CE-003: Estat´ıstica II, turma L

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CE-003: Estat´ıstica II, turma L
CE-003: Estatı́stica II, turma L
1a Prova - 2o semestre 2006 (29 Setembro de 2006)
1. (10 pontos) O volume de vendas, no ramo de vestuário, tem se mantido estável de ano para ano, mas acedita-se
que sofra mudança de um quadrimestre para outro, dentro de um mesmo ano. Através de uma metodologia
adequada, foi criado um ı́ndice que reflete a quantidade vendida. Em cada um dos quadrimestres do ano,
foram escolhidas aleatóriamente algumas empresas de mesmo porte e seus ı́ndices de venda foram calculados
conforme tabela abaixo. Faça os gráficos box-plot para os dados de cada um dos três quadrimestres e compare
o comportamento do ı́ndice nos quadrimestres.
Quad. 1
Quad. 2
Quad. 3
114,7
144,7
153,1
144,7
173,4
192,5
119,1
154,2
145,5
113,7
154,7
168,8
108,9
125,9
141,5
96,7
119,5
141,2
87,6
155,7
189,6
132,4
213,9
178,4
> q1 <- c(114.7, 144.7, 119.1, 113.7, 108.9, 96.7, 87.6, 132.4)
> q2 <- c(144.7, 173.4, 154.2, 154.7, 125.9, 119.5, 155.7, 213.9,
+
156.2, 159)
> q3 <- c(153.1, 192.5, 145.5, 168.8, 141.5, 141.2, 189.6, 178.4,
+
208.6)
> boxplot(q1, q2, q3, xlab = "qudrimestre", ylab = "ı́ndice")
156,2
208,6
159,0
200
180
160
100
120
140
índice
qudrimestre
Comentários feitos sobre os box-plot a serem analisados.
2. (05 pontos) Com os dados do problema anterior calcule a média, desvio padrão e coeficiente de variação dos
dados de cada quadrimestre e compare os ı́ndices dos quadrimestres usando estas medidas.
>
>
>
>
+
>
q1.m <- c(mean(q1), sd(q1), 100 * sd(q1)/mean(q1))
q2.m <- c(mean(q2), sd(q2), 100 * sd(q2)/mean(q2))
q3.m <- c(mean(q3), sd(q3), 100 * sd(q3)/mean(q3))
names(q1.m) <- names(q2.m) <- names(q3.m) <- c("média", "desvio padr~
ao",
"CV")
q1.m
média desvio padr~
ao
114.72500
18.22751
CV
15.88800
> q2.m
média desvio padr~
ao
155.72000
25.89379
CV
16.62843
> q3.m
média desvio padr~
ao
168.80000
24.91726
CV
14.76141
Comentários feitos sobre as medidas a serem analisados.
3. (05 pontos) Ainda com os dados do primeiro problema, faça um histograma e um gráfico ramo-e-folhas dos
ı́ndices anuais (isto é, para todos os dados juntos).
> stem(c(q1, q2, q3))
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
8
10
12
14
16
18
20
|
|
|
|
|
|
|
87
9459
062
12556345669
938
03
94
6
0
2
4
frequência
8
10
> hist(c(q1, q2, q3), main = "", xlab = "ı́ndice", ylab = "frequ^
encia")
80
100
120
140
160
180
200
220
índice
4. (10 pontos) O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso
contı́nuo e severo, pode ser considerado com uma variável aleatória contı́nua, medida em anos. Suponha que a
função de densidade é dada pela seguinte expressão:
f (x) =

1

 4 x,
1
8,

 0,
0≤x≤2
2<x≤6
caso contrário
(a) verifique qua a função acima é, de fato, uma densidade
(b) qual é a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca de
amortecedores antes de 1 ano de uso? E entre 1 e 3 anos?
(c) supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja
necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?
(d) qual é o tempo médio adequado para a troca de amortecedor desses automóveis?
X : tempo de troca
> fx <- function(x) ifelse((x >= 0 & x <= 2), x/4, ifelse((x > 2 &
+
x <= 6), 1/8, 0))
> plot(fx, from = -1, to = 7)
(a) > integrate(fx, 0, 6)
1 with absolute error < 1.1e-15
(b) > integrate(fx, 0, 1)
0.125 with absolute error < 1.4e-15
> integrate(fx, 1, 3)
0.5 with absolute error < 5.6e-15
(c) P [X < 4|x > 3] = P [3 < X < 4]/P [X > 3]
> integrate(fx, 3, 4)$val/integrate(fx, 3, 6)$val
[1] 0.3333333
(d) > EX <- function(x) x * fx(x)
> integrate(EX, 0, 6)
2.666667 with absolute error < 0.00016
5. (10 pontos) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm uma duração inferior a
20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte
condição: ela aceita o lote se, em 10 válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20
horas; caso contrário o lote todo é rejeitado.
(a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade do lote ser rejeitado?
(b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração
inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima?
X : número de vávulas com duração inferior a 20 horas ; X ∼ Bin(n = 10, p = 0.05)
(a) P [X > 1] = 1 − P [X ≤ 1]
> 1 - pbinom(1, size = 10, p = 0.05)
[1] 0.08613836
(b) X ∼ Bin(n = 10, p = 0.10) ; P [X ≤ 1]
> pbinom(1, size = 10, p = 0.1)
[1] 0.736099
6. (10 pontos) A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória com
distribuição normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km.
(a) se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a proporção de pneus que deverá ser
trocada pela garantia?
(b) o que aconteceria com a proporção do item anterior se a garantia fosse dada para os primeiros 45.00 km?
(c) qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no
máximo 2% dos pneus?
(d) se voce comprar 4 pneus Rodabem qual será a probabilidade de que voce utilizará a garantia (de 45.000
km) para trocar um ou mais destes pneus?
X : durabilidade X ∼ N (60.000, 8.3002 )
(a) 100 ∗ P [X < 48.000]
> round(100 * pnorm(48000, mean = 60000, sd = 8300), dig = 4)
[1] 7.4119
(b) 100 ∗ P [X < 45.000]
> round(100 * pnorm(45000, mean = 60000, sd = 8300), dig = 4)
[1] 3.5363
(c) P [X < k] = 0.02
> qnorm(0.02, mean = 60000, sd = 8300)
[1] 42953.88
(d) Y : número de pneus ; Y ∼ Bin(n = 4, p) P [Y ≥ 1] = 1 − P [Y = 0]
> p <- pnorm(45000, mean = 60000, sd = 8300)
> 1 - pbinom(0, size = 4, prob = p)
[1] 0.1341251

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