f (; & ) = f ( ), aplicando-se integral em apenas uma
dimens~ao, de modo que
Z
j
E = 2R (cos + 1) f ( ) exp ( jkr) d:
(3.2)
L
A dist^ancia r do elemento da abertura para o ponto de observac~ao e dada por
q
r = (y)2 + (x x0 )2:
(3.3)
Aplicando-se a aproximac~ao de Fresnel chega-se a
x x0 2
r ' y + 2y :
(3.4)
y
R
θ
-L/2
ε
r
x
L/2
Figura 3.1: Abertura linear uniforme.
9
Para o campo no eixo, x = 0, = 0 e, para uma distribuic~ao de campo
uniforme, f ( ) = E; a equac~ao de campo torna-se
x02 0
Z L=2
j
E = y
(3.5a)
E exp jk y + 2y dx
L=2
Z L=2 x02 0
j
E
exp
(
jky
)
(3.5b)
exp jk 2y dx :
E =
y
L=2
Fazendo-se uma mudanca de variavel, com k = 2=;
y 12
x= 0
Com isso
21
t =) t = y
2 12
x =) t = 2y
0
k 12
x =) t = 2y
0
x0 :
(3.6)
02
y
x
2 = jk 1 t2 = jt2 :
jk 2y = jk 2y t2 = jk 2y
t
(3.7)
y
k
Desta forma os limites da integral se tornam
k 12 L
L
0
(3.8)
x = 2 =) t = 2y 2 :
Normalizando em unidades de 2L2=; de forma que = 2Ly2 = ; tem-se para os
limites da integral
r
1
t = 2 2 :
(3.9)
Agora o campo e descrito da seguinte forma
2y 12 Z 21 p 2
j
E
exp
(
jky
)
2 dt;
E = y
exp
jt
(3.10a)
p
1 k
1 12 Z2 21 p2 2
E = j E exp ( jky) y 1 p cos t2 j sen t2 dt: (3.10b)
2 2
Sejam C e S as integrais padr~ao de Fresnel (veja Figura 3.2)
Zz 1
Zz 1
2
C (z) = cos 2 t dt e S (z) = sen 2 t2dt:
(3.11)
0
0
As seguintes relac~oes envolvendo C e S tambem s~ao obtidas [7]
r !
r !
Z
Z
2
cos t2 dt = 2 C t + cte e
sen t2 dt = 2 S 2 t + cte.
(3.12)
10
Como C e S s~ao func~oes mpares, C ( z) = C (z) ; e S ( z) = S (z) ; ent~ao
Z +t
t
p
cos t2 dt = 2C
r !
2t
Z +t
e
t
p
sen t2dt = 2S
r !
2t .
(3.13)
Integrais de Fresnel
0.8
y=C(x)
y=S(x)
0.7
0.6
y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
x
2.5
3
3.5
4
Figura 3.2: Integrais de Fresnel.
Assim, 3:10b torna-se
2 12 C p1
2 E = j E exp ( jky) y
O modulo de E e dado pela seguinte formula
2 12 j S p1
2 p1 + S2 p1
jEj = E y
2 2 com = 2Ly2 = ; e k = 2 ; que pode ser modicada para
C2
!1 12
;
12
2
jEj = E 2L22
C2 p1 + S2 p1
2 2 1 12 1 1 12
jEj = E L2 C2 p + S2 p
E 1 21 21 12
jEj = L p C2 p + S2 p
2 2 11
:
(3.14)
(3.15)
(3.16a)
(3.16b)
(3.16c)
As Figuras 3:3 e 3.4 representam as curvas para o modulo do campo eletrico
no eixo. O termo em par^enteses foi omitido para normalizac~ao da curva.
Campo Eletrico no Eixo - Abertura Linear
8
7
6
|E| / (Eo/L)
5
4
3
2
1
0
0.01
0.1
Delta=R/(2D^2/lambda)
1
Figura 3.3: Campo eletrico no eixo para uma fonte linear uniforme.
3.1.3 A Abertura Retangular
Seja uma abertura de tamanho Lx Ly ; como mostrado na Figura 3:5, com iluminac~ao uniforme que produz um feixe na direc~ao z: O campo eletrico E segundo
[7], [5] e
Z
j
E = 2R (cos + 1) f (; & ) exp ( jkr) dd&:
(3.17)
A
A dist^ancia r do elemento da abertura para o ponto de observac~ao e
EL(z)
q
r = z2 + (x x0 )2 + (y y0 )2:
(3.18)
Isso e, pela aproximac~ao de Fresnel,
x x0 2 + y y0 2
:
(3.19)
r'z+
2z
Para o campo no eixo, x = y = 0, = 0; R = z e, para uma distribuic~ao de
campo uniforme f (; & ) = E; a equac~ao de campo torna-se
12
Campo Eletrico no Eixo [dB] - Abertura Linear
15
|E| / (Eo/L) [dB]
10
5
0
-5
1/R
-10
0.01
0.1
Delta=R/(2D^2/lambda)
1
Figura 3.4: Campo eletrico no eixo para uma fonte linear uniforme em dB
(20 log jEj).
Figura 3.5: Abertura retangular uniforme.
13
Z Lx=2 Z Ly =2
0 2
0 2
x
+
y
j
dxdy;
(3.20)
exp jk z +
E = R E
2z
Lx=2 Ly =2
Z Lx=2 Z Ly =2 x0 2 + y0 2 j
exp
(
jkz
)
E = E R
dxdy: (3.21)
exp jk
2z
Lx =2 Ly =2
Fazendo-se uma mudanca nas variaveis xe y, com k = 2=;
z 12
12 0
t
=
)
t
=
z x
2 12 0
k 12 0
=) t = 2z x =) t = 2z x ;
z 12
12 0
0
y =
u =) u = z y
k 12 0
2 12 0
y =) u = 2z y :
=) u =
2z
os limites da integral se tornam
x
0
=
1
2
x = L2x =) t = 2kz L2x ;
k 12 L
L
0
y
y = 2 =) u = 2z 2y :
0
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Normalizando em unidades de 2L2 =; de forma que x = 2Lz2x= e y = 2Lz2y = ;
tem-se para os limites da integral
r
;
t = 12 2
x
r
:
u = 21 2
y
O campo para a abertura retangular e escrito, ent~ao, da seguinte forma
14
(3.26)
(3.27)
E = j E exp ( z jkz) 2kz
p
Z
1 2 2x
1p 2 2x
Z 21 p 2
1p
2
y
2y
jt2 ju2 dtdu;
exp
(3.28a)
E = j E exp ( jkz)
Z 21 p 2
Z 12 p 2
(3.28b)
1 p exp jt2 dt 1 p exp ju2 du;
2 2
2 2
1 1 2
p
j
E
exp
(
jkz
)
E =
2 C p
jS p
2 2 "
x
y
x
C 2p1
y
!
jS
1
p
2 y
y
!#
x
;
x
E = 2j E exp ( jkz) C 2p1
j S p1
2 x
x !#
!
"
j S p1
C p1
:
2 y
2 y
em que C e S s~ao as integrais padr~ao de Fresnel.
O modulo de E e escrito da seguinte forma
(3.28d)
1
2
1
p
j Ej
+ S2 p1
2 x
2 x
"
!
!# 21
1
1
C2 p
+ S2 p
:
2 y
2 y
= 2E C2
(3.28c)
(3.29)
Como exemplo, seja uma abertura retangular com Lx = 2Ly ;
z
=) y = 4x:
y = z2 =) y = 1 z 2 =) y = 4
2Ly =
2L2x=
2 2 Lx =
(3.30)
Para Lx = 3Ly ; 4Ly e 5Ly t^em-se respectivamente y = 9x; 16x e 25x. As
Figuras 3:6 e 3.7 mostram o comportamento do campo, em modulo, para esses
casos, incluindo o caso da abertura quadrada Lx = Ly :
15
3.1.4 A Abertura Quadrada
A abertura quadrada e um caso especial da abertura retangular em que Lx = Ly
de modo que x = y : Assim, tem-se para a equac~ao de campo 3:17
1 2
1
E = 2j E exp ( jkz) C p
jS p
:
2 2 O modulo de E e dado pela formula
1 1 :
jEj = 2E C2 p + S2 p
2 2 (3.31)
(3.32)
3.1.5 A Abertura Circular
Considere uma distribuic~ao de corrente magnetica uniforme, polarizada na direc~ao do eixo x em uma regi~ao circular plana de raio a como indicado na gura
3:8: Os campos eletrico e magnetico no eixo z; para z > 0; segundo [6]; s~ao
descritos a seguir
p 02 2 !
Z
a
exp jk + z 0 0
Ey (z) = z2 E
d ;
jk + p 021 2
02 + z2
+z
0
!
(
(3.33)
Za
02
j
k2 02+ z2 + jk + p 021 2
Hx (z) = 4! E
+z
0
"
)
#
02
3
2
p
p
+ 2k 2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
( + z ) + z
p 02 2 + z
exp jk + z 0 0
p02 + z2
d :
(3.34)
Realizando uma mudanca de variaveis e avaliando as integrais 3:33 e 3:34 na
forma fechada, usando integrac~ao por partes, t^em-se para os campos eletromagneticos exatos
1
p 2 2 z
Ey (z) = E 2 exp ( jkz) p 2 2 exp jk a + z ;
2 a +z
(3.35)
16
Campo Eletrico no Eixo - Aberturas Retangulares com Diversas Dimensoes
2
1.8
1.6
1.4
|E| / Eo
1.2
1
17
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.01
Abert. Qua. (Lx=Ly)
Abert. Ret. (Lx=2Ly)
Abert. Ret. (Lx=3Ly)
Abert. Ret. (Lx=4Ly)
Abert. Ret. (Lx=5Ly)
1/R
0.1
Delta=R/(2D^2/lambda)
1
Figura 3.6: Comparac~ao entre o campo eletrico de uma abertura quadrada e retangular com diferentes tipos de abertura.
Campo Eletrico no Eixo [dB] - Aberturas Retangulares com Diversas Dimensoes
10
5
18
|E| / Eo [dB]
0
-5
-10
-15
-20
0.01
Abert. Qua. (Lx=Ly)
Abert. Ret. (Lx=2Ly)
Abert. Ret. (Lx=3Ly)
Abert. Ret. (Lx=4Ly)
Abert. Ret. (Lx=5Ly)
1/R
0.1
Delta=R/(2D^2/lambda)
1
Figura 3.7: Comparac~ao entre o campo eletrico de uma abertura quadrada e retangular com diferentes tipos de abertura,
em dB .
z
P
θ
R
r
σ
y
0
ρ’
φ’
φ
x
Figura 3.8: Geometria de uma abertura circular
e
2
1
j
jkz
p
Hx (z) = 4! E jk
+
a2 + z2 a2 + z2
2
+ 2 2zp 2 2
(a + z ) a + z
k
p
E exp ( jkz) :
exp jk a2 + z2 2!
(3.36)
2
1
j
jkz
p
Hx (z) = 4! E jk
+
a2 + z2 a2 + z2
2
+ 2 2zp 2 2
(a + z ) a + z
p
k
exp jk a2 + z2 2!
E exp ( jkz) :
O modulo do campo eletrico exato e ent~ao
z
1
z
jEj = E 4 + p 2 2 p 2 2
2 a +z 2 a +z
p
cos kz k a2 + z
12
2
(3.37)
:
(3.38)
Normalizado para = 1 em z = 2D2=; D di^ametro da abertura, tem-se para o
campo exato
1
jEj = E 4 + p 2 4a 2 2 p 2 4a 2 2 :
a12
2a + 64p a + 64
cos 2 8a 2 + 642a2
19
(3.39)
As express~oes 3:33 e 3:34 podem ser avaliadas de maneira mais simples utilizandose aproximac~oes de Fresnel e substituindo-se, para o termo de fase
p 02
02
+ z2 z + 2z ;
e para o termo de amplitude
(3.40)
p 02
+ z2 z;
(3.41)
obtendo-se para os campos eletromagneticos e seus respectivos modulos normalizados,
Ey ( z ) =
j Ej =
k a2 k a2 j E exp ( jkz) exp j 4 z sen 4 z ;
E
sen
;
16
e
Hy (z) = 1 j E exp ( jkz) exp
1
jHj = E sen 16 :
k a2 k a2 sen
;
j
4 z
4z
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
A Figura 3:9 apresenta uma comparac~ao para campo eletrico no eixo para o
campo exato com D = 10 e D = 100; e o campo pela aproximac~ao de Fresnel.
Observa-se, pela gura, que a aproximac~ao de Fresnel mostra-se excelente para
di^ametros da ordem de 100: Para D = 10 a aproximac~ao de Fresnel apresenta
mais oscilac~oes que o campo exato, com comportamento semelhante ao do campo
exato na regi~ao > 0:07.
3.2 Densidade de Pot^encia em Aberturas
A densidade de pot^encia no eixo e proporcional a jE Hj. Normalizando a
densidade de pot^encia para = 1 na dist^ancia de 2L2 = tem-se para as fontes
linear, retangular, quadrada e circular as seguintes express~oes para densidade de
20
Campo Eletrico no Eixo - Abertura Circular
1
D=10lambda
D=100lambda
Aprox. Fresnel
0.9
0.8
0.7
|E|
0.6
0.5
21
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.01
0.1
Delta=R/(2D^2/Lambda)
1
Figura 3.9: Comparac~ao para campo eletrico no eixo para o campo sem aproximac~oes, com D = 10 e D = 100; e pela
aproximac~ao de Fresnel, para uma abertura circular.
pot^encia no eixo
E2 1 C2 p1 + S2 p1
Wlin = L2 2
;
(3.46)
2
2
E2 1 1 Wret = 2 C2 p
+ S2 p
2
2 x
"
! x
!#
C2 2p1 + S2 2p1 ;
(3.47)
y
y
E2 1 1 2
;
(3.48)
Wquad = 2 C2 p + S2 p
2 2 A Figura 3:10 mostra a densidade de pot^encia para a abertura linear enquanto
que a Figura 3.11 mostra uma comparac~ao entre a densidade de pot^encia para
uma abertura quadrada e retangular com diferentes aberturas. Observe que as
constantes entre par^enteses de cada express~ao foram omitidas para uma normalizac~ao no desenho das curvas.
Densidade de Potencia no Eixo [dB] - Abertura Linear
15
W / (Eo^2 / L^2*Eta) [dB]
10
5
0
-5
-10
0.01
W[dB]
1/R^2
1/R
0.1
Delta=R/(2D^2/lambda)
1
Figura 3.10: Densidade de pot^encia no eixo para uma abertura linear.
Para a fonte quadrada, observa-se que o valor de pico e proximo de 2dB e
que para < 0:1 a curva oscila em torno de aproximadamente 2dB . Tambem
verica-se que a densidade de pot^encia cai sob a curva 1=R2 para valores de <
0:6. Verica{se que a densidade de pot^encia para a fonte linear apresenta uma
depend^encia em relac~ao a curva 1=R na regi~ao de oscilac~ao que intercepta a curva
1=R2; em aproximadamente = 0:5 (veja Fig. 3:10). Na curva de comparac~ao
22
Densidade de Potencia no Eixo [dB] - Aberturas Retangulares com Diversas Dimensoes
5
23
W / (Eo^2/Eta) [db]
0
-5
-10
-15
-20
0.01
Abert. Qua. (Lx=Ly)
Abert. Ret. (Lx=2Ly)
Abert. Ret. (Lx=3Ly)
Abert. Ret. (Lx=4Ly)
Abert. Ret. (Lx=5Ly)
1/R^2
0.1
Delta=R/(2D^2/lambda)
1
Figura 3.11: Densidade de pot^encia no eixo para uma abertura uniforme quadrada e retangular com diversas dimens~oes.
entre a abertura quadrada e diferentes aberturas retangulares e observada uma
queda semelhante para todos os casos na regi~ao > 0:4. Alem disso, pela mesma
curva de comparac~ao, verica-se que quanto mais a dimens~ao de um dos lados
aumenta em relac~ao a outra, o comportamento aproxima-se ao de uma fonte
linear.
