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GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 09: POLÍGONOS REGULARES
TÓPICO 01: POLÍGONOS REGULARES
Recordemos que um polígono é regular se é equiângulo e equilátero, isto é,
se seus ângulos têm a mesma medida e seus lados também. Sabemos ainda
que nem todo polígono equilátero é equiângulo e vice-versa. Entretanto, todo
triângulo equilátero é equiângulo e todo triângulo equiângulo é equilátero.
Veremos a seguir uma importante propriedade acerca dos polígonos
regulares. Demonstraremos que todo polígono regular é inscritível e
circunscritível, ou seja, há uma circunferência que contém seus vértices e há
outra que tangencia seus lados.
OLHANDO DE PERTO
Trabalharemos com um hexágono regular na demonstração:
HEXÁGONO REGULAR:
O argumento que utilizaremos é aplicável a qualquer polígono regular.
Considere um hexágono regular de vértices A, B, C, D, E e F.
TRIÂNGULO OAB
Pelo caso L.A.L. de congruência de triângulos decorre que os
triângulos OAB e OBC são congruentes, pois
é lado comum,
e
≡
. Como consequência, temos que
e
≡
. Sendo os ângulos do polígono congruentes, segue-se que
≡
PONTO 0
Pelo caso L. A. L. de congruência de triângulos, decorre que os
triângulos OBC e OCD são congruentes. Enfim, prosseguindo com o
mesmo argumento anterior, chegaremos que os triângulos OAB, OBC,
OCD, ODE, OEF e OFA são congruentes entre si e são isósceles.
OLHANDO DE PERTO
Por conseguinte, O é equidistante dos vértices A, B, C, D, E e F do
polígono. Logo, é centro de uma circunferência que passa nos vértices do
polígono. Outra consequência é que esses seis triângulos isósceles têm
alturas relativas, respectivamente, aos lados
, ,
,
,
e
com mesma medida. Portanto, O também é centro de uma circunferência
que tangencia os lados do polígono.
CENTRO DO POLÍGONO
Definição 1: Chamaremos de Centro do polígono o centro O das duas
circunferências e de apótema do polígono o raio da circunferência inscrita
nele, isto é, o raio da circunferência que tangencia seus lados.
OBSERVAÇÃO
Observe que o raio da circunferência circunscrita ao polígono é a distância
do centro a qualquer de seus vértices ao passo que o raio da circunferência
inscrita nele é a distância do centro a qualquer de seus lados.
OLHANDO DE PERTO
Agora, atente para o seguinte: todo polígono regular de n lados se
decompõe em n triângulos isósceles e congruentes entre si. Eles têm um
vértice comum, que é o centro do polígono, e os outros vértices são os
vértices do polígono. Assim, a área do polígono é igual a n vezes a área de
um desses triângulos.
Denotando por , e R, respectivamente, o apótema, o lado e o raio da
circunferência circunscrita ao polígono, então cada um desses triângulos tem
dois lados medindo R e um medindo , sendo a altura relativa ao lado .
Assim sendo, a área de cada triângulo da decomposição é igual
.
. Entretanto,
Consequentemente, a área do polígono é igual a
éo
semi-perímetro do polígono, logo, sua área é igual a seu semiperímetro vezes
seu apótema, isto é, seu semi-perímetro multiplicado pelo raio da
circunferência inscrita nele. Enfim, denotando a área do polígono regular de
n lados por
e por
seu semi-perímetro, temos:
.
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual