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VIII E P A E M
Encontro Paraense de Educação Matemática
Faces da História da Matemática e da
Educação Matemática na Amazônia
ENSINO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS
UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Wagner de Sousa Santos
Universidade do Estado do Pará
[email protected]
Roseneide Jucá
Universidade do Estado do Pará
[email protected]
RESUMO
O objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta de ensino para o Ensino de Área das
figuras planas com o auxílio do software Geogebra. Esta proposta faz parte de uma pesquisa que
estamos desenvolvendo como Trabalho de Conclusão do curso de Licenciatura em Matemática da
Universidade do Estado do Pará. Procuramos neste trabalho descrever as possibilidades e os
benefícios de se utilizar um software educacional em sala de aula. O uso do software Geogebra é de
grande relevância para este estudo, além de ser um software livre que possui uma área de trabalho
de fácil acesso para manuseio do usuário. Utilizando o Geogebra desenvolvemos uma seqüência de
ensino com o objetivo de levar os alunos a descobrirem as fórmulas da área das principais figuras
planas. Como metodologia de pesquisa utilizaremos a Engenharia Didática proposta por Michele
Artigue. A escolha por esta metodologia é por que a mesma é eficaz para a aplicação de uma
seqüência de ensino, por realizar a análise a priori e a posteriore e sua validação. A seqüência de
ensino será aplicada a uma turma do 6 ano de uma escola pública da cidade de Belém do PA, de tal
forma que apresentaremos aqui apenas uma parte de nossa pesquisa que ainda se encontra em
andamento, a avaliação e os resultados de nosso estudo serão apresentados posteriormente.
Palavras Chave: Educação Matemática, seqüência didática, Geogebra, área.
-1ISSN 2178 - 3632
08 a 09 de setembro de 2011
Belém – Pará – Brasil
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Introdução
Durante o estágio realizado através da disciplina Prática de Ensino I do curso de Licenciatura
em Matemática observei que o ensino de área das figuras planas geralmente é desenvolvido com o
professor repassando as fórmulas de maneira direta para os alunos, sem trabalhar a contextualização
e representação gráfica das mesmas. O conteúdo é apresentado a estes seguidos de exemplos e
exercícios que são realizados de forma mecânica pelos estudantes, que apenas decoram as
fórmulas, sem compreendê-las.
Este tipo de ensino centrado na e memorização dos conteúdos matemáticos não leva em
consideração a construção do conhecimento. Acreditamos que ser necessário que o professor utilize
metodologias que ajudem no processo de ensino da matemática. É nesse ponto do processo ensinoaprendizagem, que o educador deve buscar apoio nas metodologias de ensino inovadoras que vem
sendo desenvolvidas nos últimos anos, criando assim uma ponte de comunicação entre ele e seus
orientados, já que estas novas ações durante as aulas visam melhorar a compreensão dos conteúdos
e uma melhor comunicação e envolvimento entre as pessoas envolvidas no processo de
aprendizagem.
Desse modo, entendemos que o conteudo de área das figuras planas deva ser trabalhado numa
perspectiva construtivista para que os alunos possam compreender a formalização das fórmulas de
uma forma significativa para os mesmos. Diante do exposto o objetivo dessa pesquisa é verificar se o
sofware Geogebra no ensino de área da figuras planas apresenta resultados satisfatórios e nos
propomos responder a seguinte questão de pesquisa: Será que a utilização do software Geogebra no
ensino de área da figuras planas apresenta resultados satisfatórios?
Revisão dos estudos desenvolvidos sobre área das figuras planas
Já foram realizados vários estudos sobre o ensino de área das figuras planas e também da
utilização de softwares educacionais nos ambientes de sala de aula.
Facco (2003) em seu estudo aborda uma sequência metodológica empregada segundo os
princípios da Engenharia Didática, envolvendo professores de quinta a oitava série e alunos de quinta
série, com o objetivo de analisar os fenômenos que interferem no ensino-aprendizagem de área no
Ensino Fundamental.
