Integral de linha, trabalho, circulação e fluxo de um campo

Universidade Federal de Sergipe
DMA-CCET
Cálculo III
Prof. : José Anselmo da Silva Santos
Integral de Linha, Trabalho e Fluxo de um campo
Período 2012-02 .
1◦ ) Calcule o gradiente F , sendo.
(a) F (x, y) = ln(x + 2y);
p
(b) F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ;
(c) F (x, y, z) = x cos yz ;
(d) F (x, y) = xα e−βy .
2◦ ) Se x = x~i + y~j + z~k e r = kxk, desenhe o campo de vetores e o de gradiente de F (x) = (r2 − 2r)x.
3◦ ) Calcule a integral de linha ao longo de cada curva C;
Z
(a)
5ds onde C é a curva ~r = t2~i + t~j com 0 ≤ t ≤ 2;
C
Z
xyds onde C é a curva ~r = t2~i + t~j com 0 ≤ t ≤ 2;
(b)
C
Z
(c)
x4 yds onde C é a metade esquerda do círculo x2 + y 2 = 16;
C
Z
(d)
yex ds onde C é o segmento de reta que liga os pontos (1, 2) e (4, 7);
C
Z
(e)
(xy − ln x)ds onde C é o arco de parábola y = x2 de (1, 1) até (3, 9);
C
Z
(f)
xey dx onde C é o arco da curva x = ey de (1, 0) até (e, 1);
C
Z
(g)
yex dy onde C é o arco da curva y = ex de (1, 0) até (3, 9);
C
Z
(h)
yxdx + (y − x)dy onde C é a curva que une os pontos A(0, 0), B(2, 0) e de (2, 0) até (3, 2).
C
Z
(i)
sin(x)dx + cos(x)dy onde C é a circunferência x2 + y 2 = 1 com y ≥ 0 e −1 ≤ x ≤ 1 e o
C
segmento de reta A(−1, 0) a B(−2, 3), no sentido horário;
Z
(j)
xydx + yzdy + +zxdz onde C é a é a curva ~r = t2~i + t3~j + t2~k com 0 ≤ t ≤ 2;
ZC
(k)
x2 dx + y 2 dy + z 2 dz onde C é a é a curva definida pelos pontos P (0, 0, 0), Q(1, 2, −1) de
C
(1, 2, −1) até (3,2,0);
Z
Z
◦
b
~
br ds onde C é dada por ~r(t);
4 ) Calcule o trabalho W =
F Tr ds e o fluxo φW =
F~ N
C
C
(a) F~ (x, y, z) = yx~i + xz~j + yz~k, ~r(t) = t~i + t2~j + t3~k e 0 ≤ x ≤ 2;
(b) F~ (x, y, z) = sen(x)~i + cos(x)~j + xz~k, ~r(t) = t3~i − t2~j + t~k e 0 ≤ x ≤ 1;
(c) F~ (x, y, z) = z~i + y~j − z~k, ~r(t) = t~i + sen(t)~j + cos(t)~k e 0 ≤ x ≤ π;
1
5◦ ) Considere a as curvas
C1 : ~r(t) = t~i + t~j + t~k 0 ≤ t ≤ 1;
C2 : ~r(t) = t~i + t2~j + t4~k 0 ≤ t ≤ 1;
C3 é o caminho que une os pontos (0, 0, 0) a (1, 1, 0);
C4 é o caminho que une os pontos (1, 1, 0) a (1, 1, 1)
(a) Calcule o trabalho para levar uma partícula da origem ao ponto (1, 1, 1) ao longo de cada caminho C1 , C2 , C3 ∪ C4 , quando se submete esta partícula ao campo de forças
• F = 3y~i + 2x~j + 4z~k
• F = xy~i + yz~j + xy~k.