A Figura 3:12 descreve o comportamento da densidade de pot^encia para a
abertura circular, W = 1 21 jEj2 . Foram analisados os casos para o campo
exato, desprezando-se a constante para uma normalizac~ao da curva, com D =
10 e D = 100; e o campo pela aproximac~ao de Fresnel.
Uma observac~ao cuidadosa de como o campo muda de campo distante para o
campo proximo radiante leva a um entendimento fsico da diferenca de comportamento dos dois tipos de abertura.
Considere, inicialmente, a abertura quadrada. Enquanto um observador movese em direc~ao a abertura, o feixe lentamente alarga-se { mas o padr~ao e mantido.
Quando o observador alcanca o valor ' 0:17, na regi~ao de campo proximo
radiante, o feixe principal comeca a birfurcar e tornar-se c^oncavo. O rompimento
do feixe atinge o maximo em ' 0:07. Enquanto o observador continua a se
mover, o feixe principal se refaz e rompe-se continuamente. A diretividade em
duas dimens~oes, que produz o feixe, e destruda pela mancha de fase de Fresnel
nessa regi~ao. A perda de diretividade nas duas dimens~oes compensa o aumento
normal de 1=R2 enquanto o observador move-se em direc~ao a fonte. Desta forma,
para uma fonte quadrada, a densidade de pot^encia oscila em torno de um valor
constante.
Considerando agora a fonte linear, observa-se que o feixe ja se apresenta omnidirecional em um plano, n~ao havendo, desta forma, perda em diretividade. Desta
maneira a mancha de fase de Fresnel pode degradar o padr~ao em apenas um
plano, cancelando 1=R do aumento normal de 1=R2, restando ent~ao um contorno que se aproxima da curva 1=R. Alem disso, as oscilac~oes apresentam-se com
menor intensidade, pois a mancha de fase e produzida em apenas um plano (veja
Figura 3.10).
Observando-se a abertura retangular, verica-se que, em func~ao da relac~ao
entre as duas dimens~oes da abertura, o comportamento se aproxima de uma
abertura linear ou quadrada, conforme esperado.
24
Densidade de Potencia no Eixo - Abertura Circular
0.5
D=10lambda
D=100lambda
Aprox. Fresnel
0.45
0.4
0.35
W
0.3
0.25
25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.01
0.1
Delta=R/(2D^2/Lambda)
Figura 3.12: Densidade de pot^encia no eixo para uma abertura circular.
1
Para a abertura circular, dependendo da relac~ao entre o di^ametro e ; o
comportamento da curva modica. Quanto maior a relac~ao D=, maior o numero
de oscilac~oes. No caso para D = 100; quando o observador alcanca o valor '
0:12, na regi~ao de campo proximo radiante, o feixe principal comeca a birfurcar e
tornar-se c^oncavo, refazendo-se e rompendo-se em varios ciclos, atingindo valores
nulos e de maxima pot^encia. Para o caso de D = 10; o numero de oscilac~oes
diminui. Em 0:12 o feixe principal comeca a birfurcar e tornando-se c^oncavo,
apresentando um rompimento maximo em = 0:06; com a pot^encia atingindo
um valor nulo. Na regi~ao > 0:08, o comportamento para os tr^es casos e
bastante semelhante. Para todos os casos, na regi~ao de oscilac~ao, a perda de
diretividade e bastante acentuada.
Esses resultados s~ao bastante uteis quando s~ao necessarias medic~oes de fatores
como riscos de radiac~ao em seres humanos. Fontes lineares praticas s~ao usadas
para alimentar antenas c^onicas ou reetores para que a variac~ao real da densidade
de pot^encia seja similar a variac~ao ocorrida quando a fonte e quadrada.
3.3 Conclus~ao
Nesse captulo foi apresentada uma analise do comportamento do campo eletromagnetico na regi~ao de campo proximo de varios tipos de abertura em que
foi utilizada a aproximac~ao de Fresnel para o calculo das integrais das equac~oes
de campo. Esta aproximac~ao possibilita o calculo de equac~oes para a regi~ao de
campo proximo utilizando-se as integrais padr~oes de Fresnel, tornando possvel
a vericac~ao das diferentes variac~oes dos nveis de campo para cada tipo das
aberturas aplicadas. No captulo seguinte ser~ao apresentados outros topicos relacionados ao campo eletromagnetico no campo proximo de aberturas e a regi~ao
de campo proximo evanescente.
26
Captulo 4
Topicos em Aberturas
Apos os estudos do comportamento do campo eletrico na regi~ao de campo proximo,
pretende-se nesse captulo analisar outros casos envolvendo aberturas, como o
caso de espalhamento de ondas, apresentado na sec~ao a seguir. Alem disso, s~ao
apresentadas discuss~oes sobre a regi~ao de campo reativo, em que s~ao explicados termos como vetor de propagac~ao, como tambem equac~oes para o calculo da
pot^encia nessa regi~ao.
4.1 Analise de Espalhamento
Nesta sec~ao sera avaliado o campo eletrico, baseado em analise de aberturas, devido ao espalhamento causado por ondas que, neste caso particular, atingem uma
superfcie perfeitamente condutora. O metodo de analise de aberturas e utilizado pois a maioria das edicac~oes modernas consiste de superfceis relativamente
planas e lisas. Ser~ao desenvolvidas express~oes para os campos distante e proximo
da superfcie reetora.
4.1.1 Analise para o Campo Distante
Seja um reetor condutor perfeito, iluminado por uma onda transmitida por
uma abertura. O campo re-irradiado em um ponto de observac~ao do campo
espalhado pode ser derivado de uma componente tangencial do campo proveniente
da abertura irradiante [13].
27
No sistema de coordenadas da Figura 4:1; a superfcie de uma edicac~ao a b
esta centrada no plano xy: O termo r0 indica a dist^ancia da abertura transmissora
a origem O (edicac~ao) e r a dist^ancia entre o receptor (na regi~ao espalhada) e
a origem O: As direc~oes do transmissor e receptor em relac~ao ao plano yz s~ao
denidas pelos ^angulos de azimute 0 e , e em relac~ao ao plano xz pelos ^angulos
de elevac~ao 0 e respectivamente.
y
a
ondas
incidentes
ro
o
b
φo
θo
x
r
θ
φ
uφ
uθ
ondas
espalhadas
z
Figura 4.1: Sistema de coordenadas para uma onda reetida.
A componente tangencial na origem da onda proveniente da abertura transmissora consiste em um campo eletrico polarizado verticalmente E0: Adota-se o
campo reetido como o negativo da componente tangencial da onda de chegada.
Assim o campo reetido pela superfcie a b e escrito da seguinte forma
Ey(ref) (x; y) = E reta (x) retb(y) exp [jk (x0 + y0)] dt
(4.1)
com reta(x) = 1; a2 x a2 e retb (y) = 1; 2b y 2b ; 0 = sen 0 cos 0
e 0 = sen 0 s~ao as direc~oes de incid^encia e k a constante de fase. Qualquer
onda plana irradiada na direc~ao (; ) de uma abertura no plano z = 0 tem uma
componente y do campo eletrico em z 0 dada por
Ey (x; y; z) =
Z Z
2 +2 1
Fy (; ) exp [ jk (x + y + z )] dd;
(4.2)
com = sen cos , = sen e = cos cos sendo as direc~oes do receptor,
Fy (; ) e a componente y do espectro angular. A integral e realizada sobre
28
valores de e , resultando em ondas planas homog^eneas propagando-se em
z0
A transformada de Fourier do campo devido a abertura irradiante e seu padr~ao
de irradiac~ao e
Z a2 Z 2b
1
Fy (; ) = 2 a b Ey(ref) (x; y) exp [jk (x + y )] dxdy: (4.3)
2
2
Para um ponto de observac~ao varios comprimentos de onda distante da superfcie
espalhadora (kr 1) ; a Equac~ao 4:2 pode ser resolvida assintoticamente resultando em [13]
(4.4)
Ey (x; y; z) j 2kr exp ( jkr) cos cos Fy (; ) :
Assim, o campo eletrico em z 0 pode ser expresso em coordenadas esfericas
como
Z a2 Z 2b
j
exp
(
jkr
)
E (r; ; ) = ep r
Ey(ref) (x; y) exp [jk (x + y )] dxdy;
a
b
2
2
(4.5)
em que ep = 21 [(sen sen ) u + (cos cos ) u] e denido como fator de polarizac~ao, com u e u vetores unitarios nas direc~oes e ; .
A partir das Equac~oes 4:1 e 4:3; pode ser observado que Ey(ref) (x; y) e Fy (; )
est~ao separados em amplitude e fase em termos das coordenadas da abertura
reetora. Realizando a integrac~ao com respeito a x e y, respectivamente, o padr~ao
de irradiac~ao no campo distante pode ser expresso como
b ( + ) a ( + ) j
E
ab
0 ;
0
E (r; ; ) ep r sinc
sinc
(4.6)
com sinc (x) = (sen x) =x:
O coeciente de espalhamento { raz~ao do sinal espalhado pelo sinal incidente {
e calculado tomando-se a densidade de pot^encia das ondas espalhadas e dividindo
pela densidade de pot^encia das ondas incidentes. Utilizando-se do teorema de
Poynting, W = 12 Re jE Hj ; e jEj = 0 jHj ; 0 representando a imped^ancia
intrnseca do espaco livre, tem-se para a densidade de pot^encia reetida
W(ref) = 21 jEj2 ;
(4.7)
0
2
2
2
W(ref) = (Eab) 2 jepj2 sinc a (+ 0) sinc b (+ 0) :
20 (r)
29
(4.8)
2
Seja W0 = 2E0 a densidade de pot^encia das ondas incidentes, ent~ao o coeciente
de espalhamento e descrito da seguinte forma
W(ref) (ab)2 2 2 a ( + 0 ) 2 b ( + 0 ) je j sinc
sinc
:
W= W =
(r)2 p
0
(4.9)
Dessa maneira, a pot^encia espalhada recebida e a soma logartmica do sinal incidente e coeciente de espalhamento na superfcie em considerac~ao [13]
Pr (dBm) = Pi (dBm) + W (dB )
(4.10)
4.1.2 Extens~ao para o Campo Proximo
O termo de fase da exponencial na integral da Equac~ao 4:5 representa as diferencas de caminho (r ) percorridos pelos raios ate um ponto de observac~ao P;
que nesse caso e expresso como uma quantidade linear pois, no campo distante,
todos os caminhos dos raios a partir da abertura s~ao aproximadamente paralelos.
Para pontos de observac~ao mais proximos da abertura, a diferenca de percurso
deve ser expressa mais precisamente. Sejam, r a dist^ancia da origem da superfcie
O a um ponto de observac~ao P e r1 a dist^ancia de um ponto qualquer da superfcie
ao mesmo ponto P; como mostrado na Figura 4:2. Geometricamente relaciona-se
r e r1 por
r12 = r2 + x2 + y2 2r(x + y );
p
r1 = r2 + x2 + y2 2r(x + y ):
(4.11)
(4.12)
Substituindo a diferenca de percurso (r = r r1) no termo de fase da Equac~ao
4:5 obtem-se
( jkr)
E (r; ; ) = ep j expr
Z a2 Z 2b
a b Ey(ref) (x; y)
2
n 2h p 2
exp jk r
io
r + x2 + y2 2r(x + y )
30
dxdy: (4.13)
y
x
z
O
r
r1
P
Figura 4.2: Sistema de coordenadas para uma ponto na regi~ao proxima a abertura.
Expande-se a diferenca de percurso r em series binomiais para facilitar a
avaliac~ao da integral dupla. Assim,
r = r r 1 + 12
1 x2 + y2
8
x2 + y2
2r(x + y )
r2
!
2
2r(x + y ) + ::: ;
r2
que e aproximadamente
2
2
r x y + x + y
2r 2r
2 + y 2 )2 4r (x2 + y 2 ) (x + y ) + 4r2 (x + y )2
(
x
+
:
8r 3
(4.14)
(4.15)
Desprezando os termos de x e y com ordem maior que 2 e os termos produto de
x e y; obtem-se
2
2
2
2
(4.16)
r x (1 ) y (1 ) + x + y:
2r
2r
Para ^angulos de elevac~ao pequenos, 0; 1 2 cos2 e 1 2 1; de
maneira que 4:16 torna-se
2 2 y2
r x cos
(4.17)
2r
2r + x + y:
31
Assim, introduzindo o novo termo de fase, a Equac~ao 4:5 torna-se
Z a2 Z 2b
j
exp
(
jkr
)
E (r; ; ) ep r
Ey(ref) (x; y)
a
b
x2 cos2 2 2y2
exp jk
2r
2r + x + y dxdy: (4.18)
Substituindo 4:1 em 4:18 e fazendo algumas manipulac~oes matematicas t^em-se,
nalmente, para o campo eletrico total reetido no campo proximo
( "
#)
2
+ 0 + ( + )2
r exp j
E (r; ; ) ep 2Ecos
0
cos Z
cos + p2r (+0 )
2r cos p
apcos 2r
2r cos (+0 )
ap
Z
p
2r
+
2r ( +0 )
pb
p
2r
2 2 2 (+0)
exp j 2 t exp j 2 u dtdu:
pb
r
(4.19)
Observe que a Equac~ao 4.19 encontra-se na forma de integrais de Fresnel, podendo
ser resolvida segundo a Equac~ao 3:11; de modo que
( "
#)
2
+
j
2
E
r
0
2
E (r; ; ) ep cos exp cos + ( + 0 )
"
!
p
2
r
a
cos
C p + cos ( + 0 )
2r
!#
p
2
r
a
cos
j S p + cos ( + 0 )
2r
"
!
p
b
2
r
C p + ( + 0)
2r
!#
p
2
r
b
(4.20)
j S p + ( + 0) :
2r
4.1.3 Extens~ao para o Campo Muito Proximo
Quando um observador move-se em direc~ao a superfcie espalhadora, a aproximac~ao calculada para o campo proximo torna-se imprecisa. Dessa maneira,
considera-se uma diferenca de percurso mais precisa. A aproximac~ao para r
dada por [13] e suciente para a regi~ao de campo muito proximo (r a ou b)
r = r
p
r2 + x2 2rx + r
32
p2
r + y2 2ry:
(4.21)
Usando essa aproximac~ao, a Equac~ao 4:5 torna-se
Z a2 Z 2b
j
exp
(
jkr
)
E (r; ; ) ep r
Ey(ref) (x; y)
a
b
2
2
h p
exp jk r r2 + x2 2rx
+ r
p2
r + y2 2ry
i
dxdy:
(4.22)
Expandindo a diferenca de percurso r em series binomiais com respeito a x e
y; respectivamente, obtem-se
2
r = r r 1 + 1 x
2
y2
1
+ r r 1+
2
y2 2ry 3
1
+
16
r2
2rx
r2
2ry
r2
!
1 x2
8
1 y2
8
!
2rx 2 + 1 x2 2rx 3 :::
r2
16
r2
2ry 2
r2
::: ;
(4.23)
que resulta em, desprezando-se os termos produto de x e y;
2
2
r x2r 2yr + x + y
4
4
3
3
2 2 2 2 2
+ x + y 4r (x + y8r3) + 4r (x + y ) :
(4.24)
A Express~ao 4:24 contem termos de ordem maior comparando-se com 4:17; fornecendo assim um valor que se aproxima ainda mais da Equac~ao 4:13: Analises
posteriores apresentadas em [13], alem de discuss~ao sobre medidas experimentais,
demostram que a aproximac~ao apresentada em 4:21 e sucientemente precisa.