Facco (2003) apresenta uma proposta de ensino do conceito de área e uma reflexão sobre a
abordagem desse conteúdo por meio de uma sequência didática envolvendo a decomposição e
composição de figuras, partindo da hipótese que a escolha de situações-problema envolvendo a
determinação da área de figuras geométricas, em particular área de polígonos, possibilita as
comparações dessas figuras em termos de área como grandeza.
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Durante a pesquisa, a autora aplicou um teste piloto para alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental, constatando de início um grau relevante de dificuldade por parte dos alunos para
diferenciarem perímetro e áreas de figuras planas. Constatou-se um grande entusiasmo por parte dos
alunos ao trabalharem com uma metodologia de trabalho diferente do cotidiano de sala de aula.
Em sua obra Chiumo (1998) faz uma análise da Proposta Curricular, dos organizadores de
áreas e de alguns livros didáticos, realizando levantamentos dos obstáculos didáticos sobre o
conceito de áreas e perímetro. Neste trabalho a autora também fez uma pesquisa sobre as
concepções dos professores a respeito desse conceito e seu processo ensino-aprendizagem.
Em sua pesquisa a autora verificou em um questionário a priori que os professores analisados
não buscam desenvolver nos alunos uma percepção do conceito de área que permita relacionar o
conceito de área com suas representações numéricas. Chiumo (1998) atenta para o fato de que se o
conceito de áreas for repassado através de fórmulas, os professores deixarão de explorar as
concepções espontâneas que os alunos trazem antes de conhecer o conceito em questão, e nem
estariam utilizando a ferramenta de aprendizagem adequada para atingir o objeto da aprendizagem.
Chiumo (1998) conclui = que um processo ensino-aprendizagem que não leva em consideração
o jogo de quadros (numérico e geométrico), bem como os processos que facilitam a aquisição do
conceito de área pode causar um obstáculo que intervém no processo de conhecimento dos alunos.
Seguindo esta linha de raciocínio Gomes (2000) realizou uma pesquisa com alunos da 6ª
série do ensino Fundamental a respeito do conceito de área, aplicando uma sequência didática
elaborada a luz do quadro teórico de Douday. Em sua obra a autora faz uma análise sobre a
aplicação de uma sequência de ensino e aprendizagem para alunos da 6ª série do Ensino
Fundamental, com o objetivo de verificar e diagnosticar procedimentos utilizados por esses alunos
para obtenção de retângulos de área dada antes de terem contato com o cálculo de áreas através da
aplicação de fórmulas.
Partindo de observações feitas em um cursinho pré-vestibular do Ensino Médio, a autora
percebeu que a dificuldade dos alunos freqüente ao trabalhar Geometria, ganhando motivação para
elaborar sua obra, sendo que esta partiu do pressuposto que os alunos conheciam a fórmula de
cálculo de área para algumas figuras, porém não conseguiam encontrar soluções para muitos
problemas propostos.
Durante as atividades a autora utilizou o papel quadriculado e o papel milimetrado como
ferramenta de auxílio, verificando a aceitação por parte dos alunos por ser um material já conhecido.
Percebeu-se durante a aplicação das sessões do trabalho que a utilização de outras unidades de
área para o cálculo da área de um retângulo, os alunos apresentaram uma significativa melhora em
seus conhecimentos sobre o conteúdo de área.
Freitas (2009) em seu trabalho enfatiza a sociedade de informação atual, que apresenta
diversos tipos de tecnologia voltados para o tráfego de dados e difusão de informações, propiciando a
supremacia das comunicações. As tecnologias permeiam todas as classes e ramos sociais, bem
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como todos os segmentos socioeconômicos representativos da sociedade. A educação, assim como
os demais segmentos, não fica imune a essa influência.
A autora explica que escolheu o software Geogebra em virtude de ser um software educativo
livre e por possibilitar a exploração de vários tópicos de matemática como: geometria plana,
geometria analítica, tratamento de funções, trigonometria, razão e proporção.
A análise dos dados coletados permitiu constatar que um software educativo como o Geogebra
possibilita nova dimensão de contato com objetos e conceitos matemáticos não acessíveis
perceptivamente ou instrumentalmente e possibilita, além do acesso, a mobilização de ao menos
duas representações de registro de um mesmo objeto matemático, o que lhe confere potencial no
ensino e aprendizagem da Matemática, na qual troca-se a todo o momento o registro de
representação.
