números proporcionais
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números proporcionais
Prof.: Joaquim Rodrigues NÚMEROS PROPORCIONAIS NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas sucessões de números são denominadas diretamente proporcionais ou, apenas, proporcionais, quando a razão entre um número qualquer da primeira e seu correspondente na segunda é constante. Sejam as sucessões: (3, 5, 8, 11) e (9, 15, 24, 33) 3 5 8 11 1 Observe que: = = = = 9 15 24 33 3 1 O valor comum das razões k = é denominado fator ou coeficiente de proporciona3 lidade. NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas sucessões são denominadas inversamente proporcionais, quando o produto de dois termos correspondentes é constante. Sejam as sucessões: (30, 25, 20, 15) e (10, 12, 15, 20) Observe que: 30 × 10 = 25 × 12 = 20 × 15 = 15 × 20 = 300 Esses produtos também podem ser escritos na forma: 30 25 20 15 = = = 1 1 1 1 10 12 15 20 Assim, podemos dizer que duas sucessões são inversamente proporcionais, quando os termos da primeira são diretamente proporcionais aos inversos dos termos da segunda. DIVISÃO PROPORCIONAL A divisão proporcional, como o próprio nome indica, tem por finalidade dividir um número, ou uma quantia, em partes que sejam proporcionais a outros números dados. São vários os tipos de divisão proporcional, os mais usados são: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Direta Inversa Direta x direta Inversa x inversa Direta x inversa Inversa x direta 1 Prof.: Joaquim Rodrigues Exemplos: 1. Dividir o número 180 diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4. Resolução vamos chamar os números de a, b e c se eles estão diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, então temos a b c = = = k (observe que tomamos uma constante k de proporcionalidade) 2 3 4 logo: a b c =k, =k e =k 2 3 4 de onde podemos tirar: a = k ⇒ a = 2k 2 b = k ⇒ b = 3k 3 c = k ⇒ c = 4k 4 também sabemos que a soma das partes resulta no todo, assim: a + b + c = 180 Substituindo 2k + 3k + 4k = 180 ⇒ 9k = 180 ⇒ k = 20 agora que já sabemos o valor da constante k, é só substituir nos valores de a, b e c a = 2k ⇒ a = 2 ⋅ 20 ⇒ a = 40 b = 3k ⇒ b = 3 ⋅ 20 ⇒ b = 60 c = 4k ⇒ c = 4 ⋅ 20 ⇒ c = 80 2. Dividir o número 200 em partes proporcionais a 2, 3 e 5. Resolução quando o problema não mencionar se é diretamente ou inversamente fica subentendido que é diretamente proporcional a b c = = =k 2 3 5 a b c logo: = k , = k e = k 2 3 4 de onde podemos tirar: a b c = k ⇒ a = 2k = k ⇒ b = 3k = k ⇒ c = 4k 2 3 4 como a soma das partes resulta no todo, temos: a + b + c = 180 Substituindo 2k + 3k + 4k = 180 ⇒ 9k = 180 ⇒ k = 20 agora que já sabemos o valor da constante k, é só substituir nos valores de a, b e c a = 2k ⇒ a = 2 ⋅ 20 ⇒ a = 40 b = 3k ⇒ b = 3 ⋅ 20 ⇒ b = 60 c = 4k ⇒ c = 4 ⋅ 20 ⇒ c = 80 2 Prof.: Joaquim Rodrigues 3. Dividir o número 80 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. Resolução devemos dividir o número 80 em duas partes e inversamente proporcionais a 2 e 3 1 1 o inverso de 2 é e o inverso de 3 é , logo 2 3 a b = =k 1 1 2 3 de onde teremos a 1 k = k ⇒ a = ⋅k ⇒ a = 1 2 2 2 b 1 k = k ⇒ b = ⋅k ⇒ b = 1 3 3 3 e a soma das partes é igual ao todo a + b = 80 k k + = 80 (tirando o mmc dos dois lados da igualdade, temos que mmc = 6) 2 3 3k + 2k = 80 ⋅ 6 ⇒ 5k = 480 ⇒ k = 96 Substituindo em a e b, temos k 96 k 96 a= = ⇒ a = 48 e b = = ⇒ b = 32 2 2 3 3 4. Dividir o número 360 diretamente proporcional a 2 3 e e inversamente proporcio3 4 5 3 e ao mesmo tempo. 3 2 Resolução devemos multiplicar a parte direta pela parte inversa, nessa ordem 2 3 2 3 2 1 ⋅ = e ⋅ = 3 5 5 4 3 2 agora, trabalhamos os valores na ordem direta a b a 2k b k = =k =k ⇒ a= e =k ⇒ b= 2 1 2 1 5 2 5 2 2 5 2k k a + b = 360 ⇒ + = 360 (mmc = 10) 4k + 5k = 360 ⋅ 10 5 2 9k = 3.600 ⇒ k = 400 2k 2 ⋅ 400 800 a= ⇒ a= = ⇒ a = 160 5 5 5 k 400 b= ⇒ b= ⇒ b = 200 2 2 nal a 3