Integrais por substitui o

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Prof.: Joaquim Rodrigues
RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO
a)
∫ sec
2
5 xdx
Resolução
du
1
′ du
Fazemos 5 x = u ⇒ (5 x ) =
⇒ 5=
⇒ 5dx = du ⇒ dx = du
dx
dx
5
Logo:
1
1
1
2
2
2
∫ sec 5 xdx = ∫ sec u ⋅ 5 du = 5 ∫ sec u du = 5 tg u + c
1
Voltando u para x, temos: ∫ sec 2 5 xdx = tg (5 x) + c
5
b)
∫ ctg x dx
Resolução
cos x
, assim temos que:
sen x
cos x
1
∫ ctg x dx = ∫ sen x dx = ∫ sen x cos x dx
du
′ du
Agora fazemos sen x = u ⇒ (sen x ) =
⇒ cos x =
⇒ cos x dx = du
dx
dx
E finalmente:
cos x
1
1
∫ ctg x dx = ∫ sen x dx = ∫ sen x cos x dx = ∫ u du = ln u + c = ln senx + c
Observe que ctg x =
x3 − 6x + 5
c) ∫
dx
x
Resolução
 x3 6x
x3 − 6x + 5
dx
=
∫ x
∫  x − x +
5
5

dx = ∫  x 2 − 6 + dx =
x
x

1
x3
∫ x dx − 6∫ dx + 5∫ x dx = 3 − 6 x + 5 ln x + c
2
1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
d)
∫
Prof.: Joaquim Rodrigues
ax − b dx
Resolução
(ax − b )′ = du
Fazendo ax − b = u ⇒
dx
du
dx
⇒ a=
1
1
⇒ adx = du ⇒ dx =
1
du
a
3
+1
1
1
1 u2
1 u2
2
ax
−
b
dx
=
u
du
=
u
du
=
⋅
+
c
=
⋅
+c =
∫
∫ a
a∫
a 1
a 3
+1
2
2
3
1 2
2 2 3
2
= ⋅ ⋅u 2 + c =
u +c =
(ax − b) 3 + c
a 3
3a
3a
e)
∫ senx ⋅ cos x dx
Resolução
du
′ du
Fazemos sen x = u ⇒ (sen x ) =
⇒ cos x =
⇒ cos x dx = du
dx
dx
u 1+1
u2
( senx) 2
sen 2 x
senx
⋅
cos
x
dx
=
u
du
=
+
c
=
+
c
=
+
c
=
+c
∫
∫
1+1
2
2
2
f)
x
∫1+ x
2
dx
Resolução
Observe que
x
∫1+ x
2
1
x dx
1+ x2
′ du
1+ x2 =
dx
dx = ∫
(
Fazendo 1 + x 2 = u ⇒
xdx =
)
⇒ 2x =
du
dx
⇒ 2 xdx = du ⇒
1
du
2
Logo:
x
1
1 1
1 1
1
1
2
∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 + x 2 x dx = ∫ u ⋅ 2 du = 2 ∫ u du = 2 ln u + c = 2 ln 1 + x + c
g)
x
∫1+ x
4
dx
Resolução
Observe que
x
∫1+ x
4
Fazendo x 2 = u ⇒
x
dx = ∫
1
1
xdx = ∫
xdx
4
1+ x
1 + (x2 )2
