3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 3.1. O que
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3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 3.1. O que
ANO 4 - NO 24 AGOSTO - 2005 PÁGINA 1 3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 3.1. O que são grandezas inversamente proporcionais? Você, certamente, já ouviu (ou já usou) frases do tipo: − Quanto mais depressa o ônibus viajar, menos tempo se gasta na viagem. − Quanto menor a distância da minha mão a uma lâmpada no teto, maior a sombra projetada no chão (verifique!). Este tipo de relacionamento, em que quanto maior o valor de uma variável, menor o valor da outra, ocorre em muitos fenômenos físicos. Estamos particularmente interessados em analisar, neste texto, uma situação que pode ser caracterizada da seguinte maneira: QUANDO O VALOR DE UMA GRANDEZA AUMENTA, A OUTRA DIMINUI, NA MESMA PROPORÇÃO. Vamos a um exemplo concreto. Suponha que se vá pressionando gradativamente o ar contido numa seringa e que não haja vazamento deste ar. Dá pra perceber de início que, quanto maior a pressão que exercemos, menor o volume do ar. Vamos verificar se a relação existente entre a pressão e o volume é do tipo que estamos analisando. Efetuando medidas destas grandezas, utilizando as unidades: − para a pressão (p): atmosfera (atm) − para o volume (V): centímetro cúbico (cm3), eu obtive os seguintes pares de valores: p (atm) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 V (cm3) 12,0 6,0 4,0 3,0 2,4 Observe que: − quando p = 1,0 atm, o volume vale 12,0 cm3; − quando p = 2,0 atm, (ou seja, torna-se 2 vezes maior), o volume fica reduzido à metade (V = 12,0/2 = 6,0 cm3); − quando p = 3,0 atm, (ou seja, torna-se 3 vezes maior), o volume fica reduzido à terça parte (V = 12,0/3 = 4,0 cm3) e assim por diante. Num esquema, teríamos: ANO 4 - NO 24 AGOSTO - 2005 PÁGINA 2 Esta é a característica de uma proporção inversa. Dizemos, neste caso, que: O VOLUME DO AR É INVERSAMENTE PROPORCIONAL À PRESSÃO QUE ELE SUPORTA Exercício 1 Analisando os valores da tabela a seguir, verifique se as grandezas X e Y são inversamente proporcionais. X 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Y 90,0 45,0 30,0 22,5 18,0 Exercício 2 Analisando os valores da tabela a seguir, verifique se as grandezas A e B são inversamente proporcionais. A 5,0 10,0 15,0 20,0 B 60 50 40 30 Exercício 3 Complete a tabela a seguir, admitindo que Z seja inversamente proporcional a W. W 10 Z 30 20 30 40 50 3.2. Como se expressa matematicamente uma proporção inversa? Utilizando o já conhecido símbolo de proporcionalidade (α), podemos escrever, para uma proporção inversa entre duas grandezas Y e X, que: Observe que, como X está no denominador, quando seu valor aumenta, o de Y diminui, na mesma proporção. Introduzindo uma constante (a) de proporcionalidade, teremos então: onde a constante de proporcionalidade (a) pode ser obtida pelo produto (a = X . Y) de dois valores correspondentes das grandezas envolvidas. Explicando melhor: repetimos ao lado a tabela do exemplo pressão versus volume de ar na seringa, da página anterior. p (atm) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 V (cm3) 12,0 6,0 4,0 3,0 2,4 ANO 4 - NO 24 AGOSTO - 2005 PÁGINA 3 Observe que, como o volume diminui na mesma proporção em que a pressão aumenta, o produto pV permanece constante (no caso, pV = 12,0, qualquer que seja o par de valores que você escolher. Verifique!). Portanto, a = 12,0 e podemos escrever que . Exercício 4 Utilize a expressão acima, que relaciona a pressão e o volume do ar, e determine o volume quando a pressão for de 10 atm. Exercício 5 Considerando os dados da tabela do exercício 1, podemos escrever que: A) Y = 180 X B) Y = 45 X C) D) E) 3.3. A representação gráfica O gráfico I abaixo foi construído a partir dos valores da tabela p x V que estamos usando como exemplo. É uma curva denominada hipérbole. Você a obterá sempre que representar graficamente uma proporção inversa. figura I figura II Exercício 6 No par de eixos da figura II acima, construa o gráfico correspondente aos valores do exercício 1, aqui repetidos. X 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Y 90,0 45,0 30,0 22,5 18,0 3.4. Uma confusão muito comum. Não caia nela!! É muito comum se confundir a proporção inversa com a variação linear decrescente. Através de exemplos que possuem os mesmos valores iniciais e finais, colocamos, lado a ANO 4 - NO 24 AGOSTO - 2005 PÁGINA 4 lado, cada uma delas. Analise com cuidado as diferenças entre elas! A variação linear decrescente A proporção inversa X 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 X 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Y 60 30 20 15 12 Y 60 48 36 24 12 Respostas 1. Sim, são. 2. Não são. 3. W 10 Z 30 6. 20 30 40 50 15 10 7,5 6,0 4. V = 1,2 cm3. 5. D Luiz Alberto Guimarães
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