números proporcionais

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números proporcionais
Prof.: Joaquim Rodrigues
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas sucessões de números são denominadas diretamente proporcionais ou, apenas,
proporcionais, quando a razão entre um número qualquer da primeira e seu correspondente na segunda é constante.
Sejam as sucessões: (3, 5, 8, 11) e (9, 15, 24, 33)
3 5
8 11 1
Observe que: =
=
=
=
9 15 24 33 3
1

O valor comum das razões  k =  é denominado fator ou coeficiente de proporciona3

lidade.
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas sucessões são denominadas inversamente proporcionais, quando o produto de
dois termos correspondentes é constante.
Sejam as sucessões: (30, 25, 20, 15) e (10, 12, 15, 20)
Observe que: 30 × 10 = 25 × 12 = 20 × 15 = 15 × 20 = 300
Esses produtos também podem ser escritos na forma:
30 25 20 15
=
=
=
1
1
1
1
10 12 15 20
Assim, podemos dizer que duas sucessões são inversamente proporcionais, quando os
termos da primeira são diretamente proporcionais aos inversos dos termos da segunda.
DIVISÃO PROPORCIONAL
A divisão proporcional, como o próprio nome indica, tem por finalidade dividir
um número, ou uma quantia, em partes que sejam proporcionais a outros números dados. São vários os tipos de divisão proporcional, os mais usados são:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Direta
Inversa
Direta x direta
Inversa x inversa
Direta x inversa
Inversa x direta
1
Prof.: Joaquim Rodrigues
Exemplos:
1. Dividir o número 180 diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4.
Resolução
vamos chamar os números de a, b e c
se eles estão diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, então temos
a b c
= = = k (observe que tomamos uma constante k de proporcionalidade)
2 3 4
logo:
a
b
c
=k, =k e =k
2
3
4
de onde podemos tirar:
a
= k ⇒ a = 2k
2
b
= k ⇒ b = 3k
3
c
= k ⇒ c = 4k
4
também sabemos que a soma das partes resulta no todo, assim:
a + b + c = 180
Substituindo 2k + 3k + 4k = 180 ⇒ 9k = 180 ⇒ k = 20
agora que já sabemos o valor da constante k, é só substituir nos valores de a, b e c
a = 2k ⇒ a = 2 ⋅ 20 ⇒ a = 40
b = 3k ⇒ b = 3 ⋅ 20 ⇒ b = 60
c = 4k ⇒ c = 4 ⋅ 20 ⇒ c = 80
2. Dividir o número 200 em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
Resolução
quando o problema não mencionar se é diretamente ou inversamente fica subentendido que é diretamente proporcional
a b c
= = =k
2 3 5
a
b
c
logo: = k , = k e = k
2
3
4
de onde podemos tirar:
a
b
c
= k ⇒ a = 2k
= k ⇒ b = 3k
= k ⇒ c = 4k
2
3
4
como a soma das partes resulta no todo, temos:
a + b + c = 180
Substituindo 2k + 3k + 4k = 180 ⇒ 9k = 180 ⇒ k = 20
agora que já sabemos o valor da constante k, é só substituir nos valores de a, b e c
a = 2k ⇒ a = 2 ⋅ 20 ⇒ a = 40
b = 3k ⇒ b = 3 ⋅ 20 ⇒ b = 60
c = 4k ⇒ c = 4 ⋅ 20 ⇒ c = 80
2
Prof.: Joaquim Rodrigues
3. Dividir o número 80 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
Resolução
devemos dividir o número 80 em duas partes e inversamente proporcionais a 2 e 3
1
1
o inverso de 2 é
e o inverso de 3 é , logo
2
3
a b
= =k
1 1
2 3
de onde teremos
a
1
k
= k ⇒ a = ⋅k ⇒ a =
1
2
2
2
b
1
k
= k ⇒ b = ⋅k ⇒ b =
1
3
3
3
e a soma das partes é igual ao todo a + b = 80
k k
+ = 80 (tirando o mmc dos dois lados da igualdade, temos que mmc = 6)
2 3
3k + 2k = 80 ⋅ 6 ⇒ 5k = 480 ⇒ k = 96
Substituindo em a e b, temos
k 96
k 96
a= =
⇒ a = 48 e b = =
⇒ b = 32
2 2
3 3
4. Dividir o número 360 diretamente proporcional a
2
3
e
e inversamente proporcio3
4
5 3
e
ao mesmo tempo.
3 2
Resolução
devemos multiplicar a parte direta pela parte inversa, nessa ordem
2 3 2
3 2 1
⋅ =
e ⋅ =
3 5 5
4 3 2
agora, trabalhamos os valores na ordem direta
a b
a
2k
b
k
= =k
=k ⇒ a=
e
=k ⇒ b=
2 1
2
1
5
2
5 2
2
5
2k k
a + b = 360 ⇒
+ = 360 (mmc = 10) 4k + 5k = 360 ⋅ 10
5 2
9k = 3.600 ⇒ k = 400
2k
2 ⋅ 400 800
a=
⇒ a=
=
⇒ a = 160
5
5
5
k
400
b=
⇒ b=
⇒ b = 200
2
2
nal a
3