Filtros Digitais - Departamento de Física da UBI

Transcrição

Processamento de Sinal e Imagem
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
António M. Gonçalves Pinheiro
Departamento de Fı́sica
Universidade da Beira Interior
Covilhã - Portugal
[email protected]
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Sumário
1. Filtros Digitais
(a) Filtros IIR e FIR
(b) Dimensionamento de Filtros FIR
(c) Janelas para dimensionamento de filtros FIR
(d) Dimensionamento de Filtros IIR
(e) Transformada Bilinear
Filtros Digitais
Exemplo de Tı́pico de Filtro Analógico implementado com filtro Digital
x(t)
ADC
Filtro
x[n] Digital y[n]
DAC
Filtro de
Reconstrução
y(t)
Filtro Analógico
Filtro Passa-Baixo
Nota:
Na implementação de um filtro digital os dados de entrada e os cálculos internos são todos quantizados em precisão finita, resultando em erros de arredondamento que degradam o
funcionamento previsto teoricamente.
Filtros Digitais
Filtros Analógicos
Caracterizados por respostas impulsivas de duração infinita
PM
N
M
Equação Diferencial
k
X
dk y(t) X dk x(t)
Ya(s)
k=0 dk s
Ha(s) =
ck
⇒
= PN
=
dk
de Coeficientes
k
k
Xa(s)
dt
dtk
c
s
k
k=0
k=0
k=0
constantes
Filtros Digitais
Equação às Diferenças
de Coeficientes
constantes
M
N
k
X
X
Yd(z)
b
z
k
bk x[n − k]
ak y[n − k] =
⇒
Hd(z) =
= PNk=0
k
Xd(z)
a
z
k=0 k
PM
k=0
k=0
• FIR - Finite Impulse Response Caracterizados por respostas impulsivas de duração finita
ak = 0, com k ≥ 1 ⇒ y[n] =
M
X
bk x[n − k]
k=0
• IIR - Infinite Impulse Response Caracterizados por respostas impulsivas de duração infinita
Filtros Digitais - Propriedades dos Filtros FIR
FIR - Finite Impulse Response
1. Têm memória finita, logo qualquer transitório inicial é de duração limitada.
2. São estáveis BIBO, ou seja, no sentido em que uma entada limitada origina uma saı́da limitada
3. Permitem qualquer resposta em Amplitude desejável, com uma resposta em Fase linear (ou
seja, sem distorção de fase)
Filtros Digitais
Desenho de Filtros Digitais a partir de Filtros Analógicos
Este procedimento tem as seguintes vantagens:
1. As técnicas de projecto de Filtros analógicos estão bastante desenvolvidas.
2. Alguns métodos de projecto resultam em filtros com fórmulas relativamente simples, originando filtros com desenho simples.
3. Em muitas aplicações existe vantagem em utilizar um Filtro digital que permita simular (em
computador) o funcionamento de filtros analógicos
Filtros FIR
FIR - Finite Impulse Response
São filtros digitais de resposta finita finita.
Considerando um filtro genérico descrito pela equação as diferenças:
N
X
ak y[n − k] =
M
X
bk x[n − k]
k=0
k=0
resulta no filtro FIR de ordem M + 1:
ak = 0, com k ≥ 1 ⇒
y[n] =
M
X
bk x[n − k]
k=0
em que se considera a0 = 1 para normalização
Filtros FIR
Nota: Considerando de forma geral o somatório de convolução
y[n] =
M
X
h[k]x[n − k]
k=0
E sendo
y[n] =
M
X
bk x[n − k]
k=0
Então h[k] = bk em que
h[n] =
M
X
bk δ[n − k]
k=0
Filtros FIR
Pode-se provar que um filtro FIR de ordem N tem fase linear se respeitar:
h[n] = h[N − 1 − n]
Nesse caso a fase do filtro será dada por:
N −1
φH (ejΩ) = Ω
2
N par
N ímpar
h[n]
h[n]
N-1 n
N-1
2
N-1 n
N-1
2
Filtros FIR
Desenho de Filtros FIR a partir de Filtros requerido
Truncar a resposta impulsiva do filtro requerido hR [n] multiplicando por uma janela
w[n]:
hF IR [n] = hR [n] × w[n]
A janela rectangular é a mais intuitiva, mas apresenta desvantagens devido ao
fenómeno de Gibbs:
1, 0 ≤ n ≤ N − 1
w[n] =
0, c.c.
Filtros FIR
Janelas de truncatura w[n]
Hamming
2πn
w[n] = 0.54 − 0.46 cos
, 0≤n≤N −1
N −1
Hanning
1
2πn
w[n] =
1 − cos
, 0≤n≤N −1
2
N −1
Bartlett
w[n] =
2n/(N − 1),
0 ≤ n ≤ (N − 1)/2
2 − 2n/(N − 1), (N − 1)/2 ≤ n ≤ N − 1
Blackman
2πn
w[n] = 0.42 − 0.5 cos
N −1
4πn
+ 0.08 cos
, 0≤n≤N −1
N −1
Filtros FIR
Janelas de truncatura w[n]
