Cap´ıtulo 1 Cálculo Vetorial

Capı́tulo 1
Cálculo Vetorial
1.1
Campos Vetoriais
Uma correspondência que a cada ponto Q = (x, y, z) de uma certa região R associa um único
vetor F(x, y, z) chama-se campo vetorial em R. É interessante pensar que o vetor F(x, y, z)
está aplicado no ponto Q. Todo campo vetorial se escreve de maneira única na forma
F(x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P (x, y, z)k
em que M, N, P são funções escalares (M, N, P : R → R). Um campo vetorial F(x, y, z) é dito
contı́nuo (resp., diferenciáveis, etc) quando as funções M, N, P são contı́nuas (resp., diferenciáveis, etc). Exemplos importantes de campos vetoriais na Fı́sica são o campo gravitacional,
o campo elétrico e o campo magnético.
Exemplo 1. Seja f : R → R uma função que tem derivadas parciais de primeira ordem em
todo ponto de R. Definimos em R o campo gradiente de f
∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k.
Exemplo 2. F(x, y) = − 12 (xi + yj), G(x, y) = −yi + xj, H(x, y) = 21 (xi − yj)
As figuras abaixo mostram um esboço dos campos F, G e H
y
y
B
@ B
R JJ
@
^NB
PP
q
P
+
)
1
3
P
i
P
k
Q
J
]J Q
Q
MB
B
B
@
I
@ 6
?
@
R
@
campo F
-
campo G
1
Exemplo 3. (Campo do quadrado inverso) É um campo vetorial da forma
F(x, y, z) =
r
c
c
=
r,
2
krk krk
krk3
em que r = xi + yj + zk. É claro que, em termos das coordenadas (x, y, z), o campo F se
escreve na forma
F(x, y, z) =
(x2
cy
cz
cx
i+ 2
j+ 2
k.
2
2
3/2
2
2
3/2
+y +z )
(x + y + z )
(x + y 2 + z 2 )3/2
Os campos gravitacional e elétrico são do tipo quadrado inverso.
Para simplificar a introdução de alguns conceitos, vamos definir o operador ∇ por
∇=
∂
∂
∂
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
O operador ∇ atuando sobre uma função escalar f produz o gradiente de f .
Observação 1. Os campos vetoriais podem ser interpretados como sistemas de equações diferenciais: cada campo vetorial define um sistema de equações diferenciais e reciprocamente.
Dado um campo vetorial F(x, y) no plano, podemos pensar no problema de encontrar uma
curva cujo vetor tangente em cada ponto seja F(x, y). Consideremos, por exemplo o sistema
de equações diferenciais
′
x = −y
(1.1)
y′ = x
Toda solução desse sistema é da forma
−sen t
cos t
x(t)
+b
=a
cos t
sen t
y(t)
(1.2)
e seu gráfico é uma circunferência centrada na origem. Pensando no campo vetorial como um
campo de velocidades de um fluido, isso significa que cada partı́cula do fluido descreve uma
circunferência em torno da origem. Em cada ponto P = (x, y)da trajetória da partı́cula, o
vetor velocidade é F(x, y). Aliás, esse é precisamente o significado da equação diferencial.
Um campo vetorial F é dito conservativo quando existe uma função escalar f tal que
F = ∇f . Neste caso, f é dita função potencial de F.
x
y
Exemplo 4. O campo F(x, y) = 2
i+ 2
j é conservativo. Uma função potencial é
2
x +y
x + y2
p
f (x, y) = ln x2 + y 2 .
De fato, temos fx =
1 2x
x
1
y
2y
= 2
e fy =
= 2
.
2
2
2
2
2
2 x +y
x +y
2 x +y
x + y2
Exemplo 5. Todo campo quadrado inverso é conservativo.
2
De fato, se
F(x, y, z) =
(x2
cy
cz
cx
i+ 2
j+ 2
k,
2
2
3/2
2
2
3/2
+y +z )
(x + y + z )
(x + y 2 + z 2 )3/2
−c
então uma função potencial para F é f (x, y, z) = p
.
x2 + y 2 + z 2
Suponhamos que as funções M, N, P tenham derivadas parciais de primeira ordem. Definimos o rotacional de F = M i + N j + P k por
∂P
∂M
∂N
∂N ∂P ∂M −
−
−
rot(F) =
i+
j+
k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
A expressão do rotacional fica mais facilmente memorizável se identificarmos a expressão do
segundo membro como um conveniente produto vetorial e escrevermos


i
j
k
 ∂
∂
∂ 

rot(F) = det 
 ∂x ∂y ∂z 
M N P
∂
∂P ∂M
∂
P,
M , etc, devem ser entendidos como
,
, etc. Com esta
∂y
∂z
∂y ∂z
identificação, fica natural denotar o rotacional por ∇ × F.
em que os produtos
Um campo vetorial cujo rotacional é identicamente nulo é dito irrotacional.
3
Exemplo 6. Calcular o rotacional do campo F = sen (xy 2 z)i + (2x + z)j + exz k.
Temos


i
j
k

∂
∂
∂ 
=
∇ × F = det 

∂x
∂y
∂z 
3
sen (xy 2 z) 2x + z exz
h ∂ sen (xy 2 z) ∂ exz3 i
h ∂ (2x + z) ∂ sen (xy 2 z) i
h ∂ exz3
∂ (2x + z) i
−
i+
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
3
= −i + (xy 2 cos(xy 2 z) − z 3 exz )j + (2 − 2xyz cos(xy 2 z))k.
Veremos posteriormente que ∇ × F descreve propriedades rotacionais do campo F. Por
enquanto notemos que o campo F = −yi + xj roda no sentido trigonométrico e seu rotacional
vale


i
j
k
 ∂
∂
∂ 
 = ∂0 − ∂x i + ∂y − ∂0 j + ∂x − ∂ − y k = 2k.
∇ × F = det 
 ∂x ∂y ∂z 
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x
∂y
−y x
0
Na verdade, a idéia de rodar não significa que os vetores do campo vão mudando de direção e
rodando. A palavra rodar é usada no seguinte sentido: se colocarmos uma placa flutuando em
3
um lı́quido que escoa com um campo de velocidades F (com rotacional não nulo) notaremos
que ela sofrerá uma rotação. O campo vetorial
V=
x
−y
i+ 2
j
2
+y
x + y2
x2
tem uma representação semelhante ao campo anterior, mas ele é irrotacional. De fato,


i
j
k

∂
∂
∂ 


∇ × V = det  ∂x
=
∂y
∂z
 −y

x
0
x2 + y 2 x2 + y 2
∂ x ∂0
∂ x ∂x ∂(−y)
∂0
i+
−
−
−
j+
k = 0.
=
∂y ∂z x2 + y 2
∂z x2 + y 2
∂x
∂x
∂y
Exemplo 7. Claramente, o campo F = xi + yj + zk não roda e temos


i
j
k
 ∂
∂
∂ 
 = ∂z − ∂y i + ∂x − ∂z j + ∂y − ∂x k = 0.
∇ × F = det 
 ∂x ∂y ∂z 
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
x
y
z
O divergente do campo vetorial F = M i + N j + P k, denotado por div (F), ou ∇ · F, é
definido por
∂N
∂P
∂M
+
+
.
∇·F=
∂x
∂y
∂z
Exemplo 8. Calcular o divergente do campo F = −yi + xj.
Temos
∂(−y) ∂x
+
= 0.
∂x
∂y
Veremos que, quando F é um campo de velocidades de um fluido, o divergente informa sobre
o fluxo de massa do fluido. Quando F é o fluxo de calor, o divergente indica que há uma fonte
de calor, quando F é o campo elétrico, o divergente indica a presença de cargas elétricas numa
certa região.
