Lições de Matemática – 9º ano - AÇÕES PEDAGÓGICAS

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Lições de Matemática – 9º ano - AÇÕES PEDAGÓGICAS
Lições de
Matemática
para o 9º ano do
Ensino Fundamental
Programa de Intervenção Pedagógica
2014
Ficha Catalográfica
MINAS GERAIS. Secretaria de Estado da Educação. 32 Lições Especiais de Matemática para o 9º ano do Ensino Fundamental. Programa de Intervenção Pedagógica – PIP,
2014.
Vol. Único, mai. 2014, Belo Horizonte, 2014, 342fls.
Organizadoras:
Alves, Cecília Cristina Resende; Garofalo, Silvana Araujo Amaral da Silva
Conteúdo:9º ano do Ensino Fundamental – Matemática.
1. Intervenção Pedagógica 2. Matemática 3. Avaliação
Governador de Minas Gerais
Alberto Pinto Coelho
Secretária de Estado da Educação
Ana Lúcia Almeida Gazzola
Secretária Adjunta de Estado da Educação
Maria Sueli de Oliveira Pires
Subsecretária de Desenvolvimento da Educação Básica
Raquel Elizabete de Souza Santos
Superintendência de Desenvolvimento da Educação Infantil e Fundamental
Vera Alice Temponi Goes
Diretoria de Ensino Fundamental
Rosaura de Castro
Gerência do Programa de Intervenção Pedagógica
Maria das Graças Pedrosa Bittencourt
Caro Professor,
Cara Professora,
É com grande prazer que apresentamos a você as sugestões de Lições de Matemática
para o desenvolvimento de competências e habilidades destinadas aos alunos do 9º Ano
do Ciclo da Consolidação do Ensino Fundamental. As Diretrizes Curriculares Nacionais, os
CBC de Minas Gerais e a Resolução 2197/13 deixam clara a responsabilidade da escola e do
Professor de estruturar o seu plano de ensino. Um plano dinâmico, que não esteja preso a
moldes pré-estabelecidos ou seguindo rigidamente um livro didático. Essa liberdade dada ao
Professor é certamente muito positiva, exige preparo e trabalho. Para isso faz-se necessário o
trabalho cooperativo de todos para que se estabeleçam rotinas de planejamento e de acompanhamento do processo de ensino. O trabalho com diferentes estratégias pode ser uma ótima
alternativa, pois o fundamental na educação matemática, hoje, não é o acúmulo de informações, mas o desenvolvimento de competências e habilidades que permitam aos jovens encontrar a informação, lidar com ela, discernir qual é a mais relevante em determinado momento,
analisá-la, criticá-la, tirar conclusões e utilizar esse saber como sujeito ativo na escola e na sociedade.
As Lições que agora apresentamos representam um esforço da Equipe Central do PIP/EF em
apresentar sugestões para o trabalho dos professores em sala de aula com o objetivo de:

Contribuir para a melhoria do ensino da Matemática;

Contribuir para a aprendizagem Matemática, tendo em vista a garantia dos direitos de
aprendizagem dos alunos e a perspectiva de novas formas de ensinar;

Intensificar o atendimento pedagógico a todos os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental em Matemática;

Melhorar a aprendizagem dos alunos e, consequentemente, seus resultados nas avaliações internas e externas de Matemática do 9º ano do EF.
Acreditamos que essas lições estão longe de ser um receituário, uma prescrição fechada do
que o professor deve fazer, especialmente, se lembrarmos de que cada aula é um acontecimento único, envolvendo o professor e os alunos. Pretendemos que essas lições evidenciem o
papel do professor como sujeito da ação educativa e promovam a participação do aluno como
sujeito de sua aprendizagem. Portanto ,essas lições são uma sugestão didática para incrementar o processo ensino /aprendizagem/diagnóstico. O professor pode usá-las conforme a necessidade seus alunos, como um delta positivo ao seu livro didático, que é, sem sombra de dúvidas, um recurso poderoso e indispensável em sala de aula.
Sabemos que nenhuma lição esgota os temas, tópicos, assuntos tratados, cada uma delas,
se constitui de uma síntese do que analisamos como habilidades significativas a serem desenvolvidas pelos alunos, tendo em vista os resultados do Estado de Minas nas avaliações externas das quais nossos alunos participam (PROEB, SAEB).
Sugerimos que uma discussão pedagógica com toda a equipe da escola seja feita, para análise
do material, sua aplicabilidade e permanente acompanhamento do processo de utilização de
implementação das lições e que, após a execução de cada uma delas, seja feito o levantamento dos alunos que ainda necessitam de uma intervenção especial. Que todo esforço seja dis1
pensado no sentido de mobilizar a comunidade escolar para a intervenção pedagógica efetiva,
contribuindo para a aprendizagem dos alunos que, mesmo após ter trabalhado as lições, ainda
se encontrem em situação de baixo desempenho.
Esperamos que esse esforço coletivo seja recompensado com o alcance dos objetivos propostos e que esse material contribua para que o professor, com sua experiência e dedicação
ao trabalho, oportunize a seus alunos desenvolver as Competências e Habilidades matemáticas, de forma a exercerem plenamente a sua cidadania, sendo capazes de:




CONHECER
FAZER
CONVIVER
SER
Bom trabalho! Conte conosco!
Equipe Central PIP/EF
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Conhecendo as lições
Vamos, então, conhecer como este material foi preparado para você, Professor. Este caderno está organizado nos quatro eixos da Matemática, a saber: (I) Espaço e Forma, (II) Grandezas e Medidas, (III) Números e Operações e (IV) Tratamento da Informação. Em cada eixo,
oferecemos algumas lições que objetivam possibilitar o desenvolvimento das habilidades básicas essenciais para o trabalho no 9º ano, mobilizando conhecimentos matemáticos que, ao
serem ensinados, permitirão ao aluno desenvolver a habilidade. Cada lição está dividida em
três módulos que poderão ser trabalhos com seus alunos durante a semana. Esses módulos se
apresentam em forma de sequência de atividades e são demarcados por três momentos, detalhados a seguir:
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Neste momento, temos sempre uma sequência de atividades que traz para a sala de aula uma
motivação para o tema e ações que alavancam o nível mais elementar da habilidade a ser desenvolvida.
Ampliando a Habilidade
Nessa etapa , você professor, privilegiando a prática da oralidade vai interagir com os alunos
e esses com seus pares, construindo sentido/significado para os conceitos em pauta. É a oportunidade refletir sobre o que foi discutido na seção “Pra começo de conversa” , confirmando–se
ou não as hipóteses levantadas. Há também, é claro, a ação dos alunos sobre diferentes atividades que demandam a escrita, a pesquisa e o registro.
1
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Indo além...
Depois de contextualizar, levantar e confirmar hipóteses, expor ideias e refletir sobre elas
num exercício de coletividade, em que é preciso saber a hora de falar, de ouvir, de construir e
trocar conhecimentos, essa seção propõe atividades que poderão ser desenvolvidas em grupos, individualmente e sempre com apresentação das conclusões da e para a turma. Essa aula tem, como princípio, a interdisciplinaridade, uma vez que os diferentes textos/atividades aqui
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apresentados perpassam por outras áreas do conhecimento e promovem o diálogo da Matemática com essas áreas.
Realizando a Intervenção!
Nesta seção, algumas questões avaliativas, selecionadas por estarem nos mesmos moldes
das questões das avaliações externas, são sugeridas a vocês, professores, como uma possibilidade de diagnóstico de tudo que foi proposto na lição. Aqui o professor terá a possibilidade de
verificar se os alunos desenvolveram total ou parcialmente a habilidade trabalhada, ou se ela
precisa ser retomada. Realizado esse diagnóstico, ao final de cada lição, propomos que aos
alunos que ainda necessitem de uma intervenção especial sejam ofertadas ações de Intervenção Pedagógica. Essas deverão contar com o auxílio de TODOS da escola. O reagrupamento,
dentro ou fora da sala, por exemplo, pode ser uma dessas ações. Ele é entendido como uma
proposta de trabalho no interior da organização escolar que objetiva romper com os tempos e
espaços rígidos. O reagrupamento é um momento que permite a viabilidade das ações de intervenção por ele movimentar provisoriamente o aluno dentro da própria sala ou fora dela. Entre as dimensões possíveis e desejáveis de utilização de metodologias e atividades para a intervenção pedagógica, encontram-se a as oficinas temáticas, os jogos e a resolução de problemas. Para que esse trabalho se efetive na prática, a sua organização e implementação na
escola devem ser coletivas e envolver professores, alunos, funcionários administrativos, direção e especialistas/pedagogos/as.
Finalmente, desejamos a você, professor, um bom trabalho!
Equipe Pedagógica do PIP/EF
Secretaria de Educação do Estado de Minas Gerais
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Sumário
LIÇÃO 1 HABILIDADE: UTILIZAR AS NOÇÕES DE VOLUME. ............................................................................................ 12
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 12
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 13
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 18
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 20
LIÇÃO 2
HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO O CÁLCULO DO PERÍMETRO E DA ÁREA DE
FIGURAS PLANAS. ............................................................................................................................................................... 24
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 24
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 26
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 28
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 29
LIÇÃO 3
HABILIDADE: UTILIZAR AS RELAÇÕES ENTRE DIFERENTES UNIDADES DE MEDIDA. ...................................... 32
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 32
AMPLIANDO A HABILIDADE. ....................................................................................................................................................... 34
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 36
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 37
LIÇÃO 4
HABILIDADE: UTILIZAR PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS REGULARES (SOMA DE SEUS ÂNGULOS INTERNOS,
NÚMERO DE DIAGONAIS, CÁLCULO DA MEDIDA DE CADA ÂNGULO INTERNO). ................................................................. 40
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 40
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 41
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 44
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 46
LIÇÃO 5
HABILIDADE: UTILIZAR RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS. 49
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 49
5
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 51
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 54
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 56
LIÇÃO 6
HABILIDADE: RECONHECER ÂNGULO, COMO: MUDANÇA DE DIREÇÃO OU GIRO, ÁREA DELIMITADA POR
DUAS SEMIRRETAS DE MESMA ORIGEM. ............................................................................................................................ 59
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 59
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 60
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 64
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 65
LIÇÃO 7
HABILIDADE: IDENTIFICAR RELAÇÃO ENTRE QUADRILÁTEROS POR MEIO DE SUAS PROPRIEDADES. ........... 69
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 69
AMPLIANDO A HABILIDADE. . . ................................................................................................................................................... 73
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 78
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 79
LIÇÃO 8
HABILIDADE: IDENTIFICAR PROPRIEDADES DE FIGURAS TRIDIMENSIONAIS, RELACIONANDO-AS COM SUAS
PLANIFICAÇÕES. .................................................................................................................................................................. 82
PRA COMEÇO DE CONVERSA. ..................................................................................................................................................... 82
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 85
INDO ALÉM ............................................................................................................................................................................. 89
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! .................................................................................................................................................... 91
LIÇÃO 9
VERSA.
HABILIDADE:IDENTIFICAR E LOCALIZAR PONTOS NO PLANO CARTESIANO E SUAS COORDENADAS E VICE...................................................................................................................................................................... 96
PRA COMEÇO DE CONVERSA ....................................................................................................................................................... 96
AMPLIANDO A HABILIDADE......................................................................................................................................................... 99
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................102
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................103
LIÇÃO 10
HABILIDADE / DESCRITOR: IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO / MOVIMENTAÇÃO DE PESSOAS E OBJETOS EM
MAPAS, CROQUIS E OUTRAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS. .............................................................................................. 105
6
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................105
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................106
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................110
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................111
LIÇÃO 11
HABILIDADE: INTERPRETAR E UTILIZAR INFORMAÇÕES APRESENTADAS EM TABELAS E/OU GRÁFICOS. 115
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................115
AMPLIANDO A HABILIDADE. . . .................................................................................................................................................117
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................118
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................121
LIÇÃO 12
HABILIDADE: ASSOCIAR INFORMAÇÕES APRESENTADAS EM LISTAS E/OU TABELAS SIMPLES AOS
GRÁFICOS QUE AS REPRESENTAM, E VICE-VERSA. ............................................................................................................ 124
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................124
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................125
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................126
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................128
LIÇÃO 13
HABILIDADE: EFETUAR CÁLCULOS SIMPLES COM VALORES APROXIMADOS DE RADICAIS. .................. 134
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................134
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................135
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................138
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................138
LIÇÃO 14 HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE ENVOLVAM EQUAÇÃO DO 1º GRAU E DO 2º GRAU.141
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................141
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................144
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................145
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................148
LIÇÃO 15
HABILIDADE: IDENTIFICAR FRAÇÕES EQUIVALENTES. ........................................................................... 151
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................151
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................153
7
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................157
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................159
LIÇÃO 16
HABILIDADE:RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 161
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................161
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................163
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................165
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................169
LIÇÃO 17
HABILIDADE: IDENTIFICAR A RELAÇÃO ENTRE AS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICA E GEOMÉTRICA DE UM
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU. ............................................................................................................................... 170
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................170
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................172
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................174
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................175
LIÇÃO 18
HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE ENVOLVAM PORCENTAGEM. ............................. 178
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................178
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................183
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................184
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................185
LIÇÃO 19
HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA COM NÚMEROS INTEIROS, ENVOLVENDO AS
OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO). ............................................................ 188
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................188
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................189
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................193
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................195
LIÇÃO 20
HABILIDADE: RECONHECER AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES DE UM NÚMERO RACIONAL. .............. 197
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................197
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................201
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................201
8
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................203
LIÇÃO 21
HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE ENVOLVAM VARIAÇÃO PROPORCIONAL DIRETA OU
INVERSA ENTRE GRANDEZAS ............................................................................................................................................. 205
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................205
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................209
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................212
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................212
LIÇÃO 22
HABILIDADE: IDENTIFICAR FRAÇÃO COMO REPRESENTAÇÃO QUE PODE ESTAR ASSOCIADA A
DIFERENTES SIGNIFICADOS. .............................................................................................................................................. 214
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................214
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................218
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................220
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................222
LIÇÃO 23
HABILIDADE: IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA. ............... 224
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................224
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................226
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................228
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................229
LIÇÃO 24
HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA COM NÚMEROS NATURAIS, ENVOLVENDO DIFERENTES
SIGNIFICADOS DAS OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO). .............................. 232
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................232
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................235
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................238
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................239
LIÇÃO 25
HABILIDADE: IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA. .................. 242
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................242
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................244
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................251
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REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................252
LIÇÃO 26
HABILIDADE: RECONHECER AS REPRESENTAÇÕES DECIMAIS DOS NÚMEROS RACIONAIS COMO UMA
EXTENSÃO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL, IDENTIFICANDO A EXISTÊNCIA DE “ORDENS”, COMO DÉCIMOS,
CENTÉSIMOS E MILÉSIMOS. .............................................................................................................................................. 255
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................255
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................256
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................260
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................261
LIÇÃO 27
HABILIDADE: RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMA COM NÚMEROS RACIONAIS, ENVOLVENDO AS
OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO). ............................................................ 264
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................264
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................265
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................268
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................268
LIÇÃO 28
HABILIDADE: IDENTIFICAR UMA EQUAÇÃO OU INEQUAÇÃO DO 1º GRAU QUE EXPRESSA UMA
SITUAÇÃO-PROBLEMA E REPRESENTAR GEOMETRICAMENTE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU. ........................................... 272
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................272
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................276
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................278
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................280
LIÇÃO 29
HABILIDADE: -UTILIZAR AS PROPRIEDADES E RELAÇÕES DOS ELEMENTOS DO CÍRCULO E DA
CIRCUNFERÊNCIA. ............................................................................................................................................................. 283
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................283
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................285
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................293
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................300
LIÇÃO 30
HABILIDADE: IDENTIFICAR PROPRIEDADES DE FIGURAS SEMELHANTES, CONSTRUÍDAS COM
TRANSFORMAÇÕES (REDUÇÃO, AMPLIAÇÃO, TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO). ....................................................................... 303
10
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................303
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................305
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................309
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................312
LIÇÃO 31
HABILIDADE: RECONHECER A CONSERVAÇÃO OU MODIFICAÇÃO DE MEDIDAS DOS LADOS, DO
PERÍMETRO, DA ÁREA EM APLICAÇÃO E/OU REDUÇÃO DE FIGURAS POLIGONAIS, USANDO MALHAS QUADRICULADAS. 316
PRA COMEÇO DE CONVERSA .....................................................................................................................................................316
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................324
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................325
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................328
LIÇÃO 32
E ÂNGULOS.
HABILIDADE: IDENTIFICAR PROPRIEDADES DE TRIÂNGULOS PELA COMPARAÇÃO DE MEDIDAS DE LADOS
............................................................................................................................................................... 332
PRA COMEÇO DE CONVERSA. ...................................................................................................................................................332
AMPLIANDO A HABILIDADE.......................................................................................................................................................336
INDO ALÉM ...........................................................................................................................................................................338
REALIZANDO A INTERVENÇÃO! ..................................................................................................................................................339
REFERÊNCIA ................................................................................................................................................................... 343
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Lição 1.
Eixo: Grandezas e Medidas
Competência: Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e
a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade: Utilizar as noções de volume.
Conteúdo: Volumes de sólidos e suas aplicações
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, é necessário que ao final do 9º ano os alunos tenham a noção do espaço
ocupado por um objeto tridimensional e estabeleçam medições de volumes e capacidades em
diferentes contextos. A seguir apresentamos uma série de atividades que permitirá discutir
com seus alunos os conceitos de volume e capacidade. Mãos à obra!
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Professor, para começar a aula, você poderá seguir os passos abaixo:
1. Divida a turma em grupos.
2. Solicite aos grupos que construam prismas retos de bases retangulares de dimensões,
por exemplo, 1 cm de largura, 2 cm de comprimento e de altura 1 cm; um prisma de dimensões 1 cm de largura, 3 cm de comprimento e de altura 1 cm; um prisma de dimensões 2 cm
de largura, 3 cm de comprimento e de altura 1 cm e, pelo menos, 30 cubos de 1 cm de aresta.
3. Distribua essa tarefa entre os grupos de forma que um grupo não fique sobrecarregado;
4. Oriente os grupos, quando necessário;
5. Peça a cada grupo que registre os resultados obtidos para posteriormente socializá-los;
Para isso sugerimos que siga o roteiro abaixo Construção de prismas retos de bases retangulares e cubos
Cada grupo deve construir os prismas a partir de suas planificações.
Por exemplo,
12
1. Após a confecção dos prismas está na hora de explorar a noção de espaço. Para isso peça que os alunos contem quantos cubos de aresta 1 cm podem ser colocados dentro de cada
um deles. A seguir chame alguns alunos à frente e dirija a contagem com o olhar de todos.
2. Convencionando que o volume de um cubo de aresta de 1 cm é equivalente a 1 cm3 peça que cada aluno escreva em seu caderno, em cm3, os volumes dos prismas retangulares
construídos pela classe. Os grupos devem socializar não só os resultados obtidos, mas, também, relatar sobre as etapas cumpridas na confecção das planificações.
3. Proponha aos alunos as seguintes questões:
I. Utilizando as figuras construídas, que estratégia pode ser utilizada para se obter o volume
de um prisma retangular reto de dimensões 2 cm, 3 cm e de altura 2 cm e qual o volume encontrado, sem construí-lo;
II. Utilizando as figuras construídas, que estratégia pode ser utilizada para se obter o volume
de um prisma retangular reto de dimensões 2 cm, 3 cm e de altura 3 cm e o volume encontrado, sem construí-lo;
III Qual o volume de um prisma retangular reto de dimensões 2 cm, 3 cm e de altura c cm;
IV. Qual o volume de um prisma retangular reto de dimensões a cm, b cm e de altura c cm
(a intenção é obter informalmente a expressão abc para o volume de um prisma retangular reto).
Comente com os alunos que tal procedimento é informal e que induz somente à expressão do
volume de um prisma reto retangular de dimensões inteiras, mas que existem procedimentos
formais que possibilitam obter as expressões dos volumes de prismas de dimensões quaisquer. Eles podem pesquisar na internet para conhecer esses procedimentos formais que também são chamados, em Matemática demonstrações.
Ampliando a habilidade
13
Ampliando a Habilidade
Para ampliar a habilidade propomos um jogo para ser executado com os alunos. Trata-se
de um quebra cabeça criado em 1936 por um poeta e matemático dinamarquês chamado
Piet Hein. Convide os alunos a conhecer o quebra cabeça. Vamos lá?
O CUBO SOMA
Confeccione com seus alunos os sete policubos abaixo (peças formadas por pequenos cubos unitários) para montar um cubo de 3x3x3 unidades. Use papel colorset ou cartolina.
As peças do Cubo Soma são apresentadas abaixo. Confeccione-as com seus alunos:
Abaixo estão outros tipos de figuras que os alunos podem formar com as sete peças do cubo-soma. Peça aos alunos que montem cada uma delas.
Após essa fase de familiarização você vai trabalhar com o conceito de volume, a partir das
questões abaixo:
1- Que formas diferentes podemos fazer com 2 cubos, 3 cubos, 4 cubos?
2- Tomando como unidade medida a face de um cubo, calcule a área total de cada sólido
acima.
3- Tomando como unidade medida um cubinho, calcule o volume de cada figura.
4- Dado o Cubo (3x3x3) e uma outra figura (formada pelas 7 peças) : Qual têm o maior volume? E a maior área total ?
5- Tomando como unidade medida um Cubo (3x3x3) que fração do total representam cada
uma das peças?
Continue a aula pedindo que os alunos, em duplas, desenvolvam as atividades a seguir. (tire uma cópia para cada dupla).
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1. Quantos tijolos formam o sólido abaixo?
2. Quantas caixas de chocolate sobrarão após encher a caixa maior?
3. Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura a seguir. Se cada caixa pesa 25kg quanto pesa o monte com todas as caixas?
4. Ainda sobre o sólido da questão acima, quantos cubos faltam para formar um cubo de
aresta igual a 3 unidades?
Professor nesse momento você deverá abordar com seus alunos a diferença entre volume e capacidade . Lembre-se do sistema métrico decimal ,distinga e compare metros
cúbicos com litros . As atividade abaixo trarão uma forma criativa e de exploração do
raciocínio lógico que tornarão a aprendizagem mais prazerosa !
Estabeleça a relação entre volume e capacidade:
15
Apresente a definição de capacidade que no dicionário é dada por :
“ capacidade é volume interno de um recipiente”.
Duas unidades de medida de capacidade muito usadas são o litro e o mililitro. Apresente
então alguns problemas que possibilitem ao aluno diferenciar volume de capacidade.
Continue a ampliar a habilidade resolvendo coletivamente com os alunos os problemas a
seguir (Tire uma cópia por aluno).
1. Uma caixa e uma garrafa estão vazias e sem rótulo. O que podemos fazer para comparar a
capacidade destes recipientes? Explique detalhadamente sua resposta.
2. O vaso mostrado na figura ao lado foi feito com placas
de vidro, cada uma com 0,5 cm de espessura; ele tem a
forma de um paralelepípedo retângulo com as dimensões
externas indicadas. Nessas condições determine:
20 cm
a) a capacidade desse vaso;
10 cm
20 cm
b) o volume do vidro utilizado na sua confecção;
Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente
seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.
3. Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
4. Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la,
o número mínimo de medições a serem realizadas é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
16
Amplie ainda mais resolvendo coletivamente com seus alunos uma atividade sobre conservação.
5.Imagine uma caixa de vidro inteiramente fechada e quase cheia de água, como mostra a figura. Observe que o nível da água está 5 cm abaixo do máximo. Agora, vamos colocar a caixa
em pé, para que fique com 40 cm de altura.
Nesse caso, o nível da água ficará quantos centímetros abaixo do máximo?
25 cm
40 cm
30 cm
40 cm
25 cm
30 cm
Ao final proponha que em grupos de 4 ou 5 alunos resolvam desafios abaixo.Cada grupo deverá se responsabilizar por um problema e apresentá-lo em plenária para os demais alunos.
1. A caixa d’água da figura 1 é um cubo de 1 m de aresta e contém água até a altura indicada. Ela é inclinada em um de seus lados e gira em torno de suas arestas da base. A figura 2
representa a situação descrita, no instante em que a água começa a derramar. Calcule a medida x indicada no desenho.
2. Galileu encontra-se diante de uma fonte da qual jorra água em abundância. Ele dispõe de
dois baldes, cujas capacidades são 7 e 11 litros. Como ele deve proceder para que um dos
baldes fique com 6 litros de água?
3.Galileu dispõe-se de nove garrafas em fila indiana. As cinco primeiras estão cheias de uma
bebida e as quatro últimas estão vazias. Movendo somente duas garrafas, como tornar a fileira
com garrafas alternadamente cheias e vazias?
4. As figuras a seguir representam 21 garrafas de água sendo que sete delas estão cheias,
sete estão pela metade e sete estão vazias.
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• garrafas cheias
• garrafas com metade da capacidade preenchida
• garrafas vazias
Como podemos separar essas garrafas em três grupos de maneira que, em cada grupo fique a mesma quantidade de água e a mesma quantidade de garrafas?
Indo além
1
6
Indo além...
Finalmente, para encerrar o trabalho com volumes propomos que cada aluno faça a leitura
do texto abaixo e em seguida, reflita, com toda a turma sobre as ideias contidas na crônica
pensando que até a data dessa leitura cada aluno responda às seguintes perguntas :





Quantos anos você tem (qual a sua idade)?
Qual a capacidade de uma mamadeira?
Estime quantas mamadeiras você tomou em sua vida.
Qual capacidade de uma garrafa de Coca-Cola?
Qual a sua estimativa para a quantidade de garrafas de Coca-Cola que irá tomar durante sua vida?
 Compare essas estimativas com o volume de água do Planeta Terra. Para isso, pesquise na internet qual é a quantidade água existente no Planeta e, finalmente, explique
num pequeno parágrafo o que o autor quis dizer ao escrever:
“As quatro garrafas, caro leitor, vêm alternadas, e voltam, às vezes. Haverá momentos em que só o colo dos seus pais te fará sorrir de novo, de um modo simbólico, talvez, você estará tomando mais um gole daquela primeira garrafa.”
Pequena crônica das garrafas (Ricardo lima)- Adaptação
18
Já faz alguns dias que vi essa fotografia, vinha com os dizeres: "a vida se resume a quatro
garrafas, vamos aproveitá-la, pois já estamos na terceira".
Achei a foto bem mais interessante que a frase. Copiei e salvei no rolo de câmera do celular,
à espera desta crônica, à espera de ser lembrada, à espera descobrir quem era o fotógrafo, à
espera de algo.
De fato, alguma verdade existe na frase. A vida resumida em algumas garrafas. A primeira, é
claro, uma mamadeira, da sua primeira infância, aquela mamadeira que sua mãe ferveu várias
vezes, que você jogou no chão outras tantas, enfim.
Segue a garrafinha de refrigerante, que só serve, na verdade, para anteceder a bebida mais
adulta . Quero concentrar minha atenção nas duas últimas, das quais já provei: o amargo simpático e relaxante de uma bebida, o amargo desgastante e destruidor dos remédios - quimioterápicos, no meu caso. Vamos, então, às garrafas:
Acho bastante curioso o ato de tomar uma bebida. É uma daquelas coisas que, de tão naturais se podem pressupor, e podem ficar escondidas numa elipse qualquer, vamos tomar uma
hoje? Pergunto aos amigos, sem precisar me referir diretamente a qual bebida . É como chegar
na padaria e pedir dois, sem precisar dizer que são dois pães. Beber uma bebida é um ato
social, algo que se não faz sozinho sem que se perca a maior parte da satisfação.
É por isso que, das quatro garrafas, talvez a que mais se possa compartilhar seja mesmo a
terceira: a garrafa de uma bebida compartilhada no bar onde vão os colegas de faculdade,
aquela compartilhada com os colegas do trabalho no final do expediente, aquela que se abre
em casa, para os amigos mais chegados, aquela que se leva para a beira da praia, aquela que
se leva para a casa dos amigos. Compartilhamos garrafas junto com desabafos, junto com
comemorações. Entre um e outro brinde vamos deixando parte das nossas aflições sobre a
mesa, vamos ficando mais aliviados. Entre outros tantos vamos comemorando, e nos alegrando com o riso dos amigos, com as histórias novas e as que se relembram.
Toda essa porção fica reservada à terceira garrafa.
Não é o caso da quarta delas. A fotografia mostra apenas uma garrafa que pode ser de soro
ou qualquer remédio. Para mim, ver aquela garrafa na fotografia traz uma lembrança específica, para cada um pode significar algo. O que quero dizer dela, porém, é sobre o seu momento,
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ela representa o final da sequência. Seja numa idade provecta, seja ainda jovem, o momento
da quarta garrafa é o ocaso. Esse já não é como o momento da terceira garrafa, quero dizer,
momento dessa última não é compartilhado da mesma forma que as de outras garrafas.
Não parece natural o que digo? Ora, o final é solitário, é compartilhado com um círculo mais
e mais restrito, são coisas das quais não se quer dar grandes explicações, das quais não se
quer falar às vezes. Este é o natural. O natural, porém, não é a regra. Não foram poucos os
amigos que compartilharam comigo o amargo dos remédios. A eles tenho que agradecer muito, e ainda será pouco.
Das quatro garrafas entendi o seguinte: elas não aparecem assim como fases estanques,
separadas por uma linha indelével e intransponível. Não. As quatro garrafas, caro leitor, vêm
alternadas, e voltam, às vezes. Haverá momentos em que só o colo dos seus pais te fará sorrir de novo, de um modo simbólico, talvez, você estará tomando mais um gole daquela primeira garrafa.
Em outros momentos, porém, você não poderá beber uma bebida, seja por estar dirigindo,
seja por estar tomando aquele remédio para a garganta. Em outros momentos, talvez, você
caia doente, pense que esse pode ser seu fim, mas não, engano seu, você poderá voltar
àquela primeira, à segunda e, claro, à terceira e gelada garrafa que se toma com os amigos .
O bom de tudo isso é saber que a possibilidade compartilhar e brindar não vai se restringir
só às bebidas . Esta pequena crônica das garrafas é, na verdade, uma crônica sobre a amizade.
Sobre o autor: Apaixonado por Música, Literatura, História e Direito, mineiro e desinquieto,
desconfia de quem não toma uma bebida e não come pão de queijo. Co-fundador do G88,
gosta de ler mais do que de escrever e de ouvir mais do que falar.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade: “Utilizar as noções de volume”.
Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Dado um sólido qualquer, podemos definir a razão entre seu volume e sua área total como
sendo um coeficiente C que mostra o quanto o sólido é compacto. Por exemplo, a figura abaixo
mostra dois prismas retos de base quadrangular, o primeiro possui as arestas da base medindo
1 cm e altura 10 cm e o segundo possui arestas da base medindo 3 cm e altura 4 cm. O coeficiente C do primeiro é igual a
10
36
 0,24 enquanto o do segundo é igual a
 0,55 .
66
42
20
Dizemos que quanto maior o valor do coeficiente C, mais compacto pode ser considerado o
sólido, pois ele teria um maior volume usando uma menor área para contê-lo.
Considerando r um número maior que 2, neste conceito, dentre as possibilidades a seguir, o
sólido mais compacto é uma esfera de raio
A) r.
B) 2r.
C) r/2.
D) r2.
2) (M110140CE) A ilustração abaixo mostra um recipiente contendo água até o nível indicado.
Qual é a quantidade de água contida nesse recipiente?
A) 16 dm3
B) 24 dm3
C) 32 dm3
D) 48 dm3
E) 64 dm3
21
3) (M090561A9) Veja o bloco retangular abaixo.
Qual é o volume desse bloco em cm³?
A) 111
B) 192
C) 2 430
D) 4 860
4) O reboco é a aplicação de argamassa de cimento e areia nas paredes de tijolos cerâmicos
ou blocos de concreto e tem a função de formar uma superfície
impermeabilizante, para evitar infiltrações; uma superfície lisa
para receber acabamentos como tintas, texturas, papéis de parede; confere acústica e propriedades térmicas proporcionando
conforto ambiental.
O reboco externo tem uma espessura média de 20mm ou 2cm.
Já o reboco interno tem uma espessura média de 15mm ou 1,
5cm. Entretanto para conseguir essas espessuras a alvenaria
tem que ter sido executada com qualidade em relação a prumo,
alinhamento, esquadro e qualidade dos tijolos ou blocos.
O proprietário de um escritório deseja reformar internamente seu escritório, que possui paredes de 2,40 m de altura e piso retangular com dimensões de 5 m x 4 m. Para isso usará uma
argamassa pronta comprada no comércio da construção civil .Desconsiderando as portas e
22
janelas, e possíveis irregularidades na parede, o volume de argamassa para o reboco a ser
utilizado para cobrir as paredes do escritório será igual a:
(a) 0,408 m3
(b) 0,432 m3
(c) 0,864 m3
(d) 1,264 m3
23
Lição 2
Eixo: Grandezas e Medidas
Competência: Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e
a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade: Resolver situações-problema envolvendo o cálculo do perímetro e área de figuras
planas.
Conteúdo: Perímetros e áreas
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, apresentamos a seguir uma série de atividades que o ajudará a ampliar a
capacidade seus alunos em resolver problemas que envolvam os conceitos de perímetros e
áreas de figuras planas. Boa aula!
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Sugerimos que prepare o seguinte material necessário para a aula:
Quadrados, retângulos, trapézios, hexágonos e losangos de papel colorido; coleção de
quadrados, círculos e retângulos de papel; tangram recortado; geoplano de madeira ou papel.
Comece organizando uma roda de conversa com a turma toda e pergunte aos alunos o que
significam expressões como: "A área do terreno da minha casa é maior do que a da sua", "A
área da quadra de futebol de salão é de 375 m²" e "Como saber quantas lajotas ou peças de
piso são necessárias para se cobrir o chão de uma sala de aula? ". Prepare um painel com as
informações recolhidas e deixe-o exposto na sala. À medida que as atividades avançarem,
acrescente as outras informações.
Continue distribuindo quadrados e retângulos de papel colorido para cada um dos alunos e
explique que esses objetos servirão como unidade de medida de algumas superfícies. Forme
grupos com quatro ou cinco alunos e proponha que eles cubram uma folha de papel ofício
com as diferentes formas. Cada grupo deverá mostrar como procedeu para medir a superfície
do papel. Em seguida, dê algumas formas reduzidas planas (retângulos, triângulos, trapézios,
hexágonos) e uma coleção de quadrados, círculos e retângulos de papel maiores. Peça que
recubram cada forma maior com as peças de papel. Registre os resultados e discuta-os:
"Que forma recobre melhor o objeto? Por quê? ".
Após a discussão das questões sugeridas acima, diga aos alunos que construam uma série
de formas (que tenham áreas variadas) usando papel quadriculado. Peça que eles as ordenem daquela de maior área para a de menor. Depois, peça, que contem os quadrados que
existem em cada forma.
Dê aos estudantes um conjunto de formas geométricas e pergunte qual é a de maior área.
Use o geoplano (conforme o modelo da figura a seguir) para que os alunos possam comparar
as áreas por meio da contagem dos quadrados.
24
Finalmente organize duplas e proponha que desenhem o contorno de várias figuras usando
as peças do tangram, como indicado abaixo. Pergunte a elas quais figuras são de maior, menor ou igual área, tendo como auxílio as peças do tangram. Peça que expliquem suas conclusões.
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Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Dando continuidade à atividade faça uma cópia para cada aluno da questão do PISA- 2012
que está logo abaixo.
ÁREA DE UM CONTINENTE
A figura abaixo é um mapa da Antártida.
Peça aos alunos que individualmente pense nas seguintes questões e tente respondê-las:
a) Qual é a distância entre o Pólo Sul e o Monte Menzies? Registre os cálculos que efetuar
e todo o raciocínio utilizado.
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b) Estime a área da Antártida, usando a escala do mapa.Rergistre os cálculos que efetuou e
explique como fez a sua estimativa.
A partir dessa questão e analisando as respostas do seus alunos discuta com eles como podem estimar perímetros e áreas de figuras que não são polígonos.
Para finalizar peça que, em duplas, resolvam os problemas abaixo:
1) Determine a área das seguintes figuras (em cm) e para cada área e perímetro calculado
escreva uma situação problema contextualizada em que a solução seja o cálculo executado:
a)
c)
b)
d)
e)
2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?
3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual
a área deste trapézio?
4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?
27
ndo além
1
6
Indo além...
Convide o professor de Ciências e juntos elaborem um projeto a partir do texto abaixo:
Os estudos Matemáticos estão presentes em diversas áreas do conhecimento humano. Na
medicina, especificamente na Fisiologia, médicos desenvolveram uma equação matemática
responsável por determinar a área da superfície do corpo de um ser humano. O estudo envolve um importante órgão do corpo humano, pois a pele é a camada de proteção dos nossos
músculos e é por ela que algumas substâncias, juntamente com o suor, são eliminadas. A
pele também é responsável pela manutenção da temperatura corporal, pela reserva de nutrientes e é detentora de terminações nervosas sensitivas.
Essa fórmula tem como objetivo determinar a quantidade suor (líquido) expelido durante a
realização de atividades físicas. Também é utilizada para acompanhamento de pessoas com
problemas de ganho e perda de massa corpórea. A expressão utilizada na determinação da
área superficial do corpo de um humano adulto em metros quadrados é dada por:
Exemplo 1
Um indivíduo com massa de 82 kg e 1, 86 metros de altura possui a seguinte área superficial do corpo:
28
Exemplo 2
Qual a área da superfície do corpo de uma mulher com 65 kg e 1, 68 metros de altura?
De acordo com estudos realizados temos que a área da superfície do corpo humano considerada normal é de aproximadamente: 1, 6 m² para mulheres e 1, 9 m² para homens.
Lembre as seus alunos que, nas aulas de Ciências, eles aprenderão que as células humanas
produzem calor e essa produção é proporcional à massa da pessoa, isto é, pessoas com maior
massa produzem mais calor e pessoas com menor massa produzem menos calor. Nessas aulas eles aprendem que as pessoas perdem calor para o meio externo e isso está diretamente
ligado à sua superfície, isto é, quanto maior a área do corpo maior a perda de calor e consequentemente a pessoa sente mais frio. Usando esse conhecimento das ciências e os argumentos matemáticos sobre áreas, escreva um texto que justifique porque sua mãe o agasalhava
tanto quando você ainda era bebê. Sua mãe fazia cálculos matemáticos? Se sim, porque sua
mãe até hoje lhe manda vestir blusa quando ela está com frio?
Termine a aula avaliando com seus alunos o trabalho da semana! Uma sugestão é pedir que
cada um deles complete as frases abaixo:
Nome do aluno
Turma:
Depois de assistir e participar das aulas dessa semana, que bom. . . . . .
que tal. . . . . . . . e que pena que. . . . . . . . .
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade: “Resolver situações-problema
envolvendo o cálculo do perímetro e da área de figuras planas”. Estas questões servem de diagnóstico para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
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1) Observe a figura abaixo na qual cada quadradinho tem lado medindo 1cm.
A área da figura, em cm2, que está colorida de amarelo é:
a) 20
b) 17
c) 15
d) 5
2) Veja a figura cinza desenhada na malha quadriculada abaixo. A medida da área de cada
quadradinho da malha é igual a 2 cm2.
Qual é a medida da área dessa figura pintada de cinza?
A) 65 cm2.
B) 64 cm2.
C) 66 cm2.
D) 70 cm2.
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3) Veja a figura abaixo. Ela representa a planta da cobertura que Paulo comprou.
O quadriculado representa quadrados de 1m2.
Analisando essa planta, um comentário matematicamente correto que um arquiteto pode fazer
é:
a) A área da sauna é maior que o dobro da área da piscina.
b) A área da sauna é igual à área da piscina
c) A área da sauna é 8 m2 maior que a área da piscina
d) A área da sauna é menor a área da piscina
4) Cristiane comprou um lote de 1375 m2 e lá pretende construir uma casa. Ao levar a planta
para seu arquiteto, ele comentou que a forma retangular do lote é perfeita para uma construção
ousada. O lado do lote que fica na direção da rua é muito grande, o outro lado é 30m maior, o
que garante um lote retangular bastante grande, maior que um lote comum.
Enquanto a obra está na fase de projeto, Cristiane deve cercar o lote. Ela vai a uma loja especializada e compra material para fazer a cerca exatamente na medida do perímetro do lote. A
quantidade em metros de cerca que ela vai comprar é:
a) 80
b) 100
c) 160
d) 1375
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Lição 3
Eixo: Grandezas e Medidas
Competência: Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e
a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade: Utilizar as relações entre diferentes unidades de medida.
Conteúdo: Sistema métrico decimal, medições diversas e medidas agrárias
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, medir é uma habilidade que nasce com o ser humano. Fazer comparações,
estimar e construir objetos a partir de diferentes medições é uma habilidade que a escola deve ajudar os alunos a desenvolver. A sequência de atividades a seguir propõe um conjunto de
ações que ajudarão seus alunos a utilizarem melhor o sistema métrico decimal.
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Você vai criar um ambiente de medição investigativo com seus alunos Para isso tenha em
sala palitos (de fósforo, de picolé ou similares), réguas graduadas, tiras de papel resistente de
comprimentos variados, fitas métricas, metros rígidos (do tipo usado em lojas de tecidos) metros dobráveis (usados por pedreiros e marceneiros), trenas de comprimentos variados (2m,
5m, 10m). A seguir proponha alguns experimentos:
1) Peça para os alunos desenharem vários segmentos de reta, medindo os respectivos comprimentos com palitos de fósforo. Quantos palitos foram necessários para cada medida? São
usados somente os palitos inteiros?
2) Registre na lousa algumas medidas feitas pelos alunos. Discuta a necessidade e o procedimento de fracionar o palito de fósforo. Dê um exemplo desse fracionamento por meio de uma
ilustração. Retome o conceito de fração se for o caso.
3) Amplie o modelo de um palito na lousa, dividindo-o em várias partes, com o objetivo de explorar o conceito de fração. Imagine algumas medidas, utilizando o fracionamento do palito. Por
exemplo, um segmento com o comprimento igual a 6 palitos mais 1/3 de palito.
4) Utilizando o palito de fósforo como instrumento de medida, retome o conceito de perímetro
das figuras geométricas e peça que meçam o perímetro de alguns objetos da sala usando os
palitos.
5) Apresente modelos de polígonos côncavos e convexos e peça que os alunos desenhem
alguns desses modelos, mas variando o número de lados. Peça que eles pintem os perímetros
desses modelos com cores diferentes e calculem o perímetro de cada um com palitos de fósforo.
32
6) Peça aos alunos para medirem, com a régua, o comprimento de cada palito em centímetros e milímetros e que transformem as medidas dos perímetros, expressas em função do
número de palitos, para cm e mm.
7) Construa quadrados com 20 palitos de fósforo. Quantos quadrados podem ser construídos? Usando o palito de fósforo como padrão de medida para essa resposta, mostre por meio
de desenhos e escreva a medida de cada lado desses quadrados.
8) Proponha a seguinte situação :
Um retângulo A é construído com 16 palitos de fósforo - 5 palitos para a sua base e 3 palitos
para a altura. Considerando o perímetro desse retângulo igual a 32 cm, calcule a medida de
cada lado em mm.
Termine a aula pedindo que os alunos resolvam os problemas a seguir.
1. Eu tenho um terreno retangular de dimensões 125 metros por 80 metros que pretendo
usar para fazer uma plantação. Mas, deste terreno, uma parte, medindo 30 dam2, está ocupada com construções. Qual é a área que sobra, em km2?
0, 007 km2
9, 7 km2
0, 7 km2
0, 997 km2
2. Uma parede tem 5 metros de comprimento por 2 metros de largura e deve ser coberta
com azulejos quadrados, de lado 25 cm. Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos. Quantas
caixas eu devo comprar, no mínimo, para garantir que não fiquem faltando azulejos?
uma caixa
duas caixas
três caixas
cinco caixas
dez mil caixas
3. Um muro, em formato de um paralelepípedo retangular, mede 20 metros de comprimento e
2 metros de altura, tendo 50 centímetros de espessura. Sabendo que ele foi construído com
tijolos em formato de paralelepípedo, com dimensões 10 cm x 10 cm x 20 cm, determine o número de tijolos usados para construir o muro.
100
1. 000
10. 000
100. 000
4. Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 0, 2 km de largura e 0, 3 km de comprimento. Quantos metros de arame farpado devo usar?
500 m
600 m
33
1. 000 m
60. 000 m
Ampliando a habilidade.
Ampliando a Habilidade
Comece essa segunda aula corrigindo as questões que podem ter sido deixadas para casa
na aula anterior. Em seguida distribua os alunos em grupos (3 a 4 alunos). Então proponha o
vídeo Matemática no sítio [Matemática em toda parte]. Disponível em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12540, Esse episódio apresenta o programa matemática em toda parte, da TV Escola. Trata da presença e utilização da matemática na agricultura. São apresentados os conceitos de álgebra e geometria a partir de atividades corriqueiras desenvolvidas em um sítio.
Solicite aos alunos que durante o vídeo anotem suas impressões observando:
a) Que aproximações percebem entre conceitos matemáticos e a agricultura?
b) Se existem aproximações, em quais momentos os conceitos matemáticos se apresentaram?
Após refletirem e discutirem sobre os conteúdos matemáticos identificados, dê ênfase à discussão sobre o sistema de medidas, uma vez que com certeza será um dos conteúdos identificados. Converse com os alunos que no caso da agricultura, essa situação matemática é
bem significativa, pois remete a situações bem antigas.
Sugestão: Se julgar necessário você pode rapidamente abordar aspectos da História do Sistema de Medidas e, só então, partir para a explicação conforme segue. Uma sugestão é usar
as dicas do site :
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo2/historia.
html,
Ainda nessa aula, com os alunos reunidos em grupo, proponha as seguintes situações problema. (As respostas estão disponíveis para que você, professor, possa avaliar, qual a complexidade dos problemas e adequá-las às suas turmas).
1) Problemas de conversão:
a) Quantos ares têm uma área de 250 m2?
Resposta: Como cada are tem 100 m2, basta dividirmos 250 m2 por 100 m2 = 2, 5
Logo, 250 m2 correspondem a 2, 5 a.
b) Quantos decímetros quadrados têm 14 a?
Resposta: Como cada are têm 100 m2, temos, 14 x 100 = 1 400 m2
Como o problema pede a resposta em decímetros, fazemos a conversão de 1400 m2 para
dm2, ou seja, 1 400 x 100 = 140 000 dm2.
34
Logo, 14 ares correspondem a 140 000 dm2.
c) Quantos hectares correspondem 995000 m2?
Resposta: Como cada ha têm 10000 m2, basta dividirmos a área dada em 10000 partes
iguais:
995000: 10 000 = 9, 5
Logo, 995 000 m2 correspondem a 9, 5 ha.
a) Quantos m2 correspondem a 22, 8 ha?
Resposta: Para transformar ha em m2, multiplicamos a quantidade ha por 10 000 m2:
22, 8 x 10000 = 228 000 m2.
Logo, 22, 8 ha correspondem a 228000 m2.
b) Quantos alqueires paulista tem uma área de 121 000 m 2?
Resposta: Como 1 alqueire paulista são 24200 m2.
Basta efetuar :
121000: 24200 = 5
Logo, 121 000 m2 correspondem a 5 alqueires paulista.
c) Quantos alqueires mineiro têm uma área de 532400 m 2?
Resposta: Como 1 alqueire mineiro equivale a 48400 m2.
Então ,532400: 48400 = 11
Logo, 532 400 m2 correspondem a 11 alqueires mineiro.
2) Se sua turma tiver um nível alto de habilidades proponha também essas situações problema:
a) O Parque Nacional da Serra da Canastra (MG) tem 71525 ha. Quantos alqueires paulista
tem o parque mineiro?
Resposta: Se o parque mineiro tem 71525 ha. Então para sabermos quantos metros quadrados correspondem esta área, multiplicamos este valor por 10 000.
71525 x 10 000 = 715250000 m2
Cada alqueire paulista corresponde a 24 200 m 2, assim temos:
715250000: 24200 ≅ 29555
O Parque Nacional da Serra da Canastra tem então aproximadamente 29555 alqueires paulistas.
35
1. Uma propriedade rural, de forma retangular, mede 2420 m por 540 m.
a. Quantos alqueires mineiros tem essa propriedade?
b. Qual o valor da propriedade se o alqueire mineiro custa R$ 7200, 00?
c. Quantos hectares tem essa propriedade?
Resposta:
a) Primeiro precisamos calcular a área da propriedade. Para isso basta:
2420 x 540 = 1306800 m2
Sabendo que 1 alqueire mineiro é igual a 48400 m2, basta dividir:
1306800: 48400 = 27 alqueires mineiro.
b) 27 x 7200 = 194400
Portanto, R$ 194400, 00.
c) Como cada ha têm 10000 m2, basta dividir:
1306800: 10000 = 130, 68 hectares.
Caso julgue necessário, finalize essa aula com a leitura compartilhada do texto abaixo e
convide os alunos a pesquisarem mais sobre o tema
No Brasil, além das unidades usuais referentes ao m² e ao km², as pessoas utilizam algumas
medidas denominadas agrárias. Entre os proprietários de terras e corretores, as medidas utilizadas cotidianamente são as seguintes: are (a), hectare (ha) e o alqueire. Entre as medidas
agrárias, o are é considerado a unidade medida fundamental, correspondendo a uma superfície
de 100 m², mas atualmente ele é pouco utilizado. O hectare é ultimamente a medida mais empregada em área de fazendas, chácaras, sítios, regiões de plantações e loteamentos rurais,
equivalendo a uma região de 10000 m². O alqueire foi uma das medidas agrárias mais utilizadas pelos fazendeiros, mas atualmente ele é considerado uma medição imprópria, em virtude
das diferentes quantidades de m² utilizados pelos estados brasileiros. O alqueire paulista é
equivalente a 24200 m², o mineiro e o goiano correspondem a 48400 m², enquanto que o alqueire da região Norte é igual a 27225 m². Essa inconsistência de medidas entre os estados e
a deficiência organizacional quanto à equiparação da unidade alqueire, tem contribuído para
que os proprietários de terras abandonem esta unidade de medição, prevalecendo uma medida
de padrão nacional, como o hectare.
Fonte: Medidas Agrárias Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/medidasagrarias.htm .
Indo além
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Indo além...
1
6
Uma ótima sugestão para ir além é propor que os alunos façam uma entrevista com uma
pessoa que trabalha no campo (pode ser um agricultor) apresentando seus conhecimentos no
que se refere ao sistema de medidas agrárias. Também o envolvimento da família dos alunos
nessa atividade é relevante, pois muitas vezes os pais (ou avós) são originários de regiões
agrícolas e conhecem diferentes sistemas de medida.
Antecipadamente organize com os grupos de alunos questões para a entrevista, é interessante identificar as relações existentes entre as medidas oficiais (metro, unidade área e unidade
medida agrária) com as não oficiais ( braça, palmo, quarto. . . ).
Em sala de aula cada grupo deve apresentar o resultado de sua entrevista. O professor pode,
a partir dos dados coletados, traçar com os grupos uma análise sobre as medidas agrárias
usuais mais comuns na comunidade. Podem inclusive, elaborar um panfleto informativo apresentando detalhes dos sistemas com uma tabela de conversão.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Utilizar as relações entre diferentes unidades de medida ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que
precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Por falta de hábito as pessoas deixam de utilizar as casca de frutas e legumes e perdem os
benefícios que estes alimentos trazem à saúde. Por exemplo, a casca de abacaxi é rica em
vitamina C e fibra e é usada em sucos, bolo e no doce em pasta; já a casca de banana tem
vitaminas A, C e Complexo B e é usada no preparo de farofa.
Saber utilizar todas as partes do alimento significa variar e enriquecer os pratos e, ainda, economizar no orçamento. Aproveite os talos para enriquecer e temperar bolinhos, omeletes, refogados, farofa, carnes, saladas e sopas. Como as cascas, os talos são bastante nutritivos. Assim, o talo de agrião é rico em vitaminas A, C e complexo B, fósforo e ferro e o de espinafre
contém vitamina A, ferro e potássio.
Para fazer uma farofa com casca de banana e talo de espinafre para um churrasco, Regina
precisa de 3, 2 kg desses, ingredientes mas, em sua geladeira, ela tem apenas 1, 760 kg
A quantidade em gramas que ela ainda precisa para fazer a receita é:
A) 144 gramas
B) 1440 gramas.
C) 1728 gramas
D) 4960 gramas.
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2) Para fazer uma receita, Regina precisa 2, 5 kg de carne. Ao tirar o pacote de carne da geladeira, vê que ele tem apenas 1, 890 kg.
De quantos gramas de carne ela ainda precisa para fazer a receita?
A) 610.
B) 710.
C) 810.
D) 910.
3) A baleia azul é tão grande que caberiam 50 pessoas em sua boca, e somente um bebê baleia toma, por dia, cerca de 360 litros de leite, ganhando cerca de 90 quilos de peso por dia. O
Brasil foi um dos primeiros países a proibir a caça da baleia azul, contudo em países como os
Estados Unidos, a Noruega e o Japão, a caça a baleia se estendeu por muito tempo, e ainda
hoje causa polêmicas. As baleias eram caçadas e processadas ainda em alto mar, em navios
que eram verdadeiras fábricas, isso as colocou na rota da extinção
Se um litro são 1000 ml e considerando que um bebê humano bebe 600ml de leite por dia, então os 360 litros de leite ingeridos por dia por um filhote de baleia azul alimentariam um bebê
humano por:
a) 360 dias
b) 600 dias
c) 30. 000 dias
d) 360. 000 dias
4) João acompanhou durante três meses seu medidor de energia elétrica, tentando entender
seu funcionamento. Ele tirou várias fotos e as levou para que um leiturista da Cemig lhe dissesse qual era a leitura. Ele conseguiu as seguintes informações:
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João percebeu como era o funcionamento do medidor. Chegando em casa ele foi direto ao seu
medidor e viu como ele estava.
A leitura desse medidor é:
a) 6235 Kwh
b) 7245 Kwh
c) 6336 Kwh
d) 6246 Kwh
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Lição 4
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Utilizar propriedades dos polígonos regulares (soma de seus ângulos internos,
número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno).
Conteúdo: Polígonos convexos
Duração: 3horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, nessa aula, serão desenvolvidas três atividades que têm por intuito trabalhar com a relação existente entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer.
Motive seus alunos e mãos à obra!
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
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Pra começo de conversa
Inicialmente faça uma breve revisão dos conceitos envolvidos no estudo de ângulos (ângulo
reto, ângulo raso) e no trabalho com esquadros, pedindo aos alunos que indiquem as medidas dos ângulos desses instrumentos (90°, 45°, 45° e 30°, 60°, 90°). Esses dados auxiliarão
na compreensão dos conceitos que serão trabalhados a seguir.
Providencie o material necessário:
- Papel;
- Lápis;
- Régua;
- Tesoura.
Peça que Individualmente cada aluno construa numa folha de papel um triângulo qualquer.
Será interessante pedir aos alunos que façam figuras de diferentes tamanhos e posições.
Em seguida peça aos alunos que recortem as “pontas” dos triângulos. Nesse momento o
professor poderá apresentar as definições de ângulos internos e ângulos externos de um tri40
ângulo, evidenciando que o trabalho que será desenvolvido abordará o estudo dos ângulos
internos.
Os alunos deverão então juntar as figuras recortadas. Para que não haja confusão em relação ao posicionamento das figuras explique à classe que os ângulos do triângulo devem ser
demarcados com um arco antes do recorte.
Finalizando, peça aos alunos que indiquem, apesar dos espaços não preenchidos devido às
irregularidades dos cortes, de qual medida mais se aproxima o ângulo formado pela união dos
ângulos internos do triângulo, analisando o resultado das montagens dos colegas também. Espera-se que eles consigam concluir que em todos os casos a soma dos ângulos resultou em
um valor próximo a 180°. Comente que seria 180 graus a menos das irregularidades dos cortes. Assim será possível formalizar a relação de medida entre os ângulos internos de um triângulo.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Para essa aula providencie régua, transferidor, compasso e diversos modelos de polígonos
regulares.
Comece a aula com uma conversa informal para mobilizar os conhecimentos da turma. Apresente frases que comumente aparecem em noticiários, como "Asfalto de avenida em São Paulo
tem piso irregular" ou "Piso irregular e problemas estruturais desagradam as duas equipes na
Copa Davis", e pergunte qual o sentido da palavra "irregular" em ambas. Se quiser, faça uma
adequação das frases para situações vivenciadas na comunidade local ou leve notícias com
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situações de superfícies irregulares, relacionando o termo a algo que seja mais presente no
dia a dia deles.
Em seguida, divida a turma em duplas e peça que façam um triângulo com os três lados de
mesma medida utilizando a régua e o compasso. É importante para o estabelecimento das
relações que serão realizadas na próxima etapa da atividade que cada dupla faça um triângulo com medidas diferentes (uma dupla constrói um triângulo de 2 centímetros de lado, outra
com 2, 5, outra com 3 e assim sucessivamente). Discuta com os jovens como utilizar a régua
e o compasso para desenhar a figura solicitada e de que modo farão para saber as medidas
dos lados. O esperado é que descrevam os seguintes passos:
A) Com a régua, fazer um segmento de reta igual à medida desejada para o lado do triângulo. Abrir o compasso na mesma medida escolhida.
B) Posicionar a ponta seca do compasso em uma extremidade da reta e construir um arco
de circunferência. Partindo da outra extremidade, traçar outro arco que corte o primeiro. O
ponto onde os dois arcos se cruzam é o terceiro vértice do triângulo.
c) Riscar os outros dois lados do triângulo na intersecção dos arcos.
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Continue pedindo que todos os estudantes meçam, com ajuda do transferidor, os ângulos internos do triângulo que acabaram de construir e registrem no papel as medidas encontradas.
Nesse momento, pergunte a diferentes duplas: qual a medida dos lados do triângulo que vocês
construíram? Qual a medida dos ângulos internos desse triângulo? No fim da atividade, a turma deverá concluir que as medidas dos ângulos não se alteram apesar de o tamanho dos lados do triângulo aumentar ou diminuir. Em seguida, apresente a nomenclatura apropriada para
o triângulo por eles construído: equilátero. Explique que ele recebe esse nome por possuir três
lados de mesma medida. Informe também que um polígono com todos os lados e os ângulos
congruentes é chamado de polígono regular.
Agora forneça às duplas uma folha com diferentes polígonos regulares (quadrado, pentágono
regular, hexágono regular, heptágono regular etc. ) desenhados, como a figura mostrada abaixo. Peça que meçam todos os lados e cada um dos ângulos internos das figuras e registrem
esses valores em uma tabela.
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Questione às duplas: que regularidades podem ser observadas nas medidas dos lados e
dos ângulos internos de cada polígono? Podemos afirmar que esses polígonos são regulares? Se trocássemos o quadrado por um retângulo não quadrado, esse polígono continuaria
sendo regular? Podemos afirmar que todo triângulo equilátero é regular? A cada questionamento realizado, é importante incentivar as duplas a se manifestarem. No fim da atividade os
alunos deverão concluir que um polígono é classificado como regular quando possui todos os
ângulos internos e as medidas dos lados congruentes.
Indo além
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Indo além...
O documentário “A rede pesca”, da série “As ferramentas e os homens” da TV Escola disponível em:
http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/download_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_medio/sala
_de_Professor/sala_2009, é uma ótima oportunidade para se discutir tradição e modernidade.
Isso porque o tema – a rede – oferece uma gama muito variada de abordagens, que partem
da mais comum rede pesca, passa pelas redes de dormir e redes de proteção, chegando até
as atuais redes de comunicação e de relacionamento virtuais, redes de informações, de prestação de serviços e de comércio, redes de solidariedade.
Enfim, o tema é profícuo e atrativo, possibilitando discussões disciplinares e atividades interdisciplinares interessantes, tanto do ponto de vista pedagógico, como para a comunidade
na qual a escola está inserida.
Para isso, elaboramos uma proposta de trabalho que se inicia com a exibição do documentário.
Professor organize uma aula, se possível, com a presença dos três representantes das disciplinas parceiras. Passem o documentário para os alunos, que o assistirão sem pausa ou
cortes, isto é, na íntegra. Após a exibição, discutam livremente as impressões dos alunos sobre o tema: a rede pesca.
Faça perguntas: Quem já pescou? Como? A prática da pesca faz parte da economia da
comunidade? Ela é uma atividade lazer da família? Como se pesca na região? Que técnica
de pescaria é usada? A pesca é no mar, em rios ou em lagos? Como aprendeu a pescar?
Essas são questões que podem motivar a conversa e relacionar os depoimentos com momentos do filme.
Passada a etapa de introdução ao tema, cada disciplina irá trabalhar mais aprofundadamente os conceitos relacionados à atividade interdisciplinar, como uma preparação para esse trabalho.
Em Matemática o professor pode começar pedindo que os alunos retomem, a partir do filme
assistido, quais foram as modificações importantes na aparência física da rede (no caso, da
rede pesca) ao longo dos muitos anos em que vem sendo usada. O fato de não ter havido
mudanças significativas é bastante curioso e pode levar a um questionamento: o que faz com
que este tipo de padronagem seja tão apropriado para a função de uma rede que tenha se
mantido por tanto tempo?
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A padronagem da rede é constituída de malhas em forma de losangos, cujas medidas são
projetadas em função do peixe a ser capturado. Para que o peixe fique preso na rede é necessário que a malha tenha de três quartos a quatro quintos da maior altura dos peixes. Os alunos
podem pesquisar as dimensões de alguns peixes e desenhar, usando régua e compasso, redes apropriadas para sua captura.
Perguntas que podem ser exploradas:
- que outro tipo de malha poderia ser utilizado para fazer uma rede?
- em quais destas haveria um gasto menor de fio?
-quais delas permitiriam que a rede fosse esticada, com deformação da malha (como é o caso dos losangos, que podem ser quadrados ou podem ser completamente distendidos no sentido do maior eixo)?
Caso a escola esteja inserida numa comunidade em que a pesca é um forte fator econômico,
é possível ampliar bastante esta discussão, envolvendo desde a quantidade e dimensão dos
fios utilizados, até a utilização de sistemas métricos não padronizados, passando pelo estudo
do tipo de malha utilizada, quantidade e massa dos chumbos acoplados à rede para sua fixação e etc.
Para isso, o professor pode consultar o interessante trabalho:
“Rede Pesca: Um elemento Mediador para o Ensino de Geometria” (Cirlei Marieta de Sena
Correa). Esse trabalho pode ajudar o professor a ter o ponto de partida para um estudo das
pavimentações do plano ou dos mosaicos.
“Os mosaicos são conhecidos desde os tempos antigos. Estiveram presentes nas civilizações
assíria, babilônica, persa, egípcia, grega e chinesa e atestam a íntima relação entre determinados padrões e a arte da decoração. Se o objetivo do artífice era e é encontrar um certo tipo de
simetria ornamental com o emprego de figuras relativamente simples, cuja repetição e interação formem um todo harmonioso e estético, o do matemático é a busca de simetrias nos padrões ornamentais ou então a busca de padrões geometricamente possíveis.” (Descobrindo
Padrões em Mosaicos, Ruy Madsen Barbosa, Atual Ed, 1993). Existe uma infinidade mosaicos
possíveis, e muitas são as possibilidades didáticas de seu estudo.
Pensando apenas nos mosaicos formados exclusivamente por polígonos regulares, de maneira tal que a distribuição dos polígonos ao redor de cada vértice seja sempre igual e que a
intersecção de dois polígonos regulares seja um lado ou um vértice comum, quais são os polígonos regulares com os quais se pode recobrir o plano?
Você, professor, pode sugerir uma abordagem empírica, em que os alunos constroem os polígonos regulares e tentem encaixá-los de forma a formar um plano ou pode sugerir a análise
(−2)
dos ângulos internos e a resolução da equação180  = 360 para algum n natural maior ou
igual a 1.
Em qualquer um dos casos, a conclusão será que, é possível recobrir o plano distribuindo ao
redor de cada vértice 6 triângulos equiláteros ou 4 quadrados ou 3 hexágonos regulares.
É possível recobrir um plano apenas utilizando quadrados, mas com dois tamanhos diferentes? E com três?
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Será interessante que os alunos possam experimentar alguns tipos diferentes, e que cheguem à conclusão de que os com 2 tipos de quadrados é sempre possível, enquanto os com
3 tipos, os recobrimentos são possíveis apenas quando a medida dos lados dos dois menores, somadas, seja igual à medida do maior. O que aconteceria com triângulos equiláteros?
A exploração geométrica pode ir muito além, incluindo as pavimentações com polígonos regulares de diferentes tipos ou com polígonos irregulares. A partir da criação deste novo tipo
de “rede”, o professor pode estimular os alunos a criarem seus próprios mosaicos coloridos, a
partir definição de padrões que se transladam ou rotacionam. Neste momento, inclusive, o
professor de Matemática pode interagir com o colega de Educação Artística, apresentando
exemplos de padronagem na arte decorativa e organizando uma exposição com os trabalhos.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Utilizar propriedades dos polígonos regulares (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo
interno) ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Um polígono possui quatro ângulos sendo dois deles de 60º e os outros ângulos iguais entre si. Esse polígono pode ser um
a) Triângulo equilátero
b) Trapézio
c) Quadrado
d) Hexágono
2) Cristina desenhou quatro polígonos regulares, conforme pode ser visto na figura a seguir,
e anotou dentro deles o valor da soma de seus ângulos internos.
Qual é a medida de cada ângulo interno do hexágono regular desenhado por Cristina?
(A) 60°
(B) 108°
(C) 120°
(D) 135°
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3) Leia as informações a seguir.
Pinturas Voronoi
A série Voronoi realizada em 2002/03 baseia-se nos diagramas do mesmo nome criados pelo
matemático russo Georgy Voronoy (1868-1908). Trata-se de uma geometria celular, muito dinâmica, que hoje encontra múltiplas aplicações na ciência, desde a biologia à meteorologia e
em inúmeros modelos de crescimento de cristais, manchas de poluição, desenvolvimento urbano, contaminação social e cultural.
A geometria Voronoi gera uma nova percepção do espaço. Algumas pinturas sugerem o ambiente pictórico de Mondrian, mas agora com uma configuração totalmente diversa mais caótica
e portanto própria dos conhecimentos do século XXI.
Importante também do ponto de vista da construção destes quadros é o fato deles resultarem
de algoritmos que geram autonomamente as formas. Nesse sentido estas pinturas são representativas de uma fase inicial de criação de um novo tipo de arte.
Disponível em: <http://www.lxxl.pt/voronoi.html>.Acessoem:08fev.2013(Adaptado).
O quadro a seguir é uma pintura Voronoi.
Observando o quadro que é uma pintura de Voronoi, a o polígono que aparece mais vezes
nessa obra é
(A) Hexágonos
(B) Octógonos
(C) Pentágonos
(D) Quadriláteros
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4) No quadro seguir, a artista Lygia Pape inscreve um mesmo polígono numa circunferência
várias vezes para dar a sensação de que a figura no centro também é uma circunferência.
O polígono usado por Lygia para criar esse efeito é um:
(A) Hexágono
(D) Trapézio
(B) Pentágono
(C) Quadrado
(E) Triângulo
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Lição 5
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Utilizar relações métricas do triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Conteúdo: Teorema de Pitágoras e aplicações
Duração: 3horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, o Teorema de Pitágoras é considerado um dos alicerces da Matemática, pois
através dele construímos e generalizamos diversas situações. Também possui grande importância no estudo da Física e de outros campos cognitivos.
A compreensão desse teorema pelos alunos é de grande importância para estudos futuros,
relacionados à geometria, à trigonometria e suas aplicações em situações reais são enormes.
Apresentamos uma série de atividades com o objetivo de contribuir para que seus alunos utilizam relações métricas do triângulo retângulo e consequentemente compreendam o Teorema
de Pitágoras.
Pra começo de conversa
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Pra começo de conversa
Comece a aula distribuindo uma cópia do Estudo dirigido/Texto suporte “Demonstrando o
Teorema de Pitágoras” e providencie o seguinte material: folhas de papel A4, tesoura e lápis
coloridos, orientando para o uso. Após a realização do Estudo Dirigido, discuta as soluções
apresentadas pelos alunos, individualmente ou em grupos e faça os comentários pertinentes e
uma síntese da discussão.
Estudo Dirigido
“DEMONSTRANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS”
1) Leia com atenção e faça o que se pede.
No triângulo retângulo CAB, AH é a altura relativa à hipotenusa CB. As letras minúsculas indicam as medidas de cada um dos segmentos, numa mesma unidade medida.
Assim: AB = c, AC = b, CB = a, AH = h, CH = m e HB = n.
49
Nesse triângulo identifique pelas letras minúsculas os seguintes elementos:
a) O cateto maior;
b) O cateto menor;
c) A hipotenusa;
d) A altura relativa à hipotenusa;
e) O segmento maior determinado pela interseção da altura com a hipotenusa;
f) O segmento menor determinado pela interseção da altura com a hipotenusa.
2) Faça o que se pede.
a) Recorte uma folha de papel A4 na diagonal obtendo dois triângulos.
b) Trace a altura relativa a hipotenusa de um dos triângulos e nomeie seus principais elementos;
c) Divida esse triângulo em dois outros recortando-o sobre essa altura. (Veja a figura abaixo);
d) Superponha os três triângulos conforme a figura;
Os triângulos I, II e III são semelhantes? Por quê?
3) Faça o que se pede.
a) Usando a semelhança de triângulos escreva a proporcionalidade entre os lados e as projeções dos mesmos sobre a hipotenusa. (A projeção do lado b sobre a é m e a projeção do lado c sobre a é n);
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b) Obtenha uma expressão para c² e b² a partir dessas relações;
c) Some as duas expressões membro a membro. No segundo membro dessa igualdade coloque a em evidência;
d) Observe na figura da atividade II quem é m + n e substitua essa soma na igualdade obtida
no item c e simplifique a expressão obtida;
Você acabou de dar a seus alunos e a construir com eles uma demonstração do Teorema de
Pitágoras!
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Professor, divida a sua turma em dois grupos. Para um dos grupos entregue um envelope
com problemas.( Abaixo sugerimos alguns problemas, você pode acrescentar outros que julgar
melhores). Para outra parte da turma entregue um envelope com soluções.( Abaixo indicamos
as soluções dos problemas sugeridos). Cada aluno do primeiro grupo vai ler seu problema e
cada aluno do segundo grupo indicará dentre as soluções que possuem aquela que é a solução do problema. Quando isso ocorrer o grupo que propôs o problema irá validar a solução
apresentada ou não. Se concordar, deverá justificar, se não concordarem deverão propor uma
solução mais adequada. No envelope com as soluções você pode colocar soluções incompletas e/ou erradas. Isso vai ampliar o debate e consequentemente desenvolver a argumentação
Problema 1
Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo,
percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.
Problema 2
Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos,
dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a
distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura.
Problema 3
Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro.
Problema 4
Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas
perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.
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Solução do Problema 1
Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo,
percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.
Solução do Problema 2
Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos,
dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a
distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura.
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Solução do Problema 3
Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro.
Solução do Problema 4
Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas
perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.
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Indo além
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Indo além...
Escolha um trecho do vídeo o Legado de Pitágoras da TV escola disponível em
http://tvescola. mec. gov. br/index. php? option=com_zoo&view=item&item_id=1917e proponha que seus alunos realizem uma das tarefas propostas no documentário. Esse é um filme
que questiona o Teorema elaborado por esse matemático, mostrando que sua aplicação funciona apenas em superfícies planas. Tem duração de 46 minutos. Você pode assisti-lo todo
com seus alunos, isso dependerá da motivação e interesse da turma
O episódio fala de Aristóteles e de sua descoberta sobre o formato arredondado da Terra,
sobre Euler e seu diagrama, sobre Einstein e sua teoria da relatividade.
Destaca também a importância da matemática dos triângulos e do Teorema de Pitágoras
para o entendimento do universo.
O Documentário vai testar o famoso Teorema e revelar a surpreendente Matemática das esferas, uma Matemática que faz parte da vida de qualquer pessoa, mas que nem sempre é
lembrada nas escolas. A Professora convidada propõe atividades que partem do triângulo
retângulo e revelam a Matemática moderna presente nos estudos de Gauss e Einstein. Termine a aula propondo problemas para os alunos resolverem Sugerimos a lista abaixo:
1. Um edifício possui 15 metros de altura. Qual é o comprimento da escada se ela está encostada na parte superior do prédio e sua base está a uma distância de 8 metros do edifício.
2. Uma árvore possui 9 metros de altura. Qual é o comprimento da escada se ela está encostada na parte superior da árvore e sua base está a uma distância de 4 metros da base da
árvore.
3. Um quadrado possui como medida de seu lado 5 cm. Calcule a diagonal do quadrado?
4. Uma praça possui o formato de um quadrado. Sabendo que sua diagonal mede 71 metros. Qual é a medida dos outros lados.
5. Uma antena transmissora de rádio tem 72 metros de altura. Ela é sustentada por cabos
de aço que ligam o topo até o solo, em pontos que estão a 30 metros do pé da antena. Qual é
o comprimento do cabo que sustenta a antena?
6-Nos telhados de dois edifícios encontram-se duas pombas.
54
É atirado um pouco de pão para o chão: ambas as pombas se lançam sobre o pão à mesma
velocidade e ambas chegam no mesmo instante junto do pão.
a) A que distância do edifício B caiu o pão?
b) Qual a altura do edifício A?
7) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às
15horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y
navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada
qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15minutos do
mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era:
a) 45
b) 48
c) 50
d) 55
e) 58
8) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de
sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:
a) 12 m
b) 30 m
c) 15 m
d) 17 m
e) 20 m
9) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?
a) 6 km
b) 6. 200 m
c) 11. 200 m
d) 4 km
e) 5 km
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Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Utilizar relações métricas do triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo
que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Observe a figura abaixo. Nela estão representados três triângulos retângulos e suas
respectivas medidas, todas dadas em metros.
Sabendo que y =
10√3
3
, o valor de x2 + y2 + z2 + w2 é
a) Um número inteiro
b) Um número racional não inteiro
c) Um número real não racional.
d) Um número negativo
56
2) Observe a figura abaixo que representa uma escada apoiada em uma parede que forma
um ângulo reto com o solo. O topo da escada está a 7 m de altura, e seu pé está afastado da
parede 2 m. Parede Solo
A escada mede, aproximadamente,
(A) 5 m.
(B) 6, 7 m.
(C) 7, 3 m.
(D) 9 m. 3)
3) Pela figura abaixo, é possível perceber que as alturas do edifício e do hidrante são, respectivamente, de 30 metros e 1, 5 metro. Se a sombra do hidrante mede 50 centímetros, quanto
mede a distância do prédio ao hidrante em metros?
A) 5, 5
B) 7, 0
C) 8, 5
D) 9, 0
E) 9, 5
57
4) O portão de entrada casa do Sr. Antônio tem 4m de comprimento e 3m de altura.
Diante disso, o comprimento da trave de madeira que se estende do ponto A até o ponto C é:
(A) 5m.
(B) 7m.
(C) 6m.
(D) 1m.
58
Lição 6
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Reconhecer ângulo, como: mudança de direção ou giro, área delimitada por duas
semirretas de mesma origem.
Conteúdo: Ângulos, triângulos , simetrias e unidades de medida
Duração: 3 horas aulas
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Professor, o conceito de ângulo é essencial para o estudo da Geometria. Seu conceito, bem
como sua medida, fazem parte do senso comum como se constata em expressões tais como:
“Girar 90º para a direita”, “Estacionamento a 45º”, além de ser frequente o seu uso para indicar
rotas de avião, inclinações de ruas e telhados, ou seja, trata-se de um conhecimento geométrico com vistas a inúmeras aplicações reais no cotidiano, por isso, reconhecê-los é uma habilidade fundamental para que os alunos possam representar a realidade e agir sobre ela. Para
desenvolver essa habilidade básica apresentamos uma série de atividades que contribuirá para
que seus alunos se tornem hábeis. Bom trabalho!
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Nessa aula o objetivo é permitir que o aluno entenda o que são ângulos e como medi-los
para construir figuras geométricas. Você deve providenciar o seguinte material: Lápis, borracha, régua, esquadro e transferidor.
Verifique o que a turma sabe sobre o assunto indagando: O que são ângulos? Como descobrir qual a sua medida? Questione uma ideia muito arraigada entre a garotada: a associação
da medida do ângulo com o tamanho dos segmentos de reta que o determinam. Para isso, lance situações-problema como a seguinte: qual dos ângulos abaixo é maior?
Acolha opiniões e mostre que não há relação entre a amplitude do ângulo e o tamanho dos
segmentos de reta.
Ainda nessa aula, use o ângulo reto como unidade medida se quiser use as extremidades da
folha A4 como instrumento acessível e rápida para medir ângulo reto. Desenhe no quadro
alguns ângulos agudos, obtusos e retos e pergunte: quanto mede cada um? Informe que a
ideia aqui é estimar quais são maiores, menores ou iguais ao reto. Incentive a turma a comparar o desenho com a extremidade uma folha, de uma régua ou esquadro sem usar o transferidor.
59
A partir daí informe aos alunos que, para aferir todo tipo de abertura com precisão, foi necessário criar uma unidade - o grau. Apresente o transferidor e explique sua função e a forma
como se observam as medidas nele. Para mostrar seu uso, distribua cópias da figura abaixo
numa folha de papel A4, propondo o seguinte desafio: desenhe um triângulo exatamente igual
a este no caderno.
Para cumprir a tarefa, os alunos vão precisar medir com régua os lados que formam a base
e a altura do triângulo e conhecer, com a ajuda do transferidor, os ângulos exatos dos lados
que unem a base ao topo da figura. Para verificar se a construção foi correta peça aos alunos
que sobreponham o desenho feito por eles na folha do caderno à figura que você distribuiu.
Aprofunde o uso do transferidor e da régua, utilizando problemas que favoreçam a reflexão
sobre as condições necessárias para construir triângulos.
Sugestões:
- Confeccione um triângulo com um ângulo reto.
- Confeccione um triângulo com três lados de 5 centímetros.
- Construa um triângulo que tenha um lado de 5 centímetros, um ângulo de 20° e outro ângulo de 70°.
- Construa um triângulo com ângulos de 600, 1000 e 40º.
Professor, a turma vai perceber que o último modelo pedido "não fecha". Pergunte: Por que
isso ocorre? Existem outros assim? Estimule o debate e ajude a classe a explorar a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo que equivale a 180º.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Leia os três textos abaixo com seus alunos e promova um debate sobre o uso dos
ângulos no dia a dia.
Texto I
O pênalti é a oportunidade gol mais clara que um time pode ter em uma partida. Na maior
parte dos casos, em aproximadamente 70% das oportunidades, ele é convertido e altera o
placar do jogo. Duas Copas do Mundo foram decididas em disputas de pênaltis, uma delas o
tetracampeonato brasileiro de 1994 contra a Itália. Não é uma exclusividade da Copa do
Mundo. Muitos campeonatos foram decididos nos pênaltis.
60
Por isso é muito importante que os goleiros estudem bem as cobranças de pênalti dos adversários para tentar aumentar suas chances defesa.
Um estudo realizado na Universidade Greenwich (Inglaterra) descobriu que o goleiro pode
prever a direção da bola na cobrança de pênalti se observar o ângulo dos ombros e da perna
de apoio do batedor em relação ao chão.
A pesquisa foi feita filmando 46 cobranças de pênalti realizadas por um time chamado West
Ham. A análise dos dados permitiu concluir que apenas os ângulos do ombro e da perna de
apoio em relação ao chão estão associados à direção do chute.
O estudo constatou que a bola atinge o centro do gol quando o ângulo médio da perna de
apoio do atleta em relação ao chão é de 56, 5° e o ângulo médio dos ombros é de 4, 9°. Se o
ângulo da perna aumentar para 65, 5° e o ângulo dos ombros continuar em torno de 5°, a bola
atingirá o lado direito da rede. Quando a bola é chutada na direção contrária, é o ângulo do
ombro que varia (chega a 9, 6°). Nesse caso o ângulo da perna fica em torno de 56, 6°.
Os pesquisadores ingleses apresentaram as conclusões a um grupo de goleiros, que melhoraram em 9% suas defesas em cobranças de pênalti. Desse modo, um goleiro treinando com
base em seu próprio desempenho, pode evoluir e melhorar suas marcas.
Em seguida, realize em duplas as tarefas a seguir:
Texto II
Ângulos no Cinema e Teatro
Os ângulos não nos auxiliam apenas nos jogos de futebol. Quando vamos ao cinema ou ao
teatro, conhecer os ângulos também ajuda na escolha do melhor lugar para assistir ao espetáculo. Também em casa podemos utilizar bem os ângulos para melhor posicionar a nossa TV e
os móveis que usaremos para assistir a um filme, por exemplo.
Em uma sessão de cinema 3D, segundo os criadores de um dos mais conceituados padrões
de cinema do mundo, o THX, devemos nos posicionar respeitando o seguinte conceito:
61
“Os ângulos horizontais subentendidos pelas linhas de visão do consumidor dos cantos da
esquerda para a direita da tela deve ter não menos do que 30°. A linha de visão vertical do
telespectador não deve exceder 35° da horizontal para o topo da imagem projetada. Idealmente, a linha de visão deve ter 15° abaixo da linha central horizontal da imagem”.
Um gráfico que pode nos auxiliar a entender os melhores lugares, principalmente em filmes
3D, seria o representado pela figura abaixo:
62
Texto III
Em nossas casas podemos utilizar as ideias da tecnologia THX e posicionar nossa TV e nosso home theater de modo a obter a melhor experiência possível.
O padrão de home theater THX dita que a distância de visão apropriada é o tamanho da sua
tela de TV na diagonal dividido por 0, 84. Isso significa que a distância apropriada do espectador para uma TV de 55”, por exemplo, deveria ser de 1,65m. Além disso, o conjunto não deve
exigir jamais que o espectador olhe para cima mais do que 15° além do nível dos olhos, nem
mesmo se você quiser realmente se sentar na frente e bem no meio. Não vale colocar a TV
nem muito alta, nem muito baixa.
Finalmente desafie seus alunos e em duplas proponha o problema da OBMEP/2013 que se
encontra a seguir:
Bruno e Pedro jogam sinuca sobre uma mesa estranha. Ela contém duas paredes que se encontram formando um ângulo de 20. Eles observaram que as reflexões da bola contra as paredes são perfeitas, isto é, caso a sua trajetória de incidência faça um ângulo de x com a parede
63
então o ângulo que a trajetória refletida faz com a parede também será igual a x A figura
abaixo ilustra essa regra de reflexão.
Brincando com a bola, eles perceberam que é possível que, após refletir algumas vezes na
parede da mesa, a trajetória da bola intersecte a si própria. Por exemplo, Bruno lançou uma
bola de modo que, depois de 3 reflexões, a sua trajetória intersectou-se a si mesma, como
ilustra a figura abaixo:
Quantas reflexões sofreu a bola enviada por Pedro antes que a sua trajetória intersectasse
a si própria? Explique sua resposta.
Indo além
1
6
Indo além...
Para ir além nessa competência apresente o filme: “ Prime Numbers” disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=qmat0Iiuk0U e proponha o um Projeto Fotografando ângulos no espaço urbano. Os alunos devem fotografar uma paisagem, um objeto, um momento
ou o que seja, que de alguma forma esteja relacionado com ângulos .O importante é exercitar
a criatividade, buscar momentos inusitados e constatar que a matemática está em todas as
coisas que nos cercam.
64
R
alizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Reconhecer ângulo, como:
mudança de direção ou giro, área delimitada por duas semirretas de mesma origem”. Estas
questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns
alunos ou com toda a turma.
1) Um correto sistema de transporte ajuda a economizar energia e, consequentemente, evita o
desperdício. Por exemplo, quando dois canos de um gasoduto se encontram, isso não deve
ocorrer em um ângulo reto, pois o fluxo de um deles pode interferir no fluxo do outro.
Após várias pesquisas, cientistas descobriram ser ideal que os canos se encontrem formando
ângulos de 60o, como mostra a figura abaixo:
Um engenheiro deve construir uma dessas junções, mas só possui um gabarito no qual existe
um ângulo de 30o. Ele constrói uma paralela ao duto que deve receber a junção, como mostrado no projeto abaixo:
Ele coloca seu gabarito no ponto A, na região 2, marcando um ângulo de 30o, construindo o
segmento que passa por esse ponto. A seguir, ele coloca seu gabarito sobre esse segmento,
marcando outro ângulo de 30o. Esse processo:
a) é correto, pois constroi uma junção formando um ângulo de 60 o.
b) não é correto, pois constroi uma junção formando um ângulo de 45o.
c) não é correto, pois constroi uma junção formando um ângulo de 30o.
d) não é correto, pois não constroi uma junção.
65
2) A imagem mostra dois geradores de energia eólica.
Parque eólico de Osório. Rio Grande Sul - Brasil
Disponível em: http://www.drigotavares.com/2010_05_01_archive.html. Acesso em: 22 nov.
2013
O ângulo formado entre duas das pás do gerador é de:
(A) 30°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 120°
]
66
3) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números.
Considere que a direção seguida, por um avião A1 que partiu de Brasília – DF, sem escalas,
para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião A2, que seguiu a direção que
forma um ângulo de 135o no sentido horário com a rota de Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao avião A3, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no
sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião A2 ao partir de Brasília – DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade
partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez
uma conexão em:
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
67
4)
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de
um ângulo de
a) 45o
b) 60o
c) 90o
d) 120o
68
Lição 7
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades.
Conteúdo: Quadriláteros- propriedades e áreas
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades para explorar o reconhecimento dos diferentes tipos de quadriláteros, suas propriedades e resolver situações-problema envolvendo o cálculo da área de figuras planas a partir de malhas quadriculadas. Mãos à obra!
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Explorando os conceitos iniciais –
Sugerimos que você, professor, utilize o texto abaixo e construa uma apresentação Power
Point para apresentar os conceitos aos alunos.
Quadriláteros
Os quadriláteros são polígonos formados por quatro lados (segmentos de reta) e quatro ângulos.
Tipos de quadriláteros:
Quadrado –
Possui os quatro lados e os quatro ângulos
iguais.
Seus lados são paralelos dois a dois.
Retângulo –
Possui os quatro ângulos
iguais. Seus lados são paralelos
e
congruentes
(iguais) dois a dois.
69
Losango –
Possui os quatro lados iguais. Seus lados
são paralelos dois a dois.
Paralelogramo –
Possui os lados paralelos e
congruentes (iguais) dois a dois.
Possui dois lados paralelos
e dois lados não paralelos.
Trapézio –
Caro professor, na atividade abaixo os alunos deverão usar seus celulares ou suas
câmaras fotográficas . Caso eles não tenham esse material empreste-os a máquina
fotográfica da escola .
Em seguida peça aos alunos que usando seus celulares saiam pela escola e fotografem um
objeto que lembre um quadrilátero. Vamos lembrar que: ”Descobrir e compreender fenômenos é uma competência essencial que a escola deve desenvolver”. As fotografias podem se
tornar um recurso didático de alta eficiência para fazer isso, principalmente através das tecnologias que circulam pelas salas de aula, como os aparelhos celulares.
Segundo pesquisas do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), a quantidade
de estudantes que portam aparelhos celulares chega a atingir a média de 36%, sendo que
nas regiões metropolitanas esse número é ainda maior.
Sendo assim, em vez de proibir o uso dos aparelhos, porque não criar um projeto de trabalho que vise o aproveitamento de recursos tecnológicos, através das fotografias? Sem sombra de dúvida, essa atividade proporcionará grande entusiasmo nos alunos e as aulas se tornarão muito mais atrativas para os mesmos, além de fazer do trabalho docente uma mola
propulsora para o aprender.
Depois de explorar o sentimento dos alunos a partir das fotografias proponha em duplas as
atividades abaixo:
a) Separando quadriláteros
Materiais: Folha com alguns quadriláteros transferidor (comum ou de dobradura), régua ou
barbante, lápis de cor, tesoura, cola, papel sulfite (A4), lápis e borracha.
70
Entregue uma cópia das figuras abaixo por aluno e peça que executem as seguintes tarefas:
Observe as figuras representadas na folha que você recebeu. Quais são essas figuras?
1) Pinte de vermelho todos os quadriláteros que têm quatro ângulos retos e anote, para os
demais, o número de ângulos retos que possuem.
2) Pinte de azul o contorno dos quadriláteros que têm os quatro lados de mesma medida. Se
achar necessário, utilize a régua ou barbante para medir os lados.