4.2 Energia Focada por uma Abertura
Nesta sec~ao sera demonstrada uma relac~ao entre a taxa de pot^encia observada
em uma determinada area do espaco no campo proximo e a taxa de pot^encia
transmitida por uma abertura de antena radiante.
Seja 1 a taxa de pot^encia transmitida atraves de uma dada area A do espaco
pela pot^encia total irradiada por uma abertura de antena com area A0. A area
33
A encontra-se no campo proximo, paralela ao plano de abertura do transmissor
a uma dada dist^ancia R (vide Fig. 4.3).
A
A’
Ro
P
abertura
Figura 4.3: Sistema de coordenadas para uma area A proxima a abertura.
A pot^encia transmitida por unidade de area em um ponto P da area A pode
ser escrita da seguinte forma [8]
Z
2
exp
(
jkR
)
WP = c1 f ( ) R d ;
A
0
(4.25)
em que c1 e uma constante de proporcionalidade determinada fazendo-se R atingir
o valor innito. O termo f ( ) e denido como a func~ao de iluminac~ao [8] ou
distribuic~ao da abertura [1] e R a dist^ancia do ponto P 0 (P 0 2 A0) ao ponto P
(P 2 A). No campo distante sabe-se que
R
A0 f () d2
G
T
WP = 4R = 2 2 R
R A0 jf ( )j2 d
(4.26)
em que GT e o ganho da antena. Comparando 4:26 com a forma assintotica de
4:25 encontra-se
R
exp(
jkR) d 2
f
(
)
R
WP = A 2 R
:
2
jf ( )j d
0
A0
(4.27)
A taxa de pot^encia total uindo atraves da area A e ent~ao
1 =
R
R
exp(
jkR) d 2 dP
f
(
)
R
A A
R
:
2
2 jf ( )j d
0
A0
34
(4.28)
4.3 Espectro de Onda Plana em Campos Evanescentes
O espectro de onda plana (Plane-Wave Spectrum {PWS ) e bastante util na determinac~ao do padr~ao de campo distante pela medic~ao do campo na regi~ao de campo
proximo, existindo formulac~oes que estabelecem relac~oes simples e de bastante
utilidade com o campo distante [14]. Nessa sec~ao sera demonstrada a equac~ao de
PWS relacionada com o campo, alem da introduc~ao de termos como frequ^encia
espacial, condic~ao de propagac~ao e espectro de onda plana evanescente em medic~oes de campo proximo.
Na regi~ao do espaco livre, na qual campos proximos s~ao medidos, as equac~oes
harm^onicas no tempo de Maxwell podem ser transformadas nas seguintes equac~oes
de vetor de onda
r2 E + k 2 E
r2 H + k2H
rE
rH
=
=
=
=
0
0
0
0
(4.29a)
(4.29b)
(4.29c)
(4.29d)
Pode ser mostrado que as seguintes express~oes constituem uma soluc~ao para as
equac~oes acima, para z 0; e satisfazem as condic~oes de contorno no plano z = 0:
Z
1
E (x; y; z) = 2
Z
1
H (x; y; z) = 2
1Z 1
1 1
1Z 1
1
1
A (kx; ky ) e
j kr dk
k A (kx; ky ) e
xdky ;
j kr dk dk ;
x y
kxAx (kx; ky ) + ky Ay (kx; ky ) + kz Az (kx; ky ) = 0;
(4.30a)
(4.30b)
(4.31)
em que kx e ky s~ao variaveis reais e
k = kxax + ky ay + kz az ;
35
(4.32)
k2 = k k = !2,
(4.33)
r = xax + yay + zaz ;
(4.34)
A (kx; ky ) = Ax (kx; ky ) ax + Ay (kx; ky ) ay + Az (kx; ky ) az :
(4.35)
O vetor k e denido como vetor de propagac~ao apontando para a direc~ao de
propagac~ao da onda plana [15] ou frequ^encia espacial (spatial frequency ) [3], em
unidades de ciclos por comprimento de onda. Unidades de ciclos por comprimento
de onda denem a frequ^encia espacial da mesma maneira que ciclos por segundo
denem uma frequ^encia temporal. Semelhantemente, a frequ^encia espacial e
uma medida do perodo de uma onda senoidal relativa a um dado intervalo de
dist^ancia. Em suma, frequ^encia espacial e uma medida direta da inclinac~ao do
feixe, ou seja, a inclinac~ao do feixe, em graus, e igual ao arco-seno da frequ^encia
espacial.
Os tr^es componentes da frequ^encia espacial, kx; ky ; kz ; representam, respectivamente, a componente horizontal, vertical e de profundidade desse vetor,
tambem sendo denidas respectivamente como frequ^encia espacial azimutal (horizontal), frequ^encia espacial de elevac~ao (vertical) e frequ^encia espacial de profundidade, em unidades de ciclos por comprimento de onda [3]. A norma de
k deve ser igual a um ciclo/comprimento de onda para energia eletromagnetica
propagando-se no espaco livre. Alternativamente, as componentes kx; ky e kz da
frequ^encia espacial podem ser denidas em coordenadas esfericas, em que e o
^angulo do vetor relativo ao eixo z e e o ^angulo, no sentido anti-horario, do vetor
ao redor do eixo z: O ^angulo e medido relativo ao eixo x:
kx = k sen cos ;
ky = k sen sen ;
kz = k cos :
(4.36)
(4.37)
(4.38)
As componentes kx; ky e kz podem ser descritas em termos de ^angulo de elevac~ao
(') e azimute (& ), em que uma geometria de elevac~ao sobre azimute e usada,
36
fornecendo
kx = k sen (& ) cos(');
ky = k sen (');
kz = k cos (& ) cos ('):
(4.39)
(4.40)
(4.41)
Relacionando, agora, os ^angulos de elevac~ao e azimute com o sistema de coordenadas esfericas, pode-se denir e em termos de ^angulos de azimute e elevac~ao
= arccos [cos(& ) cos(')] = arccos (kz ) ;
= arctan [tan (') = sen (& )] = arctan (ky =kx) ;
(4.42)
(4.43)
ou, reciprocamente,
& = ^angulo de azimute = arctan [tan() cos()] = arctan (kx=kz ) ; (4.44)
' = a^ngulo de elevac~ao = arcsen [sen () sen ()] = arcsen (ky ) : (4.45)
Nas equac~oes 4:30a; 4:30b e 4:31 denomina-se A por espectro de onda plana,
pois a express~ao
A (kx; ky ) e
j kr
(4.46)
representa no integrando uma onda plana uniforme propagando na direc~ao de k.
O campo E em 4:30a pode ser escrito ent~ao da seguinte maneira
Z 1Z 1
1
Ex;y;z (x; y; z) = 2
Ax;y;z (kx; ky ) e j(kxx+ky y+kz z)dkxdky ;
1 1
(4.47a)
que fornece a seguinte transformada de Fourier
Z 1Z 1
1
Ax;y;z (kx; ky ) = 2
Ex;y;z (x; y; z) ej(kxx+ky y+kz z)dxdy:
1 1
(4.48a)
A condic~ao de irradiac~ao requer que, para z > 0;
kz = k2 kx2 ky2 1=2 ; se kx2 + ky2 k2 ;
kz = j kx2 + ky2 k2 1=2 ; caso contrario.
37
(4.49a)
(4.49b)
O kz imaginario corresponde a um espectro de onda plana evanescente (reativo)
que e rapidamente atenuado pelo fator exp( jkz) quando o ponto no campo
move-se do plano z = 0 na direc~ao do z positivo.
A exclus~ao do espectro de onda plana evanescente tem sido a base para medidas de campo proximo, escolhendo-se dist^ancias relativamente grandes em que
o campo reativo esteja bem atenuado. A pratica geral para medic~oes de campo e
o posicionamento da sonda medidora pelo menos alguns comprimentos de onda
distante da antena (tipicamente dez comprimentos de onda). Entretanto, [14]
mostra que em geral essa pratica n~ao pode ser justicada.
Estudos revelam que o espectro de onda plana evanescente, para antenas
praticas, e muito pequeno, devendo ser praticamente ignorado a dist^ancias de
um comprimento de onda ou mais do plano da antena. Quanto maior a abertura
da antena, menor o conteudo evanescente no espectro. Dessa forma, o campo evanescente de campos proximos a antenas pode ser ignorado primariamente porque
e pequeno e n~ao porque esta atenuado como geralmente se acredita. Extensivos
dados de simulac~oes [14] claramente demonstram que os efeitos de espectro de onda plana evanescente est~ao limitados a uma regi~ao menor que 1 comprimento de
onda () distante da abertura, estando de acordo com o comentario de Yaghjian
em [2] a respeito do limite do campo reativo.
Uma antena cuja abertura apresenta iluminac~ao c^onica (tapered ) possui uma
energia reativa menor, portanto possui uma menor quantidade de espectro de
onda plana evanescente. E tambem observado que os efeitos do campo reativo
s~ao menores para aberturas retangulares [14].
Os efeitos do campo reativo decrescem com o aumento do tamanho da abertura, um fen^omeno consistente com o princpio de Huygens, que prediz uma energia
irradiada proporcionalmente maior em um ponto do campo, pois as fontes contribuintes est~ao, em sua maioria, distantes no caso de antenas grandes.
4.4 Energia Reativa de uma Abertura
Seja S uma abertura nita no plano z = 0, condutora eletrica ou magneticamente
perfeita. Assume-se que S esteja nas vizinhancas da origem e que irradie na
direc~ao z 0; conforme Figura 4.4. Usando-se o teorema de Poynting, e possvel
38
obter-se imediatamente express~oes de pot^encia radiada e reativa, que s~ao as partes
real e imaginaria, respectivamente, da integral
ZZ
1
P = Pr + jPj = 2
E Haz dxdy;
(4.50)
S
com
Pj = 2! (Wm We) ;
(4.51)
(Wm We) representando a energia reativa armazenada nas vizinhancas da abertura, e az o vetor unitario na direc~ao de z.
y
S
E
o
z
x
Figura 4.4: Sistema de coordenadas para uma abertura nita S irradiando na
direc~ao z 0.
A Equac~ao 4:50 pode ser avaliada pela introduc~ao da transformada de Fourier
dos campos eletricos e magneticos, com respeito a x e y; e aplicando o teorema
de Parseval [16, 17].
Outra maneira de avaliac~ao para a Equac~ao 4:50 [18] pode ser obtida pela
diferenca de duas integrais positivas, dependendo, respectivamente, apenas das
partes transversa dos campo eletrico TE e magnetico TM com respeito a direc~ao
ortogonal a abertura. Tomando o eixo z como refer^encia, ent~ao
TE : Ez = 0;
TM : Hz = 0:
39
(4.52)
(4.53)
Assim, a parte TM pode ser considerada como devida a dipolos eletricos paralelos
ao eixo z e a parte TE devido a dipolos magneticos paralelos ao eixo z [19].
Dada uma abertura S no plano yz de um sistema de coordenadas retangulares,
com o campo connado na direc~ao positiva de x, pode-se representar o campo
total como uma soma de dois campos parciais, uma com nenhuma componente z
do campo eletrico (TE) e outra com nenhuma componente z do campo magnetico
(TM) [17]
E (x; y; z) = ETE (x; y; z) + ETM (x; y; z) ;
H (x; y; z) = HTE (x; y; z) + HTM (x; y; z) :
(4.54)
(4.55)
Representando agora o campo eletromagnetico pela superposic~ao de TE e TM
em relac~ao a direc~ao z, se fTE (kx; ky ) e fTM (kx; ky ) forem duas func~oes denidas
no plano kx; ky dos numeros de onda (k = 2=) com respeito as direc~oes x e y,
a imped^ancia caracterstica no espaco livre e k= kxax + ky ay + kz az o vetor
de propagac~ao (vide Equac~ao 4:32), pode-se expressar a transformada de Fourier
dos campos eletrico e magnetico no plano x; y como se segue:
E (kx; ky ) = k1 fTE (kx; ky ) az k + k2 fTM (kx; ky ) (az k) k; (4.56)
H (kx; ky ) = k1 fTM (kx; ky ) az k k12 fTE (kx; ky ) (az k) k: (4.57)
Para ter-se um decaimento das ondas n~ao uniformes com a dist^ancia z , o plano
kx; ky deve estar de acordo com kx2 + ky2 > k2 , (vide Equac~ao 4:49b) de forma que
kz = j kx2 + ky2 k2 1=2 :
(4.58)
Expandindo-se 4:56 e 4:57 verica-se que
fTE (kx; ky ) = k2Hz (kx; ky ) k2 +1 k2
x
y
(4.59)
k2 E (k ; k ) 1
(4.60)
z x y kx2 + ky2
em que Ez (kx; ky ) e Hz (kx; ky ) s~ao as componentes em z de E (kx; ky ) e H (kx; ky ) :
Usando-se o teorema de Parseval em 4:50 obtem-se
Z 1Z 1
1
P=2
E (kx; ky ) H (kx; ky ) az dkxdky :
(4.61)
1 1
fTM (kx; ky ) =
40
Introduzindo 4:56 e 4:57 em 4:61; utilizando 4:59 e 4:60 e nalmente, dividindo
o domnio de integrac~ao no espaco \visvel" e \invisvel" (vide Sec~ao 4.4.1) para
a parte real e imaginaria em 4:61; as seguintes express~oes s~ao obtidas
P = Pr + jPj
(4.62)
com
ZZ
k
Pr = 2
jHz j2 + 1 jEz j2 k2 k+z k2 dkxdky;
kx2 +ky2 k2
x
y
ZZ
jHz j2 1 jEz j2 k2jk+z jk2 dkxdky ;
Pj = k2
kx2 +ky2 >k2
x
y
Pr representando a pot^encia real e Pj a pot^encia reativa.
(4.63)
(4.64)
4.4.1 Regi~oes Visveis e Invisveis dos Campos TE e TM
A parte real da Equac~ao 4:62 representa a pot^encia verdadeira irradiada pela
abertura, enquanto que a parte imaginaria representa a pot^encia reativa (2 vezes
a diferenca entre os valores medios das energias eletrica e magnetica armazenadas
no lado z > 0 da abertura [17]). Segundo [17] a regi~ao visvel de pot^encia irradiada
e o interior do crculo kx2 + ky2 = k2 e a regi~ao invisvel de pot^encia reativa e o
resto do plano (kx; ky ) :
Dentro da regi~ao visvel a pot^encia e puramente radiativa, sendo, desta forma,
sempre positiva. Na regi~ao invisvel a pot^encia e puramente reativa e pode ser positiva ou negativa. No plano (kx; ky ) ; para os campos TE e TM individualmente,
o volume representando a pot^encia reativa positiva corresponde a uma energia
magnetica armazenada enquanto que o volume representando a pot^encia reativa
negativa corresponde a energia eletrica armazenada. O fen^omeno da resson^ancia,
ent~ao, tem uma interpretac~ao geometrica, ocorrendo quando os volumes totais
de energias positiva e negativa s~ao iguais.
4.5 Conclus~ao
Os conceitos apresentados neste captulo completam os estudos teoricos pretendidos neste trabalho sobre o comportamento do campo eletromagnetico, nas pro41
ximidades de uma fonte de propagac~ao. O captulo que se segue utiliza os estudos sobre o comportamento do campo eletromagnetico na regi~ao de campo
proximo junto com equac~oes de propagac~ao para a formulac~ao de equac~oes de
propagac~ao nessa regi~ao em que os dados de entrada s~ao o tipo de abertura com
suas dimens~oes, a frequ^encia de operac~ao, o ganho da antena e a pot^encia. S~ao
apresentadas analises para diversos tipos de aberturas.