∇·F=
Propriedades:
1) ∇ × (F + G) = ∇ × F + ∇ × G 2) ∇ · (F + G) = ∇ · F + ∇ · G
3) ∇ · (f F) = f (∇ × (F) + (∇f ) × F.
Exercı́cio 1. Mostre que, se F é um campo quadrado inverso, então ∇ × F = 0 e ∇ · F = 0.
Exercı́cio 2. Mostre que, se F = M i + N j + P k é um campo conservativo, e se M, N, P tem
derivadas parciais contı́nuas, então ∇ × F = 0.
Exercı́cio 3. Mostre que rot( grad f )=0 (isto é, ∇ × (∇f ) =0) e div( rot F) =0 (isto é,
∇ · (∇ × F) = 0.
4
1.2
1.2.1
Integral de Linha
Revisão sobre Curvas.
Uma curva γ é um conjunto de pontos {P (t) = (f (t), g(t), h(t)) : t ∈ I}, em que f , g , h são
funções contı́nuas em um intervalo I ⊂ R; as equações x = f (t), y = g(t), z = h(t), t ∈ I,
são chamadas equações paramétricas da curva. Costuma-se indicar uma curva por meio
das suas equações paramétricas γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t ∈ I; ou pela função
vetorial (vetor posição) R(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k , t ∈ I. Uma curva γ pode ter mais
de uma parametrização : por exemplo, a circunferência x2 + y 2 = 1 pode ser parametrizada
como x = cos t , y = sen t , t ∈ R (também poderı́amos ter tomado I = [0, 2π]), ou como
x = cos 2t , y = sen 2t , t ∈ R (ou t ∈ [0, π]). Dizemos que duas parametrizações P1 (t) , t ∈
[a, b] e P2 (s) , s ∈ [c, d] são equivalentes quando existe uma função estritamente crescente e
sobrejetora s : [a, b] → [c, d], com s′ (t) > 0 para todo t, tal que P1 (t) = P2 (s(t)) , t ∈ [a, b]; no
exemplo acima s(t) = t/2. Para o estudo das integrais de linha, estaremos mais interessados nas
parametrizações de uma curva do que no conjunto de pontos em si; assim, quando estiver escrito,
por exemplo, a circunferência x2 + y 2 = a2 , estaremos pensando numa de suas parametrizações,
tais como, x = a cos t , y = a sen t , 0 ≤ t ≤ 2π.
Toda curva tem um sentido natural de percurso, que é aquele dado por t crescente (de a para
b, quando I = [a, b]). Quando houver necessidade de explicitar que o sentido de percurso é do
ponto A para o ponto B, usaremos o sı́mbolo γAB .
Dizemos que γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t ∈ [a, b] é uma curva fechada se P (a) = P (b),
ou seja, f (a) = f (b), g(a) = g(b) , h(a) = h(b)). Se, além disso, γ não tiver auto-intersecções,
diremos que γ é uma curva fechada simples.
curva fechada simples
curva fechada
→
Uma curva γ é dita suave (ou lisa) quando a função vetorial R (t) tem derivada contı́nua em
(a, b) e kR′ (t)k > 0 (ou seja, as funções f, g, h têm derivadas contı́nuas em (a, b) e [f ′ (t)]2 +
[g ′ (t)]2 + [h′ (t)]2 > 0) para todo t ∈ (a, b). O vetor R′ (t) é tangente à curva e chama-se vetor
velocidade de γ. Assim, uma curva é suave quando tem, em cada ponto, um vetor tangente
que nunca se anula. O comprimento de Zuma curva suave
Z bγ,pdescrita pela função vetorial
b
kR′ (t)k dt =
R(t) = f (t)i+g(t)j+h(t)k , t ∈ [a, b] é L =
[f ′ (t)]2 + [g ′ (t)]2 + [h′ (t)]2 dt.
a
a
À primeira vista, esta definição pode dar a impressão que o comprimento de uma curva se
altera quando mudamos a parametrização . Mostremos que isto não ocorre. Suponhamos γ
5
dada por R(t) , t ∈ [a, b] e seja S(u) uma parametrização equivalente (isto é, existe uma função
sobrejetora u : [a, b] → [c, d] com u′ (t) > 0 para todo t ∈ [a, b] tal que S[u(t)] = R(t). Pela
regra da cadeia, temos S′ [u(t)] u′ (t) = R′ (t), para todo t ∈ [a, b]. Portanto,
Z
c
d
′
kS (u)k du =
Z
a
b
′
′
kS [u(t)]k u (t) dt =
Z
a
b
′
′
kS [u(t)]u (t)k dt =
Z
a
b
kR′ (t)k dt.
Uma curva contı́nua γ composta de um número finito de curvas suaves é chamada um caminho,
isto é, γ é um caminho se γ1 ∪ · · · ∪ γn , em que γ1 , . . . , γn são curvas suaves. O comprimento
de um caminho γ = γ1 ∪ · · · ∪ γn é a soma dos comprimentos das curvas suaves γ1 , . . . , γn .
1.2.2
Definição de Integral de Linha no Plano.
Vamos definir dois tipos de integrais ao longo de curvas, tendo como modelos a massa de um
fio e noção de trabalho realizado por uma força.
Suponhamos que a curva plana γ represente um fio cuja densidade linear (massa por unidade
de comprimento) no ponto P = (x, y) de γ é δ(x, y); isso significa que a massa do segmento
de comprimento ∆s a partir do ponto P = (x, y) é aproximadamente ∆m = δ(x, y)∆s. Para
calcular a massa do fio dividimos a curva γ em um número finito
Pnde arcos por meio dos pontos
P0 , P1 , . . . , Pn , em que Pk = (xk , yk ), 1 ≤ k ≤ n. Então
k=1 δk (xk , yk )∆k s é um valor
aproximado da massa do fio, e essa aproximação melhora à medida que tomamos divisões
com
Pn arcos de comprimentos cada vez menores. Portanto a massa do fio é o limite das somas
k=1 δk (xk , yk )∆k s, ou seja,
M = lim
k∆k→0
que denotaremos por
Z
n
X
δk (xk , yk ) ∆k s ,
k=1
δ(x, y) ds.
γ
Lembremos que o trabalho realizado quando uma partı́cula é deslocada ao longo da reta
−→
ligando o ponto A ao ponto B sob a ação de uma força constante F é W = F· AB. Consideremos
agora o caso em que uma partı́cula que se desloca ao longo de uma curva plana γ sob a ação
de uma força F(x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j. Vamos calcular o trabalho realizado. Sejam
x = f (t), y = g(t), t ∈ [a, b] equações paramétricas de γ, e seja R(t) = f (t)i + g(t)j o vetor
−→
posição: para cada ponto P = P (t) sobre a curva, temos R(t) = OP (t). Vamos dividir a curva
γ em um número finito de arcos por meio dos pontos P0 , P1 , . . . , Pn , Pk = (xk , yk ). O trabalho
∆k W realizado ao longo do arco Pk−1 Pk é ∆k W ≈ ( F (Pk ) · Tk )∆k s, em que Tk denota o vetor
6
unitário tangente a γ no ponto Pk−1 e
Z
∆k s =
tk
tk−1
p
[x′ (u)]2 + [y ′ (u)]2 du
é o comprimento do arco Pk−1 Pk . Portanto, o trabalho realizado ao longo de γ é
Z b
n
X
p
W = lim
F(x(t), y(t)) · T(t) [x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 dt
( F (Pk ) · Tk )∆k s =
k∆k→0
(1.3)
a
k=1
que denotamos por W =
Z
γ
(F · T) ds.
