Produtos notáveis

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Produtos notáveis
Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Propriedades da multiplicação
Algumas propriedades da multiplicação são:
Comutativa: 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂
Associativa: 𝒂 . 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒃 . 𝒄
Entre outras...
Trataremos da Propriedade Distributiva:
•
•
𝒂. (𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄
(𝒂 + 𝒃). (𝒄 + 𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅
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Propriedade distributiva
𝒂 + 𝒃 . 𝒂 + 𝒃
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2
= 𝒂2 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃2
𝒂 − 𝒃 . 𝒂 − 𝒃
= 𝑎2 − 𝑎𝑏 – 𝑎𝑏 + 𝑏 2
= 𝒂2 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃2
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 . 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2
= 𝒂² + 𝒃² + 𝒄² + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝟐𝒂𝒄
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Produtos notáveis
Afim de economizar tempo e não ter de
multiplicar termo a termo, utilizamos os
produtos notáveis.
Contudo, deve ser usado quando se tem plena
certeza de como e quanto usar.
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Quadrado da soma
Indicado por: a mais b ao quadrado é igual ao quadrado
do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo,
mais o quadrado do segundo:
(a + b)² ou (a + b)(a + b)
Forma expandida:
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²
Então: (𝒂 + 𝒃)² = 𝒂² + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃²
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Geometria do quadrado da soma
Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado
da soma de dois termos desconhecidos geometricamente.
Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a
área do quadrado maior , a², mais duas vezes a área do
retângulo, ou seja, 2ab, mais a área do quadrado menor, b².
a
b
a
a²
ab
b
ab
b²
(a + b)(a + b) = (a + b)²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
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Quadrado da soma
Exemplo:
• (𝟑𝒙 + 𝟓)² = (3𝑥)² + 2 (3𝑥)(5) + 5² = 9𝑥²
+ 30𝑥 + 25
• (𝒚 + 𝟔)² = 𝑦² + 2 (𝑦)(6) + 6² = 𝑦²
+ 12𝑦 + 36
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Vamos praticar...
𝑥 + 3𝑦 2
= 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐
1
6
+ 𝑦2
3
𝟐
𝟑
= +
𝟐
𝟑
2
𝟔𝒚 + 𝒚
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Quadrado da diferença
Indicado por: a menos b ao quadrado é igual ao
quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro
vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a - b)² ou (a - b)(a - b)
Forma expandida:
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a² - 2ab + b²
Então: (𝒂 − 𝒃)² = 𝒂² − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃²
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Geometria do quadrado da diferença
Observe que a área do quadrado de lado (a - b)
vermelho pode ser obtida subtraindo a área dos dois
retângulos rosas e a área do quadrado laranja . Ou
seja:
a
(a – b)
(a – b)
b
(a – b)²
b(a – b)
a
a
b
b
b(a – b)
b²
𝒂 − 𝒃 𝟐= 𝒂 − 𝒃 𝒂 − 𝒃
b
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂 − 𝒃
𝟐
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Quadrado da diferença
Exemplo:
• (𝒙 − 𝟒)² = 𝑥² − 2 (𝑥)(4) + 4² = 𝑥² −
8𝑥 + 16
• (𝟑𝒙 − 𝒚)² = (3𝑥)² − 2 (3𝑥)(𝑦) + 𝑦² =
9𝑥² − 6𝑥𝑦 + 𝑦²
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Vamos praticar...
8
3
=
𝟖
𝟑
− 𝑦4
−
9𝑥
7
=
2
𝟐𝒚𝟒
𝟖
𝟑
2
−𝑧
𝟖𝟏𝒙𝟐
𝟕
−
+
+ 𝒚𝟖
−1
3
3
𝟏𝟖
𝒙𝒛
𝟕
𝟑
+ 𝒛𝟐 + 𝟑
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Produto da soma pela diferença
Indicado por: quadrado do primeiro termo (a) menos o
quadrado do segundo termo (b):
(a + b)(a – b) = a² - b²
Forma expandida:
(a + b)(a - b) = a² - ab + ba – b² = a² - ab +ab - b² = a² - b²
Então:(𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃) = 𝒂² − 𝒃²
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Produto da soma pela diferença
E quando é necessário utilizar outros expoentes?
