Recorrência e teoria ergódica de grupos de difeomorfismos
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Recorrência e teoria ergódica de grupos de difeomorfismos
Plano de Trabalho de Bolsista: Recorrência e teoria ergódica de grupos de difeomorfismos (Edital EDITAL PROPCI/UFBA 01-2013 - PIBIC ) Orientador: Paulo César Rodrigues Pinto Varandas Prof. Adjunto III, Instituto de Matemática – UFBA Coordenador do Programa de Doutorado em Matemática UFBA/UFAL Salvador, 2 de Abril de 2013 Palavras Chave: Teoremas ergódicos, recorrência de Poincaré, formalismo termodinâmico 1 1 Objetivos específicos do bolsista Conhecer os fundamentos da Teoria Ergódica e Formalismo Termodinâmico para sistemas dinâmicos discretos bem como aplicação dos mesmos para grupos de difeomorfismos do círculo. Conhecer os elementos teóricos de sistemas dinâmicos envolvidos no projeto. Amadurecer matematicamente e ter tido contato com objetos importantes em pesquisa na matemática e ciŘncia atuais. Ter participado ativamente nas pesquisas descritas no projeto de pesquisa. 2 Resultados específicos do bolsista O bolsista deve no final do projeto conhecer os elementos da teoria de Sistemas Dinâmicos envolvidos no projeto de pesquisa, mais precisamente, a caracterização de caoticidade de um sistema dinâmico pela nocção de entropia, propriedades sobre grupos de difeomorfismos e a caracterização de recorrência e teoremas ergódicos para tais classes de sistemas dinâmicos. Pretende-se ainda que o aluno estude a entropia do grupo de centralizadores de sistemas iterados de funções e participe ativamente das pesquisas do projeto e na análise dos resultados obtidos. 3 Cronograma específico de execução Relação itimizada das atividades previstas, em ordem sequencial e temporal, para o bolsista dentro do período proposto. -Agosto e setembro de 2013 Estudo em Teoria Ergódica e Dinâmica Unidimensional (ênfase em grupos de difeomorfismos do círculo e noções provenientes do formalismo termodinâmico clássico). Participação nos Seminários em Matemática da Pós-Graduação em Matemática da UFBA. Os Seminários em Matemática da Pós-Graduação terá parte de suas atividades voltadas para a formação de aluno de iniciação científica e mestrado. Mais precisamente teremos pelo menos duas horas por semana (em geral serão 4 horas) dedicadas a iniciação científica. Estas atividades serão compostas de palestras e aulas para complementar a formação dos alunos. -Novembro e dezembro de 2013 Estudo da noção de entropia de grupos e sistemas iterados de difeomorfismos, iniciando pelo caso de difeomorfismos do círculo e difeomorfismos conservativos. -Janeiro e Fevereiro de 2013 Participação em cursos de Verão em Matemática com o objetivo de fortalecer a formação, o que será de extrema importância para posteriormente redigir os resultados obtidos. -Março até Julho de 2013 Participação nas pesquisas e estudo dos resultados do projeto de pesquisa. Participação dos Seminários em Matemática e da Pós-Graduação em Matemática da UFBA, participação na redação sobre os resultados obtidos. Referências [AMM] A. Arbieto and C. Matheus and C. G. Moreira Aspectos ergódicos da teoria dos números Publicações Matemáticas do IMPA - 26o Colóquio Brasileiro de Matemática, 2007. [Bis] A. Biś Partial variational principle for finitely generated groups of polynomial growth and some foliated spaces. Colloq. Math., 110, no. 2, 431–449, 2008. [BU] A. Biś and M. Urbański Some remarks on topological entropy of a semigroup of continuous maps. Cubo, 8, no. 2, 63Ð71, 2008. 2 [BDV] C. Bonatti and L. J. Díaz and M. Viana. Dynamics beyond uniform hyperbolicity. Springer-Verlag, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 2005. [F] H. Furstenberg Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. Princeton University Press, 1981. [B] M. D. Boshernitzan, Quantitative recurrence results, Invent. Math., 113 (1993), pp. 617?631. [MR] P. Marie and J. Rousseau , Recurrence for random dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. 30 (2011), no.1, 1-16 [MW] D. Ma and M. Wu Topological pressure and topological entropy of a semigroup of maps Discrete Contin. Dyn. Syst., 31, no. 2, 545–557, 2011. [OW] D. S. Ornstein and B. Weiss, Entropy and data compression schemes, IEEE Trans. Inform. Theory, 39 (1993), pp. 78?83. [RS] J. Rousseau and B. Saussol, Poincaré recurrence for observations, Trans. Amer. Math. Soc., 362 (2010), pp. 5845?5859. [S] B. Saussol. On fluctuations and exponential statistics of return times. Nonlinearity, 14:179–191, 2001. [V1] P. Varandas, Entropy and Poincaré Recurrence from a geometrical viewpoint. Nonlinearity 22 (2209). [V2] P. Varandas, Ergodic properties of generalized Viana maps, Preprint 2012. [V3] P. Varandas, Non-uniform specification and large deviations for weak Gibbs measures, Journal of Statistical Physics, 146, 330–358, 2012. [VV] Varandas, Paulo. Viana, Marcelo. Existence, uniqueness and stability of equilibrium states for non-uniformly expandings maps. Annales de l’Institut Henri Poincaré, Anaalyse Non Linéaire, 27 (2010). 3