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ANÁLISE DE MÉTODOS MÁTEMÁTICOS NÚMEROS COMPLEXOS Leia e descubra que eu não vim do além ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1 Os números complexos desempenham um papel extremamente importante nos mais diversos ramos da Matemática e têm aplicação em outros áreas do conhecimento. Em geral, os números complexos são introduzidos no ensino médio para resolver equações do segundo grau com discriminante negativo. As equações do segundo grau aparecem em muitas tabuletas de argila da Suméria, por volta do ano 1700 a.C. e, ocasionalmente, levaram a radicais de números negativos; porém, não foram elas, em momento algum, que sugeriram o uso de números complexos. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 2 Por volta de 1500 d.C., a impressão que se tinha é que, com a criação dos números reais – que tinham representação para a solução de todos os problemas de medida -, não seria mais necessária a ampliação de nenhum campo numérico. O pensamento corrente era que “um número negativo não é raiz quadrada de nenhum número; logo, não existe raiz quadrada de um número negativo”. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 3 EQUACIONANDO A MATEMÁTICA Em 1545, o matemático, físico e médico italiano, Girolano Cardano (1501-1576), publicou uma obra, Ars magna, que iria causar um grande impacto sobre os algebristas da época. Nessa obra são apresentadas ao conhecimento público, pela primeira vez, as resoluções da cúbica (equação de 3º grau) e da quártica (equação de 4º grau). A importância da publicação da Ars magna foi tão grande que o ano de 1545 passou a ser considerado o marco inicial do período moderno na Matemática. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 4 É importante assinalar, no entanto, que Cardano não foi o descobridor original das soluções da cúbica e da quártica. A sugestão para a solução da cúbica, como o próprio Cardano afirmou em sua obra, lhe foi fornecida pelo matemático italiano Niccolo Tartaglia (cerca de 1500-1557) e a solução da quártica tinha sido descoberta inicialmente por outro matemático italiano e antigo auxiliar de Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565). ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 5 O fato que Cardano nunca mencionou é que ele obteve o “segredo” da resolução da cúbica sob juramento solene de não o revelar a ninguém; já que Tartaglia pretendia firmar a sua reputação de matemático, publicando a dedução da fórmula como sendo o coroamento de um tratado de Álgebra. A deslealdade de Cardano mostra como a evolução das ciências nem sempre é movida por bons propósitos. O próprio Tartaglia, vítima de Cardano no evento mencionado, foi, em outros momentos, acusado de apropriações científicas indébitas. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 6 Na obra publicada por Cardano, a fórmula utilizada para a resolução das cúbicas do tipo x3 + ax + b = 0 : b 3 x= − + 2 2 3 b a b 3 + + − − 4 27 2 2 3 b a + 4 27 Tendo conhecimento dessa fórmula, outro algebrista italiano, Rafael Bombelli (cerca de 1526-1573), viuse diante de um interessante impasse. Ele sabia que a cúbica x3-15x+4=0 tinha o número 4 como uma de suas raízes, já que: 43 - 15.4 – 4 = 0 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 7 Raphael Bombelli era um admirador da Ars Magna de Cardano, publicada em 1545, mas achava que seu estilo de exposição não era claro. Decidiu, então, escrever um livro expondo os mesmos assuntos, mas de forma tal que um principiante pudesse estudá-los sem necessidade de nenhuma outra referência. Em 1572, Bombelli publicou l’Algebra, obra na qual ele estuda a resolução de equações de grau não superior a quatro e na qual considera a equação x3=15x+4. Ao aplicar a fórmula de Cardano para o cálculo de uma raiz, obtém: 3 3 x = 2 + −121 + 2 − −121 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 8 Seguindo Cardano, Bombelli percebe que 4 é, de fato, uma raiz da equação proposta, ou seja, que 3 2 + −121 + 3 2 − −121 = 4 . Assim, pela primeira vez, nos deparamos com uma situação em que, apesar de termos radicais de números negativos, existe verdadeiramente uma solução da equação proposta. É necessário, então, compreender o que está acontecendo. Bombelli concebe daí a existência de expressões da forma que possam ser consideradas, a + − b e a − − b respectivamente, como 3 2 + −121 + 3 2 − −121. Substituindo as expressões na igualdade acima, ele escreve a + − b e a − − b =4. Neste ponto, felizmente,as quantidades “não existentes” se cancelam e obtemos a=2. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 9 Com esse resultado, pode-se voltar à 3 equação ( a + −b ) = 2 + −121 e deduzir que b=1. Assim, ele obtém que: 3 2 + −121 = 2 + −1 3 2 − −121 = 2 − −1 x = 2 + −1 + 2 − −1 = 4 ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 10 Evolução histórica dos números complexos: - O símbolo −1 foi introduzido em 1629 por Albert Girard. - No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) usou pela primeira vez o símbolo i para representar −1 , mais precisamente em 1777. Apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1801. - Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 11 Finalmente, no início do século XIX, a Europa iria tomar contato com a representação geométrica para os números complexos no plano, criada, através de trabalhos independentes, pelo matemático, físico e astrônomo alemão Carl Friedrich Gauss (17771855) e pelo matemático suíço Jean Robert Argand (1768-1822). ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 12 A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friederich Gauss em 1832. No início do século XIX, Gauss observou que assim como cada ponto de uma reta corresponde a um número real, cada ponto do plano podia ser associado a um número complexo. Convencionou, então, associar o número complexo z = a + bi ao ponto P(a,b), estabelecendo uma correspondência um a um entre os números complexos e os ponto Assim, no eixo das do plano xOy. abscissas, representa-se a parte real de z e,no eixo das ordenadas, a parte imaginária de z. O plano xOy é chamado de plano de Argand-Gauss. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 13 A partir do trabalho de Bombelli, os números complexos começaram a ser utilizados devido à sua utilidade para resolver equações do terceiro grau mas, ao mesmo tempo, era claro que tais números não poderiam existir. A primeira tentativa de legitimação, via uma “interpretação geométrica”, é devida a John Wallis (16161703), contemporâneo de Newton e professor na Universidade de Oxford. ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 14
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