Lovis (2009) realizou uma pesquisa para averiguar os conhecimentos de um grupo de
professores sobre Geometria Euclidiana e Geometria Hiperbólica, identificando os obstáculos
epistemológicos durante a realização das atividades propostas em seu trabalho, além de verificar as
possíveis contribuições do software Geogebra para a aprendizagem do conteúdo de Geometria.
A autora buscou identificar alguns obstáculos epistemológicos durante a realização das
atividades que utilizam o modelo do disco de Poincaré, verificando se o estudo desse modelo permite
que os professores abandonem a visão de que a Geometria Euclidiana é a única Geometria possível
e, por fim, analisando as possíveis contribuições do software Geogebra para a aprendizagem dos
conteúdos das Geometrias.
Lovis (2009) recorreu à pesquisa qualitativa e propôs um mini-curso sobre Geometria Euclidiana
e Geometria Hiperbólica com o auxilio do software Geogebra, para um grupo de quarenta e um
professores de Matemática de escolas publicas de cidades do Norte do Paraná. Também realizou-se
uma discussão histórica, matemática e filosófica sobre a Geometria Euclidiana e a Geometria
Hiperbólica e do ensino dessas Geometrias, além do uso de novas tecnologias na educação.
Pacheco (2009) também utilizou um software como ferramenta de auxílio, porém de maneira
diferente. Esta elaborou uma pesquisa que teve por objetivo avaliar uma proposta metodológica de
cunho trans-disciplinar elaborada para auxiliar na compreensão de conteúdos de Geometria Plana,
para alunos da modalidade EJA (Educação de Jovens e Adultos), a partir da utilização de softwares
de apoio que funcionam como elementos articuladores do conteúdo e, também, auxiliam no seu
processo de Inclusão Digital.
A autora buscou proporcionar aos alunos de EJA, sujeitos participantes da pesquisa, uma
oportunidade de trabalhar conceitos relacionados ao seu cotidiano (cidadania, espaço público,
atividades cotidianas e auto-estima) associados ao estudo de Geometria Plana (Matemática),
utilizando como um conjunto de atividades onde os alunos utilizaram o Software de simulação para
construção de plantas arquitetônicas denominado XHOME 3D e o programa Paint (integrante do
ambiente Windows).
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A investigação de Pacheco (2009) utilizou como instrumento de pesquisa, um questionário
inicial sobre os conhecimentos prévios dos alunos e um questionário final para verificar as
competências desenvolvidas em relação aos conteúdos de Geometria Plana, após as atividades com
o software simulador. A análise das respostas permitiu abordar o problema de modo quantitativo e
qualitativo, em uma abordagem predominantemente naturalístico-construtiva.
Pacheco (2009) também cita o atual momento educacional brasileiro, onde ser educador é uma
atividade que exige persistência, preparo e muita força de vontade, porém ser um educador de jovens
e adultos é um constante desafio. Primeiramente porque não fomos preparados na graduação para
trabalharmos com esta clientela, que foi excluída precocemente do sistema escolar e retornam agora,
com anseios e angústias para os bancos escolares em busca de um conhecimento letrado altamente
valorizado.
A metodologia de pesquisa
A metodologia utilizada Nesta pesquisa será a Engenharia Didática por esta realizar uma
validação que se apóia na confrontação entre a análise a priori e a análise a posteriori dos resultados
obtidos através da confrontação do objeto de pesquisa com os sujeitos do estudo.
A Engenharia
Didática diferencia-se de outras metodologias de ensino pelo fato de esta buscar a validação dos
resultados obtidos durante a aplicação da sequência metodológica. Esta pode ser dividida
basicamente em quatro fases: Analise Preliminar, Concepção e Análise a priori, Experimentação e
Análise a de acordo com Facco (2003).
A pesquisa seguirá os seguintes passos:
1ª revisão dos estudos sobre o ensino de área das figuras planas;
2ª aplicação de um questionário com perguntas socioeconômicas e um pré-teste contendo problemas
de área das figuras planas.
3ª análise a priori dos resultados do pré-teste para o desenvolvimento da seqüência de ensino
4ª aplicação da seqüência de ensino a uma turma do 6 ano de uma escola publica da cidade de
Belém do Pará.