3) Recorte os quadriláteros e os organize num quadro como o que mostra a figura abaixo. Para isso, use a folha de papel sulfite.
b) Faça uma nova divisão no quadro que você construiu e reorganize os quadriláteros de
acordo com a figura a seguir.
71
Observe o último quadro que você construiu e escreva algumas conclusões quanto às características dos, dos ângulos ou quaisquer outras observações que sinta ser importante relatar.
C) Nesse último quadro escreva quantos pares de lados são paralelos?
Continuando a aula providencie os seguintes materiais:
Diversos quadriláteros confeccionados, previamente, em folhas de papel cartão (ou colorset), papel pardo ou cartolina, tesoura, cola, lápis e borracha.
Peça que os alunos observem as figuras confeccionadas de papel. Como são chamadas
essas figuras?
Agora, disponha as figuras numa folha de papel pardo ou cartolina (veja quadro a seguir),
dividida em três partes: na primeira parte, ficarão as que têm dois pares de lados paralelos;
na segunda, as que têm apenas um par de lados paralelos e na terceira aquelas cujos lados
não são paralelos.
Analise o quadro que os alunos construíram e coletivamente, peça que respondam e explicando :
a) Como são chamadas as figuras coladas na primeira parte da folha?
b) Como são chamadas as figuras coladas na segunda parte da folha?
c) Quais as figuras acima você conseguiu identificar na sua foto tirada com o celular?
d) Quais figuras conseguimos identificar nas fotos? (Professor (a), se possível projete as
fotos da turma no data show e explore ao máximo).
72
Finalize sua aula com as conclusões dos alunos e faça comentários que os desafiem
a querer aprender mais! Não deixe de amarrar as aprendizagens relativas à habilidade
“Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades”.
Ampliando a habilidade. . .
Ampliando a Habilidade
Comece a aula perguntando:
O que é área?
Como medir a área de um quadrilátero?
Peça que os alunos façam a atividade abaixo (distribua uma cópia da atividade para cada
aluno)
1) Calcule a área dos quadriláteros abaixo, sabendo que cada quadradinho vale uma unidade
área:
2) Pergunte aos alunos como fariam para calcular a área dos quadriláteros abaixo que não
estão na malha quadriculada? E como explicariam isso a um colega?
73
2
3
5
3
Acrescente mais uma pergunta e se os quadriláteros acima tivessem medidas muito grandes, por exemplo, 2km por 5km? Como procederiam para determinar a área?
Construa uma apresentação em Power point para explorar as fórmulas para o cálculo das
áreas. Sugerimos o texto abaixo para ajudá-lo na construção desse power point:
Para tornar nosso cálculo mais rápido e fácil poderemos utilizar algumas fórmulas.
Observe:
4
5
O quadrado ao lado tem 4 unidades de base e 4
unidades de altura.
O retângulo ao lado tem 2 unidades de base e 5
unidades de altura.
2
O paralelogramo ao lado tem 4 unidades de base e 3 unidades de altura.
3
4
Podemos calcular as áreas acima utilizando a seguinte fórmula: A = b x h, onde b = base e
h = altura.
Assim, a área do quadrado é 16 unidades de área, a área do retângulo é 10 unidades de
área e a área do paralelogramo é 12 unidades de área.
Para o losango usamos a seguinte fórmula: A = (D x d) /2, onde D = diagonal maior e d =
diagonal menor.
Por que temos que dividir por dois?
74
Pois, se pegarmos esses dois triângulos azuis poderemos
colocá-los em cima dos triângulos verdes, e assim ficaremos com a metade de um retângulo.
d
D
Assim, se o losango acima tem D = 6 e d = 4, sua área será 12 unidades de área.
Para o trapézio usamos a seguinte fórmula: A = (B + b) x h/2, onde B = base maior, b = base
menor e h = altura.
Nesse caso também dividimos por dois, pois:
B
b
h
B
b
Se pegarmos o mesmo trapézio e colocarmos
ele virado ao lado, teremos a metade de um paralelogramo.
Assim, se o trapézio acima tem B = 4, b = 3 e h = 2, sua área será 7 unidades de área.
3) Peça aos alunos que utilizem as fórmulas apresentadas no Power point para calcular a
área dos quadriláteros abaixo: (faça uma cópia para cada aluno)
1
h=7
5
10
h=8
11
d=6
2
1
18
7
D=8
Professor, utilizar jogos ou materiais concretos promovem um senso crítico, investigador, que ajuda na compreensão e entendimento de determinados tópicos relacionados
ao ensino da Matemática Para que os alunos identifiquem figuras planas e explorem
suas propriedades, especialmente os quadriláteros, sugerimos a utilização do TANGRAM
75
Assista, com seus alunos, ao vídeo: A Lenda do Tangram, encontrado em
https://www.youtube.com/watch?v=ehkMez--nfM ou leia com os alunos o texto que se segue:
Yu e o deus do trovão
Há muitos milhares de anos atrás, Yu (玉龙), o Grande Dragão, viveu entre os humanos.
Estes veneravam-no porque ele era'yang', bom, e estava sempre pronto a ajudá-los. Um dia o
deus do trovão, numa explosão de raiva, com ciúmes das ofertas que os homens tinham levado a Yu, esmagou o céu com seu machado. Então, o céu caiu sobre a Terra em sete peças
pretas como o carvão e a luz desapareceu levando consigo todas as coisas existentes.
No início Yu sentiu-se triste pelo mal que tinha acontecido ao mundo, mas depois sentiu-se
nostálgico. Decidiu então recolher as sete peças pretas do céu e, em memória do antigo
mundo, começar a montar vários tipos de formas: animais, plantas e seres humanos que haviam desaparecido. Mas depois de terminar cada uma das formas, a sua sombra abandonava-as para vaguear pelo mundo deserto a lamentar-se da sua má sorte.
Estas lamentações chegaram aos ouvidos do Deus do Trovão que ficou impressionado e,
para remediar o dano que havia causado, criou, para cada uma das sombras, o ser vivo correspondente, para que pudessem repovoar a Terra.
76
Diz-se que a partir desse momento a nossa sombra segue fielmente todos os movimentos
que fazemos. Diz-se também que com os sete pedaços do céu, chamados Qi Qiao Ban (literalmente "sete tábuas da astúcia"), tudo na Terra ainda pode ser moldado ".
Agora proponha as atividades (faça cópias para cada aluno) :
1) Recorte o TANGRAM e construa quadriláteros conforme a tabela abaixo:
Peça que os alunos procurem fazer o máximo de polígonos iguais com o mesmo número de
peças (que podem ser diferentes) e marque na tabela quantas figuras diferentes eles conseguiram fazer. Diga-lhes que se você não conseguirem construir algum dos quadriláteros com
determinado número de peças, marque um X no quadro.
3 peças
4 peças
5 peças
Quadrado
Retângulo
Losango
Paralelepípedo
Trapézio
Pergunte-os: Vocês acharam quadriláteros diferentes formados pelas mesmas peças do
TANGRAM? O que você pode dizer em relação aos seus lados? E em relação à área deles?
77
Indo além
1
6
Indo além...
Problemas que ampliam a habilidade, são aqueles em que o aluno, em sua resolução, aplica,
de forma consciente e não mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema
se o aluno for estimulado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a
situação que lhe é apresentada (PCN- P 32).
Proponha, nesse momento, que os alunos, em grupos de no máximo 4 pessoas, encontrem a
solução dos problemas abaixo extraídos da OBMEP.
1) A figura mostra um quadrado dividido em 16 quadradinhos iguais. A área em preto corresponde a que fração da área do quadrado?
1
a. 2
b.
c.
d.
e.
1
3
1
4
1
8
1
16
2) A figura mostra a superfície pintada de um azulejo em forma de losango. Dos cinco padrões abaixo, apenas um não pode ser montado com
cópias desse azulejo. Qual é esse padrão?
3) O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um canteiro retangular com 10 m2 de área. Dividiu o
canteiro traçando uma diagonal e unindo cada um dos pontos médios dos lados maiores
com um vértice do lado oposto, como indicado na figura.
.
78
Na região sombreada plantou jasmins. Qual a área dessa região?
4) A figura 17. 2 é um retângulo cuja área sombreada foi feita utilizando peças de um tangram que formam um quadrado de 10 cm2 de área, mostrado na figura 17. 1.
.
Qual é a área do retângulo?
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Observe as figuras abaixo.
Considerando essas figuras,
(A) os ângulos do retângulo e do quadrado são diferentes.
(B) somente o quadrado é um quadrilátero.
(C) o retângulo e o quadrado são quadriláteros.
(D) o retângulo tem todos os lados com a mesma medida.
79
2) Alguns quadriláteros estão representados nas figuras abaixo:
Qual dos quadriláteros possui apenas um par de lados paralelos?
3) Dobramos uma folha como na figura abaixo, depois recortamos e retiramos a parte branca.
Em seguida, desdobrando a folha, obtemos:
4) Reflorestamento é uma ação ambiental que visa repovoar áreas que tiveram a vegetação removida pelas forças da natureza (incêndios, por exemplo) ou ações humanas (queimadas, exploração de madeira, expansão de áreas agrícolas).
O eucalipto é muito usado para o reflorestamento. Esta espécie é utilizada em função de seu
crescimento rápido e pelo fato da madeira ter boa aceitação comercial.
Veja um armário feito em Eucalipto e pintado:
80
Se você olhar esse armário de cima verá um
A) triângulo
B) quadrado
C) retângulo
D) losango
81
Lição 8
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Identificar propriedades de figuras tridimensionais, relacionando-as com suas planificações.
Conteúdo: Sólidos Geométricos – Planificações
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão para explorar os conceitos de visualização de figuras espaciais a partir de suas planificações. Essa é uma habilidade inicialmente
desenvolvida nas séries iniciais do EF, mas, que deve e precisa ser ampliada nos anos finais
e EM.
Pra começo de conversa.
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Comece a aula perguntando aos alunos:
O que significa planificar um sólido? Pergunte também se eles conhecem as planificações
do cubo e do bloco retangular.
Para essa aula você deve pedir anteriormente aos alunos que tragam:
Caixinhas em forma de blocos retangulares, como por exemplo, caixinhas de pasta de dente ou sabonete vazias e alguns dados.
Conjuntos de seis quadrados iguais recortados em cartolina, cujas medidas dos lados sejam, aproximadamente, de 6 cm.
Folhas de papel em branco.
Tesoura, cola e fita adesiva.
Durante a aula:
1) Com o objetivo de verificar a existência e o nível de conhecimentos prévios faça uma revisão das definições do cubo e do bloco retangular, destacando suas propriedades e seus principais elementos.
2) Distribua os alunos em grupos e certifique-se de que cada grupo tenha pelo menos um
conjunto de seis quadrados, distribua também o estudo dirigido /texto “Aprendendo com as
planificações do cubo e do bloco retangular”, as folhas de papel em branco, as caixinhas, cola, tesoura e fita adesiva. Os alunos devem ler o texto e fazer o que nele se pede, inicialmente
sem desmontar as caixas.
82
Estudo dirigido /Texto
ATIVIDADE 1: Montando e desmontando caixas!
1. Entregue uma caixa qualquer aos alunos diga-lhes que devem pensar na caixa que receberam como se ela estivesse desmontada. Desenhe o que pensaram, desconsiderando os encaixes ou linguetas (partes que foram usadas para colar a caixa). Destaque com cuidado no desenho as linhas que separam cada uma das faces da caixa que recebeu. Recorte o seu desenho e tente com ele montar uma caixa. Você obteve uma caixa parecida com a inicial?
2. Desmonte agora a caixa que recebeu, descolando e cortando os encaixes ou linguetas
(partes que foram coladas para montá-la). Contorne com um lápis a caixa desmontada sobre
uma folha de papel, obtendo assim a planificação da caixa. O contorno deve ser parecido com
os dos seguintes desenhos.
3) Compare com o desenho que você fez no exercício 1. Os dois desenhos são iguais? Se
não, o que é que eles têm de diferente?
4) Elimine agora as linguetas da caixa, corte as seis faces e as coloque sobre a mesa. Usando fita adesiva tente montar novamente a caixa original, organizando as 6 faces num desenho
diferente do anterior.
5) Com os 6 quadrados de cartolina que você recebeu e usando fita adesiva, tente montar
agora um cubo.
ATIVIDADE 2: Planificações são uma só?
1) Das figuras abaixo, quais são as que correspondem à planificação de um cubo? Recorte as
figuras e monte os cubos para conferir suas respostas.
2) Construa duas planificações do cubo diferentes das identificadas por você no exercício anterior.
83
3) Com quais figuras abaixo é possível montar um cubo? Dessas figuras, quais precisam de
mais uma face para montar um cubo? E quais precisam de mais duas faces? Complete-as de
tal forma que seja possível construir um cubo.
4) Montando um cubo a partir da planificação vista na figura a seguir, a face oposta à face
identificada pela letra K é a face identificada por qual letra?
5) Observe o dado da figura e responda:
a) Quantos pontos tem a face de cima?
b) Quantos pontos tem cada uma das faces laterais que você vê na figura?
c) Considere que a vista de cima de um dado é oposta à vista de baixo, que a vista de
frente é oposta à vista de trás e que a vista da lateral esquerda é oposta à vista da lateral direita. Sabendo que a soma dos pontos de duas faces opostas do dado é igual a 7, quantos
pontos têm cada uma das faces opostas às faces que você está vendo na figura?
d) Quanto é a soma dos pontos de todas as faces do dado?
e) Desafie os alunos para que encontrem outras planificações do cubo e caso não encontrem apresente-as:
84
f) Os alunos deverão, usando as planificações acima, montar cubos para se convencer que
esse problema tem mais de uma solução.
6) Durante a análise das planificações, peça aos alunos que reflitam sobre o porquê da possibilidade ou não da construção das caixas com os desenhos feitos. A constatação da impossibilidade deve gerar um desafio importante: o de desenhar corretamente as planificações e o de
verificar o que não estava correto nas planificações desenhadas anteriormente, para que eles
possam corrigi-las e aprimorá-las.
7) Após essas atividades de manipulação e usando uma das planificações o professor pode
dirigir uma discussão coletiva com perguntas tais como:
 Como se chamam os quadriláteros que formam as faces dos blocos retangulares?
 Que relação existe entre as faces opostas?
 Quantas arestas têm cada face?
 As arestas são todas do mesmo tamanho?
8) Discuta as soluções apresentadas pelos alunos (ou grupos) e faça os comentários pertinentes para ajudá-los a “Identificar propriedades de figuras tridimensionais”.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Nessa aula vamos ampliar a habilidade com atividades que explorem a construção e visualização espacial para isso, individualmente, distribua o teste abaixo e peça que os alunos respondam.
Teste- Sólidos Geométricos
85
1. As faces laterais do prisma triangular são triângulos.
Verdadeiro
Falso
2. Uma pirâmide hexagonal tem doze arestas.
Verdadeiro
Falso
3. O cilindro tem duas arestas.
Verdadeiro
Falso
4. A planificação do cone é constituída por um triângulo e uma base circular.
Verdadeiro
Falso
5. O cilindro é constituído por uma superfície curva e uma plana.
Verdadeiro
Falso
6. O prisma quadrangular tem quatro arestas.
Verdadeiro
Falso
7. O paralelepípedo tem oito vértices.
Verdadeiro
Falso
8. Qual é o nome desse sólido geométrico com essa planificação?
--------9. Quais destes sólidos geométricos têm cinco faces?
pirâmide pentagonal
86
pirâmide quadrangular
prisma ou caixa triangular
prisma ou caixa pentagonal
10. Quais destes sólidos geométricos têm 9 faces?
cubo
paralelepípedo
pirâmide octogonal
prisma (caixa) triangular
prisma (caixa) heptagonal
pirâmide hexagonal
11. Quais destes sólidos geométricos têm 6 vértices?
prisma/caixa hexagonal
prisma triangular
paralelepípedo
pirâmide hexagonal
pirâmide pentagonal
prisma/caixa quadrangular
cubo
12. Quais destes sólidos geométricos têm doze arestas e oito vértices?
cubo
prisma/caixa hexagonal
paralelepípedo
prisma/caixa quadrangular
pirâmide heptagonal
pirâmide hexagonal
pirâmide triangular
13. Quais destes sólidos geométricos têm 12 arestas
paralelepípedo
pirâmide triangular
cubo
pirâmide pentagonal
87
pirâmide hexagonal
prisma quadrangular
prisma triangular
prisma hexagonal
14. Escreva o nome do sólido que cada objeto lembra:
_____________
_____________
_____________
_____________
15. Observe os vários sólidos geométricos com superfícies planas e complete a tabela:
SÓLIDOS
NOME
CUBO
PARALEPÍPEDO
PIRÂMIDE TRIANGULAR
CONE
Número de
faces
Número de
vértices
Números de
arestas
88
Indo além
1
6
Indo além...
Planificação de corpos arredondados
Para essa aula providencie o material necessário
2 - Papel, tesoura, régua, transferidor, compasso e fita adesiva (ou cola).
3 - Cones de papel feitos pelo professor. Seria mais cômodo que esses modelos fossem fechados com fitas adesivas, isso permitirá aos alunos abri-los mais facilmente.
Comece a aula desenvolvendo os seguintes passos
1. Divida a turma em grupos de no máximo três alunos.
2. Distribua para cada grupo um cone feito pelo professor.
3. Solicite aos grupos que façam (desenhem) uma planificação de cone a partir da observação da figura que lhes foi dada, sem desmontá-la.
4. Solicite aos alunos que tentem montar um cone a partir da planificação que eles fizeram.
Em geral muitos associam erroneamente a planificação de um cone a um triângulo, por isso é
importante pedir para que tentem montar o cone a partir da planificação que fizeram.
5. Solicite aos alunos que abram os modelos que lhes foram apresentados. Os alunos devem
reconhecer a figura planificada como um setor circular (figuras 1 e 2).
6. Solicite novamente que façam uma planificação de cone e que o montem.
Uma curiosidade são as curvas que se obtém a partir de um cone. Elas são chamadas cônicas. Assista com seus alunos ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=fIeoK3MPZag e
comente com eles o uso das cônicas na arquitetura pois devido às suas propriedades físicas e
até estéticas, os arcos de cônicas são amplamente utilizados na engenharia e Arquitetura, em
pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos.
Finalmente, para leitura deleite termine a aula com a crônica que permitirá a todos conhecer
um pouco da obra do famoso arquiteto Oscar Niemeyer. Boa leitura!
89
Brasília e eu
Eu quase me mudei para Brasília há muitos anos atrás, quando eu e a capital federal éramos
mais novinhas. Cheguei até mesmo a visitar casas e apartamentos com minha mãe, aquela
cidade tão organizadinha (hotéis aqui, comércio ali, residências acolá), tão fácil de circular, tão
moderninha no meio daquela enormidade planalto central. Nós acabamos ficando cá pelas
montanhas mesmo e minhas lentes de contato, que não conseguiam parar nos olhos por conta
da baixíssima umidade daquele inverno, agradeceram penhoradamente. Gosto de imaginar
que poderia ter vivido ali apesar da secura e da poeira, conheço muita gente que adora a cidade e eu acho que tem mesmo muito poucos lugares neste mundo de modêus onde eu não fincaria pé nem por decreto.
Mas você me permite uma confissão bem baixinho, e que ninguém nos ouça? Eu não gosto
muito das coisas do Niemeyer. Pronto, falei. E tenho plena consciência de que queixos estão
caindo de espanto pelo ciberespaço afora neste exato momento, porque falar que não gosta do
Oscar é meio como admitir que não toma café, ou que não gosta de futebol ou de carnaval –
Impensável neste país abençoado por Deus e bonito por natureza. Mas note bem que eu
disse que não gosto muito, e gostar é aquela coisa subjetiva, né, minha tia tinha horror a castelos medievais e igrejas góticas (“O Walter fica só me enfiando nessas velharias sujas e caindo
aos pedaços!”) e eu adoro. E isso não quer dizer de jeito nenhum que eu não admire profundamente toda a concepção arquitetônica do Niemeyer, a sua importância e genialidade. Só não
gosto. É que eu fico meio cismada com essas construções onde as paredes são todas em curva e a gente não consegue pregar um quadro ou uma prateleira. Convenhamos que pode ser
genial, mas é bem pouco prático. Reclamações mundanas de uma dona de casa, estimados
arquitetos, não prestem muita atenção.
Mas algumas obras eu acho realmente maravilhosas. A Catedral de Brasília, por exemplo. De
qualquer ângulo aquilo ali me tira o fôlego. Do lado dentro, então, acho de uma lindeza sem
igual. Pra ficar nas igrejas, também acho a nossa aqui, de São Francisco de Assis, muito linda
bem na beirada da lagoa, e ainda tem os painéis do Portinari e o jardim do Burle Marx pra arrematar. Também gosto muito do prédio do Itamaraty com aquele espelho d’água
90
Dando leveza à construção, alguns outros prédios eu acho interessantes. Mas ‘interessante’ é
um adjetivo assim, um tanto desinteressante nessas horas, né? Eu olho para aqueles caixotes
na Esplanada dos Ministérios e não vejo nada demais. Paro na frente do Edifício Niemeyer
aqui na Praça da Liberdade e, mal humorada, me pergunto onde é que o Oscar estava com a
cabeça pra projetar um prédio daqueles, que não tem absolutamente nada a ver com o conjunto arquitetônico da praça. Visitei uma amiga na Casa do Brasil, na Sorbonne, e me pergunto se
algum arquiteto daria conta de morar naquela confusão. Muita arte pra pouco pensar nas pessoas que vão morar e trabalhar e circular por ali. E, pra mim, arquitetura deve juntar as duas
pontas.
Mas isso pouco importa neste momento. Brasília também já abandonou muito do projeto original e já incorporou aqueles problemas típicos do terceiro mundo às construções modernas do
primeiro. Mas uma cidade é isso mesmo, cisma de ter vida própria, indo para muito além do
que arquitetos e urbanistas planejaram. E com seus milhões de pessoas que moram e vivem e
trabalham ali, Brasília vai também – grazadeus! – muuuuito além de um grupo infelizmente cada vez maior de políticos que fazem com que a gente pense antes na feiúra do que eles fazem
e só depois na beleza da cidade, na flor da idade aos 50 anos.
Extraído de https://cronicasurbanas.wordpress.com/2010/04/23/brasilia-e-eu/
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar propriedades de figuras tridimensionais, relacionando-as com suas planificações”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a
turma.
1) Uma forma de ajudar o meio ambiente é reciclando materiais.
O artesanato e a reciclagem fazem com que as coisas mais inusitadas se transformem em objetos lindos e úteis. As embalagens Tetra Pak (essas caixas de leite e suco podem ser reaproveitadas para fazer bolsinhas, caixas para guardar CDs e livros ou porta-trecos, as caixinhas
Tetra Pak são bem maleáveis e fáceis de cortar, ao mesmo tempo que são resistentes e firmes. Usando cola quente, tesoura, cola branca, estilete, régua, canetas e tecidos diversos (que
vão de acordo com o seu gosto), é só deixar a criatividade aflorar e começar a criar objetos
delicados e úteis.
Abaixo temos um gaveteiro feito de caixas tetra park:
91
A vista de cima desse gaveteiro seria um
a) retângulo
b) triângulo
c) quadrado
d) cubo
2) Para embalar seus morangos orgânicos, Rafael usa caixas cuja planificação é assim:
A caixa de morangos de Rafael é um
a) Cone
b) Hexágono
c) Cilindro
d) Prisma
92
3) Leia o texto abaixo:
O Grupamento de Guarda Costeira Municipal da Praia Grande, em São Paulo, encontrou nove
tartarugas mortas nas praias do bairro Canto do Forte, Guilhermina e Tupi.
Os animais têm cerca de 20 anos de idade, com exceção de um filhote. Só neste ano foram
encontradas 63 tartarugas nas praias da região, 58 estavam mortas e 5 vivas.
A principal causa da morte é a ingestão de objetos, que são confundidas com águas-vivas,
principal alimento desses animais.
As figuras abaixo mostram duas vistas de um objeto que flutua no mar e ameaça as tartarugas.
Vista Frontal:
Vista lateral:
Uma das planificações possíveis para esse objeto é
A)
93
B)
C)
D)
4) Em um depósito são colocadas caixas iguais empilhadas. Em determinada hora do dia, o
depósito estava assim.
João
Gustavoo trabalho já realizado por pontos de vista diferentes. Cada um deles
Gustavo e João observam
vê uma vista simplificada da pilha. Isso significa que eles enxergam formas planas. Pode-se
afirmar que
94
(A) ambos veem a mesma quantidade de caixas
(B) Gustavo vê duas caixas a mais que João.
(C) Gustavo vê oito caixas a mais que João.
(D) João vê seis caixas a mais que Gustavo.
95
Lição 9
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Identificar e localizar pontos no plano cartesiano e suas coordenadas e vice-versa.
Conteúdo: Plano cartesiano
Duração: 3horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos uma série de atividades para o ensino do plano cartesiano
como um método para análise e investigação dos conceitos geométricos. Com ela seus alunos vão explorar a construção de figuras sobre o plano cartesiano, propondo desafios e problemas para o aprendizado da geometria e de conceitos de outras áreas de conhecimento.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Comece a aula questionando os alunos sobre o GPS
Faça as seguintes perguntas:
 O que é um aparelho de GPS?
 Você já usou um aparelho de GPS para se localizar?
 Quais são as aplicações do GPS?
96
 Como funciona o GPS?
Faça uma cópia do texto/estudo dirigido abaixo para cada aluno e promova a leitura compartilhada do mesmo. Faça o estudo dirigido coletivamente, discutindo as respostas dos alunos
com toda a classe.
Texto/estudo dirigido: Uma nova forma de representação
1) Provavelmente você já ouviu falar do sistema de posicionamento global, normalmente
chamado de GPS. Esse nome vem do inglês (Global Positioning System) uma vez que o GPS
foi criado pelo governo dos Estados Unidos para fins militares e depois foi disponibilizado à população civil.
Existem 24 satélites que circundam a Terra duas vezes por dia, a uma altitude aproximadamente 20. 000 km. As órbitas dos satélites foram feitas de tal forma que, a qualquer instante e
em qualquer ponto da superfície do planeta, quatro satélites são sempre visíveis, ou seja, estão
no céu em uma posição que permitem que os sinais por eles emitidos possam ser captados.
A partir do sinal emitido pelos satélites, um aparelho receptor é capaz determinar sua posição
e altitude na Terra com uma margem de erro de até 2m. Para o sistema militar americano a
margem de erro é de 2 cm. Isso é possível porque os satélites emitem simultaneamente seus
sinais usando micro-ondas. O aparelho receptor é programado de tal forma que sabe quando o
sinal foi emitido e, usando um relógio interno, ele descobre quanto tempo o sinal levou para
sair do satélite e chegar até ele. Como a velocidade da onda também é conhecida, o receptor
pode calcular sua distância até o satélite (d = v. t). O sinal do satélite mostra sua posição no
espaço, o receptor consegue determinar as coordenadas de sua própria posição, ou seja, o
receptor pode informar ao usuário onde ele está.
Considere uma reta numerada e uma pessoa na origem (posição p = 0). A cada segundo essa pessoa joga uma moeda para cima. Se o resultado é cara ela anda uma unidade para a direita e se o resultado é coroa ela anda uma unidade para a esquerda.
a) Faça alguns lançamentos de moeda e represente, em um desenho, o caminho seguido
por essa pessoa até o primeiro momento que ela retorna à origem.
b) Quantas vezes você teve que lançar a moeda até retornar à origem?
c) Qual o ponto mais afastado da origem que foi alcançado?
d) Todos na sua sala conseguiram fazer um caminho que retorna à origem. Em média, isso
foi feito com quantos movimentos?
97
2)Considere o plano cartesiano e uma pessoa na origem com duas moedas, uma de R$ 0,
25 e outra de R$ 1, 00. A cada segundo as duas moedas são lançadas e, de acordo com o
resultado, ocorre uma ação, conforme a tabela.
Resultado do lanResultado do lançaçamento da moeda mento da moeda de
de R$ 0, 25.
R$ 1, 00.
Ação
Cara
Cara
Ir uma unidade para a direita
Cara
Coroa
Ir uma unidade para a esquerda
Coroa
Cara
Ir uma unidade para cima
Coroa
Coroa
Ir uma unidade para baixo
a) Faça alguns lançamentos de moeda e represente, em um desenho, o caminho seguido
por essa pessoa até o primeiro momento quando ela retorna à origem.
b) Quantas vezes você teve que lançar a moeda até retornar à origem?
c) Qual o ponto mais afastado da origem que foi alcançado?
d) Todos na sua sala conseguiram fazer um caminho que retorna à origem. Em média, isso
foi feito com quantos movimentos?
98
3) A figura abaixo mostra o mapa de uma região do Brasil no qual se colocaram os eixos cartesianos.
Determine as coordenadas dos pontos correspondentes às cidades de:
a) Belo Horizonte
b) Salvador
c) Brasília
d) Curitiba
4) Uma formiga estava sobre uma mesa na qual se definiram os eixos cartesianos. Inicialmente, ela estava na origem, mas foi em linha reta até o ponto A (2, 3). Ao chegar no ponto A
ela fez uma curva e foi em linha reta até o ponto B (-3, -4). Faça uma figura representando a
trajetória seguida por essa formiga.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Explorando o plano cartesiano um pouco mais através de uma aula expositiva lembre a seus
alunos que o Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano,
foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos
perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O
eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa
do plano cartesiano:
99
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Em razão
dessa ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente
o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, veja:
1º quadrante = x > 0 e y > 0
2º quadrante = x < 0 e y > 0
3º quadrante = x < 0 e y < 0
4º quadrante = x > 0 e y < 0
Localizando pontos no Plano Cartesiano:
A (4 ; 3) → x = 4 e y = 3
B (1 ; 2) → x = 1 e y = 2
C (–2 ; 4) → x = –2 e y = 4
D (–3 ; –4) → x = –3 e y = –4
E (3 ; –3) → x = 3 e y = –3
100
O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores
relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do
Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.
Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos
estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS que fizemos na
primeira aula.
Agora proponha um trabalho com a leitura de mapas no Google Earth.
Material necessário
Papel, régua, lápis, computador com acesso à internet e o programa Google Earth
Desenvolva o trabalho em etapas 1ª etapa
Oriente os alunos a observar o trajeto desde a casa até a escola, identificando pontos para a
localização. Peça que transformem a observação num croqui, cuidando para representar as
referências.
2ª etapa
Diante do computador, divida a turma em grupos e solicite que explorem o Google Earth. Explique que o desafio é encontrar, entre os mapas disponíveis, um que mostre a localização da
escola. Oriente-os a comparar os croquis com os mapas: os pontos de referência são os mesmos? Como são identificados? Explique que os desenhos disponíveis são representações bidimensionais de espaços tridimensionais, com símbolos, legendas e escala específicos.
101
3ª etapa
Hora de visualizar a localização em imagem real. Abra o programa Google Earth e convide
a turma a buscar uma imagem da escola. Siga o seguinte procedimento: clique no botão
"Mostrar a barra lateral" e em "Voar para". Digite "Brasil", espere a imagem "voar" até o país.
Introduza o nome da cidade e oriente os estudantes a aproximar a imagem até o objetivo.
Pergunte aos alunos o que estão vendo. É a mesma visão que temos ao caminhar pelas ruas? Leve-os a perceber que imagens aéreas e de satélite são a real visualização da superfície no plano vertical.
4ª etapa
Peça que comparem a imagem do Google Earth com o croqui que haviam elaborado e observem o que gostariam de acrescentar ou modificar.
Indo além
1
6
Indo além...
Proponha a leitura deleite abaixo e convide os alunos, após lerem o texto, a esconderem um
objeto – “Tesouro” em um local qualquer da escola e descreverem o mapa para encontrar o
“Tesouro” usando a linguagem cartesiana. Esse trabalho pode ser realizado em grupos de 04
a 05 alunos.
René Descartes deve ser considerado um gênio da Matemática, pois relacionou a Álgebra
com a Geometria, o resultado desse estudo foi a criação do Plano Cartesiano. Essa fusão
resultou na Geometria Analítica. Descartes obteve grande destaque nos ramos da Filosofia e
da Física, sendo considerado peça fundamental na Revolução Científica e, por várias vezes
foi chamado de pai da Matemática moderna. Ele defendia que a Matemática dispunha de conhecimentos técnicos para a evolução de qualquer área de conhecimento.
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais comumente conhecido como Plano Cartesiano, consiste em dois eixos perpendiculares numerados, denominados abscissa (horizontal) e
ordenada (vertical), que tem a característica de representar pontos no espaço.
Descartes utilizou o Plano Cartesiano no intuito de representar planos, retas, curvas e círculos através de equações matemáticas. Os estudos iniciais da Geometria Analítica surgiram
com as teorias de René Descartes, que representavam de forma numérica as propriedades
geométricas. A criação da Geometria Analítica por Descartes foi fundamental para a criação
do Cálculo Diferencial e Integral pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz. O Cálculo se dedica
ao estudo das taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, sendo de
grande importância na Física, Biologia e Química, no que diz respeito a cálculos mais complexos e detalhados.
Além do Cálculo e da Geometria Analítica, os estudos descartes permitiram o desenvolvimento da Cartografia, ciência responsável pelos aspectos matemáticos ligados à construção
de mapas.
102
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar e localizar pontos
no plano cartesiano e suas coordenadas e vice-versa. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Observe a figura
Quais as coordenadas de A, B e C, respectivamente, no gráfico?
(A) (1, 4), (5, 6) e (4, 2)
(B) (4, 1), (6, 5) e (2, 4)
(C) (5, 6), (1, 4) e (4, 2)
(D) (6, 5), (4, 1) e (2, 4)
2) A figura abaixo ilustra as localizações de alguns pontos no plano.
A figura abaixo ilustra as localizações de alguns pontos no plano. João sai do ponto X, anda 20
m para a direita, 30 m para cima, 40 m para a direita e 10 m para baixo.
Ao final do trajeto,
a)
João estará no ponto
A
b)
C
c)
B
d)
D
103
3) Quais são as coordenadas que estão indicando a cidade do Estado do Acre
a) (2, -7)
b) (-7, 2)
c) (7, -2)
d) (-7, -2)
4) No plano cartesiano abaixo o raio da circunferência desenhada mede:
a) 2
b) -2
d) 3
d) 4
104
Lição 10
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Identificar a localização/movimentação de pessoas e objetos em mapas, croquis e
outras representações gráficas.
Conteúdo: Visualização e localização espacial
Duração:3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, desenvolver habilidades de localização, movimentação no plano e no espaço,
construção de mapas e croquis, é fundamental para que no futuro o aluno utilize argumentos
geométricos para explicar o mundo em que vive e resolver problemas do dia a dia. Apresentamos a seguir uma série de atividades para ajudá-lo nesse trabalho.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Para motivar os alunos a perceberem a necessidade comunicar bem quando se constrói um
mapa e ampliar a ideia de referenciais peça que tragam para a sala uma foto ou imagem de um
lugar conhecido preferencialmente imagens aéreas ou fotos de satélite dos bairros que ficam
ao redor da escola (podem ser retiradas do Google Earth ou Google Maps), papel vegetal
(plástico), lápis (caneta esferográfica), borracha, lápis de cor, fita adesiva e papel A4.
Proponha que os alunos, em duplas, observem a imagem e falem sobre o que estão vendo.
Oriente que identifiquem áreas ocupadas com moradia, rua de comércio, terrenos baldios e
outras construções que se destacam na área. Pergunte o que mais identificam. Organize com a
turma a identificação desses elementos, indicando-os por letras. Os alunos devem escrevê-las
sobre a imagem ( letras).
Reflita com seus alunos sobre como são obtidas essas imagens. Se usar imagem do Google
Earth ou Google Maps, explique que se trata de um programa de computador que tem por finalidade apresentar um modelo tridimensional da Terra organizado com base em imagens de satélite obtidas de diferentes fontes. Oriente os estudantes a observar os tipos de ocupação.
Peça que colem, com uma fita adesiva na parte superior, uma folha de papel vegetal (plástico) sobre a foto (de maneira que possam levantá-la para observar). Eles devem fazer um croqui da imagem com base nas observações e nos registros realizados na etapa anterior. Diga
que iniciem pelas letras que foram escritas sobre a imagem, marcando-as sobre o papel transparente. Depois, devem delinear as principais ruas, avenidas e praças da área representada.
Dependendo da escala da imagem, eles poderão escrever o nome das ruas. Coletivamente,
construa uma legenda para identificar os tipos de ocupação do solo que ocorrem na área representada na imagem (áreas construídas, verdes, desocupadas, industriais, pastagem etc. ).
Oriente a turma a pintá-las no papel transparente com as cores correspondentes. Ao término
do croqui, peça que escrevam como título o nome da área abrangida (nome do bairro, por
105
exemplo). Em seguida, eles devem inserir uma folha de papel em branco sob o papel transparente e observar o croqui.
Croqui é um desenho feito ao vivo, em breves traços de lápis ou pincel, de modo que
mostre o essencial do modelo. Podemos dizer que é um esboço ou “ rascunho”.
Peça que comparem o croqui com a imagem e digam que diferenças notam entre esses
dois tipos de representação do espaço. Faça uma roda de discussão sobre o trabalho. Pergunte como a atividade ajudou-os a pensar sobre como são feitos os mapas. O que eles fizeram? Por quê? O que aprenderam? O que gostariam de saber mais?
Para finalizar a aula peça que, em duplas, produzam duas situações-problema usando as
marcações feitas no croqui e entreguem a outra dupla de colegas para resolverem o problema proposto. Promova a apresentação desses problemas e de suas soluções para toda a
turma.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Uma boa maneira de desenvolver a habilidade” Identificar a localização/movimentação de
pessoas ou objetos” é desafiar cada aluno com problemas que os permita visualizar e transpor situações espaciais para o plano. Para isso, tire uma cópia dos problemas abaixo e peça
que os alunos resolvam. Ao final, promova uma correção coletiva dos problemas deixando
que os alunos digam como chegaram à solução
1) Num tabuleiro de xadrez, jogamos com várias peças que se movimentam de maneiras
diferentes. O cavalo se move para qualquer casa que possa alcançar com movimento na forma de “L”, de três casas. Na figura abaixo, os pontos marcados representam as casas que o
cavalo pode alcançar, estando na casa d4.
106
Dentre as casas que o cavalo poderá alcançar, partindo da casa f5 e fazendo uma única jogada, estão:
(A) g3 ou d6
(B) h5 ou f3
(C) h7 ou d7
(D) d3 ou d7
2) A linha de montagem de um veículo numa montadora é composta por quatro estágios:
Corte das chapas de aço que formam o esqueleto do automóvel e sua montagem;
Pintura da carcaça;
Encaixe de componentes elétricos e mecânicos;
Testes finais.
Os três primeiros estágios ocorrem dentro da fábrica. Os testes ocorrem fora da fábrica e podem chegar a quase 10 km, onde se verificam freios, marchas e acelerador. Há até chuva artificial para verificação das vedações.
Para representar os processos da fábrica, foi feito o organograma abaixo, que mostra a linha
de montagem.
Atividade
Prensa das chapas de aço para montagem de
peças
Montagem do chassi
Soldagem das peças no chassi
Banho de fosfatização, para proteger chassi e
peças da ferrugem
Secagem
Primeira pintura
Secagem
Verniz e pintura da cor final
Aplicação de tapeçarias e portas
Aplicação de fiação, painel, bancos e cintos
Retorno ao andar inferior para finalização
Instalação da parte mecânica (motor, freios,
suspensão)
Saída do carro pronto
Extensão
Direção
4m
Frente
5m
8m
8m
Direita
Trás
Esquerda
4m
5m
5m
15 m
12 m
12 m
4m
12 m
Cima
Frente
Direita
Trás
Esquerda
Frente
Baixo
Frente
3m
Direita
A figura que melhor representa o trajeto seguido na linha de montagem é:
A)
107
B).
c)
D)
108
E)
2) Uma cidade resolveu implantar o serviço de coleta seletiva de lixo. Para isso, foram instalados postos de coleta seletiva pela cidade. Neles existem lixeiras especiais nas quais a população coloca o lixo já separado em casa: plástico, papel, metais e vidro. Caminhões de lixo
passam coletando os resíduos já separados e os levam para centrais de processamento, onde
o lixo será reciclado e reutilizado.
Foram instalados cinco postos de coleta seletiva: na escola, na igreja, na prefeitura, no fórum
e na Câmara de Vereadores, conforme mostra o mapa abaixo
No mapa, observamos que as ruas formam uma malha quadrada. Os caminhões de coleta de
lixo partem da esquina onde fica a escola e percorrem as esquinas onde ficam os demais prédios, mas cada um segue um trajeto diferente.
109
Caminhão de lixo que recolhe o
Plástico
Papel
Metais
Vidro
Trajeto
Escola – Prefeitura – Igreja – Fórum – Câmara
Escola – Igreja – Prefeitura – Câmara – Fórum
Escola – Câmara – Fórum – Igreja – Prefeitura
Escola – Igreja – Câmara – Fórum – Prefeitura
O caminhão que percorre a menor distância ao cumprir seu trajeto é o que recolhe:
(A) Plástico
(B) Papel
(C) Metais
(D) Vidro
Faça a correção dos itens levando em consideração os diferentes modos de pensar dos
alunos. Indique a resposta correta mas peça que cada aluno explique, mesmo que tenha errado, como ele pensou e faça as pontuações para que ele descubra porque errou, isto é, valorize o erro pois deve-se valorizá-lo enquanto instrumento de aprendizagem. Não se conhece algo sem primeiro cair nos equívocos ou nas ilusões.
Para finalizar a aula faça uma “ Caça ao tesouro “pois ao se movimentar pela escola em busca de pistas, o aluno aguça o senso de direção e compreende deslocamentos no espaço Determine um trajeto a ser percorrido em sala de aula e um ponto da escola Cada equipe vai esconder um objeto que será o tesouro e em seguida escreverá num papel indicações como "a
partir da mesa do Professor", "faça um quarto de volta à direita", "dê dois passos para frente",
"vire à direita e ande três passos" indicando pistas para que outra equipe encontre o tesouro
escondido Estipule um número mínimo e um número máximo de pistas que cada equipe pode
escrever. Vence o jogo quem chegar primeiro de volta à sala com o tesouro em mãos.
Indo além
1
6
Indo além...
No dicionário Aurélio (1996, p. 1272) a palavra paródia está registrada com os significados
de:
“imitação cômica de uma composição literária; imitação burlesca; comédia satírica ou farsa
em que se ridiculariza uma obra trágica ou dramática; arremedo”. Em outro, dicionário eletrônico Houaiss2
(2001) paródia vem definida como obra literária, teatral, musical, entre outros, que imita outra obra, ou os procedimentos de uma corrente artística, escola, com objetivo jocoso ou satírico; arremedo.
Ao tentarem compor as paródias com conhecimentos do espaço e forma os alunos podem
se defrontar com a necessidade reler conteúdos e retomar o que haviam aprendido e trabalhado em sala de aula durante outras aulas e, além disso, nos momentos de estudo seria
necessário se reunirem, planejarem, tomarem decisões, habilidades fundamentais para o de110
senvolvimento do pensamento tanto matemático quanto de qualquer outra área. Assim para
ampliar ainda mais a habilidade proponha que os alunos ouçam e cantem a música:
Mapa da felicidade da Banda Porto do Som
Pegue a estrada que vai pra felicidade
Siga ela pra não mais sentir saudade
Encontrará muitas flores no caminho
Só que todas sem espinhos e com cheiro de carinho
Siga ao norte
Vá à direção do vento
Ele vai te fazer voar por um momento
Pousará no final de um arco-íris
E ouvirá uma voz então:
"Seja bem-vinda ao meu coração!"
Fiz um mapa pra você
Siga ele e você vai ver
Pra cada um existe um lugar perfeito
E o seu lugar é no meu peito!!!!
Apresente o vídeo com o clipping da música ele está disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=eVSC9ITrXXYne peça aos alunos que elaborem uma paródia dessa música ou de uma outra música por eles escolhida, usando os pontos cardeais, deslocamentos no plano e no espaço e conceitos básicos de geometria. Faça uma apresentação
em sala de aula das paródias e organize um momento para que a melhor paródia seja apresentada aos alunos das outras turmas da escola.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “ identificar a localização/movimentação de pessoas e objetos em mapas, croquis e outras representações gráficas”.
Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Uma categoria entrou em greve e decidiu fazer uma passeata em protesto. Seguindo a lei
municipal, o sindicato da categoria anunciou previamente à Polícia Militar qual seria o trajeto a
ser seguido para que se organizasse o trânsito e se garantisse a segurança dos participantes.
111
Segue, abaixo, o mapa que o sindicato mandou à polícia. Nesse mapa, cada quadradinho tem
lado medindo 50m.
Podemos inferir que o sindicato pretende que sua passeata percorra uma distância de:
a) 2 km e 100m
b) 2 km e 400m
c) 800m
d) 2 km e 300m
2) O mapa a seguir mostra uma parte da região central de Belo Horizonte.
Disponível em: https://www.google.com.br/maps .Acesso em 23 nov. 2013.
112
Se uma rua é paralela a Rua Espírito Santo, essa rua poderá ser:
(A) paralela a Rua dos Guajajaras
(B) paralela a Rua dos Timbiras.
(C) perpendicular a Rua Aimorés.
(D) perpendicular a Rua Sergipe.
3) (M08329SI) No mapa abaixo, encontram-se representadas as ruas do bairro onde mora Mariana.
Mariana informou que mora numa rua entre as avenidas A e B e entre as ruas do hospital e da
locadora. Mariana mora na:
A) Rua 4.
B) Rua 5.
C) Rua 7.
D) Rua 9
4) O Parque Estadual da Serra do Rola-Moça é uma das mais importantes áreas verdes do
Estado de Minas Gerias. Situado na região metropolitana de Belo Horizonte, é o terceiro maior
parque em área urbana do país e abriga alguns dos mananciais que abastecem a capital mineira.
João tem um sítio bem próximo ao parque. Para ensinar Maria a chegar ao seu sítio ele escreveu:
113
“Após descer a serra do Rola Moça, observe placa do condomínio Recanto da Aldeia, vire a
sua direita em estrada de terra dentro da mata. Vire a segunda rua a esquerda e a quarta à
esquerda”
Localização do Sítio do João”
..
O nome da rua onde fica o sítio de João é
a) Final da descida da serra
b) Estradinha de terra
c) Alameda Pau D´Alho
d) Alameda Pau Brasil
114
Lição 11
Eixo: Tratamento da Informação
Competência: Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando interpretações.
Habilidade: Interpretar e utilizar informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
Conteúdo: Tabelas e gráficos
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de Sequência de atividades para explorar a leitura de gráficos e tabelas e, simultaneamente, desenvolver as ideias básicas da Matemática.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Comece a aula com a problematização sugerida pelo gráfico abaixo, resultado de uma pesquisa realizada:
Incentive o debate entre os alunos a partir das informações do gráfico, fazendo perguntas,
tais como:
Na última vez que você perdeu um objeto, você teve dificuldades de encontrá-lo?
Você se esquece do lugar onde guarda as coisas, com frequência?
Em sua opinião, homens perdem mais objetos que mulheres? Por quê?
Qual a sua explicação para o fato de que, no gráfico acima, as pessoas não conseguem encontrar algo que está na sua própria mão?
115
Em seguida, entregue o gráfico que sugerimos abaixo e explore-o, fazendo uma análise rápida com seus alunos. O gráfico ilustra uma pesquisa de opinião realizada com jovens de
uma sala de aula e que perguntava sobre qual o estilo musical preferido por eles. Cada aluno
poderia escolher apenas um estilo entre os apresentados
Fonte: dados fictícios.
Proponha aos alunos as seguintes perguntas:
Quais são os estilos musicais preferidos pelos jovens dessa turma?
Quantos alunos gostam de cada um dos estilos musicais apresentados? Justifique as respostas com dados do gráfico.
a) Sertanejo;
b) Samba/pagode;
c) Rock ;
d) Funk;
e) MPB;
f) Gospel;
g) Demais estilos;
Qual o total de alunos da turma onde a pesquisa foi realizada?
Explore a oralidade com a turma em uma conversa informal sobre os estilos musicais da
pesquisa estudada. Deixe-os argumentarem sobre suas próprias preferências musicais e realize uma pesquisa similar à apresentada com os alunos de sua classe. Para realizar a pesquisa:
Coloque no quadro a pergunta: Que estilo musical você prefere? Diga-lhes que podem escolher mais de um estilo caso tenham mais de uma preferência. Anote as respostas dos alunos permitindo uma fácil contagem.
Construa uma tabela coletivamente com os resultados de sua enquete.
116
Siga perguntando a seus alunos qual o melhor tipo de gráfico para representar esses dados? Construa o gráfico sugerido pela turma e faça um paralelo da pesquisa apresentada anteriormente e a pesquisa realizada com sua turma.
Explore as seguintes questões:
a) Podemos afirmar que temos os mesmos gostos musicais apresentados na pesquisa inicial?
b) Na turma há algum estilo musical diferente dos estilos da pesquisa inicial? Converse com
seus alunos sobre essas respostas.
c) Qual o estilo musical preferido pela turma?
d) Qual o estilo musical menos apreciado?
e) Qual o percentual de alunos da turma que gostam de sertanejo? E de funk?
f) Todos os alunos da turma estão representados na pesquisa? Some o total de informações de cada estilo e compare com o total de alunos da sala. O que ocorreu?
Continue o trabalho com a leitura de gráficos e tabelas organizando a classe em grupos de
no máximo 5 alunos em cada equipe e:
1 - entregue a cada grupo um envelope, contendo recortes de jornais, revistas, cópias do livro didático com gráficos e tabelas variados;
2 - peça aos grupos que selecionem e separem os recortes, conforme seus conhecimentos
prévios, em três conjuntos distintos: o de tabelas, o de gráficos de coluna e o de gráficos de
setor;
3 - discuta o que significa cada uma dessas categorias;
4 - solicite que colem cada um dos conjuntos em cartazes por categoria;
5 - afixe, em local adequado da sala, os cartazes com os resultados desse trabalho;
6 - explore esses cartazes, formulando perguntas que possam ser respondidas pela leitura
das informações neles contidas.
7 - Comente mais detalhadamente, abordando os componentes de um gráfico/tabela: título,
variáveis, cabeçalho, fonte de informações, unidades de medida (se for o caso), e dependendo
do grau de dificuldade, algumas conclusões possíveis de serem obtidas da sua leitura.
Finalize a aula deixando com cada aluno um questionário (anexo I) que eles deverão trazer
preenchido para a próxima aula.
.
Ampliando a habilidade. . .
117
Ampliando a Habilidade
Nessa aula os alunos irão organizar dados e depois explorar a leitura desses dados por
meio de gráficos e/ ou tabelas. Para isso o professor deverá:
1 - organizar a turma em grupos de 5 alunos;
2 - solicitar que cada grupo consolide os resultados dos questionários respondidos em casa
(Anexo I) e registrem no Consolidado do Questionário - Anexo II;
3 - solicitar que um representante de cada grupo registre os resultados do Consolidado de
seu grupo na tabela (com o mesmo formato) que o professor previamente deixou afixada no
quadro.
4 - explorar a tabela do quadro com perguntas que possibilitem aos alunos concluir sobre a
necessidade organizar e consolidar as informações, para facilitar a leitura e a interpretação
dos dados;
5 - pedir a cada grupo de alunos que construa os gráficos de coluna e/ou de setor, melhor
indicados para cada uma das informações contidas nessa tabela, utilizando colagem, recortes
de revistas, power point, canetinhas, pincéis. Nesse momento exponha aos alunos todos os
tipos de gráficos e as funções que cada um assumem ao tratar a informação
6 - convidar os alunos a expor os trabalhos, a apresentar seu conteúdo e a razão da escolha daquele tipo de gráfico para expor suas conclusões e organizar os dados colhidos pelo
grupo
Indo além
1
6
Indo além...
Toda habilidade pode ser amplamente desenvolvida com ações interdisciplinares que promovam o diálogo entre a linguagem matemática e outras áreas de conhecimento. Professor,
junte-se a um colega, professor de Língua Portuguesa, e convide os alunos a produzirem um
texto, associando as ideias sobre o uso de celulares, expressas no gráfico abaixo, e os argumentos de Luiz Fernando Veríssimo, presentes no texto que colocamos para leitura deleite,
e que apresentamos a seguir.
118
Fonte:www.mobilepedia.com.brw/acessoem03/04/2014
Nós, que resistimos aos celulares
Luís Fernando Verissimo
Não sucumbi ao telefone celular. Não tenho e nunca terei um telefone celular. Quando preciso usar um, uso o da minha mulher. Mas segurando-o como se fosse um grande inseto, possivelmente venenoso, desconhecido da minha tribo. Eu não saberia escolher a musiquinha que o
identifica. Aquela que, quando toca, a pessoa diz “é o meu!”, e passa a procurá-lo freneticamente, depois o coloca no ouvido, diz “alô” várias vezes, aperta botões errado, desiste e desliga, para repetir toda a função quando a musiquinha toca outra vez. Não sei, a gente escolhe a
musiquinha quando compra o celular? — Tem aí um Beethoven? — Não. Mas temos as quatro
estações do Vivaldi. — Manda a primavera. Porque a musiquinha do seu celular também identifica você. Há uma enorme diferença entre uma pessoa cujo celular toca, digamos, “Take five“ e
uma cujo celular toca Wagner. Você muitas vezes só sabe com quem realmente está quando
ouve o seu celular tocar, e o som do seu celular diz mais a seu respeito do que você imagina.
Se bem que, na minha experiência, a maioria das pessoas escolhe músicas galopantes — como a introdução da “Cavalleria rusticana” ou a ouverture do “Guilherme Tell” — apenas para já
colocá-la no adequado espírito de urgência, ou pânico controlado, que o celular exige. Sei que
alguns celulares ronronam e vibram, discretamente, em vez desandarem a chamar seus donos
com música. Infelizmente, os donos nem sempre mostram a mesma discrição. Não é raro você
ser obrigado a ouvir alguém tratando detalhes da sua intimidade ou dos furúnculos da tia Djalmira a céu aberto, por assim dizer. É como o que nos fazem os fumantes, só que em vez do
nosso espaço aéreo ser invadido por fumaça indesejada, é invadido pela vida alheia. Que também pode ser tóxica. Não dá para negar que o celular é útil, mas no caso a própria utilidade é
angustiante. O celular reduziu as pessoas a apenas extremos opostos de uma conexão, pontos
soltos no ar, sem contato com o chão. Onde você se encontra tornou-se irrelevante, o que significa que em breve ninguém mais vai se encontrar. E a palavra “incomunicável” perdeu o sentido. Estar longe de qualquer telefone não é mais um sonho realizável de sossego e privacidade — o telefone foi atrás. Não tenho a menor ideia de como funciona o besouro maldito. E chega um momento em que cada nova perplexidade com ele torna-se uma ofensa pessoal, ainda
mais para quem ainda não entendeu bem como funciona torneira. Ouvi dizer que o celular destrói o cérebro aos poucos. Nos vejo — os que não sucumbiram, os últimos resistentes — como
119
os únicos sãos num mundo imbecilizado pelo micro-ondas de ouvido, com os quais as pessoas trocarão grunhidos pré-históricos, incapazes de um raciocínio ou de uma frase completa,
mas ainda conectados. Seremos poucos mas nos manteremos unidos, e trocaremos informações. Usando sinais de fumaça.
Anexo I – Questionário -Conhecendo o perfil da turma
1) Seu sexo
( )F
( )M
2) Sua idade (n° de anos completos)
3) Quantos irmãos você tem?
( ) ônibus escolar ( ) ônibus ( ) carro
4) Marque com um x o meio de transporte que
você mais usa para vir à escola.
( ) bicicleta ( ) a pé ( ) outro
5) Além de você, quantas das pessoas que
moram na sua casa, frequentam, atualmente,
uma escola?
6) Das pessoas que moram com você o número daquelas que já concluíram o nono ano do EF
é:
Anexo II – Consolidado do questionário
1) Sexo (escrever o n° de alunos e
F:
alunas)
2) Idade (listar as idades dos componentes do grupo incluindo, se houver, as repetidas)
3) Quantos irmãos você tem? (listar
os nos, incluindo, se houver, as repetições)
4) Marque com um x o meio de
Ônitransporte que você mais usa para bus. Esvir à escola. (escrever o n° de alunos colar
que marcou cada uma das opções)
5) Além de você, quantas das pessoas que moram na sua casa frequentam, atualmente, uma escola?
(listar os nos, incluindo, se houver, as
repetições)
6) Das pessoas que moram com
você o número daquelas que já concluíram a 8ª série é: (listar os nos,
incluindo, se houver, as repetições)
M:
Ônibus
Bicicleta
Carro
A pé
Outro
120
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Interpretar e utilizar informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Observe atentamente a figura abaixo que mostra o desempenho de dois times no campeonato brasileiro de 2011. No eixo horizontal estão representadas as 38 rodadas do
campeonato e no eixo vertical está representada a quantidade pontos de cada time ao
fim da rodada.
Performance dos times de Futebol
Dados fictícios
Analisando esse gráfico, uma observação matematicamente correta que podemos fazer é:
a) O Time A terminou o campeonato com mais pontos que o Time B, bem como permaneceu
com mais pontos que o Time B durante a maior parte do campeonato.
b) O Time A terminou o campeonato com mais pontos que o Time B, porém foi o Time B que
permaneceu com mais pontos que o Time A durante a maior parte do campeonato.
c) O Time B terminou o campeonato com mais pontos que o Time A, bem como permaneceu
com mais pontos que o Time A durante a maior parte do campeonato.
d) O Time B terminou o campeonato com mais pontos que o Time A, porém foi o Time A que
permaneceu com mais pontos que o Time B durante a maior parte do campeonato.
2) Em 2014 se realizará no Brasil a 20ª Copa do Mundo. O Brasil, com cinco títulos, é o país
com maior número de conquistas. O número de títulos de cada país pode ser visto no gráfico
abaixo.
121
Títulos Mundiais por países segundo a FIFA
6
5
4
3
2
1
0
Fonte: CBF
Como podemos perceber apenas seleções europeias ou sul-americanas ganharam a Copa do
Mundo. Na verdade, podemos dizer que:
a) As seleções europeias têm um título a mais que as sul-americanas
b) As seleções sul-americanas têm um título a mais que as europeias
c) As seleções sul-americanas e europeias têm o mesmo número de títulos
d) As seleções europeias têm dois títulos a mais que as sul-americanas
3) Desconsiderando os Jogos Olímpicos de Londres, que ocorreram nesse ano, o Brasil havia
ganhado 91 medalhas em toda a história dos Jogos Olímpicos. A distribuição das medalhas
brasileiras está representada no gráfico abaixo:
Medalhas Olímpicas Brasileiras
Ouro
Prata
Bronze
Fonte:COB
122
Um jornalista esportivo tem que escrever um texto para seu jornal relatando essas conquistas
brasileiras na história dos Jogos Olímpicos. Uma conclusão matematicamente correta que ele
pode fazer é afirmar que o Brasil ganhou aproximadamente:
a) 45 medalhas de ouro
b) Mais de 50 medalhas de ouro ou prata
c) Menos de 45 medalhas de bronze ou prata
d) 45 medalhas de bronze
4) O lixo pode ser agrupado em:
Inorgânico ou seco: papel, vidro, lata, tecido, isopor, velas, etc.
Orgânico ou molhado: sobras de alimentos, folhas, plantas cascas de frutas, etc.
Na turma do terceiro ano foi feita uma pesquisa sobre a quantidade kg de lixo seco produzido por meninos e meninas da sala em certo mês. Os resultados estão na tabela abaixo.
Vidro
Lata
Papel
Tecido
Isopor
Meninos
1
3
1
0
0
Meninas
1
1
4
2
0
Analisando a tabela, a quantidade de papel produzida pelas meninas é:
(A)
Igual à quantidade vidro e lata produzido pelos meninos
(B)
Menor que a quantidade lata e papel produzido pelos meninos
(C) Menor que a quantidade vidro e tecido produzido pelas meninas
(D) Maior que a quantidade latas produzidos por meninos e meninas, juntos.
123
Lição 12
Eixo: Tratamento da Informação
Competência: Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando interpretações.
Habilidade: Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos
que as representam, e vice-versa.
Conteúdo: Tabelas e gráficos
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades para explorar a leitura de gráficos e tabelas e, simultaneamente, desenvolver a capacidade reconhecer e
utilizar adequadamente um tipo de gráfico.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Professor você sabe que nem todo gráfico é indicado para a informação que está em sua planilha e você deseja representar visualmente. Para não errar na hora da escolha, saiba qual é a
função de cada categoria de gráfico. Sobre o assunto, leia “Uma ajuda na escolha do gráfico
“disponível em http: //info. abril. com. br/dicas/escritorio/planilhas/ajuda-na-escolha-do-grafico.
shtml
Lembre a seus alunos os diferentes e mais usados tipos de gráficos. São eles:
Colunas– Desenha barras para comparar valores no decorrer de um período de tempo.
Exemplo: as vendas de uma empresa nos últimos três anos.
Linhas– Exibe horizontalmente dados não cumulativos para demonstrar sua evolução ao longo do tempo. Exemplo: as exportações de um setor nos quatro trimestres de um ano.
Pizza ou setor – É indicado para a análise de porcentagens de um número total. Exemplo:
qual foi a participação de cada linha de produto no faturamento total da empresa.
124
Barras– Tem a mesma função do gráfico de colunas, só que dispõe os dados na posição horizontal em vez da vertical.
Divida a turma em grupos e peça que realizem a seguinte atividade:
Proponha à turma uma pesquisa sobre gráficos em jornais e revistas. Divida os alunos em
grupos de quatro e distribua, para cada um, materiais que contenham vários tipos de gráfico barras, linhas, pizza etc. Certifique-se que os gráficos escolhidos tratem de temas que os alunos tenham familiaridade - número de alunos na escola, dados sobre desmatamento, população, sustentabilidade, etc. Coloque no quadro algumas perguntas: - Que tipo de informação
cada gráfico apresenta? Qual deles vocês julgam mais fácil de ler? Por quê? Peça que registrem as informações no caderno e, em seguida, abra a discussão sobre as características e a
adequação de cada formato às informações nele contidas. Peça que os alunos elejam o formato que lhes parece de mais fácil interpretação. É bem provável que sejam escolhidos os gráficos de barras verticais. Verifique se isso ocorreu e discuta esse fato com toda a turma.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Para essa aula selecione alguns gráficos de barras para uma análise detalhada. Procure representações que tragam diferentes escalas e intervalos - um gráfico pode ter uma escala de
zero a dez e marcações de dois em dois, outro pode variar de zero a cem, com intervalos dez
em dez, e assim por diante. Comece perguntando aos alunos quais são as principais informações apresentadas. O que mostra cada gráfico? Do que se trata? Em seguida, chame a atenção da turma para as diferentes escalas e intervalos utilizados. Todas as representações usam
a mesma escala? Não? Por quê? Explique aos alunos que, na hora de criar um gráfico, é preciso pensar em uma escala em que caibam todas as informações que queremos. Se os dados
que vamos inserir variam de zero a dez, o gráfico deve ter, pelo menos, uma escala com esses
valores. Peça que observem, também, os intervalos em que os gráficos estão divididos. Explique à turma que essa divisão ajuda a tornar o gráfico mais preciso e claro. Os alunos vão perceber que são intervalos regulares e crescentes: 2, 4, 6, 8. . . 5, 10, 15, 20. . . Proponha que
respondam oralmente: Se eu fizer um gráfico com intervalos de três em três, quais números
devo incluir? A classe certamente dirá 3, 6, 9, 12. . . Continue propondo que a turma faça uma
pesquisa de opinião na escola. Comece explicando aos alunos que a atividade consiste em um
levantamento de informações sobre um tema determinado. Para isso, é preciso escolher um
assunto, formular perguntas e conversar com os entrevistados. Em seguida, escolha o tema da
pesquisa com a turma. Uma opção é fazer um levantamento sobre os livros lidos na aula de
Língua Portuguesa do último ano, perguntando aos colegas das outras classes qual obra mais
gostaram. O resultado pode ser usado para que os alunos preparem na aula de Língua Portu125
guesa, uma resenha sobre o livro mais votado. Divida a turma em grupos de quatro e proponha
que entrevistem os colegas das outras classes. Explique que cada grupo deve levar um caderno com uma tabela, em que as respostas serão colocadas por exemplo assim:
De volta à sala, proponha que a turma socialize as informações e coloque-as em uma tabela
coletiva. Em seguida, peça que os grupos se reúnam e somem os resultados.
Em seguida, peça que cada grupo elabore um gráfico de barras para expressar os resultados
obtidos. Para isso, retome as explicações da aula anterior. Mostre a eles que, em primeiro lugar, é preciso traçar os eixos X e Y no papel quadriculado com a ajuda da régua. Em seguida,
cada grupo deve definir a escala e os intervalos que lhes parecerem mais eficientes para apresentar os dados. É provável que surjam opções diferentes, o que irá enriquecer a discussão
dos resultados.
Dê um tempo para que os grupos terminem e faça uma exposição dos resultados obtidos.
Discuta com a turma as diferentes escalas e intervalos usados. Quais foram mais adequados?
Por quê? No exemplo dos livros a melhor opção seria colocar uma escala de zero a 25, dividida
de 5 em 5. Pergunte o que aconteceria se os números fossem maiores, com três ou quatro casas decimais. A escala teria que mudar? E os intervalos?
Indo além
1
6
Indo além...
1) Converse com a turma sobre a importância de saber interpretar os gráficos para informar e
organizar determinadas experiências. Apresente vários tipos de gráficos como os de linha, os
circulares e os de barra.
2) Apresente aos alunos uma questão do ENEM/2009 em que é explorada a leitura de um
gráfico de barras. Quais os conceitos que estão sendo exigidos na resolução dessa questão?
126
3) Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico a
seguir. Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a
porcentagem de alunos aprovados?
a) 18%
b) 21%
c) 36%
d) 50%
e) 72%
3) Mostre que a leitura de dados por meio de gráficos possui o procedimento comum de saber
fazer a correspondência entre dois conjuntos de medidas.
4) Discuta com os alunos quais são os dois conjuntos que estão envolvidos no gráfico da
questão do ENEM. Mostrar os eixos que correspondem, respectivamente, ao valor das médias
das notas e à quantidade alunos envolvidos na pesquisa.
5) Desafie os alunos a apresentarem, por meio de exemplos ou fatos, situações que envolvam o conceito de porcentagem. Insistir na importância desse conceito, que está sempre presente em vários tipos de textos.
6) Proponha algumas questões para a sala de aula com o objetivo de estimular a interpretação dos dados usados no gráfico. Por exemplo, quantos alunos obtiveram média igual a 5, 0?
7) Pergunte o número total de alunos que podem ser contabilizados no gráfico que foi proposto pelo problema. Pedir para que justifiquem a resposta.
8) Qual é a fração de alunos com média igual a 7, 0? Como transformar essa fração em porcentagem? Perguntar para a sala se é importante a retomada desse conceito que já foi desenvolvido no ensino fundamental.

