Lista 5
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Lista 5
Exercícios 1) Verifique se R2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo. ( x, y ) + ( z, t ) = ( x − z, y − t ) a) k ⋅ ( x, y ) = ( −kx,− ky ) b) ( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t ) k ⋅ ( x, y ) = ( kx,0) c) ( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t ) k ⋅ ( x, y ) = ( 2kx,2ky ) d) ( x, y ) + ( z, t ) = (0,0) k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky ) e) ( x, y ) + ( z, t ) = ( xz, yt ) k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky ) f) ( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z + 1, y + t + 1) k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky ) g) ( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t ) k ⋅ ( x, y ) = ( kx, y ) 2) Considere o conjunto Fun(R ) de todas as funções f : R → R . Definem-se duas operações + : Fun( R ) × Fun( R ) → Fun( R ) ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) binárias tal que e ⋅ : R × Fun(R ) → Fun(R ) tal que ( k ⋅ f )( x ) = k ⋅ f ( x ) . Estas operações definem um espaço vetorial? 3) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R3. a) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | z = 3} b) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | x 2 = y} c) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | x = 2 y} d) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | x > 0} e) S = {( x, y, z ) ∈ R 3 | y = x + z} f) S = {(0, y , y ), y ∈ R} x − y + z = 2 4) Verifique se o conjunto solução do sistema 2 x + 4 y − z = 0 é um subespaço vetorial de R3. x − 2 y − z = 1 5) Escreva u = (1,−2) como combinação linear de (1,2) e (0,3) . 6) O vetor v = (−2,1,0) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,1,0)? 7) Escreva p( x ) = x 2 + x − 1 como combinação linear de q( x ) = x 2 − 2 x e r ( x ) = 2 x 2 − 4 . 3 51 8) O conjunto {(−1,2), (0,1), (3,1)} gera o R2? 9) Determine a equação do plano gerado pelos vetores ( −1,2,0), (0,1,2) e ( −2,5,2) . 10) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD. a) {(1,0,0), (1,3,5), (3,2,5)} b) {(1,2,−1), (0,0,1), (1,−2,3), (3,0,1)} c) {(1,2), (3,5), ( 2,1)} d) {(1,0,2), (0,−1,3), (0,0,2)} e) {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)} 11) Mostre que se {u, v, w} ⊆ V é LI então {u + v, u + w, v + w} também é um conjunto LI. 12) Complete com V(erdadeiro) ou F(also). ( ) [(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem. ( ) [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem. ( ) {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. ( ) {( −1,2,3), (0,1,2), ( −1,1,1)} gera o R3. ( ) O conjunto {(1,2,3),(0,0,0),(2,3,5)} é LI. ( ) Se {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V é LI então qualquer um dos seus subconjuntos também é LI. ( ) Se todo subconjunto próprio de {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V é LI então {v1 , v 2 ,..., v n } é LI. ( ) [(1,2)] possui somente duas bases {(1,2)} e {(2,4)}. ( ) {(1,0,4),(7,8,0)} é base de [(1,0,4),(7,8,0)]. ( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado. ( ) {(3,5),(0,0)} é base do R2. ( ){(2,3),(4,5),(7,9)} gera o R2 então {(2,3),(4,5)}, {(2,3),(7,9)} e {(4,5),(7,9)} são bases do R2. ( ) Se [v1 , v 2 , v 3 , v 4 ] = R 3 então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do R3. ( ) Um conjunto com três vetores do R3 é base do R3. ( ) Um conjunto com mais do que três vetores do R3 não será uma base do R3. ( ) {(1,2,3), ( 2,−1,3)} é base do R2. ( ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. ( ) {(2,3), ( x, y )} é base do R2 quando ( x, y ) ∉ [( 2,3)] . ( ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto {v1 , v 2 ,..., v n −1 } ⊆ V LI. Então {v1 , v 2 ,..., v n −1 , v} é base de V qualquer que seja o vetor v ∈V . ( ) Se dim V = n então qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. ( ) {(0,1,2),(1,0,1)} gera R2 . ( ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V. ( ) Se S = [(1,0,−1), ( 2,1,3), (1,1,4)] então dim S = 3. 