Modelo de Avaliação de uma opção de venda de tipo

Modelo de Avaliação de uma opção de venda de tipo Americano: solução quasifechada
Cristina Viegas
Faculdade de Economia da Universidade do Algarve e CEFAGE-UE
[email protected]
José Azevedo Pereira
Instituto Superior de Economia e Gestão da
Universidade Técnica de Lisboa
[email protected]
Modelo de Avaliação de uma opção de venda de tipo Americano: solução quasifechada
Resumo
Este estudo desenvolve uma solução quase analítica para o valor de uma opção de venda
de tipo Americano e para o respectivo preço crítico. São apresentadas duas variantes:
dividendos constantes e dividendos proporcionais ao preço da acção. Para a situação de
dividendos constantes, o valor da put Americana é dado por uma solução fechada. No
caso de dividendos proporcionais ao valor da acção só é possível alcançar uma solução
quase fechada, uma vez que o preço crítico só é passível de ser encontrado
numericamente. O procedimento utilizado é usualmente conhecido como “método das
linhas” – considera-se uma formulação na qual o tempo é discreto, em vez de contínuo.
Deste modo, a equação diferencial proposta por Black e Scholes (1973) é transformada
numa equação diferencial ordinária não homogénea. Nesta equação a derivada da
função preço da opção em ordem ao tempo é substituída por uma diferença finita e as
derivadas em ordem ao preço do activo subjacente mantêm-se inalteradas. Com vista a
melhorar a qualidade dos resultados obtidos, é aplicada a extrapolação de Richardson,
facto que permite acelerar a convergência dos outputs para valores próximos da
realidade.
Palavras-chave: Avaliação de opções, opções Americanas, soluções analíticas
1. Introdução
O valor de uma opção de tipo Europeu é facilmente determinado através da
aplicação da fórmula deduzida em Black e Scholes (1973). Por sua vez, a valorização de
uma opção de venda de tipo Americano afigura-se uma tarefa muito mais complexa. A
possibilidade de exercício antecipado por parte do detentor deste tipo de opções
constitui o principal obstáculo à determinação de uma solução fechada. É necessário
determinar o preço crítico do activo subjacente, abaixo do qual a opção deve ser
exercida imediatamente. Este cálculo representa um dos principais problemas na
obtenção de uma solução fechada. Deste modo são quase inexistentes os trabalhos que
apresentam soluções fechadas, para o valor deste tipo de opções. Duas excepções são
Zhu (2006) e Zhao and Wong (2010). Zhu (2006) derivou uma solução forma fechada
para o valor da opção de venda de tipo Americano e a sua fronteira de exercício óptimo,
baseado no método de análise de homotopia. Zhao and Wong (2010) investigou a
avaliação analítica de opções Americanas segundo processos de difusão geral,
utilizando a análise de homotopia.
Grande parte dos trabalhos que têm apresentado soluções analíticas para o preço da
opção recorrem a métodos numéricos para determinar o preço crítico do activo
subjacente. Por exemplo, trabalhos como Kim (1990), Jacka (1991) e Carr, Jarrow e
Myneni (1992), consideram que o valor da opção Americana corresponde ao valor da
opção Europeia1 acrescido de um prémio que é dado pelo valor actualizado dos ganhos
potenciais inerentes ao exercício antecipado. Este prémio é dado por uma equação
integral, sendo a fronteira de exercício determinada através de um procedimento
numérico reversivo.
Por sua vez, trabalhos como Geske e Johnson (1984), Bunch e Johnson (1992), Ho,
Stapleton e Subrahmanyam (1994), Huang, Subrahmanyam e Yu (1996) e Lee e Paxon
(2003), desenvolvem aproximações analíticas para o preço da opção de venda de tipo
Americano através do cálculo do valor de conjuntos de opções com datas de exercício
discretas. A diferença entre estes estudos reside fundamentalmente no número e nas
datas de exercício das opções utilizadas para o cálculo da opção de venda de tipo
1
O valor da opção Europeia é determinado de acordo com a fórmula dada em Black e Scholes (1973).
Americano, bem como no método de extrapolação2 utilizado com o intuito de obter uma
aproximação satisfatória para o valor da opção. No entanto, trata-se também de
trabalhos que não determinam analiticamente o valor crítico do activo subjacente.
Paralelamente, existem trabalhos que, apresentando formulações analíticas para o
preço da opção de venda Americana, determinam, explicitamente, o preço crítico do
activo subjacente. Merecem particular saliência neste domínio, os trabalhos de Carr e
Faguet (1996), Carr (1998) e Bunch e Johnson (2000), que apresentam avanços
significativos no cálculo do valor da opção de venda Americana mediante o recurso a
soluções quasi-explícitas.
Por exemplo, a derivação de uma expressão para o chamado preço crítico do activo
subjacente de uma opção de venda Americana constitui um dos principais objectivos de
Bunch e Johnson (2000). Uma vez determinado o valor desta variável, os autores
utilizam-no na determinação do valor da opção de venda Americana, mediante a
utilização do método proposto em Huang, Subrahmanyam e Yu (1996). Importa, no
entanto, referir que a solução de Bunch e Johnson (2000) é apenas válida para opções de
venda de tipo Americano cujo activo subjacente não distribui dividendos.
Outros dois trabalhos de referência neste domínio são os de Carr e Faguet (1996) e
de Carr (1998). Estes dois trabalhos transformam a equação diferencial parcial geral3
numa equação diferencial ordinária não homogénea. Esta passagem pressupõe a
substituição da derivada da função preço em ordem ao tempo por uma diferença finita.
Os pressupostos base para a aplicação deste procedimento são diferentes nos dois
artigos. Assim, Carr (1998) justifica o seu procedimento através da classificação do
tempo como aleatório e considerando que o mesmo segue uma distribuição de Erlang ou
distribuição gamma. Já Carr e Faguet (1996) referem que a obtenção de uma solução
analítica pressupõe a aplicação do método das linhas, o que significa que a componente
tempo do modelo deixa de ser contínua para passar a ser discreta. Nestes dois últimos
artigos referidos, apesar dos pressupostos iniciais do modelo serem diferentes, os
2
Existem trabalhos que utilizam extrapolação linear enquanto outros recorrem à extrapolação
exponencial.
3
Trata-se da equação dada por Black e Scholes (1973) e que serviu de base à determinação do valor da
opção Europeia sobre uma acção.
resultados finais são equivalentes. Assim, são determinados os valores da opção de
venda Americana e do preço crítico do respectivo activo subjacente.
Este artigo tem por objectivo o desenvolvimento de uma solução analítica capaz de
avaliar uma opção de venda Americana, considerando que o activo subjacente distribui
dividendos. Trata-se de uma área de investigação relevante, tanto devido ao elevado
número de transacções de opções de tipo Americano sobre diferentes activos
subjacentes (acções, moedas, mercadorias, entre outros), como pelo facto deste tipo de
avaliação ter aplicações na determinação do valor de outros activos financeiros4.
Neste trabalho é seguido o “método das linhas”, isto é, considera-se uma formulação
na qual o tempo é discreto, em vez de contínuo. Este método foi utilizado na avaliação
de opções por Carr e Faguet (1996) e por Meyer e J. van der Oeck (1997). O primeiro
trabalho utilizou este método como uma forma de gerar fórmulas explícitas para o valor
aproximado de uma opção Americana e para o correspondente preço crítico. O segundo
trabalho mencionado discute como este método pode ser utilizado para estudar a
avaliação numérica das opções Americanas e para determinar a fronteira de exercício
antecipado.
A organização deste trabalho é a seguinte. A secção 1 introduz o tema, objecto de
estudo neste trabalho. A secção 2 desenvolve um modelo de avaliação de opções de
venda de tipo Americano em que o activo subjacente distribui dividendos, sendo
alcançada uma solução fechada para o caso de dividendos constantes e uma solução
quase fechada quando os dividendos são proporcionais ao valor do activo subjacente.
Na secção 3 são apresentados, numérica e graficamente, os resultados obtidos com a
aplicação das fórmulas deduzidas na secção anterior e os mesmos são confrontados com
outros valores, alcançados por diferentes autores, que têm apresentado trabalhos nesta
área de investigação. Finalmente, é apresentada a conclusão, incluindo sugestões para
futuros desenvolvimentos.
4
Por exemplo, Viegas e Azevedo-Pereira (2010) desenvolvem um modelo de valorização de hipotecas
recorrendo aos princípios subjacentes à avaliação de opções de tipo Americano.
2. Modelo de avaliação de uma opção de venda de tipo Americano
2.1 Solução analítica para o valor de uma opção de venda de tipo Americano.
O modelo apresenta duas variantes: dividendos constantes, φ , e dividendos
proporcionais ao preço da acção, δ . Para a situação de dividendos constantes, o valor
da opção de venda de tipo Americano é dado por uma solução fechada, enquanto que
para dividendos proporcionais ao valor da acção, só é possível alcançar uma solução
semi-explícita, uma vez que o preço crítico só é passível de ser encontrado
numericamente.
No caso de dividendos constantes é pressuposto que o valor inicial do preço da
acção é passível de ser decomposto através da seguinte expressão, seguindo Roll
(1977):
S =s+
(
1− e τ )
r
φ
−r
(1)
onde o segundo termo corresponde ao valor actualizado, em tempo contínuo, da
componente fixa do fluxo futuro de dividendos a receber no período τ e s representa o
somatório do valor actualizado, da componente variável de dividendos a receber no
período τ com o valor actualizado de todos os dividendos cujo recebimento é esperado
posteriormente a esse período.
Na formulação desenvolvida neste trabalho o tempo é considerado discreto, pelo
que (1) passa a ter a seguinte configuração:
1−
S = s +φ
τ
n
1
τ