Vamos dar outra expressão do trabalho. Notemos que também podemos escrever o trabalho
∆k W realizado ao longo do arco Pk−1 Pk como
∆k W ≈ F (Pk ) · ∆j R = M (xk , yk )∆k x + N (xk , yk )∆k y
em que ∆k x = xk − xk−1 e ∆k y = yk − yk−1 . Pelo Teorema do Valor Médio, existem sk , wk ∈
[tk−1 , tk ] tais que ∆k x = x′ (sk )∆k t e ∆k y = y ′ (wk )∆k t Portanto,
W = lim
k∆k→0
que denotamos por W =
Z
n
X
M (xk , yk )x′ (sk )∆k t + N (xk , yk ) y ′ (wk )∆k t
k=1
M (x, y) dx + N (x, y) dy.
γ
Passemos à definição de integral de linha. Seja γ uma curva plana suave ligando os pontos
A e B. Sejam M (x, y), N (x, y) funções contı́nuas sobre γ. Vamos dividir a curva γ em n
arcos por meio dos pontos P0 = A , P1 , · · · , PN = B (onde Pj = (xj , yj ), j = 0, 1, · · · , N ).
Definamos, como de costume, ∆j x = xj − xj−1 , ∆j y = yj − yj−1 , j = 1, · · · , N e k∆k =
max{∆1 x, · · · , ∆N x, ∆1 y, · · · , ∆N y}.
y
6
Pk
yk
yk−1
• P1
Pk−1
•
•
Pn = B
•
•
P0 = A
-
xk−1 xk
7
x
Em cada arco Pj−1 Pj escolhemos um ponto P ∗ = (zj , wj ) e formamos a soma
N
X
M (zj , wj )∆j x + N (zj , wj )∆j y
(1.4)
j=1
Pode-se mostrar que, quando
Z k∆k → 0 tais somas tendem a um limite que chamamos integral
de linha e denotamos por
M dx + N dy. Assim,
γ
Z
M dx + N dy = lim
k∆k→0
γ
1.2.3
N
X
M (zj , wj )∆j x + N (zj , wj )∆j y.
(1.5)
j=1
Cálculo da integral de linha
Sejam x = f (t), y = g(t), a ≤ t ≤ b equações paramétricas de γ, e seja a = t0 < t1 <
· · · < tN = b uma partição do intervalo [a, b] tal que Pj = (f (tj ), g(tj ), j = 0, 1, · · · , N ;
então ∆j x = f (tj ) − f (tj−1 ). Pelo Teorema do Valor Médio, existe rj entre tj−1 e tj tal que
f (tj )−f (tj−1 ) = f ′ (rj )(tj −tj−1 ). Chamando ∆j t = tj −tj−1 , podemos escrever ∆j x = f ′ (rj )∆j t.
Escolhendo Pj = (f (rj ), g(rj )), a a soma (1.4) fica
N
X
M (f (rj ), g(rj ))f ′ (rj )∆j t.
j=1
que é uma soma de Riemann da função contı́nua H(t) = M (f (t), g(t))f ′ (t) e portanto essa
Rb
soma converge para a integral a H(t) dt. Logo,
Z
Z b
M (f (t), g(t))f ′ (t) dt.
M (x, y) dx =
a
γ
Analogamente, temos
Z
N (x, y) dy =
γ
Z
b
Z
b
N (f (t), g(t))g ′ (t) dt.
a
Logo,
Z
M (x, y) dx + N (x, y) dy =
a
γ
M (f (t), g(t))f ′ (t) + N (f (t), g(t))g ′ (t) dt.
Como foi feito acima para o comprimento de arco, mostra-se facilmente que o valor da integral de
linha não se altera quando substituimos uma dada parametrização por uma outra equivalente.
A definição de integral de linha tem uma extensão natural para o caso em que γ é um
caminho: se γ = γ1 ∪ · · · ∪ γn é uma curva contı́nua, onde cada γi , 1 ≤ i ≤ n é uma curva
suave, e M e N são funções contı́nuas sobre γ, definimos
Z
Z
Z
(M dx + N dy) =
(M dx + N dy) + · · · +
(M dx + N dy)
γ
γ1
γn
8
Exemplo 9. Calcular
Z
xy dx + x3 y dy, em que γ é a metade superior da elı́pse
γ
Podemos parametrizar a elı́pse por x = a cos t,
y = bsen t, 0 ≤ t ≤ π. Então
Z π
− a2 b sen 2 t cos t + a3 b2 cos4 t b sen t dt
I=
0
Z π
Z π
2
3 2
2
cos4 t sen t dt
= −a b
sen t cos t dt + a b
h a2 b0
iπ 0 2
a3 b 2
3
5
= −
sen t −
cos t = a3 b2 .
3
5
5
0
Z
Exemplo 10. Calcular
γ
x2 y 2
+
= 1.
a2 b 2
y 6
γ
-
x
y
2xy dx + (x2 − y 2 ) dy em que:
(a) γ é o segmento de reta ligando P1 = (3, 0) a P2 = (0, 2);
(b) γ é o caminho formado pelos segmentos de reta:
P2
γ2 6
γ1 ligando P1 a O = (0, 0) e
γ
k
γ1
P1
x
γ2 ligando O a P2 .
O segmento ligando o ponto (3,0) a (0,2) pode ser parametrizado por: x = 3 − 3t, y =
2t, 0 ≤ t ≤ 1, donde x′ (t) = −3, y ′ (t) = 2 e, portanto
Z
Z 1
2
2
(46t2 − 72t + 18) dt
2xy dx + (x − y ) dy =
0
γ
= −8/3
O segmento γ1 de (3,0) a (0,0) pode ser parametrizado por x = 3 − t, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3,
donde x′ = −1, y ′ = 0, enquanto que o segmento γ2 ligando (0,0) a (0,2), pode ser dado por
x = 0, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1, donde x′ = 0, y ′ = 2, de modo que temos
Z
I1 =
2xy dx + (x2 − y 2 ) dy = 0
γ1
e
I2 =
Z
2
γ2
Logo
Z
2
2xy dx + (x − y ) dy =
γ
Z
0
1
(−4t2 ).2 dt = −
2xy dx + (x2 − y 2 ) dy = I1 + I2 = −
Exemplo 11. Calcular o trabalho realizado pela força F =
uma partı́cula de P0 = (1, 0) a P1 = (3, 2):
9
8
.
3
8
.
3
1
xi
+
yj
para deslocar
(x2 + y 2 )3/2
y
(a) ao longo do segmento de reta P0 P1 ;
(b) ao longo do caminho formado pelos segmentos de reta de P0 a P2 = (3, 0) e do
segmento de reta ligando P2 a P1 .
• P1
•
•
P0
P2
x
Uma parametrização do segmento de reta P0 P1 é x = t , y = t − 1 , 1 ≤ t ≤ 3. Portanto
Z
Z 3
x dx + y dy
t + (t − 1)
W =
=
dt =
2
2
3/2
2
2 3/2
γ (x + y )
1 [t + (t − 1) ]
1
=
2
3
Z
3
−1
2t + 2(t − 1)
1
p
√
.
dt
=
=
1
−
[t2 + (t − 1)2 ]3/2
13
t2 + (t − 1)2 1
1
O segmento de reta γ1 = P0 P2 pode ser parametrizado como x = t, y = 0, 1 ≤ t ≤ 3.
Então x′ (t) = 1 e y ′ (t) = 0, e temos
Z
Z 3
Z 3
x dx + y dy
−1 3
2
t
dt
1
I1 =
=
dt =
=
=1− = .