42
Captulo 5
Soluc~ao de Equac~oes de
Propagac~ao para o Campo
Proximo
As equac~oes de campo eletrico determinadas para o campo proximo no Captulo 4
foram calculadas para normalizac~ao na regi~ao de campo proximo, em que os dados
de entrada s~ao apenas as dimens~oes e o campo eletrico aplicado as aberturas.
Entretanto para a aplicac~ao dessas equac~oes em antenas e necessario que os dados
de entrada estejam em func~ao da tens~ao, corrente, ou pot^encia aplicada a antena,
alem de sua dimens~ao, ganho, e frequ^encia de operac~ao. Neste captulo s~ao
apresentadas equac~oes de propagac~ao no espaco livre, relacionando a pot^encia
aplicada em watts e o ganho da antena em dBi, com as equac~oes para o campo no
eixo, sem normalizac~ao, para as diversas aberturas, de modo que os par^ametros
de entrada estejam de acordo com os fatores necessarios para aplicac~ao dessas
equac~oes em antenas.
5.1 Propagac~ao de Ondas Diretas no Espaco Livre
Seja um transmissor irradiando uma pot^encia de sada Pt watts por meio de
uma antena isotropica. Assume-se que esta antena esteja posicionada no espaco
43
livre, em um meio homog^eneo, n~ao absorvente, de constante dieletrica unitaria
( = 1):
Suponha-se que o receptor esteja situado a uma dist^ancia r metros do transmissor. Como o transmissor irradia igualmente atraves de uma esfera envolvendo
a antena, a densidade de uxo de pot^encia, em W/m2, a dist^ancia r e
Pt :
W = 4r
(5.1)
2
Pelas unidades adotadas, o valor medio do vetor de Poynting em um perodo e
W = Erms Hrms;
(5.2)
e a raz~ao entre E e H e, em A/m, dada por
Erms .
Hrms = 120
Substituindo-se 5.3 em 5.2 resulta em
2
rms .
W=E
120
Substituindo-se agora 5.4 em 5.1 tem-se
(5.3)
(5.4)
p30 P
t
(5.5)
r :
A Equac~ao 5.5 e adicionado o fator de ganho gt da antena, mostrando de
quantas vezes a pot^encia aplicada ao irradiador isotropico deve ser aumentada
para produzir o mesmo campo que a antena em quest~ao, denominado ganho de
pot^encia da antena. A relac~ao entre o ganho linear gt e o ganho dado em dBi e
dado por
G [dBi]
gt = 10 t10 :
Assim, 5.5 torna-se, em V/m, [20]
Erms =
Erms =
O campo de pico e dado por
E=
p30 P g
r
t t
p60 P g
r
44
t t
;
:
(5.6)
(5.7)
e o campo instant^aneo por
p60 P g r p60 P g
E = r t t cos t c = r t t cos (!t kr) ;
(5.8)
em que k = !=c = 2 e a constante de fase. Outra forma de expressar-se a
Equac~ao 5.8 e
p60 P g
t t
E = Re
(5.9)
r exp j (!t kr) V/m:
Essas equac~oes s~ao validas apenas para o campo distante.
5.2 Equaco~es para a Abertura Linear
Desenvolvendo-se a Equac~ao 3.5b, fazendo-se as mudancas de variaveis apresentadas em 3.6 e 3.7 chega-se a seguinte equac~ao,
r
p
Z L2 r
j
E
r
exp
(
jkr
)
2 dt;
exp
jt
(5.10a)
E = p
r
L2 r
r Z 21 p 2
j
E
r
exp
(
jkr
)
2 j sen t2 dt;
E = cos
t
(5.10b)
p
r
21 2
r p j
E
L
r 2 C pL
exp
(
jkr
)
p
j
S
; (5.10c)
E = r
2
r
2
r
r
L L 2
E = j E r exp ( jkr) C p
jS p
;
(5.10d)
2r
2r
com modulo
r 12
jEj = E r2 C2 pL + S2 pL
;
(5.11a)
2r
2r
Para determinac~ao do valor E; como a Equac~ao 5.7 e determinada apenas para
o campo distante, faz-se
p60 P g
t t
;
(5.12)
E 2=
2l
2L2
2l2
com o limite entre a regi~ao de campo proximo e regi~ao de campo distante,
l = L a dimens~ao caracterstica da abertura, que deve ser equivalente a, conforme
45
Equac~ao 5.11a,
2 0
1 0
13 21
E 2 2 = E 22L2 4C2 @ q L 2 A + S2 @ q l 2 A5 ;
2L
2L
s
l
de modo que
p60 P g
2
2
(5.13a)
1
1 C2 1 + S2 1 2 ;
(5.14a)
=
E
2
2L
L
2
2
p60 P g :
E = (1:0062)
(5.14b)
t t
L
A equac~ao para a abertura linear em campo proximo, em modulo, torna-se
t t
r
120 Pt gt C2 pL + S2 pL
E = (1:0062)
L
r
2r
2r
ou
r
12
60 Pt gt C2 pL + S2 pL
Erms = (1:0062)
L
r
2r
2r
;
21
(5.15a)
:
Pela Equac~ao 5.4, a densidade de pot^encia e dada por
L L (1
:
0124)
P
t gt
W = L2 2r C2 p
+ S2 p
:
2r
2r
(5.16a)
(5.17a)
5.3 Equaco~es para a Abertura Retangular
Desenvolvendo-se a Equac~ao 3.5b, fazendo-se as mudancas de variaveis apresentadas em 3.22, 3.23, 3.24 e 3.25, chega-se a seguinte Equac~ao,
46
E = j E exp ( r jkr) r
Z 2p Z 2p
Lx
r
Ly
r
r
Ly
r
(5.18a)
p exp jt2 ju2 dtdu;
2
2
p 2 Lx Lx j
jS p
E = E exp ( jkr) 2 C p
2
r
2r
L L C py
jS p y
;
(5.18b)
Lx
p
2r
2Lr L jS p x
E = 2j E exp ( jkr) C p x
2r
L L 2r
C py
jS p y
;
2r
2r
com modulo
(5.18c)
L L 12
2E C2 p x + S2 p x
2r
1
L 2r L 2
j Ej =
C2 p y
+ S2 p
y
:
(5.19)
2r
2r
Em uma abertura retangular a dimens~ao caracterstica sera a diagonal da abertura, de modo que
q
l = L2x + L2y :
(5.20)
Para determinac~ao do valor E; como a equac~ao 5.7 e determinada apenas para
o campo distante, faz-se
p60 P g p60 P g
E 2l2 = 2l2 t t = 2 L2 + Lt 2t ;
(5.21)
x
y
que deve ser equivalente a, conforme Equac~ao 5.19, em modulo,
"
E 2l2 = 2E C2
"
Lx
p
2 L2x + L2y
!
!
+ S2
Lx
p
2 L2x + L2y
!# 12
C2 2pLL2 y+ L2 + S2 2pLL2 y+ L2
x
y
x
y
47
!# 12
;
(5.22)
de modo que
p
60 P g
t t
= 2E
2
2 Lx + L2y
"
!
C2 2pLL2x+ L2 + S2 2pLL2 x+ L2
x
y
x
y
!
C2 2pLL2 y+ L2 + S2 2pLL2 y+ L2
x
y
x
y
com
"
!# 12
!# 12
;
(5.23)
p
Pt gt
E = 4 L60
2x + L2y
!
!#
"
L
L
x
x
C2 2pL2 + L2 + S2 2pL2 + L2
x
y
x
y
!
"
!#
1
2
1
2
L
L
y
y
2
2
C 2pL2 + L2 + S 2pL2 + L2
:
(5.24)
x
y
x
y
A equac~ao para a abertura retangular em campo proximo, em modulo, torna-se
Erms =
"
p
30 P g
2 L2x + L2y
t t
"
!
C2 2pLL2 x+ L2 + S2 2pLL2x+ L2
x
y
x
y
!
C2 2pLL2 y+ L2 + S2 2pLL2 y+ L2
x
y
x
y
!#
!#
1
2
1
2
L L 21
C2 p x + S2 p x
L2r L2r 21
C2 p
y
+ S2 p
y
:
2r
2r
Pela Equac~ao 5.4, a densidade de pot^encia e dada por
W =
"
!
2 Pt gt
2 p Lx
2 p Lx
C
+
S
2
2 L2x + L2y
2 L2x + L2y
16 L2x + L2y
"
!
!# 1
L
L
y
y
C2 2pL2 + L2 + S2 2pL2 + L2
L x y L x y
C2 p x + S2 p x
L2r L2r C2 p y + S2 p y :
2r
2r
48
(5.25)
!#
1
(5.26)
5.4 Equaco~es para a Abertura Quadrada
A abertura quadrada e um caso especial da abertura retangular em que Lx = Ly ;
de modo que a Equac~ao 5:18c torna-se
L L 2
E = 2j E exp ( jkr) C p x
jS p x
;
(5.27)
2r
2r
com modulo
L L (5.28)
jEj = 2E C2 p x + S2 p x :
2r
2r
Fazendo Lx = Ly em 5.25, chega-se a formulac~ao para o campo, em modulo
p60 P g 1 1 1
t t
2
2
C p +S p
E =
2x
4
L
L 2 2 L 2 2
(5.29a)
C2 p x + S2 p x
2
r
2
r
p60 P g L L t t
x
2
2
C p
E = (2:01) L2
+S p x
; (5.29b)
2r
2r
x
ou
p30 P g L L t t
x
2
2
+S p x
:
(5.30)
C p
Erms = (2:01) L2
2r
2r
x
Pela Equac~ao 5.4, a densidade de pot^encia e dada por
L 2
2 Pt gt Lx 2
2
W = (2:02) 2L4 C p
+S p x
:
(5.31)
2r
2r
x
5.5 Equaco~es para a Abertura Circular
A Equac~ao completa, sem normalizac~ao, para a abertura circular, com raio a e
dada em 3:38 por
1
p
jEj = E 4 + p 2r 2 p 2r 2 cos kr k a2 + r2
2 a +r 2 a +r
12
:
(5.32)
Para determinac~ao do valor E; como a Equac~ao 5.7 e determinada apenas para
o campo distante, faz-se
p60 P g p60 P g
E 2l2 = 2(2a)2t t = 8 a2 t t ;
(5.33)
49
com 2l2 o limite entre a regi~ao de campo proximo e regi~ao de campo distante,
l = 2a a dimens~ao caracterstica da abertura, que deve ser equivalente a, conforme
Equac~ao 3:38,
1
E 2l2 = E 4 + p 2 4a 2
4a + 64a 2a p
12
2
2
cos 2 8a
+ 64a
: (5.34)
p2
+ 64a2
Fazendo
p
60 Pt gt = E 1 + p 4a
4
8 a2
2 + 64a2
4a
2a p
12
2
2
p2
;(5.35)
cos 2 8a + 64a
+ 64a2
chega-se a
p
Pt gt 1 + p 4a
E = 60
8 a2
4
2 + 64a2
2a p
4a
21
: (5.36)
p2
cos 2 8a 2 + 64a2
+ 64a2
A equac~ao para a abertura circular em campo proximo, em modulo, torna-se
p30 P g
t t
Erms =
8 a2
2a p
1
4a
21
4
a
p
cos 2 8a 2 + 64a2
4+p 2
+ 64a2 2 + 64a2
r
1
p 2 2 12
r
4 + p 2 2 p 2 2 cos kr k a + r
:
(5.37)
2 a +r 2 a +r
Pela Equac~ao 5.4, a densidade de pot^encia e dada por
2 Pt gt
W = 256
2a p
1 a 4 4a 4a
1
2
2
+ 64a
4+p 2
2 p2 + 64a2 cos 2 8a
+
64
a
r
1
p 2 2
r
:
(5.38)
4 + p 2 2 p 2 2 cos kr k a + r
2 a +r 2 a +r
50
5.6 Conclus~ao
Com as equac~oes apresentadas nesse captulo, torna-se possvel o exame do campo
eletromagnetico de diversas antenas, tratando-as como aberturas, utilizando-se
os dados basicos caractersticos, para observac~ao dos nveis de campo eletromagnetico no campo proximo em qualquer frequ^encia de operac~ao. A analise
de diversas antenas utilizadas por sistemas de comunicac~oes moveis a 900 MHz,
aproximando-as como aberturas, e apresentada no captulo a seguir.
51
Captulo 6
Aplicac~ao em Antenas
Neste captulo s~ao apresentados os resultados obtidos pela aplicac~ao das equac~oes
de campo eletrico em campo proximo para aberturas, no espaco livre, considerando modelos de antenas utilizados atualmente por sistemas de comunicac~oes
moveis a 900 MHz, de acordo com a Tabela 6.1. Essas antenas ser~ao simuladas como sendo aberturas com distribuic~ao uniforme de campo eletrico, de acordo com
a Figura 6.1. Para todos os modelos de antenas, sera simulada uma pot^encia de
100 W transmitida, exceto para a antena de uso em interiores (indoor ) para a qual
sera utilizada uma pot^encia de 20 W, e uma frequ^encia de operac~ao de 900 MHz,
em que ser~ao observados gracos mostrando a conformac~ao do campo eletrico, no
espaco livre, no sentido da maior diretividade da antena. As equac~oes de campo,
para cada antena, s~ao apresentas na Tabela 6.2. Tambem s~ao avaliadas, na mesma tabela, as dist^ancias limite para exposic~ao, no eixo de maior diretividade, dos
nveis de campo eletrico em relac~ao as normas internacionais [21] e as diretrizes
nacionais determinadas por [9] de 41,25 V/m para exposic~ao do publico em geral
e 90 V/m para exposic~ao ocupacional, para a frequ^encia de 900 MHz.
52
No
Modelo
53
1 DB 844H65JV TX
2 DB 854HV90 SX
3
ASPD 977
4
FV 651500 A2
5
K 751161
6
AP 901208
7
AP 909014
8
AP 906513
9
RWA 8009
10
RWA 80014
11
BCR 80015
12
LPD 7908
13
LPD 7907
Fabricante
Decibel
Decibel
Decibel
EMS
Kathrein
CellWave
CellWave
CellWave
Antel
Antel
Antel
Antel
Antel
Dimens~oes
Ganho Polarizac~ao
Dimens~ao
(alturalargura)m (dBi)
Caracterstica (m)
1,2910,152
15,6
Vertical
1,30
1,2190,521
13,6
Vertical
1,33
4,38
10,6
Vertical
4,38
2,4380,305
16,8
Vertical
2,46
0,237
2,0
Vertical
0,24
0,6000,265
9,6
Vertical
0,66
1,9770,265
16,0
Vertical
1,99
0,9870,265
15,0
Vertical
1,02
0,3350,295
11,1
Vertical
0,45
1,2550,295
16,1
Vertical
1,29
3,4450,360
17,1
Vertical
3,46
0,6400,130
10,1
Vertical
0,65
0,3750,130
9,1
Vertical
0,40
Tabela 6.1: Par^ametros principais de antenas utilizadas por empresas de telefonia movel celular a 900 MHz.
