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Números primos
Série Rádio Cangalha
Objetivos
1. Provar que existem infinitos números
primos;
Números primos
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Aritmética.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Provar que existem infinitos
números primos.
Sinopse
Os radialistas Ivone e Henrique,
comentam com o apoio do
professor Leumas, o significado
do achado arqueológico
conhecido como osso de
Ishango. O osso possui marcas
associadas a contagem, tem
idade estimada em 22 mil anos e
é considerado o artefato
matemático mais antigo já
encontrado. No programa
também é feita a demonstração
de que existem infinitos números
primos.
Material relacionado
Vídeo: Venda Segura.
Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália, apresenta programas de variedades
descontraídos que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais com comentários de um professor de
matemática. No segundo bloco é apresentado um resultado, um
teorema ou uma curiosidade matemática com algumas ideias de
demonstração. O programa pode ter também tem uma piada ou uma
frase célebre, sem preocupação de coerência e sim para ter motivos de
discussão e reforçar a descontração.
Sobre o programa
Neste programa, os três apresentadores da rádio cangalha, discutem o
significado do artefato arqueológico conhecido como osso de Ishango.
Trata-se de um osso de macaco medindo aproximadamente 10cm que
possui várias marcas associadas a algum tipo de contagem. Como o
osso possui 22 mil anos ele é considerado o artefato matemático mais
antigo já encontrado. Veja a foto.
Note os riscos no osso. Note que o osso possui três colunas de
marcações. Na primeira coluna possui 4 grupos de marcações, com
11, 13, 17 e 19 marcações. Duas observações feitas sobre esta coluna
é que possui no total 60 marcações, e que cada grupo possui um
número primo de marcações. A segunda coluna possui também 60
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marcações em grupos de 11, 21, 19 e 9. Note que nesta coluna temos
dois primos 11 e 19 e que 21=11+10, e 9=19-10. Na terceira coluna é
mais complicado agrupar as marcações, mas sabe-se que ela possui ao
todo 48 marcações, que possui 12 como divisor comum com 60, o que
indica que o dono do artefato poderia usar um sistema de contagem
de base 12 como vários povos da antiguidade.
Várias explicações são possíveis para esta contagem como as fases da
Lua, por exemplo. O interessante é que o osso é anterior à civilização
e mesmo ao desenvolvimento da escrita, o que mostra o quão
fundamental é o processo de contagem para o desenvolvimento da
humanidade.
No programa também é feita a demonstração de que o conjunto dos
números primos é infinito, a qual se deve a Euclides.
A demonstração é como segue. Suponha que o conjunto P dos
números primos é finito, P= {P1, P2, ..., Pn}. Então Q= P1× P2×...×Pn + 1
não está em P, logo Q não é primo. Mas Q não é divisível por nenhum
Pi , i=1,2,...,n. Ou seja Q só é divisível por 1 e Q. Ou seja, Q é primo contradição. Segue que existem infinitos números primos.
Além disso, é apresentada uma fórmula que aproxima a quantidade
P(X) de números primos menores que um número dado X, que é
P(X)=X/ln(X).
Sugestões de atividades
Durante a execução
Caso disponha de um projetor o professor pode mostrar uma
fotografia do osso de ishango.
ÁUDIO
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Depois da execução
No próprio áudio é sugerido que se verifique que a estimativa para a
quantidade de primos menores que um número dado X é boa para
alguns valores de X.
Primos: criptografia e cigarras
Os números primos aparecem em alguns fenômenos naturais, e são
base de vários dos sistemas de criptografia (Codificação) que
garantem o sigilo de mensagens e senhas em comunicações pela
internet, por exemplo. Veja o vídeo Venda segura dessa coleção M3.
Aliás a presença de tantos números primos no osso de Ishango denota
que esses números apareciam normalmente nas atividades do dono do
artefato.
Um fenômeno interessante relacionado aos números primos é o ciclo
de vida de algumas espécies de cigarras como a Magicicada
septendecim e a Magicicada tredecimi que passam 17 e 13 anos
respectivamente na forma de larva vivendo abaixo do solo. O que
intriga os pesquisadores é que são ciclos de vida bastante longos para
um inseto. E outra curiosidade é que ambos os números, 13 e 17 são
primos. A explicação da primalidade é que se a cigarra possui
parasitas (ou predadores) com ciclo de vida de digamos n anos (n<17),
como 17 é primo, n não divide 17, portanto os parasitas só encontrão
cigarras para parasitar em MMC(17,n)=n×17 anos , ou seja se passarão
17 gerações do parasita sem cigarras para parasitar (tempos difíceis
para o parasita!). Por exemplo, se o ciclo de vida do parasita é de 8
anos, cigarras e parasitas só se encontrarão depois de 136 anos do
seu ultimo encontro!
Sugestões de leitura
Simon Lehna Singh. O último Teorema de Fermat.
Adilson Gonçalves(2006). Introdução à Álgebra.
Ficha técnica
Autor Alison V.D.L. Melo
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
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Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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