13) Para que valores de k os vetores (1,2,0, k ), (0,−1, k ,1), (0,2,1,0) e (1,0,2,3k ) geram um espaço tridimensional ? 14) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R3. a) {( x, y , z ) ∈ R 3 | x = 2 y e z = y} b) {( x, y , z ) ∈ R 3 | x + 2 y − z = 0} c) {( x, y , z ) ∈ R 3 | y = 0 e x + z = 0} 52 x + 2 y − 2z − t = 0 15) Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema 2 x + 4 y + z + t = 0 . x + 2 y + 3 z + 2t = 0 16) Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço. 17) Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta. a) S1 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x − 2 y + z = 0} e S 2 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x + 3 y = 0} b) S1 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x = y} e S 2 = {( x, y , z ) ∈ R 3 | x + y + z = 0} 19) Sejam S1 = {( x, y, z ) ∈ R 3 | y = 0} e S 2 = [(−1,2,0), (3,1,1)]. Determine S1 ∩ S 2 e S1 + S 2 , indicando uma base e a dimensão em cada um dos casos. 20) Seja v = (1,2,3) e a base A = {(1,0,3), ( −1,7,5), ( 2,−1,6)} . Indique [v] A . 21) Considere A = {(1,1,1), (0,2,3), (0,2,−1)} uma base para o R3. Encontre as coordenadas de v = (3,5,−2) em relação a esta base. 22) Seja A = {( −1,1,1), (0,2,3), (0,0,−1)} e ( v ) A = ( −2,0,3) . Determine v. 1 23) Sendo A = {( −3,−1), ( 2,0)} uma base para o R2 e [v ] A = . Encontre: 5 a) As coordenadas de v na base canônica. b) As coordenadas de v na base B = {(2,1), (1,5)} . 1 2 vetor v = ∈ Mat 2×2 ( R ) em 0 3 1 2 0 1 0 0 0 3 B = , , , . 2 1 − 1 0 1 − 2 0 0 24) Encontre as coordenadas do relação à base 25) Dadas as bases do R3, A = {( −1,0,2), (0,1,0), (0,0,2)} e B = {(0,0,1), (0,−2,1), (1,0,−1)}. a) Determine [ I ] BA . − 1 b) Considere [v ] A = 2 . Calcule [v] B . 3 26) Considere as bases A = {( −3,0,3), ( −3,2,−1), (1,6,−1)} e B = {( −6,−6,0), ( −2,−6,4), ( −2,−3,7)}. a) Achar a matriz mudança de base de B para A. b) Dado v = ( −5,8,−5) , calcule [v] A . 1 − 2 27) Seja [ I ] BA = e B = {(1,−2), ( 2,0)}. Determine a base A. 0 − 3 53 1 2 28) Seja a matriz mudança de base de B para A. Determinar a base A, sabendo que 0 3 B = {(1,−1), (0,1)}. − 1 29) Sabendo que A = {u1 , u 2 } e B = {w1 , w2 } são bases do R2 tais que: [v ] A = , w1 = u1 − u 2 e 0 w2 = 2 ⋅ u1 − 3 ⋅ u 2 , determine [v] B . 30) Considere A = {(1,1,1), (0,2,3), (0,2,−1)} e B = {(1,1,0), (1,−1,0), (0,0,1)} . Determine as matrizes mudança de base. Respostas 1) Nenhum é espaço vetorial. 3) a)b)d) Não c)e)f) Sim 4) Não 5) (1,−2) = 1 ⋅ (1,2) + ( − 43 ) ⋅ (0,3) 6) Sim, k1 = −2 e k 2 = 5 7) p( x ) = ( − 12 ) ⋅ q( x ) + 43 ⋅ r ( x ) 9) 4 x + 2 y − z = 0 10) a)d)e) LI b)c) LD 12) F,V,V,F,F,V,F,F,V,V, F,V,F,F,V,F,V,V,F,V, F,F,F 13) k = 1 ou k = − 23 14) a) base : {(2,1,1)} e dim = 1 b) base : {( −2,1,0), (1,0,1)} e dim = 2 c) base : {(1,0,1} e dim = 1 15) base : {( −2,1,0,0), ( − 15 ,0,− 53 ,1)} dim = 2 18) a) S 1 ∩ S 2 = {( −3 y , y ,5 y ), y ∈ R} S1 + S 2 = R 3 b) S 1 ∩ S 2 = {( y , y ,−2 y ), y ∈ R} S1 + S 2 = R 3 Nenhum é soma direta. 19) S1 ∩ S 2 = {( 72 z,0, z ), z ∈ R} base : {(7,0,2)} e dim = 1 S1 + S 2 = R 3 base : {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e dim = 3 5 20) [v ] A = 0 − 2 21) ( v ) A = (3,−1,2) 22) v = ( 2,−2,−5) 7 4 23) a) [v ] = b) [v ] B = − 1 − 1 1 1 24) [v ] B = −1 1 − 3 1 2 1 6 2 A 1 25) a) [ I ] B = 0 − 2 0 b) [v ] B = − 1 1 −1 0 0 8 17 0 − 23 9 9 26) a) [ I ] BA = 32 − 12 − 54 b) [v] A = 52 − 3 − 5 − 1 1 6 12 2 2 27) A = {(1,−2), ( −8,4)} 28) A = {(1,−1), ( − 23 ,1)} − 3 29) [v ] B = 1 1 1 1 0 1 1 1 30) [ I ] BA = 0 − 1 − 1 e [ I ] BA = − 14 − 12 4 1 1 − 1 − 1 3 − 1 2 4 4 54
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