2
2
3/2
3
2
t 1
3
3
γ1 (x + y )
1 t
1 t
O segmento de reta γ2 = P2 P1 pode ser parametrizado como x = 3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2. Então
x′ (t) = 0 e y ′ (t) = 1, e temos
Z 2
Z
Z
1 2
−1 2 1
1
t dt
x dx + y dy
2t dt
√
=
dt =
dt =
I2 =
= −√ .
2
2
3/2
2
3/2
2
3/2
2
2 0 (9 + t )
9+t 0 3
13
0 (9 + t )
γ2 (x + y )
Logo, W2 = I1 + I2 =
1.2.4
1)
Z
γAB
2
3
+ 31 −
√1
13
=1−
√1 .
13
Propriedades da integral de linha
M dx + N dy = −
Z
M dx + N dy (em que γAB indica a curva γ percorrida
γBA
no sentido de A para B).
Z
Z
Z
2)
M dx + N dy =
M dx + N dy +
γAC
3)
Z
γAB
(M dx + N dy) +
γ
1.2.5
Z
γ
(P dx + Q dy) =
M dx + N dy.
γBC
Z
γ
(M + P ) dx + (N + Q) dy
Integral de Linha em Relação ao Comprimento de Arco.
Repetindo o procedimento acima para as somas
n
X
f (Pi∗ )∆i s, (em que ∆i s é o comprimento do
i=1
arco de γ de Pi−1 a Pi ), obteremos a integral de linha de f em relação ao comprimento
10
de arco, a qual denotaremos por
Z
f (x, y) ds. Como ∆i s =
γ
Z
ti
ti−1
p
[x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 dt, temos
n
n
X
X
p
f (Pi∗ )∆i s =
f (Pi∗ ) [x′ (ri )]2 + [y ′ (ri )]2 ∆i t
f (x, y) ds = lim
k∆k→0
γ
i=1
Z b i=1
p
f [x(t), y(t)] [x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 dt
=
Z
a
Como vimos acima, o cálculo da massa de um fio de arame conduz a este tipo de integral. A
fórmula que define o comprimento de arco de uma curva pode ser vista como uma integral deste
tipo:
Z bp
Z
′
2
′
2
s=
[x (t)] + [y (t)] dt = ds.
a
Exemplo 12. Calcular
Z
γ
(2x + 5y) ds, em que γ é a semicircunferência y =
√
γ
4 − x2 ligando
(2, 0) a (−2, 0).
As
p equações x = 2 cos t, y = 2sen t, 0 ≤ t ≤ π parametrizam a semicircunferência. Temos
(x′ )2 + (y ′ )2 = 2. Portanto,
Z
Z π
π
(4 cos t + 10sen t)2 dt = 8sen t − 20 cos t = 40
I = (2x + 5y) ds =
Exemplo 13. Calcular
0
0
γ
Z
(4x3 +
√
y) ds, em que γ é o arco de parábola y = x2 ligando (0, 0)
γ
a (2, 4).
p
√
Podemos parametrizar γ por x = t, y = t2 , 0 ≤ t ≤ 2. Então (x′ )2 + (y ′ )2 = 1 + 4t2 , e
temos
Z 2
Z
√
√
3
(4t3 t + t) 1 + 4t2 dt
I = (4x + y) ds =
0
γZ
2
2
12
1
= 18
(1 + 4t2 )3/2 8t dt =
(1 + 4t2 )5/2 =
175/2 − 1 .
85
20
0
0
Além das propriedades citadas acima para a outra integral de linha, vale a seguinte estimativa
para
Z a integral em relação ao comprimento de arco: Se |f (x, y)| ≤ K, ∀(x, y) ∈ γ, então
|
γ
f (x, y) ds| ≤ K L, em que L é o comprimento de γ.
1.2.6
Notação vetorial das integrais de linha.
Consideremos o campo vetorial F(x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j, em que M (x, y), N (x, y) são
funções contı́nuas sobre a curva suave γ : x = f (t), y = g(t), a ≤ t ≤ b,; seja R(t) =
f (t)i + g(t)j a correspondente função vetorial. Definindo ∆Rk = R(tk ) − R(tk−1 ), podemos
11
reescrever em (1.5) a expressão M (zk , wk )∆k x+N (zk , wk )∆j y como F(zk , wk ) · ∆Rk . Podemos
então denotar a integral de linha em (1.5) por
Z
F · dR
γ
também podemos escrever a integral
Z
M dx + N dy como integral em relação ao comprimento
γ
de arco. Lembremos que
T(t) =
R′ (t)
kR′ (t)k
p
é um vetor unitário tangente a γ e que s′ (t) = kR′ (t)k = [x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 , podemos escrever
Z b
Z
Z b
′
F(x(t), y(t)) · R′ (t) dt
F(P (t)) · T(t) kR (t)k dt =
F · T ds =
a
a
γ
=
Z
γ
M (x(t), y(t)) x′ (t) + N (x(t), y(t)) y ′ (t) dt =
Notemos que o integrando de
Z
γ
Z
M dx + N dy
γ
F · T ds é o comprimento da componente do vetor F na direção
do vetor T tangente à curva γ. Assim, quando γ é um caminho fechado, essa integralZde linha é
uma medida de o quanto o campo F circula ao redor de γ. Por essa razão, a integral
γ
é chamada circulação de F ao longo de γ.
F · T ds
Exemplo 14. As integrais de linha são importantes em Mecânica dos Fluidos. De acordo com
a fórmula de Kutta-Joukowsky, a força L de levantamento exercida sobre um aerofólio é
L = δvC
(1.6)
em que δ é a densidade de massa do ar, v é a velocidade do ar e C é a circulação de w sobre
um caminho ao redor do aerofólio, isto é
I
C = w · T ds ,
γ
em que w é o vetor velocidade (veja figura abaixo).
1.2.7
Trabalho e Energia Cinética
R
F · dR é o trabalho realizado por F para
dv
podemos
deslocar uma partı́cula ao longo de γ. Usando a 2a¯ lei de Newton F = ma = m
dt
escrever
Z
Z b
W = F · dR =
F(f (t), g(t)) · R′ (t) dt =
a
Zγ b
Z b h
i
dv(t)
1
1
d 1
=
m
· v(t) dt
mv(t) · v(t) dt = mv(b) · v(b) − mv(a) · v(a)
dt
2
2
a
a dt 2
1
1
2
2
= 2 m |v(b)| − 2 m |v(a)|
Quando F é um campo de forças, a integral de linha
12
γ
Logo, o trabalho realizado por F é igual à variação da energia cinética da partı́cula.
1.2.8
Integrais de Linha em Caminhos Fechados.
Para definir integral de linha em um caminho fechado, precisamos, em primeiro lugar, escolher
um sentido de percurso para a curva. No caso de uma circunferência, uma elı́pse ou um polı́gono
convexo, é natural usar a expressão sentido horário (ou sentido anti-horário) de percurso.
O sentido anti-horário será chamado sentido positivo de percurso. Para um caminho fechado
simples mais geral definiremos o sentido positivo de percurso do seguinte modo: diremos que
a curva γ é percorrida no sentido positivo quando os
I pontos interiores a γ ficam à esquerda
de quem caminha sobre a curva. Usaremos o sı́mbolo
M dx + N dy para denotar a integral
γ
de linha quando γ é uma curva fechada percorrida
no sentido positivo. Se γ for percorrida no
I
sentido oposto, o valor da integral será − M dx + N dy. A figura abaixo mostra alguns tipos
γ
de caminhos fechados orientados positivamente
?
?
6
Exemplo 15. Calcular as integrais I1 =
a circunferência x2 + y 2 = a2 .