Utiliza-se a seguinte fórmula:
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏−𝒌
𝒂 −𝒃 = 𝒂−𝒃
(𝒂
𝒌−𝟏
.𝒃
)
𝒌=𝟏
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Geometria do produto da soma pela
diferença
Considere um retângulo de lados com medida (a + b)
e (a – b).
(a + b)
b
a
A área dos retângulos vermelhos é:
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃)
(a - b)
a
b
a
b
A área da figura obtida pode ser
expressa por 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
b
a
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Produto da soma pela diferença
Exemplo:
•
𝟓𝒙 + 𝒚 𝟓𝒙 − 𝒚 = 25𝑥 2 − 5𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦 – 𝑦 2
= 25𝑥² − 𝑦²
•
𝒙𝟐 − 𝒙 𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 3 − 𝑥 2
= 𝑥⁴ − 𝑥²
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Vamos praticar...
1
6
+ 𝑦2
3
1
6
− 𝑦2
3
𝟐
𝟑
= −𝒚
3
𝑏 +
3𝑐
5
𝟔
3
𝑏 −
=𝒃 −
𝟗𝒄𝟐
𝟐𝟓
3𝑐
5
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Cubo da soma
Indicado por: a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro
mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo,
mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo,
mais o cubo do segundo:
(a + b)³= (a + b)(a + b)²
Forma expandida:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =
= a³ + 2a²b +ab² + ba² + 2ab² + b³ =
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Então:(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
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Cubo da soma
Exemplo:
•
(𝒙 + 𝟑)³ = 𝑥³ + 3(𝑥²)(3) + 3(𝑥)(3²) + 3³ =
= 𝑥³ + 9𝑥² + 27𝑥 + 27
•
(𝟐𝒂 + 𝒃)³ = (2𝑎)³ + 3(2𝑎)²(𝑏) + 3(2𝑎)(𝑏²) +
𝑏³ = 8𝑎³ + 12𝑎²𝑏 + 6𝑎𝑏² + 𝑏³
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Vamos praticar...
(2𝑎 + 𝑦 3 )3
= 𝟖𝒂𝟑 + 𝟏𝟐𝒂𝟐 𝒚𝟑 + 𝟔𝒂𝒚𝟔 + 𝒚𝟗
1
62
+ 𝑥2
3
𝟑
𝟐
= 𝟔 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟑 𝟔𝒙𝟒 + 𝒙𝟔
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Cubo da diferença
Indicado por:a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos
três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes
o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do
segundo.
(a - b)³= (a - b)(a - b)²
Forma expandida:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²) =
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ =
=a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Então:(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
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Cubo da diferença
Exemplo:
• (x - 4)³ = x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ =
x³ - 12x² + 48x - 64
• (3a + b)³ = (3a)³ + 3(3a)²(b) + 3(3a)(b²) + b³ =
27a³ + 27a²b + 9ab² + b³
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Vamos praticar...
(2a  y ³)³  8a ³  12a ² y ³  6ay  y
6
9
125 75
15 4
5
6
 a² 
a a
(
 a ²)³ 
7
7 7 7
7
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Produto de Stevin
Definição: É o produto de qualquer número de binômios do
1º grau, da forma (x + a), onde a é um número real ou
complexo.
Para dois binômios, teremos:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Para três binômios, teremos:
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
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Produto de Stevin
Exemplo:
•
(𝒙 + 𝟏𝟎)(𝒙 − 𝟗𝟎)
= 𝑥 2 − 80𝑥 − 900
•
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏𝟓)(𝒙 + 𝟔)
= 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 108𝑥 − 180
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Vamos praticar...
•
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟓)
= 𝑥 2 + 7𝑥 + 10
•
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒)
= 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 26𝑥 + 24
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Obrigada pela atenção!
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