9) Desafie a sala de aula na resolução da questão cuja condição é o cálculo da porcentagem
de alunos com média maior ou igual a 6, 0.
127

10) Proponha para a sala outras questões semelhantes com o objetivo de explorar as informações contidas no gráfico. Qual é a porcentagem de alunos com média maior ou igual a 5, 0?
Chegou a hora da pesquisa !
1)Realize uma pesquisa na escola sobre a qualidade da acústica na sala de aula. Peça para
os alunos darem uma nota de 0 a 10 construindo uma tabela e um gráfico com o resultado
dessa pesquisa. Mostre o resultado para toda a turma.
2) Realize uma pesquisa sobre a qualidade um determinado programa de TV bastante divulgado ou conhecido entre os alunos. Classifique a opinião em quatro campos: RUIM, REGULAR, BOM E ÓTIMO. Peça que os alunos traduzam o resultado em um gráfico para ser apresentado em aula.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam, e vice-versa”. Estas
questões servirão de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns
alunos ou com toda a turma.
1) O Campeonato Brasileiro de 2012 teve o Fluminense como campeão, com um total de 77
pontos, sendo 22 vitórias, 11 empates e 5 derrotas. O último colocado foi o Figueirense, que
obteve apenas 30 pontos, sendo 7 vitórias, 9 empates e 22 derrotas.
128
O gráfico que melhor representa as informações do parágrafo anterior é
100%
80%
Derrota
60%
40%
Empate
20%
Vitória
0%
Fluminense
Figueirense
a)
100%
80%
60%
Derrota
Empate
40%
Vitória
20%
0%
Fluminense
Figueirense
b)
100%
80%
60%
Derrota
Empate
40%
Vitória
20%
0%
Figueirense
Fluminense
c)
129
100%
80%
60%
Derrota
40%
Empate
Vitória
20%
0%
Fluminense
Figueirense
d)
2) Com o uso em grande escala das garrafas PET, principalmente a partir da década de
1990, surgiu um problema ambiental sério. Muitas destas garrafas eram descartadas e
acabavam parando em terrenos, rios, esgotos, mares e matas. Como este material pode
se manter até 750 anos na natureza, tornou-se de fundamental importância a sua coleta
e reciclagem.
Com criatividade podemos criar em casa vários objetos úteis ou decorativos com garrafas PET como, por exemplo:
- Luminárias
- Vasos para plantas
- Regadores para plantas
- Porta guardanapo
- Banquinhos
- Porta lápis e canetas
- Jogos educativos
- Potes para utensílios
130
No gráfico abaixo são apresentados dados sobre a quantidade garrafas pet transformadas em
vasos para plantas pelos alunos do 4° e do 5° ano de quatro escolas.
240
230
220
Quarto ano
210
Quinto ano
200
190
180
Escola 1
Escola 2
Escola 3
Escola 4
Qual dessas escolas produziu a menor quantidade vasos?
A) Escola 1.
B) Escola 2.
C) Escola 3.
D) Escola 4.
3) Foi realizada uma pesquisa perguntando a 2000 pessoas que assistiam a uma determinada
novela qual era sua opinião sobre essa novela. A pesquisa foi feita em todo o país. Desse grupo de entrevistados, 65% tinham uma opinião positiva sobre a novela, 10% tinham uma opinião
negativa e o restante não tinha opinião formada.
O gráfico que melhor representa os resultados dessa pesquisa é:
a)
Positiva
Sem opinião
Negativa
131
b)
Positiva
Sem opinião
Negativa
c)
Positiva
Sem opinião
Negativa
d)
Positiva
Sem opinião
Negativa
4) Na escola da Rita, fez-se um estudo sobre o gosto dos alunos pela leitura. Um inquérito realizado incluía a seguinte questão:
«Quantos livros você leu desde o início do ano letivo?
132
As respostas obtidas na turma da Rita, relativamente a esta pergunta, estão representadas no
gráfico de barras abaixo.
Sabendo que a turma da Rita tem 30 alunos, o número de alunos que leram 4 livros foi:
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
133
Lição 13
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
Conteúdo: Irracionais e aproximações
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de Sequência de atividades que desenvolverá as habilidades de compreensão, reconhecimento e estimativa de irracionaisBom
trabalho!
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Para iniciar o trabalho providencie o seguinte material:
Papel milimetrado, compasso, réguas, esquadros, lápis de cor, e se possível o laboratório
de informática.
Fase 1 - Organize uma sequência de números reais incluindo pelo menos três nº s irracionais numa lista e solicite aos alunos que desenhem uma reta e represente nela essa sequência de números.- Solicite que os alunos trabalhem em dupla, discutam a melhor forma de representar os números reais na reta numérica e anotem os números que causarem maiores
dificuldades na representação. - Questione aos alunos sobre a identificação dos conjuntos
numéricos a que pertence os números anotados. – Oriente-os para que possam elaborar e
resolver situações problema, cujos resultados sejam tais números dos conjuntos racionais e
irracionais.
Depois dessa primeira fase, desenhe um quadrado de lado igual à unidade (1) e calcule a
medida da sua diagonal. Retorne à representação dos números na reta numérica e solicite a
cada dupla que encontre a forma adequada de colocarmos o comprimento da diagonal do
quadrado na reta numérica. Após a representação da diagonal do quadrado na reta numérica,
é importante questionar:
• Como podemos representar √2, √3, √4, √5, etc. .
• Se pegarmos o valor da√2 na calculadora, é possível representar na reta numérica?
• Se utilizarmos a régua ou o compasso, é possível representar a√2na reta numérica?
• Qual dos dois instrumentos para a representação da√2 na reta numérica, foi feita com
maior precisão?
Após a realização das atividades e discussão das dificuldades e as soluções encontradas
pelos alunos é importante que você, professor, mostre que existem algumas formas de fazer
134
tal representação. Nesse momento você poderá utilizar o “Caracol matemático” como um dos
recursos para localizar as medidas (√2, √3, √4, √5, etc. . . ) na reta numérica. Para isso, faça
coletivamente:
• Desenhe a reta numérica com os números inteiros de 0 a 5.
• Construa um triângulo retângulo e com os catetos iguais a unidade 1 da reta numérica.
• Use um compasso para transferir a dimensão para transferir a dimensão da hipotenusa/diagonal ( 2 ), para a reta numérica, tomando como origem o ponto zero.
• Em seguida, faça novo triângulo retângulo (ângulo reto no vértice superior do anterior) com
os catetos iguais à unidade da reta e 2 Calcule a nova hipotenusa ( 3 ).
• Para demonstrar a
demonstrar a
3 na reta numérica, utilize o mesmo processo que foi utilizado para
2 , e assim sucessivamente, até formar o caracol.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Agora que os alunos ampliaram a reta numérica que tal desafiá - los a estimar? Proponha que
pensem nas seguintes situações:
É Possível?
135
Pedro, Paulo e Luiz estavam comparando suas alturas, quando declararam:
Pedro: “Tenho 1, 70m. ”
Paulo: ”Tenho 1, 72m. Sou mais alto que você, Pedro. ”
Luiz: “Mas sou mais alto que os dois. Tenho
3 m de altura. ”
Pedro e Paulo: “Como? !”
Eis uma boa pergunta. Como Luiz pode dizer que sua altura tem medida representada por
um número irracional (dízima inexata)? É possível medir este valor de comprimento?
Antes de responder a esta pergunta, faça uma breve revisão dos principais conjuntos numéricos.
Conjuntos Numéricos:
a) Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4,. . . }
b) Inteiros: Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, }
c) Racionais: Q = { x =
a
b
a  Z  b  Z* }
Observação: Dízima é um decimal inexato.
d) Irracionais (I) : Números que não podem ser escritos em forma de fração. São as dízimas não periódicas.
Exemplo:
2 , 3 ,  , ...
e) Reais (R) : É a união dos conjuntos Q e I.
O diagrama a seguir ilustra a relação de inclusão entre estes conjuntos:
136
Voltando à altura de Luiz, peça que os alunos expliquem como ele conseguiu obter 3 m?
Numa fita métrica, não temos como precisar esta medida, já que seu valor é inexato
 3  1 ,732050...  .


Sugira que os amigos de Luiz não sabiam é que Luiz é um apaixonado pela Geometria e que
para resolver o problema ele fez o seguinte desenho no chão de sua varanda:
- Desenhou um segmento de medida 1m;
- Traçou outro segmento, a partir de uma das extremidades do segmento anterior, de medida
1m, perpendicular ao primeiro.
- Uniu as extremidade livres dos segmentos, obtendo um outro de medida
Justificativa: Pelo Teorema de Pitágoras, temos: x2 = 12 + 12 = 2  x =
- Traçou outro segmento de medida 1m, perpendicular ao de
deles.
- O segmento obtido tem medida
2 m.
2
2 m, e uniu as extremidades
3 m.
Justificativa: Pelo Teorema de Pitágoras, temos: = 12 +


2
2  = 3  d =

3
Ao deitar no chão sobre o último segmento obtido, Luiz teve a surpresa: era exatamente do
seu tamanho!!!
137
Finalize a aula convidando os alunos ao seguinte experimento:
Explorar experimentalmente o problema clássico da duplicação de um cubo para, a partir
disso, introduzir o número irracional e calcular numericamente a sua representação decimal
com um determinado número de casas decimais. Use o recurso disponível em:
http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Experimentos/ExperimentosM3Matematica/duplicac
ao_do_cubo/
Indo além
1
6
Indo além...
Peça que os alunos pesquisem sobre um número irracional muito interessante. O chamado
número de ouro. Peça que pesquisem o que é a proporção áurea, presente em várias formas
naturais e artificiais, como obras arquitetônicas, conchas e girassóis mas antes aguce a curiosidade deles com o texto abaixo:
O número áureo, ou “phi” (lê-se fi), representado pela letra grega φ, é considerado, o “número de Gaia”, a Mãe Natureza, criadora de todos os seres vivos existentes no mundo. É o
número “perfeito”, arredondado para 1, 618. Para explicar melhor, vamos exemplificar: meça
o tamanho de seu braço e depois divida pela distância do pulso até o cotovelo, obterá 1, 618.
O mesmo é válido para a os membros inferiores. A razão do aumento do diâmetro das espirais da semente do girassol é 1, 618. Em um ambiente equilibrado, a razão entre as fêmeas
de uma população e os machos tem o valor 1, 618. Talvez este número seja apenas uma
coincidência. Talvez seja a perfeição da natureza resumida em dígitos. Ou talvez nem haja
uma razão científica para isto. O fato é que ele está aí, e não podemos ignorar. Termine
acrescentando: O que vocês pensam disso?
Realizando a I
138
ervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. ” Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa
ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Nessa questão, considere √5 = 2, 2 e  = 3.
Em 2010 ocorreu um grave acidente ecológico no Golfo do México. Devido a um problema em
um poço, vazaram aproximadamente 3 milhões de litros de petróleo por dia durante algumas
semanas, tornando este o maior vazamento de petróleo da história.
Imagine que t dias após o início do vazamento a mancha de óleo era um círculo de diâmetro d
quilômetros. A relação entre d e t é
=
√
5
Após 64 dias de vazamento, a área da mancha de óleo, em km2, já era de aproximadamente
a) 2
b) 8
c) 75
d) 620
2) Usando uma calculadora podemos calcular o valor exato de algumas raízes quadradas e o
valor aproximado de outras. Veja o que a calculadora mostra quando acionamos esta sequência de teclas:
5
√
=
139
Se usarmos a calculadora para calcular um valor aproximado para √10, no visor aparecerá um
número entre:
(A) 2 e 3
(B) 3 e 4
(C) 5 e 6
(D) 10 e 11
3) Para ligar a energia elétrica em seu apartamento, Felipe contratou um eletricista para medir
a distância do poste da rede elétrica até seu imóvel.
Essa distância foi representada, em metros, pela expressão: (2√10 + 6√17)Para fazer a ligação, a quantidade fio a ser usado é duas vezes a medida fornecida por essa expressão. Nessas condições, Felipe comprará aproximadamente:
(A) 43, 6 m de fio
(B) 58, 4 m de fio
(C) 61, 6 m de fio.
(D) 81, 6 m de fio
4) O número irracional √7 está compreendido entre os números:
a)
2e3
b)
12 e 15
c)
3e4
d)
6e8
140
Lição 14
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade: Resolver situações-problema que envolvam equação do 1º grau e do 2º grau.
Conteúdo: Equações de primeiro e segundo grau
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Professor, faça cópias ou slides em power point contendo o enunciado dos dois problemas a
seguir:
Problema I:
O proprietário de um terreno retangular quer construir um muro à sua volta cuja área é de
1200 m² e o perímetro de 160 metros. Ao fazer o orçamento, verificou que, pelas características do local, o preço por metro linear de muro construído nos lados menores do terreno é de
R$ 10, 00 e nos lados maiores R$ 15, 00. Nessas condições, quanto custará a construção do
muro?
Problema II:
Em um pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, foram plantadas n novas laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que, devido à competição por nutrientes no solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Nessas condições determine o número de laranjeiras no pomar para uma produção anual de 20. 000 laranjas.
Além disso, divida a turma em grupos e apresentar os problemas aos grupos.
Sugira aos grupos que discutam o problema I e procurem uma estratégia para resolvê-lo.
Acompanhe as discussões de cada grupo orientando-as com sugestões apresentadas na
forma de perguntas tais como:
Quais são os dados do problema?
O que o problema está pedindo?
O que é preciso calcular para responder a pergunta formulada no problema?
141
Faça uma figura do terreno e represente um dos lados por x. Nesse caso, como relacionar a
medida do outro lado com o perímetro do terreno?
Como relacionar o que é preciso calcular com os dados do problema?
É possível resolver o problema para um caso particular? (por exemplo: se um dos lados
medir 10 metros qual será a medida do outro lado? )
Se ainda assim os alunos não conseguirem perceber como continuar, sugira que eles se
concentrem na determinação das medidas do terreno para depois cuidar do preço da obra.
Tendo como foco o cálculo das medidas do terreno sugerir que eles procurem relacionar os
dados área e perímetro tendo como referência figuras de retângulos com medidas satisfazendo as condições dadas e organizem esses dados completando uma tabela com o seguinte
formato:
Lado a
Lado b
Área a x b
5
80 − 5
5 (80 – 5)
9
80 – 9
9 (80 – 9)
...
...
....
X
Observe que é importante a explicitação das operações que aparecem em cada uma das
colunas da tabela, pois a regularidade das expressões obtidas indicará a “fórmula” que relacionará os dois lados do retângulo com a sua área.
Obtida a equação x (80 – x) =1200, pedir aos alunos que a resolvam e concluam a resolução do problema.
Aproveitar a oportunidade e explorar o problema destacando, por exemplo, os seguintes aspectos:
O crescimento e decrescimento da área A = – x² + 80 x em função da medida x de um dos
lados.
Ilustrar essa variação com figuras de retângulos.
Orientar os alunos para que eles concluam que o retângulo de maior área será o quadrado
satisfazendo as condições do problema.
Associar esse problema ao problema clássico determinar dois números dos quais se conhece a sua soma e o seu produto.
Associar esse problema ao fato de que se x1 e x2 são raízes de uma equação ax2 + bx + c

=0 então 1 + 2 = − 

e 1 ∙ 2 = 
142
Esgotada a exploração do problema I propor aos grupos que discutam e procurem uma estratégia para resolver o problema II.
Acompanhe as discussões de cada grupo orientando-as com sugestões apresentadas na
forma de perguntas tais como: Quais são os dados do problema? O que o problema pede?
Qual será a incógnita? Como relacionar a incógnita com os dados do problema? É possível
resolver o problema para um caso particular? (por exemplo, para 2 novas laranjeiras plantadas,
quantas laranjas seriam produzidas? Para 3? ) A solução do problema para o caso particular
sugere alguma relação entre os dados e a incógnita? Vocês viram, no problema anterior, como
uma tabela ajudou a encontrar a solução. Que tal fazer uma tabela para esse problema?
Se, depois de um tempo razoável, as dificuldades dos grupos persistirem, sugira que eles
preencham a seguinte tabela:
Nº de novas laranjeiras
Soma das laranjeiras existentes
mais as novas laranjeiras plantadas
Nº de laranjas
produzidas por
laranjeira
Total de laranjas produzidas
pelo laranjal
0
30 + 0
600 − 0 x 10
(30 + 0) x 600
1
30 + 1
600 – 1 x 10
(30 + 1) x (600 – 1 x 10)
2
3
...
n
1. Observe que é importante a explicitação das operações que aparecem em cada uma das
colunas da tabela, pois a regularidade das expressões obtidas indicará a “fórmula” que relacionará o número n de laranjeiras a plantar com o total de laranjas produzidas.
2. Depois que os grupos se convencerem que a equação relacionada com o problema é –10
n2 + 300 n +18000 = 20000 proponha que eles a resolvam e analisem as soluções encontradas.
3. Discuta os resultados das análises e aproveite, dependendo do nível da turma, a oportunidade para explorar, por exemplo, as seguintes questões:
a. O crescimento e decrescimento da quantidade laranjas produzidas em função do número
de novas laranjeiras plantadas. (A tabela pode ajudar nessa análise)
b. A existência de um número de novas laranjeiras que dá o máximo de laranjas produzidas
pelo laranjal.
143
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
A proposta agora é criar um espaço no qual a resolução de problemas aconteça de forma
sistematizada sem qualquer interferência do Professor, e que haja posteriormente um momento coletivo no qual os grupos apresentarão suas soluções para toda a turma sem terem
antes a confirmação de que seus resultados estão corretos ou não. Uma sugestão antes do
início do trabalho é que o professor participe da formação dos grupos de modo a tentar equilibrar a distribuição dos alunos de acordo com os diferentes perfis presentes na turma. Por último, o professor orienta aos grupos sobre a importância de que as soluções sejam registradas de forma organizada e que todas devem conter: a equação que descreve a situaçãoproblema, a solução da equação e a pergunta original respondida de forma clara. Após essas
instruções, o professor assume exclusivamente o papel de observador enquanto os grupos
realizam a tarefa proposta.
No segundo momento da aula, a proposta é que os grupos se organizem quanto à ordem de
apresentação dos resultados e discutam as diferentes soluções que porventura apareçam a
fim de chegarem a um consenso. O professor deve mediar as discussões sem, contudo, interferir nas falas dos alunos ou se antecipar na conclusão de que um ou outro grupo tenha acertado ou errado, essa deverá ser uma conclusão dos próprios alunos após exporem suas ideias e confrontá-las com a de seus colegas. O interessante será observar as ponderações que
eles farão a respeito do que pode ou não ser feito, o que é mais adequado a cada tipo de situação, como a organização dos dados do problema pode ajudá-los, a utilização da representação através desenhos, entre outras observações.
Alguns problemas foram apresentados como sugestão, mas a definição de quais e quantos
serão utilizados fica a seu critério, professor.
SUGESTÃO DE PROBLEMAS
1) Um tecido com 12 metros de comprimento será dividido em duas partes de modo que
uma seja diferente da outra. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço?
2) Dois amigos, João e Pedro, compraram 100 figurinhas. Destas, 18 foram rasgadas e não
puderam mais ser aproveitas. Das figurinhas restantes, João ficou com 10 a mais que Pedro.
Com quantas figurinhas ficou cada um?
3) Se adicionarmos um número natural com o dobro de seu sucessor vamos obter 92. De
qual número estamos falando?
4) Em uma escola, alguns dos professores dão aula de Matemática e os outros 36 lecionam
outras matérias. Qual o total de Professores dessa escola?
5) Uma caixa comporta 24 latas de refrigerante para transporte. Se forem colocadas 280 latas em caixas como essa, você obterá x caixas completas e uma incompleta com 16 latas.
Quantas caixas completas você terá?
6) Em um terreno de perímetro igual a 60 metros, sabe-se que o comprimento é o dobro da
largura. Diga quais são as dimensões do terreno e sua área.
144
7) Um shopping recebeu em uma de suas salas de cinema um público correspondente a de
sua capacidade total. Se naquela exibição houvesse 24 pessoas a mais a sala estaria com todos os lugares ocupados. Qual a capacidade total dessa sala?
8) Uma lanchonete vende embalagens com pizzas a um certo preço. Sabendo que a metade
desse preço corresponde ao custo dos ingredientes, corresponde a outras despesas, e que o
lucro em cada embalagem vendida é de R$ 1, 80, calcule o preço de venda desse produto.
9) A soma de dois números é 114. Sabendo que o maior supera o menor em 22 unidades,
quais são esses números?
10) Um prêmio em dinheiro deve ser dividido entre os melhores colocados em uma maratona.
O primeiro colocado receberá do prêmio, enquanto o segundo colocado receberá R$100,00.
Qual o valor a ser repartido entre os dois primeiros colocados?
Indo além
1
6
Indo além...
Explorando a ludicidade sugerimos o uso de um jogo para sistematizar os procedimentos do
cálculo das raízes da equação de primeiro ou de segundo grau
Material:
Baralho de equações (20 cartas) em cor amarelo e baralho de raízes em cor
azul para formar os “lagos” de cartas.
As cartas são embaralhadas e formam dois montes, o amarelo com as equações e o azul com as raízes, que ficam no centro da mesa com as faces voltadas
para baixo.
Cada jogador deve pegar 3 cartas do monte amarelo e 4 cartas do monte azul.
Inicialmente, os jogadores formam todos os pares com as cartas que receberam e colocam os pares à sua frente formando o seu monte de cartas. Um par
corresponde a uma equação e sua raiz.
Decide-se quem começa.
Regras:
Cada jogador na sua vez pede para o seguinte a carta que desejar, pode ser
uma equação ou uma carta numérica, para tentar formar um par com as cartas
que tem na sua mão. Por exemplo, se o jogador quiser a carta com o 5, ele diz: Eu quero o 5. Se o colega tiver esta carta ele deve entrega-la e o jogador que
pediu a carta forma o par e coloca em seu monte. Se o colega não possuir esta
carta ele diz: - Pesque! E o jogador deve pegar uma carta do monte azul, se conseguir formar o par que deseja coloca-o em seu monte, se não conseguir fica
com a carta em sua mão e o jogo prossegue. Se a carta pedida for uma equação
e ele tiver que pescar, isso deve ser feito no monte amarelo.
O jogo acaba quando terminarem as cartas dos lagos ou quando não for mais
possível formar pares.
Ganha o jogador que ao final tiver o maior número de pares em seu monte.
145
20 =5X
12 =- 4X
- 8 =2X
4X +16=0
2X - 6= 0
3X - 15 = 0
X + 5= 0
3X -12= 0
2X - 2= 0
X - 5 =0
- 2 =2X
2X + 2 = 0
2X + 6= 0
12 =4X
2X + 4= 0
- 4 =2X
Baralho Amarelo
146
3X +15=0
4 =2X
2X - 4= 0
2 = 2X
Baralho Azul
2
4
-5
-3
2
5
-1
-1
3
-4
3
4
147
5
-2
2
1
-3
-5
-4
1
Se preferir usar outro recurso, assista ao vídeo do jogo: “Vai e vem das equações” no site
http://pibidmatuel.blogspot.com.br/2013/03/video-jogo-vai-e-vem-dasequacoes.html?spref=bl
e realize esse jogo com seus alunos.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema que envolvam
equação do 1º grau e do 2º grau. ” Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo
que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Alguns amigos se reuniram e decidiram fazer um churrasco. Um deles comprou todas as
carnes e as bebidas e os amigos concordaram em dividir igualmente os R$ 360, 00 que ele
gastou.
No dia do churrasco, três dos amigos não foram. Isso fez com que os presentes pagassem 10
reais a mais do que o valor que eles pagariam inicialmente.
148
Sendo x o número de amigos que inicialmente combinaram em fazer o churrasco, a situação
descrita pode ser matematicamente escrita como.
a)
b)
c)
360

360

360

360
= −3 + 10
360
+ 10 = −3
. ( − 3) = 360
d) ( − 3) = 360
2) Uma prefeitura aplicou R$850 mil na construção de 3 creches e um parque infantil. O custo
de cada creche foi de R$ 250 mil. A expressão que representa o custo do parque, em mil reais,
é:
3) Quando falamos em desmatamento, é muito comum dizer qual foi a área desmatada e, depois, comparar essa área desmatada com a área de um campo de futebol. Isso ocorre porque
o campo de futebol é uma área grande e conhecida por várias pessoas.
Como um americano entende essa informação? Para ele, é muito mais comum o futebol americano – que usa a bola oval – e não o nosso futebol – o da bola redonda. Além disso, os campos desses dois esportes são diferentes. Veja abaixo:
Futebol
Futebol americano
Bola
149
Campo
O campo de futebol americano mede aproximadamente 110m de comprimento por 50m de largura, enquanto o campo do Mineirão, o maior templo do nosso futebol em Minas, mede aproximadamente 105m por 70m.
Assim, para informar que o desmatamento de Mata Atlântica, em Minas Gerais, no ano passado foi de 226, 38 milhões de m2, poderíamos dizer que essa área corresponde a x campos de
futebol americano e também corresponde a y campos de futebol como o do Mineirão. Uma relação correta envolvendo x e y é:
a) x = y + 10360.
b) y = x + 10360.
c) x + y = 226, 38.
d) x=y
4) Eduardo está programando um computador para fazer uma planilha para a empresa em que
trabalha. Para isso, o computador deverá realizar os seguintes passos:
1º) Somar o preço de compra do produto com o custo fixo com o transporte
2º) Multiplicar a soma obtida por 1, 20 para que se tenha lucro.
O resultado desse conjunto de operações é o preço de venda do produto.
Se o preço de compra de um produto é R$12, 30 e o custo fixo é R$ 6, 80, a expressão numérica que indica os cálculos a serem feitos pelo computador para descobrir o preço de venda é
(A) (12, 30 + 6, 80) x 1, 20
(B) 12, 30 + 6, 80 x 1, 20
(C) 12, 30x (1, 20 + 6, 80)
(D) 12, 30 x 6. 80 + 1, 20
150
Lição 15
Eixo: NÚMEROS E OPERAÇÕES - ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Identificar frações equivalentes.
Conteúdo: Associar uma fração às suas diferentes representações
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, é preciso ensinar frações para a vida, perceber as frações presentes em diversas situações do dia a dia, como elas representam “partes”, razões ou proporções. As frações estão presentes na nossa vida o tempo todo, nas atividades do trabalho, nos cálculos dos
salários, nas obras de arte, na fotografia, no cálculo de custo de produtos e serviços, nas escalas, nas pesquisas de opinião, na receita de massa de concreto, na receita de um bolo e muito
mais. Nessa sequência de atividades apresentamos uma forma prazerosa para fazer isso!
Antes de iniciar sua aula, para ajudá-lo a pensar o ensino de frações assista ao vídeo: “É
possível ensinar frações para a vida? ” da TV Escola - Salto para o Futuro disponível em:
http://www dominiopublico.gov. br/pesquisa/DetalheObraForm.
do?select_action=&co_obra=22196
ou
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm. do? select_action=&co_obra=50504
Bom trabalho!
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Caro Professor fale com seus alunos que números e panelas, frações e bolos de chocolate
podem estar juntos. A cozinha não é um lugar apenas para preparar alimentos, é também para
aprender matemática. Podemos trabalhar conceitos de fração, divisão e proporcionalidade a
partir de situações corriqueiras que ocorrem em uma cozinha.
Para isso vamos pensar na receita de Torta e Páscoa que serve 6 pessoas e se possível realizá-la, fazendo um lanche coletivo após a aula:
2/3 de um pacote de 360g de bolacha tipo maisena;
151
1/2 e mais um "tanto" do tablete de manteiga de 200g
1 + 1/2 potes de nata de 300g;
12% de um pacote de açúcar de 1kg;
4 bananas picadas em rodelas de 0, 5 cm;
1 pote de doce de leite de boa qualidade ou 2 latas de leite condensado cozido na panela
de pressão por apenas 15 minutos.
Preparo:
Coloque no freezer ou no congelador os batedores e a tigela para preparar o chantily. Deixe
a manteiga em temperatura ambiente; moer as bolachas no liquidificador ou no processador
(fazer isso em pouca quantidade para ficar bem "moidinha") ; corte a manteiga em pedaços
pequenos e misture com a farofa da bolacha até formar uma "liga"; unte um forma redonda e
espalhe a farofa apertando bem para aderir no fundo e na borda; leve ao forno pré aquecido
180º até ficar dourado; deixe esfriar.
Prepare as bananas, picando todas no mesmo tamanho e em seguida esprema um limão
para elas não ficarem pretas (oxidar).
Depois que esfriar, espalhe o doce de leite no fundo, sobre o doce de leite arrume as bananas, reserve.
Coloque a nata na tigela, acrescente o açúcar e bata em velocidade média, até o creme não
cair dos batedores. Cuidado, neste momento se passar demais vai virar manteiga. . .
Espalhe o chantily sobre as bananas ou decore com um saco/bico de confeiteiro. Sirva!
Peça a seus alunos que pensem nas seguintes situações:
Em sua casa, na páscoa haverá 12 pessoas, como ficaria a quantidade ingredientes dessa
torta para servir a todos?
Se no almoço de páscoa tiverem apenas 2 pessoas, como ficaria a quantidade ingredientes
dessa torta para servir a todos?
Peça que reescrevam a receita considerando cada caso, quando terminarem pergunte o
que eles podem afirmar das frações iniciais da receita e aquelas das duas situações anteriores? Elas são iguais? Representam a mesma parte do todo?
Essas frações são equivalentes?
Para que os alunos entendam o conceito de equivalência de frações proponha que trabalhem com tiras de papel;
Dobrando sucessivamente uma tira, para obter meios, quartos e oitavos.
Dobrando outra tira obter terços e sextos.
Dobrando outra tira obter terços e nonos.
Com outra, obter quintos e décimos.
Discuta com eles como obter frações equivalentes sem o uso de material concreto Peça que
escrevam uma regra prática e em seguida resolvam individualmente os seguintes problemas:
152
1) Sou uma fração equivalente a
a)
2
5
b)
20
8
2) A fração
c)
2
. Meu denominador é 20. Que fração sou eu?
5
20
4
d)
8
20
6
foi multiplicada por 3. Que fração equivalente obteve após ser multiplicada?
7
a)
9
11
c)
18
7
b)
18
21
d)
6
21
3) Juninho, o irmão caçula de Alexandre, apagou um número do caderno de Matemática de
Alexandre. Veja:
Que número o irmão de Alexandre apagou?
a) 30
b) 6
c) 8, 4
d) 10
E assim desenvolva uma aula expositiva a partir da correção dos problemas acima. Uma sugestão é entregar a cada aluno uma cópia do texto abaixo:
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Professor , lembre os alunos que quase sempre, aprendemos o conceito de fração equivalente cortando uma pizza em vários pedaços. Independente de você gostar ou não de pizza, dividi-la em quatro partes e comer dois dos seus pedaços é a mesma coisa que dividí-la em oito
partes e devorar quatro pedaços. Pode parecer diferente, mas a quantidade pizza é a mesma.
153
2 1
4
Peça que os alunos façam uma experiência. Use as frações , ou Essas frações são
6 3 12
equivalentes e, portanto, representam o mesmo resultado. Para que os alunos se convençam
peça que peguem um cartão com formato retangular, igual ao de uma barra de chocolate, e
faça a experiência, usando as frações que foram sugeridas. No mesmo retângulo, pinte uma
cor diferente para cada fração citada no exemplo. Feito o experimento mostre-lhes a utilidade
da fração equivalente
Agora, talvez a pergunta mais importante seja: para que serve a fração equivalente?
Peça que imaginem que uma pesquisa de opinião, sobre determinada marca de sabonete,
está sendo feita em uma cidade. Dentre os habitantes, um total de 2. 500 pessoas foram entrevistadas. Três marcas de sabonete são apresentadas a essas pessoas. Terminada a pesquisa, 500 escolheram a marca A, 600 a marca B e 1. 200 optaram pela C. O restante não
gosta de nenhuma das três. O resultado dessa pesquisa pode ser registrado por meio de frações, já que as opções feitas podem ser entendidas como pedaços em relação a um todo de
2. 500 pessoas.
Converse com os alunos e mostre-lhes que as frações representam uma boa ferramenta de
500 600
1200
,
ou
análise e comparação: ao registrarmos as frações
não podemos deixar de
2500 2500 2500
pensar que, para escrevê-las ou pronunciá-las, seria mais fácil se pudéssemos simplificá-las.
A equivalência é um recurso que ajuda a realizar essa simplificação. O registro para o produto
500  500 1
 Essa simplificação poderia ser feita em várias
A ficará mais simples fazendo
2500  500 5
etapas. Em vez de dividirmos por 500, poderíamos começar pelo 2, depois usaríamos o 5, e
500  500 1
 .
assim sucessivamente, em várias etapas, até chegar no mesmo resultado de
2500  500 5
No entanto, quanto maior o número escolhido - um número que consiga dividir simultaneamente o numerador e o denominador -, mais rápida será a simplificação.
Assim, as frações mais simples, que representam as opções da população pelos produtos B
600  100
6

e C, poderão ser calculadas em uma única etapa. Para o produto B obtemos
.
2500  100 25
1200  100 12

E para o C fazemos
.
2500  100 25
Esses são procedimentos importantes na resolução de problemas, mesmo para os que não
gostam de matemática. E por falar dos que não gostam, é bom registrar que, na nossa pes12
quisa,
dos habitantes não gostam de nenhum dos três produtos.
25
Para que os alunos identifiquem uma fração equivalente é preciso que eles criem procedimentos rápidos de operações portanto, organize as turmas em grupos e faça os exercícios
que estão sugeridos e que deverão ser corrigidos em sala por um aluno indicado por cada
grupo, em plenária. Antes disso lembre rapidamente que:
( Se quiser prepare uma apresentação Power–point usando o texto abaixo)
154
As operações de adição e subtração com fração dependem unicamente do denominador, ou
seja, dependem da quantidade partes que um inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou diferentes, assim diferenciando a resolução.
Quando os denominadores forem iguais devemos somar ou diminuir as partes consideradas
do inteiro (numeradores) e conservar as partes que o inteiro foi dividido (denominadores).
1 2 3
  , pois somamos os numeradores 1 + 2 e conservamos o denominador 5.
5 5 5
3 2 5
  , pois somamos os numeradores 3 + 2 e conservamos o denominador 4.
4 4 4
2 1 1
  , pois subtraímos os numeradores 2 -1 e conservamos o denominador 5.
5 5 5
Quando os denominadores forem diferentes é preciso torná-los iguais antes de resolver a
operação de adição ou subtração, procurando portanto frações equivalentes a essas e que tenham o mesmo denominador
1 2
 é preciso que encontremos o mmc de 5 e 10 (os denominadores diferen5 10
tes das frações) que será o próprio 10. Encontrando assim as respectivas frações equivalentes
2 2
e . Com essas frações efetuamos a soma:
10 10
Para resolver
2 2
4
1 2
4
  , portanto   .
10 10 10
5 10 10
Na operação de subtração o processo é o mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.
Então, convide os alunos a calcular Mãos à obra!
Efetue as operações com frações:
7 2
 