54
Modelo
Altura/
Largura
ASPD 977
K 751161
1
1
BCR 80015
9,57
DB 844H65JV TX
8,49
FV 651500 A2
7,99
AP 909014
7,46
LPD 7908
4,92
RWA 80014
4,25
AP 906513
3,72
LPD 7907
2,88
AP 901208
2,26
DB 854HV90 SX
2,34
RWA 8009
1,14
Equac~ao para o Campo Eletrico (Erms )
(V/m)
h 2 5;364 2 5;364 i 21
pr + S pr
r C
h
i 1
92p;8 C2 0;p3343 + S2 0;p3343 2
h 2 4;219r 2 4;r219 i 21 h 2 0r;441 2 0;441 i 21
C p +S p
208; 74 C pr + S pr
h 2 1;581 2 1;581 i 21 h 2 0;186r 2 0;186r i 21
1111; 8 C pr + S pr
C p +S p
h 2 2;986 2 2;986 i 12 h 2 0;374r 2 0;374r i 12
337; 2 C pr + S pr
C pr + S pr
h i 1 h i 1
436; 9 C2 2p;446r + S2 2p;446r 2 C2 0p;325r + S2 0p;325r 2
h i 1 h i 1
1403; 2 C2 0p;784r + S2 0p;784r 2 C2 0p;159r + S2 0p;159r 2
h 2 1;537 2 1;537 i 21 h 2 0;361 2 0;361 i 21
C pr + S pr
630; 36 C pr + S pr
h i 1 h i 1
787; 35 C2 1p;209r + S2 1p;209r 2 C2 0p;325r + S2 0p;325r 2
h 2 0;459 2 0;459 i 12 h 2 0;159 2 0;159 i 12
C pr + S pr
2146; 31 C pr + S pr
1
h 2 0;735 2 0;735 i 2 h 2 0;325 2 0;325 i 12
697; 7 C pr + S pr
C p +S p
h 2 0;460 2 0;460 i 12 h 2 0;196r 2 0;196ri 21
C p +S p
277 C pr + S pr
h 2 0;410 2 0;410 i 21 h 2 0r;361 2 0r;361 i 21
34p;8
1330; 2 C
pr
+S
pr
C
pr
+S
pr
Dist^ancia Limite Dist^ancia Limite Figura de
para Exposic~ao para Exposic~ao Refer^encia
Ocupacional (m)
Publico (m)
< 1; 00
< 1; 00
6.2
0; 36 (20W)
0; 75 (20W)
6.3
< 0; 70
3; 45
2; 16
6.4
8; 00
6.5
1; 03
8; 00
6.6
1; 30
7; 85
6.7
1; 93
4; 27
6.8
3; 71
8; 44
6.9
3; 36
7; 48
6.10
1; 74
3; 83
6.11
1; 83
4; 02
6.12
2; 70
6; 30
6.13
2; 18
4; 78
6.14
Tabela 6.2: Dist^ancias limite para exposic~ao, com pot^encia transmitida de 100 W a 900 MHz, das antenas avaliadas.
Figura 6.1: Representac~ao da aproximac~ao de uma antena por uma abertura.
ANTENA ASPD977
25
20
Erms(V/m)
15
10
5
0
10
r(m)
100
Figura 6.2: Campo eletrico no eixo para a antena modelo ASPD977, P=100 W,
G=10,6 dBi, f=900 MHz.
55
ANTENA K751161
700
600
Erms(V/m)
500
400
300
200
100
0
0.01
0.1
1
10
r(m)
Figura 6.3: Campo eletrico no eixo para a antena modelo K751161, P=20 W,
G=2 dBi, f=900 MHz.
ANTENA BCR80015
80
70
60
Erms(V/m)
50
40
30
20
10
0
1
10
100
r(m)
Figura 6.4: Campo eletrico no eixo para a antena modelo BCR80015, P=100 W,
G=17,1 dBi, f=900 MHz.
56
ANTENA DB844H65JVTX
450
400
350
Erms(V/m)
300
250
200
150
100
50
0
0.1
1
10
100
r(m)
Figura 6.5: Campo eletrico no eixo para a antena modelo DB844H65JVTX,
P=100 W, G=15,6 dBi, f=900 MHz.
ANTENA FV651500A2
140
120
Erms(V/m)
100
80
60
40
20
0
1
10
100
r(m)
Figura 6.6: Campo eletrico no eixo para a antena modelo FV651500A2,
P=100 W, G=16,8 dBi, f=900 MHz.
57
ANTENA AP909014
200
Erms(V/m)
150
100
50
0
1
10
100
r(m)
Figura 6.7: Campo eletrico no eixo para a antena modelo AP909014, P=100 W,
G=16 dBi, f=900 MHz.
ANTENA LPD7908
1000
900
800
700
Erms(V/m)
600
500
400
300
200
100
0
0.1
1
10
100
r(m)
Figura 6.8: Campo eletrico no eixo para a antena modelo LPD7908, P=100 W,
G=10,1 dBi, f=900 MHz.
58
ANTENA RWA80014
500
450
400
350
Erms(V/m)
300
250
200
150
100
50
0
0.1
1
10
100
r(m)
Figura 6.9: Campo eletrico no eixo para a antena modelo RWA80014, P=100 W,
G=16,1 dBi, f=900 MHz.
AP906513
600
500
Erms(V/m)
400
300
200
100
0
0.1
1
10
100
r(m)
Figura 6.10: Campo eletrico no eixo para a antena modelo AP906513, P=100 W,
G=15 dBi, f=900 MHz.
59
ANTENA LPD7907
1600
1400
1200
Erms(V/m)
1000
800
600
400
200
0
0.01
0.1
1
r(m)
10
100
Figura 6.11: Campo eletrico no eixo para a antena modelo LPD7907, P=100 W,
G=9,1 dBi, f=900 MHz.
ANTENA AP901208
500
Erms(V/m)
400
300
200
100
0
0.1
1
10
100
r(m)
Figura 6.12: Campo eletrico no eixo para a antena modelo AP901208, P=100 W,
G=9,6 dBi, f=900 MHz.
60
ANTENA DB854HV90
200
Erms(V/m)
150
100
50
0
1
10
100
r(m)
Figura 6.13: Campo eletrico no eixo para a antena modelo DB854HV90SX,
P=100 W, G=13,6 dBi, f=900 MHz.
ANTENA RWA8009
1200
1000
Erms(V/m)
800
600
400
200
0
0.1
1
r(m)
10
100
Figura 6.14: Campo eletrico no eixo para a antena modelo RWA8009, P=100 W,
G=11,1 dBi, f=900 MHz.
61
Observando-se os gracos obtidos, pode-se analisar inicialmente as antenas
que possuem caractersticas semelhantes. Os modelos DB844H65, AP906513,
FV651500 e RWA80014 apresentam valores semelhantes de ganho e ^angulo de
meia pot^encia horizontal e vertical. Levando-se em conta apenas o aspecto de
dist^ancia limite para exposic~ao, esses modelos comportam-se de maneira quase
id^entica, com uma pequena vantagem para o modelo AP906513, com o modelo
FV651500 sendo o menos indicado (vide Tabela 6.2). Outro resultado observado
e que os nveis de campo para as antenas ominidirecionais caem mais rapidamente
que os outros modelos, como apresentado nos gracos 6.2 e 6.3 para o modelo
ASPD977 e para o modelo de uso indoor K751161, respectivamente. Os demais
modelos apresentados na Tabela 6.1 possuem caractersticas diferenciadas, de
forma que cada uma possuira suas proprias dist^ancias limites para exposic~ao.
Assim, para a simulac~ao pretendida nesse captulo, o pior caso para exposic~ao
ocupacional e do publico em geral seria o modelo RWA80014, e o mais indicado
seria o modelo ASPD977
A comparac~ao dos gracos apresentados por cada antena deve respeitar os
aspectos caractersticos proprios de cada uma. Essas antenas possuem valores
variados de ganho, ^angulo de meia pot^encia horizontal e vertical e outras caractersticas, de forma que denir qual delas e a mais apropriada ou eciente, em
relac~ao a exposic~ao eletromagnetica, requer a considerac~ao de fatores como a necessidade de cobertura de sinal, pot^encia a ser aplicada e a posic~ao de instalac~ao,
para a denic~ao da antena a ser usada. Com esses dados, e de posse das equac~oes
apresentadas nesse texto, e possvel a analise dos nveis de irradiac~ao em relac~ao
a dist^ancia da antena.
6.1 Conclus~ao
As analises apresentadas neste captulo, possibilitam a vericac~ao sobre o comportamento da irradiac~ao no campo proximo de qualquer antena, simulando-as
como aberturas, permitindo o posicionamento de antenas de modo que se evite a exposic~ao a altos nveis de campo eletromagnetico. As simulac~oes tambem
mostram que as equac~oes apresentadas servem como uma boa aproximac~ao para
denic~ao de limites de seguranca para as antenas, ja que para as dist^ancias limite
62
(a) DB854HV90 SX.
(b) ASPD977.
Figura 6.15: Modelos Decibel.
Figura 6.16: Modelo EMS FV651500 A2.
63
Figura 6.17: Modelo Kathrein K751161.
(a) AP901208.
(b) AP909014.
Figura 6.18: Modelos CelWave.
64
(c) AP906513.
(a) RWA8009.
(b) RWA80014.
Figura 6.19: Modelos RWA da Antel.
(a) LPD7908.
(b) LPD7907.
Figura 6.20: Modelos LPD da Antel.
65
denidas pelos modelos usados para simulac~ao apresentam nenhuma ou poucas
reex~oes de campo eletromagnetico, sendo aceitavel uma aproximac~ao para o
espaco livre.
66
Captulo 7
Conclus~ao e Perspectivas
Com o aumento da instalac~ao das antenas em locais de grande uxo de pessoas,
geralmente para servicos de comunicac~oes moveis a 900 e 1800 MHz, logo surgiu
a necessidade em determinar-se dist^ancias que representassem uma seguranca
em relac~ao a exposic~ao a campos eletromagneticos. Como consequ^encia, foram
estabelecidos limites de intensidade de campo para as varias faixas de frequ^encias.
No Brasil, esses limites s~ao estabelecidos pelas diretrizes da Anatel.
O comportamento do campo eletromagnetico, enquanto um ponto de observac~ao distancia-se de uma fonte eletromagnetica, apresenta caractersticas bem
distintas: a amplitude do campo inicialmente oscila e ent~ao cai monotonicamente. A caracterstica de oscilac~ao ocorre na regi~ao descrita como regi~ao de campo
proximo. Movendo-se para fora dessa regi~ao, ou seja, na regi~ao de campo distante, a fase e amplitude, relativas as diferentes contribuic~oes de cada elemento da
antena, assintoticamente atingem uma relac~ao constante, tornando a distribuic~ao
angular relativa do campo independente da dist^ancia.
As equac~oes existentes utilizadas para o calculo da intensidade de campo s~ao
determinadas para posic~oes de medic~ao no campo distante. Entretanto, dentro
da regi~ao de campo proximo, que pode atingir algumas dezenas de metros nessas faixas de frequ^encia, n~ao s~ao conhecidas equac~oes que rapidamente possam
determinar com alguma precis~ao o nvel de campo eletromagnetico.
As equac~oes apresentadas no Captulo 5 tornam possvel o exame do campo
eletromagnetico de diversas antenas, na regi~ao de campo proximo, tratando-as
como aberturas com distribuic~ao uniforme de campo. Essas soluc~oes utilizam
67
dados basicos como a pot^encia aplicada e o ganho das antenas para observac~ao
dos nveis de campo eletromagnetico nessa regi~ao. Isto possibilita a denic~ao
de limites que evitem exposic~ao a nveis de irradiac~ao acima dos aceitaveis pela
regulamentac~ao em vigor.
A utilizac~ao dessas equac~oes em antenas utilizadas em empresas de telecomunicac~oes a 900MHz, como apresentada no captulo 8, possibilita a vericac~ao
sobre o comportamento da irradiac~ao no campo proximo, permitindo o posicionamento de antenas de forma que seja evitada a exposic~ao de pessoas a altos nveis
de campo eletromagnetico. As simulac~oes apresentadas nesse trabalho tambem
mostram que essas equac~oes servem como uma boa aproximac~ao para denic~ao de
limites de seguranca para as antenas, ja que dentro desses limites ocorre pouca ou
nenhuma reex~ao de campo eletromagnetico, sendo aceitavel uma aproximac~ao
para o espaco livre.
Vale salientar que os resultados obtidos para antenas pela aproximac~ao dessas
por aberturas s~ao apenas aproximac~oes teoricas, sendo necessaria ainda uma comprovac~ao tecnica sobre o comportamento verdadeiro do campo eletromagnetico
dessas antenas para a validac~ao dessas formulac~oes. Essas medic~oes ser~ao realizadas futuramente pelo CPqD em parceria com a TIM-Telenordeste Participac~oes
Celular S/A. Entretando, essas equac~oes fornecem uma ideia sobre o comportamento do campo numa regi~ao em que pouco se conhece acerca dos fen^omenos de
propagac~ao.
Alguns trabalhos podem ser desenvolvidos a partir dos resultados obtidos
nesse estudo. Sugest~oes s~ao apresentadas a seguir.
Validac~ao das equac~oes de propagac~ao apresentadas pela medic~ao real de
antenas celulares;
Aperfeicoamento da metodologia apresentada nesse trabalho;
Estudo e simulac~ao de outros tipos de antenas;
Denic~ao de equac~oes para o campo proximo que levem em conta reex~oes
do sinal.
Desenvolvimento de um produto (software) comercial.
68
Captulo 8
Bibliograa
[1] R. C. Hansen. \Microwave Scanning Antennas. Vol.1. - Apertures". Academic Press Inc., London, 1964.
[2] Arthur D. Yaghjian. \An Overview of Near Field Antenna Measurements".
IEEE Transactions on Antennas and Propagation, AP-34(1):30{45, January
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[3] Dan Slater. \Near-Field Antenna Measurements". Artech House, Inc., 1991.
[4] Hristo D. Hristov. \Fresnel Zones in Wireless Links, Zone Plates Lenses
and Antennas". Artech House, Inc., 2000.
[5] R. Plonsey. \Aperture Fields". IRE Transactions on Antennas and Propagation, (9):577, September 1961.
[6] Victor Galindo-Israel. \A New Look at Fresnel Field Computation Using
the Jacobi-Bessel Series". IEEE Transactions on Antennas and Propagation,
AP-29(6):885{898, November 1981.
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Transactions on Antennas and Propagation, AP-04(1):65{69, January 1956.
[8] Alan F. Kay. \Near Field Gain of Aperture Antennas". IRE Transactions
on Antennas and Propagation, (11):586{593, November 1960.
69
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da Exposic~ao a Campos Eletricos , Magneticos e Eletromagneticos Variaveis
no Tempo (Ate 300GHz)". Dezembro 1999.
[10] Alexandre M. N. Gomes, Marcelo S. Alencar e Giuseppe Glionna. \Analise
de Campo Proximo para Antenas de Abertura". Anais do IX Simposio
Brasileiro de Microondas e Optoeletr^onica { IX SBMO, Agosto 2000.
[11] Alexandre M. N. Gomes, Marcelo S. Alencar e Giuseppe Glionna. \Analise
da Conformac~ao do Campo Proximo em Aberturas para Determinados
Par^ametros de Entrada". Artigo aceito para publicac~ao no CBMAG 2000,
Setembro 2000.
[12] Constantine A. Balanis. \Antenna Theory - Analysis and Design". Harper
and Row, Publishers, inc., New York, 1982.
[13] M. O. Al-Nuaimi and M. S. Ding. \Prediction Models and Measurements
of Microwave Signals Scattered from Buildings". IEEE Transactions on
Antennas and Propagation, AP-42(8):1126{1137, August 1994.
[14] Johnson J. H. Wang. \An Examination of the Theory and Practices of Planar
Near-Field Measurement". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, AP-36(6):746{753, June 1988.
[15] Rudge A. W. \Handbook of Antenna Design Vol.1 and 2 (IEE Electromagnetic Waves Series)". Peter Peregrinus, Ltd., London, 1986.
[16] G. V. Borgiotti. \Radiation and Reactive Energy of Aperture Antennas".
IEEE Transactions on Antennas and Propagation, AP-11(1):94{95, January
1963.
[17] Donald R. Rhodes. \On a Fundamental Principle in the Theory of Planar
Antennas". Proceedings of the IEEE, 32:1013{1021, September 1964.