(b) Calcule o escoamento do campo F = xy~i + yz~j + xy~k ao longo de cada caminho C1 , C2 ,
C3 ∪ C4 ;
(c) Calcule o fluxo ao longo de cada caminho C1 , C2 , C3 ∪ C4 .
6◦ ) Calcule o escoamento1 do campo de velocidades F~ = x2~i + xy~j ao longo do círculo x2 + y 2 = 4
no sentido anti-horário.
7◦ ) Calcule o fluxo do campo de forças F (x, y) = x sin(y)~i + y~j ao longo dos pontos (−1, 1) a (2, 4)
sobre a parábola y = x2 .
8◦ ) Calcule o trabalho realizado, quando se desloca uma partícula ao longo do segmento de reta (1, 0, 0)
a (3, 4, 2), submetida ao campo de força F (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).
9◦ ) A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto
K
~r, onde K é constante. Determine o trabalho
(x, y, z) com vetor posição ~r = (x, y, z) é F~ (r) =
k~rk3
realizado quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (2, 0, 0) a (2, 1, 5).
10◦ ) (a) mostre que é nulo o trabalho para mover uma partícula uma volta na circunferência x2 +y 2 = 1
quando a submetemos a um campo de força constante;
(b) isso também é verdadeiro para um campo de força, F (~x) = k~x com k cte e ~x = x~i + y~j?
x ~
y ~
i+ 2
j e C uma curva de classe C 1 por partes e fechada definida por
2
+y
x + y 2I
r : [a, b] → {R2 r 0}. Determine F~ · dr.
11◦ ) Sejam F~ =
x2
C
−y ~
x ~
12◦ ) Sejam F~ = 2
i+ 2
j e C uma curva dada por r(t) = cos(t)~i + sin(t)~j. Determine
2
x +y
x + y2
I
F~ · dr, verificando que F~ não é conservativo.
C
13◦ ) Verifique se F~ é um campo vetorial conservativo; em caso afirmativo determine f tal que ∇f = F~
(a) F~ (x, y) = xey~i + yex~j;
(b) F~ (x, y) = ey~i + xey~j;
(c) F~ (x, y) = (x3 + 4xy)~i + (4xy − y 3 )~j;
(d) F~ (x, y) = (2x · cos(y) − y · cos(x))~i + (−x2 sin(y) − sin(x))~j;
(e) F~ (x, y) = (yx · cosh(xy) + sinh(xy))~i + (x2 cosh(xy)~j;
1
Entenda circulação.
2
Z
◦
∇ · f · dr.
14 ) Encontre a função potencial f para cada campo vetorial abaixo e calcule
C
(a) F~ = yz~i + xz~j + (xy + 2z)~k e C é a reta definida pelos pontos (1, 0, −2) e (4, 6, 3);
(b) F~ = (2xz + y 2 )~i + 2xy~j + (x2 + 3z 2 )~k e C é a curva definida por ~r = (t2 , 1 + t, 2t − 1) para
t ∈ [0, 1];
(c) F~ = (y 2 cos(z))~i + 2xy cos(z)~j − xy 2 sin(z)~k e C é a curva definida por ~r = (t2 , sen(t), t) para
t ∈ [0, π];
(d) F~ = ey~i + xey~j + (z + 1)ez~k e C é a curva definida por F~ = (t, t2 , t3 ) para t ∈ [0, 1].
15◦ ) Em cada item abaixo verifique se cada integral abaixo é independente do caminho e calcule a
integral.
Z
(a)
tg(y)dx + x sec2 (y)dy e C é qualquer caminho de (1, 0) a (2, π4 );
ZC
(b) (1 − ye−x )dx + e−x dy e C é qualquer caminho de (0, 1) a (1, 2).
C
◦
16 ) Verifique se cada campo é conservativo, em caso afirmativo encontre sua função potêncial.
(a) F (x, y, z) = yz~i + xz~j + xy~k;
(b) F (x, y, z) = y cos(xy)~i + x cos(xy)~j − sin(z)~k;
(c) F (x, y, z) = ez~i + ~j + xez~k;
(d) F (x, y, z) = ex sin(y)~i − ex sin(y)~j + z~k.