? 6?6
I
6
x dx + y dy
e I2 =
2
2
γ x +y
I
−y dx + x dy
, em que γ é
x2 + y 2
γ
Parametrizando a circunferência como x = a cos t , y = a sen t , 0 ≤ t ≤ 2π, podemos escrever
Z 2π
I
a cos t (−a sen t) + asen t a cos t dt
x dx + y dy
=
= 0,
I1 =
2
2
x +y
a2
0
γ
I
Z 2π
Z 2π
−y dx + x dy
−a sen t (−a sen t) + a cos t a cos t dt
I2 =
=
=
dt = 2π.
x2 + y 2
a2
γ
0
0
1.2.9
O TEOREMA DE GREEN
O Teorema de Green é um dos mais importantes resultados do Cálculo Vetorial, e estabelece
uma relação entre integrais de linha e integrais duplas.
Teorema 1. Teorema de Green. Suponhamos que as funções M e N tenham derivadas
parciais de 1a. ordem contı́nuas em todos os pontos de um caminho fechado simples γ e na
13
região R formada pelos pontos interiores a γ. Então
I
Z Z h
∂M i
∂N
−
dxdy
M dx + N dy =
∂y
γ
R ∂x
Demonstração. 1o. caso: A região R pode ser
descrita sob as duas formas:
(1.7)
6y
D
d
•
R = {(x, y); f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x), a ≤ x ≤ b}
R = {(x, y); g1 (y) ≤ x ≤ g2 (y), c ≤ y ≤ d}.
A
Neste caso, o caminho γ é a união dos arcos γ1 =
ACB e γ2 = BDA, que podem ser parametrizados
por
R
•
• B
c
•
C
a
γ1 :
x=t
, a≤t≤b
y = ϕ1 (t)
γ2 :
-
b
x
x=a+b−t
, a≤t≤b
y = ϕ1 (x)
Portanto,
I
M dx =
γ
Z
M dx +
γ1
Z
M dx =
γ2
Por outro lado, a integral dupla
Z Z
R
∂M
dx dy =
∂y
Z
b
dx
Z
ϕ2 (x)
ϕ1 (x)
a
b
a
R
Z Z
Z
M (x, ϕ1 (x))dx −
Z
b
M (x, ϕ2 (x))dx
a
∂M
dxdy por meio de integrais iteradas
∂y
∂M
dy =
∂y
Z b
Z b
Z bh
i
M (x, ϕ2 (x)) dx
M (x, ϕ1 (x)) dx +
M (x, ϕ2 (x)) − M (x, ϕ1 (x)) dx = −
=
a
a
a
Comparando essas duas igualdades, temos
I
Z Z
∂M
M dx = −
dx dy
γ
R ∂y
Analogamente, temos
Z Z
R
∂N
dx dy =
∂x
=
I
Z
c
d
dy
Z
g2 (y)
g1 (y)
∂N
dx =
∂x
N dy
γ
14
Z
c
dh
i
N (y, g2 (y)) − N (y, g1 (y)) dy =
(1.8)
Combinando as duas igualdades acima, temos
I
M dx + N dy =
γ
Z Z h
∂M i
∂N
dx dy.
−
∂y
R ∂x
2o. caso: R não é do tipo acima, mas, se introduzirmos um número finito de segmentos
L1 , . . . , Ln , ela fica decomposta na forma R = R1 ∪ · · · ∪ Rn , em que cada Rj é do tipo
considerado no 1o. caso, como na figura abaixo.
Chamemos γj a fronteira de Rj , a qual é o caminho constituı́do por parte de γ e alguns dos
arcos Lj . Aplicando a parte anterior a cada Rj ,
temos
I
Z Z h
∂N
∂M i
M dx + N dy =
−
dx dy .
∂x
∂y
γj
Rj
:
P • 9
• Q
Somando todas essas integrais, obtemos
Z Z h
n Z Z
n I
h ∂N
X
X
∂M i
∂M i
∂N
−
−
dx dy =
dx dy =
∂y
∂x
∂y
R ∂x
R
j
j=1
j=1
=
I
M dx + N dy
γj
M dx + N dy .
γ
Em algumas situações, o Teorema de Green transforma o cálculo de uma integral de linha
complicada no de uma integral dupla mais simples.
I p
4
Exemplo 16. Calcular a integral
( 1 + tanh4 x − y 2 ) dx + [3x + cos(ey + 3)] dy, em que
γ
γ é o retângulo com vértices nos pontos (−2, 0), (3, 0), (3, 1) e (−2, 1).
Pelo Teorema de Green, temos
I p
Z Z
4
2
y4
( 1 + tanh x − y )dx + [3x + cos(e + 3)] dy =
(2x + 2y) dxdy
γ
D
Z 3h
Z 1
Z 3
y 2 i1
dx
xy +
(x + y) dy = 2
dx
=2
2 0
−2
0
Z−23
1
=2
(x + ) dx = 10 .
2
−2
1.2.10
Área da região envolvida por uma curva.
Tomando em (1.7) M (x, y) = −y, N (x, y) = x, obtemos
I
Z Z
− y dx + x dy = 2
dxdy = 2A(D)
γ
D
15
em que A(D) é a área da região D envolvida por γ. Temos então uma fórmula para calcular a
área de uma região usando integral de linha:
I
1
− y dx + x dy.
A(D) =
2 γ
Exemplo 17. Calcular a área da região envolvida pela elı́pse
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
A elı́pse pode ser parametrizada por γ : x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤ 2π e, portanto, a
área é
Z
Z 2π
A = (−y dx + x dy) =
[(−b sen t)(−a sen t) + (a cos t)(b cos t)] dt
γ
0
Z 2π
ab(cos2 t + sen2 t) dt = 2πab.
=
0
1.2.11
Formas Vetoriais do Teorema de Green
Vimos que a integral de linha
Z
Z
(M dx + N dy) pode ser escrita na forma vetorial
F · Tds,
γ
onde F = M i + N j é o campo e T = [(f ′ (t))2 + (g ′ (t))2 ]−1/2 f ′ (t)i + g ′ (t)j é o vetor unitário
∂N
∂N
tangente a γ. Como
=
= 0, temos
∂z
∂z
i
j
k
h ∂N
h ∂N
∂
∂
∂ ∂M
∂M i
∂M i
∂N
∇×F=
i
+
j
+
−
−
k
=
k.
=
−
∂z
∂z
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x ∂y ∂z M N
0 γ
e portanto (∇ × F) · k =
∂M
∂N
−
.
∂x
∂y
Podemos então escrever (1.7) na forma
I
Z Z
F · T ds =
rot(F) · k dx dy
γ
(1.9)
D
Para uma outra forma vetorial do teorema de Green, consideremos o campo vetorial G =
N i − M j. O vetor n = x′ i − y ′ j é um vetor normal à curva γ. Podemos então escrever
Z
Z
M dx + N dy = G · n ds.
γ
Por outro lado, temos div(G) =
na forma
γ
∂N ∂N
−
. Logo, o teorema de Green também pode ser escrito
∂y
∂y
Z
Z Z
G · n ds =
div (G) dA
(1.10)
γ
R
16
1.2.12
Interpretação do Rotacional
A fórmula (1.9) permite dar uma interpretação do rotacional. A integral
I
γ
F · Tds chama-se
circulação do campo F ao redor de γ. Notemos que F · T é o comprimento da componente
de F na direção tangencial à curva γ. Assim, quando F éIum campo de velocidades, F · T é
comprimento da componente da velocidade ao longo de γ e
F · Tds é uma medida do quanto
γ
o campo F circula ao redor de γ.
Fixemos um ponto P0 = (x0 , y0 ), e tomemos D = Br (P0 ), o cı́rculo de centro P0 e raio r.
Pelo Teorema da Média para integrais duplas, existe P ∗ ∈ D tal que
Z Z
∗
A(D) rotF(P ) · k =
rotF(x, y) · k dxdy.