[18] G. V. Borgiotti. \On the Reactive Energy of an Aperture". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, AP-15(7):565{566, July 1967.
70
[19] V. H. Rumsey. \A New Way of Solving Maxwell's Equations". IRE Transactions on Antennas and Propagation, (9):461{465, September 1961.
[20] M. Dolukhanov. \Propagation of Radio Waves". Mir Publishers, Moscow,
1971.
[21] ICNIRP (International Comission on Non-Ionizing Radiation Protection).
\Guidelines on Limits of Exposure to Static Magnetic Fields.". Health Phys.,
1994.
[22] Irene A. Stegun Milton Abramowitz. \Handbook of Mathematical Function".
Dover Publications, Inc., New York, 1972.
[23] W. Hayt Jr. \Engineering Electromagnetics - Fourth Edition". McGraw-Hill,
Inc., 1981.
71
Ap^endice A
Integrais de Fresnel
Denic~ao:
Z z 1 cos 2 t2 dt
Z0 z 1 S (z) =
sen t2 dt:
2
0
C (z) =
A seguintes func~oes tambem s~ao usadas [22]:
r Zz
2
cos t2 dt, C2 (z) = p1
(A.1)
Z z cos t
p dt;
t
2
0
0
r Zz
Z
z
sen
p t dt:
S1 (z) = 2 sen t2dt, S2 (z) = p1
2 0 t
0
Outras relac~oes:
C1 (z) =
(A.3)
r !
2 t +cte, Z sen t2dt = S
2 t +cte, (A.4)
2
!
r
r !
Z +t
+t
p
p
2
2 t .(A.5)
cos t2 dt = 2C
sen t2dt = 2S
t
,
t
t
Z
Z
r !
(A.2)
cos t2 dt = C
2
Func~oes auxiliares:
1
1
2
f (z) = 2 S (z) cos 2 z
C (z) sen 2 z2 ;
2
1
1
2
g (z) = 2 C (z) cos 2 z + 2 S (z) sen 2 z2 :
72
(A.6)
(A.7)
Interrelac~oes:
r 2
C (z) = C1 z 2 = C2 2 z ;
r S (z) = S1 z 2 = S2 2 z2 ;
(A.8)
C (z) = 21 + f (z) sen 2 z2 g (z) cos 2 z2 ;
S (z) = 12 f (z) cos 2 z2 g (z) sen 2 z2 :
(A.9)
(A.10)
(A.11)
Aproximac~oes racionais:
+ 0:926z
f (z) = 2 + 11:792
z + 3:104z2 + (z) ;
g (z) = 2 + 4:142z + 3:1492z2 + 6:670z3 + (z) ;
j (z)j 2 10 3:
73
(A.12)
(A.13)
Ap^endice B
Nveis de Refer^encia para
Exposic~ao
As tabelas B.1 e B.2 descrevem os nveis de refer^encia para exposic~ao ocupacional e do publico em geral para campos eletricos e magneticos veriaveis no
tempo, segundo as diretrizes da Ag^encia Nacional de Telecomunicac~oes (Anatel),
encontradas em [9].
74
Faixas de
frequ^encia
75
Intensidade de Intensidade de Campo B Densidade de
campo E
campo H
(T)
pot^encia de onda
1
1
(V.m )
(A.m )
plana equivalente
Seq (W.m 2 )
Ate 1 Hz
1,63105
2105
5
2
5
1 - 8 Hz
20000
1,6310 =f
210 =f
8 - 25 Hz
20000
2104 =f
2,5104/f
25 - 820 Hz
500/f
20/f
25/f
0,82 - 65 kHz
610
24,4
30,7
0,065 - 1 MHz
610
1.6/f
2/f
1 - 10 MHz
610/f
1,6/f
2/f
10 - 400 MHz
61
0,16
0,2
10
1/2
1/2
1/2
400 - 2000 MHz
3f
0,008f
0,01f
f/40
2 - 300 GHz
137
0,36
0,45
50
Tabela B.1: Nveis de refer^encia para exposic~ao ocupacional a campos eletricos e magneticos variaveis no tempo (valores
ecazes, n~ao perturbados)
Faixas de
frequ^encia
76
Intensidade de Intensidade de Campo B Densidade de
campo E
campo H
(T)
pot^encia de onda
(V.m 1)
(A.m 1)
plana equivalente
Seq (W.m 2 )
Ate 1 Hz
3,2104
4104
1 - 8 Hz
10000
3,2104=f2 4104=f2
8 - 25 Hz
10000
4000=f
5000/f
25 - 800 Hz
250/f
4/f
5/f
0.8 - 3 kHz
250/f
5
6,25
3 - 150 kHz
87
5
6,25
0.15 - 1 MHz
87
0,73/f
0,92/f
1/2
1 - 10 MHz
87/f
0,73/f
0,92/f
10 - 400 MHz
28
0,073
0,092/f
2
400 - 2000 GHz
1,375f1/2
0,0037f1/2
0,0046f1/2
f/200
2 - 300 GHz
61
0,16
0,20
10
Tabela B.2: Nveis de refer^encia para exposic~ao do publico em geral a campos eletricos e magneticos variaveis no tempo
(valores ecazes, n~ao perturbados)
Ap^endice C
Fundamentos
Nesse captulo s~ao introduzidos termos basicos no estudo de ondas como refrac~ao e
difrac~ao, fundamentais para o entendimento acerca dos fen^omenos de propagac~ao
eletromagnetica.
C.1 Propagac~ao
Uma onda eletromagnetica e criada por uma perturbac~ao local nos campos eletrico
e magnetico. De sua origem, a onda se propagara em todas as direc~oes. Se o
meio no qual a onda se propaga (o ar por exemplo) e o mesmo em todos lugares,
esta se propagara uniformemente em todas as direc~oes.
Longe de sua origem, a onda tera se espalhado sucientemente, aparentando
possuir uma mesma amplitude em todas posic~oes no plano perpendicular a sua
direc~ao de propagac~ao. Este tipo de onda e chamado uma onda plana. Uma onda
plana e uma idealizac~ao que permite imaginar-se que toda a onda propaga-se em
uma unica direc~ao, em vez de espalhar-se por todas direc~oes.
Ondas eletromagneticas propagam-se a velocidade da luz no vacuo. Em outros
meios, como ar ou vidro, a velocidade de propagac~ao e mais lenta. Seja c a
velocidade da luz no vacuo e c a velocidade no meio, dene-se ndice de refrac~ao
como
n = cc :
77
(C.1)
Subst^ancia ndice de Refrac~ao
Vacuo
1
Ar
1:0003
A gua
1:33
Vidro
1:55
Tabela C.1: Indice de refrac~ao para alguns meios.
C.2 Refrac~ao e Reex~ao
Quando uma onda penetra em um novo meio, observa-se uma mudanca em sua
velocidade de propagac~ao. Para que as ondas incidente e transmitida estejam
unidadas no limite entre os meios, a onda transmitida muda sua direc~ao de propagac~ao. Por exemplo, se o novo meio possui um ndice de refrac~ao mais alto,
signicando que a velocidade de propagac~ao e mais baixa, o comprimento de onda
cara menor, visto que a frequ^encia deve continuar a mesma devido as condic~oes
de contorno. Para que onda transmitida una-se a onda incidente no limite entre
os meios, a direc~ao de propagac~ao da onda transmitida deve estar mais proxima
da perpendicular. A relac~ao entre os ^angulos e os indices de refrac~ao e determinada pela Lei de Snell (Equac~ao C.2). Quando a direc~ao de propagac~ao muda, a
onda e dita refratada.
n1 sen 1 = n2 sen 2 :
θ1
meio 1
meio 2
θ2
Figura C.1: Refrac~ao de uma onda incidente.
78
(C.2)
Uma onda transmitida dobrar-se-a mais na direc~ao da perpendicular quando
esta entra em um meio com ndice de refrac~ao maior (velocidade mais lenta de
propagac~ao). Por exemplo, quando um indivduo olha a agua de uma piscina, a
luz do fundo e refratada para longe da perpendicular pois o ndice de refrac~ao e
menor no ar que na agua. Pela mesma raz~ao, quando se observa objetos sob a
agua por uma mascara, esses se apresentar~ao maiores do que realmente s~ao, pois
a luz do objeto e espalhada na interface agua-ar da mascara. O observador tera
a ilus~ao que o objeto esta mais proximo ou maior.
Quando uma onda plana encontra uma mudanca no meio de propagac~ao,
alguma parte ou toda onda pode propagar-se no novo meio ou ser reetida. A
parte que atravessa o novo meio e chamada de porc~ao transmitida e a outra parte
a porc~ao reetida. A parte que e reetida possui uma regra muito simples que
governa seu comportamento. Observando-se a Figura C.2 t^em-se: o ^angulo entre
θi
θt
Figura C.2: A^ ngulos de incid^encia e reex~ao.
a direc~ao de propagac~ao e uma linha perpendicular ao limite entre os meios, no
mesmo lado da superfcie, e denido como ^angulo de incid^encia i ; enquanto que o
^angulo entre a direc~ao de propagac~ao da onda reetida e um linha perpendicular
ao limite, tambem no mesmo lado da superfcie, e denido como ^angulo de reex~ao
t .
Ent~ao, a regra para reex~ao e o ^angulo de reex~ao igual ao ^angulo de incid^encia (Figura C.3). Se o meio incidente tem um ndice de refrac~ao mais baixo
ent~ao a onda reetida tem um deslocamento de fase de 180 na reex~ao. Reciprocamente, se o meio incidente tem um ndice maior de refrac~ao, a onda reetida
n~ao apresentara deslocamento de fase.
79
Figura C.3: A^ ngulo de reex~ao igual ao ^angulo de incid^encia.
C.3 Interfer^encia
Todas as ondas eletromagneticas podem ser sobrepostas sem limite. Os campos
eletricos e magneticos simplesmente se somam a cada ponto. Se duas ondas com
a mesma frequ^encia forem combinadas havera um padr~ao de interfer^encia constante causado pela superposic~ao dessas. A interfer^encia pode ser construtiva ou
destrutiva. A quantidade de interfer^encia depende da relac~ao entre as fases em
um ponto particular. Pode ser demonstrado que uma interfer^encia construtiva
ocorre para deslocamentos de fase de 0 -120 e 240-360. Assim, uma interfer^encia destrutiva acontece para deslocamentos de fase de 120-240. Para duas
ondas id^enticas, deslocamento de fase nulo resulta em interfer^encia construtiva
total em que a forca e maxima. Por outro lado, um deslocamento de fase de 180
resulta em interfer^encia destrutiva total, ou seja, nenhum sinal resultante.
O deslocamento de fase, ; que causa a interfer^encia pode ocorrer devido a
uma diferenca de percurso, x, ou uma diferenca no tempo de chegada, t; de
acordo com a Equac~ao C.3
= 2 x = 2 t ;
(C.3)
T
em que e T representam, respectivamente, o comprimento e o perodo de onda.
C.4 Difrac~ao
Seja uma onda plana propagando-se atraves de um meio. Se essa onda atravessa uma abertura, esta ira difratar ou espalhar-se da abertura, como observado
na Figura C.4. O grau de espalhamento da onda ira depender do tamanho da
80
abertura relativo ao comprimento de onda. No caso extremo em que a abertura e
muito grande comparando-se ao comprimento de onda, a onda n~ao ira se refratar.
No outro extremo, se a abertura for muito pequena, a onda se comportara como
se estivesse em sua origem e se espalhara uniformemente em todas as direc~oes
da abertura. Entre esses extremos havera algum grau de difrac~ao. Inicialmente
considere uma abertura circular. Se uma onda de comprimento encontrar uma
abertura com di^ametro D, o valor difratado e medido pelo ^angulo , em que a
nova onda diverge da abertura, medido borda a borda, dado aproximadamente
por
D ;
(C.4)
em radianos. A aproximac~ao dada pela Equac~ao C.4 e valida apenas para ^angulos
relativamente pequenos, em torno de 20. Esta formula e de bastante utilidade
no estudo da formac~ao de feixe de irradiac~ao de antenas, tambem com aplicac~oes
em antenas usadas em comunicac~oes e radares.
Figura C.4: Difrac~ao de uma onda ao atravessar uma fenda.
C.5 Antenas
Antena e o componente fundamental de um sistema eletrico que utiliza o espaco
livre como meio de transmiss~ao. O IEEE Standard Denitions of Terms for
Antennas (IEEE Std 145 1973) dene a antena como um meio para irradiac~ao
ou recepc~ao de ondas de radio. Em outras palavras, antena e a estrutura de
transic~ao entre o espaco livre e a fonte de transmiss~ao ou recepc~ao.
81
Diferentes tipos de sistemas transmitem e recebem diferentes tipos de ondas,
de modo que as caractersticas operacionais do sistema s~ao projetadas de acordo
com as propriedades das antenas. Deve haver dois tipos de antenas em qualquer
sistema, uma transmissora e outra receptora. A antena transmissora ideal e a que
irradia toda a pot^encia fornecida, na direc~ao e polarizac~ao desejada, enquanto
a antena receptora ideal e a que obtem o maximo de tens~ao possvel do sinal
disponvel no espaco livre com o mnimo possvel de rudo.
Existem varios tipos de antenas, cada uma projetada para transmitir ou receber um tipo especco de irradiac~ao. A forma e o numero de antenas em um
sistema depende em grande parte do tipo de onda usada e a frequ^encia em que
e transmitida. Os tipos mais comuns de antenas s~ao as antenas de dipolo, o,
abertura, estrutura (array ), corneta, antenas lente, reetoras, etc.
A operac~ao de uma antena transmissora simples pode ser ilustrada como
uma linha de transmiss~ao de circuito aberto em que, nesssa abertura, ocorre
uma revers~ao de fase, de forma que parte da tens~ao incidente e irradiada. A
energia irradiada apresenta-se na forma de ondas eletromagneticas transversais e a
quantidade de radiac~ao emitida pode variar em func~ao do aumento ou diminuic~ao
da dist^ancia entre os condutores.
Antenas possuem um numero de propriedades importantes que variam de
acordo com a aplicac~ao. As propriedades da maior interesse incluem o ganho,
diretividade, padr~ao de irradiac~ao, polarizac~ao e largura de faixa.
C.6 Ganho
Existem duas medidas para o ganho, o ganho de diretividade e o ganho de
pot^encia. Diretividade e a habilidade de uma antena de concentrar a pot^encia irradiada em uma area do espaco, ou absorver mais efetivamente energia incidente
de uma area do espaco [1]. Ganho de diretividade e a raz~ao entre a densidade de
pot^encia irradiada em uma direc~ao particular e a densidade de pot^encia irradiada
para o mesmo ponto por uma antena de refer^encia, assumindo-se que as antenas
estejam irradiando a mesma quantidade de pot^encia. Ganho de pot^encia e o
mesmo que ganho de diretividade, exceto que a eci^encia da antena e levada em
conta e a pot^encia total alimentada na antena e utilizada nos calculos. Assume-se
82
que a refer^encia e sem perdas e que a antena e a refer^encia possuem a mesma
pot^encia de entrada. O ganho de pot^encia e igual ao ganho de diretividade se a
antena irradiante for sem perdas.
As antenas de refer^encia mais utilizadas s~ao a antena isotropica e a antena
de dipolo ressonante de meia-onda. A antena isotropica irradia igualmente em
todas as direc~oes. Esse tipo de antena n~ao existe, mas fornece um padr~ao de
antena teorico simples e util para comparac~ao com antenas reais. Uma antena
com ganho de 1 em relac~ao a uma antena isotropica descreve-se como possuindo
um ganho de 0 dBi.