17◦ ) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial, de força, F~ movendo-se de P e Q
√
(a) F~ = 2y 3/2~i + 3x y~j e P (1, 1) e Q(2, 4);
1
(b) F~ = p
((x − 2y), (x − 2)) e P (1, 1) e Q(2, 4).
1 + x2 + y 2
18◦ ) Se f (x, y) = sin(x − 2y) é uma função potencial de F~ , encontre curvas C1 e C2 abertas tais que
Z
Z
~
F dr = 0
F~ dr = 1
C2
C1
19◦ ) Mostre que Se F~ : D ⊂ R3 → R3 é um campo vetorial conservativo de classe C 1 em D, então
∂P
∂Q
=
∂y
∂x
∂P
∂R
=
∂Z
∂x
∂Q
∂R
=
.
∂z
∂y
Z
ydx + xdy + xyzdz não é independente do caminho.
Em seguida use este fato para mostrar que
C
20◦ ) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como: aberto, conexo ou sinplesmente conexo.
(a) {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 ou y > 0};
(b) {(x, y) ∈ R2 ; x 6= 0};
(c) {(x, y) ∈ R2 ; 1 < x2 + y 2 < 4};
(d) {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1 ou 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}.
3
21◦ ) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional, terrestre, F (vx ) = −
k0
vx ao mover
kvx k3
uma partícula de massa m a uma distância de 10m na direção do vetor (1, 1, 1).
22◦ ) Seja R o conjunto hachuriado da figura abaixo
Se r : [0, 1] → R2 é uma curva C de classe C 1 por partes tal que im(r) ⊂ R tal que r(0) = (1, 1) e
Z
−y
x
dx + 2
dy.
r(1) = (2, 2). Calcule
2
2
x + y2
C x +y
Z x
∂ϕ ∂ϕ
◦
e−yt dt, calcule
23 ) Se ϕ(x, y) =
e
.
∂x ∂y
0
24◦ ) Seja A ⊂ R3 tal que dado (x0 , y0 , z0 ) ∈ A para todo (x, y, z) ∈ A a poligonal de vértices
(x0 , y0 , z0 ), (x, y0 , z0 ), (x, y, z0 ) (x, y, z) esteja toda contida em A. Se F~ = P~i + Q~j + R~k é de
classe C 1 em A, suponha que ∇ × F~ = 0.
Z y
Z z
Z x
P (t, y0 , z0 )dt +
Q(x, t, z0 )dt +
R(x, y, t)dt, então ∇f = F~ .
• Mostre que se f =
x0
y0
z0
25◦ ) Seja f (x, y) contínua em D = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}, então dado > 0, existe
δ > 0, tal que, qualquer que sejam (x, y) e (x0 , y0 ) em D satisfazendo a desigualdade
k(x, y) − (x0 , y0 )k < δ ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < .
Z
b
f (x, y)dx para y ∈ [c, d].
(a) Suponha f é contínua em D e mostre que φ(x) =
a
Z
Z
b
b
Dica: faça |φ(y + k) − φ(y)| = [f (x, y + k) − f (x, y)]dx ≤
|f (x, y + k) − f (x, y)|dx
a
a
∂f
são contínuas em H = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b e I} onde I é qualquer intervalo no
∂y
Z b
Z b
∂
0
f (x, y)dx y ∈ I, mostre que φ (y) =
f (x, y)dx y ∈ I.
eixo-y. Se φ(y) =
a ∂y
a
(b) Se f e
Dica: faça
Z b
Z b
Z b
φ(y + k) − φ(y)
φ(y + k) − φ(y)
−
fy (x, y)dx =
− fy (x, y) dx =
[fy (x, y1 ) − fy (x, y)] dx
k
k
a
a
a
4