1 + r 
n

r
n
(2)
τ
n
O segundo termo da expressão representa o valor actualizado duma renda com n
termos constantes, o que significa que o valor contínuo da componente fixa dos
dividendos foi substituída por n valores discretos iguais a φ
tempo entre dois termos consecutivos igual a
τ
n
τ
n
cada, com período de
. O período de tempo total de posse do
título é igual a τ . A expressão (2) pode, ainda, apresentar uma configuração mais
simples:




φ
1

S = s + 1 −
n 
r
 1 + r τ  

n  
 
(3)
Após estas considerações iniciais, relativas à forma como a componente fixa do
fluxo futuro de dividendos a receber no período τ deve ser encarada no processo de
avaliação, inicia-se o desenvolvimento da metodologia que permite determinar o valor
de uma put de tipo Americano sobre um activo que distribui dividendos. A partir daqui,
as fórmulas a apresentar consideram, em alternativa, dividendos constantes, φ , ou
dividendos proporcionais ao preço da acção, δ . Ou seja, para dividendos constantes
tem-se δ = 0 e φ ≠ 0 , enquanto que para dividendos proporcionais, se considera φ = 0 e
δ ≠ 0 . Por outro lado, toda a formulação utilizada para este fim é função de s , ou seja
do preço da acção deduzido do valor actualizado da componente fixa dos dividendos
cujo recebimento é esperado durante o período τ .
O processo a desenvolver assenta na técnica utilizada para a avaliação de fluxos
contingentes. Considera-se que o valor da opção depende de uma única variável
estocástica: o preço da acção. A evolução desta variável é definida de acordo com o
seguinte processo estocástico:
݀‫ = ݏ‬ሺ‫ ݎ‬− ߜሻ‫ ݐ݀ݏ‬+ ߪ௦ ‫ݖ݀ݏ‬௦
(4)
Onde ‫ ݎ‬representa a taxa de juro sem risco de curto prazo, ߜ a taxa de
distribuição de dividendos, ߪ௦ o desvio padrão instantâneo e ‫ݖ‬௦ o processo de Wiener
padrão.
Considerando que o valor da opção, ܲሺ‫ݏ‬, ߬ሻ, depende da variável estocástica,
preço da acção, e que a mesma segue o processo definido em (4), é deduzida a equação
diferencial parcial:
−
2
∂P (τ , s ) ∂P (τ , s )
(r − δ )s + 1 σ S 2 s 2 ∂ P (τ2 , s ) − rP (τ , s ) = 0 se s ≥ sm
+
∂τ
∂s
2
∂s
(5)
onde sm corresponde ao valor crítico, do preço da acção, deduzido do valor actualizado
da componente fixa dos dividendos cujo recebimento é esperado durante o período τ .
Note-se que, tal como no preço da acção, também no preço crítico se verifica a
seguinte igualdade:




φ
1

Sm = sm + 1 −
n 
r
 1 + r τ  
n 
 
(6)
O método a desenvolver assenta na transformação da equação diferencial parcial
geral numa equação diferencial ordinária não homogénea. Esta passagem é feita através
da aplicação do denominado método das linhas. Trata-se de substituir a derivada da
função preço, em ordem ao tempo, por uma diferença finita enquanto que as derivadas
em relação ao preço do activo subjacente permanecem inalteradas. Deste processo
resulta uma sequência de equações diferenciais ordinárias não homogéneas que é
necessário resolver. Quanto menor for o intervalo de tempo considerado na diferença
finita maior qualidade possuem os resultados alcançados com esta alteração. Neste
trabalho subdivide-se o tempo num número relativamente pequeno de intervalos,
quatro5 no caso, e posteriormente aplica-se a extrapolação de Richardson6 com o intuito
de acelerar a convergência dos resultados obtidos para valores próximos da realidade.
Deste modo a equação (5) passa a ter a seguinte configuração geral, para s ≥ sm :
2 (m )
(m )
( m −1)
dP (m ) (s )
(r − δ )s + 1 σ S 2 s 2 d P 2 (s ) − rP (m ) (s ) = P (s ) −τ P (s ) se s ≥ sm (7)
2
ds
ds
n
Trata-se de uma equação diferencial ordinária não homogénea em que o preço
da opção passa a ser função de uma única variável.
5
Na valorização de uma put Americana, a subdivisão do tempo total de posse da opção em quatro
intervalos conduz a estimativas muito aceitáveis; veja-se por exemplo Carr e Faguet (1996).
6
A extrapolação de Richardson tem sido aplicada em trabalhos da área com sucesso; veja-se por
exemplo Carr (1998).
Para a determinação deܲሺ௠ሻ ሺ‫ݏ‬ሻé necessário conhecer a expressão deܲሺ௠ିଵሻ ሺ‫ݏ‬ሻ,
pelo que esta equação deve ser resolvida para ݉ = 1,2,3,47
O valor da put Americana deve verificar (7) conjuntamente com as seguintes
condições de fronteira:
lim P (m ) (s ) = 0
(8)
lim P (m ) (s ) = K − S m
(9)
dP(m ) (s )
lim
= −1
s → sm
ds
(10)
s →∞
s→sm
Onde ‫ ܭ‬corresponde ao preço de exercício.
Para a prossecução do objectivo de determinar o valor da put Americana, através
da resolução de (7), sujeita às restrições (8), (9) e (10), aplica-se o procedimento
utilizado em trabalhos como Huang, SubrahmanyameYu (1996), onde o valor da opção
Americana corresponde ao valor da opção Europeia acrescido de um prémio resultante
da possibilidade de exercício antecipado da opção.
Deste modo, obtém-se:
P (m ) (s ) = p (m ) (s ) + pr (m ) (s )
se s ≥ sm
(11)
onde p (m ) (s ) e pr (m ) (s ) correspondem ao valor da put Europeia e ao valor do prémio,
respectivamente.
Por sua vez a put Europeia deve verificar (7) e as seguintes condições de
fronteira:
p (m) (s ) = max(K − S ,0) para τ = 0
7
(12)
݉ corresponde ao número de sub-períodos em relação ao número total de intervalos de tempo, ݊ = 4,
considerados no modelo. Assim, é determinada a expressão do valor da put Americana, relativa a
గఛ
௡
períodos de tempo, com ݉ = 1,2,3,4 e ݉ ≤ ݊.
lim p (m ) (s ) =
s →0
K
τ

1 + r 
n

(13)
n
lim p (m ) (s ) = 0
s →∞
(14)
O respectivo prémio, deve verificar (7) e a seguinte condição:
lim pr (m ) (s ) = 0
(15)
s →∞
Com a utilização deste procedimento, a solução fechada geral para o valor da put
Americana vem dada por diferentes expressões, de acordo com o intervalo de variação
do preço do activo subjacente.
Assim, para s ≥ K , m = 1,2,3,4 , n = 1,2,3,4 e m ≤ n , o valor da opção put
Europeia vem:
(m )
p[s≥ K ]
(s ) = s
2τδ + β − α n
2τσ 2

 τσ 2 ln (s )  

 am + 2nam−1 
+
 αn

α

n 

2
4
3 6
 ln (s ) 2τσ 2 

 + n am−3  30τ σ
+ 2n a m − 2 
+
 α
α n 
3  α n 3
n

2
3
30τ 2σ 4 ln (s ) 9σ 2τ ln (s )
ln (s ) 
+
+
+

5
3
2
αn
α n 2 
αn 2
2
se s ≥ K (16)
Onde:
am−i = 0 para m − i ≤ 0 e i = 1,2,3
O mesmo raciocínio é seguido para determinar o valor do prémio, o qual deve
verificar a condição de fronteira definida em (15). Assim, para s ≥ s1 , m = 1,2,3,4 ,
n = 1,2,3,4 e m ≤ n , vem:
pr
(m )
(s ) = (s )
2τδ + β − α n
2τσ
2

 τσ 2 ln (s )  

 d m + 2nd m −1 
+
 αn

α

n 

2
 ln (s ) 2τσ 2 
n 4 d m −3


+ 2n d m−2
+
+
 α
3
α n 
n

2
+
30τ 2σ 4 ln (s )
αn
5
9σ 2τ ln (s )
2
+
2
α n2
+
se s ≥ s1
(17)
 30τ 3σ 6

 α 3
n

3
ln (s ) 