a) 13 13
9 10


c) 11 11
13 29


e) 10 10
5 2
 
g) 4 4
8 2
 
b) 15 15
10 7
 
d) 3 3
31 17
 
f) 6 6
11 1 5
  
h) 6 6 6
155
Calcule:
1 2
 
a) 3 5
7 2
 
b) 2 3
2
c)
1

4
3 2
 
i) 2 3
2 11 1
j) 2   
5 2 3
7
5

k) 12 18 =
2
q)
7 3
 
6 4
3 5 1
  
r) 4 6 2
4
2 7
1 1  
3 10
s) 5
1
3
3 2 
5
d) 5
1 5 2
  
l) 6 4 3
5 4 7
  
e) 3 5 15
9 2 5
  
m) 4 3 12
1 1 5
  
u) 2 3 6
3 2
 
n) 2 3
1
9
1 2 
10
v) 2
4
f)
1

7
1 1 5 3
   
t) 2 3 6 4
9 4
 
g) 10 5
3 1
 
o) 2 4
4 1 5
  
x) 5 2 8
11 5
 
h) 12 8
4 1
 
p) 5 2
2
5
7 2 
6
z) 3
156
Indo além
1
6
Indo além...
Sempre que um conhecimento matemático tem utilidade procedimental, isto é, seu uso se faz
na garantia de agilidade cálculo, vale a pena, que você, professor, busque, na história da Matemática o significado sobre frações equivalentes leia com seus alunos o texto abaixo:
Em 3. 000 a. C. sob o reinado do faraó Sesóstris, a economia egípcia estava assentada
principalmente no cultivo de terras e para que tal modo de produção ocorresse de uma
forma eficaz, terras cultiváveis eram divididas entre os habitantes. Anualmente, entre os
meses de junho a setembro, as águas do Nilo subiam muitos metros além de seu leito
normal e acabavam por inundar uma vasta região circundante e trazendo a necessidade
remarcação do terreno não atingido pela enchente.
Assim, de acordo com o relato que o próprio historiador Heródoto nos deixou como legado: “se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda”, isto há cerca
de 2. 300 anos (BOYER, 1996). Tal remarcação era realizada pelos agrimensores do Estado, conhecidos como estiradores de cordas, estes que utilizavam estas cordas como
unidade medição no processo de mensuração.
Sesóstris, faraó do Egito, repartiu o solo do Egito entre seus habitantes, os mais privilegiados. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o rei mandava pessoas
para examinar, e determinar por medida a extensão exata da perda. (BOYER, 1996, p. 6).
Segundo Boyer (1996), o processo de mensuração das terras consistia em estirar cordas e verificar o número de vezes que a unidade medida estava contida no terreno. Havia
uma unidade medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade medida estava contida nos
lados do terreno. Daí, serem conhecidos como estiradores de cordas.
157
Figura 3: Sistema de cordas.
Fonte: Toledo (1997, p. 19).
No entanto, na maioria das vezes, a medição dificilmente era finalizada por um número inteiro de vezes em que as cordas eram estiradas. A resposta encontrada para lidar
com a dificuldade imposta por tal situação consistiu-se na criação dos números fracionários.
A organização do sistema numérico fracionário dos egípcios era baseada no conceito
unitário, de forma que a maioria das frações apresentava o seu numerador constituído
pelo numeral 1 (um) – representado por um sinal de forma oval e alongada. Tais frações eram denominadas frações unitárias ou egípcias. Assim: 1/8 correspondia a um
símbolo, 1/20 correspondia a outro símbolo. Todavia, duas frações podiam ser apontadas como exceção a tal regra: 3/4 e 2/3, sendo que o último era contemplado como fração geral, uma vez que era utilizada como base para diversas operações matemáticas.
Muitas das frações que não apresentavam o numeral 1 no numerador eram consideradas o resultado da soma entre as várias frações egípcias (unitárias). Porém, é importante ressaltar que os sinais de adição e subtração não eram utilizados nestas operações matemáticas, visto que ainda não tinham sidos criados.
Os antigos egípcios usavam um sistema de frações baseado em caracteres distintos,
tipo 1/2 era um símbolo, 3/4 era outro, etc. , mas tinham alguma regra geral. Em particular, as frações do tipo 1/2n (que seriam tipo 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32. . . ) tinham símbolos
especiais, surgindo da associação desses símbolos, do 1/2 até o 1/64 é o olho de Horus. Tem a ver com a série infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 1. Não se sabe se eles
achavam que terminava no 1/64 porque não conseguiam diferenciar pedaços de coisa
menores que isso, mas a ideia seria que todos juntos formariam a unidade. Cada fração
representaria um sentido, tipo visão, olfato, paladar, tato, audição, e o sexto sentido,
que seria o pensamento. A Figura 4 mostra, no olho de Horus, quais são os símbolos
de cada fração:
Olho de Horus.
158
Em que :
1/2 representa o olfato;
1/4 representa a visão;
1/8 representa o pensamento, que seria a sobrancelha;
1/16 representa a audição;
1/32 representa o paladar, uma linguinha bem comprida;
1/64 representa o tato, que seriam as duas perninhas em contato com o mundo embaixo.
Professor, peça aos alunos que pesquisem na internet sobre as frações em outras culturas e
civilizações como a árabe e a babilônica. Convide o professor de História para falar com os
alunos sobre a importância desses povos. Uma sugestão para finalizar é montar uma exposição na escola com as pesquisas realizadas.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao ensino da habilidade “Identificar frações equivalentes. ”Estas
questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns
alunos ou com toda a turma.
1) A única fração denominador 20 equivalente a
a) 2/20
b) 5/20
c) 10/20
d) 12/20
é:
2) Marcos e seus três filhos pintaram a casa durante o fim de semana. Marcos pintou
casa no sábado. Seu filho Antônio pintou no mesmo dia
velho pintou, também no sábado
a) Marcos
b) Antônio
c) Pedro
d) Eles pintaram a mesma área.
da
da casa e Pedro seu filho mais
. Quem pintou a maior parte foi:
159
3) Quatro amigos foram a uma pizzaria comemorar o aniversário de Alice. Do total de pizzas
que pediram, Alice comeu
, Alberto comeu 10/18, Marta comeu 3/27 e Pedro 2/18.
Quem comeu a mesma quantidade foi:
a) Alice e Pedro
b) Alice e Marta
c) Pedro e Marta
d) Alberto e Pedro
4) João e Carlos trabalham juntos e recebem o mesmo salário mensalmente. Como os dois
funcionários fizeram horas extras o mês João e Pedro, tiveram respectivamente, um aumento
de
e
dos seus salários. Quem recebeu mais nesse mês?
a) Eles receberam a mesma quantia
b) João
c) Pedro
d) o aumento foi igual para ambos
160
Lição 16
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade: Resolver situações-problema envolvendo sistemas de equação do 1º grau.
Conteúdo: Sistemas de equações de primeiro grau
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades que propondo aos alunos resolver problemas, os levará ao melhor modo de registrar e modelar matematicamente uma situação. Boa aula!
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Comece a aula fazendo um teste com seus alunos, proponha o seguinte desafio :
Se chamarmos um número qualquer de x, apesar de não sabermos quem realmente é esse
número, podemos brincar com ele escrevendo várias expressões algébricas em função desse
número. Peça que escrevam :
O dobro de x.
A metade x.
A soma do quíntuplo de x com sete.
Continue pedindo que considerem o número x, e traduzam as informações para linguagem
algébrica escrevendo a expressão correspondente:
A1 - O triplo do número:
A2 - A terça parte do número:
A3 - A soma do número com cinco:
A4 - A diferença entre esse número e cinco:
A5 - Dois terços desse número:
A6 - Dois terços desse número mais sete:
A7 - O produto desse número por 10:
A8 - A soma de dois terços desse número com sete:
161
A9 - A terça parte da soma desse número com 20:
Agora peça que façam o seguinte: além do número desconhecido x, vamos considerar outro número e representá-lo por y. O jogo agora é traduzir as informações para linguagem algébrica escrevendo a expressão correspondente:
A10 - A soma desses números
A11 - O dobro de x mais o triplo de y
A12 - A soma da terça parte de x com a metade y
A13 - A soma do dobro de x com y é igual a 15
A14 - y é igual ao triplo de x
Nas questões anteriores eles apenas escreveram as expressões, não calcularam nada,
nessa atividade proponha que resolvam as equações.
A15 - 3x – 4 = 5
A16 - 12 + 5x = 1 +3x
Nessa atividade peça que interpretem os problemas, traduzam as informações para linguagem matemática e resolvam a equação.
A17 - A soma de um número com sete é igual dezoito. Qual é esse número?
A18 - A diferença entre um número e dois é igual a seis. Monte e resolva a equação correspondente para descobrir qual é o número desconhecido.
A19 - O triplo de um número menos dois é igual a esse número mais doze. Monte e resolva
a equação correspondente para encontrar o número desconhecido.
Continue pedindo ao alunos que, agora, leiam os três problemas abaixo:
Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$ 4. 300, 00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$ 50, 00 e cada calça
de tamanho médio custou R$ 60, 00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele comprou?
Três pacientes usam, um conjunto, 1830 mg por mês de um certo medicamento em cápsulas. O paciente A usa cápsulas de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o paciente C, de 12 mg. O
paciente A toma metade do número de cápsulas de B e os três tomam juntos 180 cápsulas
por mês. Qual é o número de cápsulas que o paciente C toma em um mês? :
As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário:
162
Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá
450 km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600 km.
Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800 km. Determine
quantos quilômetros essa pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.
Pergunte a eles:
Vocês acham que é possível encontrar uma só equação que modele cada problema? Por
que?
Como eles resolveriam cada um dos problemas?
Vocês acham que esses são problemas que podem surgir no dia a dia?
Coletivamente resolva cada problema e defina para seus alunos o que é um sistema de primeiro grau.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
O estudo dos sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas deve partir
também da necessidade resolver problemas. Para isso, você ,professor deve apresentar aos
alunos problemas trabalhados no estudo das equações de 1º grau que recaiam em sistemas
de equações do 1º grau com duas incógnitas.
Por exemplo, no problema O perímetro de um jardim retangular é igual a 100 metros. O lado
maior do jardim mede 10 metros a mais que o seu lado menor. Quais as medidas dos lados
desse jardim? , o raciocínio algébrico pode também ser traduzido pelo seguinte sistema de
equações:
A tradução desses problemas para a linguagem algébrica levará o aluno a perceber a necessidade se ter métodos para resolver as equações resultantes. Para que os alunos se convençam da necessidade desses métodos é recomendável que eles primeiro tentem resolver os
sistemas de equações que aparecem usando seus conhecimentos prévios. Assim eles deverão
ser incentivados a resolvê-los inicialmente, seguindo os seguintes passos:
• Traduzir o problema através de duas equações
• Buscar a solução de cada uma das equações por tentativas
• Discutir a simultaneidade das soluções
• Interpretar a solução comum às duas equações, com o intuito de verificar se ela é ou não
adequada ao problema correspondente
• Perceber a necessidade uma técnica de resolução
163
Ao encontrar as possíveis soluções de cada uma das equações do sistema, obtidas no
equacionamento dos problemas propostos, o professor deve discutir com os alunos a existência de infinitas soluções para cada uma das equações e, em seguida, sugerir que organizem esses dados numa tabela, para finalmente buscar as soluções que são comuns às duas
equações.
O professor pode então propor exercícios que procurem mostrar ao aluno que existem métodos simples e pouco trabalhosos de se chegar a solução do sistema: os métodos de adição
e substituição.
É desejável que antes do trabalho com o método de adição para a resolução de sistemas, o
você enfatize com os alunos que os seguintes procedimentos não alteram a solução de um
sistema:
• Trocar entre si as posições de duas equações
• Multiplicar ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero
• Somar aos termos de uma equação do sistema os termos correspondentes de outra equação
Tendo adquirido as técnicas de resolução de sistemas o professor pode então retomar com
os problemas.
A discussão dos sistemas de equações que têm infinitas soluções ou nenhuma solução deve ser feita sempre através de exemplos:
1) O problema: a soma de dois números é 10. Subtraindo-se de 10, um desses números obtém-se o outro. Quais são esses números? pode ser traduzido pelo seguinte sistema de
equações:
, que tem infinitas soluções.
2) O problema: Encontre dois números cuja soma do primeiro com o segundo seja 15, e a
soma do triplo do primeiro com o triplo do segundo é 50, pode ser traduzido pelo seguinte
sistema de equações:
, que não tem nenhuma solução.
Aproveite esse tema para explorar a oralidade e o registro com seus alunos por exemplo
proponha a atividade:
3) A soma das idades de Paulo e João é igual a 22 anos. A diferença entre a idade Paulo e
a idade João é igual a 8 anos. Sabendo-se que Paulo é mais velho, qual a idade João e de
Paulo?
a) Escreva as informações do problema que você vai usar para encontrar os números procurados;
b) Resolva o problema e descreva como fez para encontrar os números procurados;
c) Verifique se esse par de números é realmente a solução do problema e descreva como
você fez a verificação.
d) Pense um pouco, será que existe outra maneira de encontrar os números procurados?
164
Ou ainda:
4) Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 pés. Quantas são as galinhas?
Quantos são os coelhos?
a) Quantos pés têm cada espécie?
b) Agora vamos calcular quantos animais de cada espécie tem no quintal. Não se esqueça de
anotar tudo que você fez para encontrar a solução.
c) Verifique se o resultado encontrado satisfaz as informações do problema.
d) Tem como resolver esse problema de outra maneira?
Finalmente peça que em duplas resolvam esses problemas:
5-Encontrar dois números cuja soma é igual a 17 e a diferença entre esses números seja igual
a 5.
6-Encontre dois números cuja soma é igual a 11 e a diferença entre o dobro de um número e
o triplo do outro número seja igual a 2.
7-A soma das idades de Paulo e João é igual a 22 anos. A diferença entre a idade Paulo e a
idade João é igual a 8 anos. Sabendo-se que Paulo é mais velho, qual a idade João e de Paulo?
8-Carlinhos e Celso têm juntos 201 figurinhas. Carlinhos tem o dobro de figurinhas de Celso.
Com base nessas informações, quantas figurinhas tem Carlinhos e quantas tem Celso?
9-Numa fábrica produz carrinhos de bebê e triciclos. Hoje produziram 11 unidades e para
montá-las usaram 40 rodas. Quantos carrinhos e quantos triciclos foram produzidos nessa fábrica hoje?
Indo além
1
6
Indo além...
Caro Professor, para encerrar a semana faça uso da história da Matemática. Proponha uma
leitura deleite:
165
Comente com seus alunos que nas aulas de matemática da Educação Básica, quase sempre os alunos são estimulados a procurarem as respostas “certas” e “únicas” dos problemas
que lhe são propostos. Não é muito comum eles serem confrontados com situações onde o
problema apresenta inúmeras soluções ou mesmo não apresenta solução alguma. O Professor Júlio César de Mello e Souza, o Malba Tahan, em seu famoso livro “O Homem que Calculava”, nos apresenta um singular problema que poderia ser incluído entre os problemas indeterminados da matemática elementar. Trata-se do problema dos três marinheiros que, se não
fosse uma informação adicional colocada no texto, apresentaria inúmeras soluções. Malba
Tahan apresentou a resposta do problema mas não fez um estudo detalhado sobre como
chegarmos até ela. Ele fazia isso com frequência, com o intuito de forçar o leitor a pensar e a
refletir sobre a questão proposta. Alguns problemas ele voltava a comentar em outros livros
de caráter mais didático, como fez com o problema dos 35 camelos, cuja solução completa foi
apresentada em seu “Antologia da Matemática, vol. 1”.
Apresente a eles o problema dos três marinheiros, a resposta dada por Malba Tahan e um
possível desenvolvimento matemático para chegarmos a essa resposta. Trata-se de uma
questão muito interessante;
O Problema dos três marinheiros.
“. . . E o príncipe Cluzir Schá narrou o seguinte: - Um navio que voltava de Serendibe, trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação
teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia.
O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de
catis. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros.
Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou:
“Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os
meus amigos”.
E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava
um catil. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O
melhor é jogá-la fora. ” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se, cauteloso. Levava
a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma ideia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e
dividiu-o em três partes iguais.
Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao
mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro,
ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre. Levantou-se de
madrugada e foi, pé ante pé, à caixa dos catis. Dividiu as moedas que lá encontrou em três
partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou um catil. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranquilo para o
seu leito.
No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado
de catis na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em
166
três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão
não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de
sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava
convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro. Pergunta-se,
afinal: Quantas eram as moedas? Quanto recebeu cada um dos marujos? ”
Solução apresentada por Malba Tahan:
O 1° marinheiro dividiu-as em três partes iguais; jogou um catil ao mar e levou um terço de
240, - dividindo 241 por 3 dá sobra 1 - isto é, 80 moedas, deixando 160. O 2° marinheiro encontrou, portanto, 160; jogou uma moeda no mar e dividiu as restantes (159) em três partes.
Retirou uma terça parte (53) e deixou, de resto, 106. O 3° marinheiro encontrou, na caixa, 106
moedas, dividiu esse resto em três partes iguais, deitando ao mar a moeda que sobrava. Retirou uma terça parte de 105, isto é, 35 moedas, deixando um resto de 70.
O almoxarife encontrou 70 moedas; retirou uma e dividiu as 69 restantes em três partes, cabendo, dessa forma, um acréscimo de 23 moedas a cada um dos marujos. A divisão foi, portanto, a seguinte:
1° marujo (80 + 23) = 103; 2° marujo (53 + 23) = 76; 3° marujo (35 + 23) = 58; Almoxarife= 1
Atiradas ao mar = 3. Total = 241 moedas.
Mas como foi que o calculista chegou a esse resultado?
Deixe que os alunos debatam e tente formular um argumento que justifique a solução
Professor, Malba Tahan, ao final do livro, nos comentários sobre os problemas, diz que para
essa questão usou a fórmula M = 81k – 2, onde M representa o número de moedas da caixa e
k é um parâmetro natural não nulo, ou seja, que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, No livro,
com o intuito deixar o problema com uma única solução possível, foi dada a informação de que
o número de moedas deveria estar entre 200 e 300.
Nesse caso, basta substituirmos k por 3 para obtermos as 241 moedas da solução. Investigando sobre a expressão proposta pelo ilustre matemático, que não é uma questão muito óbvia, nos deparamos com um excelente exercício de álgebra que você pode também discutir
com os estudantes de alto desempenho Vejamos:
Sejam:
M = total de moedas na caixa
a = parte do 1° marinheiro
b = parte do 2° marinheiro
c = parte do 3° marinheiro
r = restante final, que fora subdivido pelo almoxarife.
Sabemos que M foi dividido, pelo 1° marinheiro, em três partes iguais, e que uma moeda foi
lançada fora.
Logo,
167
Como o 1° marinheiro retirou a parte dele, ou seja, a, ficaram ainda duas partes iguais àquela (2a). Como o segundo marinheiro voltou a dividir essa parte restante por três, jogando uma
moeda fora, temos que a parte que ficou para esse marinheiro pode ser expressa por
Seguindo analogamente esse raciocínio até a divisão final, formaremos o seguinte sistema linear:
Escrevendo a, b e c em função de r, e, finalmente, M em função de r, após algumas contas
teremos obtido:
Não sabemos o valor de r, mas sabemos que tal expressão deve gerar um número natural
não nulo.
Trabalhando mais um pouco a expressão obtida, teremos:
Verifique que obtivemos exatamente a expressão apresentada por Malba Tahan em seu livro. É claro que diversas outras respostas atenderiam ao problema caso não existisse a condição de que o número de moedas deveria estar entre 200 e 300. O problema seria considerado, então, indeterminado. Por exemplo, se fizermos k = 10, teremos a resposta M = 81. 10 –
2 = 808 moedas.
168
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema
envolvendo sistemas de equação do 1º grau. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para
verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a
população das duas cidades temos o total de 200. 000 habitantes. Qual a população da cidade
A?
A) 50000
B) 150000
C) 160000
D) 1500 000
2) Cláudio usou apenas notas de R$ 20, 00 e de R$ 5, 00 para fazer um pagamento de R$ 140,
00. Quantas notas de vinte reais tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
3) Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 8
4) Descubra o menor de dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor
dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.
A) -5
b) -2
c) 11
d) 12
169
Lição 17
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência:. Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou
técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade: Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau.
Conteúdo: Sistemas e representação geométrica
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro Professor, apresentamos a seguir uma sugestão de Sequência de atividades que ajudará os alunos a reconhecerem graficamente a solução de um sistema de equações de primeiro grau.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Professor ,inicie a aula com uma exposição sobre o tema. Sugerimos que aborde com os
alunos o fato de que a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é
o par ordenado que satisfaz ao mesmo tempo, as duas equações.
Peça que observem o exemplo:
Soluções da equação x + y = 7 (1, 6) ; (2, 5) ; (3, 4) ; (4, 3) ; (5, 2) ; (6, 1) ; etc.
Soluções da equação 2x + 4y = 22 (1, 5) ; (3, 4) ; (5, 3) ; (7, 2) ; etc.
O par ordenado (3, 4) é a solução do sistema, pois satisfaz ao mesmo tempo as duas
equações. Vamos construir o gráfico das duas equações e verificar se a intersecção das retas
será o par ordenado (3, 4).
170
Portanto, podemos verificar através da construção gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto de intersecção das duas retas correspondentes
às duas equações.
Mostre-lhes outra situação :
Cláudio usou apenas notas de R$ 20, 00 e de R$ 5, 00 para fazer um pagamento de R$
140, 00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? Sistema
de equações
Podemos verificar através da representação gráfica que a solução do sistema de equações
do 1º grau é x = 6 e y = 4. Par ordenado (6, 4).
Professor ,após a exposição, entregue a cada aluno duas folhas de papel quadriculado e junto com eles resolva graficamente os sistemas abaixo:
171
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Caro professor, para que os alunos desenvolvam ainda mais essa habilidade peça que eles
imaginem a situação a seguir:
Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega José, um amigo comum,
que está para se aposentar. José fala sobre as idades das pessoas que se aposentam e percebe que os dois amigos ainda estão longe da aposentadoria. Então, ele pergunta:
- Que idade vocês têm?
Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde: - Nós temos 72
anos.
A conversa, então, segue assim:
José - Como? Você está brincando comigo. Esse aí não passa de um garoto e você certamente não chegou aos 50.
Pedro - Da maneira que você perguntou, eu respondi. Nós, eu e Paulo, temos juntos 72
anos. José - Está bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocês têm. Mas, pela
172
sua resposta, eu não consigo saber as idades de cada um. Pedro - É claro que não. Você tem
duas coisas desconhecidas e apenas uma informação sobre elas. É preciso que eu lhe diga
mais alguma coisa e, aí sim, você determina nossas idades. José - Diga. Pedro - Vou lhe dizer
zer o seguinte. A minha idade é o dobro da de Paulo. Agora, José, você tem duas coisas desconhecidas, mas tem também duas informações sobre elas. Com a ajuda da matemática, você
poderá saber nossas idades.
Pergunte aos alunos:
Qual a idade Pedro e Paulo? Como fazer para descobrir isso?
Como resolver o problema sem usar sistemas?
E usando sistemas? Escreva o sistema, resolva-o algebricamente e também geometricamente.
Num segundo momento proponha aos alunos a seguinte atividade:
Cada um dos gráficos abaixo representam um sistema de primeiro grau. Escreva esse sistema e invente um problema para cada sistema
173
Indo além
1
6
Indo além...
Professor,agora para cada sistema de equações do 1º grau peça que os alunos completem
as tabelas, determinando dois pares ordenados para cada equação e represente-os no quadriculado com x. Para a 1ª equação, trace a reta que passa pelos dois pontos marcados com
x no quadriculado e depois faça o mesmo para a 2ª equação. Determine no gráfico, se existir,
o ponto de encontro (par ordenado) que satisfaz as duas equações:
174
Em duplas, peça que os alunos escrevam uma situação problema para cada sistema apresentado acima.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau.” Estas questões servem
de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda
a turma.
175
1) Pedro devia resolver o problema:
“A soma de dois números é 4. Calculando o quadrado do primeiro número e subtraindo o produto dos dois números obtemos 6. ”
Pedro chamou o primeiro número de x e o segundo número de y, montando o sistema
+ =4
{ 2
 −  = 6
Ao resolver esse sistema, Pedro obteve como solução dois pares ordenados. Ele representou
esses dois pares no plano cartesiano e desenhou o segmento que os unia. Esse segmento:
a) não corta o eixo x e nem o eixo y.
b) corta o eixo x, mas não corta o eixo y.
c) Corta o eixo y, mas não corta o eixo x.
d) corta o eixo x e também corta o eixo y.
2) Observe este gráfico, em que estão representadas duas retas:
Para que o gráfico seja a representação geométrica do sistema ,
os
valo-
res de a e b são, respectivamente,
(A) –1 e 8.
(B) 2 e 3.
(C) 3 e 2.
(D) 8 e –1.
176
3) (Radix – Adaptado). Na promoção de uma loja, uma calça e uma camisa custam juntas R$
55, 00. Comprei 3 calças e 2 camisas e paguei o total de R$140, 00.
O sistema de equações do 1° grau que melhor traduz o problema é:
4)
Observe
este
gráfico,
em
que
estão
representadas
duas
retas:
Para que esse gráfico seja a representação geométrica do sistema:
Os valores de a e b deve ser:
177
Lição 18
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e
a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade: Resolver situações-problema que envolvam porcentagem.
Conteúdo: Problemas com porcentagens
Duração:3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades cuja finalidade é fazer com que o aluno reconheça a porcentagem como uma comparação e a utilize
no dia a dia.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Uma sugestão para a abordagem inicial do tema é pedir aos alunos para coletarem notícias
em jornais, revistas, anúncios avulsos que envolvam o termo porcentagem. Com isso eles
teriam a oportunidade verificar a abrangência do tópico e o professor pode utilizar um desses
materiais envolvendo o termo porcentagem como um problema motivador para introduzir o
tópico.
Uma boa situação é pensar no dia a dia. Por exemplo, apresente aos alunos o relato:
Eduardo trabalha em uma fábrica de alimentos e tem um rendimento bruto mensal de
R$2000, 00. Para fazer o cálculo do valor total do Imposto de Renda anual que deve pagar,
ele utilizou a tabela abaixo:
Tabela anual IR 2012
Parcela a deduzir (R$)
Rendimento (R$)
Alíquota
Até 18. 799, 32
-
-
De 18. 799, 33 a 28. 174, 20
7, 5%
1. 409, 95
De 28. 174, 21 a 37. 566, 12
15, 0%
3, 523, 01
De 37. 566, 13 a 46. 939, 56
22, 5%
6. 340, 47
Acima de 46. 939, 56
27, 5%
8. 687, 45
178
Qual o valor do imposto anual que ele terá que pagar? Considerando apenas o desconto do
Imposto de Renda, qual o salário líquido anual de Eduardo?
Para realizar cálculos como esse, se faz necessário um bom conhecimento sobre porcentagem:
Defina aos seus alunos:
Porcentagem é uma fração com denominador igual a 100.
- Símbolo: %
Exemplo: 30% =
30
100
= 0, 30
- Transformação Porcentagem  Fração:
Exemplo: 40% =
40
2

100 5
- Transformação Fração  Porcentagem:
Exemplo:
3 3 x 25
75


4 4 x 25 100
= 75%
- Aumento Percentual:
Se um valor V sofre um aumento de a%, passa a valer
Vf = V 1 

a 

100 
- Queda Percentual:
Se um valor V sofre uma queda de a%, passa a valer
Vf = V 1 

a 

100 
Percentual
mento
de
Au-
Fator MultiplicatiValor Fivo
nal
20%
1 + 0, 2 = 1, 2
1, 2 V
75%
1 + 0, 75 = 1, 75
1, 75 V
100%
1+1=2
2V
179
Percentual de QueFator MultiplicatiValor Fida
vo
nal
30%
1 - 0, 3 = 0, 7
0, 7 V
60%
1 - 0, 6 = 0, 4
0, 4 V
85%
1 - 0, 85 = 0, 15
0, 15V
Sendo assim, se uma determinada medida passa de um valor V para um valor V f, podemos
calcular o fator multiplicativo da transformação dividindo o valor final V f pelo inicial V:
F=
Vf
V
Se 0 < F < 1, temos uma queda percentual, sendo porcentagem de queda dada por
P = 100. (1 – F) %
Se F > 1, temos um aumento percentual, sendo a porcentagem de aumento dada por
P = 100 (F – 1) %
Volte ao problema de Eduardo. Com salário bruto mensal de R$2.000, 00, sua renda bruta
anual é de 12 x 2000 = R$24. 000, 00, que, segundo a tabela, coloca este contribuinte na faixa de 7, 5%. O Imposto de Renda é calculado aplicando-se esta alíquota sobre o salário bruto
e, do resultado obtido, retirando a parcela a deduzir correspondente:
I. R. = 7, 5% de R$24. 000, 00 – R$ 1409, 95 =
7, 5
100
x 24. 000 – 1409, 95 = R$390, 05
Seu salário líquido anual, considerando este desconto, será igual a:
S líquido= 24. 000 – 390, 05 = R$23. 609, 95
Imagine agora que Eduardo tenha sido promovido e, com isso, teve seu salário bruto aumentado em 20%. Qual será o aumento que ele terá em seu salário líquido?
Com o aumento de 20%, o salário bruto anual de Eduardo passa a ser:
S = 24. 000 x 1, 2 = R$28. 800, 00,
o que faz com que sua faixa desconto agora tenha uma alíquota de 15%. O Imposto a ser
pago neste caso é igual a:
I. R. = 15% de 28. 800 – 3. 523, 01 = 0, 15 x 28. 800 – 3. 523, 01 = R$ 796, 99
Eduardo receberá, então, um salário líquido de 28. 800 – 796, 99 = R$ 28. 003, 01
Para sabermos a variação percentual no salário líquido de Eduardo, devemos dividir o valor
final pelo inicial para determinarmos o fator multiplicativo deste aumento:
28.003,01
=
23.609,95
1, 186,
180
1, 186-1 = 0, 186
186x100 = 18, 6%
o que representa um aumento de 18, 6% no salário líquido desse funcionário.
Depois de explorar as situações citadas acima proponha que em duplas resolvam as questões a seguir:
1. Os dados do gráfico acima foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis
regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (DIEESE).
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000, o número desempregados em março de 2010, nessa região, foi de
a) 24 500.
b) 25 000.
c) 220 500.
d) 223 000.
e) 227 500.
181
2) Observe os dados apresentados no gráfico:
Suponha que, em 2003, o total dos rendimentos dos trabalhadores empregados tivesse sido
dividido igualmente entre toda a população economicamente ativa a fim de que todos tivessem renda. A diferença salarial acarretada por esta divisão a um trabalhador empregado seria
de, aproximadamente,
a) R$142, 00. b) R$156, 00.
c) R$167, 00.
d) R$174, 00.
e) R$181, 00.
Depois que os alunos trabalharem em grupos apresente a solução comentada dos itens
propostos
1) Segundo o gráfico apresentado, a taxa desemprego em março de 2010 na região metropolitana de Porto Alegre foi de 9, 8%. Como o total de pessoas pesquisadas nessa região foi
250. 000, temos que o número desempregados é igual a:
N = 9, 8% de 250. 000 =
9 ,8
100
x 250. 000 = 24500 desempregados
Resposta: Opção a
2) População Economicamente Ativa = P
Número de Empregados = P - 19, 1% P = 80, 9% P
Renda Total dos Empregados = (80, 9% P) 873
Se esta renda for dividida por toda a população economicamente ativa, cada indivíduo receberá
182
(80 , 9%P) . 873
P
= R$ 706, 25
Diferença = 873 – 706, 25 = R$ 166, 75
Resposta: Opção c
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Prepare os alunos para tomarem cuidado com o assunto porcentagem pois ele sempre reserva surpresas. Apresente o problema a seguir, nele o senso comum leva os alunos a acreditarem que não teria havido lucro ou prejuízo. Pergunte-os o que pensam sobre isso? Crie um
debate em sala. Utilize o recurso disponível em http://matematicamuitofacil.com/blog/wpcontent/uploads/2011/10/blog0015. Em seguida peça que resolvam o problema abaixo em
grupos de 4 ou 5 alunos.
Depois de haver comprado duas bicicletas, uma pessoa resolveu vendê-las. E o fez por
R$600, 00 cada uma. Numa das vendas teve um prejuízo de 20% e na outra obteve um lucro
de 20%.
Qual foi o resultado final das transações?
No total, a pessoa teve lucro ou prejuízo? De quanto?
Depois que cada grupo discutir apresente a resolução:
Se uma das bicicletas foi vendida por R$600, 00 e com um lucro de 20% podemos concluir
que
120% = R$600, 00 → dividindo ambos por 12 → 10% = R$50, 00 → multiplicando ambos por
10 → 100% = R$500, 00
Se uma das bicicletas foi vendida por R$600, 00 e com um prejuízo de 20% podemos concluir
que:
80% = R$600, 00 → dividindo ambos por 4 → 20% = R$150, 00 → multiplicando ambos por 5
→ 100% = R$750, 00
Com isso, percebemos que o custo das bicicletas foi de
R$500, 00 + R$750, 00 = R$1. 250, 00
Como a revenda das bicicletas deu R$600, 00 + R$600, 00 = R$1. 200, 00 percebemos que a
transação deu prejuízo, pois ele as comprara por R$1. 250, 00
Cálculo do prejuízo: Lembrando que ele teve um prejuízo de:
R$1. 250, 00 - R$1. 200, 00 = R$50, 00
183
100% = R$1. 250, 00 → dividindo ambos por 50 → 2% = R$25, 00 → multiplicando ambos
por 2 → 4% = R$50, 00
Nessa transação a pessoa teve um prejuízo de 4% sobre o preço de compra
E leve-os a compreenderem as situações de descontos e aumentos sucessivos resolvendo
em duplas os problemas abaixo:
1. A base de um retângulo de área S é aumentada de 25% e sua altura é diminuída de x%.
Se a área do novo retângulo não se alterou, então o valor de x é:
a) 15%
b) 30%
c) 25%
d) 35%
e) 20%
2. Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos: um de 20% em janeiro e outro de
30% em fevereiro. O aumento no bimestre foi de:
a) 50%
b) 46%
c) 56%
d) 60%
e) 66%
3. Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 14%. Para que ela volte ao seu
preço inicial, deverá sofrer um acréscimo de:
a) 28%
b) 14%
c) 26, 04%
d) 29, 96%
e) 35, 21%
4. (PUC) Um carro foi vendido por R$ 10. 000, 00, com prejuízo de 20% sobre o preço da
compra. O carro havia sido comprado, em reais, por:
a) 10. 200, 00
b) 11. 500, 00
c) 12. 000, 00
d) 12. 500, 00
e) 13. 000, 00
Indo além
1
6
Indo além...
Professor,para ir além proponha um jogo que leve os alunos a pensarem em porcentagens
usando um gráfico de setores.
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico pizza, torta, queijo ou bolacha é um
dos mais simples recursos gráficos, sua construção é baseada no fato de que o círculo possui
360º, sendo que este círculo é dividido em fatias de acordo com o percentual em cada categoria. É um gráfico útil para representar variáveis nominais ou apresentadas em categorias de
respostas.
Pergunte aos alunos: Qual a seleção que será campeã no Mundial de Futebol do Brasil de
2014?
Com essa pergunta procure trabalhar os conceitos de representação gráfica através do Gráfico de setores.
Para isso prepare o material: Papel pardo, papel cartaz colorido, cola, tesoura.
Desenvolva com os alunos a atividade seguindo os procedimentos:
184
Dividir turma em dois grandes grupos (ou mais dependendo da quantidade alunos) apresentar
algumas tabelas contendo as porcentagens dos resultados. Cada grupo receberá 3 tabelas que
serão as mesmas para todos os grupos. O Professor terá em uma caixa "pedaços/fatias" de
gráficos de setores de cores distintas, as fatias corresponderão às porcentagens indicadas em
cada tabela. Os grupos deverão montar um gráfico de setores correspondente a cada tabela
utilizando as fatias corretas correspondentes aos percentuais. O grupo que montar o gráfico
mais rápido vence.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema
que envolvam porcentagem. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que
precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
O enunciado a seguir refere-se às questões 1 e 2
Uma universidade oferece apenas três cursos superiores: Engenharia Civil, Direito e Medicina.
O gráfico abaixo mostra quantos homens e quantas mulheres estão matriculados em cada curso oferecido por essa instituição. Observe-o atentamente e utilize-o para resolver as questões
7 e 8.
250
200
150
Homens
Mulheres
100
50
0
Engenharia Civil
Direito
Medicina
185
1) O número total de estudantes de direito representa qual porcentagem do número total de
estudantes da universidade?
a) 15%
b) 27%
c) 35%
d) 42%
2) Dentre o total de estudantes de Engenharia Civil, a porcentagem de mulheres é aproximadamente.
a) 15%
b) 33%
c) 43%
d) 57%
3) Paulo não tem casa própria. Ele mora pagando aluguel, que consome 10% de seu salário.
Paulo estava preocupado porque no mês que vem haverá um reajuste no valor de seu aluguel,
que subirá 5%. Para sua alegria, seu patrão o promoveu no emprego e seu salário vai subir
50%.
Assim, o novo valor do aluguel consumirá qual porcentagem do novo salário de Paulo?
a) 5%
b) 7%
c) 10, 5%
d) 15%
4) Uma propaganda incentivando a conversão de automóveis de gasolina e/ou álcool para o
gás natural está sendo veiculada em Minas Gerais. Nela, um automóvel já convertido afirma
que o gás natural é muito melhor que a gasolina ou álcool, sendo muito mais econômico para o
proprietário do veículo ter um carro movido a gás natural, além de ser melhor para o meio ambiente.
Nessa propaganda, também, é informado que o carro a gás natural é 104% mais econômico
que a gasolina e 122% mais econômico que o álcool. Isto significa o valor gasto em gasolina
para se percorrer uma determinada distância é 104% a mais que o valor gasto caso se usasse
o gás. Usando álcool neste mesmo trajeto, o gasto seria 122% maior que o gasto utilizando
gás.
186
João tem um carro a álcool, mas quer trocá-lo por um veículo movido a gasolina. Vendo essa
propaganda e usando os valores apresentados, uma conclusão correta que João pode tirar é
que:
A) a gasolina é aproximadamente 8% mais econômica que o álcool.
B) o álcool é aproximadamente 8% mais econômico que a gasolina.
C) a gasolina é 18, 0% mais econômica que o álcool.
D) o álcool é 18, 0% mais econômico que a gasolina.
187
Lição 19
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Resolver situações-problema com números inteiros, envolvendo as operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
Conteúdo: operações com números inteiros e sistema monetário
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades que envolve situações-problema com números inteiros explorando as operações e suas propriedades, especialmente a utilidade das operações no sistema monetário. Aproveite e planeje uma
boa semana de aula!
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Faça para seus alunos cópias reduzidas, em preto e branco, com uma tarja escrita “modelo”, das cédulas de 1, 10 e 100 reais e ainda faça também cópias dos exercícios para realização de simulações de troca, pagamentos e recebimentos.
Ao iniciar os trabalhos sugerimos que:
1) Divida a turma em duplas.
2) Distribua pacotes das cópias de cédulas/moedas de 1, 10 e 100 e as instruções entre as
duplas.
3) Oriente-os para que realizem simulações de trocas, pagamentos ou recebimentos propostos nos exercícios.
4) Após as simulações, discuta e sistematize os resultados dando ênfase às principais características do sistema de numeração decimal: aos agrupamentos de 10 em 10 e valor posicional dos dígitos. Evidenciar a relação da unidade (1 real) com a dezena (10 reais), com a
centena (100 reais) e com o milhar (1000 reais).
5) Apresentamos a seguir alguns exemplos de exercícios para simulação de trocas, pagamentos e recebimentos:
a) Troque com seu colega uma nota de 10 reais por moedas de 1 real. Quantas moedas de
1 real ele deve dar para você?
b) Troque com seu colega uma nota de 100 reais por notas de 10 reais. Quantas notas de
10 reais ele deve dar para você?
188
c) Troque com seu colega 3 notas de 10 reais por moedas de 1 real. Quantas notas ele deve
dar para você?
d) Seu colega quer trocar 5 notas de 100 reais por notas de 10 reais. Quantas notas de 10
reais você deve dar para ele?
e) Pague ao seu colega 1000 reais com notas de 100. Quantas notas de 100 reais você vai
precisar para fazer esse pagamento?
f) Imagine que você e seu colega são caixas de um banco e vão fazer os pagamentos para os
clientes listados na tabela conforme o número de notas correspondente:
Notas de
Cliente
Notas de 10
Moedas de 1
100
Celso
3
1
0
Ana
4
2
3
José
0
5
2
Quantos reais recebeu cada cliente?
g) A cliente Ana pediu para trocar as notas de 100 em notas de 10. Quantas notas, no total
Ana terá depois da troca?
h) Um cliente fez um depósito. A quantia depositada tinha cinco notas de 100, duas notas de
10 e oito moedas de 1 real. De quantos reais foi esse depósito?
i) Um cliente, ao descontar um cheque de 206 reais, diz que quer o menor número de notas
possível. Quantas notas/moedas de 100, 10 e 1 real, você deve dar para ele?
j) Imagine que você é o gerente do banco e no início dos trabalhos do dia você distribui para
cada um dos caixas 3 pacotes de 10 notas de 100 reais, mais 6 pacotes de 10 notas de 10 reais, mais 5 pacotes de moedas de 1 real. Quantos reais cada caixa recebe para abrir o caixa?
Finalize a aula mostrando aos alunos que nas situações comerciais trabalhamos muitas vezes com números inteiros positivos e que portanto, é necessário conhecer sua escrita, fazer
contagens e resolver problemas Diga-lhes que na próxima aula terão a oportunidade e resolver
vários desafios, não só com números positivos mas negativos também!
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
A aprendizagem dos alunos tem que partir de estratégias que incluam, além do desenvolvimento de conceitos e o uso de métodos e procedimentos, situações de aprendizagem que propiciem o desenvolvimento de modos de pensar e agir.
Proponha então atividades ou crie uma situação de disputa entre os alunos que possam ser
aplicadas da seguinte forma:
A classe é dividida em grupos e o material é distribuído aos grupos (anexos) ;
· É feita a apresentação do desafio aos grupos;
189
· O grupo que primeiro solucionar o desafio, irá apresentá-lo no quadro negro para toda a
sala;
. A solução é anotada por todos, esclarecendo eventuais dúvidas;
· São propostos outros desafios para os grupos criados pelos próprios alunos.
Anexos
Seguem alguns desafios. Faça cópia para cada aluno ou se preferir trabalhe em duplas
1) Números Lógicos
O que deve ser feito:
· preencha os espaços em branco com números inteiros (incluindo o zero) indicando também o sinal;
· as células sombreadas indicam os resultados para cada linha e coluna;
· as operações (soma e subtração) devem ser feitas na ordem em que aparecem (de cima
para baixo e da esquerda para a direita).
2) Sudoku
O que deve ser feito:
· preencha os espaços em branco com algarismos de 1 a 9, de modo que cada
número apareça uma única vez em cada linha;
190
· em cada linha nenhum número pode ser repetido e todos os números de 1 a 9 se encontram
presentes;
· o mesmo deve acontecer em cada coluna;
· nos quadrados menores (3 x 3), a regra é a mesma.
3) Kakuro
Puzzle japonês de raciocínio lógico. É um jogo de somas cruzadas.
O que deve ser feito:
· Utilize apenas os números de 1 a 9;
· O número 0 não pode ser utilizado;
· Só deverá ser colocado um número por célula;
· Cada número só deve aparecer uma única vez por série.
191
192
Indo além
1
6
Indo além...
Para encerrar a semana proponha a construção da régua de operações. Abaixo mostramos
como fazer.
Calcular 2 + 3 com a ajuda dos dedos não é tarefa das mais complicadas para as crianças
que estão ingressando no mundo dos números. Quando, mais tarde, a conta vira 2 — 3, tudo
muda de figura. Num primeiro momento, os alunos chegam a dizer que essa é uma questão
impossível de ser resolvida. Para ajudá-los a fazer os primeiros cálculos envolvendo números
negativos, a professora Leda Maria Bastoni Talavera, do Colégio Campos Salles, de São Paulo, utiliza uma régua operatória.
Feita de cartolina, ela é formada por duas retas numéricas que vão do — 9 ao 9 e se movem
para a direita e para a esquerda, permitindo resolver somas e subtrações. "Movimentando as
escalas, o estudante compreende cada passo da operação e chega mais facilmente ao resultado", explica Leda.
A régua, construída pelos próprios alunos, é utilizada apenas nas duas primeiras aulas em
que o assunto é abordado. "Depois que eles entendem o raciocínio acabam deixando o material de lado e fazem, sem dificuldade, até as contas com valores maiores. "
Acompanhe a resolução do exemplo abaixo:
Faça a régua com sua turma
1º passo
Corte um retângulo de cartolina de 22 x 8 centímetros. Trace uma reta no centro e a gradue
de —9 a 9, deixando 1 centímetro de espaço entre os números e nas pontas.
193
2º passo
Em outro retângulo de 22 x 6 centímetros (cortado em cor diferente), abra uma janela central de 20 x 2 centímetros. Abaixo da abertura, trace uma escala numérica igual à anterior.
3º passo
Sobreponha as duas partes e dobre as extremidades da maior sobre a menor.
4º passo
Com a régua fechada, a posição dos números nas duas escalas tem de coincidir.
Finalmente permita que os alunos utilizem a régua até se sentirem seguros e dispensarem o
seu uso!
194
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema
com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Na avaliação da ONU, uma pessoa precisa de no mínimo 50 litros de água por dia para
atender suas necessidades. Mas, nos Estados Unidos, o consumo por habitante é 45 vezes
maior.
Com base na afirmativa acima, a quantidade litros de água que uma pessoa nos Estados Unidos consome por dia é:
A) 5
B) 95
C) 225
D) 2250
2) Uma universidade tem três departamentos: Departamento de Ciências Exatas (DCE), Departamento de Ciências Biológicas (DCB) e Departamento de Ciências Humanas (DCH).
O maior dos três departamentos é o DCE, pois lá trabalham 1065 profissionais. O departamento com menor número de profissionais é o DCH, lá trabalham apenas 828 pessoas. Já no DCB
trabalham 904 profissionais.
Para a reunião do início do ano, todos os profissionais da universidade serão reunidos para
ouvir a mensagem institucional do reitor. Difícil foi conseguir um local onde todos pudessem
ficar sentados.
O melhor local onde poderia ocorrer esta reunião, de forma que todos os profissionais da instituição pudessem ficar assentados e sobrasse a menor quantidade possível de cadeiras vazias
é.
a) O Auditório do Instituto de Educação que tem capacidade para 910 pessoas
b) O Grande Teatro do Palácio das Artes que tem capacidade para 1700 pessoas
c) A Arena do Minas Tênis Clube que tem capacidade para 4000 pessoas)
d) O novo Estádio Independência que tem capacidade para 23000 pessoas
3) Carlos quer fazer uma grande festa para comemorar seus 16 anos. Ele conversou com seus
pais, que concordaram em contratar um DJ para animar a festa. Eles fizeram vários orçamen-
195
tos e decidiram contratar o DJ Bom, que cobrava R$ 210, 00 para o fornecimento do equipamento e das músicas mais R$ 30, 00 a cada hora trabalhada.
Os pais de Carlos o chamaram para conversar e ficou acertado entre eles que a festa duraria
seis horas.
O valor a ser pago ao DJ Bom por esse trabalho é
a) R$ 390, 00
b) R$ 180, 00
c) R$ 210, 00
d) R$ 240, 00
4) Alice procurou um oftalmologista e descobriu que estava com conjuntivite. O médico indicou
o uso de um colírio conforme a orientação da bula. Veja o que a bula diz sobre a posologia do
remédio, ou seja, sobre a maneira como o remédio deve ser usado:
Posologia:
Colírio: Nos casos leves a moderados, instilar uma ou duas gotas no olho afetado a
cada 4 horas. Nas infecções graves, instilar duas gotas no olho de hora em hora até
obter melhora. A partir desse momento a frequência das instilações deve ser reduzida
antes de sua interrupção.
Fonte: bula do medicamento Tobramicina.
Alice está com conjuntivite moderada. Ela pretende aplicar o colírio pela primeira vez no dia
logo que acordar. Alice costuma acordar às 7 horas. Se ela aplicar o medicamento quatro vezes por dia, a última aplicação será às.
(A) 11 horas.
(B) 15 horas.
(C) 19 horas.
(D) 23 horas.
196
Lição 20
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
Conteúdo: Frações: dízimas periódicas e porcentagens
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, a representação de números racionais como decimais exatos ou dízimas periódicas se faz importante pelo fato de que, em um grande número de situações, a representação decimal é mais conveniente e/ou informativa do que a representação fracionária. Além disso, a passagem da forma fracionária para a forma decimal traz à tona discussões sobre aproximação (“arredondamento”). Explore esse tema com a sequência de atividades a seguir. Bom
trabalho!
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
No Ensino Fundamental o aluno foi apresentado ao conjunto dos números racionais e às operações com frações, bem como à ideia de expansão decimal e operações com números nesta
forma. O Professor pode começar retomando este conteúdo. É conveniente lembrar que os
números racionais foram “inventados” a partir da necessidade resolver equações do tipo 3x + 1
= 5, que não admite solução em números inteiros. Este processo é análogo ao da “invenção”
dos números inteiros, a partir de equações do tipo x + 5 = 3.
Neste tópico deve-se fazer a distinção entre os dois modos de representar os números racionais, que são a forma fracionária (como quociente de dois inteiros) e a decimal, bem como os
algoritmos que permitem a passagem de uma forma para a outra. Ambas as representações
são importantes e é essencial apontar quando é conveniente optar por uma ou pela outra. Por
exemplo, para pagar 1/3 de uma conta, é necessário saber a quantia a pagar em unidades monetárias; e para dividir um terreno em 7 partes iguais, é necessário saber qual a área de cada
parte em unidades de área. Por outro lado, mesmo operações simples com dízimas só podem
ser efetuadas, em alguns casos, convertendo estas dízimas em frações; por exemplo, para exprimir 0, 6 + 0, 89 em forma de dízima é necessário passar pela forma fracionária, como abaixo:
0, 6 + 0, 89 = 2/3 + 89/99 = 155/99 = 1, 56
O professor deve primeiro apresentar várias situações que envolvam a obtenção da forma
decimal de um número racional, isto é, efetuar a divisão entre dois números inteiros usando o
algoritmo da divisão, com atenção ao fato de que o algoritmo “pode não terminar”. Deve ficar
claro que números racionais são sempre representados por dízima periódica. Como exemplo,
apresentamos os seguintes problemas.
197
Exemplo 1: Ache as dízimas correspondentes a 1/2, 7/16, 3/4 e 7/8.
Exemplo 2: Se uma conta de R$ 25, 00 deve ser dividida igualmente entre quatro pessoas,
quanto cada uma delas deverá pagar?
Exemplos como estes podem ser usados para exemplificar o fato de que dízimas com período 0 (ou seja, números com expansão decimal finita) correspondem a racionais cujos denominadores têm como fatores primos apenas 2 e 5.
Exemplo 3: Se uma conta de R$ 25, 00 deve ser dividida igualmente entre três pessoas,
quanto cada uma delas deverá pagar? Aqui a divisão não é exata, pois 25/3 = 8, 3. Este é um
primeiro exemplo de dízima periódica, oportunidade para discutir questões de aproximação
(“quanto cada um deve pagar? ”), bem como introduzir o termo “período” e a notação que usa
uma barra para indicar o período. Caso desejado, o professor pode aqui discutir a convenção
de que uma dízima finita pode ser pensada como periódica acrescentando zeros à direita; por
exemplo, 2, 79 = 2, 790, deixando claro que estas são apenas maneiras diferentes de escrever o mesmo número.
Ainda neste exemplo, é importante notar que o aluno que responde “cada um deve pagar
R$1/3 x 25, 00” não está errado. Deve-se aqui criar a convenção de que respostas a problemas deste tipo devem ser dadas em forma de dízima e em unidade medida (no caso, monetária) apropriadas.
Exemplo 4: Determinar a forma decimal de 14/99.
A divisão fornece 14/99 = 0, 14. Este exemplo é extensão natural do anterior e sugere, para
uso posterior, como tratar dízimas do tipo para qualquer período
Exemplo 5: Determinar a forma decimal de 11/90.
Neste último exemplo fica aparente que a periodicidade pode ocorrer “longe da vírgula”. O
professor pode chamar a atenção para o fato de que 11/90 = 1/10 x 11/9 e que pode-se primeiro calcular a expansão decimal de 11/9 para depois multiplicar por 1/10, com o efeito de
“empurrar a vírgula uma casa para a esquerda”. Os exemplos escolhidos pelo professor devem ter como resultado dízimas periódicas de período curto, de modo que a repetição possa
ser observada com poucas contas. Uma questão mais difícil, que fica a critério do professor
abordar de acordo com o desenvolvimento dos alunos, é como saber onde o período “acaba”,
ou seja, localizar a repetição. Por exemplo, acompanhemos o seguinte problema.
Exemplo 6: Determinar a forma decimal de 37/330.
Efetuamos a divisão de 37 por 330:
Ao observar a repetição do 400, vemos que o processo de divisão se repetirá em ciclos e
obtemos 37/330 = 0, 112. Notamos que se o processo de divisão parasse no primeiro 700, o
quociente (incompleto) 0, 11 pareceria indicar que 37/330 = 0, 1, o que é falso.
Até agora foram apresentação sugestões de atividades de representação de uma fração
como uma dízima periódica.
Deve-se passar agora ao processo inverso, ou seja, achar qual fração deu origem a uma
dada dízima periódica. O professor pode fazer uma pesquisa na sala de aula para determinar
se algum aluno já sabe determinar a fração que originou uma dízima periódica simples, como
198
por exemplo, 0, 12. Caso algum aluno saiba como fazer isto, deve-se explorar a solução apresentada e compartilhá-la para o resto da turma. Caso não, este pode ser um primeiro
Exemplo 7: Achar a fração que deu origem à dízima 0, 12.
Colocando x = 0, 12, temos 100x = 12 , donde x = 12/99.
Exemplo 8: Achar a fração que deu origem à dízima 0, 312.
Colocando x = 0, 314, temos 10x = 3 + 0, 14 = 3 + 14/99 = 311/99, donde x = 311/990. Alternativamente, temos 10x = 3 + 0, 14 e 10x = 3 + 0, 12, donde 1000x - 10x = 311 e obtemos novamente x = 311/990.
Aqui é o momento de sintetizar ou resumir o trabalho feito até aqui: qualquer fração pode ser
escrita como uma dízima periódica e, reciprocamente, qualquer dízima periódica é a representação em forma decimal de uma fração.
Se preferir prepare uma aula expositiva abordando a definição de números racionais. Para isso propomos que faça slides no Power Point e apresente aos alunos os Números Racionais.
Uma sugestão para esses slides é:
Enquanto os naturais são suficientes para contar, precisamos de outro tipo de número se
queremos medir. Para suprir essa necessidade foi criado um novo tipo de número chamado de
número racional, cujo símbolo é Q.
Um número x será chamado de racional se e somente se puder ser escrito na forma
a
com a
b
 Z e b  Z*.
Todo número racional pode ser escrito na forma decimal (basta fazer a divisão de a por b).
Essa representação decimal é sempre um decimal exato ou uma dízima periódica.
1. Transformação de dizimas em frações
Há dois métodos de transformar uma dizima em fração:
1) Regra prática
Dada uma dizima periódica, a fração
x
que corresponde a ela é:
y
x = parte não periódica seguida de um período menos a parte não periódica.
y = tantos 9 quantos algarismos do período seguido de tantos 0 quantos os algarismos da
parte não periódica que está após a vírgula.
Sempre que possível, simplifique o resultado
Ex:
Considere a dízima 12, 354838383838383. . .
199
Parte não periódica = 12354
Parte periódica (período) = 83
x = 1235483 – 12354 = 1223129
y = 99000
Assim, 12, 354838383838383. . . =
1223129
(não pode ser simplificado)
99000
Equacionando
Dada uma dízima periódica, chame-a de x.
Multiplique os dois lados da igualdade por 10n onde n é a quantidade algarismos do período.
Subtraia as duas igualdades e resolva a equação resultante
Ex:
Considere a dízima 12, 354838383838383. . .
x = 12, 354838383838383. . .
100x = 1235, 48383838383. . .
99x = 1223, 129
x
1223,129
99
x
1223129
99000
Termine a aula propondo aos alunos as seguintes atividades:
Problema 1: Um litro de água deve ser dividido em três recipientes A, B e C. Após esta divisão, o volume de água no recipiente B deve ser o dobro do volume de água do recipiente A, e
o volume de água no recipiente C deve ser o triplo do volume de água do recipiente A. Determine o volume de água em cada um destes recipientes, em mililitros.
Problema 2: A prefeitura de uma cidade determina que somente 5/7 da área de um terreno
pode ser ocupada por uma construção. Determine, em m², a área máxima da casa que uma
pessoa pode construir em um terreno de 360 metros quadrados.
200
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Na tentativa de proporcionar melhor entendimento da representação das frações:
• Organize a turma com as carteiras em círculo, e os divida em quatro grupos.
• Providencie para cada um dos quatro grupos: quatro embalagens (detergente lava louças)
água com corante (com corante para ficar mais interessante), funil e um copo graduado.
•Coloque as embalagens uma em cada canto da mesa que estava no centro da sala.
• Cada grupo é conduzido a analisar uma embalagem. Solicite que eles discutam o volume,
onde estaria a metade do recipiente, a terça parte, etc.
• Solicitado que os quatro grupos determinem onde estaria 1/3 do volume da embalagem. Em
seguida cada grupo deve colocar o líquido no recipiente, até a marca que eles julgaram ser 1/3.
• Depois que as quatro grupos s chegarem à conclusão de que realmente tinham colocado líquido no volume de 1/3 da embalagem, abra as discussões. Os questionamentos devem ser
“Será que os colegas chegaram próximos a 1/3? ” Para isso eles devem imaginar a divisão da
embalagem em quantas partes? Se a embalagem comporta um volume de 500 ml, quantos ml
deverá conter em 1/3 da embalagem?
• Os próprios alunos que colocaram o líquido nos frascos devem calcular, no quadro, 1/3 de
500 ml.
• Realizados os cálculos, voltem para o experimento e despejem o líquido no copo graduado
para verificarem se a estimativa inicial estava boa ou ruim.
. • Em seguida repita o experimento com outras frações 1/4, 1/5. 1/2, 3/4, etc.
Indo além
1
6
Indo além...
Para ir além proponha que os alunos explorem as porcentagens como uma outra forma de
representação dos racionais. Para isso desenvolva a sequência de atividades abaixo:
Providencie calculadoras e notícias de jornais, propagandas e folhetos comerciais com porcentagens.
Distribua as notícias, as propagandas e os folhetos aos alunos e peça que, em duplas, eles
interpretem o significado dos números acompanhados do sinal %. O que significam? Como foram calculados? Todos deverão expor suas hipóteses e registrá-las.
Retome as conclusões dos estudantes sobre como obter porcentagens. Em seguida, apresente a seguinte lista de cálculos para que, individualmente, eles os classifiquem em fáceis e
difíceis e justifiquem suas decisões.
201
- 100% de 50
- 12% de 332
- 30% de 1. 556
- 150% de 400
- 50% de 30
- 11% de 622
- 43% 1. 533
- 6% de 998
- 25% de 44
- 95% de 10
- 69% de 69
- 0, 5% de 2. 978
- 50% de 50
- 310% de 198
Organize uma sessão de cálculo mental com os exercícios anteriores para recuperar as estratégias descritas nas justificativas. Para conferir se as respostas estão certas, os alunos
devem usar a calculadora.
Peça que os alunos registrem os tipos de resolução que surgiram na sessão de cálculo
mental e, então, confiram se as propostas poderiam ser mais práticas. A ideia aqui é levar a
turma a perceber que toda porcentagem envolve a questão de proporcionalidade entre o todo
e uma parte. Sistematize o conteúdo, mostrando os prós e os contras das resoluções.
Para encerrar apresente problemas como estes e recomende que eles os resolva considerando a relação de proporção:
- "Uma televisão custava 523 reais em agosto e em setembro seu preço passou para 700
reais. Qual o aumento percentual do preço? "
- "Débora teve um aumento de 100% na mesada, de 32 reais. Porém ela percebeu que o
acréscimo não é suficiente para comprar um jogo que custa 104 reais. Qual o aumento percentual que ela precisaria para fazer a compra? "
202
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Reconhecer as diferentes representações de um número racional. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar
aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Cada áreas colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro.
Qual é alternativa que representa a diferença destas frações indicada na figura?
a)
1
2
)
3
4
)
1
4
)
4
2
4
2
2) Isabel precisa de 6, 48 metros de renda, mas só tem 4, 75 metros. Quantos metros faltam?
a) 1, 73
b) 2, 73
c) 3, 73
d) 0, 73
3)Quais dos números decimais a seguir são iguais?
a)0, 75
b)0, 7
c)0, 700
d)0, 72
4) Após observar as desigualdades, indique qual é a alternativa correta.
I - 10, 001<9, 99
II – 2, 09>1, 9
III – 9, 01<0, 901
a) I e II estão certas.
b) II está errada.
203
c) I e III estão erradas.
d) Todas estão erradas.
204
Lição 21
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e
a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade: Resolver situações-problema que envolvam variação proporcional direta ou inversa entre grandezas
Conteúdo: Grandezas proporcionais
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades. . . .
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Professor para iniciar providencie cópias com o texto indicado. Em seguida:
1. Distribua, para os alunos, cópias do texto intitulado “Estudo dirigido: Introdução ao estudo
da proporcionalidade direta e da proporcionalidade inversa” apresentado logo a seguir.
2 Dê instruções claras aos alunos para a realização do estudo dirigido.
3. Acompanhe o trabalho dos alunos, auxiliando-os quando necessário.
4. Ao fim do estudo dirigido, faça com a participação dos alunos, a correção dos exercícios
propostos e uma discussão sobre trabalho, concluindo com um resumo das principais ideias
nele contidas.
Texto
ESTUDO DIRIGIDO: Introdução ao estudo da Proporcionalidade Direta e da Proporcionalidade Inversa. Juntos ou em duplas os alunos deverão realizar as atividade que se seguem .
Exercício I: Analise cada uma das situações apresentadas a seguir e, em cada uma delas,
responda por escrito as perguntas feitas.
1) Num posto, um cliente A pagou R$ 22, 00 por 10 litros de gasolina.
a) Se outro cliente B pagar R$ 44, 00 pela quantidade litros que comprou, quantos litros ele
colocou no tanque de seu carro?
b) O cliente C colocou 6 litros de gasolina no tanque. Quanto ele pagou por esse volume de
gasolina?
c) Se Paulo colocar um volume de V litros no tanque de seu carro, qual será, em reais, a
quantia Q que ele deverá pagar?
205
d) Escreva uma fórmula que relaciona a quantia Q a ser paga com o volume V de litros
comprados.
e) Nessa situação, qual é o quociente Q / V?
f) Em outro posto o preço da gasolina é R$ 2, 18 por litro. Para esse posto qual é o quociente Q / V?
2) Na tabela estão registradas as medidas, em centímetros, do lado de alguns pentágonos
regulares e seus respectivos perímetros.
Medida do lado do pentágono em cm
1
2
3
4
Perímetro do Pentágono em cm
5
10
15
20
a) Esta tabela está correta? Por quê?
b) Se fosse necessário continuar a tabela, qual seria o perímetro de um pentágono cujo lado
medisse 9 cm?
c) Se a medida, em cm, do lado do pentágono for multiplicada por 7, por qual número ficará
multiplicado o seu perímetro?
d) Se a medida, em cm, do perímetro de um pentágono regular for dividida por 4, por qual
número ficará dividida a medida do seu lado?
e) Escreva uma fórmula que relacione a medida, em cm, do perímetro P do pentágono com
a medida, em cm, do lado L desse pentágono.
No item 1e a grandeza Q depende da grandeza V e essa relação dependência é traduzida
pelas fórmulas Q = 2, 2 V ou Q / V = 2, 2 No item 1f, Q = 2, 18 V ou Q / V = 2, 18.
No item 2 a grandeza P depende da grandeza L e essa relação dependência é traduzida pelas fórmulas P = 5 L ou P / L = 5 (nº de lados do pentágono).
DEFINIÇÃO:
Duas grandezas G e R são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se elas estão relacionas por
uma das fórmulas: G = kR ou G/R = k, onde k é uma constante diferente de zero.
f) De acordo com essa definição as grandezas do Q e V do item 1 e P e L do item 2 são diretamente proporcionais? Por quê?
g) Dê dois exemplos de pares de grandezas diretamente proporcionais e justifique relacionando-as por uma fórmula.
3) Pense, cuidadosamente, na seguinte afirmação: “A área A de um quadrado é diretamente
proporcional ao seu lado L”. Ela é falsa ou verdadeira? Por quê?
206
4) A afirmação “O volume V de um cubo é diretamente proporcional à sua aresta A” é falsa ou
verdadeira? Por quê?
5) A tabela a seguir relaciona o número N de bactérias existentes numa certa cultura com o
tempo T, dado em intervalos de 1 hora, em que foi feita a respectiva contagem.
Número de bactérias N
30
60
120
240
Tempo T
1
2
3
4
O número N de bactérias aumenta se o tempo aumenta. N é diretamente proporcional ao
tempo? Por quê?
Exercício II: Analise cada uma das situações apresentadas a seguir e, em cada uma delas,
responda por escrito as perguntas feitas.
1) O prêmio P de cada concurso da Mega-Sena é distribuído igualmente entre o número n de
acertadores. Num certo concurso esse prêmio será de 20 milhões de reais. Agora responda
quanto receberá cada acertador desse concurso se o número n de acertadores for:
a) 4
b) 8
c) 2
d) n
e) Falso ou verdadeiro: Se q é a quantia que cada acertador receberá e n é o número de
acertadores então n x q = 20 milhões.
2) As medidas, em metros, de um terreno retangular são números desconhecidos x e y mas
sua área A é 72 m2.
a) Escreva, pelo menos, 4 pares de números x e y, que possam ser as medidas dos lados
desse retângulo.
b) Escreva uma fórmula que relacione x, y e A.
3) Um certo volume de V litros de suco vai ser distribuído igualmente em n recipientes cada
um deles com a capacidade t litros. Escreva uma fórmula que relacione V, n e t.
No item 1e desse exercício a grandeza n (número de acertadores) e a grandeza q (quantia que cada acertador receberá) estão relacionadas pela fórmula n x q
= 20 milhões.
No item 2 as grandezas x e y estão relacionadas pela fórmula x. y =72.
No item 3 as grandezas n e t estão relacionadas pela fórmula n. t =V.
DEFINIÇÃO: Duas grandezas P e Q são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se elas estão
relacionadas pela fórmula P. Q = constante diferente de zero.
4) De acordo com essa definição quais são as grandezas inversamente proporcionais em cada um dos itens 1, 2 e 3 desse exercício?
207
Exercício III: Na tabela a seguir, para cada situação envolvendo um para de grandezas, você escreverá, no seu caderno:
D, se as grandezas forem diretamente proporcionais.
I, se as grandezas forem inversamente proporcionais.
N, se não houver relação de proporcionalidade.
Justifique cada uma das respostas que você der.
Primeira grandeza
Segunda grandeza
1) Peso P de uma pessoa
Altura H dessa mesma pessoa
2) Volume v de água que sai de uma torneira em 1 minuto.
Tempo t, em minutos, necessário para essa torneira encher um tanque.
3) A quantia q a ser paga pela quantidade quilos de um produto que custa x reais o quilo.
A quantidade n de quilos a ser comprada.
4) Valor p da prestação a ser paga na compra de um certo eletrodoméstico.
Número n de prestações a serem pagas na compra desse eletrodoméstico.
5) A quantidade w de energia consumida por um conjunto de lâmpadas iguais acesas durante 2 horas.
O número de lâmpadas desse conjunto.
6) O número n de gols marcados por um time em cada partida de um campeonato de 20
partidas
O número total t de gols marcados por esse time durante esse campeonato.
Exercício IV: A grandeza A está relacionada com a grandeza B. Analise, cuidadosamente,
as duas afirmações abaixo e responda, justificando, se elas são verdadeiras ou falsas.
1) Aumentando-se a grandeza B a grandeza A também aumenta. Então as grandezas A e B
são diretamente proporcionais.
2) Aumentando-se a grandeza A, a grandeza B diminui. Então as grandezas A e B são inversamente proporcionais.
208
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Chegou a hora definir a regra de três. Produza uma aula expositiva com slides no Power point
a partir desse texto:
Chama-se regra de três a uma estratégia para a resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais. Se a regra de três envolve apenas duas grandezas, então ela se diz simples. Porém, se envolve mais de duas grandezas, ela se diz composta.
A regra de três é direta ou inversa caso as grandezas sejam, respectivamente, diretamente
ou inversamente proporcionais.
Exercícios Resolvidos
Uma determinada obra foi concluída em 60 dias usando-se 5 pedreiros e 10 aprendizes. Sabendo-se que o trabalho de dois aprendizes equivale ao de um pedreiro, quantos dias seriam
necessários para construir a mesma obra se dispuséssemos de 6 pedreiros e 12 aprendizes?
a) 55
b) 50
c) 45
d) 40
Solução:
Inicialmente havia 10 aprendizes, o que equivale a outros 5 pedreiros. Assim, podemos pensar que, inicialmente, havia 10 pedreiros. Da mesma forma, podemos considerar que depois
havia 6 + 6 = 12 pedreiros.
Resposta: B
Seis pessoas produzem 120 peças por dia. Substituindo 3 delas por 2 pessoas, com o dobro
de eficiência, a produção diária será de n peças. Então n é igual a:
a) 135
b) 150
c) 140
d) 130
e) 135
Solução:
Substituir 3 pessoas por 2 com o dobro da eficiência equivale a substituir por 4 com a mesma
eficiência.
Assim temos:
209
Resposta: C
(Newton Paiva) Um pedreiro poderia fazer um muro em 40 dias. Um outro pedreiro faria o
mesmo muro em 60 dias. Trabalhando juntos, eles poderiam concluir o muro em:
a. 20 dias
b. 24 dias
c. 1 mês e 5 dias
d. 1 mês e 10 dias
e. 1 mês e 20 dias
Solução:
1
1
do trabalho, enquanto o segundo pedreiro faz
,
40
60
1
1
1