D
onde A(D) = π r2 é a área de D. Usando a relação (1.9) temos
I
1
F · Tds = rotF(P ∗ ) · k.
2
πr γ
Quando r → 0 temos P ∗ → P0 . Logo,
1
rotF(P0 ) · k = lim 2
r→0 πr
I
γ
F · Tds.
Assim, a componente de rotF(P0 ) na direção de k é o limite do quociente da circulação pela
área do cı́rculo. A grosso modo podemos dizer que o rotacional é uma medida da circulação
por unidade de área.
1.2.13
Extensão do teorema de Green
O Teorema de Green vale para regiões mais gerais do que simplesmente conjuntos dos pontos
interiores a uma curva. Por exemplo, dados dois caminhos fechados γ1 e γ2 , com γ2 inteiramente
contido no interior de γ1 (como na figura .A abaixo), seja R a região constituida por todos os
pontos entre γ1 e γ2 ; vale a seguinte igualdade
Z Z
I
I
M dx + N dy =
(Nx − My ) dx dy
(1.11)
M dx + N dy −
γ1
R
γ2
17
6
6
γ1
-
R1
γ2
R
R2
-
-
Figura A
Figura B
Para verificar esta relação , introduzimos dois segmentos de reta L1 e L2 , que dividem R em
duas subregiões R1 e R2 , e γ1 em dois caminhos γ1+ e γ1− , e γ2 em γ2+ e γ2− , como na figura .B
acima e consideramos os caminhos σ + = γ ∪ L1 ∪ γ ∪ L2 e σ − = γ ∪ L1 ∪ γ ∪ L2 . O Teorema de
Green, tal com visto acima aplica-se a cada uma das regiões R1 e R2 , fornecendo as relações:
I
Z Z
M dx + N dy =
(Nx − My ) dx dy
Z ZR1
I σ+
M dx + N dy =
(Nx − My ) dx dy
R2
γ−
Somando membro a membro, e notando que as integrais sobre os segmentos de retas são calculados uma vez em cada sentido (e portanto se anulam), obtemos a igualdade (1.11).
∂M
∂N
(x, y) =
(x, y), ∀(x, y) ∈ R, então
Observação 2. Nas condições acima, se
∂x
∂y
I
I
M dx + N dy =
M dx + N dy
(1.12)
γ1
De fato, temos
I
I
M dx + N dy −
γ1
γ2
M dx + N dy =
γ2
Z Z R
∂M
∂N
−
∂x
∂y
dx dy = 0
−y dx + x dy
Exemplo 18. Calcular a integral
, em que γ é o hexágono com vértices nos
2
2
γ√ x + y
√
√
6
pontos √
(2, 0), (1, √
3), (−1, 3), (1, − 3), (−2, 0),
√
(1, 3)
γ
(−1, − 3) e (1, − 3).
I
C
J
J
J
J
J
Denotando
M (x, y) =
x
−y
e N (x, y) = 2
,
2
+y
x + y2
x2
temos
y 2 − x2
∂N
∂M
= 2
=
.
2
2
∂y
(x + y )
∂x
18
J
J
J
J
J
-
Seja C a circunferência de centro na origem e raio 1. Usando (1.12) e o Exemplo 2, podemos
escrever
I
I
−y dx + x dy
−y dx + x dy
=
= 2π .
2
2
x +y
x2 + y 2
C
γ
I
x y 2 dy
y 3 dx
−
, em que γ é um caminho fechado
Exemplo 19. Calcular a integral
2
2 2
(x2 + y 2 )2
γ (x + y )
não contendo o ponto (0, 0).
Denotando
M (x, y) =
temos
x y2
y3
e
N
(x,
y)
=
,
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
∂M
3 x2 y 2 − y 4
∂N
=
=
.
2
2
3
∂y
(x + y )
∂x
Se o caminho não envolve a origem, então, denotando por R a região interior a γ, temos, pelo
teorema de Green
I
Z Z y 3 dx − x y 2 dy
=
N
−
M
dA = 0
y
x
(x2 + y 2 )2
γ
R
Se o caminho envolve a origem, tomemos uma circunferência Ca de raio a centrada na origem
contida no interior de γ. Então: usando a extensão do Teorema de Green (em (1)), o fato que
x2 + y 2 = a2 sobre C (em (2)) e o Teorema de Green (em (3)), temos
I
I
I
y 3 dx − x y 2 dy (2)
y 3 dx − x y 2 dy (1)
(3)
=
=
y 3 dx − x y 2 dy =
2 + y 2 )2
2 + y 2 )2
(x
(x
CZ Z
C
γ
Z 2π Z a
4
(3) 1
2
2
= 4
r2 sen 2 θ r dr dθ
(−y − 3 y ) dx dy = − 4
a h Di h
a
0
0
a 1
sen 2 θ i2 π
1
4
θ−
= −π .
=− 4 r
a
2
0 2
0
I
x2 y dy
x3 dy
Exercı́cio 4. Calcular a integral
− 2
, em que γ é um caminho fechado
2
2 2
(x + y 2 )2
γ (x + y )
não contendo o ponto (0, 0).
É claro que a extensão do Teorema de Green é válida no caso em que no interior de γ1
existem um número finito de caminhos γ2 , . . . , γn , como na figura abaixo. Nesse caso, temos:
I
γ1
M dx + N dy −
Em particular, se
n I
X
k=2
Z Z ∂N
∂M M dx + N dy =
−
dA
∂x
∂y
γk
R
∂M
∂N
=
em R, temos
∂x
∂y
I
M dx + N dy =
γ1
n I
X
k=2
19
M dx + N dy
γk
6
γ1
γ2
γ3
γ4
R
γ5
-
1.2.14
Integrais que independem do caminho
Dados dois pontos A e B, o valor da integral de linha
Z
M dx + N dy, em geral, tem valores
γ
distintos se tomarmos caminhos distintos ligando os pontos A e B. Consideremos, por exemplo,
M (x, y) = x2 y, N (x, y) = y 2 , A = (0, 0), B(1, 1), e tomemos os seguintes caminhos ligando
A a B: (a) o segmento de reta γ1 : {x(t) = t, y(t) = t, t ∈ [0, 1] e (b) o arco de parábola
γ2 : {x(t) = t, y(t) = t2 , t ∈ [0, 1].
Temos
Z
Z 1
1 1
7
2
2
(t3 + t2 ) dt = + =
x y dx + y dy =
4 3
12
γ1
0
Z
2
2
x y dx + y dy =
γ2
Z
0
1
•
γ1
1 1
8
(t + 2t ) dt = + =
5 3
15
4
(1, 1)
y
5
γ
2
x
A integral
Z
y dx + x dy independe do caminho em R2 . De fato, se γ : x = x(t), y = y(t),
γ
a ≤ t ≤ b é uma curva qualquer ligando dois pontos A = (x(a), y(a)) e B = (x(b), y(b)), temos
Z
γ
y dx + x dy =
Z
a
b
′
′
y(t) x (t) + x(t) y (t) dt =
Z
a
b
h
ib
′
x(t) y(t) dt = x(t) y(t)
a
O próximo teorema dá uma condição para que a integral independa do caminho em uma região.
Z
Teorema 2. A integral de linha
M dx + N dy independe do caminho na região D se, e
γ
somente se existe uma função f continuamente diferenciável em D tal que fx = M e fy = N .
Neste caso, temos
Z B
M dx + N dy = f (B) − f (A)
(1.13)
A
20
Observação 3. Usando a notação vetorial, com F = M i + N j, a condição acima (fx = M
eZ fy = N ) significa
∇f = F. Portanto, f é uma função potencial para F. Assim, a integral
Z
F · dR (ou
F · T ds) independe do caminho se, e somente se, F é o gradiente de alguma
γ
γ
função, ou seja, se, e somente se, o campo vetorial F é conservativo, e neste caso, a igualdade
(1.13) se escreve na forma
Z B
∇f · dR = f (B) − f (A).
