Lista 5

Exercícios
1) Verifique se R2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.
( x, y ) + ( z, t ) = ( x − z, y − t )
a)
k ⋅ ( x, y ) = ( −kx,− ky )
b)
( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t )
k ⋅ ( x, y ) = ( kx,0)
c)
( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t )
k ⋅ ( x, y ) = ( 2kx,2ky )
d)
( x, y ) + ( z, t ) = (0,0)
k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky )
e)
( x, y ) + ( z, t ) = ( xz, yt )
k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky )
f)
( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z + 1, y + t + 1)
k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky )
g)
( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t )
k ⋅ ( x, y ) = ( kx, y )
2) Considere o conjunto Fun(R ) de todas as funções f : R → R . Definem-se duas operações
+ : Fun( R ) × Fun( R ) → Fun( R )
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
binárias
tal
que
e
⋅ : R × Fun(R ) → Fun(R ) tal que ( k ⋅ f )( x ) = k ⋅ f ( x ) .
Estas operações definem um espaço vetorial?
3) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R3.
a) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | z = 3}
b) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | x 2 = y}
c) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | x = 2 y}
d) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | x > 0}
e) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | y = x + z}
f) S = {(0, y , y ), y ∈ R}
x − y + z = 2

4) Verifique se o conjunto solução do sistema 2 x + 4 y − z = 0 é um subespaço vetorial de R3.
x − 2 y − z = 1

5) Escreva u = (1,−2) como combinação linear de (1,2) e (0,3) .
6) O vetor v = (−2,1,0) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,1,0)?
7) Escreva p( x ) = x 2 + x − 1 como combinação linear de q( x ) = x 2 − 2 x e r ( x ) = 2 x 2 −
4
.
3
51
8) O conjunto {(−1,2), (0,1), (3,1)} gera o R2?
9) Determine a equação do plano gerado pelos vetores ( −1,2,0), (0,1,2) e ( −2,5,2) .
10) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
a) {(1,0,0), (1,3,5), (3,2,5)}
b) {(1,2,−1), (0,0,1), (1,−2,3), (3,0,1)}
c) {(1,2), (3,5), ( 2,1)}
d) {(1,0,2), (0,−1,3), (0,0,2)}
e) {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)}
11) Mostre que se {u, v, w} ⊆ V é LI então {u + v, u + w, v + w} também é um conjunto LI.
12) Complete com V(erdadeiro) ou F(also).
( ) [(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem.
( ) [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem.
( ) {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais.
( ) {( −1,2,3), (0,1,2), ( −1,1,1)} gera o R3.
( ) O conjunto {(1,2,3),(0,0,0),(2,3,5)} é LI.
( ) Se {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V é LI então qualquer um dos seus subconjuntos também é LI.
( ) Se todo subconjunto próprio de {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V é LI então {v1 , v 2 ,..., v n } é LI.
( ) [(1,2)] possui somente duas bases {(1,2)} e {(2,4)}.
( ) {(1,0,4),(7,8,0)} é base de [(1,0,4),(7,8,0)].
( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado.
( ) {(3,5),(0,0)} é base do R2.
( ){(2,3),(4,5),(7,9)} gera o R2 então {(2,3),(4,5)}, {(2,3),(7,9)} e {(4,5),(7,9)} são bases do R2.
( ) Se [v1 , v 2 , v 3 , v 4 ] = R 3 então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do R3.
( ) Um conjunto com três vetores do R3 é base do R3.
( ) Um conjunto com mais do que três vetores do R3 não será uma base do R3.
( ) {(1,2,3), ( 2,−1,3)} é base do R2.
( ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos.
( ) {(2,3), ( x, y )} é base do R2 quando ( x, y ) ∉ [( 2,3)] .
( ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto {v1 , v 2 ,..., v n −1 } ⊆ V LI.
Então {v1 , v 2 ,..., v n −1 , v} é base de V qualquer que seja o vetor v ∈V .
( ) Se dim V = n então qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V.
( ) {(0,1,2),(1,0,1)} gera R2 .
( ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V.
( ) Se S = [(1,0,−1), ( 2,1,3), (1,1,4)] então dim S = 3.
13) Para que valores de k os vetores (1,2,0, k ), (0,−1, k ,1), (0,2,1,0) e (1,0,2,3k ) geram um espaço
tridimensional ?
14) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R3.
a) {( x, y , z ) ∈ R 3 | x = 2 y e z = y}
b) {( x, y , z ) ∈ R 3 | x + 2 y − z = 0}
c) {( x, y , z ) ∈ R 3 | y = 0 e x + z = 0}
52
 x + 2 y − 2z − t = 0

15) Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema  2 x + 4 y + z + t = 0 .
 x + 2 y + 3 z + 2t = 0

16) Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço.
17) Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a
soma é direta.
a) S1 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x − 2 y + z = 0} e S 2 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x + 3 y = 0}
b) S1 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x = y} e S 2 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x + y + z = 0}
19) Sejam S1 = {( x, y, z ) ∈ R 3 | y = 0} e S 2 = [(−1,2,0), (3,1,1)]. Determine S1 ∩ S 2 e S1 + S 2 , indicando
uma base e a dimensão em cada um dos casos.
20) Seja v = (1,2,3) e a base A = {(1,0,3), ( −1,7,5), ( 2,−1,6)} . Indique [v] A .
21) Considere A = {(1,1,1), (0,2,3), (0,2,−1)} uma base para o R3. Encontre as coordenadas de
v = (3,5,−2) em relação a esta base.
22) Seja A = {( −1,1,1), (0,2,3), (0,0,−1)} e ( v ) A = ( −2,0,3) . Determine v.
1
23) Sendo A = {( −3,−1), ( 2,0)} uma base para o R2 e [v ] A =   . Encontre:
 5
a) As coordenadas de v na base canônica.
b) As coordenadas de v na base B = {(2,1), (1,5)} .
1 2
vetor v = 
 ∈ Mat 2×2 ( R ) em
 0 3
 1 2   0 1   0 0   0 3  
B = 
, 
, 
, 
  .
 2 1   − 1 0   1 − 2   0 0  
24) Encontre
as
coordenadas
do
relação
à
base
25) Dadas as bases do R3, A = {( −1,0,2), (0,1,0), (0,0,2)} e B = {(0,0,1), (0,−2,1), (1,0,−1)}.
a) Determine [ I ] BA .
 − 1
 
b) Considere [v ] A =  2  . Calcule [v] B .
 3
 
26) Considere as bases A = {( −3,0,3), ( −3,2,−1), (1,6,−1)} e B = {( −6,−6,0), ( −2,−6,4), ( −2,−3,7)}.
a) Achar a matriz mudança de base de B para A.
b) Dado v = ( −5,8,−5) , calcule [v] A .
1 − 2
27) Seja [ I ] BA = 
 e B = {(1,−2), ( 2,0)}. Determine a base A.
 0 − 3
53
 1 2
28) Seja 
 a matriz mudança de base de B para A. Determinar a base A, sabendo que
 0 3
B = {(1,−1), (0,1)}.
 − 1
29) Sabendo que A = {u1 , u 2 } e B = {w1 , w2 } são bases do R2 tais que: [v ] A =   , w1 = u1 − u 2 e
 0
w2 = 2 ⋅ u1 − 3 ⋅ u 2 , determine [v] B .
30) Considere A = {(1,1,1), (0,2,3), (0,2,−1)} e B = {(1,1,0), (1,−1,0), (0,0,1)} . Determine as matrizes
mudança de base.
Respostas
1) Nenhum é espaço vetorial.
3) a)b)d) Não
c)e)f) Sim
4) Não
5) (1,−2) = 1 ⋅ (1,2) + ( − 43 ) ⋅ (0,3)
6) Sim, k1 = −2 e k 2 = 5
7) p( x ) = ( − 12 ) ⋅ q( x ) + 43 ⋅ r ( x )
9) 4 x + 2 y − z = 0
10) a)d)e) LI
b)c) LD
12) F,V,V,F,F,V,F,F,V,V,
F,V,F,F,V,F,V,V,F,V,
F,F,F
13) k = 1 ou k = − 23
14) a) base : {(2,1,1)} e dim = 1
b) base : {( −2,1,0), (1,0,1)} e dim = 2
c) base : {(1,0,1} e dim = 1
15) base : {( −2,1,0,0), ( − 15 ,0,− 53 ,1)}
dim = 2
18) a) S 1 ∩ S 2 = {( −3 y , y ,5 y ), y ∈ R}
S1 + S 2 = R 3
b) S 1 ∩ S 2 = {( y , y ,−2 y ), y ∈ R}
S1 + S 2 = R 3
Nenhum é soma direta.
19) S1 ∩ S 2 = {( 72 z,0, z ), z ∈ R}
base : {(7,0,2)} e dim = 1
S1 + S 2 = R 3
base : {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e dim = 3
 5
 
20) [v ] A =  0 
 − 2
 
21) ( v ) A = (3,−1,2)
22) v = ( 2,−2,−5)
 7
 4
23) a) [v ] =   b) [v ] B =  
 − 1
 − 1
 1
 
 1
24) [v ] B =  
−1
 1
− 
 3
1
2
 1
 6
2


 
A
1
25) a) [ I ] B =  0 − 2 0  b) [v ] B =  − 1
 1
−1
0 0 
 

8
17
 0
 − 23 
9
9 


 
26) a) [ I ] BA =  32 − 12 − 54  b) [v] A =  52 
− 3 − 5 − 1 
 1
6
12 
 2
 2
27) A = {(1,−2), ( −8,4)}
28) A = {(1,−1), ( − 23 ,1)}
 − 3
29) [v ] B =  
 1
1
1
1
0
 1
1




1
30) [ I ] BA =  0 − 1 − 1 e [ I ] BA =  − 14 − 12
4
1
 1 − 1 − 1
3 − 1

2
4
 4
54