5ª aplicação de um pós-teste
6ª analise e validação dos resultados.
As ferramentas utilizadas no software
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. O
GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objetos matemáticos
A Zona Gráfica permite representar os objetos graficamente por meio de pontos ou gráficos de
funções. A zona Algébrica permite representar os elementos presentes na zona gráfica através de
coordenadas de pontos e equações. Nas células da folha de cálculo o usuário pode entrar com
valores para utilizá-los nas outras áreas do programa. Neste estudo será necessário os alunos
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manipularem as figuras preferencialmente na zona gráfica ,sendo que estes utilizarão basicamente
apenas ferramentas da Geometria que descreveremos a seguir:
Ferramentas auxiliares:
Selecionar Objetos: Para ‘selecionar um objeto deve-se clicar nele com o mouse após ter
selecionado a ferramenta Mover.
Mover a folha de desenho: Arraste e largue a folha de desenho na Zona Gráfica para mover a
área visível da folha de desenho. Também pode mover a folha de desenho mantendo pressionada a
tecla Shift (ou Ctrl, no MS Windows) e arrastando-a com o rato em qualquer modo. Neste modo
também pode alterar a relação de escala
Área
Esta ferramenta fornece o valor numérico da área de um polígono, de um círculo ou de uma
elipse e mostra um texto dinâmico na Zona Gráfica.
Distância, comprimento ou perímetro
Esta ferramenta fornece a distância entre dois pontos, duas retas ou entre um ponto e uma reta e
mostra um texto dinâmico na Zona Gráfica. Também fornece o comprimento de um segmento, o
perímetro de um polígono e o perímetro de uma circunferência ou de uma elipse.
A seqüência de ensino
Será dada inicialmente uma noção de área das figuras planas aos alunos para que possam
compreender o significado da mesma, mas não serão apresentadas aos mesmos as fórmulas dessas
figuras. Iremos trabalhar o quadrado, retângulo, losango, trapézio e paralelogramo.Após isso será
realizado um pré-teste contendo questões sobre o conteúdo de área, para compreender o nível de
aprendizado dos alunos até este momento.
Utilizando o software Geogebra o aluno será levado a descobrir a fórmula da área por meio de
observações das relações existentes entre a área e os lados das figuras planas. Estes receberão as
figuras construídas no Geogebra, divididas em vários quadradinhos através de uma espécie de malha
quadriculada. Utilizando as ferramentas presentes no software deverão contar quantos quadradinhos
tem em cada lado da figura e quantos cabem dentro do quadrado. Diante das informações coletadas
estes terão que observar a relação que existe entre os lados das figuras e o número de quadradinhos
para encontrar a área.
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Para finalizar os alunos realizarão o mesmo teste, para que possa ser feita uma análise das
respostas antes e depois da aplicação do questionário.
-A área das figuras
Quadrado
Para descobrir a área do Quadrado, os alunos primeiramente abrirão o software
visualizando a figura abaixo.
Figura 1: Quadrado
Partindo desta, os alunos deverão contar quantos quadradinhos tem em cada lado,
percebendo que o número de quadradinhos em cada lado corresponde a própria medida deste. Após
isso estes deverão contar quanto quadrados menores tem no total. Os alunos perceberão que o
produto do número de quadradinhos em cada lado, corresponde ao produto dos lados do quadrado,
chegando assim a seguinte definição da área da figura: Área do quadrado = lado x lado = lado².
Triângulo
O procedimento para desvendar a área do triângulo parte dos mesmos princípios da área do
quadrado. Os alunos receberão a figura já construída e deverão contar o numero de quadradinhos
presentes nesta para encontrar a área da figura. Deverão contar o número de quadradinhos
existentes em cada lado. Após isso estes terão que relacionar a área da figura com os seus lados,
percebendo que basta multiplicar um lado que será denominado de base, pelo outro que será
chamado de altura, e no final dividir por dois. Encontra-se então a seguinte fórmula: Área do triângulo
= (base x altura)/2.