Rectangular
1
Hamming
Hanning
Blackman
Bartlett
0
Filtros FIR
Comando do Matlab
b=fir1(M,wc) - dimensiona filtro FIR
b - vector com coeficientes do filtro
M - ordem do filtro FIR
wc - frequência de corte
Por defeito usa a janela de Hamming.
No entanto podem-se usar outras janelas:
b=fir1(M,wc,boxcar(M+1)) - usa janela rectangular
b=fir1(M,wc,hamming(M+1)) - usa janela de hamming (o mesmo que por defeito)
Filtros Digitais
Projecto de Filtros IIR
1. Invariância Impulsiva
Consiste em amostrar a respota impulsiva do filtro analógico.
2. Desenho com base na Solução Numérica da Equação diferencial do filtro Analógico
3. Transformada Bilinear
Solução numérica alternativa à aproximação das derivadas por uma equação às diferenças
Filtros Digitais
Projecto de Filtro IIR - Invariância Temporal
Amostragem da resposta impulsiva do Filtro Analógico a digitalizar:
h[n] = ha(nTa)
As transformadas neste caso levam:
H(z)|Z=esTa
+∞
1 X
2π
Ha s + j k
=
Ta
Ta
k=−∞
Polos mapeados com: <e{s} ≤ 0 e |=m{s}| ≤ π/Ta
são mapeados no interior do cı́rculo unitário, |z| ≤ 1
Im{s}
π/Ta
Re{s}
Im{z}
1
1 Re{z}
−π/Ta
Filtros Digitais
Projecto de Filtro IIR - Invariância Temporal
Resposta em frequência do filtro digital e do filtro analógico relacionam-se por:
+∞
X
1
2π
H(ejΩ) =
Ha jω + j k
Ta
Ta
k=−∞
Considerando o teorema de amostragem:
Se Ha(jω) = 0 para |ω| ≥ π/Ta, então H ejΩ =
1
Ta Ha (j(Ω/T )),
H(e jΩ)
H(jω/Τa)
0
ω
Ω≤π
−π
0
π
Ω
Filtros Digitais
Projecto de Filtro IIR - Desenho com base na Solução Numérica da Equação diferencial do filtro
Analógico
Sendo y[n] = ya(nTa) pode-se definir:
primeira derivada como:
dya
y[n] − y[n − 1]
→ ∇1{y[n]} =
dt
Ta
dk ya
k-esima derivada como: k → ∇k {y[n]} = ∇1 ∇k−1{y[n]}
dt
Isto origina a seguinte transformada:
1 − z −1
1
s=
⇐⇒ z =
Ta
1 − sTa
Nota: Este procedimento é altamente insatisfatório para filtros que não sejam filtros
passa-baixo.
Mapamento
Im{s}
a
Re{s}
Im{z}
1
1 Re{z}
Filtros Digitais
Projecto de Filtro IIR - Transformada Bilinear
Resolução numérica alternativa - Integra-se a equação diferencial e a aproximação numérica é
calculada para o integral
Resulta em:
2 1 − z −1
1 + (Ta/2)s
s=
⇐⇒
z
=
Ta 1 + z −1
1 − (Ta/2)s
Em termos de frequência discreta (Ω)
e contı́nua (ω):
ωTa
Ω = 2 arctan
2
Mapamento
Im{s}
a
Im{z}
1
π
Re{s}
0
-π
0
1 Re{z}
Filtros Digitais
Projecto de Filtro IIR - Transformada Bilinear
Tem as seguintes propriedades que a fazem ser a preferida:
• Origina Filtros Digitais Estáveis a partir de Filtros Contı́nuos Estáveis.
• Mapeia o eixo imaginário do plano s no cı́rculo unitário do plano z (isto evita efeito de
“Aliasing”).
• Como desvantagem apresenta uma distorção no eixo da frequência.
Filtros Digitais
Transformações de um filtro digital passa-baixo com frequências de corte θp
Tipo
Filtro
PASSA
BAIXO
PASSA
ALTO
PASSA
BANDA
REJEITA
BANDA
Transformação
Frequência
−1
Ωp
z
Ωp
−1
Ω1, Ω2
Ω1, Ω2
z
z
−1
z
z −1 − α
→
1 − αz −1
α=
sen ((θp − Ωp)/2)
sen ((θp + Ωp)/2)
z −1 + α
→ −
1 + αz −1
α=
cos ((Ωp + θp)/2)
cos ((Ωp − θp)/2)
2αk −1
z −2 − k+1
z + k−1
k+1
→ − k−1
−2 − 2αk z −1 + 1
z
k+1
k+1
−1
→
Fórmulas de
Desenho Associado
2αk −1
z −2 − k+1
z + 1−k
1+k
1−k −2
1+k z
2αk −1
− k+1
z +1
cos ((Ω2 + Ω1)/2)
cos ((Ω2 − Ω1)/2)
θp
Ω2 − Ω1
tg
k = cotg
2
2
cos ((Ω2 + Ω1)/2)
α=
cos ((Ω2 − Ω1)/2)
Ω2 − Ω1
θp
k = cotg
tg
2
2
α=

Filtros Digitais - Departamento de Física da UBI

Transcrição

Documentos relacionados

Filtros Met\341licos 1.cdr

LEGEND

Yarway Filters and Strainers, High Pressure Strainer

Princípio de Funcionamento dos Filtros do Ar Princípio de

Boletim Técnico Filtros Freudenberg

Adaptador para Filtros Formato Cokin “P”

Autorização de Troca de Óleo

o segredo da água fresca em filtros cerâmicos

Filtro Electroestático Móvel

CATÁLOGO DE EQUIPAMENTOS (REVISADO AGOSTO 2015).cdr