logo, juntos, eles fazem, em um dia,
do serviço.
40 60 24
Em um dia o primeiro pedreiro faz
Assim temos
Resposta: B
Em seguida proponha uma tarefa formando grupos de três ou quatro alunos e proponha o
seguinte problema:
210
- Um campo de futebol é drenado por dois jardineiros em seis horas. Qual o tempo necessário
para apenas um jardineiro drenar um terço do mesmo campo de futebol?
Deixe que a turma tente resolver a questão por alguns minutos e, em seguida, proponha que
tentem encontrar a resposta por meio da seguinte pergunta intermediária:
- Em quanto tempo apenas um jardineiro executaria a tarefa de drenar o campo de futebol?
Peça que os grupos discutam as informações encontradas e as estratégias utilizadas para
chegar a elas. Em seguida, pergunte à turma quais as relações entre o problema inicial e este
novo problema e quais as vantagens encontradas ao dividir a resolução em etapas.
Discuta com a moçada as etapas para a resolução do problema e os processos utilizados para chegarem ao resultado do problema. Peça que expliquem os mecanismos adotados e, em
seguida, mostre aos alunos como a regra de três simples pode ser utilizada. Explique que um
jardineiro está para x horas, assim como, 2 jardineiros estão para 6 horas. Mostre que as grandezas são inversamente proporcionais, pois diminuindo o número de jardineiros precisamos de
mais tempo para drenar o campo.
Sabendo quanto tempo um jardineiro gasta para drenar o campo, neste caso doze horas, os
alunos podem solucionar o problema inicial:
- Quanto tempo um jardineiro gasta para drenar um terço do campo, se ele gasta doze horas
para drenar o campo inteiro?
A resolução deve vir rapidamente. Se 12 horas estão para um campo inteiro, e x horas estão
para 1/3 de campo, as grandezas são diretamente proporcionais - aumentando o número de
horas, aumenta o trabalho realizado. Portanto, o jardineiro drenará 1/3 do campo em 4 horas.
Para finalizar, proponha outros problemas de regra de três composta, para que eles exercitem
o que aprenderam. Por exemplo use os exercícios a seguir ;
Questão 1
Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas
impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
Questão 2
Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes
para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
Questão 3
Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha.
Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de
páginas ocupadas.
Questão 4
Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm
de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de
fazenda com 120 cm largura?
211
Indo além
Indo além...
1
6
Carl Sagan já mostrou nosso pequeno planeta em perspectiva em seu livro Cosmos, agora
sugerimos que com seus alunos você assista a dois vídeos:
https://www.youtube.com/watch?v=DkKxcGLpGAA
https://www.youtube.com/watch?v=cv5MrrXjQB8
e ao final reflitam juntos sobre as proporções do universo levando em consideração a ideia
de proporcionalidade estudada na lição.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema
que envolvam variação proporcional direta ou inversa entre grandezas. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com
toda a turma.
1) Atualmente, uma construtora possui 16 especialistas em assentamento de azulejos que, trabalhando 8 horas por dia, conseguem azulejar uma área de 240m2 em três dias. Um acordo
feito com o Sindicato dos Trabalhadores da Construção Civil fez com que esse profissional pudesse trabalhar apenas 6 horas por dia.
Ainda devem ser assentados 3600m2 de azulejo e a construtora pretende terminar essa tarefa
em apenas 48 dias. Para fazer isso, a construtora decide contratar mais especialistas em assentamento de azulejos.
O número de pessoas que devem ser contratadas é:
a) 4
b) 20
c) 29
d) 45
2) A razão entre o número de professores de uma cidade e sua população é
7
. Se essa ci-
1500
dade tem 3500 professores, sua população é de:
a) 7, 5 mil pessoas
212
b) 75 mil pessoas
c) 750 mil pessoas
d) 7, 5 milhões de pessoas
3)Pedro queria comprar um freezer. Ele entrou no site de um fabricante onde baixou uma tabela com informações técnicas sobre dois modelos produzidos. Infelizmente, sua conexão era
ruim e alguns valores do site não carregaram. Pedro conseguiu apenas carregar a tabela mostrada abaixo:
Modelo
Capacidade (litros)
Altura (mm)
Largura (mm)
Profundidade (mm)
Consumo de energia (kWh/mês)
Capacidade Congelamento (kg/24h)
Retenção de temperatura (horas)
H1
155
854
660
730
28
H2
170, 5
939, 4
47, 3
8, 8
30, 8
Por sorte, Pedro havia lido anteriormente no site que os dados relativos a esses dois modelos
eram proporcionais. Com isso, podemos afirmar que a soma dos valores faltosos é um número
inteiro cujo maior algarismo é:
A) 9.
B) 8.
C) 7.
D) 6.
4) Roberto correu a Maratona da Pampulha em 2008. Ele fez o percurso em 1 hora e 47 minutos.
Qual foi o tempo, em minutos, gasto por Roberto para completar essa maratona?
A) 100.
B) 107.
C) 117.
D) 147.
213
Lição 22
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados.
Conteúdo: Escalas e grandezas
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades para explorar os diferentes significados dos racionais. Mãos à obra!
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Professor ,comece a aula perguntando aos alunos COMO CALCULAR DISTÂNCIAS REAIS? Vamos imaginar que queremos calcular a distância entre as cidades de Lisboa, em Portugal e Londres na Inglaterra. Como proceder?
O 1º passo é identificar a escala utilizada para a construção do mapa: 1/21000000
Qual o significado dessa escala?
214
Vejamos, uma escala é uma razão de semelhança empregada em desenho e confecção de
mapas por exemplo.
Escala =
Desenho
Re alidade
Ou seja, é uma relação matemática entre o comprimento ou distância figurada no mapa e a
superfície real representada.
Foi utilizada a escala 1/21000000 ou 1: 21000000 =
1
Desenho

21.000.000 Re alidade
, que indica que a
cada 1cm no mapa, temos no terreno (real) 21. 000. 000 cm (= 210 km).
O 2º passo é medir, com uma régua, a distância entre as cidades de Lisboa e Londres.
Repare que, no nosso caso, temos 9 cm. Isto quer dizer que Lisboa – Londres (9cm). Podemos então, usar a regra de proporcionalidade para calcular a distância real:
1 cm
9 cm

 x = 189. 000. 000 cm = 1. 890 km
21.000.000 cm
x
Proponha que em duplas resolvam os problemas a seguir . Se você, professor, julgar que
seus alunos precisam ainda de compreenderem melhor os conceito de razão , antes de propor
as atividades abaixo discuta com eles as seguintes situações :
Exemplo 1) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:
Assunto: Escala e noção de proporção.
215
Resolução:
W Escala: 1
20
Sabendo que 1m = 100 cm.
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
O comprimento no desenho será:
500 x 1
= 500 / 20 =
20
25 cm
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.
Exemplo 2 ) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o
número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças
ficarão sem par ?
Assunto: Razão e proporção
Resolução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
x
5
45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficarão
216
sem par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
Atividade1
Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São
Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2. 000 km. Um estudante, ao
analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B,
era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de
a) 1: 250.
b) 1: 2500.
c) 1: 25000.
d) 1: 250000.
e) 1: 25000000.
Use as informações abaixo na solução das atividades 02 e 03:
Atividade 2
A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da estrada (que não aparece na
figura). Os traços perpendiculares à estrada estão uniformemente espaçados de 1 cm.
Para representar a escala de um mapa, usamos a notação 1: X, onde X é a distância real
correspondente à distância de 1 unidade do mapa. Usando essa notação, a escala do mapa
dado acima é
a) 1: 425000.
b) 1: 4250000.
c) 1: 42500000.
d) 1: 42500.
e) 1: 4250.
Atividade 3
Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado usando a escala 1: 500000. Se você fizer a figura em uma folha de papel, qual será a distância, em centímetros, entre as cidades de
Paraguaçu e Piripiri?
217
a) 38.
b) 3, 8.
c) 0, 68.
d) 6, 8.
e) 68.
Apresentamos a solução comentada das atividades para que você, professor, possa colocálas em slides no Power point e discutir a solução com seus alunos.
01) Como a distância real entre as cidades é 2. 000 km = 2. 000. 000 m e no mapa a distância é 8 cm = 0, 08 m, a escala do mapa é
0,08
1
,