A antena de dipolo ressonante de meia-onda pode ser um padr~ao util para
comparac~ao com outras antenas em uma frequ^encia ou sobre uma faixa curta
de frequ^encias. Para comparar-se o dipolo a uma antena sobre uma faixa de
frequ^encias requer-se um dipolo ajustavel ou um numero de dipolos de diferentes
comprimentos. Uma antena com ganho de 1 em relac~ao a uma antena de dipolo
ressonante de meia-onda descreve-se como possuindo um ganho de 0 dBd. A
relac~ao entre ganho dado em dBd e dBi e mostrada na Equac~ao C.5.
G[dBi] = G[dBd] + 2; 15
(C.5)
Uma medida mais direta para o desempenho de uma antena receptora e a
area efetiva ou sec~ao transversal Ae [1]: A rea efetiva e a area de uma antena ideal
que absorve a mesma quantidade de pot^encia de uma onda plana incidente que
uma antena real absorveria. O ganho de diretividade G e area efetiva Ae est~ao
simplesmente relacionadas por
e
G = 4A
(C.6)
2 :
A area efetiva e diretividade de algumas antenas de interesse s~ao relacionadas na
Tabela C.2.
A tecnica de medic~ao de ganho pela comparac~ao com uma antena de refer^encia
e conhecida como tecnica de transfer^encia de ganho. Em frequ^encias mais baixas
e conveniente usar um dipolo de meia onda como padr~ao de ganho, com ganho
tipicamente expresso em dBi: Outro metodo de medic~ao de ganho e o metodo
de 3 antenas. As pot^encias transmitida e recebida nos terminais das antenas s~ao
83
Antena
A rea Efetiva Diretividade
Isotropica
2=4
1
Dipolo Curto
32=8
3=2
1:64
Dipolo Linear de 21 302=73
Tabela C.2: A rea efetiva e diretividade de algumas antenas de interesse.
medidas entre tr^es antenas arbitrarias a uma dist^ancia xa conhecida. A formula
de transmiss~ao de Friis,
Pr = Gr Ae = AtAe = G G 2 ;
r t
Pt 4d2 (d)2
4d
(C.7)
com Pt e Pr as pot^encias transmitidas e recebidas, d a dist^ancia, Gt e Gr o ganho
das antenas transmissora e receptora e At a area efetiva da antena transmissora, e
usada para desenvolver tr^es equac~oes com tr^es incognitas, resultando nos ganhos,
expressos em dBi, de todas as tr^es antenas.
C.7 Padr~ao de Irradiac~ao
O padr~ao de antena ou de irradiac~ao descreve a pot^encia relativa do campo
irradiado em varias direc~oes da antena a uma dist^ancia xa ou constante. O padr~ao de irradiac~ao e tambem um padr~ao de recepc~ao visto que tambem descreve
as propriedades receptoras da antena. O padr~ao de irradiac~ao e tridimensional, sendo mostrada, frequentemente, apenas uma fatia desse padr~ao devido a
complexidade de sua medic~ao. Dessa forma, o padr~ao de irradiac~ao e disposto
bi-dimensionamente, facilitando a apresentac~ao.
O padr~ao de radiac~ao de uma antena e um diagrama polar que representa a
distribuic~ao espacial da energia irradiada. Ha quatro padr~oes de radiac~ao comuns
usados:
1. Padr~ao omnidirecional;
2. Padr~ao pencil-beam ;
84
3. Padr~ao fan-beam ;
4. Padr~ao shaped-beam.
O padr~ao omnidirecional e principalmente usado para servicos de comunicac~oes em que todas as direc~oes devam ser igualmente cobertas. No plano horizontal o padr~ao e horizontal enquanto que no plano vertical deve haver alguma
diretividade para aumentar o ganho.
O padr~ao pencil-beam e usado para obter ganho maximo em uma direc~ao e o
padr~ao de irradiac~ao e o mesmo nos dois planos.
O padr~ao fan-beam e semelhante ao padr~ao pencil-beam, exceto que o ultimo
apresenta um corte transversal elptico. A largura de feixe de um plano pode ser
maior que a largura de feixe no outro plano.
O padr~ao shaped-beam e usado quando o padr~ao requer um tipo de cobertura
especca.
C.8 Polarizac~ao
Uma importante caracterstica da irradiac~ao e o estado de polarizac~ao. A polarizac~ao de ondas refere-se ao tipo de vibrac~oes do vetor eletrico (ou magnetico)
no plano normal a direc~ao de propagac~ao [1].
Polarizac~ao e denida como a orientac~ao do campo eletrico de uma onda
eletromagnetica. Polarizac~ao e, em geral, descrita por uma elipse. Dois casos
especiais geralmente usados de polarizac~ao eliptica s~ao as polarizac~oes linear e
circular. Quando o campo eletromagnetico propaga-se em uma direc~ao particular permanente, considera-se que a onda e polarizada linearmente. Por raz~oes
praticas, a orientac~ao das ondas linearmente polarizadas e separada em componentes vertical e horizontal. O ambiente no qual a onda eletromagnetica se
propaga, desde a antena transmissora ate a receptora, pode causar mudancas na
polarizac~ao da onda.
Uma antena dipolo vertical criara uma onda eletromagnetica vertical, linearmente polarizada. Uma antena receptora que tambem estiver alinhada verticalmente produzira uma maior corrente quando exposta a onda eletromagnetica
85
nessa posic~ao. Ent~ao, e imprescindvel o conhecimento do tipo de polarizac~ao e
direc~ao da antena transmissora quando da recepc~ao do sinal.
Para propagac~ao em baixa frequ^encia (< 1 MHz) perto do solo, polariza-se
verticalmente as ondas devido a reex~oes do solo que cancelam ondas polarizadas
horizontalmente nessas frequ^encias. Sistemas de comunicac~oes moveis geralmente
utilizam polarizac~ao vertical. Para a transmiss~ao de TV adotou-se a polarizac~ao
horizontal como um padr~ao pois essa escolha maximiza a relac~ao sinal-rudo.
Para frequ^encias acima de 1 GHz, pode ser utilizada polarizac~ao horizontal ou
vertical. Em algumas aplicac~oes especcas pode haver vantagens em utilizar-se
uma ou outra.
Outro modo de polarizac~ao de campos e a polarizac~ao circular. O comportamento desse tipo de polarizac~ao e semelhante a utilizac~ao de um saca-rolhas,
ou seja, o campo eletrico gira enquanto se propaga, realizando um giro completo
a cada ciclo de radiofrequ^encia (RF). Se a rotac~ao ocorrer no sentido horario,
denomina-se RHCP (Right-Hand Circular Polarization ), polarizac~ao circular a
direita. A outra possibilidade e polarizac~ao circular a esquerda, LHCP (LeftHand Circular Polarization ). Antenas transmissoras que utilizam polarizac~ao
circular geralmente assemelham-se sicamente a saca-rolhas.
Polarizac~ao circular e frequentemente usada em comunicac~oes por satelite pois
esse tipo de polarizac~ao n~ao exige o conhecimento da orientac~ao da antena do
satelite, denominado skew. Um sinal polarizado linearmente do espaco e sujeito a
uma rotac~ao, que n~ao ocorre quando a polarizac~ao e circular, causada pelo campo
magnetico da terra chamada rotac~ao de Faraday. Polarizac~ao circular tambem
pode ser usada para reduzir os efeitos do multipercurso.
Uma onda n~ao necessita estar polarizada. Por exemplo, a luz solar, que e
uma mistura homog^enea de ondas que se propaga em todas as direc~oes, e dita
despolarizada. Porem, esta pode tornar-se polarizada pela ltragem ou pela
reex~ao em uma superfcie plana.
86
Ap^endice D
A Onda Plana Uniforme
Aplicar-se-~ao neste captulo as equac~oes de Maxwell introduzindo a teoria fundamental da propagac~ao de onda, em que a onda plana representa uma das
aplicac~oes mais simples das equac~oes de Maxwell, ilustrando os princpios da
propagac~ao de energia. Ser~ao introduzidos tambem termos como imped^ancia da
onda, constante de atenuac~ao e de fase, alem do teorema de Poynting.
D.1 Divergente e Rotacional
Para a aplicac~ao das equac~oes de Maxwell neste captulo, e importante relembrar
os conceitos divergente e rotacional.
D.1.1 Divergente
A diverg^encia de D, em que D pode representar qualquer campo vetorial, e
denida como
H
x @Dy @Dz
S D:dS :
div D = @D
+
+
=
lim
(D.1)
@x @y
@z v!0 v
A interpretac~ao fsica para a Equac~ao acima e que a diverg^encia do vetor densidade de uxo D representa a variac~ao do uxo atraves de uma superfcie fechada
de volume que tende a zero [23]. Esta armac~ao e util na obtenc~ao de informac~ao
qualitativa acerca da diverg^encia de um campo vetorial sem a necessidade de uma
investigac~ao matematica.
87
Se uma unidade diferencial de volume r dr d dz; em coordenadas cilndricas,
ou r2 sin dr d d, em coordenadas esfericas, for escolhida, as express~oes para
a diverg^encia nas coordenadas particulares s~ao descritas, respectivamente, da
seguinte forma
@ (rD ) + 1 @D + @Dz (cilndrica)
div D = 1r @r
(D.2)
r
r @ @z
e
@ r2D + 1 @ (sen D ) + 1 @D (esferica).
div D = r12 @r
r
r sen @
r sen @
(D.3)
O divergente representa um resultado escalar. Denindo agora o operador
nabla r como operador vetorial
@a + @a + @a;
r = @x
(D.4)
x
@y y @z z
com ax; ay ; az ; representando os vetores unitarios nas direc~oes respectivas x, y e
z, observa-se que a sua aplicac~ao sobre o vetor D; na forma de produto interno,
resulta em um valor escalar
@
@
@
r D = @x ax + @y ay + @z az (Dxax + Dy ay + Dz az ) ; (D.5)
@ (D ) + @ (D ) + @ (D ) ;
(D.6)
r D = @x
x
@y y @z z
de forma que
x @Dy @Dz
div D = r D = @D
(D.7)
@x + @y + @z :
A notac~ao r D sera usada neste texto para indicar a operac~ao de diverg^encia.
D.1.2 Rotacional
O rotacional (ou curl ) de qualquer vetor e um vetor. Qualquer componente do
rotacional e dada pelo limite do quociente da integral de linha fechada do vetor
em um pequeno percurso do plano normal aquela componente desejada e a area
envolvida, quando o percurso tende a zero. A forma matematica da denic~ao e
H V:dL
(rot V)n = lim
(D.8)
Sn !0 Sn
88
em que Sn e a area envolvida pela integral de linha fechada, V um vetor qualquer, e n representa qualquer componente em qualquer sistema de coordenadas.
O rotacional pode tambem ser escrito em termos de um operador vetorial da
seguinte forma
rot V = r V:
(D.9)
Rotacional e, ent~ao, denido em coordenadas cartesianas, cilndricas e esfericas,
respectivamente, por
@V @V @V @V r V = @yz @zy ax + @zx @xz ay
@V @V y
x
+
(D.10)
@x @y az ;
1 @V
@Vr
a
r V = r @ @V
r+
1 @ (rV ) @z 1 @V @z
+ r @r r @r az ;
z
@Vz a
@r 1 @ (Vsen ) @V a + 1 1 @Vr
r V = r sen
@ @ r r sen @
rV ) @Vr a :
+ 1r @ (@r
@ (D.11)
@ (rV) a
@r
(D.12)
D.2 Propagac~ao de Ondas no Espaco Livre
A soluc~ao das equac~oes de Maxwell, sem a aplicac~ao de alguma condic~ao de contorno, representa um tipo muito especial de problema. As soluc~oes obtidas nesse
texto s~ao para o espaco livre, dieletricos perfeitos e para dieletricos dissipativos,
respectivamente, estando restritas a coordenadas cartesianas.
Considerando a propagac~ao de ondas no vacuo, as equac~oes de Maxwell podem
ser descritas em termos de E e H;
r H = 0 @@tE ;
(D.13)
r E = 0 @@tH ;
89
(D.14)
r E = 0;
(D.15)
r H = 0;
(D.16)
com 0 e 0 denidos, respectivamente, como permissividade e permeabilidade do
espaco livre, com 0 361 10 9 F/m e 0 = 410 7 H/m.
As primeiras quatro equac~oes de Maxwell ser~ao desenvolvidas para o caso
especial de uma variac~ao cossenoidal, usando notac~ao complexa e fasores. Inicialmente suponha que uma componente, Ex, seja dada por
Ex = E0 cos (!t + ) ;
(D.17)
com E0 sendo func~ao de x; y; z e !; e e o ^angulo de fase que pode ser uma
func~ao de x; y; z e !: A identidade de Euler,
ej!t = cos !t + j sin !t;
(D.18)
pode ser usada, de forma que Ex se torna
Ex = Re E0ej(!t+ ) = Re E0 ej ej!t :
(D.19)
Omitindo-se o operador Re e suprimindo ej!t, a grandeza Ex torna-se um fasor
ou uma grandeza complexa identicada pelo ndice s; ou seja, Exs; de forma
que Exs = E0 ej : Pode-se observar ent~ao que, dado um fasor, a grandeza real
correspondente pode ser sempre obtida multiplicando-se por ej!t e tomando-se a
parte real da express~ao resultante.
A derivada parcial de qualquer campo em relac~ao ao tempo equivale a multiplicar o fasor correspondente por j!; permitindo a representac~ao de um vetor
como um fasor. Desta forma e possvel representar as quatro equac~oes de Maxwell
em notac~ao fasorial, para variac~oes senoidais com o tempo, no vacuo, por
r Hs = j!0Es;
(D.20)
r Es = j!0Hs;
(D.21)
r Es = 0;
(D.22)
90
r H s = 0:
(D.23)
Agora, obter-se-a a equac~ao da onda, em regime estacionario senoidal. O
metodo de obtenc~ao esta descrito abaixo.
r r Es = r (r Es) r2 Es
= r2Es
= j!0r Hs
= !200 Es
(D.24)
(D.25)
(D.26)
(D.27)
r2 Es = !200 Es:
(D.28)
Finalmente
representa a equac~ao da onda, tambem chamada de equac~ao vetorial de Helmholtz. A componente x da equac~ao da onda torna-se ent~ao
r2Exs = !200 Exs;
(D.29)
de modo que tem-se
@ 2 Exs + @ 2 Exs + @ 2 Exs = !2 E :
(D.30)
0 0 xs
@x2
@y2
@z2
Ha uma soluc~ao para a Equac~ao acima, supondo que Exs n~ao varie com x nem
com y: Isto leva a uma equac~ao diferencial ordinaria
@ 2 Exs = !2 E ;
(D.31)
0 0 xs
@z2
com soluc~ao na forma
Exs = Ae
j!p0 0 z :
(D.32)
Agora multiplicando pelo fator ej!t , reduzindo a forma trigonometrica, tomando
a parte real e substituindo a amplitude A pelo valor Ex0 ; valor de Ex em z = 0
e t = 0 tem-se
Ex = Ex0 cos [! (t zp00 )] :
91
(D.33)
O radical p00 , observado na equac~ao de E , tem o valor aproximado 1= (3 108)
s/m que e o inverso da velocidade da luz no vacuo,
(D.34)
c = p1 3 108 m/s.
00
O campo H e obtido de
r Es = j!0Hs:
(D.35)
Como apenas uma componente, Exs, varia com z; obtem-se
@Exs = j! H :
(D.36)
0 ys
@z
Usando a equac~ao de Exs com A = Exo ; multiplicando pelo fator ej!t , reduzindo
a forma trigonometrica e tomando a parte real, tem-se a seguinte equac~ao para
H
de modo que
r 0
Hy = Ex0 cos [! (t zp00 )]
0
(D.37)
r
Ex = 0 :
(D.38)
Hy
0
Observando as duas equac~oes para E e H, verica-se que os campos est~ao em
fase, em relac~ao ao espaco e ao tempo. A raiz quadrada da raz~ao entre a permeabilidade e a permissividade, observada na relac~ao entre os campos, e denominada
imped^ancia intrnseca do meio ; em ohms,
r
(D.39)
= r 0
0 = 120 (vacuo).