3
α n 2 
Onde:
d m−i = 0 para m − i ≤ 0 e i = 1,2,3
Deste modo já é possível apresentar a solução geral, relativa ao valor da put de
tipo Americano, quando s ≥ K e m = 1,2,3,4 :
(m )
P[s ≥ K ]
(s ) = p[s≥ K ](m ) (s ) + pr (m ) (s )
se s ≥ K
(18)
Na região s1 ≤ s ≤ K , o valor da put Americana também corresponde à opção
Europeia acrescida do prémio, com a particularidade de, nesta zona, o valor da opção
Europeia a determinar ser odacall8, sendo posteriormente aplicada a paridade put-call
para obter a expressão da put Europeia. Por sua vez, o valor do prémio, tem a
configuração definida em (17). Nestes termos, o valor da put Europeia, nesta zona, com
m = 1,2,3,4 , n = 1,2,3,4 e m ≤ n , é dado pela seguinte expressão9:
8
A primeira etapa na resolução de (7) compreende a determinação do valor da opção no término do
contrato. Este valor corresponde ao payoff da opção, o qual é igual a zero na zona out-of-moneyde uma
opção Europeia. Assim, na zona
9
s1 ≤ s ≤ K
e para τ = 0 , o valor da call Europeia é igual a zero.
Mais uma vez o valor da put Europeia deve verificar as condições de fronteira definidas em (12), (13) e
(14).
(m )
p[s1 ≤ s≤ K ]
(s ) = s
2τδ + β + α n
2τσ 2

 τσ 2 ln (s )  

 bm + 2nbm −1 
−
 αn

α

n 

2
 ln (s ) 2τσ 2  n 4bm−3  30τ 3σ 6
 +

+ 2n bm − 2 
−
 α 3
 α

3
α
n 
n
n


se s1 ≤ s ≤ K
2
3
30τ 2σ 4 ln (s ) 9σ 2τ ln (s ) ln (s ) 
−
+
−

5
3
αn2
α n 2 
αn 2
K
s
+
−
+ em
m
m
τ
τ


1 + r 
1 + δ 
n
n


2
(19)
Onde:
bm−i = 0 para m − i ≤ 0 e i = 1,2,3
Pelo que a expressão geral relativa ao valor da opção put de tipo Americano,
quando s1 ≤ s ≤ K e m = 1,2,3,4 , vem dada por:
(m )
P[s1 ≤ s≤ K ]
(s ) = p[s ≤ s≤ K ](m ) (s ) + pr (m ) (s )
1
se s1 ≤ s ≤ K
(20)
Para s ≤ s1 , o valor da opção é dado por diferentes expressões de acordo com o
intervalo de variação do preço da acção. Assim para s2 ≤ s ≤ s1 , m = 2,3,4 , n = 2,3,4 e
m ≤ n , vem:
(m )
P[s2 ≤ s ≤ s1 ]
(s ) = s
2τδ + β + α n
2τσ 2

 τσ 2 ln (s ) 

−
 z m−1 + 2nz m− 2 

 αn
α

n 


K
+
m −1
 
τ
 1 + r 
n





1


φ 1 −
n 
 1 + r τ  

n  


se s2 ≤ s ≤ s1 (21)
−
m −1
τ

r 1 + r 
n

 ln (s ) 2τσ 2 

+ 2n z m −3 
−
 α

α
n
n


2
−
s
τ

1 + δ 
n

2τδ + β − α n
+s
2τσ 2
m −1
2

 τσ 2 ln (s ) 

+
 y m−1 + 2ny m− 2 
 αn

α

n 

 ln (s ) 2τσ 2 

+ 2n y m −3 
+
 α

α
n 
n

2
2




Onde:
ym−i = 0 e z m−i = 0 para m − i ≤ 0 e i = 2,3
Por sua vez, para s3 ≤ s ≤ s2 , m = 3,4 , n = 3,4 e m ≤ n ,a fórmula para o valor da
put Americana é a seguinte:

 τσ 2 ln(s )  


−
P[s3 ≤s ≤s2 ] (s ) = s
w + 2nwm−3 
 αn

 m− 2
α
n 


K
s
+
−
m −2
m− 2
τ
τ


1 + r 
1 + δ 
n
n






se s3 ≤ s ≤ s2
1


φ 1 −
n 
 1 + r τ  

n  

− 
m− 2
τ

r 1 + r 
n

(m )
2τδ + β + α n
2τσ 2
2τδ + β − α n
+s
2τσ 2
(22)

 2

 x + 2nx  τσ + ln(s )  
m −2
m −3
 αn

α n  


Onde:
wm−i = 0 e xm−i = 0 para m − i ≤ 0 e i = 3
Relativamente à zona s4 ≤ s ≤ s3 , m = 4 e n = 4 o valor da opção corresponde a:
(m )
P[s4 ≤ s≤s3 ]
(s ) = u1s
2τδ + β + α n
2τσ 2
+
K
1+ r
τ
n