A
Assim, o Teorema 2 pode ser visto como uma extensão do Teorema Fundamental do Cálculo
para integrais de linha.
Demonstração : Suponhamos que ∇f = F. Tomemos dois pontos A , B ∈ D, e seja γ ⊂ D
um caminho ligando A a B, parametrizado por x = x(t) , y = y(t) , a ≤ t ≤ b. Temos
Z
Z
M (x, y) dx + N (x, y) dy = fx (x, y) dx + fy (x, y) dy
γ
γ
Z b
Z b
d
′
′
f [x(t), y(t)] dt
{fx [x(t), y(t)] x (t) + fy [x(t), y(t)] y (t)} dt =
=
dt
a
a
b
= f [x(t), y(t)] = f (B) − f (A).
a
Deste modo, a integral de linha
Z
M (x, y) dx + N (x, y) dy depende apenas dos valores de f em
γ
A e B, e não do caminho ligando esses pontos.
Reciprocamente, suponhamos que a integral de linha
Z
F · dR independa do caminho em
Z P
D. Fixemos P0 ∈ D. Para cada P ∈ D, o valor da integral
F · dR é o mesmo, qualquer
γ
Po
que seja o caminho (contido em D) ligando P0 a P . Isto define uma função
f: D →R
Z P
f (P ) =
F · dR .
Po
Tomemos P1 = (x1 , y1 ) ∈ D. Vamos mostrar que ∇f (P1 ) = F, isto é, que fx = M e fy = N .
Seja ∆x > 0 tal que Q1 = (x1 + ∆x, y1 ) pertence a D. Temos
f (x1 + ∆x, y1 ) − f (x1 , y1 ) =
Z
(x1 +∆x,y1 )
Po
F · dR =
21
Z
P1
Po
F · dR =
Z
(x1 +∆x,y1 )
P1
F · dR .
Como a integral de linha independe do caminho
em D, vamos calcular esta última integral sobre o
segmento de reta P1 Q1 , o qual pode ser parametrizado por: γ : x = t , y = y1 , x1 ≤ t ≤ x1 + ∆x.
Então:
f (x1 + ∆x, y1 ) − f (x1 , y1 )
Z x1 +∆x∆x
1
M (t, y1 ) dt = M (x1 , y1 ) .
= lim
∆x→0 ∆x x
1
P1
Q1
fx (P1 ) = lim
∆x→0
P0
Analogamente obtemos fy (P1 ) = N (P1 ).
Corolário 1. Suponhamos que as derivadas
parciais das funções M e N sejam contı́nuas
Z
na região R e que a integral de linha
M dx + N dy independa do caminho em R. Então
γ
My (x, y) = Nx (x, y), ∀ (x, y) ∈ R
Demonstração: Pelo Teorema 2, existe uma função f (x, y) tal que fx = M e fy = N .
Como fx y (x, y) = fy x (x, y), temos
My = fx y = fy x = Nx .
Observação 4. Além de sua importância na teoria das integrais de linha o Teorema 2 fornece
um método para calcular integrais de linha.
Z (3,π/2)
Exemplo 20. Calcular
y cos(x y) dx + x cos(x y) dy.
(−π/2,−1)
Notemos que a função f (x, y) = sen (x y) satisfaz:
fx (x, y) = y cos(x y) e fy (x, y) = x cos(x y)
Portanto
(3,π/2)
x dx + y dy
π
π
3π
π
= f (3, ) − f (− , −1) = sen
− sen = −2.
2
2
x +y
2
2
2
2
(−π/2,−1)
Z (3,3)
x dx + y dy
, ao longo de um caminho qualquer γ contido na
Exemplo 21. Calcular
x2 + y 2
(1,0)
região R = {(x, y) : x > 0}.
Z
Notemos que a função f (x, y) = ln
fx (x, y) =
p
x2 + y 2 satisfaz:
x
1
y
2y
1 2x
= 2
e fy (x, y) =
= 2
2
2
2
2
2
2 x +y
x +y
2 x +y
x + y2
Portanto
Z
(3,3)
(1,0)
√
x dx + y dy
=
f
(3,
3)
−
f
(1,
0)
=
ln
18.
x2 + y 2
22
Exemplo 22. Calcule
(3,3)
Z
(1,0)
y dx − x dy
, ao longo de qualquer caminho γ contido na região
x2 + y 2
R = {(x, y) : x > 0}.
Notemos que a função f (x, y) = arctan(y/x) (f (x, y) é o ângulo θ do sistema de coordenadas
polares) satisfaz:
y
−x
fx (x, y) = 2
e fy (x, y) = 2
2
x +y
x + y2
Portanto
Z
(3,3)
(1,0)
y dx − x dy
π
= arctan 1 − arctan 0 = .
2
2
x +y
4
Exercı́cio:
Z (3,π/2) Calcule:
y cos(x + y) dx + x cos(x + y) dy.
(1)
(−π/2,−1)
Z (3,π/2)
2xy cos(x2 y) dx + x2 cos(x2 y) dy.
(2)
(−π/2,−1)
Exercı́cio:
Mostre que as integrais abaixo independem do caminho:
Z
2
(1) (2xy dx + 2x2 y dy. (função potencial: f (x, y) = x2 y 2 );
Zγ
(2) (3x2 y 2 + 2xy 3 ) dx + (2x3 y + 3x2 y 2 ) dy. (função potencial: f (x, y) = x3 y 2 + x2 y 3 )
Zγ
(3) (15x2 y 2 − 8xy 3 ) dx + (10x3 y − 12x2 y 2 ) dy. (função potencial: f (x, y) = 5x3 y 2 − 4x2 y 3 )
Zγ
(4) 2xy 2 cos(x2 y 2 ) dx + 2x2 y cos(x2 y 2 ) dy. (função potencial: f (x, y) = sen (x2 y 2 ))
γ
O Teorema 2 tem um inconveniente do ponto de vista do cálculo de integrais: geralmente é
muito difı́cil encontrar uma função potencial. Vamos ver em seguida alguns fatos alternativos
para determinar o valor da integral.
Em primeiro lugar, notemos o seguinte resultado:
Z
Teorema 3. A integral de linha
M dx + N dy é independente do caminho na região R se, e
γ
I
somente se,
M dx + N dy = 0, para todo caminho fechado C ⊂ R.
C
Demonstração: Suponhamos que a integral de linha
Z
C
M dx + N dy seja independente do
caminho em R, e seja γ um caminho fechado contido em R. Tomemos dois pontos A 6= B
sobre a curva γ e designemos por γ 1 , γ 2 os dois arcos de γ ligando A a B.
23
B
γ2
*
γ1
A
Como a integral independe do caminho, temos
Z
M dx+N dy =
I
M dx + N dy =
Z
M dx + N dy +
=
Z
2
γAB
Z
M dx + N dy =
1
γBA
2
γAB
γ
M dx+N dy, donde
2
γAB
1
γAB
obtemos
Z
M dx + N dy −
Z
M dx + N dy = 0
1
γAB
Segue-se que a integral sobre qualquer caminho fechado γ ⊂ R é nula.