(D.40)
0
A onda plana uniforme e assim denominada porque seu valor e uniforme ao
longo do plano z = constante, representando um uxo de energia na direc~ao
positiva de z. Os campos eletricos e magneticos s~ao perpendiculares a direc~ao
de propagac~ao, ou ambos pertencem a um plano que e transversal a direc~ao de
propagac~ao. A Figura D:1 mostra um exemplo de como os campos variam no
espaco. A parte (a) da Figura D:1 mostra a intensidade do campo E em t = 0 e
o valor instant^aneo ao longo do eixo z e nos planos x = 0 e y = 0: A parte (b) da
gura mostra o campo H ao mesmo tempo. Note que E e H est~ao em fase em
qualquer ponto e instante de tempo.
92
x
x
λ
Ex
Hy
z
z
y
y
(a)
(b)
Figura D.1: Representac~ao dos campos E e H propagando-se no espaco livre.
D.3 Propagac~ao de Ondas em Dieletricos Dissipativos
Nesta sec~ao tratar-se-a da propagac~ao da onda plana uniforme em um meio
dieletrico com perdas, com condutividade ; permeabilidade e permissividade ; de modo que as esquac~oes de maxwell se escrevem
r Hs = Js + j!Es = ( + j!) Es
(D.41)
r Es = j!Hs;
(D.42)
com Js representando o vetor densidade de corrente de conduc~ao. A equac~ao de
onda e ent~ao
@ 2 Exs = ( + j!) j!E :
(D.43)
xs
@z2
Admitindo uma atenuac~ao exponencial, o campo Ex e denido agora da seguinte
maneira,
Ex = Ex0 cos [! (t zp)] e
= Ex0 e z cos (!t kz) ;
z
(D.44)
(D.45)
ou, em notac~ao complexa exponencial,
Exs = Ex0e z e
93
jkz ;
(D.46)
em que e denida como constante de atenuac~ao e k constante de fase. A
constante de fase e a medida do defasamento em radianos por metro. Combinando
e k, tem-se uma constante de propagac~ao complexa ;
= + jk;
(D.47)
de modo que e possvel re-escrever a Equac~ao D:46 como
Exs = Ex0e z :
(D.48)
Substituindo agora na Equac~ao D:43 tem-se
2Ex0 e
z
= ( + j!) j!Ex0e z ;
(D.49)
de modo que
2 = ( + j!) j!
ou
r
:
= j!p 1 j !"
(D.50)
(D.51)
Usando D:42 para o calculo de Hys;
Hys = Ex0 e z e
jkz
em que , imped^ancia intrnseca, representa uma grandeza complexa,
r 1
;
= q
1 j !
(D.52)
(D.53)
de forma que os campos magneticos e eletricos n~ao est~ao mais em fase. Expandindo o segundo radical em bin^omio de Newton pode-se aproximar a equac~ao de
para
r 1 + j 2! :
(D.54)
De modo semelhante, obtem-se
2 1
p
= j! 1 j 2! + 8 ! + ::: :
(D.55)
94
Da,
e
r
p
j! j 2! = 2 1 2 p
k ! 1 +
;
(D.57)
k !p:
(D.58)
8 !
ou, simplicando,
(D.56)
Para o caso em que o material dieletrico apresente perdas, o criterio pelo qual
se calcula a magnitude dessas perdas e a raz~ao =! comparada com a unidade.
O termo =! e denominado tangente de perdas, que e determinada a partir da
equac~ao de Maxwell
r Hs = ( + j!) Es = Js+Jds
(D.59)
em que Js representa a corrente de conduc~ao e Jds representa a corrente de
deslocamento. A raz~ao entre esssas duas correntes e dada por
Js = :
(D.60)
Jds j!
Desta forma, observa-se que esses dois vetores (Js e Jds) apontam na mesma
direc~ao mas est~ao defasados de 90 no tempo, com Jds atrasado em relac~ao a
Js ; como mostrado na Figura D:2: O ^angulo na gura e o ^angulo pelo qual a
densidade de corrente de deslocamento (Jds = j!Es) esta atrasada da corrente
total (Js = Js + Jds = ( + j!) Es) : O ^angulo 90 e conhecido como ^angulo
de fator de pot^encia. A maioria dos dieletricos possui tangente de perdas mais
constante com a frequ^encia do que a condutividade, que tende a crescer com a
frequ^encia, mas n~ao linearmente. Por denic~ao, a tangente de perdas e dada por
tan = !
(D.61)
95
Jds=j ωε Es
_σ_
θ = arc tg ωε
J s =( σ + jωε )E s
J σs = σ Es
Es
Figura D.2: Relac~ao entre as fases de Js; Js; Jds; Es:
D.4 O Teorema de Poynting
O teorema de Poynting, chamado assim devido a seu postulador, John H. Poynting, e utilizado para o calculo da pot^encia do campo eletromagnetico. O desenvolvimento desse teorema inicia-se pelas equac~oes de Maxwell,
r H = J+ @@tD ;
(D.62)
Er H = E J + E @@tD ;
r ( E H ) = E r H + H r E;
Hr E r (E H) = E J + E @@tD :
(D.63)
(D.64)
(D.65)
r E = @@tB ;
(D.66)
com J representando o vetor densidade de corrente e D o vetor densidade de
uxo eletrico. Fazendo o produto escalar por E na Equac~ao D:62, e depois
desenvolvendo algumas identidades vetoriais, t^em-se
Como
96
B representado densidade de uxo magnetico, D:65 torna-se
H @ B r ( E H ) = E J + E @ D ;
@t
(D.67)
@t
@
r (E H) = E J + E @tD + H @@tB ;
r (E H) = E J + E @@tE + H @@tH :
Como
(D.68)
(D.69)
E2 = @ E2
E @@tE = 2 @@t
@t 2
e
(D.70)
@ H2 ;
(D.71)
H @@tH = @t
2
re-escreve-se D:69 da seguinte maneira
E2 H2 @
r (E H) = E J+ @t 2 + 2 :
(D.72)
Integrando D:72 no volume e aplicando o teorema da diverg^encia, obtem-se a
seguinte express~ao para o teorema de Poynting
I
|
S
(E H) dS =
{z
}
Pot^encia que ui
para dentro do
volume.
Z
| vol
E J dv
{z }
Pot^encia ^ohmica
total dissipada
dentro do volume
Z E2 H2
@
dv:
+
+
@t
2
2
vol
|
{z
}
(D.73)
Energia total
armazenada
em E e H.
Desta forma, a pot^encia que ui para fora do volume e dada pela integral
calculada sobre a superfcie fechada que envolve o volume,
I
S
(E H) dS;
(D.74)
em que produto vetorial E H e chamado de Vetor de Poynting, sendo interpretado como a densidade de pot^encia instant^anea, medida em watt por metro
quadrado. A direc~ao do Vetor de Poynting indica a direc~ao do uxo instant^aneo
de pot^encia em um ponto e, como este vetor e dado pelo produto vetorial E H,
a direc~ao do uxo em qualquer ponto e normal a ambos os vetores.
97
Ap^endice E
Diagramas de Irradiac~ao
-5
-15
-25
-25
-35
-45
-45
-35
-45
-55
-65
-65
Atenuacao (dB)
Atenuacao (dB)
-55
-45
-35
-25
-15
-5
-25
-35
-45
-55
-55
-45
-35
-25
-45
-45
-35
-25
-25
-5
-15
(a) Horizontal.
(b) Vertical.
Figura E.1: Diagramas de irradiac~ao do modelo RWA80014.
98
-15
-5
-35
-45
-55
-5
-10
-25
-30
-45
-50
-65
-65
Atenuacao (dB)
-55
-45
-35
-25
-15
-5
-30
-40
-50
-70
-60 -70
Atenuacao (dB)
-60
-50
-40
-45
-50
-25
-30
-5
-10
(a) Horizontal.
(b) Vertical.
-30
-20
-10
Figura E.2: Diagramas de irradiac~ao do modelo RWA8009.
-15
-15
-25
-25
-35
-35
-45
-55
-35
-45
-55
-65
-65
-45
Atenuacao (dB)
Atenuacao (dB)
-55
-45
-35
-25
-15
-5
-35
-55
-45
-55
-55
-45
-35
-25
-45
-45
-35
-35
-25
-25
-15
-5
-15
(a) Horizontal.
(b) Vertical.
Figura E.3: Diagramas de irradiac~ao do modelo LPD7907.
99
-15
-5
0
-15
-15
-25
-25
-35
-35
-45
-45
-55
Atenuacao (dB)
Atenuacao (dB)
-35
-45
-55
-65
-65
-55
-45
-35
-25
-15
-5
-35
-55
-45
-55
-55
-45
-35
-25
-45
-45
-35
-35
-25
-25
-15
-15
(a) Horizontal.
(b) Vertical.
Figura E.4: Diagramas de irradiac~ao do modelo LPD7908.
100
-15
-5
Ap^endice F
Programa para Calculo de
Campo
/* Este programa calcula o campo eletrico e a
densidade de potencia para diversos tipos
de abertura no campo proximo.
Autor: Alexandre Marcio Nobrega Gomes.
UFPB-DEE-COPELE-LABCOM */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
int n,A;
oat Lx,Ly,a,f,g,fr,v,S,S1,C,C1,w,l,N,i,t1,t2,E,W,K,Eo,V,E1,E2,P,G,ga;
FILE *output1;
char vetor1[30];
FILE *output2;
char vetor2[30];
void fresnel (oat i, oat *Sa, oat *Ca);
void main(void)
f
101
printf("nn PROGRAMA PARA TRACAR CURVAS DE CAMPO ELETRICO E");
printf("nn DENSIDADE DE POTENCIA PARA DIVERSAS ABERTURAS");
printf("nn NO CAMPO PROXIMO A ANTENAS RADIANTESnn");
printf("nn Alexandre Marcio Nobrega Gomes");
printf("nn UFPB-DEE-COPELE-LABCOMnn");
printf("nn Para uma Abertura Linear - digite 1 ");
printf("nn Para uma Abertura Quadrada - digite 2 ");
printf("nn Para uma Abertura Retangular - digite 3 ");
printf("nn Para uma Abertura Circular - digite 4nn ");
printf("nn Digite o tipo de abertura - A = ");
scanf("%d",&A);
if (A==1)f
printf(" Digite o comprimento da abertura - L(m) = ");
scanf("%f",&Lx);
Ly=0;g
if (A==2)f
printf(" Digite o tamanho do lado abertura - L(m) = ");
scanf("%f",&Lx);
Ly=Lx;g
if (A==3)f
printf(" Digite o lado maior da abertura - Lx(m) = ");
scanf("%f",&Lx);
printf(" Digite o lado menor da abertura - Ly(m) = ");
scanf("%f",&Ly);g
if (A==4)f
printf(" Digite o raio da abertura - a(m) = ");
scanf("%f",&a);
Lx=2*a;Ly=0;g
printf(" Digite a frequencia de operacao - f(MHz) = ");
scanf("%f",&fr);
102
printf(" Digite a potencia aplicada - P(W) = ");
scanf("%f",&P);
printf(" Digite o ganho da antena - G(dBi) = ");
scanf("%f",&ga);
printf(" Digite o posicao nal da curva - d(m) = ");
scanf("%f",&K);
/* printf(" Digite o ponto inicial da curva - Ro(m) = ");
scanf("%f",&N); */
printf(" Digite o numero de iteracoes - N = ");
scanf("%d",&n);
printf("nn Digite o arq. de saida para o campo eletrico = ");
scanf("%s",&vetor1);
if ((output1 = fopen(vetor1,"w"))==NULL)f
printf ("nnArquivo de entrada de dados nao pode ser abertonn");
exit (1);g
printf(" Digite o arq. de saida para a dens. de pot. = ");
scanf("%s",&vetor2);
if ((output2 = fopen(vetor2,"w"))==NULL)f
printf ("nnArquivo de entrada de dados nao pode ser abertonn");
exit (1);g
*/
/* n= 32750; numero de iteracoes */
l= 300/(1.0003*fr); /* comprimento da onda */
V= 2*pow(sqrt((Lx*Lx)+(Ly*Ly)),2)/l; /* limite sup. do campo proximo
/* N= pow(double(Lx/(2*l)),(1/3))*(Lx/2); lim. inf. do c. p. */
N= 0.01*V;
G= pow(10,(ga/10));
if (A==1) /* abertura linear */
f
fresnel( Lx/sqrt(2*l*V),&S,&C); /* chama sub-rotina */
103
E1= sqrt(2/(l*V)) * (sqrt((C*C)+(S*S)));
Eo= sqrt(60*P*G) / (V*E1);
for (i=N;i<=K;i=i+((oat)1/n))
f
fresnel( Lx/sqrt(2*l*i),&S,&C); /* chama sub-rotina */
/* CAMPO */ E= Eo * sqrt(2/(l*i)) * (sqrt((C*C)+(S*S)));
/* POTENCIA */ W= (E*E) / (240*M PI);
fprintf (output1,"%f %fnn",i,E/sqrt(2)); /* escreve no arq. */
fprintf (output2,"%f %fnn",i,W); /* escreve no arq. */
g
g
if (A==2 jj A==3) /* abertura quad. ou retangular */
f
fresnel((Lx/sqrt(2*l*V)),&S,&C);
fresnel((Ly/sqrt(2*l*V)),&C1,&S1);
E1= 2 * sqrt((C*C)+(S*S)) * sqrt((C1*C1)+(S1*S1));
Eo= sqrt(60*P*G) / (V*E1);
for (i=N;i<=K;i=i+((oat)1/n))
f
fresnel((Lx/sqrt(2*l*i)),&S,&C);
fresnel((Ly/sqrt(2*l*i)),&C1,&S1);
E= 2 * Eo * sqrt((C*C)+(S*S)) * sqrt((C1*C1)+(S1*S1));
W= (E*E) / (240*M PI);
fprintf (output1,"%f %fnn",i,E/sqrt(2)); /* escreve no arq. */
fprintf (output2,"%f %fnn",i,W); /* escreve no arq. */
g
g
if (A==4) /* abertura circular */
f
t1= sqrt( (a*a) + (V*V) );
t2= (2*M PI*V/l) - (2*M PI*t1/l);
E1= sqrt( 0.25 + ((V/(2*t1))*((V/(2*t1) - cos(t2)))) );
104
Eo= sqrt(60*P*G) / (V*E1);
for (i=N;i<=K;i=i+((oat)1/n))
f
t1= sqrt( (a*a) + (i*i) );
t2= (2*M PI*i/l) - (2*M PI*t1/l);
E= Eo*sqrt( 0.25 + ((i/(2*t1))*((i/(2*t1) - cos(t2)))) );
W= ((E*E)/(240*M PI));
fprintf (output1,"%f %fnn",i,E/sqrt(2)); /* escreve no arq. */
fprintf (output2,"%f %fnn",i,W); /* escreve no arq. */
g
g
fclose(output1);
fclose(output2);
g
/* SUBROTINA PARA CALCULO DAS INTEGRAIS DE FRESNEL */
void fresnel (oat v, oat *Sa, oat *Ca)
f
f = ((1+(0.926*v))/(2+(1.792*v)+(3.104*v*v)));
g = (1/(2+(4.142*v)+(3.492*v*v)+(6.67*v*v*v)));
*Ca = (0.5 + (f*sin(M PI 2*v*v)) - (g*cos(M PI 2*v*v)));
*Sa = (0.5 - (f*cos(M PI 2*v*v)) - (g*sin(M PI 2*v*v)));
g
105

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