(x )′ = du
dx
2
⇒ 2x =
du
dx
⇒ 2 xdx = du ⇒ xdx =
1
du
2
1
1
1
1
1
1
xdx = ∫
xdx = ∫
⋅ du = ∫
du =
4
2 2
2
2 1+ u2
1+ x
1 + (x )
1+ u 2
1
1
= arc tg u + c = arc tg ( x 2 ) + c
2
2
Daí
∫1+ x
4
dx = ∫
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
h)
Prof.: Joaquim Rodrigues
et
∫ 1 + e 2 t dt
Resolução
et
1
t
∫ 1 + e 2 t dt = ∫ 1 + (e t ) 2 e dt
′ du
du
Daí, fazemos: e t = u ⇒ (e t ) =
⇒ et =
⇒ e t dt = du
dt
dt
t
e
1
1
Assim: ∫
dt = ∫
e t dt = ∫
du = arc tg u + c = arc tg (e t ) + c
2t
t 2
1+ e
1 + (e )
1+ u2
Observe que
i)
∫
sec x ⋅ tg x
1 − sec 2 x
Resolução
Observe que
sec x ⋅ tg x
∫
1 − sec x
2
dx
dx = ∫
1
1 − sec x
2
Fazendo sec x = u ⇒
sec x ⋅ tg x dx = ∫
(sec x )′ = du
1
sec x ⋅ tg x dx
1 − (sec x) 2
du
⇒ sec x ⋅ tg x =
⇒
dx
dx
sec x ⋅ tg x dx = du
Assim, temos que:
sec x ⋅ tg x
1
1
∫ 1 − sec 2 x dx = ∫ 1 − sec 2 x sec x ⋅ tg x dx = ∫ 1 − (sec x) 2 sec x ⋅ tg x dx =
1
∫ 1 − u 2 du = arc sen u + c = arc sen (sec x) + c
j)
∫a
5x
dx
Resolução
Fazendo 5 x = u ⇒
(5 x )′ = du
dx
⇒ 5=
du
dx
⇒ 5dx = du ⇒ dx =
1
du
5
1 u
1 au
1 a 5x
5x
u 1
a
dx
=
a
⋅
du
=
a
du
=
⋅
+
c
=
⋅
+c
∫
∫ 5
5∫
5 ln a
5 ln(5 x)
k)
∫a
x
⋅ e x dx
Resolução
Observe que
x
x
x
∫ a ⋅ e dx = ∫ (a ⋅ e) dx
Note que agora, faremos apenas a ⋅ e = A e desta forma, não estamos mudando a variável.
Ax
(ae) x
x
x
x
x
a
⋅
e
dx
=
(
a
⋅
e
)
dx
=
A
dx
=
+
c
=
+c
∫
∫
∫
ln A
ln (ae)
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
l)
Prof.: Joaquim Rodrigues
cos x + sen x
dx
sen 3 x
Resolução
cos x + sen x
1 
 cos x sen x 
 cos x
Veja ∫
dx = ∫ 
+
dx = ∫ 
+
dx
3
3
3 
3
2 
sen x
 sen x sen x 
 sen x sen x 
∫
2
 1 
1
 = (csc x )2 = csc 2 x
Note ainda que
= 
2
sen x  sen x 
cos x + sen x
1 
 cos x sen x 
 cos x
Logo: ∫
dx = ∫ 
+
dx = ∫ 
+
dx =
3
3
3 
3
2 
sen x
 sen x sen x 
 sen x sen x 
cos x
 cos x