1


φ 1 −
n 
 1 + r τ  

n  

− 
τ

r 1 + r 
n

−
s
1+ δ
τ
n
se s4 ≤ s ≤ s3
(23)
2τδ + β − α n
+ v1s
2τσ 2
Por último, para s ≤ sm , com m = 1,2,3,4 e m = n , a put é exercida
imediatamente, pelo que o seu valor corresponde a:
(m )
P[s≤ sm ]
(s ) = K − S
se s ≤ sm
(24)
Estas diferentes expressões para o valor da put Americana contêm um conjunto
de parâmetros cujo valor é determinado através da resolução de um sistema de
equações.
Para m = 1,2,3,4 , n = 1,2,3,4 , m ≤ n e s = K :
(m )
p[s≥ K ]
(s ) = p[s ≤s≤K ](m ) (s )
1
dp[s ≥ K ]
(m )
(s )
ds
d 2 p[s≥ K ]
ds
(m )
(m )
=
(s )
2
dp[s1 ≤s ≤ K ]
(s )
(25)
ds
(m )
=
d 2 p[s1 ≤s ≤ K ]
ds
(s )
2
Para m = 1 , n = 1,2,3,4 e s = s1 :
(m )
P[s1 ≤s ≤K ]
(s ) = P[s≤s ](m ) (s )
(26)
1
Para m = 2,3,4 , n = 2,3,4 , m ≤ n e s = s1 :
(m )
P[s2 ≤s ≤s1 ]
(s ) = P[s ≤s≤K ](m ) (s )
1
(m )
dP[s2 ≤s ≤s1 ]
(s )
ds
(m )
=
dP[s1 ≤s ≤ K ]
(s )
ds
(27)
Para m = 2,3,4 , n = 2,3,4 , m ≤ n e s = sn
(m )
P[s ≤sn ]
(s ) = P[s ≤s≤s ](m ) (s )
n −1
n
(28)
Para m = 3,4 , n = 3,4 , m ≤ n e s = s2
(m )
P[s2 ≤ s ≤ s1 ]
(s ) = P[s ≤s≤s ](m ) (s )
3
(m )
dP[s2 ≤s ≤s1 ]
ds
(s )
2
(m )
=
dP[s3 ≤s ≤s2 ]
ds
(s )
(29)
Para s = s4 , vem:




φ
1

(4 )
P[s4 ≤s≤s3 ] (s ) = K − s4 − 1 −
n 
r
 1 + r τ  

n  
 
(4 )
dP[s4 ≤s≤s3 ]
(s )
ds
= −1
(30)
Para a determinação do valor ‫ݏ‬ଵ , é necessário resolver a seguinte equação, para
‫ݏ = ݏ‬ଵe ݊ = 1,2,3,4:
dP[s1 ≤ s ≤ K ] (s )
= −1
ds
(1)
(31)
Para δ ≠ 0 o valor de s1 é dado implicitamente e tem que ser encontrado
numericamente. Para δ = 0 e φ ≠ 0 , o valor de s1 é dado pela seguinte expressão:

 

 

 
 2  
 σ τ  ln 

 

  − β + α n


 









(
s1 = e
4b12 r 2 ( n + rτ )2 α n

n
n

 n + rτ 
 n + rτ 
n +φrτ + Kr 2 
 rτ 
 τ −φ 


 n 
 n 

)2  φn −φ  n +nrτ 


n
−β − α n
2



 + 2 n ln  n + rτ


 n






 
 
 












(32)
Pelo que o valor crítico é igual a:




φ
1

S1 = s1 + 1 −
n 
r
 1 + r τ  

n  
 
(33)
Por sua vez, para ‫ݏ = ݏ‬௠ , ݉ = 2,3,4 e ݊ = 2,3,4 o valor de ‫ݏ‬௠ é determinado
através da resolução da seguinte equação:
(m )
dP[sm ≤s≤ sm −1 ]
(s )
dS
= −1
(34)
Só é alcançada uma expressão explícita quando se considera φ ≠ 0 e δ = 0 , como
já havia acontecido, na dedução anterior, para s1 . Para δ ≠ 0 , o valor de sm é
determinado numericamente.
Nestes termos para φ ≠ 0 e δ = 0 , vem:

 

 

 
 2  
4γ 2 ( n + rτ )2 α n
 σ τ  ln 
2
n
n


  2   n + rτ 
 n + rτ 
 −φ 
 +φ  − β + α n

  τ  Kr 

    n 
 n 


 

−
−
β
α

n







(
sm = e
)2



 n + rτ

 + 2 n ln  n






 
 
 












(35)
Onde: para m = 2 vem γ = zm−1 , para m = 3 vem γ = wm−2 , para m = 4 vem γ = u1 .
Em conformidade com o que tem sido afirmado, o valor crítico é igual a:




φ
1

S m = s m + 1 −
n 
r
 1 + r τ  

n  
 
Relativamente às equações apresentadas anteriormente, vem:
α n = (2rτ + τσ 2 ) + 4δτ 2 (− 2r + δ + σ 2 ) + 8nσ 2 para n = 1,2,3,4
2
β = τσ 2 − 2rτ
(36)
2.2 A aplicação da extrapolação de Richardson no modelo de valorização de uma
opção de venda de tipo Americano
Neste artigo, apesar de se considerar o tempo dividido num número de sub
períodos relativamente reduzido, é possível obter uma boa estimativa para o valor de
uma put Americana, através da aplicação da extrapolação de Richardson.
Neste âmbito, considere-se que os valores relativos à put Americana obtidos a
partir das equações determinadas anteriormente, para n = 1,2,3,4 , são funções dos sub-
τ τ τ
períodos de tempo aplicados em cada caso, isto é, de τ , , , , respectivamente.
2 3 4
Designe-se essas funções por Pˆ (τn ) , com n = 1,2,3,4 .
De acordo com Carr (1998), a utilização da extrapolação de Richardson é
adequada uma vez que a função Pˆ (τn ) pode ser representada através da série de MacLaurin:
()
()
n
Pˆ (τn ) = Pˆ (0) + τn Pˆ ' (0) + n Pˆ ' ' (0) + ... + n Pˆ (n ) (0) + O (τn )
2!
n!
τ 2
τ n
( )
(37)
( ) representa o erro da aproximação, que tende para zero quando o n tende
onde O (τn )
n
para infinito. O valor extrapolado da put Americana corresponde à solução de P̂ (0 ) .
Para que tal resultado seja possível de alcançar, considere-se:
()
()
Pˆ (τn ) ≈ Pˆ (0) + τn Pˆ ' (0) + n Pˆ ' ' (0) + n Pˆ ' ' ' (0)
2!
3!
τ 2
τ 3
(38)
Considerando n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4 , (39) é transformada num sistema de
quatro equações, com quatro variáveis, Pˆ (0 ), Pˆ ' (0 ), Pˆ ' ' (0 ) e Pˆ ' ' ' (0 ) . A resolução deste
sistema permite encontrar o valor extrapolado da put Americana:
32 ˆ τ
27 ˆ τ
1
Pˆ (0 ) =
P( 4 ) −
P ( 3 ) + 4 Pˆ (τ2 ) − Pˆ (τ )
3
2
6
(39)
O mesmo tipo de raciocínio deve ser aplicado para a determinação do valor
crítico extrapolado do activo subjacente:
32 ˆ τ
27 ˆ τ
1
Sˆ 4 (0 ) =
S4 (4 ) −
S 3 ( 3 ) + 4 Sˆ 2 (τ2 ) − Sˆ1 (τ )
3
2
6
(40)
Com a aplicação da extrapolação de Richardson, são determinados os valores
extrapolados do preço crítico, Sˆ4 (0) e da put Americana, P̂ (0 ) , o que permite obter uma
aproximação muito satisfatória para o valor destas funções, embora se considere o
tempo dividido, somente, em quatro intervalos.
3. Análise de resultados do modelo de avaliação de uma opção de venda de
tipo Americano
Esta secção apresenta e discute, numérica e graficamente, os resultados
proporcionados pelo modelo geral de valorização de uma opção de venda de tipo
Americano, anteriormente desenvolvido. Esta análise é efectuada através da
apresentação de gráficos, representativos da evolução do valor da opção, assim como
de tabelas onde são apresentados valores numéricos para o valor da put Americana.
Pretende-se, assim, mostrar que as fórmulas aqui desenvolvidas, relativas à
avaliação da opção put Americana, representam uma boa estimativa para o valor da
opção, comparativamente com o que tem sido apresentado noutros estudos da área.
Deste modo, os resultados obtidos para a put Americana, recorrendo às fórmulas
deduzidas neste trabalho, são confrontados com outros valores que têm sido
alcançados, por diferentes autores, com trabalhos desenvolvidos nesta área de
investigação.
Nas tabelas seguintes, para além de ser apresentado o valor da put Americana, é
também determinada a raiz quadrada da média do quadrado dos erros relativos,
RMSRE
10
:
RMSRE =
n
1
n
∑ [(P( A) − P ) / P ]
2
i
i
i
(41)
i =1
10
Existem trabalhos, nomeadamente Ju (1998), que determinam a raiz quadrada da média do quadrado
dos erros absolutos. Neste trabalho, e seguindo Lee e Paxson (2003) é determinada a raiz quadrada da
média do quadrado dos erros relativos, o que significa que é feita a ponderação dos erros absolutos pelo
valor da opção.
onde n é o número total de opções objecto de análise; P( A)i corresponde ao valor
aproximado da opção i e Pi corresponde ao valor de referência da opção i .
Tabela 1 Comparação de Valores Relativos a uma Put Americana ( τ = 3 )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(S ; δ )
TRUE
MGJ2
HSY6
LUBA
RAN4
EXP3
MLE(n=4)
(80;0,12)
25,6577
25,9487
25,7021
25,6568
25,6542
25,6570
25,6542
(90;0,12)
20,0832
20,2009
20,0905
20,0834
20,0838
20,0817
20,0838
(100;0,12)
15,4981
15,5495
15,5020
15,4985
15,4977
15,4970
15,4977
(110;0,12)
11,8032
11,8236
11,8121
11,8032
11,8047
11,8022
11,8047
(120;0,12)
8,8856
8,8965
8,8921
8,8855
8,8850
8,8850
8,8850
(80;0,08)
22,2050
22,7106
22,1493
22,1985
22,1969
22,2084
22,1969
(90;0,08)
16,2071
16,5306
16,2578
16,1986
16,1967
16,2106
16,1967
(100;0,08)
11,7037
11,8106
11,7237
11,6988
11,6882
11,7066
11,6882
(110;0,08)
8,3671
8,4072
8,3563
8,3630
8,3537
8,3695
8,3537
(120;0,08)
5,9299
5,9310
5,9323
5,9261
5,9178
5,9323
5,9178
(80;0,04)
20,3500
20,0000
20,3932
20,3335
20,3499
20,3511
20,3499
(90;0,04)
13,4968
14,0246
13,4602
13,4982
13,4961
13,5000
13,4962
(100;0,04)
8,9438
9,1086
8,9891
8,9424
8,9357
8,9474
8,9359
(110;0,04)
5,9119
5,9310
5,9269
5,9122
5,9021
5,9146
5,9021
(120;0,04)
3,8975
3,8823
3,8834
3,8980
3,8870
3,8997
3,8870
(80;0,00)
20,0000
20,0000
19,9484
20,0000
20,0000
20,0000
20,0000
(90;0,00)
11,6974
10,1758
11,7047
11,6953
11,7011
11,6991
11,7011
(100;0,00)
6,9320
6,9394
6,9109
6,9346
6,9316
6,9346
6,9316
(110;0,00)
4,1550
4,1453
4,1897
4,1550
4,1531
4,1571
4,1531
(120;0,00)
2,5102
2,4546
2,5150
2,5110
2,5068
2,5119
2,5068
RMSRE
-
0,025112
0,002282
0,000257
0,000817
0,000248
0,000817
Os dados desta tabela são retirados de Ju (1998), excepto a última coluna, MLE (n=4), cujos valores são
resultantes das fórmulas deduzidas neste trabalho. Em relação àsrestantes colunas tem-se: S , o preço do