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Figura 2: triângulo
Retângulo
Para encontrar a área do retângulo os alunos seguirão o mesmo raciocínio. Deverão contar o
número de quadradinhos da figura para descobrir a área, e também deverão contar o número de
lados da figura. Após isso estes vão fazer uma comparação entre a área encontrada a medida dos
lados da figura, chegando assim na fórmula:
Figura 3: Retângulo
Paralelogramo.
Seguindo a mesma idéia das outras figuras, os alunos deverão contar os quadradinhos
presentes na figura, e deverão comparar com o número de quadradinhos presentes em cada lado. Os
alunos chegarão à seguinte fórmula: Área do Paralelogramo= (a + b) x h
Figura4 : Paralelogramo
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Losango
Por fim, para encontrar a área do losango, os alunos realizarão o mesmo procedimento das
outras figuras, contando o número de quadradinhos em cada lado, e comparando com o número de
quadradinhos da figura. Chega-se assim na seguinte fórmula.: Área do losango = A=(DXd)/2, onde D
e d são os lados da figura.
Figura5 : Losango
Considerações finais
O objetivo dessa pesquisa é verificar se o software Geogebra no ensino de área da figuras
planas apresenta resultados satisfatórios. Para isso desenvolvemos uma seqüência de ensino
utilizando o software geogebra.
Acreditamos que o ensino de área das figuras planas por meio de memorização das fórmulas
tem se mostrado ineficiente para o ensino, onde o aluno decorar e depois esquece. Pensando nisso,
nos propomos a desenvolver uma seqüência de ensino para o ensino de área de forma que o aluno
possa participar da construção do conhecimento e não apenas recebê-lo pronto e acabado sem
entender a sua construção.
Acreditamos que levando o aluno a participar do processo de ensino a aprendizagem se torna
mais significativa, pois o mesmo pode levantar conjecturas e tirar suas dúvidas por meio das
observações realizadas no processo de aprendizagem.
Autores como Papert ( 1993) e Freitas (2009) afirmam que o uso dos computadores pode
trazer muitos benefícios a educação, especialmente ao ensino da matemática, por que.permite que o
aluno possa manipular as representações gráficas da figura, melhorando assim a qualidade do
aprendizado.
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As atividades aqui propostas já foram utilizadas na pesquisa de Jucá e Sá (2009) e
apresentaram resultados satisfatórios, sendo que os mesmo utilizaram em seu estudo papel
quadriculado para desenvolver as atividades. Diferenciamos-nos da pesquisa desses autores por
desenvolver as atividades utilizando o computador que faz parte da vida da maioria das pessoas, de
tal modo que esperamos em outra ocasião apresentar os resultados de nossa pesquisa e verificar se
nossa seqüência de ensino utilizando o Geogebra pode contribuir para uma aprendizagem mais
significativa.
Referências
FACCO, S. R. Tese de Mestrado. Conceito de Área- Uma proposta para o ensino de área,
2003.
CHIUMO, A. Tese de Mestrado. O Conceito de áreas de figuras planas: Capacitação para
professores do Ensino Fundamental,1998.
GOMES, G.H. Tese de Mestrado. Um estudo de Áreas com alunos da 6ª série do Ensino
Fundamental,2000.
FREITAS, A. D. Tese de Mestrado. A utilização do Geogebra no ensino da Matemática:
Recurso para os registros de Representação e Interação, 2009.
LOVIS, K. A. Tese de Mestrado. Geometria Euclidiana e Geometria Hiperbolica em um
Ambiente de Geometria Dinamica: o que pensam e o que sabem os professores, 2009.
PACHECO, M. S. Tese de Mestrado.Geometria Plana e Inclusão Digital: uma experiência
apartir do cotidiano dos alunos do EJA, 2009.
PAPERT, S. Lá máquina de los niños: Replantearse da educación em La era de los
ordenadores.Buenos Aires, Editora Paidós Ibérica S.A., 1993.
JUCÁ, R.S. & SÁ, P.F. Artigo. Uma experiência Didática no ensino de Área, XI ENDIPE , 2010.
HOHENWARTER, M. & HOHENWARTER, J. Manual do Geogebra, versão 3.2. Disponível em
:http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf. Acesso em 04,jul,2011.hora:14:35.
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