= ∫
+ csc 2 x  dx = ∫
dx + ∫ csc 2 x dx =
3
3
( sen x)
 sen x

1
=∫
cos x dx + ∫ csc 2 x dx
( sen x) 3
1
Vamos resolver a primeira integral: ∫
cos x dx e para isso devemos fazer
( sen x) 3
du
′ du
sen x = u ⇒ (sen x ) =
⇒ cos x =
⇒ cos x dx = du
dx
dx
1
1
1
u −2
−3
cos
Donde ∫
x
dx
=
du
=
u
du
=
+c =− 2 +c =
3
3
∫
∫
−2
( sen x)
2u
u
1
1
=−
+c =−
+c
2
2 ( sen x)
2 sen 2 x
E agora a segunda integral que é ∫ csc 2 x dx = −ctg x + c
E finalmente as duas juntas:
1
1
2
∫ ( sen x) 3 cos x dx + ∫ csc x dx = − 2sen 2 x − ctg x + c
m)
1
∫ 1 + 4x
2
dx
Resolução
1
dx
1 + (2 x) 2
du
1
′ du
⇒ 2=
⇒ 2dx = du ⇒ dx = du
Fazemos 2 x = u ⇒ (2 x ) =
dx
dx
2
1
1
1 1
1
1
Agora temos ∫
dx = ∫
dx = ∫
du = ∫
du =
2
2
2
2 1+ u2
1 + 4x
1 + (2 x)
1+ u 2
1
1
= arc tg u + c = arc tg (2 x) + c
2
2
Observe que
1
∫ 1 + 4x
2
dx = ∫
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
n)
3 1
∫ cos  x  ⋅ x
2
Prof.: Joaquim Rodrigues
dx
Resolução
3 1
−1
−2
∫ cos  x  ⋅ x 2 dx = ∫ cos (3x ) ⋅ x dx
′ du
Agora fazemos 3 x −1 = u ⇒ 3 x −1 =
dx
(
)
du
⇒ − 3 x −2 dx = du
dx
1
− 3 x − 2 dx = du (−1) ⇒ 3 x −2 dx = −du ⇒ x − 2 dx = − du
3
3 1
 1 
E finalmente ∫ cos   ⋅ 2 dx = ∫ cos (3 x −1 ) ⋅ x − 2 dx = ∫ cos u ⋅  − du  =
x x
 3 
1
1
1
1
3
= − ∫ cos u du = − sen u + c = − sen 3 x −1 + c = − sen   + c
3
3
3
3
 x
⇒ − 3 x −2 =
(
o)
∫ tg
2
)
x dx
Resolução
2
sen 2 x 1 − cos 2 x
1
cos 2 x  1 
 − 1 = (sec x) 2 − 1
Observe que tg x =
=
=
−
=
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x cos 2 x  cos x 
Ou seja tg 2 x = sec 2 x − 1 , logo:
2
∫ tg
p)
2
x dx = ∫ (sec 2 x − 1) dx = ∫ sec 2 x dx − ∫ dx = tg x − x + c
∫ (tg θ + ctg θ)
2
dθ
Resolução
Observe que:
(tg θ + ctg θ) 2 = tg 2 θ + 2 ⋅ tg θ ⋅ ctg θ + ctg 2 θ = tg 2 θ + 2 ⋅ tgθ ⋅
1
+ ctg 2 θ =
tg θ
= tg 2 θ + 2 + ctg 2 θ = tg 2 + 1 + 1 + ctg 2 θ = sec 2 θ + csc 2 θ
123 1
424
3
sec 2 θ
csc 2 θ
Logo, temos que ∫ (tg θ + ctg θ) 2 dθ = ∫ (sec 2 θ + csc 2 θ) dθ = ∫ sec 2 θ dθ + ∫ csc 2 θ dθ =
tg θ + (−ctg θ) + c = tg θ − ctg θ + c
5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
q)
Prof.: Joaquim Rodrigues
1 + sen x
∫ x − cos x dx
Resolução
Fazemos x − cos x = u ⇒ ( x − cos x)′ =
du
dx
⇒ 1 − (− sen x) =
du
dx
⇒
du
⇒ (1 + sen x) dx = du
dx
Agora, temos que
1 + sen x
1
1
∫ x − cos x dx = ∫ x − cos x (1 + sen x)dx = ∫ u du = ln u + c = ln x − cos x + c
1 + sen x =
r)
sen x
∫
1 − cos x
Resolução
dx
Fazemos 1 − cos x = u ⇒ (1 − cos x)′ =
sen x =
du
dx
∫
u
1
2
du = ∫ u
⇒ 0 − (− sen x) =
du
dx
⇒
⇒ sen x dx = du
Agora temos que
1
du
dx
−
1
2
∫
sen x
1 − cos x
u
−
1
+1
2
1
dx = ∫
1 − cos x
1
2
sen x dx = ∫
1
u
du =
1
u
2
du =
+c =
+ c = ⋅ u 2 + c = 2 ⋅ u + c = 2 1 − cos x + c
1
1
1
− +1
2
2
et + 2
s) ∫ t
dt
e + 2t
Resolução
et + 2
1
t
∫ e t + 2t dt = ∫ e t + 2t ⋅ (e + 2)dt
du
du
Agora fazemos e t + 2t = u ⇒ (e t + 2t )′ =
⇒ et + 2 =
⇒ (e t + 2)dt = du
dt
dt
et + 2
1
1
E finalmente ∫ t
dt = ∫ t
⋅ (e t + 2)dt = ∫ du = ln u + c = ln e t + 2t + c
u
e + 2t
e + 2t
Observe que
6
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
t)
Prof.: Joaquim Rodrigues
1
∫ x ⋅ ln x dx
Resolução
Observe que podemos fazer
1
1
du
dx
E fazemos ainda ln x = u ⇒ (ln x)′ =
1
1
1
1
∫ x ⋅ ln x dx = ∫ ln x ⋅ x dx = ∫ u du = ln
u)
∫ (1 +
3
x) ⋅ x
Resolução
1
∫ x ⋅ ln x dx = ∫ ln x ⋅ x dx
1 du
=
x dx
⇒
⇒
1
dx = du
x
u + c = ln ln x + c
dx
∫ (1 +
3
dx = 3∫
1
⋅
1
dx
1+ x x
1
1
1 ′