activo subjacente; δ , a taxa de distribuição de dividendos continua; TRUE=valor de referência; MGJ2 =
Bunch e Johnson (1992); HSY6 =Huang, Subrahmanyam e Yu (1996); LUBA = Broadie e Detemple
(1996); RAN4 = Carr (1998); EXP3 = Ju (1998. Subjacente à construção desta tabela os valores dos
parâmetros são os seguintes: r , a taxa de juro sem risco é 0,08; K , o preço de exercício é 100; τ , o
tempo para a maturidade é 3 anos; σ , a volatilidade do preço do activo subjacente é 0,20.
Tabela 2 Comparação de Valores Relativos a uma Put Americana
(1)
(S ,τ , σ , r , δ )
(2)
BENCH
(3)
BJST
(4)
IB
(5)
CEAM
(6)
MLE(n=4)
(80;3,0;0,40;0,06;0,02)
29,26
29,10
29,10
29,33
29,24
(85;3,0;0,40;0,06;0,02)
26,92
26,77
26,77
26,94
26,90
(90;3,0;0,40;0,06;0,02)
24,80
24,65
24,65
24,82
24,77
(95;3,0;0,40;0,06;0,02)
22,88
22,73
22,73
22,89
22,85
(100;3,0;0,40;0,06;0,02)
21,13
20,98
20,98
21,11
21,10
(105;3,0;0,40;0,06;0,02)
19,54
19,40
19,39
19,49
19,50
(110;3,0;0,40;0,06;0,02)
18,08
17,95
17,94
18,03
18,05
(115;3,0;0,40;0,06;0,02)
16,76
16,63
16,62
16,71
16,72
(120;3,0;0,40;0,06;0,02)
15,54
15,42
15,40
15,50
15,51
(100;3,0;0,40;0,02;0,02)
25,89
25,78
25,82
25,89
25,86
(100;3,0;0,40;0,04;0,02)
23,30
23,17
23,17
23,30
23,26
(100;3,0;0,40;0,06;0,02)
21,13
20,98
20,99
21,11
21,10
(100;3,0;0,40;0,08;0,02)
19,27
19,13
19,14
19,25
19,25
(100;3,0;0,40;0,10;0,02)
17,66
17,54
17,55
17,63
17,65
(100;3,0;0,30;0,06;0,02)
15,17
15,04
15,06
15,19
15,15
(100;3,0;0,35;0,06;0,02)
18,16
18,02
18,03
18,19
18,13
(100;3,0;0,40;0,06;0,02)
21,13
20,98
20,99
21,11
21,10
(100;3,0;0,45;0,06;0,02)
24,07
23,91
23,91
24,06
24,03
(100;3,0;0,50;0,06;0,02)
26,98
26,80
26,81
27,03
26,93
(100;0,5;0,40;0,06;0,02)
10,27
10,21
10,23
10,26
10,26
(100;1,0;0,40;0,06;0,02)
13,88
13,78
13,80
13,81
13,85
(100;1,5;0,40;0,06;0,02)
16,37
16,25
16,26
16,35
16,34
(100;2,0;0,40;0,06;0,02)
18,28
18,15
18,16
18,26
18,25
(100;2,5;0,40;0,06;0,02)
19,83
19,69
19,70
19,81
19,80
(100;3,0;0,40;0,06;0,02)
21,13
20,98
20,99
21,11
21,10
(100;3,5;0,40;0,06;0,02)
22,24
22,08
22,08
22,22
22,20
(100;4,0;0,40;0,06;0,02)
23,19
23,03
23,04
23,23
23,16
(100;4,5;0,40;0,06;0,02)
24,02
23,87
23,87
24,06
23,99
(100;5,0;0,40;0,06;0,02)
24,76
24,61
24,61
24,85
24,73
(100;5,5;0,40;0,06;0,02)
25,41
25,26
25,26
25,50
25,39
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(S ,τ , σ , r , δ )
BENCH
BJST
IB
CEAM
MLE(n=4)
(100;3,0;0,40;0,06;0,00)
19,85
19,69
19,71
19,85
19,83
(100;3,0;0,40;0,06;0,02)
21,13
20,98
20,99
21,11
21,10
(100;3,0;0,40;0,06;0,04)
22,49
22,36
22,36
22,47
22,45
RMSRE
-
0,0069
0,0064
0,0019
0,0015
Os dados desta tabela são retirados de Lee e Paxson(2003), excepto a última coluna, MLE(n=4), cujos
valores são resultantes das fórmulas deduzidas neste trabalho. Em relação àsrestantes colunas tem-se: S ,
o preço do activo subjacente; τ , o tempo para a maturidade em anos; σ , a volatilidade do preço do
activo subjacente; r , a taxa de juro sem risco; δ , a taxa de distribuição de dividendos continua; BENCH
= AitSahlia e Carr (1997); BJST= Bjerksund e Stensland (1993); IB = Ingersoll (1998); CEAM = Lee e
Paxson (2003). Subjacente à construção desta tabela, o valor do preço de exercício, K , é 100.
Na Tabela 1 são calculados os valores de uma put Americana para diferentes
níveis de preço do activo subjacente e para diferentes taxas de distribuição de
dividendos. Na Tabela 2 são calculados os valores de duma put Americana para
diferentes níveis de preço do activo subjacente, diferentes prazos, diferentes níveis de
volatilidade do preço do activo subjacente, diferentes taxas de juro e diferentes taxas de
distribuição de dividendos. De referir que os resultados MLE (n=4) são valores obtidos
de acordo com o modelo desenvolvido neste trabalho, utilizando a extrapolação de
Richardson com 4 intervalos temporais.
Da análise das tabelas constata-se que a aproximação desenvolvida neste
trabalho apresenta uma boa estimativa, comparativamente com os valores alcançados
por outros trabalhos referenciados nas tabelas. Através da análise da tabela 1 verifica-se
que os valores alcançados com o modelo aqui proposto são idênticos aos obtidos com o
trabalho de Carr (1998), desde que seja considerado o mesmo número de intervalos de
tempo. Em relação à tabela 2 constata-se que a aproximação desenvolvida neste
trabalho é a que apresenta um menor desvio em relação aos valores de referência. Este
facto ainda é mais notório para opções de prazo mais longo.
A Figura 1 apresenta, em três dimensões, a evolução do valor da opção de venda
Americana, no caso de dividendos constantes, quando o preço do activo subjacente e o
tempo para a maturidade variam. A superfície com inclinação recta, relativa a valores
mais baixos do activo subjacente, representa a zona de exercício imediato da opção. Por
sua vez, a superfície intermédia, convexa e com maior inclinação, refere-se à zona em
que o activo subjacente é inferior ao preço de exercício mas superior ao preço crítico.
Outro aspecto a referir prende-se com o comportamento do preço da opção quando o
tempo para a maturidade varia. Verifica-se uma ligeira tendência de aumento do valor
da opção à medida que a maturidade aumenta. Quando o preço do activo subjacente se
aproxima do valor crítico, o valor da opção é mais sensível a variações na maturidade.
Figura 1. Valor de uma opção de venda de tipo Americano como função
de S e τ. Subjacente à construção desta figura os valores dos parâmetros
são os seguintes: n, o número de intervalos de tempo é 2; r, a taxa de juro
sem risco é 0,06; σ, a volatilidade do preço da acção é 0,4; K, o preço de
