Desigualdades de Markov e Chebyshev

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA
MOQ-13/MB-210: Probabilidade e Estatística
Desigualdades de Markov e Chebyshev
Prof. Denise Beatriz Ferrari
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1
Introdução
Vimos em aulas anteriores que podemos caracterizar a distribuição de probabilidades de va’s das
seguintes maneiras: através da fdp, FDA ou fgm da va.
Podemos, no entanto, não ter informações a respeito da distribuição da va e, ainda assim, conseguir fazer algumas inferências a respeito da dispersão da va.
Podemos, por exemplo, querer saber com que probabilidade uma va X (ou uma função de X)
é maior do que um número qualquer (P [g(X)] > k). Se conhecermos a distribuição de X, essa
probabilidade pode ser facilmente calculada ou estimada. Caso contrário, o máximo que conseguimos é encontrar um valor limitante, determinado através da Desigualdade de Markov.
Da mesma forma, podemos desejar saber com que probabilidade a va X encontra-se afastada
de uma certa distância de sua média (P |X − µ| > hσ). Podemos determinar os limites desta
probabilidade a partir da Desigualdade de Chebyshev.
Desigualdade de Markov
Seja X uma va e g(·) uma função não-negativa, cujo domínio é R. Então:
P [g(X) ≥ k] ≤
E[g(X)]
,
k
∀k > 0.
Demonstração:
Consideremos, sem perda de generalidade, que X é uma va discreta com fdp fX (·); então:
E[g(X)] =
∞
X
g(X)fX (x) =
x=−∞
X
g(X)fX (x) +
{x:g(x)≥k}
≥
X
X
g(X)fX (x)
{x:g(x)<k}
g(X)fX (x)
{x:g(x)≥k}
≥
X
{x:g(x)≥k}
1
kfX (x) = kP [g(X) ≥ k].
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E, portanto,
P [g(X) ≥ k] ≤
E[g(X)]
.
k
A desigualdade de Markov nos fornece um limite “universal”, válido, independentemente da distribuição de X. Este valor é facilmente estimável, mesmo sem conhecermos a distribuição de
X.
Desigualdade de Chebyshev
Para uma va X com média µ e variância σ 2 , ambas finitas, e para qualquer número positivo h,
a probabilidade de obter um valor que dista da média de uma medida de h desvios-padrão ou
mais é menor ou igual a 1/h2 :
P [|X − µ| > hσ] ≤
1
,
h2
∀h > 0.
Demonstração:
Seja X é uma va discreta com fdp fX (·) e k um número positivo qualquer. Podemos escrever:
2
σ = V ar[X] =
∞
X
(x − µ)2 fX (x)
x=−∞
=
µ−k
X
(x − µ)2 fX (x) +
−∞
≥
µ−k
X
x<µ+k
X
(x − µ)2 fX (x) +
x>µ−k
∞
X
(x − µ)2 fX (x)
µ+k
2
(x − µ) fX (x)
+
−∞
∞
X
(x − µ)2 fX (x),
µ+k
P
2
pois o somatório x<µ+k
x>µ−k (x − µ) fX (x) é, obviamente, não negativo. Agora, se x ≤ µ − k ou
x ≥ µ + k, então (x − µ)2 ≥ k 2 . Portanto,


µ−k
µ−k
∞
∞
X
X
X
X
σ2 ≥
k 2 fX (x) +
k 2 fX (x) = k 2 
fX (x) +
fX (x)
−∞
−∞
µ+k
µ+k
= k 2 {P [X ≤ (µ − k)] + P [X ≥ (µ + k)]}
= k 2 P [|X − µ| ≥ k].
Segue que
P [|X − µ| ≥ k] ≤
σ 2
k
.
Se fizermos k = hσ, chegamos ao resultado
P [|X − µ| ≥ hσ] ≤
1
.
h2
A Desigualdade de Chebyshev também pode ser enunciada da maneira complementar:
P [|X − µ| < hσ] ≥ 1 −
1
h2
=⇒
P [µ − hσ < X < µ + hσ] ≥ 1 −
2
1
,
h2
∀h > 0.
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Nota 1 A desigualdade de Chebyshev não gera resultados muito precisos, mesmo porque nenhuma hipótese foi feita a respeito da distribuição de X, exceto que possui média e variância
conhecidas. Se tivermos alguma informação a respeito da distribuição de X, podemos obter
resultados mais precisos. Mesmo no caso em que dispomos de mais informações, a desigualdade
de Chebyshev continua verdadeira, mas podemos obter um resultado mais preciso. O fato é que
essa desigualdade é útil ao fornecer bastante informação, levando-se em conta a pouca informação
que ela leva em consideração.
Exemplo Seja h = 2. A desigualdade de Chebyshev garante que:
P [|X − µ| ≥ 2σ] ≤ 1/4
Ou seja, a probabilidade de que uma determinada observação esteja dentro do intervalo de dois
desvios-padrão com respeito à média é menor que 0,25 para qualquer distribuição que tenha
média e variância finitas.
Nota 2 Se quisermos expressar a probabilidade para um grande número de diferentes classes
de va’s, a desigualdade de Chebyshev é a melhor ferramenta de que dispomos.
Exemplo Considere a classe de todas as va’s com média µ e variância σ 2 . Um membro desta
classe é a va constituída por três pontos: −h, 0, h, (h > 0), com probabilidades:
P [−h] = P [h] =
1
1
e P [0] = 1 − 2 .
2
2h
h
Claramente, esta distribuição tem E[X] = 0 e V ar[X] = 1, de forma que:
P [|X − µ| ≥ hσ] = P [|X| ≥ h] = P [X = −h] + P [X = h] =
1
.
h2
Este limite é obtido para um dos membros da classe, no caso, a va considerada. E esta é a melhor
inferência da probabilidade procurada, para a toda a classe de va’s consideradas.
Nota 3 A desigualdade se aplica para h < 1? Discuta a utilidade da inequação neste caso.
Exemplo Suponha que, em média, a demanda diária por certo produto seja de 28 unidades,
com variância 16. Quantos itens devem ser disponibilizados para atender à demanda diária em
pelo menos 90% dos casos?
Solução
Seja X = demanda diária. Queremos encontrar k tal que
P [X ≤ k] ≥ 0,9 ou, equivalentemente, P [X ≥ k] ≤ 0,1.
Método 1: Desigualdade de Markov
P [X ≥ k] ≤
28
E[X]
=
= 0,1
k
k
∴ k = 280 e
3
P [X ≥ 280] ≤ 0,1.
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Portanto, se disponbilizarmos diariamente 280 itens, a demanda será atendida em pelo menos
90% dos casos.
Método 2: Desigualdade de Chebyshev
P [|X − 28| ≥ k] ≤
V ar[X]
16
= 2 = 0,1
k2
k
√
∴ k = 4 10 ≈ 13.
Pela desigualdade de Chebyshev, temos que disponibilizar 13 itens diariamente para garantir que
a demanda seja atendida em, pelo menos, 90% dos casos. Um resultado mais limitado e melhor,
portanto.
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