du
1 2 − 1 du
1 − 2 du
2 

⇒
⋅x
=
⇒
⋅x =
⇒
Fazemos 1 + x = u ⇒ 1 + x  =
dx
2
dx
2
dx


1 1
1 1
1
⋅ 1 dx = du ⇒
⋅
dx = du ⇒
dx = 2du
2 2
2 x
x
x
3
1
1
1
1
1
Logo ∫
dx = 3∫
⋅
dx = 3∫ ⋅ 2du = 3 ⋅ 2∫ du = 6∫ du =
u
u
u
(1 + x ) ⋅ x
1+ x x
Note que
x)⋅ x
= 6 ln u + c = 6 ln 1 + x + c
v)
∫
3 x 2 + 1 ⋅ xdx
Resolução
Fazendo 3 x 2 + 1 = u
⇒ (3 x 2 + 1)′ =
du
du
⇒ 6x =
dx
dx
⇒ 6 xdx = du ⇒ xdx =
Agora
1
1
+1
3
3
1
1
1 u2
1 u2
1 2
2
2
3
x
+
1
⋅
xdx
=
u
du
=
u
du
=
⋅
+
c
=
⋅
+ c = ⋅ ⋅u 2 + c =
∫
∫ 6
∫
6
6 1
6 3
6 3
+1
2
2
2
1
1
= 2 u3 + c =
u3 + c =
(3 x 2 + 1) 3 + c
18
9
9
7
1
du
6
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
w)
∫
2 + 3x
1 + 4 x + 3x 2
Resolução
Prof.: Joaquim Rodrigues
dx
Fazendo 1 + 4 x + 3 x 2 = u ⇒ (1 + 4 x + 3 x 2 )′ =
2( 2 + 3 x ) =
du
dx
Agora temos que
du
dx
⇒ 4 + 6x =
⇒ 2(2 + 3 x) dx = du ⇒ (2 + 3 x) dx =
2 + 3x
∫
1 + 4 x + 3x
2
dx = ∫
1
1 + 4 x + 3x
1
− +1
2
1
2
du
dx
⇒
1
du
2
(2 + 3x) dx = ∫
1
1
⋅ du =
u 2
1
1
1
−
1 1
1
1 u
1 u2
1 2
2
du
=
u
du
=
⋅
+
c
=
⋅
+ c = ⋅ ⋅u 2 + c = u 2 + c =
1
∫
∫
1
2 1
2
2
2
2 1
− +1
u2
2
2
= u + c = 1 + 4 x + 3x 2 + c
x)
∫ sec x dx
Resolução
Aqui precisamos fazer um pequeno artifício
 sec x + tg x 
sec 2 x + sec x ⋅ tg x


sec
x
dx
=
sec
x
⋅
dx
=
dx
∫
∫
∫
 sec x + tg x 
sec
x
+
tg
x


Agora fazemos sec x + tg x = u ⇒ (sec x + tg x)′ =
sec x ⋅ tg x + sec 2 x =
du
dx
du
dx
⇒ (sec x)′ + (tg x)′ =
⇒ (sec x ⋅ tg x + sec 2 x) dx = du
 sec x + tg x 
sec 2 x + sec x ⋅ tg x
 dx = ∫
E finalmente ∫ sec x dx = ∫ sec x ⋅ 
dx =
sec
x
+
tg
x
sec
x
+
tg
x


1
1
=∫
(sec 2 x + sec x ⋅ tg x) dx = ∫ du = ln u + c = ln sec x + tg x + c
sec x + tg x
u
8
du
dx