exercício é 100; e φ, o nível de dividendos constante é 1,6.
A Figura 2 apresenta o valor da opção, no caso de dividendos constantes, como
uma função do preço do activo subjacente e da volatilidade deste preço. Tal como na
Figura 1, o comportamento do valor da opção, está dividido em três zonas distintas
apresentando uma evolução semelhante à referida anteriormente, no que concerne à
relação entre o activo subjacente e o valor da opção. Por outro lado, verifica-se que
quanto maior for a volatilidade do preço do activo subjacente maior é o preço da opção.
Esta situação é mais expressiva quando se está próximo do valor crítico. Outro aspecto
que ressalta da análise da figura é que o preço crítico tende a diminuir
significativamente à medida que a volatilidade do activo subjacente aumenta. Por outro
lado, verifica-se para os dois gráficos que variações positivas no preço do activo
subjacente provocam uma diminuição no valor da opção.
Figura 2. Valor de uma opção de venda de tipo Americano como função
de S e σ. Subjacente à construção desta figura os valores dos parâmetros
são os seguintes: n, o número de intervalos de tempo é 2; r, a taxa de juro
sem risco é 0,06; τ, a volatilidade do preço da acção é 3; K, o preço de
exercício é 100; e φ, o nível de dividendos constante é 1,6.
As Figuras 3 e 4 apresentam, em duas dimensões, a evolução do preço da put
Americana, como função do valor do activo subjacente. Para a representação destes
gráficos considerou-se a existência de dividendos proporcionais ao valor do activo
subjacente e o tempo dividido em 4 intervalos. Verifica-se que para valores do activo
subjacente inferiores ao preço crítico o valor da opção é representado por uma recta com
inclinação negativa e, para valores superiores ao valor crítico, a configuração do gráfico
é uma curva convexa. Por outro lado, verifica-se que à medida que o preço do activo
subjacente aumenta o valor da opção se aproxima de zero. Da comparação dos dois
gráficos constata-se que, quando a taxa de dividendos aumenta mantendo todos os
outros parâmetros inalterados, o valor da opção aumenta e o preço crítico diminui.
Figura 3. Valor de uma Put Americana como função de S para r > δ .
Subjacente à construção desta figura os valores dos parâmetros são os seguintes:
n , o número de intervalos de tempo é 4; τ , o tempo para a maturidade é 3 anos;
r , a taxa de juro sem risco é 0,08; σ , a volatilidade do preço da acção é 0,20;
K,
o preço de exercício é 100;
distribuição de dividendos é 0,02; e,
S4 ,
o preço crítico é 79,66; δ , a taxa de
φ , o valor dos dividendos constantes é 0,0.
Figura 4 Valor de uma Put Americana como função de S para r < δ
Subjacente à construção desta figura os valores dos parâmetros são os
seguintes: n , o número de intervalos de tempo é 4; τ , o tempo para a
maturidade é 3 anos; r , a taxa de juro sem risco é 0,08; σ , a volatilidade
do preço da acção é 0,20;
K , o preço de exercício é 100; S 4 , o preço
crítico é 48,41; δ , a taxa de distribuição de dividendos é 0,14; e,
dos dividendos constantes é 0,0.
φ , o valor
A apresentação e comparação dos resultados numéricos permitiram constatar
que a solução fechada ou quase fechada, aqui desenvolvida, constitui uma alternativa
credível para a valorização deste tipo de derivados financeiros.
4. Conclusão
O objectivo central deste trabalho consiste no desenvolvimento de um modelo de
avaliação de opções de venda de tipo Americano, capaz de melhorar o actual estado da
arte. O crescimento acentuado deste tipo de contratos, nas últimas duas décadas,
justifica o incremento do esforço académico colocado no desenvolvimento de modelos
adequados à respectiva valorização. A literatura relativa a esta matéria tem, na maioria
dos casos, apresentado apenas soluções numéricas, para este tipo de enquadramento de
avaliação. Em ordem a obter estas mesmas soluções numéricas, é necessário recorrer a
complexas técnicas de computação, facto que torna o processo demasiado moroso e
dispendioso.
O modelo desenvolvido ao longo deste trabalho apresenta duas variantes. Para a
situação de dividendos constantes, é obtida uma solução fechada para o valor da opção e
para o respectivo preço crítico. No caso de dividendos proporcionais ao valor da acção,
é obtida uma solução quase fechada, uma vez que o preço crítico é determinado
numericamente. Estes resultados, para além de permitirem determinar rapidamente o
valor da opção e do preço crítico, possibilitam a representação gráfica em duas e três
dimensões do valor da opção como função de outras componentes do modelo. Esta
análise numérica e gráfica permitiu concluir que o modelo aqui proposto apresenta
resultados que são coerentes com a realidade financeira.
Este trabalho pretende dar um contributo numa área de investigação financeira
pouco explorada até ao presente: o desenvolvimento de soluções fechadas para a
avaliação de opções de venda de tipo Americano. Tendo por base este trabalho, é
possível apontar um conjunto de sugestões para desenvolvimentos futuros. A
formulação desenvolvida ao longo do trabalho considera o tempo dividido em quatro
intervalos, aquando da alteração do tempo de contínuo para discreto. Seria desejável
desenvolver uma fórmula geral que possa ser aplicada a qualquer número de intervalos
de tempo. Outro melhoramento, mais ambicioso, que pode ser sugerido consiste no
desenvolvimento de um modelo, para as duas variantes do modelo, no qual o valor da
opção e do preço crítico seja dado por uma solução analítica em tempo contínuo. Numa
situação deste tipo, seria desnecessária a aplicação da extrapolação de Richardson.
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