2.000.000 25.000.000
ou seja, 1: 25000000.
Resposta: Letra e
02) A distância entre Paraguaçu e Piripiri é 47 – 13 = 34 km. Como entre elas existem 8 espaços de 1 cm cada. Então, a cada 1 cm do mapa corresponde à distância
000 cm, ou seja, a escala do mapa apresentado é 1: 425000.
34
 4,25
8
km
= 425.
Resposta: Letra a
02) A distância entre as duas cidades é 34 km = 3. 400. 000 cm. Usando a escala 1:
500000, teremos:
Desenho
1 cm
X
X=
Real
500. 000 cm
3. 400. 000 cm
3.400.000
 6,8
500.000
cm
Resposta: Letra d
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Os racionais também podem ser interpretados quando fazemos comparações considerando
um total de 100 unidades, as chamadas porcentagens. O objetivo da atividade agora é reconhecer a porcentagem como representação da fração. Para isso providencie o material necessário:
Cópias dos quadriculados da 2ª e da 3ª etapas e cartaz com diferentes frases em que aparecem o símbolo %.
218
1ª etapa
Com os alunos organizados em duplas, inicie a aula entregando para cada uma as figuras
abaixo:
Peça que os alunos comparem as partes pintadas e que as expressem com frações. É esperado que, na primeira situação, eles indiquem 1/2 e, na segunda, 50/100.
Enquanto os alunos resolvem a atividade proposta, percorra as duplas para observar os registros que estão sendo realizados. Observe também se há alunos que realizam a comparação
da parte pintada no primeiro quadrado com a parte pintada no segundo. Nesse caso, faça uma
intervenção pedindo que eles realizem uma nova leitura do que a atividade propõe, comparando o registro que eles fizeram com a questão proposta. Organize um momento de discussão
coletiva do resultado encontrado pelas duplas e registre-os no quadro. Questione se os registros matemáticos que se referem à comparação da parte com o todo estão representados por
um mesmo número. Peça que a garotada compare os quadrados pintados, justapondo-os. Instigue-os a explicar o que ocorre com as representações pictóricas. Observe se na explicitação
dos alunos aparece a afirmação de que, apesar da comparação das partes com o todo serem
indicadas por frações diferentes, elas se equivalem.
2ª etapa
Entregue
para
cada
aluno
uma
cópia
dos
quadrados
representados
a
seguir:
Pergunte aos alunos quais são as frações que relacionam a parte pintada, em cada quadrado,
com o todo. Em seguida, peça que comparem os registros realizados com os quadrados representados para estabelecer relações entre eles. Na conclusão desta etapa, é esperado que eles
reconheçam a equivalência entre as escritas 1/4 e 25/100.
3ª etapa
219
Disponha no quadro um cartaz com diferentes frases em que aparecem o símbolo %. Diga
que há um símbolo matemático presente em todas e pergunte se eles identificam que símbolo
é esse. Explique que o sinal % significa por cento e que porcentagem indica uma parte em
relação a 100. Pergunte como representar em porcentagem 1/100; 7/100; 40/100 etc.
4ª etapa
Exponha novamente o cartaz exibido na 3ª etapa, retome as informações sobre porcentagem e pergunte como representar a fração 25/100. Questione os alunos se 1/4 pode ser representado por 25%. Ouça as opiniões dos alunos e analise, junto com eles, cada hipótese. A
conclusão deve ser a de que é possível registrar ambas as frações como 25%, pois se equivalem.
5ª etapa
Com a turma dividida em duplas, forneça valores na forma porcentual "rasa" - por exemplo,
10%, 20% etc. - e peça aos alunos que encontrem sua representação fracionária. Lembre-se
de que eles podem apresentar diferentes registros: para 20%, 20/100, 2/10 ou 1/5. Socialize
as respostas.
Para avaliar observe se os alunos compreenderam as seguintes relações: 50% equivale a
1/2, 25% corresponde a 1/4 e 10% é equivalente à décima parte. Essas relações são fundamentais para o aprendizado de porcentagem.
Indo além
1
6
Indo além...
Para ir além sugerimos que você, professor, mostre os números racionais em outras situações, por exemplo: quando as pessoas vão se divertir, sair em grupo e fazer demais atividades com amigos e colegas, podem se deparar certas vezes com situações onde aparecem as
frações. Uma ida a pizzaria nos permite perceber como é dividida a pizza, em partes iguais,
ou seja, a pizza que é a parte inteira é dividida em outras partes denominadas partes fracionadas. Comumente a pizza é dividida em 8 partes iguais, sendo que cada parte é denominada 1/8 (um oitavo) ; nós não temos o costume de chegar a pizzaria e falar com alguém que
está a mesa "me dê 3/8 (três oitavos) de pizza". Na verdade todos nós pedimos 3 pedaços de
pizza, e nem chegamos a dizer "me dê 8/8 (oito oitavos) da pizza", pedimos logo a pizza inteira pois 8/8 quer dizer uma parte inteira.
Convide seus alunos a montarem uma peça teatral ou uma paródia de uma música popular
que apresente situações cotidianas em que as frações estejam envolvidas. Para encerrar de
forma divertida, proponha a leitura deleite e após a leitura discuta com seus alunos a situação
apresentada no “causo”
220
OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas
habilidades de exímio algebrista.
Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam
acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios, gritavam possessos, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a metade, o meu irmão Hamed
Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos. A cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha, se a terça parte e a
nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o “homem que calculava”. — Encarregar-me-ei de fazer com
justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal,
que em boa hora aqui nos trouxe.
Neste ponto, procurei intervir na questão:
— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?
— Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! — replicou-me, em voz baixa, Beremiz. —
Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão
quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo
jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três
herdeiros.
— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três irmãos — fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora, como veem, em número de 36.
E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deves receber, meu amigo, a metade 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade 36, ou
seja, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um
terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
221
E disse, por fim, ao mais moço:
— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade teu pai, devias receber uma nona parte de
35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado.
Numa voz pausada e clara, concluiu:
— Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir — partilha em que todos os três saíram lucrando — couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá
um total de 34 camelos. Dos 36 camelos sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao “bagdali” meu amigo e companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança.
— Sois inteligente, ó estrangeiro! — confessou, com admiração e respeito, o mais velho dos
três irmãos. — Aceitamos a vossa partilha, na certeza de que foi feita com justiça e equidade.
E o astucioso Beremiz — o “homem que calculava” — tomou logo posse de um dos mais
belos camelos do grupo, e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
— Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho
outro, especialmente para mim.
E continuamos a nossa jornada para Bagdá.
(Malba Tahan, Seleções - Os melhores contos – Conquista, Rio, 1963)
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção sugerimos algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a
turma.
1) Um novo relatório científico analisa o consumo de água em 405 bacias hidrográficas em todo
o mundo e descobre que a escassez de água afeta pelo menos 2, 7 bilhões de pessoas pelo
menos um mês a cada ano. Esse número é enorme, mesmo considerando que a população do
mundo é de 7, 2 bilhões de pessoas.
Isso significa que as pessoas afetadas pela escassez de água representam
3
a) 8 da população mundial. ··.
3
b) 8000 da população mundial
222
c) 9, 9 da população mundial
d) 375 da população mundial
2) (000 IT_025279) Das 15 bolinhas de gude que tinha, Paulo deu 6 para o seu irmão. Considerando-se o total de bolinhas, a fração que representa o número de bolinhas que o irmão de
Paulo ganhou é
3) A mãe de Rita utilizou 3/5 das maçãs representadas na figura, para confeccionar a torta de
maçã.
Quantas maçãs foram utilizadas
a) 12
b) 6
c) 3
d) 9
1
1
4) Dos bombons que estavam na caixa, a Rita comeu 5 e o João 3 Os restantes , Marta os comeu .
1
1
O que representa a expressão 1 − (5 + 3)?
a) A fração dos bombons que a Marta comeu.
b) A fração dos bombons que a Rita e o João comeram.
c) A fração dos bombons que a Marta e a Rita comeram.
d) A fração dos bombons que a Marta e o João comeram.
223
Lição 23
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Identificar a localização de números racionais na reta numérica.
Conteúdo: Números Racionais: localização e problemas
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Perceber os racionais como uma extensão dos inteiros e entender a ordenação nesse conjunto é fundamental para que os estudantes sejam capazes de resolver problemas e avaliar
argumentos. Essa sequência de atividades traz até você professor a possibilidade de investigar isso com seus alunos. Boa aula!
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Inicie a aula dividindo a turma em duplas e propondo que resolvam os problemas abaixo.
1) Os números a seguir se encontram entre 0 (zero) e 3:
3/7; 8/3; 4/5; 11/4; 21/35; 1 5/7; 9/5; 17/7; 14/5 e 11/9.
Localize-os na coluna correspondente:
Frações/Intervalos
Entre 0 e 1
Entre 1 e 2
Entre 2 e 3
3/7
8/3
4/5
11/4
21/35
15/7
224
Frações/Intervalos
Entre 0 e 1
Entre 1 e 2
Entre 2 e 3
9/5
17/7
14/5
11/9
2) Entre que números inteiros se localizam as seguintes frações?
47/4, 28/3, 33/7, 84/9, 9/5, 85/12, 125/10
Para resolvê-los, os alunos terão que lançar mão de seus conhecimentos sobre a localização
de frações entre inteiros. Para tanto, eles devem decompor a fração dada como sendo a adição
de frações equivalentes a números inteiros mais a fração restante. Tomemos, como exemplo, a
localização de 11/4. Este número pode ser desmembrado como 4/4 + 4/4+3/4, ou seja, 2+3/4
(Leitura: dois inteiros e 3/4), o que leva a concluir que 11/4 está entre 2 e 3. A análise dessa
estratégia pode levar a procedimentos mais simples e mais rápidos como por exemplo, a pergunta quantas vezes 4 "cabe" em 11? Isso permite expressar mais diretamente 11/4 como soma de 8/4 + 3/4.
A pergunta "quantas vezes entra? " pode ser resolvida matematicamente com uma divisão.
Na realidade, 11 dividido por 4 tem quociente 2 (os inteiros que é possível formar) e resto 3 (os
quartos que não chegam a formar outro inteiro). Este caminho articula estratégias mais "artesanais", como o procedimento de dividir o numerador pelo denominador para expressar uma
fração como número misto. Em seguida, abra espaço para discutir e socializar as estratégias
utilizadas.
É interessante observar com os alunos que o número misto permite localizar rapidamente as
frações entre dois inteiros.
Em seguida, proponha uma situação busca, isto é faça com que os alunos pense em números que atendam a uma condição. Sugerimos que encontre, se possível, os números racionais
a seguir. Se não for possível, explique o porquê:
Uma fração com denominador 3 entre 0 (zero) e 1
Uma fração com denominador 5 entre 4 e 5
Uma fração com numerador 1 entre 0 e 1
Uma fração com numerador 2 entre 1 e 2
Uma fração com numerador 2 entre 3 e 4
225
É preciso dar um tempo para turma explorar esses números, pois é possível que eles não
encontrem o resultado imediatamente. Para o primeiro caso, ao buscar frações com denominador 3, é provável que os alunos testem: 1/3; 2/3; 3/3; 4/3. É esperado que eles concluam
que não é preciso continuar, pois 3/3 é equivalente a 1 e as outras frações com denominador
3 são maiores que 1. Portanto, há 2 frações com denominador 3 entre 0 e 1.
Este problema leva os estudantes a tirar uma conclusão que se refere a um conjunto infinito:
de todas as frações com denominador 3, as únicas que estão entre 0 e 1 são 1/3 e 2/3. Proponha que anotem suas descobertas em seus cadernos e elaborem um argumento para este
tipo de situação sem a necessidade de testar caso a caso. Para localizar frações entre 4 e 5
com denominador 5, é conveniente expressar o 4 e 5 como frações com denominador 5, assim 4 é o equivalente a 20/5 e 5 é equivalente a 25/5. Os últimos números procurados são
bem mais complexos por isso você decide se irá apresentá-los à turma ou não. Em nenhum
dos casos é possível encontrar frações com as condições pedidas (por exemplo, frações com
numerador 2 entre 3 e 4, já que 2/2 é equivalente a 1 e a medida que os denominadores se
tornam maiores, a fração se distancia cada vez mais de 1).
Novamente, os alunos se veem em situação de produzir um argumento que assegure uma
conclusão sobre um conjunto infinito, já que não é possível a exploração caso a caso. Abra
um espaço para a discussão das estratégias utilizadas e peça para anotarem as conclusões.
Agora, dando continuidade a aula, proponha o exercício a seguir às duplas.
3) A seguinte lista de frações está ordenada da menor para a maior. Onde você localizaria
½? E 1e 5/7?
2/5; 4/7; 5/4; 12/8; 15/8; 19/7
Uma estratégia possível para localizar ½ dentro de uma série de frações já ordenadas é ir
comparando a primeira com cada uma das demais. A primeira fração (2/5) é menor que ½, já
que um inteiro é equivalente a 5/5. A metade de 5/5 é igual a 2/5+1/10. A fração que segue é
4/7. Pelo mesmo raciocínio, a metade de 7/7 é 3/7 + 1/14; portanto ½ se localiza entre 2/5 e
4/7.
Proponha ainda que intercalem uma fração entre cada par de números:
a) 3/5, 6/5;
b) ½, ¾;
c) 5/12, 6/12;
d) 4/5 e 1
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Agora que os alunos já localizam números racionais chegou a hora de resolver problemas
Embaralhe os problemas abaixo e faça uma disputa entre seus alunos.
Separe a turma em dois grupos: meninos e meninas.
226
Na primeira rodada do jogo:
Uma menina vai à frente, sorteia um problema e o propõe a um dos meninos à sua escolha
Ele tem 5 minutos para apresentar a solução correta. Se resolvê-lo corretamente e sozinho o
grupo dos meninos ganha 10 pontos, se pedir a ajuda aos outros colegas e acertar a solução
os eles recebem 5 pontos e se errar as meninas ganham 2 pontos. Caso as meninas apresentem a solução correta do problema, além dos 2 pontos elas recebem mais 8 pontos.
Na segunda rodada do jogo:
Um menino vai à frente, sorteia um problema e o propõe a uma das meninas à sua escolha.
Ela tem 5 minutos para apresentar a solução correta. Se resolvê-lo corretamente e sozinha o
grupo das meninas ganha 10 pontos, se pedir a ajuda às outras colegas e acertar a solução as
elas recebem 5 pontos e se errar os meninos ganham 2 pontos Caso os meninos apresentem a
solução correta do problema, além dos 2 pontos eles recebem mais 8 pontos
A brincadeira continua alternadamente até que os problemas acabem. Vence, o grupo que fizer maior número de pontos.
Problemas:
1. Numa turma do colégio, 12 alunos gostam de azul, 1/5 da turma gosta de verde e 1/2 da
turma gosta de amarelo. Calcule o total de alunos da sala.
2. Um produto foi vendido por 100 reais. Se o vendedor lucrou 1/4 do preço de custo. Calcule este lucro.
3. Numa sala, 1/3 dos alunos têm 10 anos, 1/6 têm 11 anos e 15 alunos têm 9 anos. Qual é
o número de alunos da sala?
4. Uma família tem 1/3 de homens, 1/4 de mulheres e 25 crianças. Qual o total de pessoas
da família?
5. Numa partida de Futebol, 1/4 torciam para o time A, 1/6 para o time B e 2000 pessoas
não torciam para nenhum dos dois times. Quantas pessoas assistiram ao jogo?
6. Douglas tem uma caixa de tomates. No domingo, 1/8 dos tomates da caixa estragaram;
na segunda-feira estragou 1/3 do que sobrou de domingo. Sobraram 70 tomates em boas condições. Calcule o total de tomates na caixa?
7. Junior ganhou um pacote de bolinhas. No primeiro dia perdeu 1/4 das bolinhas, no 2º dia
perdeu a terça parte do que restou e sobraram ainda 50 bolinhas. Qual o número total de bolinhas?
8. Durante uma festa, as crianças tomaram metade dos refrigerantes, os adultos tomaram a
terça parte do que havia restado e ainda sobraram 120 garrafas cheias. Qual era o total de refrigerantes?
9. A soma de dois números é 20. Calcule-os, sabendo que o número maior é 3/2 do número
menor.
10. Numa festa de aniversário há ao todo 80 garrafas de refrigerantes e suco. Sendo 3/8 das
garrafas de suco, determine o total de garrafas de refrigerantes?
227
11. Em uma reunião de um grupo de trabalho tinha 28 alunos. Determine o número de meninas, se elas representam 3/7 do total de alunos.
12. Sabendo que 3/5 da idade Roberta é 9 anos, determine a idade Roberta.
13. A soma de dois números é 40. Se o valor menor é 3/5 do maior, calcule o número maior.
14. Um número vale 3/7 de um número maior. Sabendo que a soma entre eles é 40, calcule
o menor número.
15. A diferença entre dois números é 4 e o maior é igual a 5/3 do número menor. Calcule o
número maior.
16. Se são decorridos 3/10 de um dia, que horas um relógio marcará neste momento?
17. Paulo gastou 5/7 do dinheiro que possuía em compras e lhe sobrou 400 reais. Determine a quantia que Paulo possuía antes da compra.
18. Nádia gastou 1/3 da farinha de trigo que possuía para fazer um bolo para suas amigas,
mais tarde resolveu gastar 5/8 do restante da farinha para fazer uma torta. Determine a fração
da farinha que sobrará.
19. A Professora de matemática de Aline pediu uma pesquisa informativa sobre os moradores do seu bairro. Feita a pesquisa, Aline concluiu que: 1/2 dos moradores são menores de 18
anos e 1/2 dos restantes são homens. Se as mulheres residentes nesse bairro são 130, determine o número de moradores do bairro.
20. Aline querendo renovar seu material escolar, destinou 4/5 de sua mesada para compra
destes materiais. Logo após a compra, gastou 1/2 do que gastou em material escolar na
compra de algumas revistas. Determine a fração da mesada gasta na compra de livros.
Indo além
1
6
Indo além...
Professor ,agora acesse o site
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoProfessor/matematica/condigital2/campos_numericos/n%
C3%BAmerosracionais.html e junto com seus alunos assista aos episódios 1, 2 e 3 da série
A Matemática na História .Eles apresentam situações que envolvem os números racionais.
Acompanhe a série e descubra, com o repórter Odemar Temático e sua equipe, vários contextos a respeito do surgimento dos números. Ao fim dos vídeos promova uma discussão
com seus alunos sobre a seguinte frase:
“ Os números Governam o Mundo “Essa frase é de Pitágoras Peça que cada aluno construa
um parágrafo comentando essa frase e a associando-o ao texto poema abaixo:
228
TIMTIM - LUÍS FERNANDO VERÍSSIMO
Timtim
Durante alguns anos, o tintim me intrigou. Tintim por tintim: o que queria dizer aquilo?
Imaginei que fosse alguma misteriosa medida de outros tempos que sobrevivera ao sistema métrico, como a braça, a légua, etc. Outro mistério era o triz. Qual a exata definição
de um triz? É uma subdivisão de tempo ou de espaço. As coisas deixam de acontecer
por um triz, por uma fração de segundo ou de milímetro. Mas que fração? O triz talvez
correspondesse a meio tintim, ou o tintim a um décimo de triz. Tanto o tintim quanto o
triz pertenceriam ao obscuro mundo das microcoisas. Há quem diga que não existe uma
fração mínima de matéria, que tudo pode ser dividido e subdividido. Assim como existe
o infinito para fora - isto e, o espaço sem fim, depois que o Universo acaba - existiria o
infinito para dentro. A menor fração da menor partícula do último átomo ainda seria formada por dois trizes, e cada triz por dois tintins, e cada tintim por dois trizes, e assim
por diante, até a loucura.
Descobri, finalmente, o que significa tintim. É verdade que, se tivesse me dado o trabalho de olhar no dicionário mais cedo, minha ignorância não teria durado tanto. Mas o óbvio, às vezes, e a última coisa que nos ocorre. Está no Aurelião. Tintim, vocábulo onomatopaico que evoca o tinido das moedas. Originalmente, portanto, "tintim por tintim" indicava um pagamento feito minuciosamente, moeda por moeda. Isso no tempo em que as
moedas, no Brasil, tiniam, ao contrário de hoje, quando são feitas de papelão e se chocam sem ruído. Numa investigação feita hoje da corrupção no país tintim por tintim ficaríamos tinindo sem parar e chegaríamos a uma nova concepção de infinito.
Tintim por tintim. A menina muito dada namoraria sim-sim por sim-sim. O gordo incontrolável progrediria pela vida quindim por quindim. O telespectador habitual viveria plimplim por plim-plim. E você e eu vamos ganhando nosso salário tin por tin (olha aí, a inflação já levou dois rins). Resolvido o mistério do tintim, que não é uma subdivisão nem
de tempo nem de espaço nem de matéria, resta o triz. O Aurelião não nos ajuda. "Triz",
diz ele, significa por pouco. Sim, mas que pouco? Queremos algarismos, vírgulas, zeros,
definições para "triz". Substantivo feminino. Popular. "Icterícia. " Triz quer dizer icterícia.
Ou teremos que mudar todas as nossas teorias sobre o Universo ou teremos que mudar
de assunto. Acho melhor mudar de assunto. O Universo já tem problemas demais.
- Extraído do livro Comédias para se ler na escola, de Luís Fernando Veríssimo
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar a localização de
números racionais na reta numérica. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar
aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
229
1) As garras do tamanduá-bandeira também são utilizadas para se defender dos predadores,
situação na qual o tamanduá-bandeira abraça seu predador para cravar-lhe as longas garras. É
daí que surge a expressão popular “abraço de tamanduá”. Usualmente a força de um desses
abraços é medida como 55, 1 newtons, que é uma unidade medida de força. Na reta numérica
abaixo estão representadas alguns valores para a força:
54
55
56
57
58
59
O valor 55, 1 é melhor representado pelo ponto:
A) A
B) B
C) C
D) D
2) Observe os números que aparecem na reta abaixo.
O número indicado pela seta é
(A) 0, 9. (B) 0, 54. (C) 0, 8. (D) 0, 55.
(3) (IT-005361) Quatro amigos João, Pedro, Ana e Maria, saíram juntos para fazer um passeio
pelo mesmo caminho até agora João andou 6/8 do caminho, Pedro 9/12. Ana 3/8 e Maria 4/6
os amigos que se encontraram no mesmo ponto do caminho são:
a) João e Pedro.
b) João e Ana
c) Ana e Maria
d) Pedro e Ana
d) Pedro e Ana
4) A figura abaixo mostra os pontos P e Q que correspondem a números racionais e foram posicionados na reta numerada do conjunto dos racionais.
230
Os valores atribuídos a P e Q, conforme suas posições na reta numérica abaixo são:
A) P = -0, 2 e Q = - 0, 3
B) P = -0, 3 e Q = - 0, 2
C) P = -0, 6 e Q = - 0, 7
D) P = -0, 7 e Q = - 0, 6
231
Lição 24
Eixo: Números e operações/ álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais
Habilidade: Resolver situações-problema com números naturais, envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
Conteúdo: Divisão de naturais, múltiplos e divisores
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, esta Lição apresenta uma série de atividades para desenvolver habilidades
relativas ao significado dos números naturais a partir da noção de múltiplos e divisores.
Sequência de atividades:
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Apresente aos alunos o filme disponível em www.youtube.com/watch?v=TF8WOB3Pai8
Nesse filme eles perceberão que Caio e Adelaide fizeram contagens. Para contar eles utilizaram números, pergunte aos alunos:
E vocês? Expliquem como vocês fazem contagens.
Aproveite para ampliar o debate e discuta com seus alunos os seguintes aspectos:
Números são úteis no dia a dia?
Em que momentos do dia você faz uso dos números? .
Seria possível viver sem contar?
Por que os matemáticos chamam alguns números de naturais?
Então defina Números e conjuntos numéricos explorando o problema abaixo:
Texto adaptado de “Boiada, comitivas e seus peões” de “O Estado de São Paulo” de
21/12/1952
Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tanto na chegada
quanto na saída.
232
Nesses lugares há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercada de arame, ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à
cerca, os bois vão entrando aos poucos na área cercada.
Do lado interno o condutor vai contando; em frente a ele está o marcador, peão que marca as
reses. O condutor conta 50 cabeças e grita:
-
Talha!
O marcador, com auxílio dos dedos das mãos vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde a uma talha, e da mão esquerda, cinco talhas.
Quando entre o último boi, o marcador diz:
-
Vinte e cinco talhas!
E o condutor completa:
-
E dezoito cabeças!
Isso significa 1268 bois.
Para contar os 1.268 bois de acordo com o processo descrito acima, o marcador utilizou:
a) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda.
b) 20 vezes todos os dedos da mão direita.
c) todos os dedos da mão direita apenas uma vez.
d) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez.
e) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita.
Qual seria a alternativa correta para esse problema?
Deixe que os alunos discutam o problema e só depois apresente a resolução comentando cada
alternativa . Sugerimos esta proposta de gabarito :
Resolução:
a) Falso. Se tivesse contado 20 vezes todos os da mão esquerda, seriam 25.000 bois.
b) Falso. Se tivesse contado 20 vezes todos os da mão direita, seriam 5.000 bois.
c) Falso. Se contar apenas uma vez os dedos da mão direita, seriam apenas 250 bois. Tendo a
possibilidade de contar mais outras vezes.
e) Falso. 5 vezes todos os dedos da mão esquerda é 6250 bois que já ultrapassa o valor de
1265 bois.
233
A correta: d) Verdadeiro. Todos os dedos da mão esquerda contados uma única vez é igual a
1250 bois. Para 1268 faltam 18 bois que é uma quantidade que não será contada nem na mão
esquerda e nem na direita. Será apenas anunciada pelo condutor.
Finalmente formalize o conteúdo produzindo alguns slides em power point. Segue uma sugestão para ajudá-lo na montagem dos slides:
E se todos nós tivéssemos 8 dedos nas mãos?
O sistema de numeração que utilizamos atualmente é o Sistema Decimal, o que significa dizer que cada unidade em uma casa corresponde a 10 unidades da casa imediatamente à direita. É um sistema em que o valor do algarismo utilizado, que pode variar de 0 a 9, depende
da posição em que se situa no número. Por exemplo, no número 2384, os algarismos 2, 3, 8
e 4 representam, respectivamente, 2000, 300, 80 e 4 unidades. Deste modo, podemos escrever:
2384 = 2000 + 300 + 80 + 4 = 2. 103 + 3. 102 + 8. 101 + 4. 100
No número 4238, cada algarismo tem um significado diferente do exemplo anterior: 4, 2, 3 e
8 representam, agora 4000, 200, 30 e 8 unidades, respectivamente, de modo que podemos
escrever
4238 = 4000 + 200 + 30 + 8 = 4. 103 + 2. 102 + 3. 101 + 8. 100
Muitos acreditam que este sistema foi adotado pelo homem devido ao fato de termos 10 dedos nas mãos, que eram usados na tarefa de contagem de diversas coisas. Mas se tivéssemos 8 dedos nas mãos? Como seria nosso modo de contar?
Muito provavelmente contaríamos em outro sistema, trocando a base 10 pela base 8. Os algarismos seriam apenas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 e nossa contagem seria:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, , 74, 75, 76, 77, 100, 101,
Estranho, não é mesmo?
E como podemos fazer a relação entre os sistemas mencionados? Como escrever um número, inicialmente representado na base 8, no sistema de base 10? E o processo inverso?
Mudança da base 8 para a base 10:
(2316) 8 = 2. 83 + 3. 82 + 1. 81 + 6. 80 = 1024 + 192 + 8 + 6 = 1230 (base 10)
Mudança da base 10 para a base 8:
Para escrever, por exemplo, o número 1230, que está na base 10, na base 8, devemos fazer divisões sucessivas por 8, até que esta operação não seja mais possível.
234
A partir daí, o número, na base 8, será obtido escrevendo, da direita para a esquerda , o último quociente e os restos das divisões (na ordem indicada pela seta).
1230 = (2316) 8
Estes processos podem ser usados para mudança entre o sistema decimal e um outro sistema de numeração.
Como exemplo de sistema de numeração muito utilizado, podemos citar o sistema binário
(base 2), que apresenta somente os algarismos 0 e 1, muito aplicado na área de computação.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Falando da divisão e resolvendo problemas
1) No filme apresentado na primeira aula, Caio e Adelaide tiveram que fazer grupos de gravetos, isto é fizeram uma partilha Partilhar é o mesmo que dividir. Quem partilha responde à pergunta: Quantas vezes cabe. Responda rapidamente:
a) Quantas vezes 2 cabem em 4?
b) Quantas vezes 6 cabem em 18?
c) Quantas vezes 5 cabem em nove? E 8, quantas vezes cabe em 12?
Explore com os alunos essa ideia e nesse momento defina a divisão com resto. Para isso discuta os problemas abaixo:
2. “Senhor, é impossível!” disse o sargento, atônito, para o major. “Mas por que? ” quis saber
o superior. “Tentei dispor meus soldados em duplas, mas um deles ficou sobrando. Tentei, então, dispor os soldados em grupos de três, mas um deles ficou sobrando. Tentei grupos de 4
235
soldados, de 5 soldados, de 6 soldados, mas sempre sobra 1. Não há como preparar a tropa
para o desfile. ” O superior, então, retrucou: “Mas é claro que não seria possível. Sua tropa foi
designada para desfilar em grupos de 7 soldados. Divida-os assim e nenhum deles sobrará. ”
Qual o número mínimo de soldados confiados ao sargento?
Sugerimos o comentário:
Seja n o número de soldados. Pela fala do sargento vemos que n-1 é múltiplo de 2, 3, 4, 5 e
6. Os múltiplos comuns desses números são os múltiplos de MMC (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Logo,
n-1 é múltiplo de 60. Como os múltiplos de 60 são {0, 60, 120, 180, }, n-1 é um desses valores. Logo n é um elemento do conjunto {1, 61, 121, 181, }Além disso, pela fala do major, n é
múltiplo de 7. O menor múltiplo de 7 desse conjunto é 301 e esse é o valor de n.
3. A parede da cozinha mede 5, 80 m de comprimento por 2, 20 de altura. Deseja-se recobri-la com azulejos retangulares em que a base seja o dobro da altura, colocando o maior lado do azulejo na horizontal. Qual a menor quantidade possível de azulejos deve ser utilizada
para essa tarefa se pretendemos utilizar apenas azulejos inteiros (sem quebrá-los) e qual deve ser a dimensão desse azulejo?
Sugerimos o comentário:
Se as medidas do azulejo são altura = x cm e base = 2x cm, a menor quantidade possível
de azulejos será possível quando x for o maior possível. Além disso, para não quebrar azulejos, x deve ser divisor de 220 e 2x deve ser divisor de 580, ou seja, x deve ser divisor de 290.
Logo, x = MDC (220, 290) = 10 o que faz azulejos de dimensões 10cmx20cm. Serão necessárias 29 colunas e 22 linhas de azulejos para fazer o serviço num total de 22. 29 = 638 azulejos.
Finalmente proponha que em duplas os alunos resolvam as atividades a seguir.
Atividade 1
O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada
posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
A) 2 614.
B) 3 624.
C) 2 715
236
D) 3 725.
E) 4 162.
Atividade 2
O sistema binário foi aperfeiçoado e formalizado por Leibniz, e foi fundamental para o desenvolvimento do computador e do celular. Nesse sistema, toda informação é transformada nos
números 0 e 1. No quadro, temos dois exemplos de como converter números decimais em binários.
Com base no quadro, conclui-se que o número binário 1111 é representado, na forma decimal, por:
(A) 11
(B) 13
(C) 15
(D) 17
(E) 19
Abaixo apresentamos a solução das atividades para que, caso julgue pertinente, você professor coloque-as em slides em Power Point e discuta as soluções com seus alunos.
Solução da atividade 1)
Algarismo das unidades: 4 (último algarismo ultrapassado pelo ponteiro das unidades no sentido horário)
Algarismo das dezenas: 1 (último algarismo ultrapassado pelo ponteiro das dezenas no sentido anti-horário)
Algarismo das centenas: 6 (último algarismo ultrapassado pelo ponteiro das centenas no sentido horário)
Algarismo das unidades de milhar: 2 (último algarismo ultrapassado pelo ponteiro das unidades de milhar no sentido anti-horário)
Leitura do Relógio: 2614
237
Resposta: Letra a
Solução da atividade 2)
(1111) 2 = 1. 23 + 1. 22 + 1. 21 + 1. 20 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15
Resposta: Letra c
Indo além
1
6
Indo além...
Assista com seus alunos e cante com eles a música Números, da banda Engenheiros do
Hawaii e finalize a aula perguntando para todos e para cada um o que eles fazem com os
números no dia a dia. Peça que redijam um parágrafo com suas considerações. Vale lembrar
que será apenas enfrentando a formação do leitor e do escritor como uma tarefa de todos os
professores da escola, inclusive de Matemática, que criaremos oportunidades para que todos
eles desenvolvam essas habilidades que são essenciais para que possam aprender qualquer
conceito, em qualquer tempo. Ler e escrever nas diferentes disciplinas constitui uma das chaves mais essenciais para a formação da autonomia a partir da escola.
Números
Engenheiros do Hawaii
(disponível em http://letras.mus.br/engenheiros-do-hawaii/12910)
Última edição do Guiness Book
Corações a mais de mil
E eu com esses números?
Cinco extinções em massa
Quatrocentas humanidades
E eu com esses números?
Solidão a dois
Dívida externa
Anos luz
Aos 33 Jesus na cruz
Cabral no mar aos 33
E eu. . . o que faço com esses números?
Eu. . . o que faço com esses números?
A medida de amar é amar sem medida
Velocidade máxima permitida
A medida de amar é amar sem medida
Nascimento e Silva 107
Corrientes, três, cuatro, ocho
E eu com esses números?
Traço de audiência
Tração nas 4 rodas
E eu. . . o que faço com esses números?
238
Sete vidas
Mais de mil destinos
Todos foram tão cretinos
Quando elas se beijaram
A medida de amar é amar sem medida
Preparar pra decolar
Contagem regressiva
A medida de amar é amar sem medida
Mega, Ultra, Híper, micro, baixas calorias
Kilowatts, Gigabytes. . .
E eu. . . o que faço com esses números?
Eu. . . o que faço com esses números?
A medida de amar é amar sem medida
A medida de amar é amar sem medida
Velocidade máxima permitida
A medida de amar é amar sem medida
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema
com números naturais, envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação). ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar
aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Na agricultura orgânica não é permitido o uso de substâncias que coloquem em risco a saúde humana e o meio ambiente. Não são utilizados fertilizantes sintéticos solúveis agrotóxicos e
transgênicos. O Brasil, em função de possuir diferentes tipos de solo e clima, uma biodiversidade incrível aliada a uma grande diversidade cultural, é sem dúvida um dos países com maior
potencial para o crescimento da produção orgânica.
Rafael colheu 3 dúzias de morangos orgânicos para completar as 84 dúzias que foram encomendadas pelo supermercado. Quantos morangos Rafael mandou para o supermercado?
a) 36
b) 84
c) 972
d) 1008
2) A poluição do ar é a principal preocupação entre ambientalistas e conservacionistas. Centenas de leis visam reduzir esse fenômeno e minimizar os seus efeitos. Além disso, os herboristas têm criado inúmeras soluções de desintoxicação e limpeza para curar o corpo contra os
danos causados pela poluição. Médicos e pesquisadores descobriram várias doenças que pa-
239
recem ser causadas ou, pelo menos, agravadas por esse fenômeno, como asma, doença pulmonar obstrutiva crônica e enfisema.
Vários alunos de uma escola ficaram doentes e não puderam ir à aula. Eles tiveram asma, doença que provoca uma grande dificuldade em respirar. A escola registrou quantos alunos tiveram asma nos últimos três anos e montou o quadro:
Ano
Quantidade alunos com asma
2010
15
2011
27
2012
38
Como você pode ver a quantidade de alunos com asma aumentou a cada ano. Analisando a
tabela, verificamos que:
a) de 2010 para 2012 ocorreu um aumento de 23 casos
b) de 2010 para 2012 ocorreu uma diminuição de 12 casos
c) em 2011 ocorreu o dobro de casos de 2010
d) em 2010 ocorreu a metade dos casos de 2012
3) Você sabe para onde vai seu lixo? Em geral, quando colocamos o lixo na rua para o lixeiro
recolher, não nos preocupamos com seu destino. No Brasil, o lixo pode ser levado, basicamente, para dois locais possíveis: um lixão ou um aterro sanitário.
Em um lixão não há nenhuma preparação anterior do solo. Não há nenhum sistema de tratamento de efluentes líquidos. O chorume (líquido preto que escorre do lixo), penetra na terra
levando substâncias contaminantes para o solo e para o lençol freático. Moscas, pássaros e
ratos convivem com o lixo livremente e, pior ainda, nele crianças, adolescentes e adultos catam
comida e materiais recicláveis para vender. No lixão o lixo fica exposto.
Em um aterro sanitário, antes de iniciar a disposição do lixo, o terreno foi preparado com o nivelamento de terra e com o selamento da base com argila e mantas de PVC, extremamente
resistentes. Dessa forma, com essa impermeabilização do solo, o lençol freático não será contaminado pelo chorume. Este é coletado através de drenos, encaminhados para o poço de
acumulação de onde, nos seis primeiros meses de operação, é recirculado sobre a massa de
lixo aterrada. Depois desses seis meses, quando a vazão e os parâmetros já são adequados
para tratamento, o chorume acumulado será encaminhado para a estação de tratamento de
efluentes. Além disso, há a cobertura diária do lixo, não ocorrendo a proliferação de vetores,
mau cheiro e poluição visual.
O Brasil aprovou uma lei que obriga que, até agosto de 2014, todo o lixo recolhido seja depositado em aterros sanitários, terminando com os lixões. Será difícil cumprir essa lei. Dados do
IBGE mostram que, dos 1792 municípios do nordeste brasileiro, apenas 94 possuem aterros e,
240
mesmo assim, alguns são operados de forma inadequada. Há, ainda, 1580 lixões naquela região.
Construir um aterro sanitário não é barato, custa, aproximadamente, 250 mil reais. Observe
que, se for construído um aterro sanitário para cada dois lixões no nordeste, o total de reais
gasto será de, aproximadamente,
a) 200 mil reais.
b) 400 mil reais.
c) 200 milhões de reais.
d) 400 milhões de reais. ·.
4) Quando viajamos é comum encontrarmos mensagens como essas nos hotéis:
“Salve nosso planeta. Estimado hóspede: A cada dia, toneladas detergente e milhões de litros
de água são consumidos para lavar toalhas que foram usadas uma só vez. A decisão é sua.
Toalha no toalheiro significa: vou usá-la outra vez. Toalha no piso significa: favor deixar nova
toalha”.
Num hotel, a cada dois dias sem trocar toalhas, o hóspede ganha 3 toalhas de rosto como
brinde. O número de dias necessários para ficar sem trocar toalhas para ganhar 6 toalhas de
rosto é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
241
Lição 25
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
Conteúdo: Números inteiros e reta numérica, MDC e MMC
Duração:3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades para familiarizar seus alunos com o conceito de números inteiros, entendendo-o como uma expansão
dos números naturais e utilizando os conceitos de múltiplos e divisores para resolver problemas.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Comece a aula propondo aos alunos a seguinte situação mas não se esqueça deixar em
um canto jornais e revistas e panfletos para que posteriormente possam ser consultados.
Um termômetro foi colocado na cidade Campos do Jordão e marcou dez graus acima de zero durante o dia e um grau abaixo de zero durante a noite. Como podemos representar as
temperaturas registradas nesta cidade, utilizando símbolos e algarismos matemáticos?
Com essa situação, pretende-se que os alunos discutam e utilizem os conhecimentos que possuem em sua experiência cotidiana (ao ver noticiários, previsões do tempo, jornais, etc. ) e verifiquem a necessidade da utilização dos
símbolos matemáticos + (para números positivos) e - (para números negativos). Ou seja, trata-se de um levantamento dos conhecimentos prévios dos
alunos sobre a utilização dos números negativos.
Durante a discussão observe as respostas e abra a discussão entre todos os alunos, solicitando que cada um diga a forma de representação que utilizou. O Professor então anotará as
representações no quadro e em seguida discutirá com a classe qual seria a forma mais adequada.
242
Continue a aula promovendo uma pesquisa e troca de informações entre os alunos Peça para
que os alunos (em grupos) pesquisem em jornais e revistas outras situações de utilização dos
números negativos.
Após a pesquisa, os alunos deverão registrar através de colagem ou ilustração em cartolina,
as situações pesquisadas.
Em seguida, cada grupo apresentará para a classe o resultado de sua pesquisa e explicará a
utilização dos números negativos em cada situação.
Exemplos de situações que podem ser selecionadas pelos alunos: manchetes indicando queda na bolsa de valores, tabelas ou gráficos que contenham números negativos, etc.
Pretende-se com esta atividade que os alunos se familiarizem com a necessidade da utilização dos números negativos.
Finalmente, proponha a resolução de problemas individualmente.
Traga para a sala situações-problema a serem resolvidas utilizando a representação dos números negativos ou jogos que possam explorar esses números.
Use por exemplo:
Imagine que uma pessoa tem R$500, 00 depositados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$200, 00
2º saque: R$100, 00
3º saque: R$300, 00
Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?
Possíveis soluções para esta situação-problema:
- Descontar ou contar pra trás. Isto é, ir diminuindo a cada saque: após o primeiro saque restam R$300, 00 na conta, após o segundo saque restam R$200, 00 na conta e após o terceiro
saque, o saldo fica negativo em R$100, 00. Ou seja, o saldo no bando será de -R$100, 00.
Ou, jogue com os alunos o Pega-varetas. Confeccione o jogo com os alunos
Material necessário
Palitos de dente ou de churrasco ou varetas de pipa, cortando-as em comprimentos iguais
(cerca de 25cm)
Tinta guache das cores amarela; vermelha; azul; preta
243
Modo de fazer
Pinte os palitos com as cores indicadas. Pronto comece a brincar.
Distribuirá os jogos para os grupos, porém mudará os valores de cada vareta, por exemplo:
amarelas valem -10 pontos, vermelhas valem -5, azuis valem 1, verdes valem 5 e o preto vale
10. O objetivo é somar as varetas que cada um retirar da mesa. Ganha quem obtiver o maior
número positivo ou o menor número negativo.
Os valores de cada vareta e as regras podem ser alterados de acordo com o aprendizado
da turma.
Com este jogo, pretende-se que os alunos aumentem sua compreensão e operacionalizem,
através da adição e subtração, os números negativos e de forma divertida se sintam motivados a explorar ainda mais o conjunto dos número inteiros.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Vamos ampliar a habilidade desenvolvendo uma tarefa em 3 etapas ou momentos.
1º momento: Discussão com a classe:
Faça a seguinte pergunta para a classe: De acordo com as atividades desenvolvidas até
agora, os números naturais (inteiros positivos) são suficientes para expressar todas as situações do cotidiano?
O Professor explicará que o conjunto dos números positivos e negativos é chamado de
Conjunto dos Números Inteiros (Z) como eles já haviam aprendido no sétimo ano e fará uma
revisão desse conteúdo.
2º momento: Proponha uma seleção desafios com números inteiros.
Sugerimos um desafio por grupo e que todos os grupos tenham a oportunidade discutir com
toda a turma a sua solução.
1) Na reta numérica da figura abaixo, o ponto E corresponde ao número inteiro -9 e o ponto
F, ao inteiro -7.
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará
(A) sobre o ponto M.
(B) entre os pontos L e M.
(C) entre os pontos I e J.
(D) sobre o ponto J.
244
2) Em uma loja de informática, Paulo comprou: um computador no valor de 2200 reais, uma
impressora por 800 reais e três cartuchos que custam 90 reais cada um. Os objetos foram pagos em 5 parcelas iguais. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a
(A) 414.
(B) 494.
(C) 600.
(D) 654.
3) Imagine que uma pessoa tem R$500, 00 depositados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$200, 00
2º saque: R$100, 00
3º saque: R$300, 00
Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques? .
00, 00.
4) O esquema acima representa a rua onde Elvira mora.
a) Certo dia Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto:
Foi até o correio mandar uma carta para sua amiga e em seguida foi assistir à missa. Comeu
um lanche na padaria após a missa, foi ao banco pagar uma conta e foi buscar sua filha na escola, pararam na praça para tomar um sorvete e foram para casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?
b) Saindo da casa de Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400 m para a direita, 300 m para a esquerda, 500 m para a direita, 300 m para a esquerda e 100 m para a esquerda. Em que local você parou da reta?
245
Um conceito importante envolvendo os inteiros é o conceito de múltiplos e divisores, amplie
ainda mais a habilidade seus alunos resolvendo problemas que envolva o M. D. C e o M. M.
C entre dois inteiros Siga como suporte o texto abaixo que sugere duas situações cotidianas,
são elas:
A Conta da Solidariedade
Uma ONG arrecadou, em uma campanha de doação de roupas, 1260 camisas, 1680 calças, 2100 casacos e 2520 pares de meia. A organização decidiu separar estas peças em kits,
todos com a mesma composição (cada tipo de peça é distribuído igualmente por todos os
kits). Qual a quantidade máxima de kits que esta ONG pode montar para a campanha?
A Sintonia dos Sinais de Trânsito
Em uma avenida, dois sinais de trânsito, separados por uma quadra, abrem juntos em um
determinado momento. Um deles permanece 40 segundos aberto e 20 segundos fechado,
enquanto o outro permanece 35 segundos aberto e 15 segundos fechado. Depois de quanto
tempo estes dois sinais voltarão a abrir no mesmo instante?
Estas duas situações-problema apresentadas podem ser resolvidas usando os conceitos de
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM e MÁXIMO DIVISOR COMUM entre dois números naturais, que
resumimos a seguir.
Mínimo Múltiplo Comum (M. M. C. ) :
É o menor múltiplo comum positivo entre dois números.
Exemplo: Calcular o m. m. c. entre 12 e 18.
Múltiplos de 12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, }
Múltiplos de 18 = {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126}
Múltiplos comuns entre 12 e 18 = {0, 36, 72, 108, }
 m. m. c. (12, 18) = 36
No caso de números maiores, fazer a enumeração dos múltiplos para a determinação do m.
m. c. pode não ser tarefa fácil. Mostramos a seguir alguns métodos para determinar o mínimo
múltiplo comum entre dois números.
Método da Fatoração Simultânea:
Exemplo: Determinar o m. m. c. entre 30 e 54.
246
Método da Fatoração Isolada:
Após fatorar cada um dos números, o mínimo múltiplo comum entre eles será composto pelos
fatores primos comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.
Exemplo: Determinar o m. m. c. entre 120 e 252.
120 = 23 x 31 x 51 ; 252 = 22 x 32 x 71 m. m. c. (120, 252) = 23 x 32 x 51 x 71 = 2520
Máximo Divisor Comum (M. D. C. ) :
É o maior divisor comum positivo entre dois números.
Exemplo: Calcular o m. d. c. entre 12 e 18.
Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores comuns entre 12 e 18 = {1, 2, 3, 6}
 m. d. c. (12, 18) = 6
No caso de números maiores, fazer a enumeração dos divisores para a determinação do m.
d. c. pode não ser tarefa fácil. Mostramos a seguir alguns métodos para determinar o máximo
divisor comum entre dois números.
Método da Fatoração Simultânea:
Fatora-se simultaneamente os números até que não exista mais fator primo comum.
Exemplo: Determinar o m. d. c. entre 120 e 168.
247
Método da Fatoração Isolada:
Após fatorar cada um dos números, o máximo divisor comum entre eles será composto pelos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.
Exemplo: Determinar o m. d. c. entre 120 e 252.
120 = 23 x 31 x 51 ; 252 = 22 x 32 x 71 m. d. c. (120, 252) = 22 x 31 = 12
Método das Divisões Sucessivas:
Divide-se o maior dos números pelo menor e, a partir daí, divide-se, sucessivamente, o divisor pelo resto até encontrarmos resto zero. O último divisor será o m. d. c. procurado.
Exemplo: Determinar o m. d. c. entre 84 e 490.
Vamos resolver os problemas propostos no início desta aula. No caso da campanha de roupas, se as 1260 camisas serão divididas igualmente entre os kits, a quantidade kits deverá
ser um divisor natural de 1260. Analogamente, esta mesma quantidade deverá ser divisor
natural de 1680, 2100 e 2520. O maior número possível de kits será, então, o máximo divisor
comum entre 1260, 1680, 2100 e 2520:
1260 = 22x32x51x71 ; 1680 = 24x31x51x71 ; 2100 = 22x31x52x71 ; 2520 = 23x32x51x71
m. d. c. (1260, 1680, 2100, 2520) = 22 x 31 x 51 x 71 = 420
Concluímos, então, que a quantidade máxima de kits que esta ONG pode montar para a
campanha é igual a 420.
Quanto aos sinais de trânsito, temos que um deles abre de 40 + 20 = 60 em 60s, enquanto
o outro abre de 35 + 15 = 50 em 50s. Dessa forma, o primeiro abre nos instantes que são
248
múltiplos de 60s, enquanto o outro abre nos instantes que são múltiplos de 50s. Eles abrirão
juntos pela primeira vez no instante equivalente ao menor múltiplo comum entre 60 e 50:
60 = 22 x 3 x 5 ; 50 = 21 x 52 m. m. c. (60, 50) = 22 x 3 x 52 = 300
Concluímos, então, que os dois sinais voltarão a abrir no mesmo instante pela primeira vez
após 300s = 5min.
Agora proponha que em duplas os alunos resolvam os problemas a seguir:
Atividade 1
Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2, 4min, 2, 0min e 1, 6min
para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após
algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta MAIS VELOZ estará completando
a) 10 voltas.
b) 12 voltas.
c) 15 voltas.
d) 18 voltas.
d) 20 voltas.
Atividade 2
A editora do livro "Como Se Sair Bem no ENEM" recebeu, das livrarias Boa Leitura, Livro
Amigo e Magia dos Livros, os seguintes pedidos:
Livraria
Quantidade Exemplares
Boa Leitura
1300
Livro Amigo
1950
Magia dos Livros
3900
A editora deseja remeter os três pedidos empacotes iguais (mesma quantidade livros), de tal
forma que a quantidade total de pacotes seja a menor possível. Esta quantidade mínima de
pacotes é igual a
249
a)
b)
c)
d)
e)
10.
11.
13.
20.
26.
Atividade 3
Uma escola recebeu do governo uma verba de R$1. 000, 00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados.
Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$0, 65, enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$0, 65, um de R$0, 60 e um de
R$0, 20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$0, 65 foram comprados?
a) 476
b) 675
c) 923
d) 965
e) 1. 538
Segue para lhe ajudar, Professor, a solução comentada dos itens propostos:
1. Os três corredores voltam a se encontrar pela primeira vez após um tempo, em minutos,
igual à décima parte do m. m. c. entre 24, 20 e 16.
24 = 23 x 31 ; 20 = 22 x 51 ; 16 = 24 m. m. c. (24, 20, 16) = 24 x 31 x 51 = 240
 eles voltarão a se encontrar pela 1ª vez após 24min, quando o mais veloz estará completando 24 = 15 voltas.
1, 6
Resposta: Letra c
2. Seja n a quantidade livros em cada pacote. Como 1300 livros, referentes ao pedido da
livraria Boa Leitura, serão divididos em grupos de n livros cada, n deverá ser divisor natural
de 1300. Analogamente, n deverá ser divisor natural de 1950 e 3900. Como queremos minimizar a quantidade pacotes, devemos maximizar a quantidade n de livros em cada pacote, ou
seja, n deve ser o MÁXIMO DIVISOR COMUM entre 1300, 1950 e 3900.
1300 = 22 x 52 x 131 ; 1950 = 21 x 31 x 52 x 131 ; 3900 = 22 x 31 x 52 x 131
250
 m. d. c. (1300, 1950, 3900) = 21 x 52 x 131 = 650, que representa a quantidade máxima de
livros em cada pacote.
O número mínimo de pacotes será igual a
1.300  1.950  3.900
650
= 11 pacotes
Resposta: Letra b
03) 1º tipo  R$ 0, 65
2º tipo  R$ 0, 65 + R$ 0, 60 + R$ 0, 20 = R$ 1, 45.
500 folhetos do 2º tipo  500  R$ 1, 45 = R$ 725, 00
Restaram 1000-725 = 275 reais que deram para enviar
275
 423,07 , ou seja, 423 folhetos
0,65
do 1º tipo.
Total de selos de R$ 0, 65 comprados: 500 (para o 2º tipo) + 423 (para o 1º tipo) = 923 selos
Indo além
1
6
Indo além...
Feche a semana assistindo com seus alunos o vídeo que apresenta o contexto no qual são
mencionados os números negativos. O vídeo trata da questão do aquecimento global e suas
consequências.
Fig. 1 - Gelo e temperaturas negativas em destaque na reportagem.
251
Pesquisa no Ártico sobre o aquecimento global .Objeto de aprendizagem disponível
em:
http://portaldoProfessor.mec.gov.br/storage/recursos/14334/artico.flv
Convide-os a fazer um documentário sobre o tema com a ajuda do Professor de ciências e
para isso podem acesse outros dois sites:
http://www.waterfootprint.org/?page=files/home
e
http://www.calculadoracarbono-cgd.com/
Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar a localização de
números inteiros na reta numérica. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar
aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Uma bola de futebol, feita de material reciclado, custa 36 reais. Depois de tê-la comprado
João ficou com 144 reais. Nesse caso podemos dizer que antes da compra João possivelmente teria em dinheiro uma quantia que ao ser representada na reta numérica abaixo estará entre
100
150
190
220
235
A) 100 e 150
B) 150 e 190
C) 190 e 220
D) 220 e 235
252
2) A figura representa uma parte de uma reta numérica. Observe.
Nessa figura, qual é o número correspondente ao ponto A?
a) -25
b) -20
c) -4
d) 20
e) 25
3) No mês de Julho, foram registradas as temperaturas mais baixas do ano nas seguintes cidades:
A representação correta das temperaturas registradas nas cidades X, Y e Z, na reta numerada
é:
253
4) Afigura seguinte representa uma rodovia e cada intervalo corresponde a 50 km. Ela nos
mostra a posição de dois carros em relação a uma cidade C situada no zero da reta.
Responda, considerando o sentido positivo de C para A, usando números inteiros a distância
entre os carros A e B nesse instante é:
a) 150etros
b) 200 metros
c) 300 metros
d) 450metros
254
Lição 26
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens”, como décimos,
centésimos e milésimos.
Conteúdo: Números decimais
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades cujo objetivo primordial é elevar o desempenho dos alunos com a utilização dos números decimais. Para
isso propomos um levantamento prévio do que eles entendem por esses números e apresentamos uma série de problemas que explora as operações com os decimais.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Providencie o material necessário e inicie o trabalho com números decimais com atividades
envolvendo a composição e decomposição de valores utilizando moedas e o registro dessas
quantidades. Isso promove a mobilização dos conhecimentos prévios dos alunos sobre a escrita de números decimais a partir de um contexto social. Esse ponto de partida para o desenvolvimento desse trabalho permite que a garotada realize antecipações e controles sobre os cálculos, além de promover uma diversidade procedimentos que colaboram para incrementar o
repertório da turma. Proponha, então, que em duplas os alunos resolvam o seguinte problema:
"Utilizando moedas, como as que se encontram logo abaixo, escreva três maneiras diferentes
de compor 3, 65 reais. Para isso, você pode usar várias moedas de um mesmo valor".
Peça que os estudantes resolvam individualmente o seguinte problema: "Registre três maneiras diferentes de compor R$ 0, 87 e R$ 2, 08". A intenção é que façam uma primeira análise da
escrita de números decimais.
Para os alunos aprofundarem a análise da escrita decimal, apresente a eles o seguinte problema: quantas moedas de R$ 0, 10 são necessárias para compor os seguintes valores:
a) R$ 1
b) R$ 0, 80
c) R$ 2, 20
255
d) R$ 12, 50
e) R$ 4, 25
Perguntes a eles:
a) Vocês sabem o que é um número decimal?
b) Existem diferenças nas operações com números naturais e com números decimais?
c) Em seu dia a dia, vocês utilizam números escritos com vírgulas? Em quais situações?
d) Qual a relação que existe entre números decimais e números fracionários?
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Para finalizar, proponha uma série de problemas que os alunos devem resolver em grupos
de 4 ou 5 pessoas obedecendo às seguintes condições:
Entenda o problema
Construa uma estratégia de resolução
Execute a estratégia
Revise e verifique se a solução encontrada realmente atende ao problema
Mãos à obra!
3) No esquema a seguir está indicada a distância de A até B e a distância de B até C, em
centímetros. Calcule a distância de A até C.
7,09
2,91
256
Veja as distâncias, em quilômetros de Vila Antonieta a Brejo Alegre e a distância de Vila Antonieta a Cravolândia. Observando os dados, descubra a distância de Brejo Alegre a Cravolândia.
6,95
9,1
4) O gráfico mostra a venda de veículos de uma indústria fictícia, em determinado período
de tempo.
Venda de veículos (em mil unidades)
a) Em qual mês desse período a venda de veículos foi maior?
___________________________________________________________________________
b) Em março de 2007 foram vendidos mais veículos do que em agosto de 2007. Quantos veículos a mais?
c) Qual o total de veículos vendidos nos cinco últimos meses de 2006?
d) Calcule o total de veículos vendidos por essa indústria nos cinco primeiros meses de 2007.
257
5) A balança está em equilíbrio. Que número decimal devemos colocar no lugar da interrogação?
6) João tem R$ 84, 30. Pedro tem R$ 31, 50 a mais que João, e José tem R$ 54, 25 a mais
que Pedro. Quanto têm os três juntos?
7) O preço à vista de um automóvel é R$ 21 335, 00. O mesmo automóvel a prazo custa
R$ 4 740, 50 de entrada, mais 6 prestações de R$ 3 567, 75. Qual a diferença entre o valor
total da compra à vista e a prazo?
8) Calcule e responda:
a) Em 1º de março de 2010, um dólar valia R$ 2, 66. Se nessa época você comprasse 75
dólares, quantos reais você gastaria?
b) Em 13 de outubro de 2011, um dólar valia R$ 1, 72. Quanto estaria valendo os 75 dólares
que você comprou 1 ano e sete meses atrás?
c) Se você tivesse comprado os 75 dólares como investimento, você teria ganhado ou perdido dinheiro? Quanto?
9) Um certo número de caixas foi colocado em uma balança. Todas as caixas têm o mesmo peso: 1, 5 quilograma. Se a balança marcou 24 quilogramas, quantas caixas foram colocadas na balança?
258
10) Um número A é tal que expressa o resultado da divisão de 45 por 0, 36. Qual é o número
A?
11) No colégio onde estudo foi feita uma pesquisa para saber o meio de transporte utilizado
pelos alunos para chegar à escola. Responderam à pesquisa 2 000 alunos. Os resultados em
forma de porcentagem foram organizados em um gráfico.
Meio de transporte
Quantos dos entrevistados responderam:
a) ônibus?
b) automóvel?
c) bicicleta?
d) a pé?
12) Uma loja de eletrodomésticos está fazendo a seguinte promoção: ganhe 25% desconto e
pague em 4 prestações iguais. Pretendo comprar nessa loja o forno e a TV que estão indicados
ao lado. Quanto vou pagar de prestação?
259
13) Segundo especialistas, em média, 25% do consumo de energia elétrica de uma residência deve-se ao chuveiro elétrico. A última conta de energia elétrica da casa de Bia deu R$
120, 25. Bia resolveu instalar equipamentos de capitação de energia solar para alimentar o
chuveiro. Com isso, não teria ônus com o consumo de energia, apesar do custo inicial da instalação. Qual a economia financeira que Bia vai ter na sua conta de energia elétrica?
14) Uma pessoa comprou uma dúzia de enfeites. Pagou R$ 18, 24 pela compra. Quanto
pagou em cada enfeite?
15) Para cobrir um piso de 8 metros quadrados foram usadas 32 lajotas de mesma área.
Qual a área, em metros quadrados, de cada lajota?
Indo além
1
6
Indo além...
Para ampliar o estudo do tema sugerimos que os alunos assistam ao vídeo retirado do DVD
ESCOLA de Matemática do Ministério da Educação:
http://tvescola.mec.gov.br/asinvestigacoesatematicas/decimais e em seguida proponha as
ações estabelecidas no quadro abaixo.
260
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção sugerimos algumas questões, com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Reconhecer as representações
decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens”, como décimos, centésimos e milésimos. ”. Estas questões
servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou
com toda a turma.
1) Passear com o cachorro é importante, tanto para saúde, quanto para a mente do animal. É
preciso que durante o passeio, os donos sejam conscientes dos seus deveres e levem saquinhos para recolher as fezes de seus animais. Há sacolinhas higiênicas 100% biodegradáveis
para recolhimento de fezes. Elas levam apenas 18 meses para se decompor na natureza, degradando-se também em qualquer situação, desde que em contato com oxigênio.
Márcia foi ao Pet Shop e encontrou a tabela de preços abaixo.
261
PREÇOS (R$)
SABONETE
Shampoo
Sacolinhas biodegradáveis
PEQUENO
1, 80
2, 40
4, 00
MÉDIO
2, 80
4, 40
5, 00
GRANDE
4, 00
6, 00
8, 50
Como possuía apenas uma nota R$ 10, 00 ele comprou um sabonete, um Shampoo e um pacote de sacolinhas, todos pequenos. Podemos garantir que Márcia recebeu de troco
a) R$ 2, 80
b) R$ 3, 20
c) R$ 3, 80
d) R$ 7, 20
2) No Dia das Mães, Mariana, que mora em Boston, fez uma ligação telefônica usando um telefone fixo para sua mãe aqui no Brasil, pagando a tarifa normal, e falou por 15 minutos. Se Mariana utilizasse o celular, sua operadora estava oferecendo a seguinte promoção: fale por até
45 minutos e pague por minuto a metade do valor cobrado pelo minuto por qualquer operadora
de serviço fixo. Mariana pagou US$ 12, 90 por sua ligação e um dólar está cotado a R$ 1, 60.
Se Mariana tivesse usado o telefone celular, teria pago, em reais,
A) 4, 03.
B) 8, 06.
C) 10, 32.
D) 20, 64.
2) Leia esta informação sobre a cotação do Dólar fornecida pelo Banco Central do Brasil. A tabela indica os valores em reais que são praticados por uma casa de câmbio para vender e
para comprar dólares.
262
Disponível em: http://www4.bcb.gov.br/pec/taxas/batch/taxas.asp?id=txdolar. Acesso em: 23
nov. 2013.
3) Se essa casa de câmbio vende 40 dólares para uma pessoa que dispõe de 100 reais, é possível afirmar que
(A) não será possível fazer a transação, pois faltará R$1, 61.
(B) não será possível fazer a transação, pois faltará R$ 0, 06.
(C) será possível fazer a transação e sobrará R$ 8, 38.
(D) será possível fazer a transação e sobrará R$ 8, 35.
4) Pesquisas confirmam o aumento da temperatura média do planeta. O aquecimento global é
uma consequência das alterações climáticas ocorridas por causa do aumento da emissão dos
gases de efeito estufa. O aumento da temperatura que já foi registrado em quase 1 grau Celsius (ºC), pode parecer insignificante, mas é suficiente para modificar todo clima de uma região
e afetar profundamente a biodiversidade, provocando desastres ambientais. Abaixo temos a
média de temperatura de duas cidades brasileiras
Cidade
Altitude
Latitude
Vitória
Belo Horizonte
2m
852m
20º10’C
19º56’C
Média
anual
24, 4ºC
21, 5ºC
térmica
A diferença de temperatura entre essas cidades é um número que, se colocado na reta numérica abaixo, estará melhor representado pelo ponto
A) A
trabalha com as latitudes
B) B
não realiza operações com decimais
C) C
resposta correta
D) D
desconsidera a parte decimal nas temperaturas
263
Lição 27
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade: Resolver situações-problema com números racionais, envolvendo as operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
Conteúdo: Operações com racionais
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades que utiliza
a resolução de problemas como instrumento para desenvolver as habilidades básicas das
operações com frações. Aproveite e permita que seus alunos se expressem tanto por escrito
quanto oralmente.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Caro professor, as operações com as frações representadas pela forma p/q, q ≠ 0 merecem
a seguinte reflexão:
Com a popularização das calculadoras, as operações com os racionais se restringem ao
uso da sua representação na forma de número decimal. Na maioria das situações cotidianas
o uso da representação decimal é suficiente. Porque, então, no ensino fundamental, estudar
as operações com a representação na forma p/q?
Três argumentos a favor dessa opção são resumidamente:
- o fato de que, muito embora a representação decimal facilite os cálculos ela esconde, para
os iniciantes, os significados explicitados pela representação p/q.
- As justificativas para as regras operatórias na forma decimal ficam mais compreensíveis se
sustentadas pelas operações com os números escritos na forma p/10 n.
- As operações com racionais que são dízimas periódicas quando feitas pelas calculadoras
dão resultados aproximados.
Diante dessa reflexão o recomendável é que o Professor seja comedido na proposição de
exercícios de operações com racionais na forma p/q e dedique mais atenção às operações
com as representações decimais sem descuidar, ao introduzi-las, das correspondentes justificativas.
Decorre, do que foi dito, a relevância de se insistir na conversão de frações em números
decimais e vice-versa.
Uma estratégia que pode ser interessante para que os alunos do fundamental percebam as
questões acima discutidas é escolher problemas, de preferência contextualizados, cuja reso264
lução se torne mais ou menos trabalhosa dependendo da forma de representação (decimal ou
fracionária) escolhida para as operações correspondentes.
Então para explorar esse assunto convide os alunos a elaborarem problemas, isto é:
Apresente aos alunos 20 cenários que possibilitem a criação de um problema, em imagens
coloridas e plastificadas, no tamanho de uma folha A4, de situações diversas, para que eles
escolham qualquer uma para elaborar uma situação problema que envolva frações Eles podem
escolher o tipo de problema, bem como as operações envolvidas.
Num segundo momento, oriente-os a elaborar a resposta para o problema proposto em uma
folha à parte.
Num terceiro momento, os problemas elaborados devem ser misturados e cada um Resolverá
dois problemas propostos por outro colega.
Ao final, retorne os problemas e as soluções ao aluno responsável pela elaboração para discussão e comparação das respostas.
Importante ressaltar que nem todas as situações apresentavam números ou valores que direcionassem os alunos a um tipo de situação. Escolha imagens como um bolo dividido em pedaços\, uma tabela de um salão de beleza, um estacionamento com alguns carros agrupados por
cor, atletas disputando uma corrida, frutas soltas, etc.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Agora é preciso criar procedimentos de cálculo, por isso nada melhor que estabelecer um
bom trabalho em grupo. Divida a turma em cinco grupos e para cada grupo entregue 5 atividades diferentes Cada grupo resolve uma atividade e passa a sua folha de problemas para o grupo imediatamente à sua direita. Na segunda rodada cada grupo resolve o segundo problema
da lista que está em suas mãos naquele momento, corrigi o problema resolvido na lista que
recebeu e de novo passa a lista para o grupo imediatamente à sua direita O procedimento se
repete até que todos os problemas sejam resolvidos e corrigidos. Abaixo seguem alguns problemas para que você, professor, selecione aqueles\ que melhor se ajustarem à sua realidade.
São problemas de diferentes níveis de complexidade. Lembre-se que para seus alunos desenvolva competências é necessário que ele tenha acesso aos diferentes níveis de complexidade
uma habilidade por isso forme listas com problemas variados e de nível fácil, médio e difícil Coloque em cada lista um problema muito difícil.
Problemas
Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de
água. Qual é a capacidade total deste reservatório?
Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$
128, 00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?
265
Dos frascos de xampu utilizados mensalmente por uma família, a mãe consome 7/9 de um
frasco, a filha caçula consome 1/3 de um frasco e a mais velha consome 3/5 de um frasco,
sendo que do total de mililitros ainda sobram 260 ml não consumidos. Visto que elas utilizam
a menor quantidade necessária de frascos, qual é a capacidade em mililitros de cada frasco
de xampu?
Meus dois sobrinhos me visitaram neste final de semana e lhes dei 4/5 dos doces que eu
possuía em casa. Um ganhou 10 doces e outro ganhou 7/12 dos doces que eu dei. Quantos
doces eu deixei de dar?
Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um
outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?
Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria
possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125, 00 que
faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?
Para transportar uma determinada carga, um caminhão A precisa de quatro viagens e um
caminhão B precisa de cinco viagens. Trabalhando em conjunto com um caminhão C, eles
conseguem transportar a carga em apenas duas viagens. Quantas viagens o caminhão C
precisaria para transportar esta carga sozinho?
Um feirante vendeu metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou, a R$ 2, 00 a
dúzia. Dois terços da outra metade vendeu a R$ 1, 50 a dúzia e o restante vendeu a R$ 1, 00
a dúzia. Qual é a fração das dúzias correspondentes a cada valor de venda e quanto o vendedor faturou na venda?
Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo
recebeu, é igual a R$ 75, 00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca
pé de chumbo cometeu?
Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias?
Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos
com 18 metros de couro?
Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108?
Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4
de quilograma. Quantos eram os meninos?
Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo
pátio, quantos ladrilhos seriam necessários?
Dona Solange pagou R$ 5. 960, 00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse
terreno?
Luciano fez uma viagem de 1. 210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8
do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros
percorreu a cavalo?
Carolina tinha R$ 175, 00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou?
266
A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5
do terceiro. Calcular o produto destes três números.
Se 7/8 de um terreno valem R$ 21. 000, 00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?
Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$
164, 00. Quanto tinha o velho Áureo?
Divida R$ 1590, 00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5
da terceira.
Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25, 00. teria R$ 58, 00. Quanto tenho?
O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo
que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da
2ª. Quantos alunos haverá em cada turma?
Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos
R$ 100, 00; a segunda, 1/4, mais R$ 30, 00 e a terceira, R$ 160, 00. Qual era a quantia?
Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas.
Quantas eram as laranjas?
Marieta tinha R$ 240, 00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto.
Com quanto ficou?
Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a
segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas?
Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo
enchê-lo-ão?
Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora.
Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio?
Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6?
Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a
segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia?
Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao
segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do
que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou?
Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11
dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3. 500, 00 poderão comprar a casa
própria. Qual é o preço do imóvel? Quanto tem cada um deles?
Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando
conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório?
267
Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque
estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio?
Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com
auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o
mesmo bordado sozinha.
Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora? Em quanto tempo farão todo a pintura
da casa?
Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram
3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos
passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio?
Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam,
respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina?
Indo além
Indo além...
1
6
Para encerrar de forma criativa assista ao episódio Matemática em toda parte - Matemática
na música seus alunos irão descobrir que existem muitas coisas em comum entre a música e
a matemática. O professor Bigode vai até a Escola de música de Piracicaba encontrar o professor Pedro Gobet e a professora Beatriz para falar de escalas, frações e proporções, consequentemente de frações O vídeo tem duração
26 min minutos e está disponível no site:
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?itemid=2269&option=comzoo&view=item
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Resolver situações-problema
com números racionais, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação). ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser
retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
268
1) A temporada 2011/2012 do basquete profissional norte-americano foi muito emocionante,
com o título sendo conquistado pelo Miami Heat. O principal jogador desse time é LeBron James.
No último jogo da temporada, contra o Oklaroma City Thunder, LeBron arremessou a bola na
cesta 30 vezes, sendo que 1/3 desses arremessos eram em bolas que valiam 3 pontos e os 2/3
restantes em bolas que valiam 2 pontos. Ele não errou nenhum desses arremessos, sendo o
herói do jogo.
Assim, nesse jogo, LeBron marcou
a) 30 pontos
b) 40 pontos
c) 70 pontos
d) 80 pontos
2) Leonardo e Ana são casados há muito tempo e vivem felizes com seu único filho Miguel. A
casa onde eles moram fica vazia durante as tardes, pois esse é o turno em que Miguel estuda.
Na última quarta-feira, no início da noite, Ana foi a primeira a chegar em casa. Como ela estava
1
muito cansada e com fome, pediu por telefone uma pizza de 12 fatias. Ela se sentou e comeu 4
da pizza.
Algum tempo após ela terminar, Miguel chegou em casa, também com muita fome. Antes de
2
fazer qualquer coisa em casa, ele foi para a cozinha e comeu 3 da pizza que havia sobrado.
Leonardo só chegou em casa bem mais tarde. Na hora de jantar ele foi até a cozinha e comeu
o restante da pizza.
Quantas fatias de pizza Leonardo comeu?
a) 1
b) 3
c) 7
d) 11
269
3) A Pegada Hídrica é um indicador do uso da água no planeta e analisa esse uso de forma
direta e indireta. A Pegada Hídrica de um indivíduo, comunidade ou empresa é definida como o
volume total de água doce que é utilizado para produzir os bens e serviços consumidos pelo
indivíduo, comunidade ou produzidos pelas empresas.
Observe na tabela abaixo o quanto se gasta de água para a produção de diversos produtos.
De acordo com essa tabela para se produzir
A) 1 Kg de chocolate serão necessários 24000 litros de água
correta
B) 1 Kg de carne bovina se consome mais água que para produzir 1 kg de chocolate.
C) 1 Kg de açúcar refinado se consome a mesma quantidade água para produzir que 1 kg de
carne bovina.
D) 1 hambúrguer consome o mesmo tanto que 1 xícara de café.
4) O tratamento de água consiste na remoção de impurezas e contaminantes antes destiná-la
ao consumo. Isso porque a água sempre contém resíduos das substâncias presentes no meio
ambiente como microrganismos e sais minerais, necessitando, pois, de tratamento para remover as impurezas que podem ser prejudiciais ao homem.
O tratamento da água varia conforme a sua captação. As águas captadas na superfície sofrem
um tratamento especial que consiste em 8 fases, isso vem embutido na conta de água de uma
pessoa. Abaixo você vê uma foto da conta mensal de água da casa de Antônia onde podemos
ler: 19, 66 reais:
270
Ela pagou sua conta com a nota da figura abaixo:
O troco que Antônia recebeu foi
A) maior 2 reais
B) menor 50 centavos
C) maior 1 real
D) menor que 20 centavos
271
Lição 28
Eixo: Números e operações/álgebra e funções
Competência: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade: Identificar uma equação ou inequação do 1º grau que expressa uma situaçãoproblema e representar geometricamente uma equação do 1º grau.
Conteúdo: Equações e inequações de 1 grau
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, apesar de alguns fugirem delas nas aulas de exatas, outros são fascinados
por matemática. . . O que ninguém pode negar é as equações podem ser revolucionárias. O
matemático Ian Stewart explica, em seu livro "17 equações que mudaram o mundo" (Editora
Zahar, 2013), o impacto delas na ciência, tecnologia e filosofia. Para ele, as equações tiveram
um papel fundamental na criação do mundo atual. A sequência de atividades que apresentamos vai familiarizar os alunos com as equações mais elementares, as de primeiro grau
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Comece a aula com o seguinte conceito:
Uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.
Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). Dispondo
de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano
cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:
Construir um gráfico da equação x + y = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.
272
x
Y
4
0
0
4
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.
A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.
Entregue papel quadriculado para cada aluno e peça que representem no plano cartesiano
cada uma as a equações abaixo:
a) 2x + 6 = x + 18
b) 5x – 3 = 2x + 9
c) 3 (2x – 3) + 2 (x + 1) = 3x + 18
d) 2x + 3 (x – 5) = 4x + 9
e) 2 (x + 1) – 3 (2x – 5) = 6x – 3
273
f) 3x – 5 = x – 2
g) 3x – 5 = 13
h) 3x + 5 = 2
i) x – (2x – 1) = 23
j) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3)
Depois que os alunos representarem no gráfico cada uma das equações acima peça que:
Encontrem suas raízes e para cada raiz encontrada escolha um número real menor da raiz
e um número real maior que essa raiz
Substituam na equação original os três valores, isto é, a raiz, o valor menor e o valor maior
que a raiz
Representem os três pares ordenados no gráfico O que eles podem observar? Há valores
de x que tornam o y positivo? Há valores de x que tornam o y negativo? Como podem escrever esses valores? Eles são únicos? São muitos?
Só depois de realizada essa atividade, defina inequação de primeiro grau Se quiser prepare
alguns slides em Power point Segue uma sugestão de aula expositiva;
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser
escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0
Resolvendo uma inequação de 1° grau
Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em
um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:
Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.
274
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
Exemplo 2: Resolva a inequação 2x - 6 < 0.
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x<3
Portanto a solução da inequação e x < 3
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função
do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
275
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x=3
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
O trabalho com as equações deve partir sempre da necessidade resolver problemas. Intuitivamente o aluno já teve um contato informal com a solução de equações ao procurar, por
exemplo, o número que deve ser colocado no lugar do quadradinho em expressões do tipo:
12 + ž = 20. No entanto, agora é o momento de se iniciar um trabalho mais formal com as
equações, com o objetivo de levar o aluno a:
• Buscar a solução de uma equação por tentativas
• Verificar se um determinado número é ou não solução de uma equação
• Analisar a solução obtida, com o intuito de verificar se ela é ou não adequada ao problema
correspondente
• Perceber a necessidade uma técnica de resolução
Esse trabalho deve sempre partir das sentenças matemáticas obtidas pela tradução em linguagem algébrica de problemas.
A analogia de uma equação do primeiro grau com uma incógnita com uma balança de dois
pratos em equilíbrio pode ser de grande utilidade para que os alunos compreendam o uso das
propriedades das igualdades e das operações na sua resolução.
Essa analogia permite comparar os efeitos sobre o equilíbrio da balança ao se acrescentar
ou tirar pesos em seus pratos com as correspondentes ações de somar e subtrair um número
a ambos os membros de uma igualdade.
O professor pode propor aos alunos que usem essa comparação para analisar quais alterações sofre uma dada igualdade se
• Somarmos ou subtrairmos um mesmo número a ambos os membros
276
• Somarmos ou subtrairmos números diferentes a ambos os membros
• Somarmos ou subtrairmos um número qualquer a um único membro
Pode, ainda, propor que os alunos, tendo como referência figuras similares a que se vê abaixo, determinem o peso x em gramas da caixa quadrada sabendo-se que cada objeto redondo
pesa 1 grama e, no caso do exemplo, comparem as operações feitas com a balança com as
operações que devem ser feitas com a equação 3x+1= x + 3.
Na tradução de um problema para a linguagem algébrica – equacionamento do problema – o
Professor deve orientar seus alunos para a importância da organização dos dados correspondentes, isto é:
• Destacar os dados conhecidos (o que se sabe)
• Representar por letras (incógnitas) o que o problema pede para calcular
• Relacionar os dados conhecidos com as incógnitas para se obter uma equação
Por exemplo, no problema: o perímetro de um jardim retangular é igual a 100 metros. O lado
maior do jardim mede 10 metros a mais que o seu lado menor. Quais as medidas dos lados
desse jardim? , o professor pode sugerir aos alunos o seguinte procedimento:
Lado menor: x
Lado maior: x + 10
Perímetro: 100
Montagem da equação: 2 (x + x + 10) = 100
Resolvendo a equação obtém-se: 2 (x + x + 10) = 100 => 4x + 20 = 100 => x = 80: 4 = 20
Conferindo: x + 10 = 20 + 10 = 30, daí 2 (20 + 30) = 2 x 50 = 100.
Logo, podemos responder: o lado menor mede 20 metros e o lado maior mede 30 metros.
A interpretação da solução de equações que se reduzem a 0x = 0 ou 0x = a, com a ≠ 0 fica a
critério do professor.
Como exemplo de uma questão fechada que permite ao Professor avaliar, se o aluno é capaz de resolver problemas envolvendo equação de 1º grau, apresentamos a seguinte questão
do teste de Matemática do SIMAVE – PROEB – 2003.
Você é capaz de responder à adivinhação?
277
“ Eu pensei em um número.
Somei 4 unidades a esse número.
Multipliquei o resultado por dois.
A resposta que eu encontrei é igual a 18. ”
O número que eu pensei foi:
A) 5
B) 8
C) 18
D) 40
Faça um desafio aos seus alunos, proponha que eles elaborem para o colega do lado uma
questão com a apresentada acima Se o colega adivinhar o número ele ganha o jogo senão
ganha o jogo quem propôs a adivinhação Se quiser pode até distribuir um ou dois pontos extras nessa atividade.
Indo além
1
6
Indo além...
Para finalizar proponha a leitura deleite:
A Origem das Equações do 1º Grau
“Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem inteligente eclipsa a
glória de outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe propõe”. François Viète
278
Este texto da Índia antiga fala de um passa tempo muito popular dos matemáticos hindus da
época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver.
Era muito difícil a Matemática nesse período. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas, usando muitos artifícios
e trabalhosas construções geométricas.
Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou problema.
Basta traduzi-los para o idioma da Álgebra: a equação.
Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos
quando se tem uma igualdade. A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que
quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do
árabe adala, que significa “ser igual a“, de novo a ideia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de
uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece.
A primeira referência a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos
documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000
anos.
Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos.
Os gregos resolviam equações através de Geometria.
Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado
progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação
matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma
situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa” era pronunciada comoxay. Daí
surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa” em árabe.
No trabalho dos árabes, destaca-se o de Al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu
equações de vários tipos.
Al-Khowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma exposição completa dos numerais
hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante, Al-jabr wa’l mugãbalah, contém uma
exposição clara e sistemática sobre resolução de equações.
As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas
com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final
do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”.
Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões
gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser
somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos
lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.
279
A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos
atualmente: equação, o idioma da álgebra.
Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma
firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc.
E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras,
para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação.
Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim
incognitu, que também quer dizer “coisa desconhecida”. A incógnita é um símbolo que está
ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação.
E termine a semana fazendo na escola uma exposição das equações mais famosas do
mundo. Abaixo temos a equação de Einstein, de Newton e Pitágoras Faça com que a escola
lembre de outras! Mãos à obra!
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de analisar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar uma equação ou
inequação do 1º grau que expressa uma situação-problema e representar geometricamente
280
uma equação do 1º grau. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que
precisa ser retomado com alguns alunos.
1) Observe a desigualdade abaixo:
3( − 2) −
7 − 1 2 − 4
<
2
3
O menor número inteiro que atende a essa desigualdade é
a) -3
b) -4
c) -6
d) 0
2) Em uma escola, o número de professores de Ciências é a quinta parte do número total de
Professores. Além disso, sabemos que 25% dos Professores dessa escola são homens. Há 90
Professoras que trabalham lá. O número de Professores de Ciências dessa escola é
a) 24
b) 30
c) 72
d) 120
3)
(Radix - Adaptado). Num elevador, o anúncio:
A expressão matemática que relaciona com situação acima é.
a) X<420
b) X>420
c) X≥ 420
d) X ≤420
281
4) A soma da minha idade com a idade meu irmão que é 7 anos mais velho resulta em 37
anos. Essa informação pode ser pode ser escrita pela equação;
a) 2x+7 =37
b) 7x+2= 37
c) x+7=37
d) 2x=37
282
Lição 29
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Utilizar as propriedades e relações dos elementos do círculo e da circunferência.
Conteúdo: Elementos e propriedades da circunferência e círculo
Duração:3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Caro professor, inegavelmente a roda transformou a vida do homem desde os tempos préhistóricos. Nesta Sequência de atividades você terá a oportunidade discutir com seus alunos,
o uso da circunferência e do círculo em diferentes situações. Vamos lá?
Sequência de atividades
Pra começo de conversa
xxxxxxx
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Pra começo de conversa
Leitura deleite
Comece a aula propondo a leitura compartilhada do texto:
A roda é talvez uma das invenções principais na trajetória desenvolvimento tecnológico do ser humano. Com ela, os povos primitivos tornaram o transporte mais rápido e
fácil, além de contribuir para transformar as primeiras aglomerações humanas em cidades maiores.
283
A prova mais antiga de seu uso data de cerca de 3500 a. C. , e vem de um esboço em
uma placa de argila encontrada na região da antiga Suméria, na Mesopotâmia (atual
Iraque), mas é certo que sua utilização venha de períodos muito mais remotos.
As rodas mais antigas encontradas em explorações arqueológicas são de cerca de
3000 a 2000 a. C. e estavam em túmulos na mesma Mesopotâmia. Eram compostas de
três tábuas presas por suportes em forma de cruz, e a tábua central possuía um furo
natural no nó da madeira. A madeira em volta do nó costuma ser bastante resistente,
por isso, acredita-se que esta girava em torno de um eixo fixo, apesar do restante do
veículo à qual estas rodas pertencessem não tenha sido conservado o bastante para
identificar se era assim mesmo que o conjunto funcionava.
O primeiro aperfeiçoamento em relação aos modelos originais foi provavelmente a
colocação de um aro de madeira, o que permitia um desgaste uniforme da roda em toda sua superfície. Tal aro podia ser uma peça única, feita de madeira curvada com o
auxílio de vapor, ou então, de vários segmentos emendados. Quinhentos anos mais
tarde surgiriam os primeiros aros de metal.
A roda com raios surge na Mesopotâmia ou na atual Turquia, e é utilizada em carros
de guerra. Em torno de 1500 a. C. , os egípcios dominam a tecnologia, com a construção de rodas de quatro raios, bastante leves.
A partir daí, seu desenho permaneceria quase inalterado durante muito tempo, sendo
que as únicas inovações estão ligadas a usos diversos da roda, como o emprego em
moinhos d'água e sarilhos (mecanismos de lançamento ou de arrasto). Até o século
XVI, a inovação mais relevante foi a criação da roda de disco abaulado, com os raios
dispostos em forma de cone achatado. Por volta de 1870 surgem as rodas de raios de
arame, destinadas às bicicletas, e uma década depois é desenvolvido o aro pneumático, (apesar de patenteado quarenta anos antes).
Apesar de invento básico e elementar, a roda ainda encontra importância fundamental
em meio à nossa sociedade, em especial nos modernos automóveis. Os primeiros modelos traziam rodas de aros de madeira, como o das carroças. Logo são adotadas rodas com raios de arame e as chamadas "rodas de artilharia", fabricadas em uma única
peça de ferro fundido. Na década de 1930, surgem as rodas de aço estampado, mais
leves, resistentes e baratas. Atualmente, o tipo mais popular entre o consumidor são as
rodas de liga leve.
Após a leitura do texto inicie um debate com seus alunos a partir das seguintes questões
Você imagina a sua vida sem o uso da roda, ou melhor em que momento a circunferência
causa impacto ao seu dia a dia?
Matematicamente como vocês definem a roda?
Encerre a aula pedindo que em casa pensem no seguinte problema:
Quando você sai de casa para a escola imagine a roda do meio de transporte que você utiliza Se essa roda dá 1000 voltas em um minuto, quantos quilômetros você andaria em cada
minuto?
284
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Comece a aula perguntando sobre o problema deixado no para casa na aula anterior
Alguém conseguiu resolvê-lo? Se sim, como? Convide os alunos a mostrarem sua soluções
ou apresentarem suas primeiras ideais sobre o assunto Se nenhum aluno tiver a solução inicie
a aula perguntando:
Qual o tamanho da roda de um carro, por exemplo? Nesse momento os alunos demonstrarão
o que entendem por “ tamanho “ em uma circunferência Usualmente eles definem diâmetro
com o tamanho da roda e não o seu comprimento. Está na hora então de apresentar os conceitos Produza uma sequência de slides no Power Point. Sugerimos o texto abaixo para nortear
sua apresentação
CIRCUNFERÊNCIA
1 - lugar geométrico dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto fixo chamado centro;
2 - curva plana fechada que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um
plano paralelo a sua base. π
CÍRCULO
1 - Superfície plana limitada por uma circunferência; 2 - é a reunião de uma circunferência e
seu interior.
285
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
CENTRO: ponto interno que dista igual de todos os pontos situados na circunferência.
RAIO: do latim - raiu; é o segmento que une um ponto fixo chamado centro a qualquer um
dos pontos de uma circunferência ou de uma superfície esférica.
DIÂMETRO: - é a linha reta que divide um círculo em duas partes iguais; 2 - é a maior corda
de uma circunferência; 3 - é o dobro do raio; 4 - é a corda que passa pelo centro da circunferência.
286
Caro Professor, a seguir, se julgar pertinente, tendo em vista o tempo e o nível desempenho
de seus alunos, acrescente aos seus slides outros elementos da circunferência, tais como:
ARCO: - tudo o que tem a forma curva; 2 - uma porção qualquer da circunferência; 3 - de
uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de
seus pontos.
CORDA: segmento de reta que une as extremidades de um arco.
POSIÇÕES entre duas CIRCUNFERÊNCIAS
SECANTES: são duas circunferências que se intersectam em dois pontos.
TANGENTES: circunferências que se tocam num só ponto.
287
Após a explanação, volte ao problema. Possibilite a seus alunos pensar que quando a roda
dá uma volta ela percorre uma distância maior que seu diâmetro e que quanto maior o diâmetro maior o comprimento Há portanto uma relação de proporcionalidade Assim a razão entre
o comprimento e o diâmetro é uma constante Está na hora de apresentar o número PI
Para isso proponha a leitura do texto abaixo:
A razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro produz o número PI. É um número
que mobilizou e ainda mobiliza muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é
a obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se também um mistério: o de
não podermos conhecer a última casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela
letra (do alfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro.
Caro Professor, antes de prosseguir sugerimos que, se houver tempo, realize uma atividade
lúdica com seus alunos que promova uma boa aproximação do número Pi Para realizá-la
você vai precisar de objetos circulares, barbante, cartolina; régua; tesoura e cola.
Uma sugestão para o desenvolvimento é:
a) solicitar aos alunos que, usando barbante, contornem o entorno da borda do objeto circular e corte-o na medida exata dessa volta;
b) orientar os alunos para que estiquem o barbante e meçam seu comprimento, anotando
os valores em uma tabela;
C) Pedir que, com uma régua meçam o diâmetro de cada objeto circular, registrando as
medidas em uma tabela como a que segue:
d) Encontrar a medida do raio de cada objeto circular;
e) Solicitar aos estudantes que, utilizando a calculadora, efetuem a divisão entre a medida
do comprimento da circunferência pelo seu diâmetro, e registrem o resultado na tabela acima
com a investigação acima e voltando ao procedimento matemático, que produziu essa misteriosa constante, poderemos igualar as razões entre os perímetros dos círculos e os seus
respectivos diâmetros. Essa proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda
gigante, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda:
288
Na Babilônia, o valor do era considerado igual a três e hoje podemos escrevê-lo com muitas
casas depois da vírgula, com as reticências informando que ele não terminou - e não terminará:
3, 14159265358979323846. . .
Nos livros didáticos, esse número é arredondado para 3, 1416 ou 3, 14, permitindo cálculos
aproximados. No entanto, não podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor do
é igual a 3, 14. Por isso, é essencial que, no cálculo do perímetro, a letra grega apareça para
evitar erros:
í
=  ⇒ í = (â) × () ⇒ í = 2 ∙ () ∙ 
â
O perímetro de uma moeda com 1, 5 cm de diâmetro pode ser calculado multiplicando-se o
diâmetro dessa moeda pela constante . Poderemos registrar como P = 1, 5. cm. E se quisermos conferir esse perímetro, contornando a borda dessa moeda com uma linha de costura,
teremos que calcular esse perímetro considerando um determinado valor para . Nesse caso,
podemos multiplicar 1, 5 cm por 3, 14, fazendo P = 1, 5 x 3, 14 - que se aproximará bastante do
comprimento da linha. E, portanto, do perímetro.
Se o raio de uma roda de bicicleta é igual a 20 cm, então qual é o comprimento do pneu que
contorna essa roda? Responderemos pelo perímetro e obteremos um valor teórico de P = 2 x
(20 cm) x = 40 cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x 3, 14 = 125, 6 cm.
Fracionando o círculo para calcular a sua área
O número não aparece somente na fórmula do perímetro do círculo. A área do círculo será
um conceito que colocará novamente essa constante em uma das fórmulas mais essenciais da
matemática.
Essa fórmula é construída fracionando-se o círculo em uma infinidade triângulos isósceles,
sendo que dois lados deverão ter a mesma medida do raio. Além disso, com a preocupação de
que esses triângulos sejam iguais, com a medida da base sendo um pequeno segmento do
perímetro desse círculo:
289
Dois desses triângulos poderão formar um pequeno paralelogramo, com uma inclinação
bem pequena tendendo a um retângulo. Quanto menor for a medida da base desses triângulos, que fracionaram o círculo, mais chance teremos de aproximá-los do formato de um retângulo com altura igual ao raio do círculo. Deverão ser colocados em pares, um encostado no
outro:
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua base pela medida da
sua altura. Como cada retângulo é formado por dois triângulos, com a base sendo um pedaço
do perímetro do círculo, teremos que imaginar a fragmentação desse círculo em uma quantidade par de triângulos, para que possam ser encaixados dois a dois, sem nenhuma sobra.
Esse encaixe, nesse tipo de quebra-cabeça, formará um retângulo maior com base igual a (
) x (R) e de altura R. É o procedimento de encaixar dois a dois que fará a base do retângulo
ter a metade do perímetro do círculo:
Essa base, multiplicada pela altura R do retângulo, será()x (R) x (R) e indicará a área desse retângulo, que poderá ser escrito como raio ao quadrado multiplicado pelo número . Resultado que demonstra que um círculo pode ser transformado em um retângulo, para que a
sua área seja deduzida e calculada.
290
Assim, a fórmula da área do círculo poderá ser escrita como:
 = 
A roda da bicicleta, de que falamos acima, com raio igual a 20 cm, além de ter um perímetro
igual a 125, 6 cm, terá uma área igual a (20 cm) x (20 cm) x ( ), isto é 400 cm2. Além disso,
poderá ter um valor aproximado se considerarmos um valor numérico para : 400 x 3, 14 =
1256 cm2.
São inúmeros os problemas que surgem na matemática envolvendo o perímetro e a área de
um círculo. No entanto, talvez o mais importante é percebermos que não podemos estudar geometria sem investigar o número .
E encerre a aula resolvendo o problema, , isto é, se o diâmetro da roda do meio de transporte
utilizado pelo aluno é de x cm então em 1 minuto ela gira 2. pi. x1000 cm. Quantos km são?
Para suscitar a curiosidade dos alunos proponha outros problemas por exemplo:
Questão 1
O comitê olímpico brasileiro dispõe de uma pista circular utilizada para a prática de treinamentos e competições de ciclismo e patinação. Sabendo que essa pista tem 250 metros de
comprimento, calcule o raio da circunferência da pista. Utilize π=3, 14.
Questão 2
Sabendo que o diâmetro de uma bola de futebol oficial é aproximadamente 22 cm, calcule o
comprimento aproximado da circunferência dessas bolas. Utilize π=3, 14.
Questão 3
Calcule o valor aproximado da área de uma praça circular com 8 metros de raio. Utilize π=3,
14.
291
Questão 4
Na figura abaixo, sabendo que o segmento mede 9 cm e o segmento mede 4 cm, calcule a
área da coroa circular apresentada em azul. Utilize π=3, 14.
Resposta das Questões
Questão 1
O comitê olímpico brasileiro dispõe de uma pista circular utilizada para a prática de treinamentos e competições de ciclismo e patinação. Sabendo que essa pista tem 250 metros de
comprimento, calcule o raio da circunferência da pista. Utilize π=3, 14.
Temos que o comprimento da circunferência é dado por C=2πr, então
Então o raio da pista é aproximadamente 39. 81 metros.
.
Questão 2
Sabendo que o diâmetro de uma bola de futebol oficial é aproximadamente 22 cm, calcule o
comprimento aproximado da circunferência dessas bolas. Utilize π=3, 14.
Temos que o comprimento da circunferência de uma bola de futebol é aproximadamente
C=dπ=22. 3, 14= 69, 08cm.
Questão 3
Calcule o valor aproximado da área de uma praça circular com 8 metros de raio. Utilize π=3,
14.
A área da praça é aproximadamente A=πr2=3, 14 82= 200, 96 m2.
Questão 4
Na figura abaixo, sabendo que o segmento mede 9 cm e o segmento mede 4 cm, calcule a
área da coroa circular apresentada em azul. Utilize π=3, 14.
292
Para calcular a área da coroa circular basta calcular a área do círculo maior, cujo raio é 9 cm,
e subtrair a área do círculo menor, que tem 4 cm de raio. Assim, temos A maior=πr2=3, 14*92=
254, 34 e, A menor=πr2=3, 14*42= 50, 24. Logo, a área da coroa circular é aproximadamente A =
A maior – A menor= 254, 34 - 50, 24 = 204, 10 cm 2
Indo além
1
6
Indo além...
Propor um projeto artesanal em parceria com o Professor de Arte Nesse projeto os alunos
vão colocar a mão na massa e fazer uma mandala com jornal!
Mandala significa círculo em sânscrito. Mandala também possui outros significados,
como círculo mágico ou concentração de energia, e universalmente a mandala é símbolo
da integração e da harmonia. Elas remontam pelo menos ao século VIII a. C. e são usadas como instrumentos de concentração e para atingir estados superiores de meditação
(sobretudo no Tibete e no budismo japonês). Durante muito tempo, a mandala foi usada
como expressão artística e religiosa, através de pinturas rupestres, no símbolo chinês
do Yin e Yang, nos yantras indianos, nas thangkas tibetanos, nos rituais de cura e arte
indígenas e na arte sacra de vários séculos. No budismo, a mandala é um tipo de diagrama que simboliza uma mansão sagrada, o palácio de uma divindade. Geralmente, as
mandalas são pintadas como thangkas e representadas em madeira ou metal ou construídas com areia colorida sobre uma plataforma
Carl Jung descreve as mandalas como quadros representativos ideais ou personificações ideais que se manifestam nos tratamentos psicoterapêuticos, interpretando-as como símbolos da personalidade no processo da individualização.
Material: jornal , cola branca ,esparadrapo, vareta (para fazer os canudinhos) tinta a base de
água na cor de sua preferência,base para moldar os tamanhos, use rolo de filme de pvc, garrafinhas de água e lata de uma bebida. Solte sua imaginação. . . Modo de fazer: Comece fazendo canudos com o jornal, faça vários e reserve. Pegue os canudos e comece montando com os
tamanhos/moldes escolhidos. Cole as pontas dos canudinhos de jornal para não soltar. Pinte
na cor desejada. Não esqueça de passar cola nas pontas dos canudinhos de jornal para não
soltar e prenda as argolas com esparadrapo.
293
294
295
296
297
Antes da Pintura
298
Antes da Pintura
Depois da pintura (cor prata)
299
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Utilizar as propriedades e relações dos elementos do círculo e da circunferência. ”. Estas questões servem de diagnóstico,
para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Um quadrado de lado (2x) m está inscrito em uma circunferência. Outro quadrado, cujo lado
mede (x2) m, está circunscrito a esta mesma circunferência, conforme mostra a figura abaixo:
300
A medida do raio da circunferência, em metros, é um número
A) Natural.
B) Inteiro não natural.
C) Racional não inteiro.
D) Irracional.
2) Uma praça circular tem raio igual a 20m. Ela é dividida em 6 partes iguais sendo que 3 são
destinados à construção de um jardim, conforme a figura abaixo.
A área pode ser calculada pela expressão
Sendo assim, a área do jardim é:
A = πR², onde R é o raio e, considere π = 3.
(A) 1200 m².
(B) 400 m².
(C) 120 m².
(D) 60 m².
3) Considere um quadrado em que nele foram desenhadas e coloridas, cinco circunferências,
sendo quatro delas congruentes.
O raio da circunferência maior é o dobro do raio das circunferências menores. Traça-se um
segmento, pela diagonal do quadrado, unindo as duas circunferências menores e a maior pas301
sando pelo centro delas. Sabe-se que esse segmento é o maior possível e mede 8 cm. O lado
do quadrado mede 6, 3 cm.
De acordo com a figura a raio da maior circunferência mede
(A) 1 cm
(B) 2 cm
(C) 4 cm
(D) 6 cm
4) O logotipo de uma empresa foi criado a partir de um quadrado na cor azul e uma circunferência na cor laranja em seu centro. Separa-se um pouco essas regiões e retira-se uma das
quatro regiões externas, formando assim a letra inicial da empresa, conforme mostra a ilustração.
Disponível em: <www.pallas.com.br>. Acesso em: 08 fev. 2013.
Sabendo que o diâmetro da circunferência é a metade do lado do quadrado então a área azul,
em função do lado do quadrado será dada por
(A)
3l 2
16   
64
(B)
3l 2
16   
64
(C)
3l 2
16   
4
(D) l 2 16   
302
Lição 30
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Identificar propriedades de figuras semelhantes, construídas com transformações
(redução, ampliação, translação e rotação).
Conteúdos: Semelhança de triângulos
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Professor ensinar a semelhança entre figuras é de suma importância, pois esse conceito está
presente no estudo de escalas, plantas, mapas, ampliações de fotos, fotocópias e, além disso,
permite estabelecer conexões com outros conteúdos matemáticos, como razões e proporções,
propriedades das figuras, ângulos, medidas e conteúdos de outras áreas. Apresentamos a seguir uma série de atividades para que seus alunos sejam capazes de Identificar propriedades
de figuras semelhantes.
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
A Matemática está em toda parte. Crie um ambiente de cinema em sua sala de aula e convide seus alunos a assistir ao vídeo – Matemática no parque, produzido pela TV escola e disponível em:
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=comzoo&view=item&itemid=2356
ou
http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/downloadaulaspdf/matematicanoparquematematicae
mtodaparte.pdfe
Instigue-os a pensar a partir do vídeo em o que são figuras semelhantes. A exemplificarem e
buscarem em seu dia a dia situações de semelhança. Finalize a aula propondo que eles façam
a ampliação de uma figura através da técnica do quadriculamento que relatamos a seguir no
texto extraído de
http://www.desenhoonline.com/site/como-ampliar-desenhos-com-o-auxilio-da-tecnica-doquadriculado/
Além do tradicional Método desenhar, existe uma técnica antiga que muitos desenhistas utilizam conhecida como técnica do quadriculado, desenvolvida na Época do Renascimento
303
O desenhista e pintor Albrecht Dürer, utilizava essa técnica. Exemplo está na figura abaixo.
Veja:
Imagine que você queira ampliar a figura abaixo:
O primeiro passo é quadricular a figura e em seguida quadricular com quadrados maiores
uma folha em branco
304
Por último trace o desenho conforme a figura de referência e divirta-se!
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Para essa aula providencie o material necessário:
Folhas de papel A4 em branco, papel transparente (plástico) e tesouras.
Conjuntos de réguas, compassos e transferidores.
Cópias do texto “Descobrindo as condições de semelhança de triângulos"- Anexo 1
1) Proponha à turma um problema determinação de uma medida inacessível cuja solução exija o uso de semelhança de triângulos e deixe-o em aberto para a conclusão da atividade. Sugestão: Como determinar a altura de um poste, num horário adequado de um dia de sol, conhecendo-se somente a altura do observador?.
2) Relembre a definição de semelhança de triângulos e deixe-a escrita no quadro como referência.
305
3) Relembre, se necessário, a construção de um triângulo usando régua e compasso.
4) Divida os alunos em duplas e distribua entre elas as folhas de papel, réguas, transferidores, tesouras e as cópias do texto.
5) Dê instruções claras para a realização das tarefas contidas no texto.
6) Acompanhe o trabalho das duplas na realização das atividades, orientando-as no que se
fizer necessário.
7) Encerrar a atividade com uma discussão dirigida tendo como objetivo organizar, sistematizar e resumir os resultados.
8) Nessa sistematização, você, professor, deve dar ênfase a:
a. definição de semelhança de triângulos com as suas seis condições: três pares de ângulos
de mesma medida e três pares de lados correspondentes proporcionais.
b. identificação ângulos correspondentes e de lados homólogos ou correspondentes.
c. notação usual de semelhança e da importância da ordem nessa notação.
d. economia de trabalho ao se usar o critério AA de semelhança, já que dele decorre a
igualdade das medidas do terceiro ângulo e a proporcionalidade dos lados correspondentes
e, portanto, dispensa a verificação das outras quatro condições necessárias de semelhança.
e. explicite e defina o que é razão de semelhança.
9) Discutir coletivamente com a turma a resolução do problema proposto no início da atividade.
Anexo 1) Texto:
Descobrindo as condições de semelhança de triângulos
Cumprindo as tarefas a seguir você irá encontrar um resultado interessante e fundamental
sobre a semelhança de triângulos que lhe será útil na resolução de muitas situações problema como, por exemplo, aquela que foi proposta pelo Professor.
1) Usando a régua e o compasso, construa três triângulos ABC, EFG e MNP cujos lados,
em centímetros, meçam respectivamente:
Triângulo ABC
AB = 4
BC = 3
AC = 2
Triângulo EFG
EF = 8
FG = 6
EG = 4
Triângulo
MNP
MN= 12
NP = 9
MP = 6
306
2) Observe que esses triângulos têm a mesma “forma” mas os “tamanhos” são diferentes. Verifique que:
a. As medidas dos lados do triângulo ABC são proporcionais às medidas dos lados correspondentes do triângulo EFG. (Você se lembra? Basta verificar se os quocientes
são todos iguais).
b. Os lados do triângulo ABC são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo MNP.
c. Os lados do triângulo EFG são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo MNP.
3) Pela definição de semelhança o que está faltando para que se possa concluir que esses
três triângulos sejam semelhantes entre si?
4) Corte os dois triângulos menores e por superposição verifique quais são os ângulos correspondentes que têm a mesma medida e escreva os resultados dessa verificação.
5) Depois disso, você pode concluir que os três triângulos são semelhantes? Por quê?
6) Observe os triângulos ABC e DEF da figura a seguir. Os pontos que você vê sobre os lados desses triângulos dividem esses lados em segmentos, todos de mesma medida. (É como
se eles fossem construídos usando palitos de fósforo, todos de mesmo comprimento). Você
acha que eles são semelhantes? Justifique por escrito a sua resposta.
7) Note que os ângulos A e C do triângulo ABC têm, respectivamente, as mesmas medidas
dos ângulos F e E do triângulo DEF.
307
a. Copie o triângulo ABC numa folha, recorte-o, e verifique por superposição se o ângulo A
é igual ao ângulo F e o ângulo C é igual ao ângulo E.
b. Use a distância entre dois pontos consecutivos sobre os lados dos triângulos (um palito
de fósforo) como unidade medida de comprimento e calcule os três quocientes entre as medidas dos lados correspondentes dos dois triângulos. Lembre-se que lados correspondentes
são aqueles que se opõem aos ângulos de mesma medida. Que conclusão você pode tirar
com relação a esses três quocientes? Não se esqueça de simplificá-los.
d. Com os resultados da análise que você obteve até agora sobre os dois ângulos e
os três lados desses dois triângulos você dá a mesma resposta dada no item 5?
Justifique por escrito a sua resposta.
e. Você sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Sem usar
superposição você pode garantir que o ângulo B do triângulo ABC tem a mesma
medida do ângulo D do triângulo DEF? Por quê?
8) Na figura abaixo você vê o ponto M sobre o lado EF do triângulo DEF.
a. Trace por M a paralela ao lado DE e chame de N a interseção dessa
paralela com o lado DF.
b. O ângulo F é comum aos triângulos DEF e MFN. Que relação existe entre o ângulo E do
triângulo DEF e o ângulo M do triângulo MFN? Por quê? E entre o ângulo D e o ângulo N?
Por quê?
c. Use a distância entre dois pontos consecutivos sobre os lados dos triângulos (um palito
de fósforo) como unidade medida de comprimento e calcule os três quocientes entre as medidas dos lados do triângulo DEF e as medidas dos lados correspondentes do triângulo MFN.
308
Lembre-se que lados correspondentes são aqueles que se opõem aos ângulos de mesma medida. Que conclusão você pode tirar com relação à esses três quocientes?
d. Falso ou verdadeiro? Os triângulos DEF e MFN são semelhantes. Justifique por escrito a
sua resposta.
e. Falso ou verdadeiro? Os triângulos MFN e CAB são semelhantes. Justifique por escrito sua
resposta.
Com esses exercícios que você fez, verificou o seguinte fato: Se dois triângulos têm
dois pares de ângulos de mesma medida então esses triângulos são semelhantes. Esse fato é conhecido como CRITÉRIO DE SEMELHANÇA ÂNGULO, ÂNGULO. Resumidamente critério AA de semelhança. Isto significa que para garantir que dois triângulos
sejam semelhantes, BASTA verificar se eles têm dois pares de ângulos de mesma medida e assim garantir que os lados correspondentes são proporcionais.
9) Pense, agora, no problema: Como determinar a altura de um poste, num horário adequado
de um dia de sol, conhecendo-se somente a altura do observador. A figura abaixo pode ajudálo a resolver esse problema. Suponha que a altura do observador é 1, 68 m e sua sombra mede 1, 8m. Calcule a altura do poste.
Indo além
309
1
6
Indo além...
Semelhanças e eclipses – Alguma relação
Para ampliar essa habilidade sugerimos que organize um projeto interdisciplinar entre ciências e Matemática executando os seguintes passos:
1) Apresente os movimentos principais da Terra e da Lua. Essa atividade deve ser desenvolvida no laboratório de informática ou em um espaço (sala de aula ou auditório) com acesso
a um computador e a um projetor multimídia.
Para o planeta Terra os principais movimentos são a sua revolução em torno do Sol e o seu
movimento de rotação em torno de seu eixo. Para a Lua deve considerar os seus movimentos
de revolução em torno da Terra, de rotação em torno de seu eixo e de revolução em torno do
Sol.
Abaixo apresentamos ilustrações referentes ao movimento de Revolução da Terra em torno
do Sol e de revolução da Lua em torno da Terra:
Figura 3 - Representação do movimento de revolução da Terra em torno do Sol
Fonte: http://www.explicatorium.com/CFQ7-Movimentos-da-Terra. php
310
Figura 4 - Revolução da Lua em torno planeta Terra
Fonte: http://Professorthiagorenno.blogspot.com/2011/05/normal-0-21-false-false-false-pt-brx19.html
2) Com a apresentação dos movimentos da Terra e da Lua naturalmente podem ser apresentadas representações dos eclipses do Sol e da Lua. O texto abaixo apresenta alguns dados
que podem auxiliar a apresentação dos eclipses do Sol e da Lua. Promova a sua leitura em
sala.
“Selene e seus segredos”
Astro cuja beleza é fonte, desde o passado mais longínquo, para os poetas e apaixonados. Selene, a deusa da Lua, para os gregos. Na mitologia grega ela se apaixonou por
Endymion, um mortal. Preocupada com o fato de que ele envelheceria e viria um dia a
morrer, quis mantê-lo sempre jovem. Solicitou a Zeus que mantivesse Endymion sempre
jovem. Assim ele fez com que o jovem dormisse para sempre, de modo que nunca morresse, mantendo sempre a mesma bela aparência. Toda noite Endymion recebia a visita
de Selene e recebia o seu carinho através de seus raios de luminosos. Dessa forma se
imagina que os raios luminosos de Selene sempre caem sobre os seres humanos enquanto estão dormindo, despertando paixões. Luna, para os romanos. Magia e mistério.
A Lua dos namorados.
É o único satélite natural da Terra. Possui um diâmetro equatorial de 3476 km. Nos primeiros livros de ficção científica já havia o sonho de visitá-la. A nave soviética Luna 2 foi
a primeira a alcançá-la com sucesso em 1959. O primeiro pouso do ser humano na Lua
ocorreu em 20 de julho de 1969. O norte-americano Neil Armstrong foi o primeiro representante da humanidade a pisar no solo lunar.
Ela mostra sempre a mesma face para nós. Isso ocorre porque o tempo que ela leva para uma volta em torno de si mesma, rotação, é igual ao tempo que ela leva para girar em
torno da Terra, translação. Em devaneios embalados por sua imagem brilhante, se imaginava que segredos estavam escondidos na sua face oculta. Esses mistérios começaram a ser revelados pela nave soviética Luna 3 em 1959. Um grande deserto, com gigantescas crateras. Praticamente não possui atmosfera. A sua topografia é caracterizado
pelos planaltos, cheios de crateras e pelas maria (mares), regiões escuras que observamos facilmente em sua superfície.
A Lua se afasta de nós 3, 8 cm a cada ano. O efeito da interação gravitacional entre a
Lua e a Terra é responsável por esse afastamento, pelas marés (também influenciadas
pelo Sol) na Terra e pela diminuição na velocidade rotação da Terra.
Os eclipses lunares e solares são um dos mais belos fenômenos que podemos observar. O eclipse lunar ocorre durante a Lua Cheia, e é caracterizado pela
entrada da Lua na sombra da Terra. O eclipse solar ocorre durante a Lua Nova, e é caracterizado pela passagem da Lua na frente do Sol. Podem ocorrer de dois a sete eclipses por ano. Se o plano da órbita da Lua em torno da Terra, coincidisse com plano da
órbita da Terra em torno do Sol (eclíptica), teríamos eclipses a cada Lua Nova ou a cada
Lua Cheia. Porém o plano da órbita da Lua está inclinado aproximadamente cinco graus
em relação a eclíptica. Assim somente quando a Lua cruza, durante a Lua Nova ou a Lua
Cheia, o plano da órbita da Terra em relação ao Sol é que pode ocorrer um eclipse. ”
Fonte: livro “Um Passeio pelo Céu”- M. O. Souza – editora Muyraquitã – 2007
311
Com essas informações sugerimos que os Professores de Matemática e Ciências
mostrem aos alunos que é possível determinar a distância da terra à lua usando o
eclipse lunar e a semelhança de triângulos. Procurem fazer uma maquete do sistema
solar e uma possível situação de elipse
A ideia principal é uma maquete para demonstrar as fases da Lua, os eclipses, as estações do ano, o dia e a noite e também responder a seguinte pergunta: Porque sempre
vemos a mesma face da lua?
Nesta maquete somente o tamanho da Terra e da Lua estão proporcionais ao tamanho real. A distância não foi feita em escala! Mas para saber a distância Terra-Lua deste modelo, multiplique o valor do diâmetro da bolinha que foi usado para representar a
Terra por 30, pois a distância entre a Terra e a Lua é aproximadamente 30 vezes o diâmetro da Terra, você chegará ao valor de 225 centímetros ou 2, 25 metros.
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar propriedades de figuras semelhantes, construídas com transformações (redução, ampliação, translação e rotação). ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado
com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Uma quadra de um loteamento tem a forma da figura abaixo. Na figura estão indicadas, em
metros, algumas medidas dessa quadra. Como DE é paralelo a BC, a quadra foi dividida em
dois lotes. O perímetro maior mede
312
a) 185 m
b) 205m
c) 220m
d) 270 m
2) Considere um triângulo ABC, onde o lado AB mede 18 cm, e o lado BC mede 12 cm. Traçamos uma reta paralela ao lado AC do triângulo, que irá cortar o lado AB no ponto D e o lado
BC no ponto E de tal forma que BE = 9cm e EC = 3 cm.
A medida em cm do segmento AD é
a) 1, 3
b) 4, 5
b) 13, 5
c) 20 cm
3) Duas avenidas têm origem em um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas, como mostra a figura:
313
Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas medem 50 m e 80 m,
respectivamente. Na segunda avenida, partindo de A, a medida do primeiro quarteirão é 36 m
menor que a medida do segundo quarteirão. Qual é a medida em metros do maior quarteirão
dessa segunda avenida?
a) 36
b) 60
b) 80
D) 96
4) Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma distância de 4 m um do outro, e um fio
bem esticado de 5 m liga seus topos. Prolongando esse fio até prendê-lo no solo, são utilizados
mais 4 m de fio. Observe a figura:
A distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele é
314
a) 1, 8 metros
b) 2 metros
c) 2, 4 metros
d) 3, 2 metros
315
Lição 31
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro,
da área em aplicação e/ou redução de figuras poligonais, usando malhas quadriculadas.
Conteúdos: perímetros e áreas de figuras planas
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro professor, a percepção da conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em aplicação e/ou redução de figuras é fundamental para o desenvolvimento do pensamento geométrico apresentamos uma série de atividades que vai explorar através de malhas quadriculadas essa habilidade, permitindo que os alunos sejam capazes de
resolver problemas utilizando de forma consistente e coerente o raciocínio geométrico
Pra começo de conversa
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
Inicialmente realize um atividade diagnóstica para explorar os conhecimentos prévios dos
alunos. Utilize as questões abaixo (tire uma cópia para cada aluno) proponha que façam em
25 minutos o teste, depois corrija-o coletivamente tabulando no quadro o número de acertos e
erros de cada item
1) A figura abaixo é a planta baixa de um apartamento. Observe-a e responda às questões,
considerando cada quadradinho uma unidade medida de área:
316
1 - Qual é a área total do apartamento?
() A -45 unidades
() B -40 unidades
() C -8 unidades
() D -5 unidades
2 - Qual é a área do banheiro?
(
)A -2 unidades
(
)B -3 unidades
(
)C -6 unidades
(
)D -4 unidades
3 - Qual é o cômodo cuja área mede 5 unidades?
(
)A -Cozinha
(
)B -Sala
(
)C -Corredor
(
)D -Quarto rosa
4 - Quais cômodos têm área de 4 unidades?
(
)A -Banheiro e quarto rosa
(
)B -Banheiro e corredor
(
)C -Corredor e quarto rosa
(
)D -Corredor e quarto azul
5 - Quais cômodos têm área de 6 unidades?
( )A -Quarto rosa e quarto azul
( )B -Sala e quarto rosa
( )C -Sala e quarto azul
( )D -Corredor e banheiro
317
6) A figura representa o padrão do mosaico no chão de um salão de festas. Parte do
piso já foi colocado. Considerando cada quadradinho como uma unidade área, observe
a figura e responda:
6. 1 - Qual é a área total do chão em que já foi colocado o piso?
(
)A -20 unidades
(
)B -22 unidades
(
)C -24 unidades
(
)D -25 unidades
6. 2 - No fim do trabalho, qual será a área total de azulejos azuis?
(
)A -16 unidades
(
)B -18 unidades
(
)C -26 unidades
(
)D -32 unidades
6. 3 - No fim do trabalho, qual será a área total de azulejos vermelhos?
(
)A -22 unidades
(
)B -24 unidades
(
)C -28 unidades
(
)D -36 unidades
318
6. 4 - Qual é a área total do salão de festas?
(
)A -52 unidades
(
)B -62 unidades
(
)C -72 unidades
(
)D -54 unidades
6. 5 - Qual é a área que já foi coberta por azulejos vermelhos?
(
)A -16 unidades
(
)B -18 unidades
(
)C -12 unidades
(
)D -24 unidades
Observe as figuras e responda ao itens 7, 8, 9 usando o quadradinho vermelho como unidade
medida de a área.
7) Determine a área de cada figura.
319
8) - Na hora de colocar os azulejos amarelos na parede, o senhor Manoel quebrou alguns
deles ao meio. Quantos azulejos no total foram usados nesta parede?
(
)A - 9
(
)B - 15
(
)C - 12
(
)D - 6
9) - Quantos quadradinhos azuis iguais foram usados para compor o quadrado maior?
(
)A - 10
(
)B - 42
(
)C - 36
(
)D - 100
Observe as figuras e responda aos itens 4, 5, e 6
320
10)
determine o seu perímetro de cada figura.
11) Considerando o lado do quadradinho como unidade comprimento, quantas unidades de
comprimento tem o contorno da figura amarela?
(
)A - 16 U. C.
(
)B - 6 U. C.
(
)C - U. C.
(
)D - 10 U. C.
321
12 - Considerando o lado do triângulo como unidade comprimento, quantas unidades de
comprimento tem o contorno da figura ao lado?
(
)A - 7 u. c.
(
)B -8 u. c.
(
)C -9 u. c.
(
)D -10 u. c.
Observe as figuras e responda aos itens 13, 14, 15 a seguir
322
13) Considerando o lado do quadradinho verde claro abaixo como unidade comprimento, qual
das figuras tem o maior perímetro?
(
)A -Figura 1
(
)B -Figura 2
(
)C -Figura 3
(
)D -Figura 4
14 - Se cada quadradinho azul tem 1 cm² de área, qual a área do quadrado maior?
(
)A -1 cm²
(
)B -14 cm
(
)C -14 cm²
(
)D -25 cm²
15 - Se o lado de cada quadradinho lilás mede 1 cm, quanto mede o perímetro do quadrado
maior?
(
)A -1 cm
(
)B -4 cm²
(
)C - 16 cm
(
)D -16 cm²
Professor, finalize a aula, comentando as questões mais erradas pelos alunos e explorando a
oralidade. Deixe que os alunos falem como pensaram, como construíram e, só depois, faça os
comentários ajudando os que erraram a perceberem a correção.
323
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Agora que você professor já tem um diagnóstico de sua turma o objetivo é ampliar a habilidade estendendo o conceito de perímetros e áreas no cotidiano inicie a segunda aula perguntando:
O que é uma Área Urbana?
O que é Perímetro Urbano?
Como material de apoio, para um debate com os alunos, você pode encontrar estas definições no seguinte endereço eletrônico:
http://www.cetic.br/usuarios/tic/2007/area-urbana.htm
Tela do endereço eletrônico HTTP://www.cetic.br
Em seguida proponha aos alunos um trabalho com pedaços de barbante em um determinado piso do ambiente escolar.
Para este trabalho é necessário que você, professor, corte em pedaços um barbante, selecionando uma metragem total de acordo com o perímetro e a área do piso a ser utilizada,
com o comprimento de um metro cada pedaço, ou tamanhos de barbantes com a mesma
medida, sendo os pedaços que formarão o perímetro coloridos de forma diferente dos que
formarão os quadrados ao interior do perímetro.
A atividade, por exemplo, pode ser desenvolvida usando o piso da sala de aula, da seguinte
forma: Peça para os alunos construírem quadrados iguais utilizando todo o espaço do piso da
sala de aula com os pedaços de barbantes, sendo que, os barbantes posicionados na junção
324
do piso com a parede ou rodapé devem ser os de colorações diferentes, como ilustra a figura
abaixo.
Concluído o trabalho da construção de quadrados na superfície do piso da sala de aula,
exemplifique o conceito de perímetro como sendo a soma dos pedaços de barbante que compõem o contorno da sala de aula, ou seja, os barbantes afixados na junção da parede com o
piso, que na figura acima é representado pelas linhas de cor verde e a área como a soma de
todos os quadrados que estão contidos dentro do quadrado maior representado pela superfície
do piso da sala de aula.
Caso este trabalho não seja possível em sua sala de aula, use qualquer outro ambiente dentro da sua escola. Essa é uma atividade investigação e pode ser replicada em vários ambientes. Ela vai proporcionar aos alunos perceber as medidas que se conservam ou se modificam
com algumas transformações no plano Termine a aula fazendo uma avaliação da atividade
Deixe que os alunos falem sobre o que sentiram ao realizá-la
Indo além
1
6
Indo além...
Professor, apresente a seus alunos um conceito bastante curioso em Matemática e que ajudará na percepção da conservação da forma e na movimentação no plano – A Geometria
Fractal –
325
Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um
desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver um fractal porque é uma figura
limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma ideia da figura toda. Seu nome se
deve ao fato de que a dimensão de um fractal não é um número inteiro – Fractal = frações de
segmentos”.
Tire uma cópia para cada aluno das figuras 1, 2 e 3 e analise o que aconteceu em cada
uma delas.
326
Na figura 1, foi traçada uma
curva que vai do ponto A ao
ponto B, formada por 4 segmentos de mesmo comprimento,
igual a 1/3 da distância de A até
B.
Na figura 2, em cada um dos segmentos da curva da figura anterior,
foi reproduzida uma cópia da figura
original, reduzida em 1/3 de seu tamanho, de modo a formar uma nova
curva de A até B, agora formada por
16 segmentos.
Na figura 3, em cada um dos
segmentos da curva da figura 2, foi
reproduzida uma cópia da figura
original.
Explore com os alunos o máximo possível, observando as figuras obtidas e, em cada uma delas, conte quantas cópias há da curva original e de quantos segmentos é formada a curva entre
A e B.
Pergunte-os: Se o comprimento da curva original for de 36 unidades, qual o comprimento das
curvas entre A e B nas figuras 2 e 3?
O fractal correspondente a essa construção é a curva limite, num certo sentido, desse processo. Trata-se da chamada curva de Koch.
Diga-lhes que é possível imaginar que num fractal há partes da figura que são cópia do todo,
pois cada etapa da construção é uma união de 4 cópias reduzidas da etapa anterior. Essa propriedade é chamada de auto semelhança.
327
Ao desenvolver com seus alunos essas observações organize alguns dos dados em uma
tabela, pedindo a eles que completem a tabela para 10 figuras e generalizem a fórmula para o
perímetro.
Termine a aula com o vídeo
Fractais disponível em https: //www. youtube. com/watch? v=WpJIp6xfUFQ
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Reconhecer a conservação ou
modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em aplicação e/ou redução de figuras
poligonais, usando malhas quadriculadas. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) Na figura abaixo, a área colorida representa o total da lavoura do Sr. Domingos em hectares.
Esse agricultor devido às perdas na lavoura com as instabilidades climáticas e as pragas decidiu reduzir a área cultivada de sua lavoura para a próxima safra pela metade.
328
Diante do enunciado, deve-se:
(A) multiplicar a área inicial por 4;
(B) dividir a área inicial por 4;
(C) multiplicar a área inicial por 2;
(D) dividir a área inicial por 2;
2) Observe o desenho abaixo.
Nele, há uma malha quadriculada com quatro figuras, numeradas de I a IV.
Podemos afirmar que as figuras
329
A) I e III possuem a mesma área.
B) II e IV possuem perímetros diferentes.
C) I, II e IV possuem perímetros iguais.
D) I e II não possuem ângulos retos.
.
3) Luiza é aluna do sexto ano e fez um desenho abaixo, em malha quadriculada.
A menina determinou que o lado do quadradinho seria uma unidade medida e calculou o perímetro de cada uma das regiões coloridas (vermelha, verde, amarela e azul), bem como das
regiões brancas (portas e janelas da igreja). Então, escreveu algumas conclusões corretas.
Uma possível conclusão que ela pode ter elaborado é:
a) “O perímetro da região vermelha excede o da região verde em 5 unidades. ”
b) “O perímetro da figura determinada pela região amarela e pela porta é igual a 45 unidades”.
c) “O perímetro da figura determinada pela região verde e pela janela da esquerda é igual a 18
unidades. ”
d) “O perímetro das regiões vermelha e amarela são iguais”.
330
4)
A figura que tem a mesma área da figura A é
a) B
b) C
c) E
d) F
331
Lição 32
Eixo: Espaço e Forma
Competência: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da
realidade e agir sobre ela.
Habilidade: Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.
Conteúdo: Triângulos
Duração: 3 horas/aula
Sugestões para desenvolver as habilidades relativas a essa competência
Sequência de atividades
Caro Professor, o homem ao longo da sua evolução terá sentido necessidade na sua vida
prática de tornar rígidas e seguras algumas das suas construções Geometricamente falando
ele procura então utilizar os triângulos, figura plana rica em propriedades e bastante útil no dia
a dia Apresentamos a seguir uma sugestão de sequência de atividades para explorar a identificação de triângulos por meio de seus lados e ângulos Faremos isso usando o recurso das dobraduras.
Pra começo de conversa.
xxxxxxx
xxxxxxx
Pra começo de conversa
A história do Origami e a construção de triângulos
Comece a aula lendo com seus alunos a seguinte lenda;
A Lenda dos Mil Tsurus* de Origami
*Tsuru é uma ave, espécie da família dos grous (cegonhas), nativa do Japão.
Ninguém sabe desde quando existia uma lenda no Japão segundo a qual, aquele que
fizesse mil tsurus de origami teria um pedido atendido pelos deuses. Mas essa lenda
ficou mundialmente conhecida com a triste história de uma garotinha chamada Sadako
Sasaki.
Sadako nasceu em Hiroshima e tinha apenas dois anos de idade quando os americanos lançaram a bomba atômica sobre a cidade. Ela vivia distante do epicentro da bomba e juntamente com a mãe e o irmão, saiu ilesa do ataque. Mas consta que durante a
fuga, eles foram encharcados pela chuva negra (radioativa) que caiu sobre Hiroshima
ao longo daquele dia fatídico.
Retomando suas vidas após o término da guerra, Sadako e sua família viviam normalmente e ela era uma garota aparentemente saudável até completar doze anos de
idade. Em janeiro de 1955, durante uma aula de educação física, Sadako, que adorava
corridas, sentiu-se mal, com tonturas. Os dias se passaram e novamente o mal estar
fez com que ela caísse no chão, sem sentidos. Socorrida e levada a um hospital, depois
332
de alguns dias surgiram marcas escuras em seu corpo e o diagnóstico foi de leucemia,
doença que já estava matando outras crianças expostas à bomba. Na época a leucemia
era até chamada de "doença da bomba atômica". Ela foi internada em fevereiro de 1955,
1955, recebendo a previsão de sobrevida de apenas 1 ano.
Em agosto desse mesmo ano, sua melhor amiga, Chizuko Hamamoto foi visitá-la no
hospital. Chizuko fez uma dobradura de tsuru e presenteou Sadako, contando-lhe a lenda dos mil tsurus de origami.
Sadako decidiu fazer os mil tsurus, desejando a sua recuperação. Mas a doença avançava rapidamente e Sadako cada vez mais debilitada, prosseguia dobrando lentamente
os pássaros, sem mostrar-se zangada e sem entregar-se.
Em dado momento Sadako compreendeu que sua doença era fruto da guerra e mais do
que desejar apenas a sua própria cura, ela desejou a paz para toda a humanidade, para
que nenhuma criança mais sofresse pelas guerras. Ela disse sobre os tsurus: "Eu escreverei PAZ em suas asas e você voará o mundo inteiro".
Por fim, na manhã de 25 de Outubro de 1955, Sadako montou seu último tsuru e faleceu, amparada por sua família. Ela não conseguira completar os mil origamis, fizera 644.
Mas seu exemplo tocou profundamente seus colegas de classe e estes dobraram os tsurus que faltavam para que fossem enterrados com ela.
Tristes e sensibilizados, os colegas decidiram fazer algo por Sadako e por tantas outras crianças. Formaram uma associação e iniciaram uma campanha para construir um
monumento em memória à Sadako e à todas as crianças mortas e feridas pela guerra.
Com doações de alunos de cerca de 3100 escolas japonesas e de mais nove países, em
1958, foi erguido em Hiroshima o MONUMENTO DAS CRIANÇAS À PAZ, também conhecido como Torre dos Tsurus, no Parque da Paz.
O monumento de granito simboliza o Monte Horai, local mitológico, onde os orientais
acreditam que vivem os Espíritos. No topo do monte está a jovem Sadako segurando um
tsuru em seus braços estendidos. Na base do monumento estão gravadas as seguintes
palavras:
"Este é nosso grito,
Esta é nossa oração: ,
PAZ NO MUNDO"
Fontes: www.nte-jgs.rct-sc.br
Em seguida pergunte aos alunos
O que são origamis?
Dobraduras e origamis são a mesma coisa?
Vocês são capazes de construir figuras geométricas com dobraduras?
Apresente-lhes a definição:
Origami (do japonês: 折り紙, de oru, "dobrar", e kami, "papel") é a arte tradicional e secular
japonesa de dobrar o papel, criando representações determinados seres ou objetos com as
333
dobras geométricas de uma peça de papel, sem cortá-la ou colá-la. Origami e dobraduras
podem ser considerados sinônimos
Antes de encerrar a aula, entregue uma folha em branco para cada aluno e juntos, seguindo
os passos abaixo, construam um tsuru Peça que os alunos, durante a construção observem
quantos triângulos foram construídos a partir das dobraduras
334
335
Fonte:
http://recreacaointeligente.wordpress.com/2009/06/02/oficinas-infantis-como-fazerum-tsuru/
Finalmente peça que para a próxima aula peça que os alunos tragam:
Folhas de papel tipo “fantasia”, “manteiga” ou similar.
Réguas e transferidores.
Ampliando a habilidade
Ampliando a Habilidade
Nesta aula os alunos reconhecerão triângulos por meio de lados e ângulos
Material necessário:
Folhas de papel tipo “fantasia”, “manteiga” ou similar.
Réguas e transferidores.
Data show para apresentar figuras explicitadas logo abaixo ou, alternativamente, cópias
dessas figuras para os alunos, ou ainda, folhas de cartolina com as dobraduras previamente
preparadas.
Desenvolvimento 1- Distribua o material - folhas de papel, réguas e transferidores - entre os alunos (ou grupos de alunos).
2- Oriente os alunos, passo a passo, na realização de cada uma das dobraduras.
3- Após cada uma delas explore os conceitos geométricos correspondentes.
336
1-Folha em branco.
2- Dobrar a folha ao meio e.
..
3- Desdobrar. Destaque o
vinco com o lápis.
5- Chamar de C o ponto de6- Dobrar, agora, para obter
4- Dobrar novamente de terminado por essa dobra a reta passando por A e C.
forma que o ponto B fique sobre a marca da metade da
sobre a marca da 1ª dobra e. página e desdobre.
..
6- Desdobrar e. . .
7- Traçar o segmento AC.
8- Dobrar para obter a reta
passando por A e B.
9- Desdobrar e traçar o segmento AB. Pronto! Resultado: O Triângulo ABC é equilátero. .
337
Explorando a construção- Comente com os alunos e os ajude a observar:
1) O triângulo ABC é, de fato, equilátero por sobreposição do lado AC sobre AB e BC sobre
AB.
2) Que o segmento CM é a altura de ABC em relação ao lado AB por sobreposição do lado
AC sobre BC, para constatar que os ângulos AMC e BMC são congruentes, logo retos.
3) Que o segmento CM é bissetriz do ângulo ACB por sobreposição do lado AC sobre BC
para constatar que os ângulos ACM e BCM são congruentes.
4) Que o triângulo CDE também é equilátero e que as verificações dessa conclusão são
similares às três anteriores.
Indo além
1
6
Indo além...
Inicie esta aula exibindo o vídeo do programa 2 da TV escola encontrado em
https://www.youtube.com/watch?v=tKRjJFaKlf4 (“O barato de Pitágoras”), usando o trecho (2:
43 a 5: 14) em que vários profissionais explicam a importância do triângulo em estruturas de
portas, de telhados e até mesmo na botânica.
Abra uma discussão com os alunos e peça para eles compararem as fotos e desenhos realizados com os comentários dos engenheiros, arquitetos e biólogos. Faça-os perceber como
os triângulos são largamente encontrados no nosso cotidiano.
Em seguida, exiba outro trecho do vídeo do programa 2 (10: 23 a 13: 13). Aqui os alunos
poderão ver uma simulação que define os principais tipos de triângulo e, inclusive, o Teorema
de Pitágoras. Finalize a aula pedindo que os alunos leiam o poema:
Triângulo de Antônio Martins do livro Ser Poeta
Agora tenho de escrever sobre a palavra triângulo. . .
Não podia ter sido ângulo?
Não seria bem mais fácil? E talvez neste retângulo minha escrita fosse ágil!. . . Quase
me sinto sonâmbulo (desconhecendo o seu sentir), depois de alguns dias febris deste
corpo, que é o meu. . . está dorido no seu todo, deste lado e daquele, ou seja de um e
outro ângulo, que nestes últimos tempos, nunca tanto me doeu. Mas a escrita a desenvolver é sobre a palavra triângulo, por isso vamos esquecer o evoluído e aludido ângulo. De que artimanhas me devo dotar, nesta fase menos inspiradora, em que procuro
não agravar o meu estado nesta hora!. . . Bom o triângulo. . . é um conjunto de três ângulos (lá estão os ângulos, outra vez. . . ) inseridos numa figura geométrica, de três lados, que se dá pelo referido nome. . . Não ficou nada de encantar, nem nisso encontrei
sentido. . . mas a brincar, a brincar, o triângulo está lá contido!. . .
338
Realizando a Intervenção!
Realizando a Intervenção!
Professor, nesta seção seguem algumas questões com o objetivo de verificar as aprendizagens dos alunos em relação ao desenvolvimento da habilidade “Identificar propriedades de
triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos. ”. Estas questões servem de diagnóstico, para verificar aquilo que precisa ser retomado com alguns alunos ou com toda a turma.
1) A professora desenhou um triângulo no quadro.
Em seguida, fez a seguinte pergunta: − “Se eu ampliar esse triângulo 3vezes, como ficarão as
medidas de seus lados e de seus lados e de seus ângulos? ”
Alguns responderam:
Fernando: −”Os lados terão 3cm a mais cada um. Já os ângulos serão os mesmos. ”
Gisele: −”Os lados e ângulos terão suas medidas multiplicadas por 3”.
Marina: −”A medida dos lados eu multiplico por 3e a medida dos ângulos eu mantenho as
mesmas. ”
Roberto: −”A medida da base será a mesma (5 cm), os outros lados eu multiplico por 3e mantenho a medida dos ângulos. ”
Qual dos alunos acertou a pergunta da Professora?
a) Fernando
b) Gisele
c) Marina
d) Roberto
339
2) Ao fazer um aviãozinho, Felipe tomou uma folha retangular de papel e observou os passos
indicados nas figuras a seguir:
O triângulo ABC é:
(A) retângulo e escaleno;
(B) retângulo e isósceles;
(C) acutângulo e escaleno;
(D) acutângulo e isósceles.
340
3) (Prova brasil - M08359SI). Janine desenhou dois triângulos, sendo que o triângulo DEF é
uma redução do triângulo ABC.
A medida x do lado DF é igual a:
(A) 4 cm.
(B) 6 cm.
(C) 8 cm.
(D) 12 cm.
4) (M08359SI) A figura a seguir representa uma sequência de triângulos equiláteros, onde, cada triângulo, a partir do segundo possui 2 da área do anterior.
3
Sabendo que o primeiro triangulo tem lado K, o perímetro do quinto triangulo da sequência é:
341
(a)
k
3
(b)
4k
3
(c)
k
9
(d)
16k
81
342
Referência
BRASIL. Ministério da Educação (MEC) www.mec.gov.br
Centro
de
Referência
Virtual
do
Professor
de
crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index2.aspx??id_objeto=23967#
Minas
Gerais
educacao.uol.com.br
hwww.educamaisbrasil.com
posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/pdfs/430.pdf
revistacalculo.abril.com.br
revistaescola.abril.com.br/planos-de-aula/.
tvescola.mec.gov.br
ww.portaleducacao.com.br
www.educacao.go.gov.br/
www.educacao.mg.gov.br/
www.educacao.pr.gov.br/
www.educacao.sp.gov.br/
www.educarbrasil.org.br
www.infoescola.com
www.portaleducacao.com.Br
www.sedu.es.gov.br/download/seqdidaticas_em_mat.pdf
www.obmep.org.br
Banco de questões: RCE, Rede Pitágoras, SESI, Escola Satélite/Abril Educação
CADERNOS DE TEORIA E PRÁTICA DO GESTAR II – MATEMÁTICA –UnB.
DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas em Matemática. São Paulo: Ática, 1991.
DANTE, L. R. TUDO É MATEMÁTICA: São Paulo: Ática, 2009.
EVES, H. História da Geometria. São Paulo: Atual, 1992.
KALEFF, A. M. M. R. Vendo e entendendo poliedros. Niterói: EdUFF, 1998.
Tahan, Malba O Homem que Calculava Rio de Janeiro: Record, 1989.
343