Reciprocamente, suponhamos que para qualquer caminho fechado C ⊂ R, tenhamos
I
M dx+
C
N dy = 0, e sejam A e B dois pontos quaisquer em R. Tomemos dois caminhos quaisquer
1
2
γ 1 , γ 2 ⊂ R ligando
A a B. Então γAB
∪ γBA
é um caminho fechado contido em R. Por
Z
M dx + N dy = 0. Mas
hipótese, temos
1 ∪γ 2
γAB
BA
Z
M dx+N dy =
Z
1 ∪γ 2
γAB
BA
Logo,
Z
1
γAB
M dx+N dy+
2
γBA
1
γAB
M dx + N dy =
Z
Z
Z
M dx+N dy =
Z
M dx+N dy−
1
γAB
M dx+N dy.
2
γAB
M dx + N dy, isto é, a integral independe do caminho em R.
2
γAB
y dx − x dy
é independente do caminho em
x2 + y 2
γ
cada uma das regiões: R = {(x, y); y > 0}, D = {(x, y); y < x2 − 1}.
Exemplo 23. Mostrar que a integral de linha
Z
De Ifato, vimos anteriormente que, se γ é um caminho fechado que não envolve a origem,
y dx − x dy
então
= 0. Como nenhum caminho fechado em R (ou em D) pode envolver
x2 + y 2
γ
a origem, a integral sobre qualquer
caminho fechado contido em R (ou em D) se anula. Pelo
Z
y dx − x dy
é independente do caminho em R (e em D).
Teorema 3, a integral de linha
x2 + y 2
γ
24
Exemplo 24. Mostrar que a integral de linha
Z
γ
y dx − x dy
depende do caminho em R2 .
x2 + y 2
De fato, vimos anteriormente que o valor da integral sobre qualquer caminho fechado simples
(percorrido no sentido positivo) que envolve a origem é −2π. Também podemos ver que a
integral acima depende do caminho calculando diretamente as integrais sobre os dois caminhos
ligando (−1, 0) a (1, 0): γ1 : x = cos(π − t), y = sen (π − t), π ≤ t ≤ π e γ2 : x = cos t, y =
sen t, π ≤ t ≤ 2π
Z
Z π
y dx − x dy
[sen (π − t)(−sen (π − t) − cos (π − t) cos (π − t)] dt = π
=
x2 + y 2
γ
0
1
Z 2π
Z
y dx − x dy
[sen t (−sen t) − cos t cos t] dt = −π
=
x2 + y 2
π
γ2
Este exemplo ilustra, na verdade, um fato mais geral sobre independência do caminho. Para
enunciar este resultado, vamos introduzir a seguinte terminologia: uma região D é dita simplesmente conexa se toda curva fechada contida em D envolver apenas pontos de D (dito
de modo informal, dizer que D é simplesmente conexa significa que D não tem buracos). O
conjunto de todos os pontos interiores a um caminho fechado simples constitui uma região
simplesmente conexa. A região anular entre duas circunferências como, por exemplo, A =
{(x, y); 1 < x2 + y 2 < 16} não é uma região simplesmente conexa (por exemplo, a circunferência C : x2 + y 2 = 4 está contida em A, o ponto (0, 0) é interior a C, mas não pertence a
A.
Teorema 4. Suponhamos que as funções M (x, y) e N (x, y) tenham derivadas parciais contı́nuas
na regiao
Z simplesmente conexa R e que Nx (x, y) = My (x, y), ∀(x, y) ∈ R. Então a integral de
linha
M dx + N dy independe do caminho em R.
γ
Demonstração: Para todo caminho fechado C contido em R temos, pelo Teorema de Green
Z
Z Z ∂M
∂N
−
dA = 0
M dx + N dy =
∂x
∂x
γ
R
Z
Pelo Teorema 3, a integral de linha M dx + N dy independe do caminho em R.
γ
y dx − x dy
independe do caminho em qualquer região
x2 + y 2
γ
simplesmente conexa D ⊂ R2 que não contenha a origem.
Z
Exemplo 26. Calcular cos x cosh y dx + sen x sen h y dy, sendo γ o caminho formado pelos
Exemplo 25. A integral de linha
I
γ
segmentos de reta L1 ligando (0, 0) a (π/2, 5), L2 ligando (π/2, 5) a (3 π/4, 3), L3 ligando
(3 π/4, 3) a (π, 6) e L4 ligando (π, 6) a (3 π/2, 0).
Observemos que as funções
M (x, y) = cos x cosh y dx e N (x, y) = sen x sen h y
25
têm derivadas
parciais contı́nuas e My = Nx = cos x sen h y. Pelo Teorema 4, a integral de
Z
linha M dx + N dy independe do caminho em R2 . Vamos substituir γ pelo segmento de reta
γ
ligando (0, 0) a 3 π/2, 0), que pode ser parametrizado por Γ : x = t, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3 π/2;
então x = 1 e y = 0. Temos, portanto
Z
Z 3 π/2
cos x cosh y dx + sen x sen h y dy =
(cos t cosh 0 + sen t sen h 0 0) dt =
γ
0
Z 3 π/2
cos t dt = −1
=
0
1.2.15
Integrais de linha no espaço
As definições de integral de linha podem ser estendidas de modo natural para curvas no espaço.
Se γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] é um caminho e f (x, y, z), L(x, y, z), M (x, y, z)
eZ N (x, y, z) são funções
contı́nuas em uma região contendo γ, então as integrais de linha
Z
f (x, y, z) ds e
γ
L dx + M dy + N dz são definidas como limites de somas e podem ser
γ
calculadas pelas relações:
Z
n
X
f (Pk∗ )∆k s =
f (x, y, z) ds = lim
k∆k→0
γ
Z b k=1 p
=
f (P (t)) [x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 + [z ′ (t)]2 dt
a
n
X
Z
L(Pk∗ )∆k x + M (Pk∗ ∆k y + M (Pk∗ ) ∆k z =
L dx + M dy + N dz = lim
k∆k→0
γ
Z b k=1
L(P (t)) x′ (t) + M (P (t)) y ′ (t) + N (P (t)) z ′ (t) dt
=
a
em que P (t) = (x(t), y(t), z(t)). Definindo F = L i + M j + N k e R(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
e T(t) = R′ (t)/kR′ (t)k, podemos escrever
Z
Z
Z
L dx + M dy + N dz = F · dR = F · T ds
γ
Exemplo 27. Calcular
γ
Z
γ
10 x2 y dx−x dy−2 x z dz, em que γ é a curva dada parametricamente
γ
por x = t, y = t2 , z = t3 , 0 ≤ t ≤ 3.
Temos
Z
γ
2
10 x y dx − y dy − 2 x dz =
Z
0
3
3
(10 t4 − 8 t3 ) dt = 2 t5 − 2 t6 = 324
0
Vale para integrais de linha no espaço o seguinte resultado, cuja demonstração é análoga ao
caso do plano.
26
TeoremaZ 5. Suponhamos que as funções L, M e N sejam contı́nuas na região R. A integral
de linha
L dx + M dy + N dz independe do caminho em R se, e somente se, existe uma
γ
função V : R → R tal que Vx = L, Vy = M, Vz = N .
Como conseqüência direta, temos:
Corolário 2. Suponhamos que as funções L, M e N sejam Ztenham derivadas parcias de primeira ordem contı́nuas na região R e que a integral de linha
L dx + M dy + N dz independe
do caminho em R. Então
Observação 5. Definindo
i
∂
∇ × F = ∂x
L
γ
L y = M x , L z = N x , Mz = N y .
F = L i + M j + N k, temos
j
k ∂
∂ = (Ny − Mx ) i + (Lz − Nx ) j + (Mx − Ly ) k .
∂y ∂z M N Assim, o Corolário afirma que, se a integral de linha
∇ × F = 0.
Exercı́cio 5. Mostre que a integral de
Z
γ
Z
γ
F · dR independe do caminho, então
10 x2 y dx − x dy − 2 x z dz linha depende do caminho.
27